26.1.2_二次函数的图象和与性质(1)
(1)图象是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?
y
y x2
x O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是
,
当x
0时,y<0.
例解1：在分同别一填直表角，坐再标画系出中它，们画的出图函象数，如y 图12 x2, y 2x2 的图象．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5
0 0.5 2 4.5
8
···
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
你能根据表格中的数据作出
猜想吗？
做一做
描点,连线
y 2
0
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 x -2
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论
性质是数形结合的 研究函数的重要方 法．我们得从最简 单的二次函数开始 逐步深入地讨论一 般二次函数的图象 和性质．
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
画一画
在同一坐标系中画出函数y=3x2 和y=-3x2的图象
yห้องสมุดไป่ตู้ ax2
二次函数y=ax2的性质
1.抛物线y=ax2的顶点是原点, y ax2 对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外), 它的开口向上,并且向上无限伸展；
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．
小结
1、二次函数y=ax2的图象是什么？ 2、二次函数y=ax2的图象有何性质？ 3、抛物线y=ax2 与y=-ax2有何关系？
达标测试
1.已知，二次函数 y ax2 图像经过点A(-2,4).
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的 开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在 对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在 对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向___下____,顶点是抛物 线的最____高____点，a越大，抛物线的开口越___大______．
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点
增减性
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
-4
-6
?
-8
-10 y=-x2
y
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
··
·
y x2
y 2x2
···
8
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
函数 y 1 x2 , y 2x2 的图象与函数 y=x2 2
有什么共同点和不同点？
做一做
(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是
,对称轴是
,
在对称轴 侧,y随着x的增大而增大；在对称轴 侧,
y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小
值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).
(2)抛物线 y 2 x2 在x轴的 方(除顶点外),在对称
3
轴的左侧,y随着x的
；在对称轴的右侧,y随着x的
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
增大.
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
做一做 在学中做—在做中学
求出这个函数关系式。
2.二次函数 y 2x2
当x1 x2 0时，则y1与y2的大小关系是（
）
3.若点P(1,a)和Q(-1,b)都在抛物线 y x2
上，则线段PQ的长是（
）
结束寄语
下课了!
只有不断的思考,才会 有新的发现;只有量的 变化,才会有质的进步.
··
···
·
对比抛物线， y=x2和y=－x2.它 们关于x轴对称吗？ 一般地，抛物线 y=ax2和y=－ax2呢？
－4 －2 －2 －4
－6
－8
y x2
24
y 1 x2 2
y 2x2
一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是y轴，顶点是原点．当a>0
时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
例：已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y
轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表
达式为
．
二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地， 二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
的图象相比，
相同点：开口都向上，顶点是原 点而且是抛物线的最低点，对称 轴是 y 轴
不同点：a 要越大，抛物线的开 口越小．
y x2
8 6 4 2
－4 －2
y 2x2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 y x2, y 1 x2, y 2x2 2
线有什么共同点和不同点．
的图象，并考虑这些抛物
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
y x2
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
议一议
观察图象,回答问题：
26.1二次函数图象和 性质（1）
1、二次函数的一般形式是怎样的？
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
① y x2
② y x2 1 x
③ y x x2 ④ y x2 x 1
⑤ y 1 x2 2x 4
3
(1) 一次函数的图象是一条_直__线__，反比例函数的图象是_双__曲__线___. (2) 通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线
你画出的图象与图中相同吗？
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
y
1 2
x2
···
－8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
－2 －4.5
4 ··· ···
－8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8
y
y x2
x O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是
,
当x
0时,y<0.
例解1：在分同别一填直表角，坐再标画系出中它，们画的出图函象数，如y 图12 x2, y 2x2 的图象．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5
0 0.5 2 4.5
8
···
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
你能根据表格中的数据作出
猜想吗？
做一做
描点,连线
y 2
0
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 x -2
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论
性质是数形结合的 研究函数的重要方 法．我们得从最简 单的二次函数开始 逐步深入地讨论一 般二次函数的图象 和性质．
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
画一画
在同一坐标系中画出函数y=3x2 和y=-3x2的图象
yห้องสมุดไป่ตู้ ax2
二次函数y=ax2的性质
1.抛物线y=ax2的顶点是原点, y ax2 对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外), 它的开口向上,并且向上无限伸展；
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．
小结
1、二次函数y=ax2的图象是什么？ 2、二次函数y=ax2的图象有何性质？ 3、抛物线y=ax2 与y=-ax2有何关系？
达标测试
1.已知，二次函数 y ax2 图像经过点A(-2,4).
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的 开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在 对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在 对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向___下____,顶点是抛物 线的最____高____点，a越大，抛物线的开口越___大______．
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点
增减性
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
-4
-6
?
-8
-10 y=-x2
y
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
··
·
y x2
y 2x2
···
8
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
函数 y 1 x2 , y 2x2 的图象与函数 y=x2 2
有什么共同点和不同点？
做一做
(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是
,对称轴是
,
在对称轴 侧,y随着x的增大而增大；在对称轴 侧,
y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小
值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).
(2)抛物线 y 2 x2 在x轴的 方(除顶点外),在对称
3
轴的左侧,y随着x的
；在对称轴的右侧,y随着x的
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
增大.
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
做一做 在学中做—在做中学
求出这个函数关系式。
2.二次函数 y 2x2
当x1 x2 0时，则y1与y2的大小关系是（
）
3.若点P(1,a)和Q(-1,b)都在抛物线 y x2
上，则线段PQ的长是（
）
结束寄语
下课了!
只有不断的思考,才会 有新的发现;只有量的 变化,才会有质的进步.
··
···
·
对比抛物线， y=x2和y=－x2.它 们关于x轴对称吗？ 一般地，抛物线 y=ax2和y=－ax2呢？
－4 －2 －2 －4
－6
－8
y x2
24
y 1 x2 2
y 2x2
一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是y轴，顶点是原点．当a>0
时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
例：已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y
轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表
达式为
．
二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地， 二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
的图象相比，
相同点：开口都向上，顶点是原 点而且是抛物线的最低点，对称 轴是 y 轴
不同点：a 要越大，抛物线的开 口越小．
y x2
8 6 4 2
－4 －2
y 2x2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 y x2, y 1 x2, y 2x2 2
线有什么共同点和不同点．
的图象，并考虑这些抛物
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
y x2
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
议一议
观察图象,回答问题：
26.1二次函数图象和 性质（1）
1、二次函数的一般形式是怎样的？
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
① y x2
② y x2 1 x
③ y x x2 ④ y x2 x 1
⑤ y 1 x2 2x 4
3
(1) 一次函数的图象是一条_直__线__，反比例函数的图象是_双__曲__线___. (2) 通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线
你画出的图象与图中相同吗？
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
y
1 2
x2
···
－8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
－2 －4.5
4 ··· ···
－8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8
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26.1.2二次函数图像和性质00
演示
向上
顶点从(0,0)移到了 (0,–2)，即x=0时， y取最大值–2
5 4 3 2 1
y
顶点从(0,0)移到了 (0, 2)，即x=0时， y取最大值2
x 1 2 3 4 5
–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 1 2 y x 2 –3 3 –4 –5
1 2 y x 2 3 1 2 y x 3
下 3、函数y =-2(x+1)2的图象开口向____，对称轴 (-1,0) 是____________，顶点坐标是________，当 直线x=-1
大 < -1 0 -1 x=____时，函数有最____值为____；当x_____
> -1 时，y随x的增大而增大，当x_____时， y随x的 增大而减小。 4、抛物线y=3x2-4，y=3(x-1)2与抛物线y=3x2 位置 形状 的_______相同，_______不同。抛物线y=3x2-4 是由抛物线y=3x2向____平移____单位而得到； 下 4 右 抛物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____平移 1 ____单位而得到。
y=a(x-h)2 (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性
a>0
a<0
向上 (h ,0) x=h
当x<h时， y随着x的增大而减小。 当x>h时， y随着x的增大而增大。
向下 (h ,0) x=h
当x<h时, y随着x的增大而增大。 当x>h时， y随着x的增大而减小。
极值
x=h时,y最小值=0
1y 2x 3
2
向上
2
直线x=3 直线x= –1
直线x=0 (Y轴)
向上
顶点从(0,0)移到了 (0,–2)，即x=0时， y取最大值–2
5 4 3 2 1
y
顶点从(0,0)移到了 (0, 2)，即x=0时， y取最大值2
x 1 2 3 4 5
–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 1 2 y x 2 –3 3 –4 –5
1 2 y x 2 3 1 2 y x 3
下 3、函数y =-2(x+1)2的图象开口向____，对称轴 (-1,0) 是____________，顶点坐标是________，当 直线x=-1
大 < -1 0 -1 x=____时，函数有最____值为____；当x_____
> -1 时，y随x的增大而增大，当x_____时， y随x的 增大而减小。 4、抛物线y=3x2-4，y=3(x-1)2与抛物线y=3x2 位置 形状 的_______相同，_______不同。抛物线y=3x2-4 是由抛物线y=3x2向____平移____单位而得到； 下 4 右 抛物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____平移 1 ____单位而得到。
y=a(x-h)2 (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性
a>0
a<0
向上 (h ,0) x=h
当x<h时， y随着x的增大而减小。 当x>h时， y随着x的增大而增大。
向下 (h ,0) x=h
当x<h时, y随着x的增大而增大。 当x>h时， y随着x的增大而减小。
极值
x=h时,y最小值=0
1y 2x 3
2
向上
2
直线x=3 直线x= –1
直线x=0 (Y轴)
二次函数图像与性质ppt课件
D．f(1)＞25
答案：A
三基能力强化
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足 f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)的大小关系不确定 答案：C
三基能力强化
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区
间[0，m]上有最大值3，最小值2，则
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)待定系数法．(2) 二次函数的单调性．
【解】 (1)依题意，方程f(x)＝ax2 ＋bx＝x有等根，
则有Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1. 2分 又f(－x＋5)＝f(x－3)， 故f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴－2ba＝1，解得 a＝－12，
∴f(x)＝－21x2＋x. 5 分
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
基础知识梳理
基础知识梳理
基础知识梳理
二次函数可以为奇函数吗？ 【思考·提示】 不会为奇 函数．
三基能力强化
1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在
区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的
范围是( )
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤2＋2＝(x＋a)2＋2 －a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5，或－a≥5， 解得a≤－5，或a≥5. 10分
规律方法总结
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a ＞0)在区间[m，n]上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大 值为 f(n)；
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表 达形式
二次函数图像和性质课件(1)完整版公开课全篇
B. y= –(x+1)2+1
C.y=(x–1)2+1
D. y= –(x–1)2+1
1)若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向 下平移4个单位所得抛物线的解析式是 ________
2)如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移 得到抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平 移得到抛物线y=2(x+2)2-1
(h,k)
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
1.
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大 而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的 增大而减小 .
y=3x2
向右
向上
y=3(x-1)2
y=3(x-1)2+2
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象和抛物线 y=3x²,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
y 3x 12 2
y 3x 12
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
26.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
y
Q(0,b)
(-,+) o (-,-)
(+,+)
P(a,0)
x (+,-)
3. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ③.对称于坐标轴的两点: y
C(m,n) M(a,b)
②.各坐标轴上的点: ④.对称于原点的两点:
N(a,-b) A(x,y)
o
x
D(-m,-n) B(-x,y)
试学活动一
二次函数y=ax 二次函数y=ax2的图象和性质
y
x
平面直角坐标系: 一. 平面直角坐标系 1. 有关概念: 2. 平面内点的坐标:
你还记得有关 y 平面直角坐标 P (a,b) b 系的相关知识 吗? a o
(纵轴) 第二象限 第一象限 第三象限 第四象限
x(横轴)
3. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ②.各坐标轴上的点:
y=－ 2 3 x
2
试学活动二
2
，
的图象。
x
y= 1 2 x y=x2 2
... ... ... ...
-4 -3 8 4.5
-2 -1 2 0.5
0 0 0 0 0 0
1 0.5 0.5 0.5 1
− 2 3
2 2 1 2 1.5 1.5
3 4.5 1.5 4.5 2
− 8 3
4 8 2 8 3 -6
y = 2x2
y = − x2
2 y = − x2 3
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。 抛物线。 抛物线 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 对称， 轴就是它的 对称，y轴就是它的 对称， y轴就是它的 对称，y轴就是它的 对称， 对称， 轴就是它的 对称轴。 对称轴。轴就是它的 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴与抛物线 抛物线的交点 对称轴与抛物线的交点 对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点。 叫做抛物线的顶点
26.1.2二次函数图像与性质
的图象，并考虑这些抛物
x
· －4 · ·
－3
－4.5 －1.5
－2
－2 －1 －2
－1 －0.5
－0.5 －0.5
0 0
1
－0.5 0 0
2
3
4
－8 2
· · · · · ·
· · 1 2· －8 y x 2
x · －2 · ·
－2 －4.5 1 1.5
0.5
· · ·
· · ·
· · ·
－8 －4.5 －0.5 －2 －4.5 －8
(2 2 , 6)
3 y x 4
练一练:
1.若抛物线 y
(2m 1) x
）
2
的开口向下，则
m的取值范围为（B
( A)m 0
1 (C )m 2
1 ( B )m 2 1 ( D )m 2
练习三、已知抛物线y ax 2 a 0 与双曲线 2 y 交点的横坐标大于零。问a是大于零 x 还是小于零？
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2 图象 a＞0 a＜0
O O
开口
开口向上
开口向下
对称性
顶点 增减性
|a|越大，开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点（0，0） 顶点是最低点 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
y = x2
9
6
3 －3 3
看出： y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．
26.1.2二次函数的性质(1)
4
对称轴
3
2
1
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
自学展示：
1. 二次函数y＝x2的性质。 2．抛物线y＝x2与y＝－x2关于___对称，因此， 抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于______ 对称， 开口大小______． 3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越__； 当a＜0时，｜a｜ 越大，抛物线的开口越 ___； 因此，｜a｜ 越大，抛物线的开口越_____， 反之，｜a｜ 越小，抛物线的开口越_____
m2 2
自学检测:
1.函数y＝x2的图象开口向___，顶点是___，对称轴是 ____，当x＝____时，有最___值是___． m2 m 2.二次函数y＝mx 有最低点，则m＝____． 3.二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值 范围为____． 4.写出一个过点（1，2）的 函数表达式____． 5.如图， ① y＝ax2 ② y＝bx2 ③ y＝cx2 ④ y＝dx2 比较a、b、c、d的大小，用“＞”连接_______。
二次函数的图 象和性质（1）
学习目标:
1.知道二次函数的图象是一条抛物 线；
2.会画二次函数y＝ax2的图象； 3.掌握二次函数y＝ax2的性质，并
会灵活应用．
自学指导（一）:
看课本4页的内容,完成下列问题: 1.画二次函数y＝x2的图象． 2.观察图象，口答下列问题：
（1）二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫____． （2）二次函数y＝x2中，二次函数a＝___，抛物线y＝x2开 口___． （3）自变量x的取值范围是___． （4）观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相 等，所描出的各对应点关于______对称，从而图象关于 ______对称． （5）抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物 线y＝x2的_________．因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛 物线的_____________． （6）抛物线y＝x2有____点（填“最高”或“最低”） ．
26.1.2二次函数y=x2的图像1
1. 二次函数的图像都是抛物线. 2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. (2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点;（0，0） 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点;（0，0） |a|越大,抛物线的开口越小;
y
a>0
一般地，二次函数y=ax2 的图象是抛物线 _______, 对称 轴是Y ____ 原点 ． 轴 ，顶点是______ 当a>0时，抛物线的开口_____ 向上 ，顶点是抛物线的 低 点，当x ＜ 0时，y随x的增大而_______, 减小 最___ 当 增大 x > 0时，y随x的增大而_______, ；a越大，抛物 越小 ； 线的开口_____ 向下 ，顶点是抛物线的 当a<0时，抛物线的开口_____ 高 点，当x ＜ 0时，y随x的增大而_______, 增大 最___ 当 减小 x > 0时，y随x的增大而_______, ；a越大，抛物 越大 ； 线的开口_____
当a<0时，抛物线的开口向 下 顶点是抛物线的最____ 高 点， ____, a越大，抛物线的开口越 大 ． ____ │a│越大抛物线开口越小
1 2 y x 2
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
a<0
-3 -2 -1
1
y
1 2
0 -1 -2 -3 -4
3x
1 y x2 2
y 2 x 2
a>0 一般地，抛物线 y=ax2 的对称 原点 ．当 y轴 ，顶点是______ 轴是____ a>0时，抛物线的开口向上 _____，
y 2 x 2y
26.1.2 二次函数的图象和性质
2、二次函数的一般形式。
3、画函数图象的一般步骤及各步注意的问题。
二、探索新知：
画二次函数 的图象．
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
描点，并连线
由图象可得二次函数 的性质：
东辛店中学验标题
（满分：50+20时间：10分钟成绩：）
必做题：（共5题，每题10分）
1．函数y＝x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，
当x＝___________时，有最_________值是_________．
2．二次函数y＝mx 有最低点，则m＝___________．
对称，开口大小_______________．
3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；
当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越_________；
因此，｜a｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________．
六、课堂训练
1．填表：
开口方向
顶点
1、二次函数 是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2、二次函数 中，二次函数a＝_______，抛物线 的图象开口__________．
3、自变量x的取值范围是____________．
4、观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
3、画函数图象的一般步骤及各步注意的问题。
二、探索新知：
画二次函数 的图象．
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
描点，并连线
由图象可得二次函数 的性质：
东辛店中学验标题
（满分：50+20时间：10分钟成绩：）
必做题：（共5题，每题10分）
1．函数y＝x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，
当x＝___________时，有最_________值是_________．
2．二次函数y＝mx 有最低点，则m＝___________．
对称，开口大小_______________．
3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；
当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越_________；
因此，｜a｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________．
六、课堂训练
1．填表：
开口方向
顶点
1、二次函数 是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2、二次函数 中，二次函数a＝_______，抛物线 的图象开口__________．
3、自变量x的取值范围是____________．
4、观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
26.1.2二次函数Y=ax的平方的图像(1)Word 文档
，在对称轴的
左边，曲线自左向右 ，函数值 y 随 x 的增大 而 ；在对称轴的右边，曲线自左向右 ，函数 值 y 随 x 的增大而 ； 顶点是抛物线上位置最 的 点，顶点的纵坐标就是函数的 。 2 （3）抛物线 y＝ax ，｜a｜越大则抛物线的开口就越小，｜ a｜越小则抛物线的开口就越大． 四、巩固检测： （约 8 分钟） （A.B.C 层完成）
2 2
称轴的左边，曲线自左向 右______，函数值 y 随着 x 的增大而______，在对称轴的右 边 ， 曲 线 自 左 向 右 ______ ， 函 数 值 y 随 X 的 增 大 而 __________，抛物线的 点是抛物线上位置最高的 点。当 X＝______时，函数值 y 取得最大值，最大值 y=______。 3、二次函数 y ax 的图象的性质：
土坎中学校“自主互助学习型”数学高效课堂导学案 函数______y 随着 x 的增大而减小．(3)函数______的图象关 于 y 轴对称．函数 ______ 的图象关于原点对称． (4) 函数 ______有最大值为______．函数______有最小值为______． 3、已知函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数)．(1)若它是二 次函数，则系数应满足条件______． (2)若它是一次函数，则系数应满足条件___．(3)若它是正比 例函数，则系数应满足条件__． 4、已知函数 y＝(m2－3m) x
2
（1）当 a＞O 时，抛物线 y ax 开口向
2
，在对称轴
的左边，曲线自左向右 ，函数值 y 随 x 的增大 而 ；在对称轴的右边，曲线自左向右 ，函数 值 y 随 x 的增大而 ； 顶点是抛物线上位置最 的 点，顶点的纵坐标就是函数的 。 （2）当 a<O 时，抛物线 y ax 开口向
二次函数的图像和性质ppt课件
二次函数与其他数学知识的综合应用
与三角函数的结合
在解决一些复杂的数学问题时，二次函数与三角函数经常需要结合使用，如振 动和波动的问题。
与解析几何的结合
二次函数图像与直线、圆等几何图形结合时，可以形成一些有趣的几何问题， 如切线、相交弦等。
05
习题与解答
基础习题
01
02
03
题目1
请画出二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的图像。
题目6
已知二次函数$f(x) = x^2 - 2x$在区间$(1,3)$上有零 点，求该零点的近似值。
答案与解析
题目1答案与解析：答案略，
解析略。
01
题目2答案与解析：答案略，
解析略。
02
题目3答案与解析：答案略，
解析略。
03
题目4答案与解析：答案略，
解析略。
04
题目5答案与解析：答案略，
解析略。
详细描述
对于开口向上的二次函数，其最小值出现在顶点处，可以通过公式x=-b/2a求得顶点的 横坐标，进而求得最小值；对于开口向下的二次函数，其最大值出现在顶点处，同样可
以通过公式x=-b/2a求得顶点的横坐标，进而求得最大值。
二次函数的增减性
总结词
由二次函数的开口方向和对称轴决定，对称轴左边函数值随x增大而减小，对称轴右边函数值随x增大而增大。
05
题目6答案与解析：答案略，
解析略。
06
THANK YOU
感谢聆听
二次函数的图像和性质ppt课 件
目
CONTENCT
录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 习题与解答