空间变异函数的数学模型及参数反演
变异函数及结构分折
型也称块金效应型。这种类型说明变异函数 (h) 连续性差。当 h 增大时， (h) 又可逐渐变 得比较连续。
3 变异函数的功能
（2） 变异函数在原点处的性状反映变量的空间连续性
（d） 随机型 当 h 0 时， (h) C0 ，当 h 增大时， | h | 时， (h) 仍是在 C0 附 近摆动，无论 h 多么小，区域化变量 Z ( x) 与 Z ( x h) 总是不相关。这种类型称随机型，也 称纯块金效应型。 它反映了区域化变量完全不存在空间相关的情况、 或者说反映了变量是普 通的随机变量。这时 C0 等于先验方差， Var[Z ( x)] C0 。 （e） 过渡型 当 h 0 时， (h) C0 ，当 h=a（a 为变程） ，
h 0 h 0
1. 变异函数图结构分析
块金方差：主要来源于远小于抽样间距的空间尺度上
存在的差异。块金方差的大小直接限制了空间内插的精
度，如果实际的样本方差图主要表现为块金效应，即随 的增加变异函数的变化近似于一水平线，说明了在最小 抽样间距以上的空间尺度上不存在自相关性，这种结果 也意味着可能存在一个比抽样间距更加小的空间自相关
3 变异函数的功能
（4） 块金常数 的大小可反映区域化变量的随机性大小
C (0) 0 ，即先验方差不小于零。 C (h) C (h) ，即 C (h) 是对 h=0 的直线对称。
| C (h) | C (0) ，协方差函数绝对值小于等于先验方差。
| h | 时， C (h) 0 ，或写作 C () 0 。 C (h) 必须是一个非负定函数 （即由 C ( xi x j ) 构成的协方差函数矩阵必须是一个非
负定矩阵） 。
2 变异函数的性质
地球物理反演
三维反 演成像
地下储 层剩余 油分布m
地球物理正反演研究对象 1、模型m：物性参数和几何参数 2、异常数据d：一系列有限的有误差的离散的 观测值 3、 m和d数学物理关系：非线性问题d=f(m)， 线性问题d=Gm（课程 重点） 数据是模型的函数（泛函）， 它是连接模型和数据的“纽带”
地球物理正反演研究对象
地球物理反演——模型构制
非线性反演
d=f(m)
（1）梯度法：传统的最速下降法 （2）尝试法：从初始模型 出发，通过 mo 正演做反演，可以人机交互联作 （3）人工神经网络（ANN）法 （4）蒙特卡洛法 （5）模拟退火法 （6）遗传算法 （7）多尺度反演法
地球物理反演——多解性问题
多解性问题：地球物理勘探反演解释中共 同存在的问题 原因至少有二， 1 、观测的异常数据通常是有限的和离散的； 2 、地球物理问题本身固有的。 以磁异常的反演为例，决定磁异常特征的 两个主要因素是场源的几何因子（形态、位置） 和物性因子（磁化强度的大小、方向）。当这 些因素不同的组合时可以获得相同的磁异常分 布特征。以下为三个反演多解性的典型例子。
线性反演
d M GM N mN
（1）M=N=r时，——克莱姆法则 （2）M>N=r时，超定问题—— 最小二乘法模型 （3）N>M=r时，欠定问题—— 解的欧几里德长度为最小模型 （4）Min(M,N)>r时，混定问题—— 阻尼最小二乘法模型（马奎特方法） (r为矩阵G的秩)
2.1 线性反演问题的最小方差解
数据拟合
T
最小方差解
1 T
最小范数解
模型最短
m (G G) G d
N阶
m GT (GGT )1 d
M阶
生命科学中的反演问题
生命科学中的反演问题反演问题在生命科学研究中具有重要的地位。
反演问题是指根据已知的观测数据推断未知的模型参数。
在生命科学中，反演问题包含了众多应用，如药物发现、基因表达、蛋白质结构等。
通过反演问题，我们可以从实验数据中挖掘出隐藏在其背后的生物学规律，有助于生命科学的研究进程。
一、反演问题的数学模型反演问题需要数学方法进行建模，我们以蛋白质结构预测为例。
蛋白质结构的预测就是从蛋白质的氨基酸序列中预测其空间结构。
这是一个典型的反演问题。
由于蛋白质结构过于复杂，我们不能通过实验手段直接测定其具体结构。
因此，需要通过一定方法预测出蛋白质的结构。
我们可以将蛋白质的结构表示为参数向量，将氨基酸序列表示为观测数据。
然后我们利用数学模型，通过观测数据推断出参数向量，即蛋白质的结构。
这个数学模型就是把蛋白质结构和氨基酸序列之间的关系表示出来，这里，强调一下：这个模型并不是精确的，精确模型是不可能的，我们需要一个描述蛋白质和氨基酸之间关系的近似模型。
在这个数学模型中，我们需要找到一种表示蛋白质和氨基酸之间关系的函数，又称之为能量函数，记作E(x,θ)。
其中x为蛋白质结构的参数向量，θ为能量函数的参数向量。
我们的目标就是通过观测数据推断出θ的值，然后用θ来计算蛋白质结构的函数x。
这个问题就被转化为一个优化问题，即最小化观测数据和模型计算得到的蛋白质结构之间的距离，通过最小距离获得θ的值。
二、反演问题的一些难点反演问题在生命科学研究中存在很多难点。
一是数据不确定性。
生命科学研究中的实验数据很多都具有高度噪声，这使得观测数据的可信度比较低，这就需要在模型中考虑如何捕捉数据的不确定性。
二是模型选择问题。
反演问题的结果往往取决于所使用的数学模型以及所选择的先验假设，模型不对、先验不合理会影响结果的可靠性。
三是计算复杂度高。
由于反演问题的复杂性，计算时间是一个非常大的问题。
在处理大规模生物数据时，解决反演问题的速度通常是非常慢的。
空间变异函数的数学模型及参数反演
∑ Ａ （ √ ＋ ＝ｙｈ ） ｉ ｈ） ｙ （ｉ ， ０
ｉ ：１
∑Ａ ：１
（） １
∑Ａ （ ，） 。 Ｙ ｚ ｉｉ
ｉ 】 ＝
式 （ ） ： 为 ｚ ｘ ，ｉ 克 里 格 权 重 ， ｉ 点 １中 Ａ （ Ｙ）的 ｈＪ为
２１ ００年 ４月 １日收 到 河 北省 ２０ ０ ９年 水 利 科研 与 推 广 计 划项 目
滦 河流域降水量空间插值实例表 明， 交叉检验均方差降幅分别为 ｌ ．％和 ２ ．％ 。 １７ ９８ 关键词 空间变异 函数 数学模型 参数反演 克里格方程组 交叉检验 方差 降水量空间插值
中图法分类号
Ｐ３ ． ； ３ ２４
文献标志码
Ａ
克 里格 （ ｒ ｉｇ 方法 最早 是 由南 非 采 矿 工程 Ｋｉｎ ） ｇ
（ ≤ ≤ １ ０ ）。则椭 圆上 ０ 向上 的点 Ｐ 到椭 ０ ８。 方 圆圆心 的距 离 Ｐ ０ ， ）可 以作 为 该 方 向上各 向异 （， ｂ
１ 空间变异函数的数学模型
１ １ 普通克 里格方 程组 ．
设 随机 变 量 Ｚ（ Ｙ ， ）有 个观 测值 ｚ ｘ ，。 ， （ Ｙ） ｉ＝ １２ ， ，… ， ， ｎ 则随机 变量 ｚ Ｙ （ ）在 Ｘ ， Ｙ平 面 上任 意
一
点 （ Ｙ ，）处 的估 值 ２ （ Ｙ ，）可 以普通 克 里 格 方
考虑 变 程 各 项异 性 的模 型 ， 之 为 Ａ 称 Ｅ模 型 ； 一类 是 只 考虑 拱 高各 项 异 性 的模 型 ， 之 为 Ｃ 称 Ｅ模 型 。传 统 的方 法 需 要先 进 行 空
间变异函数的拟合 ， 然后进行克里格估计。交叉检验方差是评价估计精度 的一项 重要指标 。根 据克里格 方程组的重要性质 ， 克里格估值仅 与标准变异函数有关， 对标准变异函数进行线性变换得到新的变异 函数不会 改变克 里格估值和交叉检验方差。
反演理论-3
1833 (u ) u 2 du 0 1 909 .5 (u )u 4 du 0
2
1
Yangtze University
• 反演理论
二 参数化模型反演
两个数据的地球密度问题
15
参数化模型线性反演理论—例解
假定地球密度为 3个常数，分界面在u1
199 196 和u2 。 200 200
Yangtze University
• 反演理论
二 参数化模型反演
7
参数化模型线性反演理论—纯欠定问题的最小模型解
观测数据的个数( M )小于模型参数的个数( N ) 并且G的秩r (G ) M N M个方程互不相关，也不矛盾。 对欠定问题有无穷个解。 观测数据量不够，不足以确定模型。 只能挑选一个特解。 假定地球模型服从“最简单”结构原则，采用 模型能量最小作为找特解的准则是合适的。
G T G 2 I也是N N的方阵， r (G T G 2 I ) N , 逆矩阵存在，非奇异； G T G 2 I的条件数为 C2 G G I
T 2
1
max 2 G G I 2 2 min 2
T 2
通过调节 2 的大小可使C2的条件数降低，使求解变成良态。
根据地球总质量和转动惯量确定1、 2和 3 为欠定问题 : 1833 a111 a12 2 a13 3 909 .5 a211 a22 2 a23 3 有无穷多个解。 只能求某个特解。 例如：模型能量最小解m G GG
T
1833 1 (u ) u 2 du 0 1 909 .5 (u )u 4 du 0
m (G T G 2 I ) 1 GT d 混定 N 1 N M M N ( N N ) N M M 1
时空CoKriging的变异函数建模
时空CoKriging的变异函数建模胡丹桂;舒红;胡泓达【摘要】在对地观测中,所研究的地学变量不仅具有时间、空间特征,还受其他变量的影响,采用多元时空相关数据,可以提高时空估值的精度.时空CoKriging是多元时空插值中一种常用的方法,建立时空变异函数和协变异函数是时空CoKriging插值的关键一步.以东北三省为试验区,利用该地区气象站观测数据的月平均空气相对湿度为主变量,引入同时间同位置的月平均空气温度作为协变量,对空气相对湿度和空气温度进行时空变异函数和时空协变异函数建模.实验结果表明,采用和度量时空模型的时空变异函数的随机性空间结构建模的实际拟合效果较好.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(049)004【总页数】8页(P596-602,622)【关键词】多元时空变量;和度量模型;变异函数;空气相对湿度【作者】胡丹桂;舒红;胡泓达【作者单位】武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室,武汉430079;武汉职业技术学院计算机学院,武汉430074;武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室,武汉430079;武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室,武汉430079【正文语种】中文【中图分类】P208地统计学是以区域化变量理论为基础，以变异函数为工具，研究那些在空间分布上既有随机性又有结构性的自然现象的科学.在自然科学及社会科学领域，有些变量不仅具有空间特征，而且具有时间特征，这时要把所研究的变量看成是时空随机函数.时空插值方法已成为解决时空离散点到连续体上的一种必不可少的映射方法，时空克里金是时空插值法中常用的一种方法[1].Marc G.Genton[2]，Matthew W. Mitchell [3]等对可分离时空协方差函数进行了理论研究和测试，对其优缺点进行了深入的探讨；Cressie and Huang[4]，Chunsheng Ma [5]，E. Porcu [6]，Gneiting[7]等提出了不可分离的，平稳的协方差函数，允许时空交互；徐爱萍[8]，L.De Cesare[9]，D.E.Myers [10]，S. De Iaco [11]等将积和模型应用于时空变异函数模型的建立中.他们虽然考虑到了时间空间特征，但仅局限于单变量.相对照，传统的多元统计分析方法虽然考虑了多变量，却很少考虑到多元信息的空间特征.但是，在诸如水文、石油、土壤、农林、大气和环保等科学研究中，所研究的变量不仅具有时间、空间特征，而且还在时间空间域中受其他相关变量的影响.将克里金法应用于时空多元变量的插值研究中，一方面需要将克里金法进行时空扩展，另一方面将单变量插值的克里金扩展到多变量协同克里金.建立有效的多元时空协方差变异函数模型是研究时空协同克里金插值的关键一步.因此，本文将传统地统计学扩展到多元时空地统计学，构建多元时空变异函数及协变异函数.以东北三省72个气象站点1996年～2005年的月均空气相对湿度数据为例，以同时间同位置的月均空气温度为协变量，为时空协同克里金插值建立时空变异函数和时空协变异函数.采用了和度量变异函数模型来拟合变量的时空变异结构，将气象要素模拟从空间维扩展至时空维.同时，考虑了气温数据对相对湿度的影响，在拟合相对湿度变异函数的过程中，加入了气温作为协变量，将时空克里金插值扩展到了时空协同克里金插值.1.1 区域和数据介绍实验研究的是我国东北三省(黑龙江、吉林、辽宁)，站点地处38.90°～52.97°N，119.70°～132.97°E之间.地面观测台站所观测的资料来自1996年1月～2005年12月东北三省月空气相对湿度.本实验数据通过中国气象科学数据共享服务网获取，共有观测站点87个，由于部分站点数据严重缺失，实验只采用72个观测站数据，站点分布如图1.实验数据为1996年1月～2005年12月的月平均相对湿度和月平均气温值.由于空气相对湿度与空气温度相关性较好，我国东北地区，冬季干燥、夏季湿润，空气温度对空气湿度有着一定程度的相关影响，故选取空气温度为协变量.在实验中，对空气湿度和空气温度分别进行时空变异函数及两者的协变异函数拟合.1.2 数据预处理时空变异函数构造的重要前提是假设时空变量满足二阶平稳.时空空气相对湿度、空气温度数据可以看作为空间站点上的时间序列，时间序列一般包括：周期项、趋势项、随机项.因此空气相对湿度变量的时间序列分解为：式中为周期项为趋势项为随机项为时间序列.随机项 R(t)满足二阶平稳，以塔河站观测时间序列分解为例.图 2是将观测空气湿度时间序列分解为趋势项、周期项和随机项；图 3是将观测空气温度时间序列分解为趋势项、周期项和随机项.可以看出从1996年 1 月到 2005 年 12 月10年的月平均空气湿度及月平均空气温度均存在明显的周期性，不利于时空变异函数建模.但是时间序列没有存在明显的趋势，因此，只对数据进行去周期项处理.为保持数据连续性和整体趋势变化，时间序列分解后的趋势项和随机项保留，因为趋势项不明显，对数据平稳性影响不大.采用时序分解中的加法模型，将变量的周期项提取出来，余下的部分用于时空插值实验.用自相关图检法[12]判断去周期数据的平稳性，如图 4图 5所示，空气相对湿度和空气温度他们的时间序列的自相关系数(ACF)均随延迟时期数很快衰减到±0.1以内，图示表明去周期项后数据近似平稳.空气湿度和温度变量在空间上也要满足二阶平稳，将每一测站上的时间序列经过去周期项后计算移动平均值，根据移动平均值探索空间空气湿度和温度的变化趋势.用空间散点图展示空间分布趋势，图 6是对湿度空间站点数据趋势面的拟合.通过实验对比，发现不管是湿度还是温度均采用3次多项式(2)进行拟合，具有较好的拟合效果.式中，value为月均空气湿度，x，y为空间坐标信息，a，b，c，d，e，f，g为3次多项式通过拟合得到的系数.去除趋势后空间数据分布呈现平稳性，图 7是月平均空气湿度站点数据去空间趋势后拟合面.分别对空气湿度和空气温度各站的时间序列进行平稳性处理再对整个空间数据进行平稳处理，最终满足构造时空变异函数的前提条件，即随机变量近似时空上的二阶平稳.时空多元信息统计学是以协同区域化变量理论为基础，以互变异函数为基本工具，研究那些定义于同一时空域中，既有统计相关又有空间位置相关及时间序列相关的多元时空结构自然现象的科学.所谓协同区域化是指那些在统计意义上及时间序列和空间位置上均具有某种程度的相关性并且定义于同一时间序列及空间域的区域化变量.是一个多元的时空随机场[13]，且式中一般d≤3)表示空间坐标，而t∈T为时间坐标.多元时空随机场的一种简单情况是二元时空随机场.时空协同克里金最普遍的情况是增加一个相关的协变量，来提高对主变量的插值精度，例如，空气相对湿度和空气温度.时空协同克里金(CoKriging)法的插值公式：式中为(s，t)0处空气湿度估算值；Z1(s，t)1i为各点空气湿度；λ1i为赋予各个站点空气湿度的一组权重系数；Z2(s，t)2j为各点空气温度；λ2j为赋予各个站点温度的一组权重系数；N1、N2分别为空气湿度和空气温度用于湿度插值站点数，其中N1≤N2.2.1 时空直接变异函数建模假设Z={Z(s，t)，s、t∈Rd+1}(d+1表示欧式空间维加时间维)表示为时空随机场，设定时空随机场中两位置的时空距离h=(hs，ht)， hs为矢量，代表样本空间距离同时也包含方向信息，ht为样本时间距离.当Z(s，t)满足二阶平稳时可定义其协方差函数为[9]：显然，协方差函数只与距离有关，与空间和时间位置无关.在地统计学中，随机变量Z(s，t)的期望不变(时空二阶平稳性)，协方差矩阵具有对称正定性.理论上，满足下列要求的连续函数可以定义为有效变异函数[9]：1)可分离时空协方差模型地统计学中协方差函数模型(如球状模型、指数模型和高斯模型等)不能直接用于时空随机变量的统计分析，必需进行时空扩展.如果一个随机场Z的时空协方差函数可完全表示成纯空间和纯时间协方差函数相乘，则该时空协方差函数被认为是可分离的 [14].Mitchell Genton， Gumpertz(2005) [3]，MontserratFuentes(2004)[15]等文献中提出了可分离型模型.这类模型相对容易构建，且计算机实现插值效率较高，但往往要求一些比较理想的假设 [16-17]，损失了精细的时空结构信息或丢失了时空交互信息.可分离型时空协方差函数可表示为：式中,C(hs，ht)是变量的时空协方差函数， Cs(hs)、Ct(ht)分别是纯空间协方差和纯时间协方差函数.Cs(hs)、Ct(ht)的具体形式有多种选择，或者同为一种模型，比如高斯模型，或者为不同模型，比如Cs(hs)为球形模型，Ct(ht)为指数模型，或是其他满足正定条件的函数.2)时空积和模型另一类称为不可分离型时空协方差函数，它是将已知的纯空间协方差与纯时间协方差函数通过加乘、混合、积分等变换得到.积和式变异函数来拟合时空地理数据的时空变异结构，协方差函数和变异函数如下[9]：式中， C(hs，ht)为时空协方差，Cs(hs)为空间协方差， Ct(ht)为时间协方差，γ(hs，ht)、γs(hs)、γt(ht)分别是对应的时空、空间、时间变异函数，而C(0，0)、Cs(0)、Ct(0)分别是对应的基台值.这里，假定γ(0，0)=γs(0)=γt(0)=0，满足k1>0、k2≥0、k3≥0，并通过正定条件由下式决定，推导过程见文献[18]：3)时空和度量模型时空和度量模型也是不可分离时空变异函数模型.采用和度量模型变异函数来拟合时空地理数据的时空变异结构，协方差函数可以表示为[19]：式中，C(hs，ht)是空间间隔距离为hs，时间间隔距离为ht的协方差函数；Cs(hs)+Ct(ht)考虑了带状异向性(在不同方向上有不同变异函数基台值)；而考虑了几何异向性，它其实是度量模型[20]，度量模型是通过一个各向异性比率α，把时间距离单位转换成空间距离单位，因为空间距离和时间距离的量纲不同.比如，α为20 km/d，表示时间距离上的1 d相当于空间距离上的20 km.把这3个协方差函数参数化为普通结构后，如指数模型、球状模型、高斯模型等.完整的和度量协方差函数模型一共包含10个不同参数：纯时间协方差函数的块金、基台值和变程，纯空间协方差函数的块金、基台值和变程，时空协方差函数的块金、基台值和变程以及一个各向异性比率α.时空和度量变异函数为[19]：2.2 时空协变异函数建模在使用时空CoKriging来研究变量的时空变异性时，关键的一步就是决定变量之间的时空协变异函数.它用来描述两变量之间交叉的时空连续性.协变异函数定义为：式中为同一位置上的两个不同变量为月均空气湿度为月均空气温度.在实际计算中，不需要直接利用以上定义来计算协变异函数，可用以下比较简单的方法来间接求得[21].先定义一个新的变量：即在同一个位置上，将两个变量的样本数值相加，所得之和即是新变量在该点的样本值，然后计算新变量的变异函数：而这一新变量的变异函数与原变量的变异函数和协变异函数有如下关系：因此可得：式(18)表明，要求出γ12(hs，ht)，先分别拟合得到分别采用时空可分离模型、时空积和模型、时空和度量模型3种不同的时空结合方法，对两个时空变量空气湿度和空气温度，采用时间去周期空间去趋势后的残差，来拟合时空变异函数.如图 8是空气相对湿度的残差的时空经验变异函数和理论变异函数.图 9是空气温度的残差的时空经验变异函数和理论变异函数.并采用均方根差RMSD(root-mean-squared-difference)指标来判断一个经验变异函数拟合的好坏.表1分别是3种不同方法得到的模型的RMSD值，从表 1可以看出，针对这两个时空变量，和度量时空模型的拟合效果最好.本实验中，采用和度量时空模型来建立空气湿度的残差和空气温度的残差的时空变异函数.图10是将空气湿度的残差和温度的残差之和作为一个新变量，这个新变量的经验变异函数和经和度量时空模型拟合的理论变异函数.使用和度量模型中的时空变异函数模型拟合数据，其中球状模型被选为空间和时间变异函数，等式右边第3项度量时空变异模型为指数模型[19].这3个组件都具有块金(C0)，偏基(C1)和变程(r)的参数，度量时空变异模型还有各向异性比这个参数，一共10个参数.表 2是空气相对湿度的残差，使用和度量模型拟合时空变异函数的10个不同参数的值.表 3是空气温度的残差，使用和度量模型拟合时空变异函数的10个不同参数的值.表 4是空气湿度残差与温度残差之和，使用和度量模型拟合时空变异函数的10个不同参数的值.经过和度量时空模型拟合后，空气湿度残差的理论变异函数γ11为：γ11(hs，ht)=1.01+7.41×经过和度量时空模型拟合后，空气温度残差的理论变异函数γ22为：经过和度量时空模型拟合后，空气湿度残差和空气温度残差之和的理论变异函数为：所以，根据式(18)，空气湿度的残差和空气温度的残差时空协变异函数γ12为：等式(22)右边的已由式(19)、(20)、(21)求出.式(19)γ11、式(20)γ22分别是空气湿度和空气温度的直接变异函数，式(22)γ12是空气湿度和空气温度的协变异函数.求出了γ11、γ22、γ12，就可以得到时空协同克里金插值公式(4)中的λ值，从而可以完成时空协同克里金插值.有效的变异函数模型是克里金插值的基础，本文的重点对时空协同克里金的变异函数进行建模分析.在拟合变异函数之前，首先对变量进行时间上去周期，空间上去趋势处理，以保证时空变量的平稳性.得到插值结果后，必须先将其加上之前去除的周期项和趋势项，才是最终估计结果.结果表明，空气相对湿度和空气温度在纯空间和纯时间上均符合球状模型，并且分别用3种不同的方法对这两个变量进行时空变异函数建模，发现在可分离模型、积和模型、和度量模型这3种模型中，和度量模型的拟合效果最好.完成时空直接变异函数拟合后，最后根据D.E.Myers[21]提出的方法，进行时空协变异函数建模.本文研究了多元时空数据进行时空直接变异函数和时空协变异函数的建模，不仅考虑了时间空间信息，而且还考虑了其他协变量.时空变异函数是时空克里金插值模型的权重参数构建的基础，对后续的时空协同克里金插值精度影响非常大.后续研究中，将研究大样本下的时空协同克里金插值结果(估计量)的统计性质(无偏、最优、相合性、线性插值结果的渐近正态性)，发展适应性多元时空统计模型应用于多个地学领域时空数据分析并评价插值精度.【相关文献】[1] 李莎，舒红，徐正全. 利用时空Kriging进行气温插值研究[J].武汉大学学报:信息科学版，2012， 37(2)：237-241.[2] Genton M G. 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离散对称性-空间反演
20
当然, 对于势垒很高的情形, 振荡频率 将很小， 因而振荡周期 T = 2 非常大.
譬如, 对于心脏的例子, 初始时刻位于身体的左边, 由于势垒很高, EA ES 很小, 故从左往右的隧穿所 需时间巨大(可比拟于宇宙年龄), 因此, 所观察到的 宇称非对称性在这里可解释为初始状态的不对称, 而无须借助于宇称不守恒.
(T -1r) T -1r
r ΠT T -1r
3
任意 r ΠT T -1r
Π T r Π 1T r T -1r (a)
又 ΠT ΠT -1 ΠTT -1 ΠI I
Π-1T Π T -1
(27)
33
就定义式而言
TQT 1 Q TPT 1 P TLT 1 L
在{|x}表象中
Q x P i L x i
K
x
xK
-1
x
x
K
x
PK
-1
x
P
K
x
LK
-1
x
L
34
动量表象
T ? K( p)
35
(t) d p p p (t) d p ( p,t) x T (t) d p ( p,t)T p
下面我们先对这第二种解释通过一个简单的例 子来作一说明：
18
双势阱的例子 在双势阱V(x)中运动的粒子
有一对称基态S , 能量为ES . 第一激发态为反对 称态A, 相应的能量为EA, EA 稍高于ES . 若势垒无穷高, 则 EA - ES 0, 相应的S 和 A
岩土参数空间变异性分析原理与最优估计模型_张征
第18卷第4期岩土工程学报Vo l.18N o.4 1996年7月Chinese Jour nal of Geotechnical Eng ineering July,1996岩土参数空间变异性分析原理与最优估计模型张征(中国矿业大学北京研究生部岩土工程研究所,100083)刘淑春(河北煤炭建筑工程学院水文地质与工程地质系,邯郸,056038)鞠硕华(哈尔滨建筑大学建筑设计研究院,150006)文摘岩土参数的不确定性和离散性是岩土工程的特点之一。
本文分析了岩土参数不确定性产生的主要原因,探讨了岩土参数空间变异性分析的原理、方法和步骤,并针对岩土参数的离散性,研究了它的空间最优估计问题。
关键词岩土参数,不确定性,离散性,结构分析,空间最优估计。
1问题的提出岩土参数的不确定性和离散性,是工程地质勘察、岩土工程勘察与设计中普遍存在的客观实际问题。
一般来讲,岩土参数可以通过原位测试、室内试验或原型监测获得,但自然界中的岩土材料多具有复杂的非均质各向异性的特点,这就给岩土参数的准确选择与空间估计带来了困难。
将岩土参数视为纯随机变量的经典概率统计已无法满足目前对岩土参数空间变异性作出客观分析与评价的需要。
正确认识产生岩土参数不确定性的原因以及对岩土参数空间变异性的客观分析,是选择符合实际的岩土参数空间估计模型的基础。
2岩土参数的不确定性及其表征变量211岩土参数不确定性产生的原因岩土参数的不确定性根据其产生原因可以划分为两类,一类是由岩土性质的空间变异性所引起的不确定性;另一类则是由取样、测试中的失真与量测误差所引起的。
(1)岩土性质的空间变异性非均质各向异性是自然界中大多数岩土体所具有的共同特征,因而决定了岩土体的各种性质具有明显的空间变异性。
但这种变异性本身并不是纯随机的,而是具有确定性与随机性的双重性质。
它一方面受到岩土体组成、结构和构造以及赋存环境中各种局部的、不规则和不确定性的复杂因素的影响,表现出随机变异的特点;另一方面又受到岩土体形成和后期改造过程中多种宏观规律的控制,表现出确定性变异的特点,从而使得岩土参数在空间不同位置的取到稿日期:1994-11-20.值既有随机性,亦有空间分布上的统计平均规律性,即结构性。
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４３７４科学技术与工程１０卷４结论
（１）根据克里格方程组的重要性质，可以将优
选参数由５维降至３维。
以克里格交叉检验精度为
目标函数的变异函数参数反演方法是可行的，使用
反演参数可以有效减小克里格交叉检验方差。
由
于评价面非常复杂，因此，常常需要在精度与计算
复杂度之间进行权衡。
实例证明ＧＡ算法非常
有效。
（２）以椭圆分布函数为基础，分别导出了变程
异性和拱高各向异性的两类标准变异函数的数学
模型，ＡＥ模型和ＣＥ模型。
表１、表２的实例计算结果表明：本文导出的ＣＥ模型在表中所列情况下均优于目前广泛使用的ＡＥ模型。
（３）由于降水量的空问分布存在明显趋势性，直接进行分析时幂函数模型表现最好（表１），其中ＣＥ—Ｐ模型交叉检验均方差比ＡＥ—Ｐ（０，１，１）模型降低了２．９８６５ｍｍ，降幅为１１．７％。
将数据进行趋势面分离后，残差变量的空间分布呈现出明显的区域化特征，此时球状函数模型表现最好（表２），其中ｃＥ—ｓ模型交叉检验均方差比ＡＥ—Ｐ（０，１，１）模型降低了７．４３５４ｍｍ，降幅为２９．８％，将残差与趋势面叠加可得到相应的降水量等值线图（图２）。
显然，当变量的空间分布存在明显区域化特征时参数反演效果更为显著。
因此，对原始数据进行某种可逆变换，尽量消除趋势性因素，对提高精度是有帮助的。
参数反演的效果是显著的，也足以说明在克里格插值中变异函数分析的重要性。
（４）由于根据实际资料计算出的半方差云图点群较散乱，用曲线拟合方法得到的参数，与克里格交叉检验结果是不一致的，有时差距较大。
采用未经认真分析的模型及参数常常会得到比直接使用ＡＥ—Ｐ（０，ｌ，１）模型更差的结果。
著名软件Ｓｕｒｓｆｅｒ将ＡＥ—Ｐ（０，１，１）模型设为默认模型是有道理的，因为在多数情况下它会得到一个相对较好的结果。
而ＡＥ—Ｐ（０，ｌ，１）恰与ＣＥ—Ｐ（０，ｌ，１）完全相同，这也可能是ＣＥ模型优于ＡＥ模型的一个佐证。
图２降水量等值线图
（５）对于一个较大的分析范围而言，变异函数在空间上的分布是不同的，因此我们常常得到和使用的变异函数是在分析范围内一个均化的模型，这也使变异函数的空间分布分析变得更加困难。
当然，如果有足够的观测点我们也可以优选出分析范围内任意局部区域的变异函数，但是如何运用是需要进一步研究的问题。
参考文献
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