豫南九校2020高三联考数学试卷
2019-2020学年河南省豫南九校上学期第三次联考高一数学试题(解析版)
2019-2020学年河南省豫南九校上学期第三次联考高一数学试题一、单选题1．下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面【答案】C【解析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.2．下列哪个函数的定义域与函数()15x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域相同（ ）A ．2y x x =+B ．ln 2y x x =-C ．1y x =D ．1y x x=+ 【答案】B 【解析】求出函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域，再求出各选项中的定义域，比较即可得出选项.【详解】 函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为()0,∞+，对于A ，函数2y x x =+的定义域为R ；对于B ，函数ln 2y x x =-的定义域为()0,∞+；对于C ，函数1y x=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞； 对于D ，函数1y x x=+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞； 故选：B【点睛】 本题考查了指数函数的值域、对数函数的定义域，属于基础题.3．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解析】由，，则，故选C.4．已知圆锥的侧面积展开图是一个半圆，则其母线与底面半径之比为（ ）A ．1B C D ．2 【答案】D【解析】圆锥的侧面展开图为扇形，根据扇形的弧长即为圆锥的底面圆的周长可得母线与底面圆半径间的关系．【详解】设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，由已知可得2r l ππ=，所以2l r =， 所以2l r=， 即圆锥的母线与底面半径之比为2.故选D ．【点睛】解答本题时要注意空间图形和平面图形间的转化以及转化过程中的等量关系，解题的关键是根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得到等量关系，属于基础题．5．已知函数()2f x x x a =++在区间()0,1上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．()2,0- D ．[]2,0-【答案】C【解析】函数f (x )=x 2+x +a 的图象的对称轴方程为12x =-,故函数在区间(0,1)上单调递增，再根据函数f (x )在(0,1)上有零点,可得()()00120f a f a ⎧=<⎪⎨=+>⎪⎩，解得−2<a <0. 本题选择C 选项.点睛：解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．6．函数1()(0,1)x f x a a a -=>≠的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是（ ）A ．y =B ．|2|y x =-C ．21x y =-D ．2log (2)y x = 【答案】A【解析】函数()f x 过定点为()1,1,代入选项验证可知A 选项不过A 点,故选A. 7．正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】B 【解析】取BD 中点O ，连结,EO FO ，则//,//OF CD OE AB ，且2a OF OE ==，从而EFO ∠是异面直线EF 与CD 所成的角，由此能求出异面直线EF 与CD 所成的角.【详解】取BD 中点O ，连结,EO FO ，设正四面体的棱长为a ,则//,//OF CD OE AB ，且2a OF OE ==，EFO ∴∠是异面直线EF 与CD 所成的角，取CD 中点G ，连结,BG AG则,AG CD BG CD ⊥⊥，,BG AG G CD ⋂=∴⊥平面ABG ,AB ⊂平面ABG ,CD AB ∴⊥，OF OE ∴⊥，4EFO π∴∠=，∴异面直线EF 与CD 所成的角为4π,故选B . 【点睛】 本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.8．已知函数()212log 3y x ax a =-+在[)2,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a ≤B ．4a ≥C ．4a <-或4a ≥D ．44a -<≤【答案】D【解析】由题意使230x ax a -+>在[)2,+∞恒成立，且由复函函数的单调性 使()23x x a g ax -+=在[)2,+∞上为增函数即可求解.【详解】令()23x x a g ax -+=，则()230x a a g x x =-+>在[)2,+∞恒成立， 且()23x x a g ax -+=在[)2,+∞上为增函数， 所以22a ≤且()240g a =+>， 所以44a -<≤.故选：D.【点睛】本题主要考查对数型复合函数的单调性，注意解题时需使式子在单调区间内有意义. 9．某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点与点在正视图与侧视图上的对应点分别为，，则在该几何体表面上，从点到点的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出几何体的图形，然后PQ的路径有正面和右面以及正面和上面两种路径，分别计算出结果，得出答案.【详解】由题，几何体如图所示（1）前面和右面组成一面此时PQ=（2）前面和上面再一个平面此时PQ=故选C【点睛】 本题考查了几何体的三视图以及相关的计算，解题的关键是PQ 的路径有两种情况，属于较易题.10．已知函数f (x )＝|ln x |－1，g (x )＝－x 2＋2x ＋3，用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值．设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则函数h (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】画图可知四个零点分别为－1和3，1e和e ，但注意到f (x )的定义域为x >0，故选C.11．已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=.若存在[]1,1x ∈-，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为（ ）A ．35B ．35-C ．1D ．-1【答案】A【解析】由题意得出()g x 、()h x 的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得2141x m ≤-+转化为求函数的最值，求出函数2141x y =-+的最大值即可.【详解】()g x为偶函数，()h x为奇函数，且()()2xg x h x-=①()()()()2xg x h x g x h x-∴---=+=②①②两式联立可得()222x xg x-+=，()222x xh x--=.由()()0m g x h x⋅+≤得224121224141x x xx x x xm----≤==-+++，∵2141xy=-+在[]1,1x∈-为增函数，∴max231415x⎛⎫-=⎪+⎝⎭，故选：A.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用、考查了不等式存在有解问题以及函数的单调性求最值，注意分离参数法的应用，此题属于中档题.12．无论x，y，z同为三条不同的直线还是同为三个不同的平面，给出下列说法：①若//x y，//x z，则//y z；②若x y⊥，x z⊥，则y z⊥；③若x y⊥，//y z，则x z⊥；④若x与y无公共点，y与z无公共点，则x与z无公共点；⑤若x，y，z两两相交，则交点可以有一个，三个或无数个.其中说法正确的序号为（）A．①③B．①③⑤C．①③④⑤D．①④⑤【答案】B【解析】由平行的传递性可判断①；由直线与直线的位置关系以及平面与平面的位置关系可判断②③④⑤.【详解】由平行于同一直线的两直线平行，平行于同一平面的两平面平行，可得①正确；由垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面；垂直于同一平面的两平面相交或平行，可得②错误；由垂直于两平行直线中的一条，也垂直于另一条；垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，可得③正确；若一条直线与另两条直线无公共点，可得另两条直线可以相交；若一个平面与另两个平面无公共点，可得另两个平面无公共点；可得④错误；若三条直线两两相交，则交点可以有一个或三个，若三个平面两两相交，则交点有无数个，故⑤正确；故选：B【点睛】本题主要考查了平行的传递性、直线与直线的位置关系以及平面与平面的位置关系，属于基础题.二、填空题13．设函数()()x x f x e ae a R -=+∈，若()f x 为奇函数，则a =______.【答案】-1【解析】利用函数为奇函数，由奇函数的定义即可求解.【详解】若函数()x xf x e ae -=+为奇函数，则()()f x f x -=-， 即()x x x x ae ae e e --+=-+，即()()10x x e a e -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.故答案为：-1【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，需掌握奇偶性的定义，属于基础题.14．一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，体积为3，则它的侧面积为______.【答案】【解析】设正四棱锥的侧棱长与底面边长相等为2a ，由四棱锥的体积可求出边长，从而求出侧面积.【详解】设正四棱锥的侧棱长与底面边长相等为2a ，则24ABCD S a =，h ===，则313V =⨯=1a =，则14222BC PF a S ⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭侧2==故答案为：【点睛】本题主要考查棱锥的体积公式，需熟记公式，属于基础题.15．已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是______.【答案】112m ≤<. 【解析】根据函数定义域的对称性求出a ,再利用函数的单调性及偶函数得到不等式，求解即可.【详解】因为函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，所以230a -+=，解得5a =，所以可得()()22122f m f m m -->-+-又()f x 在[]0,3上单调递减，所以()f x 在[]3,0-上单调递增,因为210m --<，2222(1)10m m m -+-=---<所以由()()22122f m f m m -->-+-可得，22221223103220m m m m m m ⎧-->-+-⎪-≤--≤⎨⎪-≤-+-≤⎩解得112m ≤<. 故m的取值范围是112m <. 【点睛】本题主要考查了偶函数的定义域，偶函数的单调性，不等式的解法，属于难题. 16．正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为_______________【答案】4π【解析】试题分析：将四面体ABCD 补为正方体，如下图所示，则正方体的外接球就是正四面体的外接球.设球心为O ，面积最小的截面就是与OE 垂直的截面.由图可知，这个截面就是底面正方形的外接圆，其面积为：.224ππ⨯=.【考点】空间几何体.三、解答题17．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 和1AA 的中点.求证：CE ，1D F ，DA 交于一点.【答案】证明见解析【解析】根据两个面的公共点一定在两个面的公共线上，只需证出CE 与1D F 交点在AD 上即可.证明：如图所示，连接1CD 、EF 、1A B ， 因为E 、F 分别是AB 和1AA 的中点，所以1//EF A B 且112EF A B =. 即：1//EF CD ，且112EF CD =，所以四边形1CD FE 是梯形，所以CE 与1D F 必相交，设交点为P ，则P CE ∈，且1P D F ∈，又CE ⊂平面ABCD ， 且1D F ⊂平面11A ADD ，所以P ∈平面ABCD ， 且P ∈平面11A ADD ， 又平面ABCD平面11A ADD AD =，所以P AD ∈，所以CE 、1D F 、DA 三线交于一点. 【点睛】本题主要考查线共点，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题. 18．已知函数f （x ）=21x ax bx +++是定义在R 上的奇函数； （1）求a 、b 的值，判断并证明函数y =f （x ）在区间（1，+∞）上的单调性（2）已知k ＜0且不等式f （t 2-2t +3）+f （k -1）＜0对任意的t ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）（-1，0）【解析】（1）根据奇函数的定义即可求出a 、b 的值，再根据增减性定义证明函数单调性即可（2）根据奇函数的性质及函数的增减性原不等式可转化为t 2-2t +3＞1-k 对任意的t ∈R 恒成立，只需求出t 2-2t +3的最小值即可.（1）∵函数f （x ）=21x ax bx +++是奇函数 ∴由定义f （-x ）=21x a x bx -+-+=-21x ax bx +++，∴a =b =0， ∴f （x ）=21xx +， y =f （x ）在区间（1，+∞）上的单调递减． 证明如下：∵f （x ）=21xx +，∴2221()(1)x f x x -++'=，∵x ＞1，∴()0f x '<，∴y =f （x ）在区间（1，+∞）上的单调递减．（2）由f （t 2-2t +3）+f （k -1）＜0及f （x ）为奇函数得：f （t 2-2t +3）＜f （1-k ） 因为t 2-2t +3≥2，1-k ＞1，且y =f （x ）在区间（1，+∞）上的单调递减， 所以t 2-2t +3＞1-k 任意的t ∈R 恒成立，因为t 2-2t +3的最小值为2，所以2＞1-k ，∴k ＞-1∵k ＜0，∴-1＜k ＜0．∴实数k 的取值范围是（-1，0）． 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的定义，函数的单调性的判断与证明，不等式恒成立，属于中档题．19．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P 、种黄瓜的年收益Q 与投入a(单位：万元)满足P ＝80＋1a 4Q =＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)． (1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？ 【答案】（1）；（2）甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大, 且最大收益为282万元.【解析】试题分析：（1）当甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，此时直接计算1(50)80150120277.54f =+⨯+=即可；（2）列出总收益的函数式得1()2504f x x =-+，令，换元将函数转换为关于t 的二次函数，由二次函数知识可求其最大值及相应的x 值.试题解析： （1）∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，∴1(50)80150120277.54f =+⨯+= （2），依题得，即，故.令，则，当时，即时，，∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元. 【考点】1.函数建模；2.二次函数. 20．已知幂函数()()3*pf x xp N -=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上为增函数.（1）求不等式()()22132p p x x +<-的解集.（2）设()()log a g x f x ax ⎡⎤=-⎣⎦()0,1a a >≠，是否存在实数a ，使()g x 在区间[]2,3上的最大值为2，若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1) 21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ (2) a =【解析】试题分析：（1）由题意偶函数和在()0,+∞上为增函数，解得1p =，得到()()1122132x x +<-，结合定义域和单调性，解得答案；（2）由()g x 在[]2,3上有意义得，所以02a <<且1a ≠，所以()2h x x ax =-在[]2,3上为增函数，分12a <<和01a <<两类讨论，解得答案。
河南省信阳市豫南中学2020年高三数学理模拟试卷含解析
河南省信阳市豫南中学2020年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=x+cosx的大致图象是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】函数的图象与图象变化；函数的图象．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、C两个选项，再看此函数与直线y=x 的交点情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=x+cosx，∴f（﹣x）=﹣x+cosx，∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；又当x=时，x+cosx=x，即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．故选：B．2. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是A． B． C． D．参考答案：C3. 已知函数满足：①定义域为R；②，有；③当时，．记．根据以上信息，可以得到函数的零点个数为（）A．15 B．10 C．9 D．8参考答案：B4. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A．123 B.38 C．11 D．3参考答案：C5. 已知集合,则等于A． B．C． D．参考答案：A略6. 设集合A={0，1}，B={-1，0，a+3},且A B，则a=（）A．1 B．0 C．-2 D．-3参考答案：C7. 如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN 上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】点到直线的距离公式；平面向量坐标表示的应用．【分析】法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，由M、N分别为OA与OB的中点，可得x+y=，下同法一【解答】解法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，∴=x+y得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，又因为M、N分别为OA与OB的中点，所以=∴x+y=原题转化为：当x时，求x2+y2的最小值问题，∵y=∴x2+y2==结合二次函数的性质可知，当x=时，取得最小值为故选B【点评】本题主要考查了平面向量的应用，解题的关键是向量共线定理的应用及结论“点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1“的应用8. 不等式（x＋5）（3－2x）≥0的解集是( )A．{x | x≤－5或x≥} B．{x |－5≤x≤}C．{x | x≤－或x≥5}D．{x |－≤x≤5}参考答案：B9. 若点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上，则点P（c，），Q（，b）和l 的关系是（）A．P和Q都在l上B．P和Q都不在l上C．P在l上，Q不在l上D．P不在l上，Q在l上参考答案：A【考点】IH：直线的一般式方程与直线的性质．【分析】先根据点M、N在直线上，则点坐标适合直线方程，通过消元法可求得a与c的关系，从而可判定点P（c，），Q（，b）和l 的关系，选出正确选项．【解答】解：∵点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上∴a+=1，b+=1则b=即+=1化简得c+=1∴点P（c，）在直线l上而b+=1则Q（，b）在直线l上故选A．10. 若，是虚数单位，则乘积的值是（）A． B．C． D．参考答案：C试题分析：,.考点：复数概念及运算．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 有一球内接圆锥，底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为3，已知球的半径R＝2，则此圆锥的体积为＿＿＿＿参考答案：12. 在扇形中，，弧的长为，则此扇形内切圆的面积为．参考答案：13. 有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为参考答案：14. 已知函数在是单调函数，则实数的取值范围是▲。
2019-2020学年河南省豫南九校高一(上)第一次联考数学试卷
（2）求满足解不等式 的 取值集合．
定义在 上的奇函数 ，已知当 时， ．
（1）求 在 上的解析式；
（2）若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．
已知函数 ．
（1）判断函数 的奇偶性；
（2）判断并证明 在 上单调性；
（3）若 对任意 恒成立，求 的取值范围．
参考答案与试题解析
2019-2020学年河南省豫南九校高一（上）第一次联考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1.已知集合 ＝ ，则下列关系式中，正确的是（）
A. B. C. D.
2.函数 在 上的最小值为（）
A. B. C. D.
3. 的值是（）
A. B. C. D.
4.下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共20分）
设集合 ， ，则集合 的子集的个数为________．
函数 的最大值为________．
设函数 对 的一切实数都有 ，则 ＝________
已知函数 ，若存在 ， ，当 时， ＝ ，则 的最小值为________ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
A. ＝ B. C. ＝ D. ＝
5.已知 ＝ ， ＝ ， ＝ ，则（）
A. B. C. D.
6.已知函数 ＝ ，则 的解析式是（）
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
7.已知函数 ＝ 定义域是 ，则 ＝ 的定义域是（）
A. B. C. D.
8.已知 是定义在 上的偶函数，对任意 都有 ＝ ， ＝ ，则 的值为（）
河南省豫南九校2022-2023学年高三上学期第二次联考文科数学试题
豫南九校2022-2023学年上期第二次联考高三数学（文）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的娃名、准考证号．考场号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}22610A x x =∈<+≤N ，{}04B x x =<<，则A B ⋂=（）A ．{}1,2,3B ．{}0,2,3C ．{}1,2D ．{}2,32．已知i 为虚数单位，则43i1i -=+（）A ．17i 22+B ．17i22-C ．53i 22+D ．53i 22-3．已知“24x x >”是“2x m <”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（）A ．()2,2-B ．[]2,2-C ．()(),22,⋃-∞-+∞D ．(][),22,-∞-⋃+∞4．已知圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，若6cos 4BOC ∠=，则OA OC ⋅= （）A ．BC ．D 5．已知函数()1xf x ax x =++，若()02f '=，则()2f =（）A ．83B ．2C ．53D ．36．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b ==，且12CA CB ⋅=- ，则c =（）A ．2B ．C D7．已知sin18m ︒=，则cos 2424︒+︒=（）A ．242m-B ．224m-C ．4D ．4-8．已知{}n a 为等差数列，公差为黄金分割比512（约等于0.618），前n 项和为n S ，则()2106842a a S S -+-=（）A 1-B 1+C ．16D ．49．2022年8月26日，河南平顶山抽干湖水成功抓捕了两只鳄雀鳝，这一话题迅速冲上热搜榜．与此同吋，关于外来物种泛滥的有害性受到了热议．为了研究某池塘里某种植物生长面积S （单位：m 2）与时间t （单位：月）之间的关系，通过观察建立了函数模型()tS t ka =（t ∈Z ，0k >，0a >且1a ≠）．已知第一个月该植物的生长面积为1m 2，第3个月该植物的生长面积为4m 2，则该植物的生长面积达到100m 2，至少要经过（）A ．6个月B ．8个月C ．9个月D ．11个月10．已知()e xf x x =，过1,02P ⎛⎫⎪⎝⎭作曲线()y f x =的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（）A ．3e2B ．23e C ．2e D11．已知函数()()sin 034f x A x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，若4T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 的图象向左平移2π个单位长度，得到奇函数()g x 的图象，则2f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2-B ．2C ．D 12．已知数列{}n a 的通项公式为()2(1)n n a n n =--，前n 项和为n S ，则满足212023n S +≤-的最小正整数n 的值为（）A ．28B ．30C ．31D ．32二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知点()1,2A ，()2,3B -，则与AB垂直的单位向量的坐标为______．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若945S =，且8996a a +=，则123a a +=______．15．已知函数()2sin f x x =的导函数为()f x '，()()()g x f x f x =+'，则函数()g x 图象的对称中心为______．16．已知函数()231sin 3e 12xf x x π⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()f x 在[],ππ-上的最大值与最小值之和为______．三、解答题，本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知复数z 的共轭复数为z ，()()2i 3i zm m -=+∈R （其中i 为虚数单位）．（1）若6z z +=，求z ；（2）若3z z ⋅<，求m 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知命题p ：()21,02,0x a x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪+≤⎩的最小值为1-，命题q ：x ∀∈R ，2420x x a -+≥恒成立．（1）若p ⌝为真，求实数a 的取值范围；（2）若()p q ∧⌝为真，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且sin cos a B A =．（1）若2c b =，求证：ABC △为直角三角形；（2）若ABC △的面积为6a =，求ABC △的周长．20．（本小题满分12分）已知向量()cos ,sin a x x =，()cos ,cos sin b x x x =- ，向量b 在a 上的投影记为()f x ．（1）若()a ab ⊥-，求()f x 的值；（2）若()2f x =，求b ．21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n s a =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()()1122n n n n a b a a ++=+⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）若()10nn c n a =-，数列{}n c 的前n 项和为n A ，求n A 的最大值．22．（本小题满分12分）已知函数()()2ln exf x x k k =+∈R ．（1）若1x =是()f x 的一个极值点，求()f x 的极值；（2）设()ln e x x h x =的极大值为()0h x ，且()f x 有零点，求证：02e x kx ≥-．豫南九校2022-2023学年上期第二次联考高三数学（文）参考答案123456789101112CBDAADBCBCAD1．【答案】C【解析】由题意，得{}{}220,1,2A x x =∈-<≤=N ，又{}04B x x =<<，故{}1,2A B ⋂=．故选C ．2．【答案】B【解析】()()()()43i 1i 43i 17i 17i 1i 1i 1i 222----===-++-．故选B ．3．【答案】D【解析】由24x x >，得04x <<，由题意，得24m≥，即(][),22,m ∈-∞-⋃+∞．故选D ．4．【答案】A【解析】由cos 4BOC ∠=，得cos 4AOC ∠=-，故6224OA OC ⎛⎫⋅=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭．故选A ．5．【答案】A 【解析】由()1x f x ax x =++，得()()211f x a x +'=+，故()012f a ='+=，故1a =，故()1x f x x x =++，故()282233f =+=．故选A ．6．【答案】D【解析】由12CA CB ⋅=- ，得1cos 2ab C =-．又22a b ==，故1cos 4C =-，由余弦定理，得22212cos 4122164c a bab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故c =D ．7．【答案】B 【解析】()1cos 24242cos 24sin 242cos 60242cos3622⎛⎫︒+︒=⨯︒+︒=︒-︒=︒ ⎪ ⎪⎝⎭()()222212sin 1821224m m =⨯-︒=⨯-=-．故选B ．8．【答案】C 【解析】设{}n a 的公差为d ，则d 是方程210x x +-=的一个解，则21d d +=，故()()()2221068424161616a a S S d d d d -+-=+=+=．故选C ．9．【答案】B【解析】由题意，得()()31134S ka S ka ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得122k a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故()11222t t S t -=⨯=．令()12100t S t -=>，结合t ∈Z ，解得8t ≥，即该植物的生长面积达到100m 2时，至少要经过8个月．故选B ．10．【答案】C 【解析】由()e x f x x =，得()()1e x f x x +'=，设切点坐标为()000,e x x x ，则切线方程为()()00000e 1e x x y x x x x -=+-，把点1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入并整理，得()000112x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，解得01x =或012x =-（舍去），故切线斜率为()12e f '=．故选C ．11．【答案】A 【解析】∵2T πω=，∴3sin 44T f A π⎛⎫==⎪⎝⎭2A =，∴()2sin 24g x x ππω⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∵()g x 为奇函数，∴()00g =，即()24k k ωπππ+=∈Z ，∴()122k k ω=-∈Z ．又03ω<<，∴32ω=，∴()32sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴2sin 222f ππ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选A ．12．【答案】D 【解析】由题意，得()()()()222222212143221n S n n +⎡⎤=-+-++---⎣⎦ ()()22112345221n n n ⎡⎤+--+-+-+⋅⋅⋅+-+⎣⎦()()()()()()()221124334221212(21)21n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯++-⨯++⋅⋅⋅+---+-+--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()2222121234221121122n n n n n n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+++=+++=-+，由212023n S +≤-，得()222023n n -+≤-，即220232n n +≥，结合*n ∈N ，解得32n ≥，故n 的最小值为32．故选D ．13．【答案】10310,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10310,1010⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】由题意，得()3,1AB =- ．设与AB 垂直的向量为(),a x y =，由0AB a ⋅= ，得30x y -+=，即3y x =，当a的坐标是()1,3时，可得与AB 垂直的单位向量为a a ± ，即10310,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10310,1010⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：10310,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10310,1010⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．14．【答案】182【解析】因为945S =，所以()19599452a a a +==，解得55a =．又8951296a a a a +=+=，所以1291a =，所以123122182a a a +==．故答案为：182．15．【答案】(),04k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z【解析】由()2sin f x x =，得()2cos f x x ='，故()2sin 2cos 4g x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令()4x k k ππ+=∈Z ，得()4x k k ππ=-+∈Z ．故答案为：(),04k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ．16．【答案】-6【解析】由题意，得()2321sin 31cos 3e 12e 1xx f x x x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=---⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把()f x 的图象向上平移3个单位长度，可得函数()21cos e 1x g x x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭的图象．当[],x ππ∈-时，()()()221cos 1cos e 1e 1x x g x x x g x -⎛⎫⎫-=---=-=- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，即()g x 为奇函数，在[],ππ-上的最大值与最小值之和为0，故()f x 在[],ππ-上的最大值与最小值之和为6-．故答案为：6-．17．【解析】由()2i 3i z m -=+，得()()()()3i 2i 3i 236i 2i 2i 2i 55m m m m z +++-+===+--+．（2分）∴236i 55m m z -+=-．（3分）（1）由6z z +=，得23265m -⨯=，解得9m =，∴33i z =+，故z ==．（6分）（2）由3z z ⋅<，得22236355m m -+⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（8分）即26m<，解得m <<∴m 的取值范围是(．（10分）18．（1）对于命题p ，当0x >时，()12f x x a a x=++≥+，当且仅当1x =时取等号，故当0x >时，()f x 的最小值为2a +．（2分）当0x ≤时，()()22211f x x x x =+=+-，当1x =-时，()f x 的最小值为1-．（4分）由()f x 的最小值为1-，得21a +≥-，即3a ≥-．即若命题p 为真，则3a ≥-．（5分）故若命题p ⌝为真，则3a <-，即实数a 的取值范围是(),3-∞-．（6分）（2）对于命题q ，由x ∀∈R ，2420xx a -+≥，得Δ1680a =-≤，解得2a ≥．即若命题q 为真，则2a ≥．（9分）故若q ⌝为真，则2a <．由()p q ∧⌝为真，得32a -≤<，即实数a 的取值范围为[)3,2-．（12分）19．【解析】由sin cos a B A =及正弦定理，得sin sin cos A B B A =，又sin 0B >，故tan A =()0,A π∈，故3A π=．（3分）（1）因为2c b =，所以结合余弦定理，得22222222cos 423a b c bc A b b b b =+-=+-=，所以22224ab bc +==，所以ABC △是以C 为直角的直角三角形．（6分）（2）由ABC △的面积为1sin 2bc A =8bc =，（8分）由6a =，结合余弦定理，得()()222222cos 32436a b c bc A b c bc b c =+-=+-=+-=，所以b c +=（11分）故ABC △的周长为6．（12分）20．【解析】（1）由题意，得()a b f x a b a⋅==⋅，由()a ab ⊥-，得()0a a b ⋅-=，（2分）即20a a b -⋅= ，21a b a ⋅== ，∴()1f x =．（4分）（2）由（1），得()()2215cos sin cos sin sin 2cos 2sin 222f x a b x x x x x x x ϕ=⋅=+-=+=+ （其中25sin 5ϕ=，5cos 5ϕ=）．（6分）令()()55sin 222f x x ϕ=+=，得()sin 21x ϕ+=，∴()222x k k πϕπ+=+∈Z ，（8分）∴()222x k k ππϕ=+-∈Z ，（8分）∴sin 2sin 2cos 25x k ππϕϕ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭，cos 2cos 2sin 25x k ππϕϕ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭．（10分）∴b ===．（12分）21．【解析】（1）由22n n S a =-，得1122S a =，得12a =，当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=，（2分）∴{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴{}n a 的通项公式为2n n a =．（4分）（2）由（1），得()()111211222222222n n n n n n b +++⎛⎫==- ⎪+++⋅+⎝⎭，（5分）∴11111111124661010182222n n n T +⎛⎫=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪++⎝⎭111112422221n n+⎛⎫=⨯-=- ⎪++⎝⎭．（7分）（3）∵()()10102n nn c n a n =-=-⋅，∴当9n ≤时，0n c >；当10n =时，0n c =；当11n ≥时，0n c <．∴当9n =或10时，n A 取得最大值，且910A A =．（9分）239992827212A =⨯+⨯+⨯++⨯ ．①∴234109292827212A =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯．②②-①，得()923910941218222218202612A ⨯-=-+++⋅⋅⋅++=-=-，∴n A 的最大值为2026．（12分）22．【解析】（1）解法一：由()2ln e x f x x k =+，得()()2e 0xf x k x x=+>'，由1x =是()f x 的一个极值点，得()10f '=，即2e 0k +=，即2ek =-．（2分）此时，()12ln 2ex f x x -=-，()()1121e 22e x x x f x x x---=-='，设()()11e 0x g x x x -=->，则()()11e 0x g x x -'=-+<，即()g x 在()0,+∞上单调递减．（3分）又()10g=，所以当()0,1x ∈时，()0g x >，即()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<．所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 有极大值()12f =-，无极小值．（5分）解法二：由()2ln e x f x x k =+，得()()2e 0xf x k x x=+>'，由1x =是()f x 的一个极值点，得()10f '=，即2e 0k +=，即2ek =-．（2分）此时，()12ln 2e x f x x -=-，()122e x f x x-=-'，显然()f x '是减函数，又()10f '=，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<．所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 有极大值()12f =-，无极小值．（5分）（2）由()ln e x x h x =，得()()1ln 1ln 0e ex x xx x x h x x x --==>'．（6分）设()1ln x x x ϕ=-，则()ln 1x x ϕ'=--．令()0x ϕ'=，得1ex =．当10e x <<时，()0x ϕ'>，当1e x >时，()0x ϕ'<，故()x ϕ在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()x ϕ的极大值为1110e e ϕ⎛⎫=+>⎪⎝⎭．（8分）当10ex <<时，()0x ϕ>．又()110ϕ=>，()212ln 20ϕ=-<，故()x ϕ存在唯一的零点0x ，且()01,2x ∈．由()0001ln 0x x x ϕ=-=，得001ln x x =．（10分）当()00,x x ∈时，()0x ϕ>，即()0h >，当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ<，即()0h x '<，即()hx 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减．故()hx 的极大值为()00000ln 1e e x x x h x x ==，（11分）令()0f x =，得2ln e 0x x k +=，即1ln 2e x xk -=．由()f x 有零点，得00112e x k x -≤，即02e x kx ≥-．（12分）。
2020-2021学年河南省豫南九校高二(下)第一次联考数学试卷(理科)(含答案解析)
2020-2021学年河南省豫南九校高二(下)第一次联考数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∃x∈(0,+∞)，lnx=2x”的否定是()A. ∀x∈(0,+∞)，lnx=2xB. ∀x∈(0,+∞)，lnx≠2xC. ∃x∉(0,+∞)，lnx=2xD. ∃x∈(0,+∞)，lnx≠2x2.俗语云“好人有好报”，这句话的意思中：“好人”是“有好报”的()A. 充分条件B. 必要条件C. 既不充分又不必要条件D. 无法判断3.若a，b为非零实数，则下列不等式中成立的是()A. |a+b|>|a−b|B. a+b2≥√abC. (a+b2)2≥ab D. ab+ba≥24.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若cosAcosB =ba，且4sinA=3sinB，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 钝角三角形5.数列{a n}满足a1=1，对任意n∈N∗的都有a n+1=1+a n+n，则1a1+1a2+⋯…+1a99=()A. 9998B. 2 C. 9950D. 991006.已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4√6x的焦点，P为C上一点，若△POF的面积为6√3，则|PF|=()A. 2√3B. 4√3C. 4√6D. 8√37.已知双曲线T：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的右焦点为F(2,0)，且经过点R(2√33,0)，△ABC的三个顶点都在双曲线T上，O为坐标原点，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，P，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，k1≠0，i=1，2，3.若直线OM，ON，OP的斜率之和为−1.则1k1+1k2+1k3的值为()A. −1B. −12C. 1 D. 128. 函数f(x)对任意的x ∈R 都有f(x)=f(2−x)，且当x ≠1时，其导函数f′(x)满足xf′(x)>f′(x)，若1<a <2，则( )A. f(2a )<f(2)<f(log 2a)B. f(2)<f(log 2a)<f(2a )C. f(log 2a)<f(2a )<f(2)D. f(log 2a)<f(2)<f(2a )9.曲线f(x)=f′(1)e x −x 2+2在点(0,f(0))处的切线的斜率等于( )A. 2eB. 2e−1C. 2ee−1D.4−2e e−110. 已知f(x)=lnx√2x ，则△x →0limf(12)−f(12+△x)△x=( )A. −2−ln2B. −2+ln2C. 2−ln2D. 2+ln211. 已知函数f(x)=e x (sinx −cos x)，x ∈(0,2013π)，则函数f(x)的极大值之和为( )A.B.C.D.12. 过双曲线x 24−y 28=1的右焦点作一直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB|=8，则这样的直线l 共有( )条？A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =√14[c 2a 2−(c2+a 2−b 22)2](其中S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边).在斜三角形ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 所对应的三边，若a =2，且a =c(cosB +√3cosC)，则三角形ABC 的面积最大时，B = ______ ． 14. 8、设斜率为的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，若点P ，Q 在 x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为 ．15. 设{x +y ≥0x −y ≥0与抛物线y 2=−4x 的准线围成的三角形区域(包含边界)为D ，P(x,y)为D 内的一个动点，则目标函数z =x −2y 的最大值为______．16. 已知函数f(x)=ae x −x +2a 2−3的值域为M ，集合I =(0,+∞)，若I ⊆M ，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 证明当x >−1时，e x −1≥ln(x +1)．18.如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE．(1)证明平面ADE⊥平面ACC1A1;(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=bcosC+12c.(1)求角B．(2)若b=3，求△ABC面积的最大值．20.一椭圆x2a2+y29=1(a>3)的两个焦点分别为F1，F2，点P(1,m)是该椭圆曲线上一点，已知三角形F1F2P的周长是18．(1)求a的值；(2)求m的值．21.已知等差数列{a n}满足a3=2，前3项和S3=92．(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{1a n a n+1}的前100项和．22.已知函数f(x)=(x+1)⋅(ln(x+1)−1)．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)−ax−b(a,b∈R)在区间[0,1]上存在零点，求a2+b的最小值．(参考数据：ln2≈0.6931)参考答案及解析1.答案：B解析：解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈(0,+∞)，lnx≠2x，故选：B．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2.答案：A解析：解：这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件．故选：A．由“好人”⇒“有好报”，即可判断出关系．本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，当a>0>b时，|a+b|<|a−b|，A错误；对于B，当a、b<0时，a+b2<√ab，C错误；对于C，(a+b2)2−ab=(a−b)22≥0，C正确；对于D，当a>0>b时，ab +ba<0，D错误；故选：C．根据题意，举出反例分析选项是否正确，综合可得答案．本题考查不等式的基本性质，注意举出反例分析不等式是否成立，属于基础题．4.答案：B解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．由已知利用正弦定理可得4a=3b，由cosAcosB =ba，利用余弦定理整理可得(a2+b2)(a2−b2)=c2(a2−b2)，从而可求a2+b2=c2，利用勾股定理即可得解．解：∵4sinA=3sinB，∴4a =3b ， ∵cosAcosB =ba，可得：b 2+c 2−a 22bc a 2+c 2−b 22ac=ba ，整理可得：(a 2+b 2)(a 2−b 2)=c 2(a 2−b 2)，∴a 2−b 2=0，或a 2+b 2=c 2， ∴a 2+b 2=c 2，或a =b(舍去) ∴△ABC 的形状是直角三角形． 故选：B ．5.答案：C解析：解：根据题意，数列{a n }满足对任意n ∈N ∗的都有a n+1=1+a n +n ，则a n+1−a n =n +1， 则a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯…+(a 2−a 1)+a 1=n +(n −1)+⋯…+1=n(n+1)2，则1a n=2n(n+1)=2n −2n+1；则1a 1+1a 2+⋯…+1a 99=2[(1−12)+(12−13)+⋯…+(199−1100)]=2(1−1100)=9950；故选：C ．根据题意，将a n+1=1+a n +n 变形可得a n+1−a n =n +1，进而可得a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯…+(a 2−a 1)+a 1=n +(n −1)+⋯…+1=n(n+1)2，变形可得1a n=2n(n+1)=2n −2n+1；据此由数列求和的方法分析可得答案．本题考查数列的递推公式和数列的求和，关键是求出数列的通项公式，属于综合题．6.答案：C解析：本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．求出抛物线的焦点坐标，然后利用三角形的面积求解P 的纵坐标，即可求解|PF|．解：O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2=4√6x 的焦点，P 为C 上一点，若△POF 的面积为6√3， 可得抛物线的焦点坐标为：(√6,0)，∴12×√6×|y P |=6√3，可得|y p |=6√2， ∴x P =3√6，则|PF|=√(3√6−√6)2+(±6√2−0)2=4√6． 故选C ．7.答案：B解析：解：由题意可得，a =2√33，c =2，∴b 2=c 2=−a 2=83，∴双曲线T ：x 243−y 283=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)，M(s 1,t 1)，N(s 2,t 2)，P(s 3,t 3)，由：6⋅x 12−3⋅y 12=8，6⋅x 22−3⋅y 22=8，两式相减，得到6(x 1−x 2)(x 1+x 2)−3(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0，∴k 1=y 1−y 2x 1−x 2=2⋅x 1+x 2y 1+y 2=2⋅s 1t 1，∴1k 1=12⋅t1s 1．同理可得，1k 2=12⋅t 2s 2，1k 3=12⋅t3s 3．再根据直线OM ，ON ，OP 的斜率之和为(t 1s 1+t 2s 2+t 3s 3)=−1，可得1k 1+1k 2+1k 3=12(t 1s 1+t 2s 2+t 3s 3)=−12， 故选：B ．由条件求得a 、b 、c 的值，可得椭圆的标准方程，利用点差法，确定三条边所在直线的斜率，结合直线OM ，ON ，OP 的斜率之和为−1，求得1k 1+1k 2+1k 3的值．本题考查双曲线的标准方程和简单性质，考查直线的斜率公式、点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．8.答案：D解析：解：函数f(x)对任意的x ∈R 都有f(x)=f(2−x)，则函数f(x)关于直线x =1对称． 当x ≠1时，其导函数f′(x)满足xf′(x)>f′(x)，则(x −1)f′(x)>0，x >1时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增；x <1时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减． 若1<a <2，则0<log 2a <1<2<2a ，f(log 2a)=f(2−log 2a)，2−log 2a ∈(1,2)， ∴f(log 2a)=f(2−log 2a)<f(2)<f(2a )， 故选：D ．函数f(x)对任意的x ∈R 都有f(x)=f(2−x)，则函数f(x)关于直线x =1对称．当x ≠1时，其导函数f′(x)满足xf′(x)>f′(x)，可得(x −1)f′(x)>0，进而得到单调性．若1<a <2，则0<log 2a <1<2<2a ，f(log 2a)=f(2−log 2a)，2−log 2a ∈(1,2)，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、分类讨论方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：B解析：解：f(x)=f′(1)e x −x 2+2， 可得f′(x)=f′(1)e x −2x ，可令x =1，可得f′(1)=f′(1)e −2，解得f′(1)=2e−1，可得曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为2e−1， 故选：B ．对f(x)=f′(1)e x −x 2+2求导数，再令x =1，解方程可得f′(1)，再由导数的几何意义可得所求值． 本题考查导数的几何意义，运用导数的运算性质是解题的关键，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.答案：A解析：本题考查了导数的定义及其导数的运算法则，属基础题． 对f(x)求导，然后由△x →0limf(12)−f(12+△x)△x=−f′(12)，求出值即可．解：∵f(x)=lnx√2x ， ∴f′(x)=−lnx−22√2x 32，∴f′(12)=2+ln2， △x →0limf(12)−f(12+△x)△x=−f′(12)=−2−ln2．故选：A ．11.答案：B解析：解：故答案选B．12.答案：C解析：解：①若A、B都在右支，若AB垂直x轴，a2=4，b2=8，c2=12，所以F(2√3,0)则AB：x=2√3，代入双曲线x24−y28=1，求得y=±4，所以AB=|y1−y2|=8，所以|AB|=8的有一条，即垂直于x轴；②若A、B分别在两支a=2，所以顶点距离为2+2=4<8，所以|AB|=8有两条，关于x轴对称．所以一共3条故选C．先看当A、B都在右支上时，若AB垂直x轴，根据双曲线方程求得焦点的坐标，把焦点横坐标代入双曲线方程求得交点的纵坐标，进而求得AB的长等于8，则即为垂直于x轴的一条；再看若A、B分别在两支先看A，B为两顶点时，不符合题意进而可推断出符合题意的直线有两条，最后综合可得答案．本题主要考查了双曲线的对称性和直线与双曲线的关系．考查了学生分析推理和分类讨论思想的运用．13.答案：120°解析：解：因为a=c(cosB+√3cosC)，由正弦定理得sinA=sinC(cosB+√3cosC)=sin(B+C)，所以sinCcosB+√3sinCcosC=sinBcosC+sinCcosB，即√3sinCcosC=sinBcosC，因为cosC≠0，所以√3sinC =sinB ， 由正弦定理得b =√3c ，S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2]=√14[4c 2−(c2+4−3c 22)2]=12√−c 4+8c 2−4=12√−(c 2−4)2+12，当c 2=4时，角形ABC 的面积最大，此时c =2，b =2√3， 故cosB =4+4−122×2×2=−12，故B =120°． 故答案为：120°．由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合已知三角形的面积公式进行化简，结合二次函数的性质可求．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式的应用，还考查了二次函数的性质，属于中档题．14.答案：解析：本题主要考查了椭圆的简单性质，解题的关键是确定椭圆方程中a ，b 和c 的关系． 解：由题意，两个交点横坐标是−c ，c ，所以两个交点分别为，代入椭圆方程可得，∴c 2(2b 2+a 2)=2a 2b 2∵b 2=a 2−c 2∴c 2(3a 2−2c 2)=2a 4−2a 2c 2∴2a 4−5a 2c 2+2c 4=0， ∴(2a 2−c 2)(a 2−2c 2)=0，∵0<e <1．故答案为：15.答案：3解析：解：由题意，抛物线y 2=−4x 的准线x =1，它和不等式{x −y >0 x +y >0共同围成的三角形区域为{x −y ≥0x +y ≥0x ≤1， 目标函数为z =x −2y +5，作出可行域如右图， 由图象可知当直线经过点C 时，直线z =x −2y +5的截距最小，此时z 最大，点C 的坐标为(1,−1)，此时z =1−2×(−1)=3． 故答案为：3．先确定平面区域，作出可行域，进而可求目标函数z =x −2y 的最大值． 本题考查抛物线的简单性质，考查线性规划知识，正确确定平面区域是关键．16.答案：(−∞,1]解析：本题主要考查了利用导数求函数的值域，对参数分类讨论是求解问题的关键，属于中档试题． 由题意可得f(x)的最小值小于等于0，先对函数求导，然后结合a 的范围即可求解． 解：由题意可得f(x)的最小值小于等于0，f′(x)=ae x −1， 若a ≤0，则f′(x)<0，f(x)在R 上单调递减，当x →−∞时，f(x)→+∞，当x →+∞时，f(x)→−∞，故f(x)的值域R ，满足题意， 若a >0，则易得函数在(−∞,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增， 所以当x =−lna 时，函数取得极小值f(−lna)=lna −2+a 2，>0恒成立，令g(a)=lna−2+a2，则g′(a)=4a+1a故g(a)在(0,+∞)上单调递增，且g(1)=0，要使得g(a)≤0，则a≤1，故0<a≤1，综上可得，a的范围(−∞,1]故答案为：(−∞,1]17.答案：证明：令f(x)=e x−1−ln(x+1)，f(0)=1−1−0=0．f′(x)=e x−1，在(−1,+∞)上单调递增，f′(0)=0，−1<x<0时，f′(x)<0；，0<x时，f′(x)>0．x+1∴函数f(x)在x=0时取得极小值即最小值．∴f(x)>f(0)=0．∴当x>−1时，e x−1>ln(x+1)．解析：令f(x)=e x−1−ln(x+1)，f(0)=0.f′(x)=e x−1，在(−1,+∞)上单调递增．f′(0)=0，x+1可得函数f(x)在x=0时取得极小值即最小值．即可证明．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)如图所示，由正三棱柱ABC—A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1，又DE平面A1B1C1，所以DE⊥AA1．而DE⊥AE，AA1∩AE=A，所以DE⊥平面ACC1A1．又DE平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1．(2)解法一：如图所示，设F是AB的中点，连结DF、DC1、C1F，由正三棱柱ABC—A1B1C1的性质及D 是A1B1的中点，知A1B1⊥C1D，A1B1⊥DF．又C1D∩DF=D，所以A1B1⊥平面C1DF．而AB//A1B1，所以AB⊥平面C1DF.又AB平面ABC1，故平面ABC1⊥平面C1DF．过点D作DH垂直C1F于点H，则DH⊥平面ABC1．连结AH，则∠HAD是直线AD和平面ABC1所成的角，由已知，不妨设，则AB=2，，，，，，所以，即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为．解法二：如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设，则AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,−1,0)，B(，0，0)，C1(0,1,)，D()，易知=(，1，0)，=(0,2,)，=().设平面ABC1的一个法向量为n=(x,y,z)，则有解得，，故可取n=(1,，).所以cos〈n，〉=．由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为．解析：(1)应用线面垂直来推证面面垂直．(2)先作出线面角，再求．19.答案：解：(1)因为a=bcosC+12c，所以sinA=sinBcosC+12sinC=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB，即12sinC=sinCcosB，因为sinC>0，所以cosB=12，由B∈(0,π)得B=π3；(2)由余弦定理得b2=9=a2+c2−ac≥ac，当且仅当a=c时取等号，故ac≤9，△ABC面积S=12acsinB=√34ac≤9√34．故面积的最大值9√34．解析：(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cosB，进而可求B；(2)由余弦定理可求bc的范围，然后结合三角形的面积公式可求．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了三角形的面积公式的应用，属于中档题．20.答案：解：(1)∵椭圆x2a2+y29=1(a>3)的两个焦点分别为F1，F2，点P(1,m)是该椭圆曲线上一点，∴三角形F1F2P的周长是18=2a+2c，即a+c=9，又由a 2=9+c 2得：a =5，(2)由(1)得，椭圆的方程为：x 225+y 29=1， 将P(1,m)代入得：125+m 29=1，解得：m =±65√6解析：(1)由已知可得：三角形F 1F 2P 的周长是18=2a +2c ，即a +c =9，结合a 2=9+c 2可得：a 值；(2)将P(1,m)代入椭圆的方程可得m 的值．本题考查的知识点是椭圆的简单性质，椭圆的标准方程，难度中档． 21.答案：解：(1)设公差为d ，由a 3=2，前3项和S 3=92，可得a 1+2d =2，3a 1+3d =92，解得a 1=1，d =12，所以a n =12n +12；(2)1a n a n+1=4(n+1)(n+2)=4(1n+1−1n+2)， 则前100项和为4(12−13+13−14+⋯+1101−1102)=4(12−1102)=10051．解析：(1)设公差为d ，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到通项公式；(2)求得1a n a n+1=4(n+1)(n+2)=4(1n+1−1n+2)，运用裂项相消求法，计算数列{1a n a n+1}的前100项和即可．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)f(x)的定义域是(−1,+∞)，f′(x)=ln(x +1)，当x =0时，f′(x)=0，故f(x)在(−1,0)递减，在(0,+∞)递增，故f(x)的极小值是f(0)=−1，无极大值；(Ⅱ)法一(分类讨论)：g(x)=f(x)−ax −b =(x +1)(ln(x +1)−1)−ax −b(0≤x ≤1)，则g′(x)=ln(x +1)−a(0≤ln(x +1)≤ln2)，(1)a ≤0时，则g′(x)≥0，g(x)在[0,1]递增，则{g(0)≤0g(1)≥0⇒{−1−b ≤02(ln2−1)−a −b ≥0⇒−1≤b ≤2(ln2−1)−a ， 故a 2+b ≥−1；(2)a ≥ln2时，则g′(x)≤0，g(x)在[0,1]递减，则{g(0)≥0g(1)≤0⇒{−1−b ≥02(ln2−1)−a −b ≤0⇒2(ln2−1)−a ≤b ≤−1， 故a 2+b ≥a 2+2(ln2−1)−a ≥(ln2)2+ln2−2>−1，(3)0≤a ≤ln2，则∃x 0∈[0,1]，使得a =ln(x 0+1)，易知g(x)在(0,x 0)递减，在(x 0,1)递增，故{g(0)=−1−b g(1)=2(ln2−1)−a −b g(x 0)≤0⇒{g(0)=−1−bg(1)=2(ln2−1)−a −b b ≥(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)−ax 0，故a 2+b ≥a 2+(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)−ax 0=a 2+a −e a ，记ℎ(a)=a 2+a −e a ，则ℎ′(a)=2a +1−e a ，ℎ″(a)=2−e a ，由0≤a ≤ln2得ℎ″(a)>0，故ℎ′(a)在(0,ln2)递增，得ℎ′(a)≥ℎ′(0)=0，故ℎ(a)在(0,ln2)递增，得ℎ(a)≥ℎ(0)=−1，此时可验证g(0)或g(1)必有其一大于等于0，故零点存在，由(1)(2)(3)得：a 2+b 的最小值是−1；法二(变更主元)：设x 0是g(x)在区间[0,1]内的1个零点，则(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)−ax 0−b =0，即b =(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)−ax 0，故a 2+b =a 2−x 0a +(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)≥4(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)−x 024，设ℎ(x)=4(x +1)(ln(x +1)−1)−x 2，x ∈[0,1]，则ℎ′(x)=4ln(x +1)−2x ，ℎ″(x)=4x+1−2=2(1−x)x+1，当x ∈[0,1]时，ℎ″(x)≥0，故ℎ′(x)递增，又ℎ′(0)=0，ℎ′(x)≥0，故ℎ(x)递增，ℎ(x)min =ℎ(0)=−4，故a 2+b ≥−1，当a =0，b =−1时“=”成立，故a 2+b 的最小值是−1．解析：(Ⅰ)求出函数的导数，得到f(x)的单调区间，求出函数的极值即可；(Ⅱ)(法一)求出g(x)的解析式，求出g(x)的导数，通过讨论a的范围得到函数的单调性，求出b的范围，得到a2+b的最小值即可；(法二)设x0是g(x)在区间[0,1]内的1个零点，得到b=(x0+1)(ln(x0+1)−1)−ax0，从而a2+b≥4(x0+1)(ln(x0+1)−1)−x02，设ℎ(x)=4(x+1)(ln(x+1)−1)−x2，x∈[0,1]，根据函数的单调性求出ℎ(x) 4的最小值，从而求出a2+b的最小值．本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
2019-2020学年豫南九校高一(下)第一次联考数学试卷(含解析)
2019-2020学年豫南九校高一(下)第一次联考数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|y=√1−x}，集合B={x|0≤x≤2}，则(∁U A)∪B等于()A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. [0,+∞)D. (0,+∞)2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A. y=1x B. y={−x2+1x>0x2−1x<0C. y=a−x−a x(0<a<1)D. y=ln1−x1+x3.如图是一名篮球运动员在最近6场比赛中所得分数的茎叶图，则下列关于该运动员所得分数的说法错误的是()A. 中位数为14B. 众数为13C. 平均数为15D. 方差为194.袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是()A. 至少有一个白球；全部都是红球B. 至少有一个白球；至少有一个红球C. 恰有一个白球；恰有一个红球D. 恰有一个白球；全部都是红球5.在某校连续5次考试成绩中，统计甲，乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图.已知甲同学5次成绩的平均数为81，乙同学5次成绩的中位数为73，则x+y的值为()A. 3B. 4C. 5D. 66.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名7. 下列程序运行后的结果是( )A. 6B. 7C. 8D. 98. 运行如图所示的程序框图，若输出的k 的值为13，则判断框中可以填( )A. m >7？B. m ≥7？C. m >8？D. m >9？9. 已知函数f(x)={x −1,x ≤1lnx,x >1，则满足f(1−t)<f(1+t)的t 的取值范围是( )A. (−∞,0)B. (−1,0)C. (0,+∞)D. (0,1)10. 与下边三视图对应的几何体的体积为( )A. 43 B. 83 C. 23 D. 211. 已知正三棱锥A −BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为3，E ，F ，G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A −BCD 内，且三棱锥A −BCD 的体积是三棱锥O −BCD 体积的3倍，则平面EFG 截球O 所得截面的面积为( )A. 15π4B. 3π2C. 9√38D. 4π12.已知函数f(x)=x5+3x3+x+2，若f(a)+f(a−2)>4，则实数a的取值范围是()A. (−∞,1)B. (−∞,2)C. (1,+∞)D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.将110化为六进制数为______ ．14.若函数f(x)=2x−1，则f(3)=______．15.已知b，r∈{1,2，3，4}，则直线y=x+b与圆x2+y2=r2有公共点的概率为_________．16.10.已知集合A={x|1≤2x<16}，B={x|0≤x<3,x∈N}，则A∩B=________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某公司2017年元旦晚会现场，为了活跃气氛，将在晚会节目表演过程中进行抽奖活动．(1)现需要从第一排就座的6位嘉宾a、b、c、d、e、f中随机抽取2人上台抽奖，求嘉宾a和嘉宾b至少有一人上台抽奖的概率；(2)抽奖活动的规则是：嘉宾通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该嘉宾中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求该嘉宾中奖的概率．18. 随着经济的发展，某城市市民的收入逐年增长，该城市某银行连续五年的储蓄存款(年底余额)如表：(I)求出y 关于x 的线性回归方程；(II)用所求的线性方程预测到2020年底，该银行的储蓄存款额为多少？ 参考公式：其中b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y −∑x i 2n i=1−nx−2,a ̂=y −−b ̂x −19. 某地有2000名学生参加数学学业水平考试，现将成绩(满分：100分)汇总，得到如图所示的频率分布表．(1)请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；(2)将成绩按分层抽样的方法抽取150名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率．20.已知四棱锥A−BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD⊥面ABC，BE//CD，F为AD的中点．(1)求证：EF//面ABC；(2)求证：面ADE⊥面ACD；(3)求四棱锥A−BCDE的体积．21.已知⊙C：(x−3)2+(y−3)2=4，直线l：y=kx+1(1)若l与⊙C相交，求k的取值范围；(2)若l与⊙C交于A、B两点，且|AB|=2，求l的方程．22.设函数f(x)=log4(4x+1)+ax(a∈R)．(1)若f(x)是定义在R上的偶函数，求a的值；(2)若关于x的不等式f(x)+f(−x)≤2log4m对任意的x∈[0,2]恒成立，求正实数m的取值范围【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了集合的运算，是一道基础题．先化简集合A，得到A的补集，从而求出(∁U A)∪B即可．解：集合A={x|y=√1−x}={x|x≤1}，所以C U A={x|x>1}，所以(∁U A)∪B=[0,+∞)，故选C．2.答案：D解析：【试题解析】此题考查函数的奇偶性及单调性的判断，关键是熟练掌握基本初等函数的性质及函数奇偶性、单调性的判断．属于基础题，解题时针对每个选项逐一判断即可。
【2020年数学高考】河南省中原名校(即豫南九校)2020届高三第六次质量考评 数学理.doc
河南省中原名校（即豫南九校）2020届高三第六次质量考评理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,1A x x B x x =<=<，则（ ）A ．AB Ü B ．A B R ⋃= C. B A Ü D ．{}1A B x x ⋂=< 2.已知复数(),,2a ix yi a x y R i+=+∈+，则2x y +=（ ） A ．1 B ．35C. 35- D ．1-3.已知双曲线()2222:10,0a x y C a b b >->=的渐近线与圆()2221x y +-=有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．[)2,+∞ C.⎛ ⎝⎦ D ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭ 4．若向量1tan 67.5,cos157.5a ⎛⎫=︒ ⎪︒⎝⎭，向量()1,sin 22.5b =︒，则a b ⋅=（ ）A ．2B ．2- D ． 5.已知命题()()()000:0,,p x f x f x ∃∈+∞-=，命题()():,q x R f x f x ∀∈-=.若p 为真命题，且q 为假命题，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．()1f x x =+B ．()21f x x =+ C.()sin f x x = D ．()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这几何体的表面积为（ ）A ．31B ．52 C. 34+．22+7.我国东汉时期的数学名著《九章算术》中有这样个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何？设总人数为x ，鸡的总价为y ，如图的程序框图给出了此问题的一种解法，则输出的,x y 的值分别为（ ）A ．7,58B ．8,64 C.9,70 D ．10,768.已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>，若集合()(){}0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ）A ．35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦9.函数()x x f x e ae -=+与()2g x x ax =+在同一坐标系内的图象不可能是（ ）A． B．C.D ．10.已知,,,A B C D 是球O 表面上四点，点E 为BC 的中点，若,,120AE BC DE BC AED ⊥⊥∠=︒,2AE DE BC ===，则球O 的表面积为（ ）A ．73πB ．283π C. 4π D ．16π11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆过点()2,D t -，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),13,-∞-⋃+∞ B ．[]1,3-C.(),22⎡-∞⋃++∞⎣ D．2⎡⎣ 12.已知函数()()ln 10xf x x a a=-->，若()y f x =与()()y f f x =的值域相同，则a 的取值范围是（ ）A ．310,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．210,e ⎛⎤⎥⎝⎦C. (]0,1 D ．(]1,e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.()()621x x y --的展开式中25x y 的系数为_ ．14. 已知不等式组1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，若对任意的()00,x y D ∈，不等式00426t x y -<-+ 4t <+恒成立，则实数t 的取值范围是_ ．15. 已知函数()11112f x x x x =++++，由()111111f x x x x -=++-+是奇函数，可得函数()f x 的图象关于点()1,0-对称，类比这一结论，可得函数()237126x x x g x x x x +++=++++++的图象关于点_ 对称.16. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设ABC ∆的面积为S ，若22232a b c =+，则222Sb c +的最大值为_ ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 的公差10,0d a ≠=，其前n 项和为n S ，且2362,,a S S +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()2121n n n b S ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：122n T n -<. 18.下表为2014年至2017年某百货零售企业的线下销售额(单位：万元），其中年份代码x =年份2013-.（1）已知y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测2020年该百货零售企业的线下销售额；（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调査平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种）， 其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？ 参考公式及数据：1221ni ii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑，a y bx =-，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，2AB AC AD PB PB AC ====⊥,.（1）求证：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）若45PBA ∠=︒，试判断棱PA 上是否存在与点,P A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC 所，若存在，求出AE AP的值；若不存在，请说明理由.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e ，且椭圆C 与圆224:3O x y +=的4个交点恰为一个正方形的4个顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A 为椭圆C 的下顶点，,D E 为椭圆C 上与A 不重合的两点，若直线AD 与直线AE 的斜率之和为2a ，试判断是否存在定点G ，使得直线DE 恒过点G ，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数()212x f x e x ax =-+.（1）当1a >-时，试判断函数()f x 的单调性；（2）若1a e <-，求证：函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩（0,r ϕ>为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点2,3P π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为()22cos 26ρθ+=.（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若()12,,,2A B πραρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，求2211OA OB+的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()2,1f x x a g x bx =-=+.（1）当1b =时，若()()12f xg x +的最小值为3，求实数a 的值； （2）当1b =-时，若不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CABAC 6-10: BCDCB 11、12：DA二、填空题13. 12- 14. ()3,5 15.7,62⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题17.（1）由10a =得()1n a n d =-，()12n n n dS -=，因为2342,,a S S +成等比数列，所以()23242S a S =+， 即()()2326d d d =+⋅，整理得23120d d -=，即240d d -=， 因为0d ≠，所以4d =， 所以()()14144n a n d n n =-=-=-. （2）由（1）可得()121n S n n +=+，所以()()()221212121n n n n b S n n +++==+()1111222121n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，所以1111112122231n T n n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭111212212n n n ⎛⎫=+-<+ ⎪+⎝⎭， 所以221n T n -<. 18.（1）由题意得 2.5,200x y ==，4421130,2355ii i i i x x y ====∑∑，所以4142221423554 2.520035571304 2.554i ii i i x yxyb x x==--⨯⨯====-⨯-∑∑，所以20071 2.522.5a y bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为7122.5y x =+.由于201820135-=，所以当5x =时，71522.5377.5y =⨯+=， 所以预测2020年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元. （2）由题可得22⨯列联表如下：故2K 的观测值()210510304520 6.10955503075k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于6.109 5.024>，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续増长所持的态度与性别有关.19.（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，AD =BC AD ==， 又2AB AC ==，所以222AB AC BC +=，所以AC AB ⊥， 又PB AC ⊥，且AB PB B ⋂=，所以AC ⊥平面PAB ， 因为AC ⊂平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC . （2）由（1）知,AC AB AC ⊥⊥平面PAB ，如图，分别以,AB AC 所在直线为x 轴、y 轴，平面PAB 内过点A 且与直线AB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则()()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,0,2,2,0A B C AC BC ==-由45PBA ∠=︒，PB =()1,0,3P -， 所以()()1,0,3,3,0,3AP BP =-=-，设()01AEAPλλ=<<， 则(),0,3AE AP λλλ==-，(),2,3CE AE AC λλ=-=--， 设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即220330x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1z =，可得1x y ==，所以平面PBC 的一个法向量为()1,1,1n =， 设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则sin cos ,n CE θ===整理得2340λλ+=，因为01λ<<，所以2340λλ+>，故2340λλ+=无解，所以棱PA 上不存在与点,P A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC. 20.（1）因为椭圆C的离心率e ， =222a b =，因为椭圆C 与圆O 的4个交点恰为一个正方形的4个顶点，所以直线y x =与圆O 的一个交点⎝⎭在椭圆C 上，所以2222133a b +=， 由2222222133a b ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得2221a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=. （2）由（1）知()0,1A -，当直线DE 的斜率存在时，设直线DE 的方程为()1y kx t t =+≠±，代入2212x y +=得，()222124220k x ktx t +++-=，所以()()222216412220k t k t ∆=-+->，即2221t k -<.设()()1122,,,D x y E x y ，则2121222422,1212kt t x x x x k k -+=-=++， 因为直线AD 与直线AE 的斜率之和为2a ，所以121211AD AE y y k k x x +++=+=()()121212121112t x x kx t kx t k x x x x +++++++=+()22142222t kt k a t +⋅=-==-， 整理得1t k =-，所以直线DE 的方程为()111y kx t kx k k x =+=+-=-+， 显然直线()11y k x =-+经过定点()1,1.当直线DE 的斜率不存在时，设直线DE 的方程为x m =，因为直线AD 与直线AE 的斜率之和为2a ，设(),D m n ，则(),E m n -， 所以21122AD AE n n k k a m m m+-++=+===，解得1m =， 此时直线DE 的方程为1x =，显然直线1x =经过定点()1,1. 综上，存在定点()1,1G ，使得直线DE 恒过点G . 21.（1）由题可得()x f x e x a '=-+， 设()()x g x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-， 所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增， 当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减，所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a >-，所以10a +>，即()0f x '>， 所以函数()f x 在R 上单调递増.（2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増， 因为 1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<，所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-，所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，所以当[)1,x ∈+∞时()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+， 令()()2111,2x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=， 所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 12f x <， 故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. 22.（1）将曲线1C 的参数方程2cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩化为普通方程为()2222x y r -+=， 即222440x y x r +-+-=，由222,cos x y x ρρθ=+=，可得曲线1C 的极坐标方程为224cos 40r ρρθ-+-=，因为曲线1C 经过点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22242403cos r π-⨯⨯+-=， 解得2r =(负值舍去），所以曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2）因为()12,,,2A B πραρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线()22:2cos 26C ρθ+=上， 所以()212cos 26ρα+=，()222cos 22cos 262παρα⎡⎤⎛⎫++=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以22221211112cos 22cos 22663OA OB ααρρ+-+=+=+=. 23.（1）当1b =时，()()11112222a a a f x g x x x x x +=-++≥---=+， 因为()()12f xg x +的最小值为3，所以132a +=，解得8a =-或4. （2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<， 当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3a x a <<， 因为不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1a >且132a <， 即312a <<，故实数a 的取值范围是31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 欢迎访问“高中试卷网”——。
豫南九校2019-2020学年上期第二次联考n高一数学试题
＝ ，＋ ＝ 1【2．解析】①而易−知x2集−1合<
0 A
，故
[0
f
(
c
) < 0 ，所以 f ∞) ，集合 B
(a) > f (b) > f
{1} 所以 B ⊆
(c) ，故选 A；
A．
②定义在 R 上的奇函数必有 f (0) = 0；
③数形结合可知方程 x2 − 2x = 0有三个零点；
二、填13．空④1题取（本a 大= 1题.1共, x4=小2题，，则每a小x =题15.2分1，，共log20a14分x．=）alo>g11.1 2 > log1.11.21 = 2 .综上，故选 B．
3．
A ∪ CRB = R ，故 B 正确；CR A ∩ B = φ ，故 D错误．故选 B．
4【5【6【【．．．解解解解析析析析】】】】因由当足①为表条直x 中件平=f 行的但2(1时)数不六=，据是面1分长体>y =底析方0 ，l变体面og；量是f14(③菱22y)=显形与=−然，x−12错满的2，<足误变∴0．条化，−故件规所12选但律以=不，A2由.是结k根正合，的棱所k存柱给=在；四−性②个14定函底，理数面故可的是选知图等C，．象腰故和梯选性形C质的.，直可棱知柱：，满 y 随x 变化而增大，排除 B；又随着x 增大， y 加速增长，故排除 ，C D.故选 A.
∴ 其值域为集合 ． 分 2 1 ≤ g(x) ≤ 2 ,
B=[1,2] ·······································4
∴ ． 分 A ∩ B={2}
··················································5
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豫南九校2020-2021学年上学期教学指导卷
高三数学(理)试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合{}()},0{,0)1)(73(=⋃>=<+-=B A y y B x x x A 则
A ．),1(+∞-
B ．)3
7
,0( C ．)0,1(- D ．φ 2.已知将函数x x f 4cos )(=的图像向右平移)0(>ϕϕ个单位长度之后所得的图像关于原点对称，则ϕ的值可能为( )
A ．2π
B ．43π
C ．8π
D ．4
π 3.已知命题,2,:231e e e
R x p x x ≥+∈∀-+则命题p 的真假以及否定分别为( ) A ．2312,:e e e
R x p x x <+∈∀⌝-+真， B ．2312,:e e e
R x p x x <+∈∀⌝-+假， C ．2312,:e e e
R x p x x <+∈∃⌝-+真， D ．231
2,:e e e R x p x x <+∈∃⌝-+假， 4.已知函数())]811([0
),2(log 0,3)(31=⎪⎩⎪⎨⎧>≤=+f f x x x x f x 则 A ．3 B ．31 C ．27
1 D ．27 5.已知()4cos ,32)4cos(
==-ααπ则 A ．8156- B ．8156- C ．8131- D ．81
31 6.若c b a c b a ,,,38log ,30lg ,18log 136则===的大小关系为( )
A ．b c a >>
B ．c b a >>
C ．a b c >>
D ．a c b >>
7. 下列说法中正确的个数为( )
①“方程0432
2=+-++y mx y x 表示的是圆”是“3>m ”的充分不必要条件； ②为等边三角形””是“中，“ABC BC AC AB ABC ∆=+∆2222的充要条件；
③若→
→b a ,为非零向量，则“0>⋅→→b a ”是“→
→b a ,的夹角是锐角”的必要不充分条件.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8. 函数2cos 2)(x x e x f x -+=的大致图像为( )
9. 已知函数),43sin(3)(π-
=x x f 将函数)(x f 的图像的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移9
π个单位之后，得到)(x g 的图像，则函数)(x g 的单调减区间为( ) A ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,3172,317211ππππ B ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡++,317231,3172ππππ C ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,341891,34187ππππ D ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,34187,3
4185ππππ 10.已知函数,5663)(2+-+=x e x x x f 则函数)(x f 的单调递减区间为( )
A ．),1(+∞
B ．),3(ln +∞
C ．)3ln ,(-∞
D ．R
11.若函数)(x f m
x x e x -=有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围为( ) A ．)2,0(2e B ．),2(2+∞e C ．)4,0(2e D ．),4(2+∞e
12.已知函数x x a ax x f ln 4)42()(2--+=在区间)4,31(上无极小值，则a 的值不可能为
( )
A ．2
1-
B ．3-
C ．2-
D ．4- 二、本大题共4个小题，每题5分，满分20分．
13. 命题“若31,0322===--x x ex x 或则”的否命题为___________________________________________________________________.
14. 已知集合，则若A B A m x x B x x
x y y A =⋂<=<+==},{},0,12{m 的取值范围为_________________.
15. 已知函数)(x f ,sin 32cos 2x x -=定义域为)(],0,2[x f 则π
-的值域为__________.
16.已知函数)(x f ]3,0[)0)(2sin(31)4sin(2πππ在>+++=w wx wx 上的值域为]3
5,34[，则3
cos πw 的取值范围为_______________. 三、解答题：本大题共6个小题，共70分.
17.(本题满分10分) 已知函数.2)2
()(3,cos 3sin )(=+⋅+=παααf f x x x f 满足锐角 (1)求)6
2cos(π
α+的值； (2)求α2sin 的值；
已知函数.)(2mx xe x f x -=
(1) 求曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线方程；
(2) 若函数0)()(=-=x e x f x g x 在处取到极小值，求实数m 的取值范围.
19. (本题满分12分) 已知命题””是“其中“11
0,2121:->->-<<+-x x m m x m p 的充分不必要条件；命题.1)2
1(],4,31[:3422>∈∃+-mx x x q 使得若 (1) 若q p ⌝∧为真，求实数m 的取值范围；
(2) 若q p ∨为真，q p ∧为假，求实数m 的取值范围；
已知函数).6
23sin(2)(π+=x x f (1) 求函数)(x f 在],0[π上的单调递增区间；
(2) 作出)(x f 在],0[π的大致图像，并标注函数的零点与极值点；
(3) 将函数)(x f 的图像向右平移3π个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到)(x g 的图像，求)(x g 在]2,[ππ上的最大值；
21. (本题满分12分) 已知函数x a x f 4
11)(+-=的图像关于原点对称. (1) 求实数a 的值；
(2) 若关于x 的不等式0)2
24()412(12>++-⋅+x x
x x f k f 恒成立，求实数k 的取值范围.
已知函数.42
11ln )(2--=x x m x f (1) 讨论函数)(x f 在),2(+∞上的单调性；
(2) 若x x f x g m 32)()(,0+=>函数有两个极值点.1ln )()(,,2121m x g x g x x <+证明。