九年级数学上册 第23章 旋转复习小结(无答案)(新版)新人教版
第23章 旋转
复习目标：
感受生活中的几何图形，认识旋转及其性质，理解旋转的性质；能够按要求作出简单的平面图形经过旋转形成的图形，欣赏旋转在实际生产和生活中的应用，体验旋转美；认识中心对称及其性质，理解中心对称的性质；探索图形之间的变换关系（平移、旋转、轴对称及其组合），灵活运用它们的有关组合进行图案设计。
复习重点：
旋转、中心对称的性质，两个点关于原点对称的点的特征，旋转与中心对称的性质在实际生活中的应用。
复习要求：
注重联系实际、重视数学思想方法的渗透、突出性质的运用。
复习过程：
一、构建知识网络：
二、核心知识梳理：
结合实例，巩固旋转的概念及性质，在此基础上进一步理解简单平面图形旋转后的图形，利用旋转进行简单的图案设计。
类比轴对称复习中心对称的概念及性质，掌握简单平面图形形成中心对称的图形的方法。
结合线段、平行四边形，复习中心对称图形的概念（与轴对称图形进行对比）。
根据关于原点对称的点的坐标的关系，在平面直角坐标系中作关于原点对称的图形（结合实例），中心对称图形有哪些应用价值？
用平移、旋转、轴对称及其组合进行图案设计。
合作探究：
1、旋转及其性质：
（1）时钟上的时针昼夜不停的旋转，从上午8:25到上午9:40，时针旋转的度数为________。
（2）边长为2 的正方形ABCD 中，点E 为DC 的中点，⊿ADE 绕着点A 顺时针旋转900后到
达⊿ABF 的位置，连接EF ，则⊿AEF 的面积是（ ）
2
5 B.5 C.2 D.5 【归纳】：时钟的时针每小时旋转_______，每分钟旋转________。
中心对称与中心对称图形：
（1）下图是天气预报的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，则与⊿AOD成中心对称的是_______。
【归纳】：将图形倒到过来看，看到的图形与原图形一样，则该图形是_________图形，从背面看一个图形，如果看到的图形与原来的图形一样，则该图形是________图形。
关于原点对称的点的坐标：
在平面直角坐标系中点P（－20，m）与点Q（n，13）关于原点对称，则m+n=( )
A .33
B .－33
C .－7
D .7
若点P（－1－2x，3x－4）关于原点对称的点是第一象限的点，则符合条件的x的整数有________个。
【归纳】：若点A（a，b）与B（c，d）关于原点对称，则a+c=________,b+d=_______。
平移、旋转、轴对称进行作图：
利用对称性可设计美丽的图案。
在边长为1的方格纸中，有如图所示的四边形（顶点都在格点上）。
先作出该四边形关于直线l成轴对称的图形，再作出你所作的图形连同原四边形绕点O按顺时针方向旋转900后的图形；
完成上述设计后，整个图案的面积等于_________。
【归纳】：坐标系中的平移、旋转、轴对称的作图问题，可先求出特殊点变换后的_______，再依次连接即可。
综合运用：
四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB延长线上
的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF.
①求证：⊿ADE≌⊿ABF；
②填空：⊿ABF可以由⊿ADE绕旋转中心_____点，按顺时针方向
旋转_____度得到；
③若BC=8，DE=6，求⊿AEF的面积。
学习小结：
谈谈本节课的学习收获、体会与存在的问题。
达标检测：
完成同步练习。
人教版九年级上册数学第23章旋转小结与复习导学案(无答案)
人教版九年级上册数学第23章旋转小结与复习导学案（无答案）课题23、旋转小结与复习课型复习主备审核班级姓名时间学习目标1、掌握旋转的有关概念、理解旋转变换是图形的一种基本变换。
2、学会用旋转的性质作出任意图形的旋转图形，3、认识中心对称，对称中心图形，理解中心对称的图形及性质特点。
重点旋转的基本性质，中心对称和中心对称图形的概念及性质，原点对称的点的坐标关系。
难点旋转、中心对称、中心对称图形的性质的综合运用。
学习过程学（教）记录（A ）这是一个轴对称图形，它有一条对称轴；（B ）这是一个轴对称图形，但不是中心对称图形；（C ）这是一个中心对称图形，但不是轴对称图形；（D ）这既是轴对称图形，也是中心对称图形．6、某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符合条件的是（ ）A ．等腰三角形B ．正三角形C ．等腰梯形D ．菱形【求助交流】1、如图3把三角形△ABC 绕着点C 顺时针旋转350，得到△A ＇B ＇C ，A ＇B ＇交AC 于点D ，若∠A ＇DC=900，则∠A 的度数是__ ___。
2、如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把绕点A 顺时针旋转90°后得到，则点的坐标是 ．3、如图所示，每个小方格都是边长为443y x =-+x y A B AOB △AO B ''△B '1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系.（1）画出四边形OABC关于y轴对称的四边形OA1B1C1，并写出点B1的坐标是 .（2）画出四边形OABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的四边形OA2B2C2.4、(2009年潍坊)在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画出绕点O逆时针旋转90°后的．ABC△ABC△A B C'''△续助反思。
九年级上册第23章旋转小结、复习、习题(新人教版)优秀课件省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
探究: 等边三角形绕它旳中心至少需要旋 转多少度才干和本身重叠? 正方形呢？ 正角为 360 n
圆 旳旋转角是任意角度
已知线段AB和点O，请画
旋转作图 出线段AB绕点O按逆时针
旋转1000后旳图形. （1）拟定旋转中心； （2）拟定图形中旳M B′ 关键点；
；
2、点P（-1，3）绕着原点旋转90o后
与P'重叠，则P'旳坐标为
。
3、下列漂亮旳图案，既是轴对称图形又是中
心对称图形旳个数是( C )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.移动一块正方形 （1）使得到图形只是轴对称图形； （2）使得到图形只是中心对称图形； （3）既是轴对称图形又是中心对称图形：
（3）作出将关键点 沿指定旳方向旋转指
A′ N B
定旳角度后旳相应点；
（4）连结各点，得
到所需图形. 线段A′B′即O
为所求旳线段。
A
⑴如图,画出△ABC绕点A按逆时针方 向旋转900后旳相应三角形;
（2）.假如AD=1cm,那么点D旋转过旳 途径是多少cm?
C B'
C' D
△AB′C′即为所求旳D三' 角形。
①具有某种性质旳一种图形 ②对称点在一种图形上
若把中心对称图形旳两部分分别看作两个图形，则它们成中心对称，若把中 联络 心对称旳两个图形看作一种整体，则成为中心对称图形。
中心对称和中心对称图形旳比较
由
.
非
由
有关原点中心对称旳性质
有关x轴对称旳点： 横坐标不变,纵坐标互 为相反数.
有关y轴对称旳点： 横坐标互为相反数,纵 坐标不变.
（4）请写出经过线段A1B1中点，并 与直线AB平行旳直线旳解析式； （5）试猜测直线AB与直线A1B1旳位 置关系，并阐明理由；
人教版九年级数学上册教案：第二十三章《旋转》小结与复习
【数学·九年级·上册】第二十三章小结与复习【教学目标】1．总结和复习图形旋转、中心对称的基本性质的应用及两个点关于原点对称时坐标之间的关系；2．注意复习平移、轴对称、旋转的联系和区别，旋转和中心对称的联系和区别，运用图形旋转、中心对称的基本性质解一些简单问题．【学情简析】本章先学习了旋转的有关知识，要求能够从旋转的角度观察图形，进而认识特殊的旋转——中心对称，最后运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计．【教学重点】复习图形旋转的基本性质和中心对称的基本性质及两个点关于原点对称时，它们坐标之间的关系．【教学难点】运用旋转的性质解决问题．【课时安排】3课时【教学过程】环节教学内容教师的行为学生的活动唤起希望差异指导引发碰撞再激希望一、复习展示问题1平移、轴对称、旋转的区别与联系个人二次备课二、典型例题例 1 （1）如图，△ABC 为等边三角形，D 是△ABC 内一点，若将△ABD 经过旋转后到△ACP 位置，则旋转中心是______，旋转角等于_____度，△ADP是______三角形．（2）如图，正方形ABCD 中，E 是AD上一点，将△CDE 逆时针旋转后得到△CBM．则旋转中心是______，△CDE 旋转了___度，△CEM 是_____三角形．例2（1）画出点P 绕点O 顺时针旋PPT给出图片及问题个人二次备课板书课题巡视，指导，检查学生独立思考个人二次备课整理笔记小组合作探究ABDPCDAEBCM转 30°后的对应点．（2）画出线段AB 绕点A（或点M ）逆时针旋转45°后的图形．（3）画出△DEC 绕点C 逆时针旋转 90°后的图形．个人二次备课三、复习展示问题2旋转和中心对称的区别与联系．四、典型例题例3下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）．例4已知：△ABC 中，A（-2，3），B（-3，1）， C（-1，2）．请画出△ABC关于原点O 对称的△A1B1C1．五、小结1．平移、轴对称和旋转有什么区别与联系？2．旋转和中心对称有什么区别与联系？3．怎样利用旋转的定义和性质作图？个人二次备课个人二次备课巡视指导巡视，检查对各组完成的情况进行点评归纳本节课所学布置作业教科书复习题23第 1，4，5 题．个人二次备课小组合作探究整理笔记个人二次备课个人二次备课教学反思。
人教版九年级数学上册第23章《旋转》全章复习和巩固--知识讲解(基础)(无答案)
《旋转》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形；3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；''').(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转平移轴对称旋转相同点都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．对应线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．【典型例题】类型一、旋转1.数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°. 以上四位同学的回答中，错误的是（）.A．甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁举一反三：【变式】以图1的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°后，再按顺时针方向旋转180°，所得到图形是（）.类型二、中心对称2. 如图，△A′B′C′是△ABC旋转后得到的图形，请确定旋转中心、旋转角.举一反三：【变式】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）.A． B．C． D．类型三、平移、轴对称、旋转3. 如图，设P是等边三角形ABC内一点，PB=3，PA=4，PC=5，求∠APB的度数.【思路点拨】因为是等边三角形ABC，所以有等线段，又因为已知的三边的长度是3,4,5，是一组勾股数，所以应该想到运用旋转构造直角三角形.举一反三：【变式】已知D是等边△ABC外一点,∠BDC=120º.求证：AD=BD+DC.4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD=CD. 求证：BD2=AB2+BC2.【思路点拨】利用AD=CD可以将△BCD绕点D逆时针旋转60°，从而把条件集中到一个三角形中.【总结升华】由求证可知应该建立一个直角三角形，再由已知知道有30°，60°的角，有等线段，可以构想通过旋转构建直角三角形.5 、正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上（1）如图连结DF、BF，试问：当正方形AEFG绕点A旋转时，DF、BF的长度是否始终相等？若相等请证明；若不相等请举出反例.（2）若将正方形AEFG绕点A顺时针方向旋转，连结DG，在旋转过程中，能否找到一条线段的长度与线段DG的长度相等，并画图加以说明.【答案与解析】(1)如图， DF、BF的长度不是始终相等，当点F旋转到AB边上时，DF>AD>BF.（2）线段BE=DG如图: ∵正方形ABCD和正方形AEFG∴AD=AB,AG=AE,∠1+∠2=∠2+∠3∴∠DAG=∠BAE∴△ADG≌△ABE∴ DG=BE【总结升华】利用旋转图形的不变性确定全等三角形.举一反三：【变式】.如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于_________．6. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=900，E、F是BC边上点且∠EAF=45°.求证：．【思路点拨】通过求证可以猜测要证得直角三角形，所以可以考虑旋转.【答案与解析】∵△ABC为等腰直角三角形且∠BAC=90°∴ AB=AC，将△CAF绕点A顺时针旋转90°，如图，得到∴∴，，，,∴,连结，则在中，,∴①,又∵,∵.又∵,∴在与中,.∴②,∴由①②得：.【总结升华】旋转性质：旋转前，后的图形全等.《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（基础）一、选择题1．将叶片图案旋转180°后，得到的图形是( ).2.如图，在等腰直角△ABC中，B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′,则等于（）.A.60°B.105°C.120°D.135°3. 如图，如果一个四边形ABCD旋转后能与另一个正方形重合，那以该图形所在的平面可以作旋转中心的点有（）个．A、1B、2C、3D、4第2题第3题第4题4．如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为（2，1）．如果将矩形0ABC绕点O旋转180°旋转后的图形为矩形OA1B1C1，那么点B1的坐标为（）.A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣l）5. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为( ).A. B. C. D.6．右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是（）.A．90°B．60°C．45°D．30°第5题第6题7．轴对称与平移、旋转的关系不正确的是( ).A．经过两次翻折(对称轴平行)后的图形可以看作是原图形经过—次平移得到的B．经过两次翻折(对称轴不平行)后的图形可以看作是原图形经过—次平移得到的C．经过两次翻折(对称轴不平行)后的图形可以看作是原图形经过旋转得到的D．经过几次翻折(对称轴有偶数条且平行)后的图形可以看作是经过—次平移得到的8．在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，4)，将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是( ).A.(-4，3)B.(-3，4)C.(3，-4)D.(4，-3)二. 填空题9. 正三角形绕中心旋转＿＿度的整倍数之后能和自己重合.10. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x绕点O顺时针旋转90°得到直线，直线与反比例函数的图象的一个交点为A(a，3)，则反比例函数的解析式是______.11．在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形五种图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是__________.12如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边CD上一点，点F是CB延长线上一点，且DE＝BF，连结FE,此时△AEF是＿＿＿．如果FB＝1，EC＝2，则正方形ABCD的面积是＿＿．13．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、DE，△ADE的面积为3，则BC的长为_________．第12题第13题第14题14. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE=1．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE'，连接EE'，则EE'的长等于__________．15. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0），若点A的坐标为（a，b），将线段BA 绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标是_________．第15题第16题16．如图所示，将△ABC沿AB翻折后形成△ABE，再将△ABE绕点A顺时针旋转一定角度后，使点E与点C重合，若∠1:∠2:∠3＝28:5:3．则此次旋转过程中的旋转角是________．三综合题17．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=BC，点 D、E是斜边AB上的两点，且∠DCE=45°．求证：AD2+BE2=DE2．18. 如图，在△ABC中，AB=AC，点P是△ABC内一点，且∠APB=∠APC．求证：BP=CP．19.已知：如图在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC．(1)试猜想AE与BF有何关系？说明理由．(2)若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积；(3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．20. 已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）.①设AB的长为a，PB的长为b（b<a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图 1中阴影部分）的面积；②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.类型一、旋转1．如图1，ΔACB与ΔADE都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠ADE都是直角，点C在AE上，如果ΔACB经逆时针旋转后能与ΔADE重合.①请指出其旋转中心与旋转角度；②用图1作为基本图形，经过怎样的旋转可以得到图2？举一反三：【变式】如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B、C、D在x轴上，点A、E、F在y轴上，下面判断正确的是（）A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的.B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的.C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的.D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的.类型二、中心对称2. 如图，△ABC中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)．⑴将△ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；⑵画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；⑶画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3；⑷在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，△______与△______成轴对称，对称轴是______；△______与△______成中心对称，对称中心的坐标是______．举一反三：【变式】如图是正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．【答案】类型三、平移、轴对称、旋转3.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．求证：222=BD AB BC．【总结升华】利用旋转构造直角三角形，再用勾股定理是解决此类问题的捷径.举一反三：【变式】如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=2，AB=23，△ACD是等边三角形．（1）求∠ABC的度数．（2）以点A为中心，把△ABD顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．（3）求BD的长度．ABCD4. 如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下五个结论：①AE=CF ；②∠APE=∠CPF ；③△EPF 是等腰直角三角形；④EF=AP ；⑤；当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时，(点E 不与A ，B 重合)，上述结论中始终正确的序号有_____.【思路点拨】可以考虑运用全等三角形的知识证明，也可以考虑运用旋转来证明.【答案与解析】 ①②③⑤方法一：这个问题的题目原型，我们在初二学习全等三角形时已经处理过∵P 为BC 中点 ∴易证于P 且 在△AEP 与△CFP 中，∴△AEP ≌△CFP(ASA)方法二：现在学习了旋转后，我们可以从一个新的角度去看旧问题.我们可以看到△AEP 可以看作是由△CPF 旋转后得到的，因而易知AE=CF∠APE=∠CPF又EP=FP ，可知△EPF 为等腰直角三角形而由旋转也可知S 四边形AEPF =S △AEP +S △AFP =S △CFP +S △AFP =S △APC而对于④来说，只有在EF ∥BC 时，，是特殊情况.【总结升华】运用旋转思路解题的前提是要有公共顶点的相等的线段.5.已知：点P 是正方形ABCD 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，（1）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC 的长.(2)若2222PB PC PA =+，请说明点P 必在对角线AC 上.【思路点拨】通过旋转，把PA 、PB 、PC 或关联的线段集中到同一个三角形，再根据两边的平方和等于第三边求证直角三角形，可以求解∠APD ．【答案与解析】(1)∵AB=BC,∠ABC=90°，∴△CBP 绕点B 逆时针旋转90°，得到△ABE,∵BC=BA,BP=BE,∠CBP=∠ABE∴△CBP ≌△ABE∴AE=PC∵BE=BP,∠PBE=90°，PB=4∴∠BPE=45°，PE=42又∵∠APB=135°∴∠APE=90°∴222AE AP EP =+即AE=6,所以PC=6.(2)由（1）证得：PE=2BP,PC=AE∵2222PB PC PA =+∴222PA AE PE +=∴∠PAE=90°即∠PAB+∠BAE=90°又∵由（1）证得∠BAE=∠BCP∴∠PAB+∠BCP=90又∵∠ABC=90°∴点A,P,C 三点共线，即P 必在对角线AC 上.【总结升华】注意勾股定理及逆定理的灵活运用.举一反三：【变式】如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，，K 为AB 上一点，N 为BC 上一点.若的周长等于AB 的2倍，求的度数.【答案】显然，绕点D顺时针方向旋转至6如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3～图6中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.⑴将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；⑵将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；⑶将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH.【答案与解析】⑴平移的距离为5cm（即）⑵⑶证明：在△AHE与△DHB1中∴△AHE≌△DHB1（AAS）∴AH=DH.【总结升华】注意平移和旋转综合运用时找出不变量是解题的关键.《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ).2. 时钟钟面上的分针从12时开始绕中心旋转120°，则下列说法正确的是( ).A.此时分针指向的数字为3B.此时分针指向的数字为6C.此时分针指向的数字为4D.分针转动3，但时针却未改变3．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）.A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C4．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（）.A．（3，）B．（3，）C．（，）D．（，）第3题第4题第5题5．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）.A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，6.如图所示，在图甲中，Rt△OAB绕其直角顶点O每次旋转90转三次得到右边的图形．在图乙中，四边形OABC绕O点每次旋转120旋转二次得到右边的图形．下列图形中，不能通过上述方式得到的是 ( ).7．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）.A．30° B．45° C．60° D．90°8．在平面直角坐标系中，将点A1(6，1)向左平移4个单位到达点A2的位置，再向上平移3个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900，则旋转后A3的坐标为( ).A.(-2，1)B.(1，1)C.(-1，1)D.(5，1)二. 填空题9. 如图所示，过正方形的中心C和边上一点A随意连一条曲线，将所画的曲线绕C点，按同一方向连续旋转三次，每次的旋转角度都是90°，这样就将四边形分成四部分，这四部分之间的关系是_______．10.如图，直线与双曲线交于A、C两点，将直线绕点O顺时针旋转度角(0°＜≤45°)，与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD的形状一定是_________.11．绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________.12.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4cm，以斜边BC上距离B点cm的H为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是＿＿＿cm2．13．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、DE，△ADE的面积为3，则BC的长为_________．14. 如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于________．15．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，…，则：（1）点P5的坐标为__________；（2）落在x轴正半轴上的点P n坐标是_________，其中n满足的条件是________．16．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是__________.三综合题17. 如图，已知，点P是正方ABCD内一点，且AP∶BP∶CP=1∶2∶3．求证：∠APB＝135°．18.如图，已知点D是△ABC的BC边的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF．求证： BE + CF＞EF19.如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.20.如图14―1，14―2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两猜想.⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系.。
九年级数学上册第23章旋转本章小结课件新版新人教版
图形 全等 . （2）把一个图形绕着某一点O旋转180°，如果
它
能够与另一个图形重合，那麽就说这两个图形 关于这
两个点对称或中心对称 ，这个点叫做 对称中心 ，这 两
个图形中的对应点叫做 对称点 ．则对称点所连线段 都
经过 对称中心 ．而且被对称中心所 平分 ．关于中心
例1.请选择一个与众不同的图形. （ ）
分析：（此题显而易见是考察学生利用所学知 识分析问题的能力应选D）
例2.将ABC绕点O逆时针旋转90，得到AOB.若点A的坐标为（a, b）, 则点A的坐标为
y A B
A(a,b) B A(a,xb) O
答案：（-b,a）
例3：如图所示，平面上有一正方形ABCD,其中心（即对 角
设计一
第23章本章小结
1．本章知识结构框架：
中心对称图形
旋转及其性质
中心对称
平移及其性质
关于原点对称的点的坐标
图
轴对称及其性质
形 设
计
2．填空： （1）把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图
形变换叫做 旋转 ,点O叫做 旋转中心 ，转动的角叫做 旋转角 ，则对应点到旋转中心的距离 相等 ．对应点
线的交点）为O，∠EOF的一边OE交AB于点E，另一边Leabharlann OF交AD
BC于F，且∠EOF=E 90°.
O
F B
C
(1)当∠EOF绕点O旋转时，∠EOF与正方形的边围成的图形的面积
会
发生变化吗？
(2)请你猜想：将正方形换成正六边形后，∠EOF的度数为多少时，
∠EOF与正六边形的边围成的图形的面积，在∠EOF绕其中心O旋
九年级数学上册第二十三章旋转知识归纳新版新人教版
第二十三章旋转23.1 图形的旋转1. 图形的旋转（1）定义：在平面内,将一个圆形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转,这个定点叫做旋转中心,转动的角称为旋转角。
（2）生活中的旋转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动,如时钟的时针、分针、秒针的转动,风车的转动等；另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案,如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。
（3）图形的旋转不改变图形的大小和形状,旋转是由旋转中心和旋转角所决定,旋转中心可以在图形上也可以在图形外。
（4）会找对应点,对应线段和对应角。
2. 旋转的基本特征：（1）图形在旋转时,图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）图形在旋转时,对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等；（3）图形在旋转时,图形的大小和形状都没有发生改变。
3. 几点说明：（1）在理解旋转特征时,首先要对照图形,找出旋转中心、旋转方向、对应点、旋转角。
（2）旋转的角度是对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角。
（3）旋转中心的确定分两种情况,即在图形上或在图形外,若在图形上,哪一点旋转过程中位置没有改变,哪一点就是旋转中心；若在图形外,对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。
23.2 中心对称中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°,假如它能够与另一个图形重合,那么这刘遇图形关于这个点对称或中心对称。
中心对称的性质：①关于中心对称的刘遇图形,对应点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分。
②关于中心对称的刘遇图形是全等形。
中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形。
对称点的坐标规律：①关于x轴对称：横坐标不变,纵坐标互为相反数,②关于y轴对称：横坐标互为相反数,纵坐标不变,③关于原点对称：横坐标、纵坐标都互为相反数。
人教版九年级数学上册知识点总结：第二十三章旋转
人教版九年级数学上册知识点总结第二十三章旋转23.1 图形的旋转知识点一旋转的定义在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
知识点二旋转的性质旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
知识点三利用旋转性质作图旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。
步骤可分为：①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；④接：即连接到所连接的各点。
23.2 中心对称知识点一中心对称的定义中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
注意以下几点：中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。
知识点二作一个图形关于某点对称的图形要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。
最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。
知识点三中心对称的性质有以下几点：（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
【人教版九年级上册数学上册】23.4旋转小结
证明：(2) ∴ △ACD是等边三角形，∴OD＝OC＝AC＝AD，∴四边形ODAC是菱形．
3.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA,BF，∠ABC＝α＝60°，BF＝AF.(1)求证：DA∥BC.(2)猜想线段DF,AF的数量关系，并证明你的猜想．
D
4.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点.已知△AOB的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点A，B的坐标分别是A(3，2) ，B(1，3).
(1) 将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A格中的画图问题，要充分利用网格的特殊性找准对应点.
5.如图，有一张不规则纸片，若连接EB，则纸片被分为矩形FABE和菱形EBCD，请你用无刻度的直尺画一条直线把这张纸片分成面积相等的两部分，并说明理由.
解： 矩形FABE是中心对称图形，矩形 BCDE也是中心对称图形，所以经过它们中心的直线把图形分成全等的两部分，面积相等.如图直线 l 既经过矩形FABE的中心，又经过菱形BCDE的中心，所以它把纸片分成面积相等的两部分.
l
过中心对称图形的对称中心的直线可以将图形分成面积相等的两部分.
6.从前有一个财主，他有一块平行四边形的土地（如图），地里有一个圆形池塘.财主立下遗嘱：要把这块土地平分给他的两个儿子，中间池塘也平分.财主的两个儿子不知怎么做，你能想个办法吗？
解：先找到平行四边形的两条对角线的交点A，过A，B两点作一条直线就可以了.
九年级数学上册 第二十三章(旋转)章末复习题练习(无答案) 新人教版 试题
第二十三章 《旋转》章末复习题一、 二、填空题:1．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1，4)，将线段O A 绕点O 顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是 ．2.如图所示，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图________；图①按顺时针方向至少旋转______________度可得图③．3．如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上的一点，若ＡＦ＝0.5 ＡＢ，则可通过 （填“平移”、“旋转”、“轴对称”）变换，使三角形ABE 变换 到三角形ADF 的位置；且线段BE 、DF 的数量关系是 ．4．如图，以点为为旋转中心，将∠1按顺时针方向旋转100°，得到∠2．若∠1＝40°，则∠2＝ 度．5．如图，将左边的矩形绕点B 旋转一定角度后，位置如右边的矩形，则∠ABC= ． 6. 如图，一块等边三角形木板ABC 的边长为1，现将木板沿水平线翻转（绕一个点旋转）， 那么A 点从开始到结束所走的路径长度为 ．7. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，若将△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC ．则AE 与BF 的关系是____________；若△ABC 的面积为3cm 2，则四边形ABFE 的面积是___________；当∠ACB 为______________度时，四边形ABFE 为矩形。
8．如图，四边形EFGH 是由四边形ABCD 经过旋转得到的．如果用有序数对（2，1）表示 方格纸上A 点的位置，用（1，2）表示B 点的位置，那么四边形ABCD 旋转得到四边形EFGH 时的旋转中心用有序数对表示是 ．9.如图，四边形ABCD 是正方形，△ADE 旋转后能与△ABF 重合．则旋转中心是 ，旋转角等于 度，如果连接EF ，那么△AEF 是 三角形。
10．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且68PA PB ==，，10PC =．若将PAC △ 绕点A 逆时针旋转后，得到P AB '△，则点P 与点P '之间的距离为 .11.如图所示，ABC ∆绕点A 旋转了050后到了'''C B A ∆的位置，若0'33=∠B ，056=∠C ， 则________'=∠AC B ．12．线段、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯、圆这些图形中，既 是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ____________________________ ．13．将一个直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周，所得到的立体图形是_____________。
人教版九上数学第二十三章小结与复习
至少为( C ) A．30°
B．90°
C．120°
分析：作∠CAC1＝90°，且 AC1＝ AC，得到 C 的对应点 C1，由同样 的方法得到其余各点的对应点．
解：如图所示.
4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，点 D，E 分别
在 AB，AC 上，CE = BC，连接 CD，将线段 CD 绕点 C
按顺时针方向旋转 90° 后得 CF，连接 EF．
△A′B′C ，点 B 的对应点 B′ 在边 AC上 (不与点 A，C
重合)，则∠AA′B′ 的度数为( C )
A．α
B．α－45°
C．45°－α
D．90°－α
考点三 旋转的作图
例3 如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，每个正
方形的顶点称为格点.已知△AOB 的顶点均在格点上，
建立如图所示的平面直角坐标系，点 A、B 的坐标分别
考点二 旋转的性质
例2 (1)如图 a，将△AOB 绕点 O 按逆时针方
向旋转 60°后得到△COD，若∠AOB = 15°，
则∠AOD 的度数是 ( C )
A. 15°
B. 60°
CD
C. 45°
D. 75°
A
分析：旋转角 60° ∠BOD = 60° ∠AOB = 15° ∠AOD = 45°
O 图a B
(2) 如图 b，4×4 的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转 一定的角度，得到△M1N1P1，其旋转中心是( B ) A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D
分析：作线段 NN1 与 PP1 的 垂直平分线，交点便是旋转中心.
N1
D A B P1
M1
C