专题三 第二讲 数列的综合应用

一、选择题
1．(2011·安徽高考)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝
( )
A ．15
B ．12
C ．－12
D ．－15
解析：a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.
答案：A
2．向量v ＝(a n ＋1－a n 2，a 2n ＋12a n
)，v 是直线y ＝x 的方向向量，a 1＝5，则数列{a n }的前10项和为( )
A ．50
B ．100
C ．150
D ．200
解析：依题意得a 2n ＋12a n ＝a n ＋1－a n 2
，化简得a n ＋1＝a n .又a 1＝5，所以a n ＝5，数列{a n }的前10项和为5×10＝50.
答案：A
3．等差数列{a n }中，a 1＞0，公差d ＜0，S n 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点(n ，S n )在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是( )
解析：∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2
)n ，又a 1＞0，公差d ＜0，所以点(n ，S n )所在抛物线开口向下，对称轴在y 轴右侧．
答案：C
4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(1－3a )x ＋10a ，x ≤6，a x －7， x ＞6.若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递减数列，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫13，1
B.⎝⎛⎭⎫13，12
C.⎝⎛⎭⎫13，58
D.⎝⎛⎭⎫58，1
解析：∵f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(1－3a )n ＋10a ，n ≤6，a n －7， n ＞6是递减数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3a <0，0<a <1，
f (6)>f (7)，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3a <0，0<a <1，6－8a >1，解得13<a <58
. 答案：C
二、填空题 5．(2011·北京高考)在等比数列{a n }中，若a 1＝12
，a 4＝－4，则公比q ＝____________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝____________.
解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；
等比数列{|a n |}的公比为|q |＝2，则|a n |＝ 12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12
(1＋2＋22＋…＋2n －
1) ＝12(2n －1)＝2n －1－12
. 答案：－2 2n －1－12
6．设曲线y ＝x n ＋
1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，x n ＝________，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．
解析：∵y ＝x n ＋
1， ∴y ′＝(n ＋1)x n ，它在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，它与x 轴交点的横坐标为
x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1
. 由a n ＝lg x n ，得a n ＝lg n －lg(n ＋1)，
于是a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg1－lg2＋lg2－lg3＋…＋lg99－lg100＝lg1－lg100＝0－2＝－2. 答案：n n ＋1
－2 7．(2011·陕西高考)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(米)．
解析：当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2 000米．
答案：2 000
三、解答题
8．已知二次函数f (x )＝x 2－2(10－3n )x ＋9n 2－61n ＋100(n ∈N *)．
(1)设函数y ＝f (x )的图像的顶点的横坐标构成数列{a n }，求证：数列{a n }是等差数列；
(2)在(1)的条件下，若数列{c n }满足c n ＝1＋14n －252
＋a n (n ∈N *)，求数列{c n }中最大的项和最小的项．
解：(1)证明：y ＝f (x )的图像的顶点的横坐标为x ＝－
b 2a ＝－－2(10－3n )2
＝10－3n ，∴a n ＝10－3n ，
∴a n －a n －1＝－3.∴{a n }是等差数列．
(2)∵c n ＝1＋14n －252＋a n ＝1＋14n －252＋10－3n ＝1＋22n －5
， 当n ≤2时，
22n －5<0，且c 1>c 2， 当n ≥3时，22n －5
>0且c n >c n ＋1. ∴{c n }中最小的项为c 2＝－1，最大的项为c 3＝3.
9．(2011·北京海淀)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，且S n ＝S n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)．
(1)求S n ；
(2)是否存在等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9？若存在，则求出数列{b n }的通项公式；若不存在，则说明理由．
解：(1)因为S n ＝S n －1＋2n ，
所以有S n －S n －1＝2n 对n ≥2，n ∈N *成立．
即a n ＝2n 对n ≥2成立．又a 1＝S 1＝2×1，
所以a n ＝2n 对n ∈N *成立．
所以a n ＋1－a n ＝2对n ∈N *成立．所以{a n }是等差数列． 所以S n ＝a 1＋a n 2
·n ＝n 2＋n ，n ∈N *. (2)存在．由(1)知a n ＝2n 对n ∈N *成立，
则a 3＝6，a 9＝18.又a 1＝2，
所以由b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9，得b 2b 1＝b 3b 2
＝3.
即存在以b1＝2为首项，公比为3的等比数列{b n}，其通项公式为b n＝2·3n－1.
10．已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a n＋2＋2a n＝3a n＋1(n∈N*)．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)记数列{a n}的前n项和S n，求使得S n>21－2n成立的最小整数n.
解：(1)由a n＋2＋2a n－3a n＋1＝0得
a n＋2－a n＋1＝2(a n＋1－a n)，
∴数列{a n＋1－a n}是以a2－a1＝3为首项，公比为2的等比数列．
∴a n＋1－a n＝3·2n－1，
∴n≥2时，a n－a n－1＝3·2n－2，…，a3－a2＝3·2，a2－a1＝3，
累加得a n－a1＝3·2n－2＋…＋3·2＋3＝3(2n－1－1)，
∴a n＝3·2n－1－2(当n＝1时，也满足)．
(2)由(1)利用分组求和法得
S n＝3(2n－1＋2n－2＋…＋2＋1)－2n＝3(2n－1)－2n，
S n＝3(2n－1)－2n>21－2n得3·2n>24，
即2n>8＝23，∴n>3，
∴使得S n>21－2n成立的最小整数n＝4.。