微积分(上)复习提纲(浙江工商大学)

sin x lim 1 x 0 x
lim (1
n
1 n ) e n
sin x lim 1 x 0 x
sin x lim 0 x x 1 lim x sin 1 x x 1 lim x sin 0 x 0 x
1 n lim (1 ) e n n
等等.
第二类换元法（注意利用不同的代换形式，并代回）
主要是两种代换：三角代换和根式代换
三角代换，目的是化掉根式.
一般规律如下：当被积函数中含有
(1) ( 2) ( 3)
根式代换：
a2 x2 a x
2 2
可令 x a sin t ;
可令 x a tan t; 可令 x a sec t .
8. 渐近线（水平、垂直）——怎么求？ 友情链接： 水平：令x趋于无穷大（包括正、负）求极限； 垂直：就是寻找函数的无穷间断点
第四章 积分
1.不定积分和原函数的含义，积分与导数微分的运算关系 2.基本积分公式（记清楚） 3.积分的几种计算方法：
第一类换元法（凑微分），要求：大胆推测，勇敢尝试
常用凑微分公式： 1 2 1 dx d(kx b) (k 0 ) ； xdx dx ； k 2
5.求分段函数在分段点的极限（左极限、右极限）；讨论 分段函数在分段点的连续型和可导性（一定利用定义：左 连续且右连续，左导数等于右导数），函数中含有未知常 数的确定方法。
第二章 导数与微分
1.导数的定义以及等价形式，单侧导数、讨论导数的存在性
导数的几何意义: 切线的斜率（求切线）;可导、可微、连 续的关系
如果函数f(x)满足：(1)在闭区间[a, b]上连续，(2)在开区间(a, b)内可导，则 至少存在一点x(a, b)内，使得
f (x )
f (b) f (a ) . ba
利用拉格朗日定理可证明不等式、恒等式
3.单调性的判别:导数的+，－，利用函数的单调性确定某些方程 实根的个数(唯一)和证明不等式（也许需要多次求导）
7.实际问题中最大(小)值，方法、步骤
友情链接： 经济问题中的 应用
对于实际问题： ①先建立函数关系式（确定出定义域）； ②求出其极值； ③如果f(x)在[a,b]上连续,且在(a,b)内可导,且有唯一驻点,则若 为极小值点必为最小值点,若为极大值点必为最大值点；更进 一步,若实际问题中有最大(小)值,且唯一有驻点,则不必判断极 大还是极小,立即可以断定该驻点即为最大(小)值点. 成本函数、需求函数、价格函数、收益函数、利润函数、 边际函数、函数的弹性以及公式、
m x n m x n 当 0 时，因为 2 dx dx ax bx c a（x p)(x q) 1 A B 1 ( )dx ( A ln x p B ln x q ) c ; a x p xq a
p, q 为ax 2 bx c 0 的两个实根; A, B 为待定系数
1 x lim (1 ) e x x
lim (1 x ) e
x 0
1 x
lim (1 ) e
x
1
利用等价无穷小代换求极限，记住常用的等价无穷小：
当x 0时, sin x ~ x , arcsin x ~ x , tan x ~ x, arctan x ~ x, 1 2 n 1 x 1 ~ 1 x . x ln( 1 x ) ~ x, e 1 ~ x, 1 cos x ~ x ， n 2
1 1 dx 2d x ； dx d ln x ； x n 1dx 1 dx n x n x
sin x d x d cos x ； cos xdx d sin x ；
csc2 xdx d cot x ； sec2 xdx d tan x ； 1 1 dx d arctanx ； dx d arcsinx ； 2 1 x 1 x2
2.基本求导(微分)法则与导数(微分)公式，复合函数求导（微 分）注意一定要将导数求到底，高阶导数 （莱布尼兹公式和几
个特殊函数的公式）
隐函数求导（微分）法则: 直接对方程两边求导注意y是x 的函数！！，解方程; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则和复 合函数求导法则求导; 求连乘积、商或幂指函数的导数时，用对数求导法
m x n m x n 当 0 时，因为 dx dx 2 2 ax bx c a( x p) 1 m k m k [ ]dx ln x p c ; 2 a x p ( x p) a a( x p)
mx n 当 0 时，因为 2 dx ax bx c m mb （2ax b) (n ) 2a dx 2a ax2 bx c
微积分（上）复习提纲
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微积分（上）复习提纲
第一章 函数与极限 1.函数：求定义域，函数复合的计算，求函数的函数值，函 数的奇偶性、周期性 2.求极限：利用极限的性质（和、差、积、商的极限等于极限 的和、差、积、商；有限个无穷小之和仍为无穷小，无穷小 与有界函数的积仍为无穷小，连续函数：若已知为连续函数， 则函数的极限即为函数的函数值）求极限；利用极限存在的 两个准则（两边夹，单调有界数列必有极限）；利用两个重 要极限 求极限（注意它们的变形形式）
x2 a2
分部积分：基本的方法和原则，合理选择U、V。
1）何时使用分部积分公式呢？
使用分部积分的情况共有三种：
1.孤零零的对数函数的积分；
2.孤零零的反三角函数的积分；
3.求解两种不同类型函数乘积的积分时，使用分部积 分公式（最多的情况）；
2）u , dv 选择的原则：
指，三、幂、反，对 的顺序
m d (ax2 bx c) mb 1 (n ) dx , 可以积出来 . 2 2 2 2a ax bx c 2a a（x x0 ) h
u( x)d v( x) u( x)v( x) v( x)d u( x) .
分部积分常与换元法结合使用、分部积分有时需要多次重复使用
有理二次分式函数的不定积分
P( x) mx n Q( x) , 其中 Q( x) 是多项式函数 . 2 2 ax bx c ax bx c
Hale Waihona Puke 利用洛必达法则求极限洛必达法则
型
通分
0 ,1 , 型
0 0

0 型 0 型
取对数
0 型
3.间断点的分类与判别方法（注意不要遗漏间断点）
第一类间断点（左右极限均存在）:可去型,跳跃型. 间断点 第二类间断点（左右极限有不存在） :无穷型,振荡型.
4.闭区间上连续函数的性质：最大最小值定理，零点定理（与 导数判断单调性结合证明方程有唯一根）
4.曲线凹向的判定，拐点的求法 5.极值：极值点要么是驻点,要么是不可导点,两个充分 条件,用来判别是否为极值点.
6.最值
{f ( x1 ),… , f ( xk ), f (a), f (b)} M max m min{f ( x1 ),… , f ( xk ), f (a ), f (b)}
第三章 导数的应用与微分中值定理
1. 罗尔(Rolle)定理
如果函数yf(x)满足条件：(1)在闭区间[a, b]上连续，(2)在开区间(a, b)内 可导，(3) f(a)f(b)，则至少存在一点x(a, b)，使得f (x) 0。
不求导数，判断实根的个数；证明存在一点，满足某个等式， 关键是辅助函数的构造 2. 拉格朗日(Lagrange)中值定理