概率及其意义3
概率的定义及其确定方法
概率的定义及其确定⽅法1.2 概率的定义及其确定⽅法本节包括概率的公理化定义、排列与组合公式、确定概率的频率⽅法、古典⽅法、⼏何⽅法及主观⽅法。
主要介绍概率的定义，在排列、组合公式的基础上，利⽤频率⽅法、古典⽅法、⼏何⽅法及主观⽅法计算事件的概率。
概率是对随机事件发⽣可能性⼤⼩的数值度量。
1.随机事件的发⽣是带有偶然性的，但随机事件的发⽣的可能性是有⼤⼩之分的；2. 随机事件的发⽣的可能性是可以度量的，犹如长度和⾯积⼀样；3.在⽇常⽣活中往往⽤百分⽐来表⽰。
这⾥也是如此在概率论的发展史上，曾经有过概率的古典定义、概率的⼏何定义、概率的频率（统计）定义和概率的主观定义。
1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫⾸次提出了概率的公⾥化定义。
⼀、概率的公理化定义1.定义设Ω为⼀样本空间， F 为Ω上的某些⼦集组成的⼀个事件域，如果对任意事件A ∈F ，定义在F 上的⼀个实值函数P （A ）满⾜：（1）⾮负性公理：()0;P A ≥（2）正则性公理：()1;P A =（3）可列可加性公理：若12,,,n A A A 两两互不相容，有11()();n n n n P A P A +∞+∞===∑则称P （A ）为事件A 的概率，称三元素(,,)P ΩF 为概率空间。
1.并没有告诉我们应如何确定概率。
但概率的古典定义、概率的⼏何定义、概率的频率（统计）定义和概率的主观定义都是在⼀定的场合下确定概率的⽅法。
由于计算概率要⽤到排列与组合的公式。
2.概率是关于事件的函数。
⼆、排列与组合公式1.两⼤计数原理（1）乘法原理：如果某件事需要经过k 步才能完成，做完第⼀步有1m 种⽅法，做完第⼆步有2m 种⽅法，…，做完第k 步有k m 种⽅法，那么完成这件事共有12n m m m 种⽅法。
如某班共有45位同学，他们⽣⽇完全不相同的情况有365×364×363×…×321种。
（2）加法原理：如果某件事可由k 类不同的办法之⼀去完成，在第⼀类办法中有1m 种完成⽅法，在第⼆类办法中有2m 种⽅法，…，在第k 类办法中有k m种⽅法，那么完成这件事共有12n m m m +++ 种⽅法。
高中概率知识点总结
高中概率知识点总结高中概率知识点总结概率，又称或然率、机会率、机率（几率）或可能性，它是概率论的基本概念。
概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。
以下是小编整理的高中概率知识点总结，希望能够帮助到大家！高中概率知识点总结篇1一．算法，概率和统计1．算法初步（约12课时）（1）算法的含义、程序框图①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如，二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。
②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。
在具体问题的解决过程中（如，三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
（2）基本算法语句经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。
（3）通过阅读中国古代中的算法案例，体会中国古代对世界发展的贡献。
3．概率（约8课时）（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。
（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。
（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
（4）了解随机数的意义，能运用模拟（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）。
（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
2．统计（约16课时）（1）随机抽样①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。
②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。
③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。
④能通过试验、查阅、设计调查问卷等方法收集数据。
（2）用样本估计总体①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图（参见例1），体会他们各自的特点。
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
目录1.均匀分布 (1)2.正态分布（高斯分布） (2)3.指数分布 (2)4.Beta 分布（分布） (2)5.Gamma分布 (3)6.倒Gamma分布 (4)7.威布尔分布 (Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布 ) (5)8.Pareto 分布 (6)9.Cauchy分布（柯西分布、柯西 - 洛伦兹分布） (7)10.2.........................................................................7分布（卡方分布）11.t分布 (8)12.F分布 (9)13.二项分布 (10)14.泊松分布（Poisson分布） (10)15.对数正态分布 (11)1.均匀分布均匀分布 X ~ U (a,b) 是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
f (x)1b aa bE(X)2(b a)2Var ( X )122.正态分布（高斯分布）当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作X ~ N ( ,2 ) 。
正态分布为方差已知的正态分布N( , 2) 的参数的共轭先验分布。
1( x )2e 22f ( x)2E(X)2Var ( X )3.指数分布指数分布 X ~ Exp( ) 是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。
其中0 为尺度参数。
指数分布的无记忆性：P X s t | X s P{ X t} 。
f ( x)e x , x 0E(X )1Var( X )1 24. Beta 分布（分布）Beta 分布记为X ~ Be(a, b)，其中 Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。
如果二项分布B( n, p) 中的参数p的先验分布取 Beta (a,b) ，实验数据（事件 A 发生 y 次，非事件 A 发生 n-y 次），则 p 的后验分布Beta( a y, b n y) ，即 Beta 分布为二项分布B(n, p)的参数 p 的共轭先验分布。
概率第3讲
定义1 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同. 称这种试验为 古典概型.
二、古典概型中事件概率的计算
记 A={摸到2号球}
P(A)=? P(A)=1/10 记 B={摸到红球} P(B)=?
2
1 2 3 4 5 6 8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
若三个事件两互斥，则和的概率为 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)
例1.在所有的两位数10~99中任取一个数， 求这个数能被2或能被3整除的概率。
解：设A表示能被2整除，B表示能被3整除
P( A B) P( A) P( B) P( AB) 45 30 15 0.667 90 90 90
P(B)=6/10
记 B={摸到红球} P(B)=6/10
静态
动态
这里实际上是从“比例” 转化为“概率”
当我们要求“摸到红 球”的概率时，只要找出 它在静态时相应的比例.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间Ω由 n个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则 定义事件A的概率为： A包含的样本点数 P(A)＝k/n＝ Ω中的样本点总数
由于将一颗骰子抛掷4次,共有 6 6 6 6 =1296种等可能结果, 而导致事件 A ={4次抛掷中都未出“6”点} 的结果数有5 5 5 5=625种 因此
625 P( A) = =0.482 1296
P ( A) 1 P ( A ) =0.518
于是
例3 有r 个人，设每个人的生日是365天的 任何一天是等可能的，试求事件“至少有两 人同生日”的概率. 解：令 A={至少有两人同生日} 则 A ={ r 个人的生日都不同} 为求P(A), 先求P( A )
概率的基本概念
概率的基本概念概率是概念一层次的产物，是对人们观察、实验中一系列结果出现的可能性进行度量的数值。
概率理论是一种基本的数理工具，广泛应用于统计学、自然科学、社会科学以及工程技术等领域。
在本文中，将介绍概率的基本概念及其应用。
一、概率的定义概率的定义一直是概率论的核心问题之一。
根据古典概率、频率概率和主观概率三种学派的观点，概率可以有多种定义方式。
1. 古典概率古典概率是一种基于理论计算或样本空间的概率定义方法。
它假设所有可能的结果是等可能发生的，概率可通过事件发生的次数与样本空间大小的比例来计算。
2. 频率概率频率概率是一种基于实际观测结果的概率定义方法。
它通过统计实验重复进行，事件发生的频率趋于一个稳定值，这个稳定值就是概率。
3. 主观概率主观概率是一种基于主观判断的概率定义方法。
它依赖于个体的主观信念、经验和判断，是一种主观确定的概率。
概率的定义方式有时候是灵活的，可以根据具体情况选择合适的定义方法。
概率具有多种基本性质，下面介绍几个重要的性质。
1. 非负性概率的取值范围在[0,1]之间，即概率值不会小于0，也不会大于1。
2. 规范性样本空间的概率为1，即必然事件的概率为1。
3. 可加性对于两个不相容事件A和B，它们的概率之和等于两个事件分别发生的概率的和。
4. 完备性对于样本空间Ω中的任意事件A，事件A发生的概率加上事件A不发生的概率等于1。
三、概率的计算方法概率的计算可以通过多种方法进行，根据问题的特点选择不同的计算方法。
1. 古典概率的计算古典概率的计算方法是最简单的，只需要将事件发生的可能性个数除以样本空间的可能性个数即可。
条件概率是在给定其他事件已经发生的条件下，某一事件发生的概率。
条件概率的计算可以通过贝叶斯定理进行。
3. 边际概率的计算边际概率是指多个事件中某一事件发生的概率。
边际概率的计算可以通过联合概率和条件概率进行。
四、概率的应用概率在现实生活中具有广泛的应用，下面介绍几个常见的概率应用场景。
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
目录1. 均匀分布 (1)2. 正态分布（高斯分布） (2)3. 指数分布 (2)4. Beta分布（：分布） (2)5. Gamm 分布 (3)6. 倒Gamm分布 (4)7. 威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布） (5)8. Pareto 分布 (6)9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7)210. 分布（卡方分布） (7)8 11. t分布................................................9 12. F分布 ...............................................10 13. 二项分布............................................10 14. 泊松分布（Poisson 分布）.............................11 15. 对数正态分布........................................1. 均匀分布均匀分布X ~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
2. 正态分布（高斯分布）当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量 很可能服从正态分布，记作X~N （」f 2）。
正态分布为方差已知的正态分布N （*2）的参数」的共轭先验分布。
1 空f （x ）： —— e 2-J2 兀 o'E(X)， Var(X) _ c 23. 指数分布指数分布X ~Exp （ ）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。
其 中，.0为尺度参数。
指数分布的无记忆性：Plx s t|X = P{X t}。
f （X ）二 y oiE(X) 一4. Beta 分布（一：分布）f （X ）二 E(X)Var(X)=(b-a)2 12Var(X)二1~2Beta 分布记为X 〜Be(a,b)，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数 可凸也可凹。
概率论符号大全及意义
概率论符号大全及意义篇一：概率论是数学的一个重要分支，用于研究随机事件发生的规律和概率的数值计算。
在概率论中，使用了许多特定的符号来表示不同的概念和运算。
下面是一些常见的概率论符号及其意义的列表。
1. Ω：样本空间，表示所有可能的结果的集合。
例如，掷一枚硬币可能的结果是正面和反面，那么样本空间为Ω = {正面，反面}。
2. A, B, C, ...：事件，表示样本空间的子集。
例如，事件A可以表示掷一枚硬币结果为正面，事件B可以表示掷一枚硬币结果为反面。
3. P(A)：事件A的概率，表示事件A发生的可能性。
概率的取值范围在0和1之间，其中0表示不可能发生，1表示一定发生。
4. P(A')：事件A的补事件的概率，表示事件A不发生的可能性。
补事件是指与事件A互斥的事件，即在样本空间中不包含事件A的部分。
5. P(A ∪ B)：事件A和事件B的并集的概率，表示事件A或事件B发生的可能性。
并集是指包含事件A和事件B的所有可能结果的集合。
6. P(A ∩ B)：事件A和事件B的交集的概率，表示事件A和事件B同时发生的可能性。
交集是指包含同时满足事件A和事件B的结果的集合。
7. P(A|B)：在事件B已经发生的条件下，事件A发生的条件概率。
条件概率是指在已知一些附加信息的情况下，事件发生的概率。
8. E(X)：随机变量X的期望值，表示随机变量X的平均值。
期望值是对随机变量的所有可能取值进行加权平均得到的。
9. Var(X)：随机变量X的方差，表示随机变量X的离散程度。
方差是衡量随机变量取值分布离其期望值的平均距离的指标。
10. Cov(X, Y)：随机变量X和随机变量Y的协方差，表示随机变量X和随机变量Y之间的相关性。
协方差的正负值表示了两个随机变量之间的线性关系。
这些是概率论中常见的符号及其意义，它们在描述和计算随机事件的概率分布、相关性等方面起着重要的作用。
篇二：概率论是数学中的一个分支，研究随机现象的规律性与不确定性。
25.2.1 概率及其意义 华师大版数学九年级上册课件
知识点 1 概率及其意义
知1－讲
1. 概率的定义：一个事件发生的可能性就叫做该事件的 概率．
2．概率公式：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的 结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其
要点中精的析m：种用结公果式．P那(A么)＝事件m A. 求发概生率的值概的率试P(验A)特＝点mn ：.
解：根据题意可得：阴影部分面积为52＝25，
总面积为(3＋4)2＝49，
∴P(飞在阴影区域的概率是
25
.
49
知1－讲
归纳
知1－讲
对于飞镖投射阴影区域这类题的解法：首先根据题 意把数量关系用“图形”面积表示出来，用数形结合思 想解答．用阴影区域表示所求事件A，然后计算阴影区 域的面积在总面积中所占的比例，这个比例即事件A发 生的概率．
m
2.
n0≤ ≤1.
3. 2. 概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
4. 3．三种事件的概率：当A是必然事件时，P(A)＝1；
5. 当A是不可能事件时，P(A)＝0；
6.
当A是随机事件时，P(A)满足0＜P(A)＜1.
知2－讲
【例3】 班级里有20位女同学和22位男同学，班上每位同 学的名字都被分别写在一张小纸条上，放入 一 个盒中搅匀.如果老师随机地从盒中取出1张纸条， 那么抽到男同学名字的概率大还是抽到女同学名 字的 概率大？
20 22 21
21 21
所以抽到男同学名字的概率大.
知2－讲
（来自教材）
知2－讲
【例4】 甲袋中放着22个红球和8个黑球，乙袋中放着200个 红球、80个黑球和10个白球.三种球除了颜色以外没 有任何其他区别.两袋中的球都已经各自搅匀. 从袋 中任取1个球，如果你想取出1个黑球，选哪个袋成 功的机会大呢？