概率论-概率母函数的介绍与应用
应用概率论_研究生_教案 ch2 母函数
对应的集合
相异元素，不重复
n! r !⋅(n − r )!
Pnr =
n! (n − r )!
S = {e1 , e 2 , " , e n }
S＝{ ∞ ⋅ e1 , ∞ ⋅ e2 , " , ∞ ⋅ en } S＝{ n1 ⋅ e1 ， n2 ⋅ e2 ， …， nm ⋅ e m }, n1＋n2＋…＋nm＝n nk≥1, (k＝1,2,…, m)
S = {e11 , e12 , e21 , e22 , ", en1 , en 2 }
n
故其 r 重组合的母函数为 G(x)＝(1＋2x) ＝ 即不同的取法共有 a r = ⎜ ⎟ 2 r 种。 由于每类元素最多只能出现一次，故 G(x)＝ (1 + 2 x ) 中不能有 x 项，再由同双的两只鞋子有区别知， x 的系数应为 2。
相异元素，可重复
r Cn + r −1
nr
n! n1 ! n2 !" n m !
m
不尽 相异 元素 （有 限重 复）
r＝n 特例 r＝1 所有 nk≥r 至少有一个 nk 满足 1≤nk< r
1 m
r Cm + r −1
mr
母函数方法的基本思想是把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而把离散数列间的结合关系 转化为多项式或幂级数之间的运算。
n
无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是
1 = 1+ x + x2 + "+ xn + " 1− x
（3）说明 ● an 可以为有限个或无限个； ● 数列 {an }与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数列也随之而定；
概率母函数--解决离散型随机变量相关问题的利器(上)
概率母函数--解决离散型随机变量相关问题的利器（上）在过去的学习中，大家已经能熟练求解"抛一枚均匀硬币，连续出现两次正面朝上的次数的期望"。
但是如果连续出现5 次、10 次、甚至n次正面朝上，该如何解决呢？或者在平时的学习中，是否会为求解一些随机变量和的分布乃至随机个随机变量和的分布，而艰辛计算其概率函数，为冗杂的计算而苦恼呢？本文将为大家介绍一个研究离散型随机变量分布的重要分析工具------概率母函数。
它不仅能帮我们便利地解决以上问题，较为轻松地得到随机变量的分布，还能有效地帮助我们认识和探究随机过程。
直观理解相信大家看到这个名字都颇感眼熟，过去我们在概率论以及随机过程等课程中学习过"矩母函数"和“特征函数”。
而他们某种程度上比较相像，都是设法引进适当的变换，将分布的常见刻画方式变换为与它具有对应关系的、易于考察的另一类形式，对新形式处理完毕后，把所得的结果再变换到原始形式，以此化难为易，以简驭繁地解答有关概率以及分布的问题。
现在,我们来认识一下它的英文名------Probability Generating Functions。
这个名字揭示了概率母函数的一个重要用途，能用来生成一个分布的所有概率。
可能过程很单一枯燥，但是它却能告诉我们关于这个分布我们想知道的全部信息。
在此，我们给出概率母函数的定义：如果 X 是在非负整数域{0，1，...} 上取值的离散型随机变量，那么 X 的概率母函数定义为：但在使用过程中，我们一般不会用这种带着无限以及求和号的式子，我们一般会利用级数的知识把它化成简单的函数。
以我们十分熟悉的二项分布为例：由此，我们即可得到二项分布的概率母函数。
下面我们将根据概率母函数的定义探究其基本性质，并将它们应用于概率与分布的计算和刻画一个分布的数字特征，以及解决文章开头提到的探究随机变量和的分布乃至随机个随机变量和的分布等问题。
主要性质当 s 取特殊值时概率母函数与概率的关系我们可以发现，P（X=0）可以由G X（0）求出，我们猜测概率母函数可以求出任何一点的概率。
母函数与指数型母函数
比较等式两端的常数项，可以得到恒等式：
C(m n, m) C (n, 0)C (m, 0) C (n,1)C (m,1) C(n, m)C(m, m).
又如在等式 (1 x)n C(n,0) C(n,1)x C(n, n)xn
注意到，出现1，5有两种选法，出现2，4也有两 种选法，而出现3，3只有一种选法，按加法法则， 共有2+2+1=5种不同选法。
或者，第一个骰子除了6以外都可选，有5种选法， 一旦第一个选定，第二个骰子就只有一种可能的选 法，按乘法法则有5×1=5种。
但碰到用三个或四个骰子掷出n点，上述两方法就 不胜其烦了。
a1 a3 a5 a7 0, a0 1, a2 C(8, 2) 28,
a4 C(8, 4) 70, a6 C(8, 6) 28, a8 1. 因此序列a1,a2,…,a8对应的母函数为：
A( x) 1 28x2 70x4 28x6 x8 .
类似可得女同志的允许组合数对应的母函数为
1: b0 a0 x: b1 a0 a1 x2: b2 a0 a1 a2
__+_)___x_k:_b_k _a_0 __a1__a_2 ____ak________
B( x) a0 /(1 x) a1 x /(1 x) a2 x2 /(1 x)
[a0 a1 x a2 x2 ] /(1 x) A( x) /(1 x).
中令x=1 可得 C(n, 0) C(n,1) C(n, 2) C(n, n) 2n.
两端对x求导可得：
n(1 x)n1 C(n,1) 2C(n,2)x nC(n,n)xn1,
概率母函数
0 m 1 m r m 0 n 1 n r n n n m m
个数字之和随机变量 x 的概率分布列。 由以上解题过程可知, 随机变量 x 具有分布列 P k = P ( x= k ) , k = 0, 1, …, 70 随机变量 X 的概率母 函数为g Nhomakorabea(x ) =
0 1 r r m m m Cm + Cm x+ …+ Cm x + …+ Cm x = ( 1+ x )
其中 P k =
ak , 这样, 把求 x 的概率分布列问题转化 107
70
( 7)
然后把多项式 ( 6) 与 ( 7) 相乘, 得 0 1 2 2 r r n n 0 (C n + Cn x+ C n x + … + C n x + … + C n x ) (Cm + 1 r r m m n m Cm x+ …+ cm x + …+ Cm x ) = ( 1+ x ) ( 1+ x ) ( 8) 左边展开式中 x 的系数是
( 3) 的展开式共包含 107 项, 其一般项是
m m m m + m + …+ m 7 x 1 x 2 …x 7 = x 1 2 其中 xm k ( k= 1, 2, …7) 分别取自第 k 个多项式中的 mk x ∴m k m m m x 1 x 2 …x 7 ∴m 1 + m 2 + …+ m 7 这样, ( 3) 的展开式中的每一项 x 20 , 就对应于从 1 到
( 4) ( 5)
C , C , …, C , …, C
3.2母函数及其性质2014
8
4
例1
变形： |x|+|y|+|z|+ w = n+1 (w≥1) 的整数解的个数也为Cn 在这里当|x|=0时x=0只有一种取值，当 |x|>0时，x有两个取值。 按照 |x|,|y|,|z|中0的个数来进行分类: （ 1 ）没有一个等于0 该类整数解的个数＝C(3,0)23C(n,3)
9
例1
11
例1
设|x|+|y|+|z|+ w = n (w≥0)的整数 解的个数为Cn
求数列 Cn的母函数：
考虑 x 的取法： |x|=0，x=0，只有一种取法； |x|=t ≥1 ， x= ± t，有两种取法； 可用幂级数（1＋2x+2x2+…）来表示
12
6
例1
设|x|+|y|+|z|+ w = n (w≥0)的整数 解的个数为Cn
⑤性质 5 若 bk kak ，则
B( x ) xA( x )
36
18
三、母函数的性质
设数列{ak}和{bk} 对应的母函数为A(x),B(x)
⑥性质 6 若
bk ak (k 1)，则
1 x B( x ) A( x )dx x 0
37
三、母函数的性质
设数列{ak}和{bk} 对应的母函数为A(x),B(x)
14
7
例1
求数列 Cn的母函数g(x)：
g( x ) (1 x )3 (1 x )4 4 k 1 k (1 3 x 3 x x ) x k k 0 3 k k 2 3 (1 3 x 3 x x ) x 3 k 0
08母函数应用
§4.3 组合应用例6
§4.3 在排列组合中的应用
例 6 、在一个书架上共有 16 本书，其中 4 本是高等数学， 3 本是普通物理， 4 本是 数据结构，5本是离散数学。求从中选取 r本数的方式数，其中r=12。
4.3.1 在组合中的应用
例 题
解：这实际上是求重集{4*M,3*P,4*S,5*D}的12−组合数。 设ar是选取r本书的方式数。由于高等数学最多只能选取4本， 普通物理最多只能选取3本，数据结构最多只能选取4本，离散 数学最多只能选取5本，故序列{ar}的普通母函数为 f ( x ) (1 x x 2 x 3 x 4 )(1 x x 2 x 3 ) (1 x x 2 x 3 x 4 )(1 x x 2 x 3 x 4 x 5 ) 1 4 x 10 x 2 20 x 3 34 x 4 50 x 5 65 x 6 76 x 7 80 x 8 76 x 9 65 x10 50 x11 34 x12 20 x13 10 x14 4 x15 x16 取f(x)展开式中xr的系数即为所求的方式数。当r=12时，x12的系 数为34，即 a12=34。
§4.3 组合应用例7
§4.3 在排列组合中的应用
例7、现有2n个A，2n个B，2n个C，求从它们 之中选出3n个字母的不同的方式数。
4.3.1 在组合中的应用
例 题
§4.3 组合应用例7
§4.3 在排列组合中的应用
4.3.1 在组合中的应用
解：这个问题实际上是求重集{2n*A,2n*B,2n*C}的3n−组合数。 设ar为所求的方式数。则序列{ar}的普通母函数为 f ( x ) (1 x x 2 ... x 2 n )3 2 n1 3 3 1 x ( 3)( 4)...( 3 k 1) 2 n1 k 1 ( x ) 1 x k! k 1 1 x 3 4 ... (k 2) k 2 n1 4 n 2 6 n 3 1 3x 3x x x 1 k! k 1 k 2 xk 2 n1 4 n 2 6 n 3 1 3x 3x x 2 k 0 显然，上式中x 3 n的系数为 3n 2 3 n 1 2 2 故r 3n时，有a3 n 3n 2 3 n 1 2 2
浅析特征函数、母函数的概念教学及其应用
浅析特征函数、母函数的概念教学及其应用申广君（安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241003）[摘 要] 正确认识和理解基本概念是学好概率论的前提和基础。
本文浅析了对特征函数、母函数的概念的认识和理解，并举例说明了它们在解决问题中的应用。
［关键词 特征函数 母函数 应用［中图分类号］O174 ［文献标识码］A 概率论是研究随机现象统计规律的一门数学分科，用随机变量来描述随机现象，使得概率论从研究定性的事件及其概率扩大为研究定量的随机变量及其分布，从而扩充了研究概率论的数学工具，特别是便于使用经典分析工具，使得概率论真正成为一门数学学科。
分布函数是用来完整地描述随机变量分布规律（取值及取值规律）的最基本的方法，特征函数是概率论中的一个重要分析工具，它和分布函数之间存在一一对应的关系，可以使用特征函数来分析研究随机变量，并且可以大大简化有关随机变量的一些计算和证明，然而在研究仅取非负整数值的随机变量时，以母函数代替特征函数比较方便。
可是在教学过程中发现，不少学生对特征函数和母函数的概念没有正确认识，甚至出现一些错误的认识和理解，从而导致计算的盲目性。
本文主要探讨了对特征函数与母函数的概念的认识和理解，并通过实例介绍了它们的一些应用，以期对学习概率论能起到一定的指导作用。
一、特征函数（一）特征函数的定义及性质设X 是一个实值随机变量，其分布函数为)(x F ，则称itXe的数学期望itXEe为随机变量X 或其分布函数)(x F 的特征函数，记为)(t X ϕ，即)()(x dF e Eet itX itXX ⎰+∞∞-==ϕ，其中1-=i ， R t ∈。
分析 按照定义，特征函数是一个实变量的复值函数。
由于对任意实数R t ∈，都有1)(sin )(cos ||22=+=tX tX e itX ，所以任何随机变量的特征函数总是存在的。
并且它能把寻求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算，还能把求分布的各阶原点矩（积分运算）转换成微分运算，特别地它能把寻求随机变量序列的极限分布转换成一般的函数极限问题。
概率母函数
，它的’ordinary’ 生成函
数被定义成以下形式：
其中 s 的值使得函数值收敛。那么我们就可以针对这样一个序列，定义一个收敛半径R(≥ 0)使得级数在|s| < R时绝对收敛，同时在|s| > R时发散。������(������)可以是任意阶可微的，或者 是按项可积的，当|s| < R。
概率母函数的定义和一些性质
（在这里要假设求和和 r 阶导顺序是可以互换的）。那么这个序列在|s| ≤ 1时是收敛的。所 以 证毕。 特殊地， 同时
那么 例如：对于泊松分布，我们有
独立随机变量的和（随机变量数已知）
定理：定义 X 和 Y 是独立可数的随机变量（注意，并没有要求他们是同分布的），它们的 PGFs 是������������(������)和������������(������)。那么定义������ = ������ + ������， 证明：
考虑一个可数随机变量 X，例如，他是一个离散的，非负值的随机变量。可以写作
（当 X 有有限多个可取值时，我们可以让 X 不能取到的数出现的概率都为 0）。它的概率生 成函数（PGF）被定义为
注意，当 s=1 时，GX（1） = 1 ，所以当|s| ≤ 1 时收敛的情况是肯定可以出现的。同时， ������������(0) = ������0。对于一些常见分布，PGF 的形式如下： （1） 常分布——当������������ = 1, ������������ = 0, ������ ≠ ������
围很广，在具体数学这门课中，我们主要学习了如何用生
成函数求解递推式的封闭形式以及求和的封闭形式。在概率论中，生成函数同样起到了很
大的作用。这篇小论文主要总结了我在学习概率母函数的过程中看到的一些定理和性质，