正切函数的图象与性质
《正切函数的图象与性质》教学设计【课标解读】高中数学课程标准在本部分内容的要求和解读：1.数学教材要自然、生动、要激发学生的兴趣和美感，引发学生的学习激情；要引导学生提问，要强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用.2.具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观.3.关注三角函数本质(起源于圆周运动的周期函数），使学生获得研究周期函数的基本思想方法.4.关注数学内容的内在联系(数形结合)：三角函数——关于圆与三角形的解析几何5.关注研究方法——类比、推广、特殊化（化归）；【教学内容解析】(一）本节教材的地位和作用：《正切函数的图象和性质》是《普通高中课程标准实验教科书》（人教版B）高一数学的必修4第1.3.2节的内容，它是紧接着正弦和余弦函数的图象和性质后的又一通过图象来研究性质的三角函数。
正切函数的图象和性质也是三角函数的重要内容之一，本节课既是对前面正余弦函数知识的延展，也是为学习已知三角函数值求角的问题,对必修二中直线的斜率和选修2-2中导数求切线方程的斜率问题都有联系。
为后续知识作了铺垫。
因此掌握好正切函数的图象和性质，意义非常重要。
同时，这节课也是进一步培养高一学生的类比、观察和数形结合能力的重要内容.(二)教材分析处理1.本节课是在学习了正余弦函数的基础上，利用单位圆中的正切线画出正切函数的图象，通过图象系统的研究正切函数的性质。
三角函数的图象和性质贯穿了全章教材，它不仅是继续学习三角知识不可缺少的基本知识和基本工具，也是科学研究、生产实践中的重要工具之一，通过学习本节课，培养学生的数形结合能力，形象思维能力和想象能力；同时培养学生观察、发现、独立思考、总结归纳的能力.2.在内容上主要研究函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性、奇偶性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。
但也要让学生明白，作为正切函数除了一般函数的研究内容外，还要针对其图象的特点，特殊地研究其渐近线。
向学生进一步说明的“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数的美无处不在，数学无处不美.3.本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，又一具体的三角函数。
学生已经掌握了角的正切，正切线和与正切有关的诱导公式，这为本节课的学习提供了知识的保障，在此基础上，进一步研究其性质、体会研究函数方法，也是为以后复习解析几何中直线斜率与倾斜角的关系等内容做好知识储备的课．4.为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化，正切曲线的渐近线，正切曲线的形成过程，采用《几何画板》自制课件进行演示，以提高了学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果. （三）【教学目标设置】 教学目标：（1）知识目标：掌握正切函数的性质，认识并会画正切函数的的简图.（2）能力目标：采用类比的方法，让学生在正弦函数图象画法的基础上研究正切函数图象的画法。
让学生亲身经历数学研究的过程，学会应用类比推理与数形结合的思想处理问题. （3）情感目标： 通过学生自主探究学习，合作交流的过程体检探索的乐趣，通过板演，提高成功的喜悦，增强学习数学的兴趣. 本节教学重点、难点重点：正切函数的图象及其主要性质及应用。
难点：利用正切线画出正切函数图象，并认识到直线是此图象的两条渐近线。
【学生学情分析】上学期高一学生已经掌握了课前案，课中案，课后案的教学模式，先学后教、自主学习、课堂解惑、合作交流的学习方法，针对高一年级学生的年龄特点和心理特征，，结合他们的认知水平，在遵循启发式教学原则的基础上，本节课我主要采用以问题教学法为主，以类比法、讨论法、练习法为辅的教学方法，将所学内容进行分解，在导学案中设置比较合适的台阶，让学生跳一跳够得着，体会完成一个小任务的成就感，意在通过教师的引导，调动学生的积极性，让学生多交流、多讨论，主动参与到教学活动中来。
从而提高学习兴趣，提高教学效率.作业布置分AB 两个层次，照顾学生的个体差异. 【教学策略分析】2x π=±1.本节课主要的教学内容是正切函数的图象和性质及简单应用。
函数y = tanx 的图象和性质是正、余弦函数图象和性质的延伸和继续，本节课先从复习正弦曲线的画法入手，顺理成章的引导学生利用正切线作出函数y = tanx 的图象，然后类比正弦函数的性质，来研究正切函数的性质。
使学生找到处理问题的一般方法易于接受和理解。
2.利用多媒体辅助教学，先让学生自己动手画图，然后多媒体演示图形的形成过程，既加深学生对函数图象及性质的理解，又增加其直观性和趣味性，起到事半功倍的作用。
通过数形结合的教学，化抽象为直观，突出重点，突破难点。
3.教学方法 （1）电化教学法教学过程是教师和学生共同参与的过程.本节课要充分发挥计算机直观形象的动态功能，调动学生学习的积极性，激发学生学习的能动性和学习兴趣，变被动为主动，提高学生的综合素质.（2）启发引导式教学法为了调动学生学习的积极性，充分肯定学生的主体地位，使学生愉快的学习，在教学中我采用了启发引导式教学法，使学生在动脑思考，动手实践的基础上，通过观察、类比作出正切函数的图象并探讨出它的性质，通过设置疑问让每个学生积极思考，主动参与，尽可能自己解决问题。
并引导学生用数形结合的思想理解和处理有关问题. 【教学过程】一、检查学生填写课前案部分，投影展示。
1、画出正切函数y=tanx (,)22x ππ∈-的图象（描点法）2、正切函数y=tanx 性质x(1) 正切函数是整个定义域上的增函数吗？ (2) 正切函数会不会在某一区间内是减函数？ 二．自主探索，归纳新知（本环节主要引导学生探索研究，得出新知。
引导学生由正弦函数图象，通过类比作出正切函数图象，并让学生通过对图象的观察，自主探索、合作交流，归纳出正切函数性质。
）师生互动：活动一：采用类比的方法，让学生通过正弦函数图象的作法探索如何利用正切线作出正切函数的)2,2(,tan ππ-∈=x x y 图象。
在学生合作交流、共同探讨后利用多媒体课件展示正切函数的图象（如图示）活动二：利用几何画板的强大功能展示正切函数图象的动态画法，让学生在动态中享受数学知识带来的乐趣。
活动三：引导学生通过函数的周期性作出函数x y tan =在整个定义域内的函数图象。
（此环节让学生通过正弦函数的画法通过类比的方式，根据正切函数的周期性得出.） 活动四：引导学生通过对图象的研究，分析归纳出正切函数的性质。
（本环节中，通过设计“问题串”、作类比等方式，使学生对于知识的理解不仅仅停留在表面，而是抓住了其实质，从而轻松的掌握本节的教学重点.） 观察图像思考问题：正切曲线有什么主要特征?图中的虚线与它是什么关系?正切函数y=tanx 的定义域是 值域正切函数y=tanx 的奇偶性 周期单调区间 渐近线对称中心请一名学生上讲台画正切线画正切函数在33,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭图象， 学生画图， 设计意图：先让学生自己动手画图，然后多媒体演示图形的形成过程，既加深学生对函数图象及性质的理解，又增加其直观性和趣味性，起到事半功倍的作用.通过数形结合的教学，化抽象为直观，突出重点，突破难点.欣赏正切曲线的光滑、流畅、(中心)对称美,激发学生热爱生活,热爱自然的健康心理,增加学生努力学好数学的信心。
三、学生互动探究环节：各组讨论正切函数的性质有哪些？如何研究函数)tan(ϕω+=x A y （)00>>ϕ，其中A 的性质？设计意图：利用已有的认知结构，探究未知的问题,类比始终是研究问题最重要的方法之一；形与数的结合，更能抓住问题的本质， 对比正切函数的性质和图像，分析各个性质在图像上的反映，得出：函数的性质有利于画函数的图像，函数的图像是其性质的直观反应. 四、典例探究例1、求下列函数的定义域。
t a n ()4y x π=+；练习1.求()tan(2)3f x x π=-的定义域。
例2、求下列函数的周期。
（1）tan 3y x =； （2）tan ,(0,,)2k y x x k Z ππωωωω=>≠+∈. 例3、1.不求值，比较1113tan(),tan()45ππ--的大小. 练习2. 00tan138___tan143 413t a n ()___t a n ()57ππ-- 2：求函数()tan(2)3f x x π=-的单调区间。
练习3.求()tan(2)4f x x π=-+的单调区间。
例4、写出使下列不等式成立的x 的取值集合：（1）tan x ≥（2）tan 10x +≤ （3） tan()6x π-≥设计意图：类比正弦函数图象和性质的应用，研究正切函数的图象和性质的简单应用，循序渐进，合作交流.六、课堂小结（学生回忆说明，教师显示，并要求学生课后写在积累本上）设计意图：学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．先由学生思考回答，教师再补充完善，并指出本课蕴含着数形结合、类比、归纳、猜想等数学思想方法.七、课堂达标练习： 5-8分钟， 1、 函数)43tan(2π+=x y 的周期是 ( )(A)32π (B) 2π (C)3π (D)6π2、直线y a =(a 为常数)与正切曲线tan (y x ωω=为常数，且0)ω>相交的两相邻点间的距离为（ ） A ．π B ．2πωC ．πωD ．与a 值有关 3.函数3tan(3)4yx π=-的一个对称中心是（ ）A.(,0)3π .(,0)6B π .(,0)12C π .(,0)2D π-4、要得到函数tan(2x )4y π=+的图象，只须将tan 2x y =的图象（ ）A ．向左移4π个单位 B. 向右移4π个单位C. 向左移 8π个单位 D. 向右移8π个单位5、已知,1tan -≥θ则θ的取值范围是（ ）A 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43B 、[,)42ππ-C 、|,42x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤<+∈⎨⎬⎩⎭D 、|,42x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭6、下列各式正确的是 （ ）A ．1317tan()tan()45ππ-<- B ．1317tan()tan()45ππ->- C ．1317tan()tan()45ππ-=- D ．大小关系不确定7、与函数tan(2)4y x π=+的图象不相交的一条直线是（ ）A ．2x π=B ．2y π=C ．8x π=D ．8y π= 8、（1）函数tan()6y x π=+的单调递（填增或减）区间是 。
正切函数的图象和性质_课件ppt_新课标高中(必修4)
tan1670 tan1730
y tan x在 ， 上是增函数， 2
167 173 180
0 0
4
0
5
2 tan tan 4 5 11 13 tan( ) tan( ). 4 5
反馈演练
1、比较大小：
0 < (1)tan138 _____tan143 。 13π 17π (2)tan()_____tan() > 4 5 ２、求函数 y 3 tan(3x 3 ) 的定义域，值域， 单调区间、对称中心坐标及渐近线方程。 0
非奇非偶函数
最小正周期是
3
补充练习
1. 已知
a tan1, b tan 2, c tan 3,则( c )
B.c<b<a C .b<c<a D. b<a<c
A.a<b<c
2.求y (tan x) 2 4 tan x 1 的值域； -5,+
3. 已知 是三角形的一个内角，且有 tan 1, 则的取值范围是 ( c )
例题分析
例３ 求函数
y tan 3x 的周期.
解：
因为 tan(3x ) tan 3x,
T 3 形如 y A tan(x ) k 的周期是 T
反馈练习：求下列函数的周期：
即tan3(x+ )=tan3x, f ( x ) f ( x) 3 3
O1
A O
-1
3
2 3
4 3
5 3
2
x
y
1
-4
-3
正切函数的性质和图象
(1)tan x 0; (2)tan x 0; (3)tan x 0
解：
y
(1) x (k ,
2
y tan x
k )
k Z
(2) x k
(3) x (
k Z
k , k ) k Z
2
2
2
o
2
2
x
• 解不等式
1 tan x 0
2
对称轴： 对称中心：(
x k , k Z
2
k , 0) k Z
b tan a
要使得上式有意义，必须 a≠0； 即角α的终边不能落在 y 轴上。
对于正切函数y tan x，只有x k , k Z 2 才能使得y tan x有意义。
正切函数y tan x的定义域是 x | x k , k Z 2
函数
y
1
y=sinx
y
1
y=cosx
图像 定义域 值域
2
0
-1
2
3 2
2
5 2
x
0
-1
2
3 2
2
5 2
x
x 2k 时， ymax 1 2 最值 x 2k 时，ymin 1 2 x[- 2k , 2k ] 增函数 2 2 单调性 x[ 2k , 3 2k ] 减函数 2 2
tan(x+π)=tanx，x∈R，x≠π/2+kπ，k∈Z
正切函数是周期函数，周期T= π
tan(-x)=-tanx，x∈R，x≠π/2+kπ ，k∈Z
(完整版)正切函数的性质与图像.ppt
2
2
正
渐
切
近 线
函
数
渐
图
近 线
像
性质 :
渐近线方程： x k , k Z 2
对称中心
( kπ,0) 2
正切函数有对称轴吗？ 无对称轴
问题5： (1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会在某一区间内是减函数吗？为什么？
A
B
在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，kZ 内都是增函数。
5、周期性
最小正周期是
3
小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
⑵ 值域： R 2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
22 右呈上升趋势，向上与直线 x
k
,k
Z
无限接近但
永不相交；向下与直线
x
2
k , k
Z无限接近但永不
2
相交。
将 x k , k Z 称为正切曲线的渐近线。
2
题型一 求与正切函数有关的函数的定义域
例1.求下列函数的定义域.
(1) y tan(x );
3 (2) y lg tan x 16 x2 .
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
x[2k , 2k ]
偶函数
2
减函数
对称轴： x
2
k
,
1.4.3 正切函数的性质与图象 课件
-
-
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象.
2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
§
正切函数的性质
周期性
由诱导公式得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
2
所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
所以正切函数是奇函数.
单调性
所以,函2数的3定义2域是x
x
2k
3
,
k
Z.3
由于f+x
2
kT＜
2
txan
32＜2x
Tk,k3Z,
tan
2
x
3
2
T
解得
ta2nk23x＜x＜3 2k
f (3x,)k,
Z .
2
T
即T
2
因此,函数的单调递增区间是:
2k
，2k 3
3
, k Z. 2
周期T
另解：周期T
正切函数的图像和性质 (精致版)
2 对称轴： x k , k Z
2 对称中心： (k ,0) k Z
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：( k , 0) k Z
2
探索一 你可以从一个新的角度来研究正 切函数的性质吗？
正弦函数 正切函数
定义+三角函数线
三角函数图象
课后练习
作业：
P45.2、3、4
课后思考
思考1：我们分别从什么角度讨论了正切函数 的性质？这两种讨论方法分别有什么特点？ 思考2：你能用同样的方法去讨论正、余弦 函数的性质吗？
想一想？ 得到y tan x最小正周期为__ ____
由y tan x最小正周期为
反馈练习：求下列函数的周期：
x (1) y 5 tan 2
2
(2) y tan(4 x ) 3
4
巩固练习 1、比较下列每组数的大小。
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
正切函数的对称中心
正 切 函 数 图 像
性质 :
渐 进 线
渐 进 线
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
定义域： {x | x k, k Z} 2 值域： R 周期性： 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间 ( k , k ) ， k Z 内都是增函数。 2 2 kZ x k , (7)对称中心 (6)渐近线方程： 2
kπ ( ,0) 2
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
正切函数的图象及性质
11 6
●
2
●
2
0
6
3
2
2 3
5 6
● ● ● ● ●
x
3 2
-1
现在利用正切线画出函 数y tan x, x (
y
, )的图象 2 2
1
o1
2
4
0
1
4
2
x
利用正切函数的周期性,把图象向左,右扩展,得到正切函数 y tan x, x R且x k , (k Z )的图象 , 并把它 叫做正切曲线. 2 y
（2） y tan x 性质: 定义域
值 周 奇 域 期 偶 性 奇 R 函 数
单调增区间
对 称 中心
渐近线 方程
x x k ，k Z 2
k， x k 0 k ，k 2 2 2 k Z k Z k Z
2
正切函数的主要性质如下:
定义域 值 域 周期性 奇偶性 单调性
xx
2 k , k Z
实数集
T
奇函数(正切曲线关于原点对称)
在（
k， k），k Z内为增函数 2 2
例1.求函数 y tan x ）的定义域 , 周期和单调区间。 （ 4
解：令 z x
y
解：
3 2
2
0
2
3 2
x
(1). x (k
2
, k ), (k Z )
正切函数图像与性质
温故知新
回顾1：我们在学习正弦、余弦函数的图象时学习 过哪些作图方法？ 几何描点作图法： 作正弦函数y=sinx的图象 作余弦函数y=cosx的图象 平移变换作图法： 作正弦、余弦函数的简图 五点作图法： 问题1：我们选择哪种方法作正切函数的图象？ 几何描点作图法
正切函数的图象和性质 一、引入 如何几何描点法作正弦函数图象呢？
栏目 导引
知识回顾：任意角的正切线
y
T
y
x
o
(1,0)
A
x
正切线AT
o x(1,0) A
T
x
y
y
T
x
x
(1,0)
o
A
T
x
o
(1,0)
A
x
第一章
三角函数
作法如下：
作直角坐标
系，并在直角 坐标系y轴左侧 作单位圆。
y
找横坐标
（把x轴上 2 到 到这一 段分成8等份）
1
2
3 8 4 8
11 tan( ) tan , 4 4 2
2 4
13 2 tan( ) tan 5 5
又y tan x在(
2 tan tan 4 5
11 13 tan( ) tan( ). 4 5
5
2 2 ,
2
)是增函数
k , k , k z 2 2
2
k x
4
2ຫໍສະໝຸດ k , k z 函数y tan(x )的单调递增区间是： k , k , k z 4 4 4
三角函数正切函数的性质与图像
正切函数的图像向右平移π个单位，可以得 到余弦函数的图像。
左右翻转
正切函数的图像关于$y$轴对称，即$tan( - x) = tan(x)$。 正切函数的图像向左翻转后，可以得到正切函数的图像。
03
正切函数的图像绘制
利用Python绘制正切函数图像
导入matplotlib库
定义正切函数
首先需要导入matplotlib库，该库是 Python中用于绘图的常用库之一。
使用xlabel和ylabel参数可以添加x轴和y轴的标签，例如x轴 标签为“$x$”，y轴标签为“$y$”。
显示网格线
使用grid参数可以显示网格线，以便更好地观察图像的细节 。
04
三角函数的实际应用
物理中的三角函数
简谐振动
简谐振动的位移与时间的关系可以表示为正弦或余弦函数，利用三角函数性 质可以更深入地理解简谐振动的特征。
正切函数的对称性
正切函数图像无对称轴，但在$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 处，函数图像呈现对称性。
正切函数的奇偶性
$tan( - x) = - tan(x)$，因此正切函数为奇函数。
正切函数的应用
正切函数在解直角三角形、求三角形的面积、研究三角恒 等式等方面具有广泛应用。
对未来研究正切函数的展望
三角函数正切函数的性质与图像
xx年xx月xx日
contents
目录
• 正切函数概述 • 正切函数的性质 • 正切函数的图像绘制 • 三角函数的实际应用 • 总结与展望
01
正切函数概述
正切函数的定义
正切函数：tan(x) = sin(x) / cos(x) 值域：(-∞，∞)
定义域：{x | x ≠ π/2 + kπ，k ∈ Z} 周期：π
正切函数的图像和性质
是增函数， 3 3 11 13 ∴ tan tan 即 tan tan ． 4 5 4 5
4.10 正切函数的图像和性质
练习：
（1）直线 y a（ a 为常数）与正切曲线 y tanx （ 为常数
4.10 正切函数的图像和性质
4.10 正切函数的图像和性质
回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 y sin x图像的． 用正切线作正切函数图像: 正切函数 y tan x是否为周期函数？
sin x sin x f x tan x tan x f x cos x cos x
C．充要条件
4.10 正切函数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图像和性质
小结：
（1）y tan x 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得 ， 上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。 2 2
（2） y tan x 性质: 定义域 值 周 奇 单调增区间 域 期 偶 性 对 称 中心 渐近线 方程
所以函数 y tan x 的定义域是 x x k，k Z 4 4
4.10 正切函数的图像和性质
例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
13 11 tan 与 tan ． tan 167 与 tan 173 ；（2） （ 1） 5 4 3 11 解：（ 1 ）∵ tan 90 173 180 167 （2）∵ tan 4 4 13 90 3 x ， 上是增函数 又 ∵ y tan ，在 270 tan tan 5 5 tan 167 tan 173 3 3 3 ∴ 3 y tan x 又∵ ，函数 ，x ， 2 4 5 2 2 2
高二数学正切函数的图像和性质
4
5
tan
4
tan
2
5
,即
tan
13
4
tan
17 5
练习 不查表比较大小：
(1) tan167 与tan173 (2) tan 470 与 tan 822
例题2
x
4
的性质；
练习 讨论函数 y tan 2x 的性质；
§1.4.3 正切函数的图象和性质 （一）
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
tan y x 0 的终边不在y轴上
x
k
k
z
2
2、利用周期函数的定义及诱导公式，推导正切函数 的最小正周期；
tan( x) tan x 是y tan x的周期；
1、画出正切函数在一个周期
2
，
2
内的图象
y
0
x
2
2
§1.4.3 正切函数的性质和图象
1.正切函数
的性质：
y y tan x
定义域：
值域：
周期性： 正切函数是周期函数，
周期是
2
奇偶性： 奇函数 tan(－x)=－tanx
2
o 2
x 2
单调性： 在 内是增函数
对称性： 对称中心是
对称轴呢？
；宜宾装修公司/ 宜宾装修公司
；
全家人都知道这个说法，在姐姐的心灵深处，樟木箱子早已深深地扎下了根。 光阴似箭，姐姐真的到了谈婚论嫁的时候了