数学归纳法及极限

龙文教育学科导学案

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学情分析数学归纳法是中学数学证明的一种重要方法，在高考中也经常出现，极限也是重点内容，但是多以填空题形式出现

课题数学归纳法数列极限

学习目标与

考点分析

学习目标：1 数学归纳法，等比数列极限

学习重点用数学归纳法证明一些题目，会利用等比数列求极限，以及极限的运算法则

学习方法讲练说相结合

学习内容与过程

一、数学归纳法

（一）知识概述

数学归纳法是证明与正整数n有关的命题的一种方法，应用广泛，且常与不完全归纳法相结合，进行“观察——归纳——猜想——证明”．其广泛性表现在：与正整数n有关的命题可出现在代数、三角或几何中，有等式、不等式或整除问题，也有交点个数，平面、空间分割问题．

（二)重难点知识归纳

1、数学归纳法

如果我们设想：先证明当n取第一个值n0（例如n0=1）时，命题成立，然后假设当n=k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，并证明当n=k＋1时命题也成立，那么就证明了这个命题的成立．因为证明了这一点，就可以断定这个命题对于n 取第一个值后面的所有正整数也都成立．这种证明方法叫作数学归纳法．

2、数学归纳法的证题步骤

数学归纳法是一种用递归方法来证明与正整数有关的命题的重要方法． 利用数学归纳法论证问题分为两步：

（1）证明当n 取第一个值n 0时命题成立；

（2）假设n=k(k ∈N *，k≥n 0)时命题成立，证明当n=k ＋1时命题也成立．

注意： 1数学归纳法的第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，两个步骤密切相关，缺一不可．步骤（1）是要选取命题中最小的正整数n 0作为起始值进行验证．步骤（2）在推证当n=k ＋1时命题成立的过程中，必须要用到当n=k 时命题成立这个归纳假设，否则推理无效．

2在运用数学归纳法证明命题时，对第二步n ＝k ＋1时结论的正确性的证明是整个证明过程中的重难点．我们除了注意利用归纳假设外，还要注意对照结论充分利用其它数学证明方法，如：分析法、综合法、比较法、反证法、数形结合、分类讨论等．也就是说，当我们利用归纳假设后仍不能直接变形推出结论时，可采用上述方法进行证明，以达到目的．

二、极限

（一）常用数列的极限：

（1）当1

n （3）C C n =∞→lim ，（C 为常数） （二）四则运算法则：如果B b A a n n n n ==∞

→∞→lim ,lim ，那么 （1）B A b a b a n n n n n n n ±=±=±∞→∞→∞→lim lim )(lim （2）B A b a b a n n n n n n n ⋅=⋅=⋅∞

→∞→∞→lim lim )(lim （3）)0(,lim lim lim ≠==∞

→∞→∞→B B A b a b a n n n n n n n （三）无穷等比数列的各项的和：

把1

)01(,11)1(lim lim 11≠<-=--==∞→∞→q q q

a q q a S S n n n n 且 三、典型例题剖析

例1、利用数学归纳法证明：(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除．

例2、求证：

，(n≥2，n ∈N *)．

3计箅: 1132lim 32n n n n n ++→∞-+

4求极限： ),(,lim 11+++∞→∈++R b a b

a b a n n n

n n

5将循环小数0.41∙∙

化为分数。

6若无穷等比数列}{n a 的各项和是6，求首项1a 的取值范围。若无穷等比数列

}{n a 的各项和是6，求首项1a 的取值范围。

7设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1236==S a ，求2

lim n S n n ∞

→

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本次课后作业

学生对于本次课的评价：

○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差

学生签字：

教师评定：

1.学生上次作业评价： ○ 非常好 ○ 好 ○ 一般 ○ 需要优化

2.学生本次上课情况评价：○ 非常好 ○ 好 ○ 一般 ○ 需要优化 教师签字：

学科组长签字：

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