函数的表示法学案

函数的表示法学习目标:明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）；了解映射的概念及表示方法；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念；学习重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念, 分段函数的图像与值域学习难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象学习过程:一 复习：（1）函数的三要素是 、 、 . （2）已知函数21()1f x x =-，则(0)f = ，1()f x = ，()f x 的定义域为 . （3）初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.解析法，就是用 表示两个变量之间的对应关系.图象法，就是用 表示两个变量之间的对应关系.列表法，就是用 表示两个变量之间的对应关系.比较三种表示法，它们各自的特点是什么？所有的函数都能用解析法表示吗？二 探究新知1.解析法：用数学表达式表示__________之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做-__________________；图象法：以___________的取值为横坐标，对应的_______y 为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了____________，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法；列表法：列一个两行多列的表格，第一行是____________，第二行是对应的_________，这种用表格来表示___________之间的函数关系的方法叫做列表法解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值.2.分段函数：依据分类讨论思想,在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着_____________，即在定义域内的不同区间上对应着不同的解析式的函数，这样的函数通常叫做分段函数说明：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．①分段函数是一个函数，而不是几个函数；处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；②分段函数的定义域是所有区间的并集，值域是各段函数值域的并集；③分段函数的求解策略：分段函数分段解，分段函数是一个函数，只不过x 的______________不同时，对应法则不相同处理分段函数的求值和作图象时的两个注意点：(1)分段函数求值要先找准自变量所在区间及所对应的解析式，然后求值.(2)分段函数的图象是由几段曲线构成，作图时要注意衔接点的虚实.3.映射概念函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”。

当我们将数集扩展到任意的集合时，就可以得到映射的概念。

映射定义：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“f ：A →B ”映射的判断：如果集合A 中的任何一个元素，按照对应关系f ，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这个对应就是映射，否则就不是映射。

方向不同，映射也不同。

象与原象：映射是从原象集合到象集的对应。

探究先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意.①{1,4,9}A=, {3,2,1,1,2,3}B=---，对应法则：开平方；②{3,2,1,1,2,3}A=---，{1,4,9}B=，对应法则：平方；③{30,45,60}A=︒︒︒,231{1,,,}2B=, 对应法则：求正弦.关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.试试：分析例1 ①～③是否映射？反思：①映射的对应情况有、，一对多是映射吗？②函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射.映射的四个特征(1)确定性：集合A、集合B与对应关系是确定的一个整体；(2)非空性：集合A、集合B都必须是非空集合；(3)方向性：从集合A到集合B的映射f：A→B与从集合B到集合A的映射f：B→A是不同的映射；(4)多样性：映射的对应方式可以是多对一，也可以是一对一判断一个对应f：A→B是否为映射的两点主要依据：(1)任意性：集合A中每一个元素，在集合B中是否都有元素与之对应.(2)唯一性：集合A中任一元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应.4.①分段函数图象的特点及画法(1)特点：分段函数的图象可以是光滑的曲线段，也可以是一些孤立的点或几条线段.(2)画法：画分段函数的图象要分段画，当函数式中含有绝对值符号时，首先要根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后再画图象.②分段函数求函数值的步骤及注意点(1)步骤：①确定要求值的自变量属于哪一段区间；②代入该段的解析式求值，直到求出值为止.(2)注意点：当出现f（f（x0））的形式时，应从内到外依次求值.③列表法表示函数的使用范围及生活中的实例(1)适用范围：列表法主要适用于自变量个数较少，且为有限个，并且自变量的取值为孤立的实数，同时当变量间的关系无规律时，也常采用列表法表示两变量之间的关系.(2)生活中的实例：生活中经常见到的银行利率表、列车时间表、国民生产总值表等都是采用列表法.④图象平移变换的一般原则：(1)左右平移：y=f（x）的图象y=f（x+k）的图象.(2)上下平移：y=f（x）的图象 y=f（x）+k的图象.⑤作函数图象的三个步骤⑥求函数解析式的常见类型及解法(1)已知类型：函数类型已知，一般用待定系数法，但对于二次函数问题要注意一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），两根式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）的选择.(2)已知f（g（x））型：解答已知f（g（x））求f（x）型问题可采用配凑法，也可采用换元法(3)函数方程问题，需建立关于f （x ）的方程组，若函数方程中同时出现f （x ），f （1／x ），则一般x 用1／x 代之；若同时出现f （x ），f （-x ），一般用-x 代替x ，构造另一个方程.注意：求函数解析式时要严格考虑函数的定义域⑦映射与函数的相同点和不同点（1）相同点：①函数与映射都是两个集合中的元素的对应；②函数与映射分别都有三个要素；③函数映射的对应都具有方向性；④函数中的两个集合与映射中两个集合都是非空的；⑤对应类型只有：一对一，或多对一（2）不同点：①函数是一种特殊的映射，映射是函数的扩展；②函数中的两个集合是非空的数集，映射中的两个集合的元素是任意的课内自测1.某种笔记本的单价是2元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y 元．试用三种表示法表示函数y=f （x ）2.作业本每本0.3元，买x 个作业本的钱数y （元）. 试用三种方法表示此实例中的函数3.邮局寄信，不超过20g 重时付邮资0.5元，超过20g 重而不超过40g 重付邮资1元. 每封x 克（0<x ≤40）重的信应付邮资数y （元）,试写出y 关于x 的函数解析式，并画出函数的图象4.探究从集合A 到集合B 一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？（1）A={P|P 是数轴上的点},B=R ；（2）A={三角形}，B={圆}；（3）A={P|P 是平面直角体系中的点}，B=﹛（x ，y ）︱x ∈R ，y ∈R ﹜；（4）A={高一学生}，B={高一班级}.5.在下列对应关系中，哪些能构成A 到B 的映射？__________________6.设集合P={x|0≤x ≤4}，Q={y|0≤y ≤2}，下列的对应不表示从P 到Q 的映射的是( )A.f:x →y ＝12xB.f:x →y ＝13xC.f:x →y ＝23x D.f:x →y ＝x 7.下列对应是否是集合A 到集合B 的映射（1）A={1，2，3，4},B={2，4，6，8}，对应法则是“乘以2”；（2）A= R*，B=R ，对应法则是“求算术平方根”；（3）{}|0,A x x B =≠=R ，对应法则是“求倒数”.8.下列对应是否是集合A 到集合B 的映射？（1）A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则f:x →2x+1（2）A=N*,B=｛0,1｝，对应法则f:x →x 除以2得的余数（3）A=N,B=｛0,1,2｝，f:x →x 被3除所得的余数（4）设x=｛1,2,3,4｝,y=｛1,1／2,1／3,1／4｝,f:x →1／x（5）A=｛x ｜x ＞2,x ∈N ｝,B=N ，f:x →小于x 的最大质数9.已知集合A=｛a,b ｝,B=｛-1,0,1｝从集合A 到集合B 的映射，试问能构造出多少映射？10.已知f （3x-2）=6x-7，求f(x)的解析式11.已知f(x)是一次函数，且f 〔f(x)〕=4x+3，求f(x)的解析式12.已知函数f(3x-2)= x 2-2x+5,求f(x)的表达式13.画y=︱x+3︱+︱x-5︱的图像，并求值域14.函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+1x x 1x 1-x 1-x 322，，，x ,求f ｛f 〔f(-2)〕｝的值课堂达标1.如下图可作为函数()y f x =的图象的是（ ）2.函数|1|y x =-的图象是（ ）A B C D3.在映射:f A B →中，{(,)|,}A B x y x y R ==∈，且:(,)(,)f x y x y x y →-+，则与A 中的元素(1,2)-对应的B 中的元素为（ ）A.(3,1)- B.(1,3) C.(1,3)-- D.(3,1)4.下列对应:f A B →：①{},0,:;A R B x R x f x x ==∈>→②*,,:1;A N B N f x x ==→-③{}20,,:.A x R x B R f x x =∈>=→不是从集合A 到B 映射的有（ ） A.①②③ B.①② C.②③ D.①③5.如果f(1x )＝x 1－x ，则当x≠0时，f(x)等于( )A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x－1 6.已知f(x)＝2x ＋3，g(x ＋2)＝f(x)，则g(x)等于( )A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋77.若g(x)＝1－2x ，f[g(x)]＝1－x 2x 2，则f(12)的值为( ) A ．1 B ．15 C ．4 D ．30 8.一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x(x>0)B ．y ＝100x(x>0)C ．y ＝50x (x>0)D ．y ＝100x(x>0) 9.一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．310.一个弹簧不挂物体时长12cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上 3 kg 物体后弹簧总长是13.5cm ，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式为__________________11.已知函数y ＝f(x)满足f(x)＝2f(1x)＋x ，求f(x)的解析式12.已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x ＋8，求f(x)的解析式13.已知f（x-1）+2f（1-x）=2x，求f（x）的解析式14.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式15.已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f(x)的解析式16.已知函数f（x）=x2+ax+b的图象关于x=1对称，①求实数a的值；②若f（x）的图象过（2，0）点，求x∈[0，3]时f（x）的值域17.设A=B={（x，y）|x∈R，y∈R}，f：（x，y）→（kx，y+b）．是从集合A到集合B的映射，若B中元素（6，2）在映射f下对应A中元素（3，1），求k，b的值18.动点P从单位正方形ABCD顶点A开始运动一周，设沿正方形ABCD的运动路程为自变量x，写出P点与A点距离y与x的函数关系式，并画出函数的图象19.中国移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x分钟，两种通讯方式费用分别为y1,y2（元）. （1）写出y1,y2与x之间的函数关系式？（2）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？（3）若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？。