无穷小量与无穷大量

x → 0 时， x ∼ sin x ∼ tan x ，1− cos x = 2(sin x )2 ∼ 2( x )2 = 1 x2 。
2
22
我们指出 lim arcsin x = 0 。事实上，对任意 0 < ε ≤ π ，只要 0 < x < sin ε ，就
x→0
2
有 0 < arcsin x < arcsin(sin ε ) = ε ，因此， lim arcsin x = 0 。由于 arcsin x 为奇函数， x→0+
x→
5
lim[ f (x)g(x)] = ∞ 。
x→
⑤ lim f (x) = ∞ ， lim g(x) = a ( a ≠ 0 ，但可以 a = ∞ )，则 lim[ f (x)g(x)] = ∞ 。
x→
x→
x→
【备注 4.5】
(i) ①的结论要注意无穷大量的方向。
(ii)②的结论显然。我们可以形象地理解为给大海增添一滴水或减少一滴水，对
x − x0
< δ1 时，
f (x)
>
M K
，
存在 δ2 > 0 ，当 0 < x − x0 < δ2 时， g(x) > K 。取 δ = min(δ1, δ2 ) ，则当
0<
x − x0
< δ 时，
f (x)g(x)
>
M K
K
= M 。因此， lim [ f (x)g(x)] = ∞ 。 x → x0
x
x→0
β ，α (x) 与 β (x) 无法比较。
④ 无穷小量的等价关系是一种等价关系。也就是说：设
则有如下三大性质：
limα (x) = lim β (x) = limγ (x) = 0
x→
x→
x→
(i) 自反性 α (x) ∼ α (x) (假设α (x) ≠ 0 )
⑥ 我们经常使用等价无穷小量的复合形式：
若u→
1 时 ， α (u) ∼ β (u) ， 当
x→
2 时 ， g(x) →
1 ， 但 g(x) ≠
，则
1
α [ g(x)] ∼ β [ g(x)] 。例如， sin x2 ∼ x2 ∼ tan x2 ， x → 0 。
2
我们经常风趣地说： sin 狗 ∼ 狗 。注意，两只狗长得一模一样，是同一条狗。
α lim
x→
±β γ
=
α lim(
x→ γ
±
β γ
)
=
k1
±
k2
这其实也给出了构造等价无穷小的又一种途径。例如， x ∼ sin x ， x + sin x ∼ 2x ， 这没错。但 x − sin x ∼ 0 就错了。事实上，1+1 = 2 ≠ 0 ，但1−1 = 0 。
(5) 等价无穷小家族
我们现在所拥有的等价无穷小少得可怜。通过之前的重要极限，我们知道当
若 lim α (x) = C ≠ 0 ，则称α (x) 与 β (x) 是同阶无穷小量。 x→ β (x)
若 lim α (x) = 1，则称α (x) 是 β (x) 的等价无穷小量。记为α (x) ∼ β (x) 。 x→ β (x)
若存在 k
> 0 以及常数 C
≠
0
，使得
lim
x→
[
α (x) β (x)]k
这一点当然。
(ii) 对称性 若α (x) ∼ β (x) ，则 β (x) ∼ α (x) 。
若α (x) ∼ β (x) ，则 lim α (x) = 1，因此， lim β (x) = 1。
x→ β (x)
x→ α (x)
(iii) 传递性 若α (x) ∼ β (x) ， β (x) ∼ γ (x) ，则α (x) ∼ γ (x) 。
第四节 无穷小量和无穷大量
1.无穷小量 (1) 无穷小量的定义
某一过程下极限为零的量，称为无穷小量。 【备注 4.1】 ① 无穷小量与自变量的极限过程紧密相关，不能随便拿个函数出来就说它是无
穷小量。正如， x2 是 x → 0 时的无穷小量，却不是 x → 1 时的无穷小量。
② 无穷小量和一般极限之间是有关系的，那就是
多，我们只拿其中一种来看看。
若 lim x → x0
f (x) = ∞ ，则对任意 ε
> 0 ，存在 δ > 0 ，当 0 <
x − x0
< δ ，有
f (x)
>1， ε
即0 <
f (x) < ε ，因此，
f
1 (x)
为
x
→
x0
时的无穷小量。
若 lim f (x) = 0 ， f (x) ≠ 0 (其实，在其一个去心邻域内非零，即可。)则 x → x0
=C
≠ 0 ，则称α (x) 是 β (x) 的 k
阶无穷小量。 【备注 4.2】
① 形式上，也常常把无穷小量记为 o(1) 。因为若α 为 x → 时的无穷小量，则
α lim
=
0 ，与高阶无穷小量的定义形式上一样。
x→ 1
② 若 x → 时，α (x) = o(β (x)) ，则α (x) + β (x) ∼ β (x) 。事实上，
若α (x) ∼ β (x) ， β (x) ∼ γ (x) ，则 lim α (x) = lim β (x) = 1，因此， x→ β (x) x→ γ (x)
lim
x→
α (x) γ (x)
=
lim
x→
⎡α ( x)
⎢ ⎣
β
(x)
β (x) γ (x)
⎤ ⎥ ⎦
=
lim
x→
α β
(x) (x)
lim
limα = A ⇔ lim(α − A) = 0 ⇔ α − A 是 x → 时的无穷小量
x→
x→
③ 0 也是无穷小量，并且是唯一为无穷小量的常数。
④ 无穷小量是变量，不可以理解为很小的量。
(2)无穷小量的比较
设 limα (x) = 0 ， lim β (x) = 0 。
x→
x→
若 lim α (x) = 0 ，则称α (x) 是 β (x) 的高阶无穷小量，记为α (x) = o(β (x)) 。 x→ β (x)
大海几乎没有什么影响。
(iii)④结论显然。给出一种情形的结论及证明。
若 lim x → x0
f
(x)
= ∞ ，且存在 K
> 0 及 x0 的去心邻域，在去心邻域内，g(x)
>
K
，
则 lim [ f (x)g(x)] = ∞ 。 x → x0
事实上，对任意 M
> 0 ，存在 δ1 > 0 ，当 0 <
x→
x→
若 lim f (x) = −∞ ，且在 x → 的某个时刻后，恒有 g(x) ≤ f (x) ，则 lim g(x) = +∞
x→
x→
(2) 无穷大量与无穷小量之间的关系
无穷大量的倒数是无穷小量；取值非零的无穷小量的倒数是无穷大量。
这是个很显然的结论。尽管如此，我们仍然简单论述一下。函数极限情形很
x→0
sin x − x3
x
存在，且非零(关于其计算，以后会知道)，如果将
sin
x
换作
x
，则
3
lim
x→0
sin x − x3
x
=
lim
x→0
x−x x3
=
0
，这就错误了。
但书不能死读，我们指出：若 x → 时，α ∼ k1γ ， β ∼ k2γ ，且 k1 ± k2 ≠ 0 ，
则α ± β ∼ (k1 ± k2 )γ 。道理非常地简单，因为
x→ γ
x→ γ
x→ γ
x→ γ x→ γ
这很容易明白，因为αγ = α (βγ ) ， α = α β ，而 lim α = 1。
β
γ βγ
x→ β
【备注 4.3】
一般来说，等价无穷小替换只能出现在乘除位置，而不能随便出现在加减的
位置。如果随便在加减中用等价无穷小替换，将可能导出大错误，例如，
lim
(iv) 由结论③，④和极限的保不等式性直接得到。事实上，若 a = ∞ ，即结论③，
若 a ≠ ∞ ，由于 lim g(x) = a ，因此，lim g(x) = a > 0 。由保不等式性，在 x → 的
x→
x→
某一时刻后，有 g(x) > 1 a > 0 。由④， lim [ f (x)g(x)] = ∞ 。
这其实给出了构造等价无穷小的一种方法。
(3)无穷小量的性质 ① 有限个无穷小量之和仍为无穷小量；
② 常数与无穷小量之积仍为无穷小量；
③ 有限个无穷小量之积仍为无穷小量；
④ 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量. 前三个直接由极限的四则运算规则得到，但要注意，只能是有限个，因为极
限的四则运算规则只适合于有限个函数的情形。关于无限个不成立的情形，以后
会举出例子。
第四个性质很重要。例如，此前 lim(x sin 1) = 0 即可用这性质得到。我们给
x→0
x
出简要证明。设 limα (x) = 0 ，在 x → 的某个时刻之后，β (x) 有界，即存在一个 x→
M > 0 ，使得 β (x) < M 。这样，α (x)β (x) ≤ M α (x) → 0 ，因此，lim[α (x)β (x)] = 0 x→