第五章 信息光学基础
光信息处理(信息光学)
光信息处理（信息光学）复习提纲第一章线性系统分析1．空间频率的定义是什么？如何理解空间频率的标量性和矢量性？2．空间频率分量的定义及表达式？3．平面波的表达式和球面波的表达式？4．相干照明下物函数复振幅的表示式及物理意义？5．非相干照明下物光强分布的表示式及物理意义？6．线性系统的定义7．线性系统的脉冲响应的表示式及其作用8．何谓线性不变系统9．卷积的物理意义10．线性不变系统的传递函数及其意义11．线性不变系统的本征函数第二章标量衍射理论1．衍射的定义2．惠更斯-菲涅耳原理3．衍射的基尔霍夫公式及其线性表示4．菲涅耳衍射公式及其近似条件5．菲涅耳衍射与傅立叶变换的关系6．会聚球面波照明下的菲涅耳衍射7．夫琅和费衍射公式8．夫琅和费衍射的条件及范围9．夫琅和费衍射与傅立叶变换的关系10．矩形孔的夫琅和费衍射11．圆孔的夫琅和费衍射（贝塞尔函数的计算方面不做要求）12．透镜的位相变换函数13．透镜焦距的判别14．物体位于透镜各个部位的变换作用15．几种典型的傅立叶变换光路第三章光学成象系统的传递函数1．透镜的脉冲响应2．相干传递函数与光瞳函数的关系3．会求几种光瞳的截止频率4．强度脉冲响应的定义5．非相干照明系统的物象关系6．光学传递函数的公式及求解方法7．会求几种情况的光学传递函数及截止频率第五章光学全息1．试列出全息照相与普通照相的区别2．简述全息照相的基本原理3．试画出拍摄三维全息的光路图4．基元全息图的分类5．结合试验谈谈做全息实验应注意什么（没做过实验，只谈一些理论性的注意方面）6．全息照相为什么要防震，有那些防震措施，其依据是什么7．如何检测全息系统是否合格8．全息照相的基本公式9．全息中的物像公式及解题（重点）复 习第一章 线性系统分析1．空间频率的定义是什么？如何理解空间频率的标量性和矢量性？时间量 空间量22v T πωπ==22K f ππλ== 时间角频率 空间角频率其中：v ----时间频率 其中：f ---空间频率T----时间周期 λ-----空间周期 物理意义：由图1.7.3知：（设光在z x ,平面内传播，0=y ）cos xd λα=， 又 ∵ 1x xf d =联立得：cos x f αλ=讨论：① 当090,,<γβα时0,,>z y x f f f ，表示k沿正方向传播；②标量性，当α↗时，αcos ↘→x f ↘→x d ↗当α↘时，αcos ↗→x f ↗→x d ↘ ③标量性与矢量性的联系条纹密x d ↘→x f ↗→α↘→θ↗x x f d 1=λαcos =x f 条纹疏x d ↗→x f ↘→α↗→θ↘2．空间频率分量的定义及表达式？{}γβαcos ,cos ,cos k k ={}z y x r ,,=)cos cos cos (γβαz y x k r k ++=⋅代入复振幅表达式：()()()[]γβαμcos cos cos ex p ,,,,0z y x jk z y x z y x U ++=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=z y x j z y x λγλβλαπμcos cos cos 2exp ,,0 ()()[]z f y f x f j z y x z y ++=λπμ2ex p ,,0式中：λαcos =x f ，λβcos =yf ，λγcos =z f3．平面波的表达式和球面波的表达式？平面波()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=z y x j z y x U λγλβλαπμcos cos cos 2exp ,,0 ()()[]z f y f x f j z y x U z y x ++=πμ2ex p ,,0球面波()1,,jkr a U x y z e γ=()21212212121221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=z y x z z y x r近轴时()1,,U x y z ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=1221021exp z y x jkz r a()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅≈1221102exp exp z y x jkjkz z a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12202exp z y x jkU若球面波中心不在坐标原点，上式改为：()1,,U x y z ()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-=1202002exp z y y x x jk U4．相干照明下物函数复振幅的表示式及物理意义？设()y x f ,为一物函数的复振幅，其傅氏变换对为 ()()(),exp 2x y x y F f f f x y j f x f y dxdyπ∞-∞⎡⎤=-+⎣⎦⎰⎰ ()()(),exp 2x yxyxyf x y F f f j f x f y df dfπ∞-∞⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰可见：物函数()y x f ,可以看作由无数振幅不同()x y x y F f f df df 方向不同()cos ,cos xyf f αλβλ==的平面波相干迭加而成。
第五章信息光学简介
一维周期性衍射屏的傅里叶展开
x
a d
x0
t
(
x)
t
(
x
d
)
1, x0 0, x0
md a
x md
x0 x
a x0
md (m
1)d
t(x) t0
a
n1 n
cos 2
fnx
b
n1 n
sin 2
fnx
t0
1 d
a
2 a
z
yy0
)]
3.透镜的作用及位相变换函数
• 设透镜的有效口径为D
1(x, y) 2 (x, y)
tL
A2 A1
exp[i(2
1)]
a(x,
y)eiL (x, y) , 0,
rD 2
rD
D
2
• 忽略透镜的吸收 a(x, y) A2 / A1 1
~tL (x, y) exp[iL (x, y)] exp{i[2(x, y) 1(x, y)]}
其中，n
n a
d
rk
n
z
0级波
n级波
平面波，相位 k r 2 x sin 2 fn x
n级波的方向
sinn
fn
n
d
d sinn n 光栅方程
n
n a
d
a sinn
un
a sinn d n
a sin un d un
U (n )
cos 2
信息光学(傅里叶光学)Chap5-2
成像系统的普遍模型——黑箱模型
复习：（几何光学） 复杂光学系统由多个透镜（正、负、厚、薄不同） 和光阑组成。透镜孔径也构成光阑。 光阑：光学元件的边框和特加的有一定形状开孔的屏统称 光阑。有拦光作用（对成像光束的大小有限制作用）。
#
§5-2 成像系统的一般分析
成像系统的普遍模型——黑箱模型
孔径光阑（孔阑 Aperture Stop）：所有光阑中有一个 对成像光束最终起到实际限制的作用，决定成像光 束截面或立体角，称为孔径光阑。（注意不一定几 何尺寸最小） 入射光瞳（入瞳 Entrance Pupil）：孔径光阑通过它前 面的光具组所成的像。由于物像共轭关系，物方能 通过入瞳的光束，必定能完全通过孔阑。 出射光瞳（出瞳 Exit Pupil）：孔径光阑通过它后面 的光具组所成的像。 所以，通过孔阑的光束在像方能完全通过出瞳。 #
衍射受限系统的脉冲响应是光学系统出瞳的夫琅和费衍射 图样.中心在几何光学理想像点 任意复杂的衍射受限光学成像系统，都可看作线性空不变系统. 像的复振幅分布是几何光学理想像和系统出瞳所确定的脉冲响 应的卷积。 #
§5-2 成像系统的一般分析 四、非单色照明
光学系统的成像性质与照明方式有密切的关系
实际光源不是严格单色，总有一定的光谱线宽Δ n. 本节讨论准单色照明, 即Δ n << n, n是照明光波的平均频率。 在非单色光照明的情况下，光场扰动可表示为
T
2
Hale Waihona Puke T 2U i xi , yi ; t U i xi , yi ; t dt
T
2
T
2
dt U 0 x0 , y0 ; t h( xi , yi ; x0 , y0 )dx0 dy0
信息光学PPT课件第五章光学全息
)
Uc (x,
y, z)
Ae jkr
U
( x,
y,
z)
U( x, y, z) Ae jkr Aexp jk( x cos y cos z cos )
Uc ( x, y, z) Ae jkr U ( x, y, z)
共轭光波的数学表达式为原光波复振幅的共轭复数。
已知 于是
参考波
R
记录介质上的的总光强为 I( x, y) O( x, y) R( x, y) 2
O
物波
记录介质
O( x, y) 2 R( x, y) 2 R( x, y)O( x, y) R( x, y)O( x, y)
O(x, y) 2 R(x, y) 2 2r(x, y)O0(x, y)cos (x, y) (x, y)
参考波
R
O
物波
记录介质
上图为波前记录的示意图,设传播到记录介质上的物光波前复振幅（对于理 想单色光，其空间的复振幅分布是不随时间变化的）为
O( x, y) Oo ( x, y)exp j ( x, y)
传播到记录介质上的参考光波前复振幅
R( x, y) r( x, y)exp j ( x, y)
全息图片
全息图片
当照明光波与参考光波均为正入射的平面波时，入射到 全息上的相位可取为零。这时U3和U4中的系数均为实 数，无附加相位因子，全息图衍射场中的+1级和-1级光 波严格镜像对称。由共轭光波U4所产生的实像，对观察 者而言，该实像的凹凸与原物体正好相反，因而给人以 某种特殊的感觉，这种像称为赝像。
如何得到三维的图像呢？
如果我们能够用某一种方法把物体光波（其中包含振幅和 相位信息）以某种方式记录下来，则当我们想办法把物光波 再现出来的话，就能再现三维的物体。
信息光学课件
电磁场与麦克斯韦方程
电磁场的基本概念
电磁场是由电场和磁场组成的， 它们之间存在相互作用。
麦克斯韦方程
描述了电磁场变化的四个基本方程 ，包括电场的散射方程、磁场的散 射方程、电场的波动方程和磁场的 波动方程。
电磁场的能量守恒
电磁场在空间中传播时，其能量不 会消失也不会凭空产生，即电磁场 的能量守恒。
将光学传感技术应用于物联网领域，实现智能化 、远程化和自动化的监测和控制。
3
光学传感器的集成与小型化
通过集成和优化光学器件，实现光学传感器的微 型化和便携化，满足不同应用场景的需求。
05 信息光学实验与实践教学 环节设计
实验内容与目标设定
实验内容
信息光学实验包括干涉、衍射、光学 信息处理等基本实验，以及一些综合 性和创新性实验。
信息光学课件
目录
CONTENTS
• 信息光学概述 • 信息光学基础理论 • 信息光学器件与系统 • 信息光学前沿技术与发展趋势 • 信息光学实验与实践教学环节设计 • 信息光学课程评价与总结反思环节设计
01 信息光学概述
信息光学定义与特点
信息光学定义
信息光学是一门研究光学信息的 获取、传输、处理、存储和显示 的科学。
傅里叶变换与信息光学
傅里叶变换
是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，常用于信号处理 和图像处理等领域。
信息光学的基本概念
信息光学是一门研究光波在空间和时间上传递、处理和存储信息的 科学。
信息光学的应用
信息光学在通信、生物医学成像、军事等领域有着广泛的应用，如 光纤通信、光学显微镜、光学雷达等。
03 信息光学器件与系统
光学器件分类与特点
主动光学器件
信息光学第五章解读
实际操作怎样记录物体的干涉信息？ • 常用的记录介质是银盐感光胶片，对两个波前的干涉图样
曝光后，经显影处理得到全息图。 • 记录介质的作用相当于线性变换器，它把曝光时的入射光
强线性地变换为显影后的振幅透过率分布。 • 全息图振幅透过率与光强成正比：
x, y 0 I x, y
为常数，与底片曝光和显影过程有关，
光学全息
主讲人：徐世祥
教学内容
光学全息基本原理 同轴和离轴全息图 基元全息图 傅立叶变换全息图 体积全息、计算全息 全息术的应用
教学目的和要求
本章是信息光学的应用，重点是全息术的基本原理，傅立叶 变换全息；要求学生掌握基本原理，实现各种全息图的方法 及其特点.
概述
• 普通感光片:只能记录光波的振幅(光强)，不能记录相位， 不能真实地重现原来的物光波，图像缺乏立体感。
• 成像具有三维特性，可以从不同的角度观测，而几何成像是 平面像；
• 成像的方式不同：几何成像记录物面上的相对光强分布，而 全息成像记录物体光波，包含相位信息。
• 全息图具有弥散性：一张用激光重现的透射式全息图，即使 被打碎成若干小碎片，用其中任何一个小碎片仍可重现出所 拍摄物体的完整的形象。不过当碎片太小时，重现景像的亮 度和分辨率会伴随着降低。 而几何成像，去掉一部分底片，就去掉一部分像。
量。I(x,y) t （光强时间）
强度透过率：透过光强/入射光强。 e2h
光密度：表示显影、定影后底片上单位面积的含银量。它 与强度透过率倒数的对数成正比。
CCD记录：数值再现。
三、全息图记录和再现小结
• 波前记录：光的干涉效应，它使振幅和位相调制的信息变 换为干涉图的强度调制信息，相对于一“编码”过程；
• 全息术是基于光的干涉和衍射现象，系统就应满足一定的相 干要求： 1）激光具有足够的时间相干性和空间相干性； 2）记录介质具有足够的分辨率，与物光可参考光的夹角相 适应； 3）曝光期间，光学系统应稳定到波长的十分之一以内； 4）物光、参考光的强度比例要适当。
信息光学
湖北省高等教育自学考试大纲课程名称：信息光学课程代码：7076第一部分课程性质与目标一、课程性质与特点信息光学是应用光学、计算机和信息科学相结合而发展起来的一门新的光学学科，是信息科学的重要组成部分，也是现代光学的核心。
本课程主要从两个方面介绍信息光学的基本内容：一是信息光学的基础理论，包括线性系统理论、标量衍射理论、传递函数理论等；二是信息光学的主要应用，包括光学全息、计算全息、空间滤波、光学相干和非相干处理等。
二、课程目标与基本要求通过本课程的教学，使学生了解和掌握光信息科学的基本理论及基本技术，了解光信息科学的实际应用，培养学生理论联系实际，开拓学生理论用于实践的方法和创新思路，提高学生解决实际问题的能力。
三、与本专业其他课程的关系《信息光学》是光机电一体化工程专业的一门专业课，其先修课程主要包括普通物理、高等数学、傅立叶变换、光学等课程。
第二部分考核内容与考核目标第一章线性系统分析一、学习目的与要求本章基本内容为：常用数学函数，卷积与相关，傅立叶变换性质及定理，线性系统分析，二维光波场分析。
本章是本课程的基础，要求学生在解决光学问题中能熟练运用其性质和定理，线性系统与光学系统的关联，加深对空间频率、空间频谱概念的理解。
二、考核知识点与考核目标（一）（重点）识记：常用数学函数；卷积；互相关、自相关；傅立叶变换；线性系统；线性平移不变系统理解：傅立叶变换性质；线性系统分析；空间频率、空间频谱；应用：单色平面波空间频率的计算（二）（次重点）识记：卷积、相关的性质；理解：傅立叶变换基本定理第二章标量衍射理论一、学习目的与要求本章基本内容为：基尔霍夫积分定理；基尔霍夫衍射公式；菲涅耳衍射和夫朗和费衍射；透镜的傅立叶变换特性。
本章是教学的重点，是信息光学的基础，要求学生掌握标量波衍射理论，侧重利用菲涅耳衍射与卷积、夫朗和费衍射与傅立叶变换关系解决问题；掌握光波通过透镜的相位分布，透镜的傅立叶变换特性及孔径对透镜实现傅立叶变换的影响。
信息光学的数学基础
1.1.1
矩形函数
矩形函数(rectangle function)是在光信息处理中很有用的非初等函数之一，习惯上用 rect ( )或 ( )表 示。信号脉冲如光脉冲、电脉冲等的形状为矩形时，就可用矩形函数来描述，所以矩形函数也常称为矩形 脉冲。对一个具有确定形状的脉冲，通常可以用脉冲的宽度、高度和脉冲面积(一维函数曲线下所包含的面 积， 即函数在整个定义域上的积分值)， 这三个参数来描述， 这个三参数中二个确定了， 另一个也就确定了。 把描述脉冲形状的某些参数取单位值 1 时，会使用问题变的简洁而方便又不会失去其特性，这就是所谓的 单位脉冲(或单位函数)，也称为标准脉冲(或标准函数)。单位脉冲通常先设定脉冲面积为 1，如果脉冲面积 无法定义，就设定高度为 1，当然会可将宽度设定为 1。 一维单位矩形函数的定义为：
格式 1：y = rectpuls(x) 功能： 产生单位高度为 1、 宽度为 1、 中心为 0 的矩形。 注意： 在 MATLAB 中， 该函数间断点的值规定为 rectpuls(0.5)=1 和 rectpuls(0.5)=0。 格式 2：y = rectpuls(x, a) 功能：产生指定宽度为 a 的矩形。
3
1
rect(x,y)
0.5
0 1 0.5 0 -0.5 y -1 -1 -0.5 x 0.5 0 1
图 1.1.3
二维单位矩形函数
1.1.2
阶跃函数
阶跃函数(step fucction) ， 用 step ( )或 H ( )表示。 为记念英国的著名的电气工程师海维赛德(Heaviside，
1850-1925)，又称为海维赛德函数。一维单位阶跃函数的定义为：
1
常被使用的形式。另二种表达式的定义是：
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第五章 光学信息处理基础光学信息处理是在全息术、光学传递函数和激光的基础上，将数学中的傅里叶变换和通信中的线性系统理论引入到光学，用光学的方法实现傅立叶变换，在频域中描述和处理光学信息。
傅立叶分析的方法早在十九世纪末、二十世纪初成功地应用于光学领域，具有代表性的是阿贝关于显微镜的两次成像理论和阿贝-波特实验。
上个世纪三十年代泽尼克发明的相衬显微镜是光学信息处理的早期卓越成就。
激光器的出现为人们提供了相干性非常好的光源，光学信息处理得到迅速发展，例如用光学的方法实现相关运算、特征识别微分运算等。
本章主要内容：1波前变换；2阿贝成像原理和相衬显微镜；3傅里叶变换；4傅立叶变换光学及光学信息处理；5光学全息照相；§1 波前变换(Wave front transformation) 1.1 对衍射的再认识前面我们把光经过障碍物后偏离传播的现象称为衍射。
应用惠更斯-菲涅耳原理讨论了光的衍射问题后，我们意识到光的衍射是光在传播的过程中波面受到某种限制，即自由传播波面被破坏，这便是衍射。
按照惠更斯-菲涅耳原理，只要将波前()0U Q 上每一面元看成次波中心，把它们对空间某一点的贡献相干叠加，就能求衍射场的分布()U P ，并且波前()U P 由()0U Q )唯一的确定。
上述意味着，在Σ上有障碍物存在，使得Σ上波前函数()0U Q )发生了与自由传播有所不同的变化，光波场就会产生重新分布，这就是衍射的实质。
1.2 衍射系统的屏函数(screen function)按照前面我们对光的衍射认识，凡能改变波前上的复振幅的物体称为衍射屏（diffractionfunction ）。
衍射屏可以是透射物体，也可以示反射物体，有各种形状。
光波经过衍射屏是光的传播问题，要用菲涅耳-基尔霍夫积分公式计算，把这种衍射看作是一种变换，衍射屏能将输入波前()in U x,y %转化为波前()outU x,y %，衍射屏可用以下一个函数表征。
()()(),,,out inU x y T x y U x y =屏函数包括振幅和相位两部分，通常有以下三种 ① 相位型 ② 振幅型 ③ 振幅相位型任何形状的孔或遮光屏是最简单的振幅型透射衍射屏，他们的函数具有如下形式()10,T x,y ,ìïï=íïïî% 透镜是常见的相位型衍射屏。
0ϕπ-1.3平面波的波前函数一个沿k方向传播的平面波，在x-y 平面上的复振幅可表示为(exp U r A j k r ϕ⎡⎤=+ （6-1）波场中空间任意点P 的相位落后于O 的相位为()()P O k r ϕϕϕ∆=-=式中r OP =，()()12cos cos cos cos x y k r k x k y k x y k x y αβθθ=+=+=+式中cos ,cos αβ分别是波矢k的方向余弦，1θ和2θ分别是α和β的余角，从而有()()()12cos cos P k x y O ϕθθϕ=++，可以看出平面波前相位因子是x,y 的先行函数。
如图所示，平面波前上的等相位线是等间隔的平行线。
相位差为2π，1.3.2 球面波前函数球面波的振幅与p 点到源的距离r 成反比()jkr A Ur e r= （6-2） 透光部分 遮光部分(U %1.4 傍轴条件 远场条件（轴上物点）把前面的球面波前函数表达式运用到衍射问题上，我们可以去一些近似。
通常衍射装置中，点源或衍射屏上的次波源离轴线的横向距离0ρ=和接受屏上场点横向距离ρ=z 小的多，面前函数中的r 可展作幂级数开成。
()()220022222000022222000121222x x y y r z z x y xx yy x y z ...z z zxx yy x y r ...z z轾-+-犏=+犏犏臌轾+++犏=++-+犏臌++=+-+ （6-4） 波前中心o 到振源s 之间的距离r0为002202x y r zz+? （6-5）若点源在轴上，x0=y0 =0 上式化为222x y r z z+=+（6-6）会聚波发散波有两种近似条件：旁轴条件和远场条件 （1）旁轴条件220221,z zr r = （6-7） ()jkr A U r e r=%式中的振幅A/r 是r 的缓变函数，在旁轴条件下r 的二次项可以忽略，认为A/r ≈A/z ，在波前上是常数，而相位因子随r 是急剧震荡的函数，不能忽略二次项。
所以旁轴条件下的波前 函数表示为()02200,exp exp 2jkr xx yy Ae x y U x y jk jk z z z ⎛⎫++⎛⎫≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （6-8） 会聚球面波的波前函数则为()022*00,exp exp 2jkr xx yy Ae x y U x y jk jk z z z -⎛⎫++⎛⎫≈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （6-9） 对于轴上点()022,exp 2jkr Ae x y U x y jk z z ⎛⎫+≈ ⎪⎝⎭（6-10）()022*,exp 2jkr Ae x y U x y jkz z -⎛⎫+≈- ⎪⎝⎭（6-11） （2） 远场条件源点202ρπ k z 或20zρλ ， 场点22k z ρπ 或2ρλ z 通常衍射装置 很难满足上述条件的尤其是场点很难满足远场条件。
若只有源点满足远场条件，则有r0≈z ，于是（12），（13）式化为()2200,exp exp 2jkz xx yy Ae x y U x y jk jk z z z ⎛⎫++⎛⎫≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （6-14）()22*00,exp exp 2jkz xx yy Ae x y U x y jk jk z z z -⎛⎫++⎛⎫≈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （6-15）1.5 透镜的相位变换函数在透镜的前后各取一平面Σin 和 Σout ，设在它们上面的输入波前函数和输出波前函数分别是()()()()()()ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩ in out j x,y in in j x,y outout U x,y A x,y eU x,y A x,y e （6-16）我们可以把透镜看作一个相位型透射屏，现计算它的屏函数()()ϕ= L j x,y LT x,y Ke （6-17）通常透镜的投射率很高，k 近似等于1，即k=Aout/Ain ≈1严格计算 φL(x,y)= φout (x,y)-φin(x,y)是困难的，现在旁轴条件下计算由于透镜很薄，入射点和出射点的坐标很相近，光程可以近似沿平行于光轴方向计算()()()()()()120121ϕ=∆+∆+⎡⎤⎣⎦=--∆+∆⎡⎤⎣⎦L x,y k x,y x,y nd x,y k nd n （6-18）其中 d0=d+ Δ1+Δ2=透镜中心厚度，与x,y 无关，常 可以略去不写，Δ1 和 Δ2分别可以写成()()()221112222222+∆=-≈+∆=--≈-x y x, y r r x y x, y r r （6-19）r1 和r2分别是透镜前后表面的曲率半径。
()()22221211122L n x y x,y k x y kr r Fϕ⎛⎫-+=--+=- ⎪⎝⎭（6-20）于是透镜的屏函数为,Q '2()222L x y T x,y exp jk F ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ （6-21）式中F 正是前面几何光学讨论过的透镜焦距公式，如果入射波为平行于光轴的平面波，即出射为()()()()222out in LU x,y U x,y T x,y x y U o exp jk F =⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（6-22）上式代表会聚到距透镜为F 的球面波，如果入射波是由s 发出发散球面波()222jkz inAe x y U x,y exp jk z s ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （6-23）出射波为()()()22222222112out in Ljkz jkz U x,y U x,y T x,y Ae x y x y exp jkexp jk z F s Ae x y exp jkz F s =⎛⎫⎛⎫++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（6-24）令111s F s=-' ()222jkz out Ae x y U x,y exp jk z s ⎛⎫+=- ⎪'⎝⎭ （6-25）上式代表会聚到透镜后轴上距离为s ’处的球面波。
1.6 棱镜的相位变换函数棱镜的作用不是成像，是让光方向发生偏折，将一束平行光变换成另一束平行光，平行光的相位子为线性，因此棱镜相位变因子应该为线性。
对于楔形棱镜可近似认为光线在两界面上等高。
设棱角为α，折射率为n ，则相位差为()()()()()01p x ,y k x ,yn d x ,y k n d n x ,yϕ=∆+⎡⎤⎣⎦=--∆⎡⎤⎣⎦（6-26）式中knd 0是常量，可以略去。
则()()1p x,y k n x ϕα=-()()1p T x,y exp jk n x α⎡⎤=--⎣⎦（6-27） 以上计算是针对一维情况，对二维有()()()121p T x,y exp jk n x y αα⎡⎤=--+⎣⎦（6-28） 如果入射波是来自于点源Q 的球面波()222jkz inAe x y U x,y exp jk z s ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（6-29） 我们知道，一个楔形棱镜位相变换函数是x 和y的作用就等效于一个棱镜 考虑透镜薄的位相变换函数， 出射波前函数为()()()[]221212αα=⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭out in PjkzU x,y U x,y Tx,y Ae x y exp jkexp k(n )(x y )z s（6-30） 出射波是轴外点源Q’发出的发散球面波，点源的位置由线性相因子系数决定()()010211x n sy n sαα⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ （6-31） §2 阿贝成像原理 2.1 阿贝成像原理传统成像的观点是物和像的对应关系是点对点。
另一种观点，着眼于频谱的变换：物是一系列不同空间频率信息的集合，相干成像分成两步。
相干入射光经过物平面发生夫琅和费衍射，在透镜后焦面上形成一系列衍射斑。
第二步是干涉，衍射斑发出的球面波在像平面上相干叠加，像就是干涉场。
这种成像的理论就是阿贝成像原理。
因为任何图像都可以作傅里叶 展开，最基本的图像是单频信息的正弦光栅。
Q 'A 'CinoutU U设光栅的空间周期为d ，空间频率f ，f=1/d ，正弦光栅的 波前为()()()2212112o j fx j fx U x,y A cos fx A e e πππ-⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦（6-32） 与平面波前()()()120U x,y U exp k x sin y sin q q 轾=+臌%%相比较 上式代表三列平面波，方向分别在0 =0θ，±sin =2/k f θπ±三列波被透镜接受，在后焦面上形成三个夫琅和费衍射斑S 0 ,S ±,像面上的场是三个衍射斑的相干叠加。