三角形的角平分线
三角形中的角平分线和中线性质
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
三角形角平分线的全部定理
三角形角平分线的全部定理
内角平分线定理指出，三角形内一角的平分线所分对边成比例。
换句话说，如果在三角形内部的一个角上作平分线，那么这条平分
线将三角形的对边分成的两部分的比例相等。
外角平分线定理指出，三角形外一角的平分线所分对边成比例。
换句话说，如果在三角形外部的一个角上作平分线，那么这条平分
线将三角形的对边分成的两部分的比例相等。
角平分线定理指出，如果在三角形的一个内角上作平分线，那
么这条平分线将这个内角分成两个相等的角。
这些定理在解决三角形内角平分线、外角平分线和角平分线的
相关问题时非常有用。
它们可以被用来证明三角形内部或外部的角
平分线所分对边的比例关系，或者用来证明两个角相等的问题。
这
些定理在几何学中有着广泛的应用，并且对于理解和解决三角形相
关的问题非常重要。
三角形的角平分线和垂直平分线
三角形的角平分线和垂直平分线三角形是几何学中最常见的形状之一，它由三条边和三个角组成。
在研究三角形的性质时，我们经常会遇到角平分线和垂直平分线这两个重要的概念。
本文将详细介绍三角形的角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在解题中的应用。
一、角平分线1. 定义：三角形的角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分为两个相等的角的线段。
具体而言，设三角形ABC中的∠BAC的角平分线为AD，那么AD将∠BAC分为两个相等的角∠BAD和∠DAC。
2. 性质：（1）角平分线与对边的关系：角平分线将对边分成两个部分，这两个部分的长度之比等于与它们相对的两个角的正弦值之比。
即AB/AC = BD/DC = sin∠BAD/sin∠DAC。
（2）角平分线的交点：三角形的三条角平分线交于一点，称为内心。
内心是三角形内切圆的圆心，三条角平分线相交于该点的原因是，该点到三条边的距离相等，满足等距离定理。
（3）内心到三边的距离：内心到三边的距离相等，且等于内切圆的半径。
设内心到三边的距离分别为r₁、r₂和r₃，那么r₁=r₂=r₃=r。
二、垂直平分线1. 定义：三角形中的垂直平分线是指从一个角的顶点出发，与对边垂直相交，并将对边分成两个相等部分的直线。
以三角形ABC中∠BAC的垂直平分线为例，假设该垂直平分线与BC相交于点D，那么BD=DC。
2. 性质：（1）垂直平分线与对边的关系：垂直平分线平分对边，并且被平分的两部分的长度相等。
即BD=DC。
（2）垂直平分线与角平分线的关系：垂直平分线与角平分线互相垂直。
也就是说，三角形的垂直平分线同时也是它的内角平分线。
三、角平分线和垂直平分线的应用角平分线和垂直平分线在解决三角形相关问题时起着重要的作用，它们能够提供关键的几何信息，帮助我们求解未知量、证明定理。
1. 解题应用：（1）角平分线的应用：在求解三角形相关问题时，可以利用角平分线的性质来求解未知量，比如利用角平分线将角分为两个相等的角，从而应用三角函数关系进行计算。
三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。
三角形的一个外角平分线与这个角的对边所在直线相交，连结这个角的顶点和交点的线段叫做三角形外角平分线。
三角形的三条角平分线相交于一点，这一点称为三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。
三角形内角平分线的性质定理：三角形的内角平分线内分对边成两条线段，那么这两条线段与这个角的两边对应成比例。
三角形外角平分线的性质定理：三角形的外角平分线分对边成两条线段，那么这两条线段与相邻的两边对应成比例。
设⊿ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形的外角平分线都在三角形外。
2、三角形的一条内角的平分线与不相邻的两个外角的平分线交于一点，该点叫做三角形的旁心。
3、三角形角平分线有个有趣的性质：三角形ABC中角A的平分线为AD，则AB:AC=BD:CD。
(可用面积法证明)4、三角形的角平分线都在三角形内。
5、设三角形ABC，∠A平分线AD，AB=c,AC=b,BC=a,半周长p=(a+b+c)/2,三条角平分线为ta,tb,tc,AD=ta,BE=tb,CF=tc,根据角平分线性质，BD/CD=c/b,(角平分对边二部分之比为其邻边之比），(b+c)/b=(BD+CD)/CD=a/CD,（合比）CD=ab/(b+c),在△ADC中，根据余弦定理，AD^2=b^2+CD^2-2CD*b*cosC=b^2+a^2b^2/(b+c)^2-2ab^2*cosC/(b+c),根据余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab),AD^2= b^2+a^2b^2/(b+c)^2-b(a^2+b^2-c^2)/(b+c)AD^2=bc[(b+c)^2-a^2]/(b+c)^2=bc[(b+c-a)(b+c+a)]/(b+c)^2,T a=AD=√[(bc*2p*(2p-2a))/(b+c)=[2/(b+c)]√[bcp(p-a)].同理可证，tb=[2/(a+c)]√[acp(p-b)].tc=[2/(a+b)]√[abp(p-c)].6、三角形的三条角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。
三角形内角角平分线定理
三角形内角角平分线定理
三角形内角角平分线定理指的是在三角形中，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
换句话说，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
这个定理也可以表述为：三角形任意两边之比等于它们夹角的角平分线分对边之比。
在证明这个定理时，通常使用相似三角形的性质或者三角形的面积公式。
例如，可以通过过角平分线上的点作角的两边的垂线，然后证明这两个三角形是相似的，从而得出结论。
这个定理在几何学中有广泛的应用，如在解决几何问题、计算面积和周长等。
三角形内角角平分线定理的证明方法有多种，以下给出一种常见的证明方法：
首先，在三角形ABC中，角A的平分线AD交BC于D，
过点D分别作AB、AC的垂线，分别交AB、AC于E和F。
由于角平分线的性质，我们知道角BAD等于角CAD。
又
因为DE和DF分别是AB和AC上的垂线，所以角DEA和角D FA都是直角。
根据三角形的全等判定定理，我们知道如果两个三角形的两边和夹角相等，则这两个三角形全等。
在这里，我们有DE=DF（因为DE和DF都是垂线），AD=AD（公共边），以及角BAD等于角CAD。
因此，三角形ADE与三角形AFD全等。
由于两个三角形全等，所以它们的对应边AE和AF也相等。
由此得出，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
综上所述，我们证明了三角形内角角平分线定理。
直角三角形 角平分线定理
直角三角形角平分线定理
直角三角形的角平分线定理是指：在一个直角三角形中，如果从直角顶点引一条线段，将对角线分成两段，那么这条线段所在的直线就是这个直角顶点的两个相邻角的平分线。
具体来说，设一个直角三角形ABC，其中∠C=90度，AD为BC的中线，DE是AC的垂线，则AD是∠A和∠B的平分线，即∠CAD=∠BAD=∠A/2，∠CBD=∠ABD=∠B/2。
这个定理的证明可以利用几何知识进行证明，例如相似三角形、角度和定理等。
但简单来说，我们可以利用三角函数的定义，根据正弦、余弦、正切等函数来计算证明。
总之，直角三角形的角平分线定理在几何学中有着重要的应用价值，可以帮助我们更好地理解和应用三角形的相关知识。
三角形的角平分线的概念
三角形的角平分线的概念摘要：I.三角形角平分线的概念A.角平分线的定义B.角平分线定理C.角平分线的性质D.角平分线的应用II.三角形角平分线的证明方法A.利用相似三角形证明B.利用向量证明C.利用坐标系证明III.三角形角平分线的应用A.在解决几何问题中的应用B.在测量问题中的应用C.在建筑设计中的应用正文：I.三角形角平分线的概念三角形角平分线是指将一个三角形的一个内角平分成两个相等的角的线段。
根据角平分线的定义，我们知道它将一个内角分成两个相等的角，因此它也将外角分成两个相等的角。
角平分线定理则告诉我们，一个角的平分线分成的两个小角和另外两个角相等。
这是因为在相似三角形中，对应角是相等的。
角平分线的性质包括：1.三角形的一个内角的平分线与另外两个内角相交，将另外两个内角分成相等的两个角。
2.三角形的一个外角的平分线与另外两个外角相交，将另外两个外角分成相等的两个角。
3.三角形的一个内角的平分线和这个内角的对边相交，将这条对边分成相等的两部分。
角平分线的应用包括：1.解决几何问题：如求解三角形的某个角度或边长，可以通过角平分线将相关角度或边长分成相等的两部分，从而简化问题。
2.解决测量问题：如测量一个建筑物的长度或高度，可以通过角平分线将目标长度或高度分成相等的两部分，从而提高测量的准确性。
3.在建筑设计中：如设计一个屋顶的形状，可以通过角平分线将屋顶的斜面分成相等的两部分，从而确定屋顶的形状和尺寸。
II.三角形角平分线的证明方法角平分线的证明方法有多种，以下是其中两种常用的方法：A.利用相似三角形证明：假设三角形ABC 中，D 是BC 上的一点，AD 是角BAC 的平分线。
我们需要证明∠BAD = ∠CAD。
通过证明三角形ABD 和ACD 相似，可以得到∠BAD = ∠CAD。
B.利用向量证明：假设三角形ABC 中，D 是BC 上的一点，AD 是角BAC 的平分线。
我们需要证明向量AB 和向量AC 在平分线AD 上的投影相等。
直角三角形的角的平分线
直角三角形的角的平分线
直角三角形的角平分线到角两边的距离相等。
直角三角形三条角平分线的交点叫内心，即内切圆的圆心。
直角三角形的内心到三边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
由内心定理可知，内心到三边的距离相等若三边分别为a1、a2、a3，周长为p，则内心的坐标为(a1/p,a2/p,a3/p)。
直角三角形性质
直角三角形是一个几何图形，是有一个角为直角的三角形，有普通的直角三角形和等腰直角三角形两种。
特殊性质有：
1、勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、在直角三角形中，两个锐角互余。
3、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即为直角三角形斜边中线定理。
4、直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
5、射影定理，在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边的射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
6、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
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三角形的角平分线
三角形的角平分线三角形的角平分线定理
李逵
教学目标：1、理解三角形的内外角平分线定理；
2、会证明三角形的内外角平分线定理；
3、通过对定理的证明，学习几何证明方法和作辅助线的方法；
4、培养逻辑思维能力。
教学重点：1、几何证明中的证法分析；
2、添加辅助线的方法。
教学难点：如何添加有用的辅助线。
教学关键：抓住相似三角形的判定和性质进行教学。
教学方法：“四段式”教学法，即读、议、讲、练。
一、阅读课本，注意问题
1、复习旧知识，回答下列问题
①在等腰三角形中，怎样从等边得出等角？又怎样从等角得出等边？请画图说明。
②辅助线的作法中，除了过两个点连接一条线段外，最常见的就是过某个已知点作某条已知直线的平行线。
平行线有哪些性质？
③怎样判断两个三角形是相似的？相似三角形最基本的性质是什么？
④几何证明中怎样构造有用的相似三角形？
2、阅读课本，弄清楚教材的内容，并注意教材上是怎样讲的。
提示：课本上在这一节讲了三角形的内外角平分线定理，每个定理各讲了一种证明方法。
为了叙述定理的需要，课本上还讲了线段的内分点和外分点两个概念。
最后用一个例题来说明怎样运用三角形的内外角平分线定理。
阅读时要注意课本上有关问题的叙述、分析以及作辅助线的方法。
通过适当的联想和猜测，找出一些课本上尚未出现的新的证明方法。
a
b
c
d
3、注意下列问题：
⑴如图，等腰中，顶角的平分线交底边于，那么，图中出现的相等线段是，，即，。
通过比较得到。
a
b
c
d
⑵如果上面问题中的换成任意三角形，即右图的，平分，交于，那么，是不是还成立？请同学们用刻度尺量一量线段、、、的长度，计算？，？，然后再比较（小的误差忽略不计）。
⑶三角形的内角平分线定理说的是什么意思？课本上是怎样写已知、求证的？
⑷课本上是怎样进行分析、证明的？都用了哪些学过的知识？证明的根据是什么？
⑸课本上证明的过程中是怎样作辅助线的？这样作辅助线的目的是什么？
⑹过、、三点能不能作出有用的辅助线？如果能，辅助线应该怎样作？各能作出几条？
⑺就作出的辅助线，怎样寻找证明的思路和方法？分析的过程中用到了哪些知识？
⑻你能不能类似地叙述三角形的外角平分线定理？
⑼回答练习中的第一题。
⑽总结证明方法和作辅助线的方法。
⑾注意内分点和外分点两个概念及其应用。
4、阅读指导丛书《平面几何》第二册。
⑴注意辅助线中平行线的作法，通过对图、、的观察分析，找出解决问题的证明方法。
⑵丛书利用正弦定理中的面积公式来证明三角形的内角平分线定理，既把有关的知识联系起来、拓展了解题思路，又为我们提供了一种比较简单的解决问题的方法，值得我们借鉴。
要注意三角形面积的几种不同的计算方法。
二、互相讨论，解答疑点
1、上面提出的问题，希望大家独立思考、独立完成。
根据已有的思路和线索，参照课本上的方法进行分析。
2、思考中实在是有困难的同学，可以和周围的同学互相讨论，发表看法；也可以请老师帮助、提示或指点。