函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性

1．函数的奇偶性

奇函数偶函数

定义

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x

都有f(－x)＝－f(x)，那么函数

f(x)就叫做奇函数

都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做

偶函数

图象特征关于原点对称关于y轴对称

2.

(1)周期函数

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(√)

(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)

(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)

(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√)

(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)

(6)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)

(7)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×)

(8)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)

(9)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)

(10)若某函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√)

考点一判断函数的奇偶性

命题点 用函数奇偶性定义判断

[例1] (1)A ．y ＝x B ．y ＝e x C ．y ＝cos x D ．x x e e y --=

解析：对于A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B ，

f (－x )≠－f (x )，故不符合要求；对于C ，满足f (－x )＝f (x )，故不符合要求；对于D ， ∵f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，∴y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D.

答案：D

(2)下列函数中为偶函数的是( )

A ．y ＝1x

B ．y ＝lg|x |

C ．y ＝(x －1)2

D ．y ＝2x

解析：根据奇、偶函数的定义，可得A 是奇函数，B 是偶函数，C ，D 为非奇非偶函数． 答案：B

(3)函数f (x )＝3－x 2＋x 2－3，则( )

A ．不具有奇偶性

B ．只是奇函数

C ．只是偶函数

D ．既是奇函数又是偶函数

解析：由⎩⎨⎧

3－x 2≥0，x 2－3≥0，

得x ＝－3或x ＝ 3. ∴函数f (x )的定义域为{－3，3}．

∵对任意的x ∈{－3，3}，－x ∈{－3，3}，且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．

答案：D

[方法引航] 判断函数的奇偶性的三种重要方法

(1)定义法：

(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y 轴)对称．

(3)性质法：

①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；

②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；

③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．

判断下列函数的奇偶性

(1)f(x)＝(x＋1) 1－x

1＋x

；(2)f(x)＝lg

1－x

1＋x

.

解：(1)要使函数有意义，则1－x

1＋x

≥0，

解得－1＜x≤1，显然f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

(2)由1－x

1＋x

＞0⇒－1＜x＜1，定义域关于原点对称．

又f(－x)＝lg 1＋x

1－x

＝lg1)

1

1

(-

+

-

x

x

＝－lg

1－x

1＋x

＝－f(x)，f(－x)≠f(x)．故原函数是奇函数．

考点二函数的周期性及应用

命题点

1.周期性的简单判断

2.利用周期性求函数值

[例2](1)下列函数不是周期函数的是()

A．y＝sin x B．y＝|sin x| C．y＝sin|x| D．y＝sin(x＋1)

解析：y＝sin x与y＝sin(x＋1)的周期T＝2π，B的周期T＝π，C项y＝sin|x|是偶函数，x∈(0，＋∞)与x∈(－∞，0)图象不重复，无周期．

答案：C

(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－

1

f(x)

，且当x∈[0,2)

时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 017)＋f(2 019)的值为________．

解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－

1

f(x)

，

∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．