数学期望的计算方法及其应用
数学期望的原理及应用
数学期望的原理及应用数学期望是概率论中的一个基本概念，它描述了一个随机变量的平均水平或预期值。
具体地说，数学期望通过将随机变量的可能取值与相应的概率加权求和来计算。
数学期望的原理可以简单地表示为：对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X每个可能取值xi乘以对应的概率p(xi)的累加和。
数学期望的计算公式可以表示为：E(X) = x1*p(x1) + x2*p(x2) + ... + xn*p(xn)其中，x1, x2, ..., xn为随机变量X所有可能的取值，p(x1), p(x2), ..., p(xn)为对应的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的计算方法类似，只是将求和换成了求积分。
具体地说，对于一个连续型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X在整个取值范围上的每个取值x乘以对应的概率密度函数f(x)的乘积的积分。
数学期望的计算公式可以表示为：E(X) = ∫x*f(x)dx数学期望的应用非常广泛，以下列举了一些常见的应用场景：1. 风险评估：数学期望可以用于评估风险，通过计算损失的数学期望来衡量风险的大小。
例如，在金融领域中，投资者可以通过计算股票的预期收益来评估投资的风险和回报。
2. 制定决策：数学期望可以帮助人们在面临多个选择时做出决策。
通过计算不同选择的数学期望，可以找出最具有潜在利益的选择。
3. 设计优化：数学期望可以帮助优化设计过程。
例如，在工程领域中，可以通过计算产品的预期性能来指导设计参数的选择和调整。
4. 分析：数学期望被广泛应用于分析中。
游戏参与者可以通过计算不同下注策略的数学期望来制定最终的下注策略。
5. 统计推断：数学期望是许多重要的统计量的基础，如方差、标准差等。
通过计算数学期望，可以进行更深入的统计分析和推断。
6. 优化调度：在运输和调度问题中，数学期望可以用来优化资源的分配和调度。
通过计算任务完成时间的数学期望，可以制定最优的任务调度策略。
总之，数学期望是概率论中一个重要的工具和概念，它可以帮助我们理解和分析随机现象，并在很多实际问题中发挥重要作用。
数学期望的计算及应用
数学期望的计算及应用数学与应用数学111 第四小组引言：我们知道，随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述，而数学期望又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一。
因此，掌握数学期望的计算并应用他来分析和解决实际问题显得尤为重要。
在学习了概率论以后，我们计算数学期望一般有三种方法：1.从定义入手，即E(X)x k p k；2.应用随机变量函数的期望公式k 1E(q(x))q( x k ) p k 3. 利用期望的有关性质。
但是还是会碰到许多麻烦，这里我们将k 1介绍一些解决这些难题的简单方法。
在现实生活中，许多地方都需要用到数学期望。
如果我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后，将数学期望应用到现实生活中。
就可以解决许多问题，例如农业上，经济上等多个方面难以解决的难题。
下面就让我们来看看，除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的数学期望的方法。
1.变量分解法[1]如果可以把不易求得的随机变量 X 分解成若干个随机变量之和,应用E( X 1E2... E n ) E( X 1 ) E ( X 2 )...E ( X n ) 再进行求解得值，这种方法就叫做变量分解法。
这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题，因为每一种结果比较好计算，分开来计算便可以比较简单的获得结果。
例题 1 ：从甲地到乙地的旅游车上载有达一个车站没有旅客下车，就不停车，以20 位旅客，自甲地开出，沿途有10 个车站，如到X 表示停车次数，求E(X).( 设每位旅客在各个车站下车是等可能的)分析：汽车沿途10 站的停车次数X 所以可能取值为0，1，.，10，如果先求出X 的分布列，再由定义计算E(X) ，则需要分别计算{X=0} ，{X=1}，，{X=10} 等事件的概率，计算相当麻烦。
注意到经过每一站时是否停车，只有两种可能，把这两种结果分别与0，1 对应起来，映入随机变量X i每一种结果的概率较易求得。
概率中数学期望的变式应用
概率中数学期望的变式应用概率在数学中占据着重要的地位，而概率中的数学期望则是其中最基础的概念之一。
数学期望是描述随机变量平均取值的概念，它在很多实际问题中都有着重要的应用。
除了在基础的概率理论中的应用外，数学期望还有许多变式的应用，下面我们将介绍一些关于概率中数学期望的变式应用。
1. 条件数学期望在概率中，条件数学期望是一种非常重要的概念。
它描述的是在某一特定条件下的数学期望值。
假设有两个随机变量X和Y，我们可以通过条件数学期望来描述在Y取某个值的条件下，X的平均取值。
条件数学期望的计算公式为：E(X|Y) = ∑x P(X=x|Y) * xE(X|Y)表示在Y的条件下X的数学期望，P(X=x|Y)表示在Y的条件下X取值为x的概率，而x则表示X的可能取值。
条件数学期望的应用非常广泛，比如在统计学中用于描述在某一特定情况下的平均值；在经济学中用于分析在特定市场条件下的收益期望值等等。
2. 复合概率中的数学期望在复合概率中，数学期望同样有着重要的应用。
复合概率是指对多个概率事件同时发生的情况进行分析，而数学期望在复合概率中通常用于描述整体事件的平均结果。
在复合概率中，数学期望的计算方法与简单概率中类似，只是需要将多个随机变量的情况考虑进去。
假设有m个随机变量X1,X2,...,Xm，它们的概率分布函数为P(X1=x1,X2=x2,...,Xm=xm)，则它们的复合数学期望为：E(X1,X2,...,Xm) = ∑x1 ∑x2... ∑xm P(X1=x1,X2=x2,...,Xm=xm) * x1 * x2 * ... * xm复合概率中的数学期望可以应用于许多实际问题中，比如在工程中用于计算多变量系统的平均性能；在市场分析中用于描述多变量条件下的总体效益等等。
3. 离散分布中的数学期望概率中的数学期望通常用于描述随机变量的平均取值，而对于离散分布中的数学期望，则关注于描述离散型随机变量的平均结果。
《数学期望》课件
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
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连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
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目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
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引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策
数学期望的计算公式
数学期望的计算公式数学期望是概率论中的重要概念，用于描述随机变量在大量试验中的平均值。
数学期望常用于统计分析和决策模型的建立。
本文将介绍数学期望的计算公式，并举例说明其应用。
一、离散型随机变量的数学期望计算公式对于离散型随机变量X，其取值有限且可数，其概率分布可以用概率质量函数P(X=x)表示。
则X的数学期望E(X)计算公式如下：E(X) = Σ[xP(X=x)]其中，Σ表示求和运算，x表示随机变量X的取值，P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
例如，假设有一个骰子，其有6个面，每个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，且每个面的点数出现的概率相等。
我们可以通过计算骰子的数学期望来获取平均点数的预期值。
设随机变量X表示骰子的点数，则X取值为1、2、3、4、5、6的概率均为1/6，因此骰子的数学期望E(X)的计算如下：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5因此，通过计算可得，骰子的数学期望为3.5。
二、连续型随机变量的数学期望计算公式对于连续型随机变量X，其取值在某个区间上，其概率分布可以用概率密度函数f(x)表示。
则X的数学期望E(X)计算公式如下：E(X) = ∫[xf(x)]dx其中，∫表示积分运算，x表示随机变量X的取值，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
例如，假设有一个服从均匀分布的随机变量X，其取值范围在0到1之间。
我们可以通过计算随机变量X的数学期望来预测其取值的平均数。
设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则在0到1之间，f(x)的取值为1。
因此，X的数学期望E(X)的计算如下：E(X) = ∫[x * 1]dx = ∫xdx = 1/2因此，通过计算可得，随机变量X的数学期望为1/2。
综上所述，对于离散型随机变量和连续型随机变量，其数学期望的计算公式分别为Σ[xP(X=x)]和∫[xf(x)]dx。
13个期望计算公式
13个期望计算公式期望是概率论中的一个重要概念，它描述了一个随机变量的平均值。
在现实生活中，我们经常需要计算某种随机变量的期望，以便更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍13个常见的期望计算公式，帮助读者更好地理解和运用期望的概念。
1. 离散型随机变量的期望计算公式。
对于离散型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = Σx P(X=x)。
其中，x表示随机变量X可能取的值，P(X=x)表示X取值为x的概率。
2. 连续型随机变量的期望计算公式。
对于连续型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = ∫x f(x) dx。
其中，f(x)表示X的概率密度函数。
3. 二项分布的期望计算公式。
对于二项分布B(n,p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n p。
其中，n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率。
4. 泊松分布的期望计算公式。
对于泊松分布P(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = λ。
其中，λ表示单位时间（或单位面积）内事件发生的平均次数。
5. 几何分布的期望计算公式。
对于几何分布G(p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/p。
其中，p表示每次试验成功的概率。
6. 均匀分布的期望计算公式。
对于均匀分布U(a,b)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = (a+b)/2。
其中，a和b分别表示随机变量X的取值范围的下限和上限。
7. 指数分布的期望计算公式。
对于指数分布Exp(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/λ。
其中，λ表示事件发生的速率。
8. 正态分布的期望计算公式。
对于正态分布N(μ,σ²)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = μ。
其中，μ表示分布的均值。
9. 超几何分布的期望计算公式。
对于超几何分布H(N,M,n)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n (M/N)。
其中，N表示总体容量，M表示总体中具有成功属性的个体数量，n表示抽取的样本容量。
期望与方差计算
期望与方差计算在概率论和统计学中，期望与方差是两个重要的概念，用于描述随机变量的特征。
本文将介绍期望与方差的计算方法以及其在实际应用中的意义。
一、期望的计算期望（Expectation）是描述随机变量平均取值的指标。
对于离散型随机变量，期望的计算方法如下：设离散型随机变量X的概率质量函数为f(x)，则X的期望E(X)可表示为：E(X) = Σxf(x)其中，x为X的取值，f(x)为X取值为x的概率。
举例说明：假设某随机变量X的取值为1、2、3，对应的概率为0.2、0.3、0.5。
则X的期望可以计算为：E(X) = 1×0.2 + 2×0.3 + 3×0.5 = 0.2 + 0.6 + 1.5 = 2.3对于连续型随机变量，期望的计算方法也类似。
设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)，则X的期望E(X)可表示为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，x为X的取值，f(x)为X取值为x的概率密度。
二、方差的计算方差（Variance）是描述随机变量离散程度的指标。
方差的计算方法如下：设随机变量X的期望为μ，X的方差Var(X)可表示为：Var(X) = E[(X-μ)^2]方差等于随机变量与其期望的差的平方的期望。
举例说明：假设某随机变量X的期望E(X)为2.3，X的取值为1、2、3，对应的概率为0.2、0.3、0.5。
则X的方差可以计算为：Var(X) = [(1-2.3)^2 × 0.2] + [(2-2.3)^2 × 0.3] + [(3-2.3)^2 × 0.5] = 0.93方差的平方根称为标准差，是衡量随机变量离散程度的另一指标。
三、期望与方差的意义期望和方差是概率论与统计学中重要的描述随机变量特征的指标。
它们在实际应用中有着广泛的意义。
1. 期望的意义期望可以看作是随机变量的平均值，是描述随机变量取值的中心位置。
在实际应用中，期望可以用于评估风险和收益。
数学期望与方差的计算
数学期望与方差的计算引言数学期望与方差是统计学中两个重要的概念。
它们是描述一个随机变量分布特征的常用指标，对于理解和分析数据具有重要意义。
本文将介绍数学期望与方差的概念、计算方法以及它们的应用。
数学期望数学期望又称平均值，是描述一个随机变量的平均水平的指标。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：$$ E(X)=\\sum_{i=1}^n x_i p_i $$其中，X为随机变量，x i为随机变量可能取的值，p i为随机变量取每个值的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：$$ E(X)=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} x f(x) dx $$其中，f(x)为随机变量的概率密度函数。
数学期望可以理解为在大量重复实验中，随机变量平均取值的水平。
方差方差是描述一个随机变量分散程度的统计指标。
方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中。
方差的计算公式为：Var(X)=E[(X−E(X))2]方差可以理解为每个随机变量与其期望的偏差的平方的加权平均。
数学期望与方差的计算方法离散型随机变量对于离散型随机变量，计算数学期望的方法如下：1.计算每个随机变量取值对应的概率。
2.将随机变量取值与对应的概率相乘。
3.将所有结果相加，得到数学期望。
计算方差可以使用以下方法：1.计算数学期望。
2.将每个随机变量取值与数学期望的差值的平方相乘。
3.将所有结果相加，得到方差。
连续型随机变量对于连续型随机变量，计算数学期望的方法如下：1.计算随机变量的概率密度函数。
2.将随机变量的取值与概率密度函数相乘。
3.对结果进行积分，得到数学期望。
计算方差可以使用以下方法：1.计算数学期望。
2.将随机变量的取值与数学期望的差值的平方与概率密度函数相乘。
3.对结果进行积分，得到方差。
数学期望与方差的应用数学期望与方差作为描述随机变量特征的指标，在统计学和概率论中有重要的应用。
数学期望在实际问题中可以用于计算平均值，如统计学中的样本均值就是数学期望的一种估计。
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数学期望的计算方法及其应用数学期望的计算方法及其应用摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。
本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。
本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。
关键词：离散型随机变量连续型随机变量数学期望计算方法ABSTRACT：第一节离散型随机变量数学期望的计算方法及应用1.1利用数学期望的定义，即定义法[1]定义：设离散型随机变量Ｘ分布列为则随机变量Ｘ的数学期望E(X)=)(1iniix p x∑=注意：这里要求级数)(1iniix p x∑=绝对收敛，若级数[]2例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。
推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。
试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？解设Ｘ表示该推销人用船运送货物时每箱可得钱数，则按题意，Ｘ的分布为按数学期望定义，该推销人每箱期望可得=)(XE10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元1.2公式法对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。
（1） 二点分布：X~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p p 101，则()p X E =（2） 二项分布：),(~p n B X ，10 p ，则np X E =)( （3） 几何分布：)(~p G X ,则有p X E 1)(= （4） 泊松分布：)(~λP X ，有λ=)(X E （5）超几何分布：),,(~M N n h X ,有NM n X E =)( 例2 一个实验竞赛考试方式为：参赛者从6道题中一次性随机抽取3道题,按要求独立完成题目.竞赛规定：至少正确完成其中2题者方可通过,已知6道备选题中参赛者甲有4题能正确完成,2题不能完成；参赛者乙每题能正确完成的概率都甲、乙两参赛者正确完成题数的数学期望.解 设参赛者甲正确完成的题数为X ,则X服从超几何分布,其中6,4,3N M n ===,设参赛者乙正确完成的题数为Y ,则)32,3(~B Y ,2323)(=⨯==np Y E1.3 性质法利用数学期望的性质求期望，主要性质有：c c E =)( )()(X aE aX E = b X aE b aX E +=+)()( 其中X 为随机变量，c b a ,,为常数。
例3 某工程队完成某项工程的时间X (单位：月)是一个随机变量，它的分布列为（1）试求该工程队完成此项任务的平均月数； （2）社该工程队所获利润为)13(50X Y -=,单位为万元。
试求工程队的平均利润。
解（1）根据题意，我们可求平均月数为：111.0132.0123.0114.010)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E 月（2）由（1）知11)(=X E ，则可得 ))13(50()(X E Y E -=1001150650)(50650)50650(=⨯==-=-=X E X E1.5 利用逐项微分法这种方法是对于概率分布中含有参数的随机变量而言的，我们可以通过逐项求微分的方法求解出随机变量的数学期望，关键步骤是对分布列的性质11=∑∞=i ip两边关于参数进行求导，从而解出数学期望。
例5 设随机变量)(~p G X ，求)(X E 。
解 因为)(~p G X ，故1)1()(--==k p p k X P 其中10 p ,2,1=k则1)1(11=-∑∞=-k k p p （1）对（1）式两边关于p求导得()[]0)1)(1(1121=----∑∞=--k k k p k p p()()()()()01111111101)1(1111111121211=--+----=-+---∑∑∑∑∑∑∞=-∞=-∞=-∞=-∞=-∞=-k k k k k k k k k k k k p p p p kp p p p p p p p kp p根据数学期望的定义知：()()∑∞=--=111k k p kp X E 且知1)1(11=-∑∞=-k k p p因此上式可以写成：()011111=-+--PX E p p 从而解得()pX E 1=1.6 利用条件数学期望公式法条件分布的数学期望称为条件数学期望，它主要应用于二维随机变量()Y X ,。
在()Y X ,为二维离散随机变量场合下，其计算公式为：()()()∑=====iiiy Y x X P x y Y X E X E或()()()∑=====jjj x X yY P y x X Y E Y E例6 设二维离散随机变量()Y X ,的联合分布列为试求()2=Y X E 和()0=X Y E解 要求()2=Y X E ，首先得求()2=Y X P()25106.005.005.005.003.001.001.020=+++++===Y X P 同理可得()25321===Y X P()25522===Y X P()25523===Y X P()25524===Y X P ()25625===Y X P()()257825652554255325522530225=⨯+⨯+⨯+⨯++====∴∑=i i i Y x X P x Y X E用同样的方法，我们可得()20==X Y E 1.7 利用重期望公式法重期望是在条件期望的基础之下产生的，()y Y X E =是y 的函数，对y 的不同取值，条件期望()y Y X E =的取值也在变化，因此我们可以把()Y X E 看作一个随机变量。
重期望的公式是()()()Y X E E X E =,此公式的前提是()X E 存在。
如果是Y 一个离散随机变量，则重期望公式可改写成为()()()∑===jjjy Y P y Y X E X E例7 口袋中有编码为n ,,3,2,1 的n 个球，从中任取一球，若取到1号球，则得1分，且停止摸球；若取得i 号球)2(≥i ，则得i 分，且将此球放回，重新摸球。
如此下去，试求得到的平均总分数。
解 记X 为得到的总分数，Y 为第一次取到的球的号码，则()()()nn Y P Y P Y P 121=======又因为()11==Y X E ，而当2≥i 时，()()X E i i Y X E +== 所以()()()()(){}X E n n ni Y P i Y X E X E ni 12111-++++====∑=由此解得()()21+=n n X E第二节 连续型随机变量数学期望的计算方法及应用连续型随机变量的数学期望的定义和含义完全类似于离散随机变量的，只要在离散随机变量的数学期望定义中用密度函数()x p 代替分布列(){}i x p ，用积分是代替和式，即得到连续场合下数学期望的定义。
2.1 定义法[]4设连续随机变量X 有密度函数()x p ，如果积分()dx x p x ⎰+∞∞- 有限（收敛）， 则称 ()()dx x p x X E ⎰+∞∞-= 为X 的数学期望。
若()dxx p x ⎰+∞∞- 无限（不收敛），则说X 的数学期望不存在。
例8 设随机变量X 服从均匀分布，求它的数学期望。
解 由于()b a U X ,~，则它的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧-=01ab x p其他b x a则根据定义它的数学期望为()()⎰⎰-⋅==+∞∞-badx ab x dx x p x X E 1()2221222b a a b a b x a b b a+=--=-=可见，均匀分布的数学期望位于区间[]b a ,的中点，即均匀分布具有对称性，下一节中我们将介绍利用分布图像的对称性来求数学期望。
例9 密度函数为()()211x x p +=π +∞∞- x 的分布称为柯西分布。
其数学期望不存在，这是因为积分 ⎰∞+∞-+dxxx211π 无限。
2.2 特殊积分法连续型随机变量X 的数学期望为()()dx x p x X E ⎰+∞∞-=，在计算连续型随机变量X 的数学期望时，常常会用到一些特殊的求积分的性质和方法，如基函数在对称区间的积分值为0，还有第一换元积分等，都会给我们的计算带来简便。
例10 设随机变量()2,~σμN X ，证明()μ=X E ．证 在()X E 的积分表达始终做变换()dz dx dx dz x z ⋅==-=σσσμ即1,可得()()⎰∞+∞---=dxxeX E x 22221μμσπ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=+⋅=⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞--∞+∞--dz e dz ze dzez z z z 2222222121μσπμσπ由于上式右端第一个积分的被积函数为奇函数，鼓起积分为0，第二个积分恰为π2，故得()μ=X E ．2.3 利用特征函数特征函数的定义：设X 是一个随机变量，称()()itX e E t =ϕ ,+∞∞- t ，为X 的特征函数，设连续随机变量X 有密度函数()x p ，则X 的特征函数为()()⎰+∞∞-=dx x p e t itxϕ +∞∞- t根据上式，我们可以求出随机变量分布的特征函数，然后利用特征函数的性质：()()()kk kiX E 0ϕ=求出数学期望，即()()iX E 0ϕ'=．例11 设随机变量()2,~σμN X ，求()X E ．解 因为随机变量()2,~σμN X ，则X 的特征函数为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=2exp 22t t i t σμϕ其一阶导数为()()22222exp t i t t i t σμσμϕ-⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧-='则()μϕi ='0由特征函数的性质得()()μμϕ=='=ii i X E 0注：此题关键是球正态分布的特征函数，我们可以先求出标准正态分布的特征函数，在利用特征函数的性质求出正态分布的特征函数。