无穷大量与无穷小量
合集下载
无穷小量与无穷大量
定理11. 若在同一极限过程中, α, β, γ 均为无穷小
量, 则
(1). α ~ α;
(反身性)
(2).若α ~ β; 则 β ~ α;
(对称性)
(3).若α ~ β, β ~ γ; 则 α ~ γ; (传递性)
(4).若α ~ β; 则 αγ ~ γ β .
9
定理12. (等价代换原理)设α, α１, β, β１, 为同一极限
过程中无穷小量且 α～α１,β～β１, 若 lim 1 存在,则
1
lim lim 1 .
1
注1:由此定理可知, 求两个无穷小量商的极限时, 如果 分子, 分母的等价无穷小量存在, 则就可用它们各自的 等价无穷小量来代换原来的分子, 分母, 使计算简化. 请记住以下几个常用的等价无穷小量:
10
当x 0 时
因 ( x) 为无穷小量,
则 0, 某个时刻，在此时刻后, ( x)
f
M ( x)( x)
M
.
M, f ( x)( x)为无穷小量.
M
例 lim x sin 1 0, 但 lim x sin 1 1.
x0
x
x
x
sin x
(1)n
lim
0; lim
0.
x x
n n
3
定理8. (函数与其极限间的关系)函数ƒ(x)的极限为A 的充要条件是函数ƒ(x )等于A与无穷小量 α 的和.
不是一个很大的常量. 当ƒ(x)取正值无限增大(取负值
绝对值无限增大)时, 称为正无穷大量(负无穷大量).
记为 lim f ( x) （或）lim f ( x)
注2.通常 lim f ( x) 是极限不存在的记号; 但它又
无穷大量与无穷小量
故当 x → +∞ 时 f ( x ) 和 g ( x ) 不能比较 不能比较.
例1 证明 : 当x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
4 x tan 3 x tan x 3 解 lim ) = 4, = 4 lim( 4 x→0 x→0 x x
故当 x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
性质2 有限个无穷小量之积仍为无穷小量. 性质 ： 有限个无穷小量之积仍为无穷小量 注:无穷多个无穷小量之积不一定是无穷小量. 无穷多个无穷小量之积不一定是无穷小量.
性质3： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量. 性质 ： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量 证 设函数 u( x )在0 < x − x 0 < δ 1内有界， 内有界，
2 2
, .
趋
零的 快
度
定义: 定义:
设α , β 是同一过程中的两个无 穷小, 且β ≠ 0.
α (1) 如果 lim = 0, 就说α是比β 高阶的无穷小, β 记作 α = o( β );
(2) 如果 lim
记作α 记作α=O(β)或 β=O(α) β)或 α α 特别地： 如果 lim = 1, 称α与β是等价的无穷小; β 记作 α ~ β ; α 此外， 如果 lim k = A ( A ≠ 0, k > 0), 称α是β的k阶无穷小. β α (3) 如果 lim = ∞, 称α是比β低阶的无穷小. β
π 无界， y( xn ) = 2nπ + , 当n充分大时, y( xn ) > M . 无界， 2 1 ′ ( 2) 取 x n = ( n = 0,1,2,3,L) 2 nπ
当n充分大时 , x ′ 可以任意小 , n
例1 证明 : 当x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
4 x tan 3 x tan x 3 解 lim ) = 4, = 4 lim( 4 x→0 x→0 x x
故当 x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
性质2 有限个无穷小量之积仍为无穷小量. 性质 ： 有限个无穷小量之积仍为无穷小量 注:无穷多个无穷小量之积不一定是无穷小量. 无穷多个无穷小量之积不一定是无穷小量.
性质3： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量. 性质 ： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量 证 设函数 u( x )在0 < x − x 0 < δ 1内有界， 内有界，
2 2
, .
趋
零的 快
度
定义: 定义:
设α , β 是同一过程中的两个无 穷小, 且β ≠ 0.
α (1) 如果 lim = 0, 就说α是比β 高阶的无穷小, β 记作 α = o( β );
(2) 如果 lim
记作α 记作α=O(β)或 β=O(α) β)或 α α 特别地： 如果 lim = 1, 称α与β是等价的无穷小; β 记作 α ~ β ; α 此外， 如果 lim k = A ( A ≠ 0, k > 0), 称α是β的k阶无穷小. β α (3) 如果 lim = ∞, 称α是比β低阶的无穷小. β
π 无界， y( xn ) = 2nπ + , 当n充分大时, y( xn ) > M . 无界， 2 1 ′ ( 2) 取 x n = ( n = 0,1,2,3,L) 2 nπ
当n充分大时 , x ′ 可以任意小 , n
高数第一节第四章 无穷大量和无穷小量
f ( x ) < − M , 我们可以得到正无穷大量或负无穷大量
-9-
第四节
无穷大量与无穷小量
的定义, 记为 lim f ( x ) = +∞ 或 lim f ( x ) = −∞ . 注意 1 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
第一章 函数 极限 连续
2 切勿将 lim f ( x ) = ∞认为极限存在.
y = f ( x)
第一章 函数 极限 连续
例2 证
证明 lim e x = ∞ .
x →+∞
o
∀M > 0, 取 X = ln M , 当 x > X 时，恒有
x x X
x0
x
| e |= e > e = M , x e = ∞. 所以 xlim →+∞
无穷小与无穷大的关系 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒
第一章 函数 极限 连续
第四节
无穷大量与无穷小量
1 (2) 取 x0 = ( k = 0,1, 2, 3,L) 当k充分大时, xk < δ , 2kπ 但 y( xk ) = 2kπ sin 2kπ = 0 < M . 不是无穷大．
1 例1 证明 lim = ∞. x →1 x − 1 1 > M, 证 ∀ M > 0. 要使 x −1
第一章 函数 极限 连续
∃X 1 > 0, X 2 > 0, 使得 当 x > X 1时恒有 α < ; 2 ε 当 x > X 2时恒有 β < ; 取 X = max{ X 1 , X 2 }, 2 当 x > X 时,恒有 ε ε = ε, α±β ≤ α + β< + 2 2 ∴ α ± β → 0 ( x → ∞)
-9-
第四节
无穷大量与无穷小量
的定义, 记为 lim f ( x ) = +∞ 或 lim f ( x ) = −∞ . 注意 1 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
第一章 函数 极限 连续
2 切勿将 lim f ( x ) = ∞认为极限存在.
y = f ( x)
第一章 函数 极限 连续
例2 证
证明 lim e x = ∞ .
x →+∞
o
∀M > 0, 取 X = ln M , 当 x > X 时，恒有
x x X
x0
x
| e |= e > e = M , x e = ∞. 所以 xlim →+∞
无穷小与无穷大的关系 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒
第一章 函数 极限 连续
第四节
无穷大量与无穷小量
1 (2) 取 x0 = ( k = 0,1, 2, 3,L) 当k充分大时, xk < δ , 2kπ 但 y( xk ) = 2kπ sin 2kπ = 0 < M . 不是无穷大．
1 例1 证明 lim = ∞. x →1 x − 1 1 > M, 证 ∀ M > 0. 要使 x −1
第一章 函数 极限 连续
∃X 1 > 0, X 2 > 0, 使得 当 x > X 1时恒有 α < ; 2 ε 当 x > X 2时恒有 β < ; 取 X = max{ X 1 , X 2 }, 2 当 x > X 时,恒有 ε ε = ε, α±β ≤ α + β< + 2 2 ∴ α ± β → 0 ( x → ∞)
无穷小量和无穷大量wuqiongdahewuqiongxia
•
f xogx
(4) 如果
lim
f g
xx ，则称f是比g低阶的无穷小量。
例如 lim xsinx2lim0
xsinx2与x 为同阶无穷小量。
时x 0
limtanxlimsinx 1 1， 所以，当 x 0 x x 0 x cosx
x 时0
tanx x
无穷小量的性质
•性质１ 有限个无穷小量的和也是无穷小量。 •性质２ 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。 •性质３ 常数乘以无穷小量仍是无穷小量。 •性质４ 有界函数乘以无穷小量仍是无穷小量。
例如 由性质4可得
cos x lim 0 x x
二、无穷大量
定义 若 x x0 时，函数 | f x |，则称函数f(x)
2、limxsin11 1、limsin x 0
x x
x x
填空题
x 为曲x 0 线y＝f(x)的垂直渐
三、无穷小量与无穷大量的关系
定理 如果当 x x0 或 x 时，f(x)为无穷大量, 则
为无 且
穷1小量；反之，如果当
f x
为无穷大f 量x。
0,则
时x ， f(xx)0为或 无x 穷 小量，
1
f x
说明 据此定理，关于无穷大的问题都可以转化无穷小来讨论。
第四节 无穷小量和无穷大量 一、无穷小量
定义 若 x x0或x时 ，函数 f x则称0函, 数 f(x)为 x x0 或x 时的无穷小量。
例如： limx20 ，函数 x2当x2 时为无穷小 x2
li m 1 0 ，函数 x x
1 当 x时为无穷小。
x
说明 除0以外任何很小的常数都不是无穷小量。
例11 求
无穷小量无穷大量
02
在进行无穷大量的运算时，需 要注意运算的合法性和结果的 准确性。
03
无穷大量与有界量进行运算时 ，结果通常仍然是无穷大量， 除非有界量趋于零的速度快于 无穷大量趋于无穷大的速度。
重要无穷大量举例
当x→0时，1/x是无穷大量，因 为当x越来越接近于0时，1/x的
绝对值无限增大。
当x→∞时，x是无穷大量，因为 当x越来越大时，x的绝对值无限
求$lim_{x to infty} frac{1}{x}$时， 由于$x$趋近于无穷大，因此 $frac{1}{x}$趋近于0，即无穷小 量。
求$lim_{x to 0^+} ln x$时，由 于$x$趋近于0但大于0，因此$ln x$趋近于负无穷大，即无穷大量 出现在极限中。
06 结论与展望
本文工作总结
02
如果两个无穷大量在自变量的同一变化过程中，它们的比值 趋于一个非零的常数，则称这两个无穷大量是同阶的。
03
如果两个无穷大量的比值趋于无穷大或零，则称它们是不同 阶的。其中，趋于无穷大的称为高阶无穷大，趋于零的称为 低阶无穷大。
无穷大量运算规则
01
无穷大量在四则运算中满足一 些基本的运算规则，如加法、 减法、乘法和除法等。
极限概念是微积分学的基础，对于理解导数、积分等概念具有关键作用。
无穷小量在极限过程中作用
01
02
03
无穷小量是极限过程中的一个重 要概念，表示一个趋近于0的量。
在求极限时，无穷小量可以帮助 我们简化计算，量的性质对于理解极限的 运算法则、连续性等概念也具有 重要意义。
无穷小量和无穷大量都是基于极限理论的概念，用于描述函数或数列在特定点的变化趋势。
相互转化关系
无穷小量与无穷大量
当
x
0
x 时，ln
x
是负无穷大，记作
lim
ln x 。
x ，1 就不是无穷大，而是无穷小x了0。 x
②无穷大是指绝对值可以无限变大的变量，绝不
能与任何一个绝对值很大的常数如101000 ，
10001000 等混为一谈。
问：两个无穷大量的和是否是无穷大量？
答：不一定。
例如： f (x) 2x 1 ， g(x) 2x ，
2x
lim f (x) ， lim g(x) ，它们都是无穷大量，
x
x
但 lim [ f (x) g(x)] lim 1 0 是无穷小量。
x
x 2x
又如： f (x) 2x cosx ， g(x) 2x ，
lim f (x) ， lim g(x) ，它们都是无穷大量，
x
x
但 lim [ f (x) g(x)] lim cosx 不存在。
例．求下列极限
（1） lim xsin 1 ； （2） lim arctanx 。
x0 x
x x
错！
错！
（1）错正解： li∵m lximsinx10 l，im而x sliimn 1sin11， 0 ； x0x0 x x0 x0x x ∴ lim xsin 1 0 。 x0 x
（2） 解： ∵ lim 1 0 ，而arctan x ，
无穷小量和无穷大量
1.无穷小量 定义 1 若lim X 0 ，则称 X 为该极限过程中的
无穷小量，简称无穷小。
例如：当x0 时，sin x 和tanx 是无穷小量； 当 x x时，xx 是无穷小量；
当x 时， ax (a 1) 是无穷小量；
当 x 时， 1 是无穷小量。 x2
无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是微积分中重要的概念之一。
它们在极限理论的研究中起着重要的作用，能够描述数列、函数等的趋势和极限。
本文将从无穷小量和无穷大量的定义、性质以及在微积分中的应用等方面进行介绍和探讨。
一、无穷小量的定义和性质无穷小量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于零的量。
通常用符号"ε"或者"δ"表示。
具体而言，如果对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足0<|f(x)|<ε，那么函数f(x)就是无穷小量。
无穷小量具有以下的性质：1. 无穷小量的高阶无穷小量比低阶无穷小量高阶，也就是说，当x趋于某个值时，x的幂次越高的无穷小量趋于零的速度越快。
2. 无穷小量可以进行四则运算，即两个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量。
3. 无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。
4. 无穷小量与无穷小量的乘积还是无穷小量。
这些性质使得无穷小量在微积分的运算中具有重要的意义，可以方便地进行极限的计算和推导。
二、无穷大量的定义和性质无穷大量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于无穷的量。
通常用符号"∞"表示。
具体而言，如果对于任意给定的正数M，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足f(x)>M，那么函数f(x)就是无穷大量。
无穷大量具有以下的性质：1. 无穷大量的相反数是无穷小量。
2. 无穷大量与有界函数的乘积可以是无穷大量或者无穷小量，具体取决于有界函数的性质。
3. 无穷大量与无穷大量的四则运算结果不确定，可能是无穷大量、无穷小量或者有限量，具体取决于无穷大量的相对大小关系。
无穷大量在极限的计算和研究中起着重要的作用，可以帮助我们判断函数的趋势和性质，解决一些特殊的极限问题。
三、无穷小量与极限的关系无穷小量是极限的重要概念，它与极限之间存在着密切的关系。
当我们讨论函数在某一点的极限时，实际上就是在讨论自变量趋于某一点时，函数值的趋势。
无穷大量与无穷小量
又 a (x) 是无穷小量，即 | a (x) | < e (e 为任意小的 正数)，则
| a (x) f (x) | = | a (x) | | f (x) | < e M .
由于 e 是任意的小正数，因而 e M 也是可以任意 小的正数, 故 a (x) f (x) →0 .
推论 1
有限个无穷小量 (自变量同一趋向下)
之积为无穷小量 . 推论 2 常数与无穷小量之积为无穷小量 . 若 lim f ( x ) , 则 lim
定理3
设 f ( x ) 0 , 若 lim f ( x ) 0 ,
1 0. 反之， f ( x) 则 lim 1 . f ( x)
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 1 为无穷大, 则 若 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 若 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) 说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
无穷小量与无穷大量
一、无穷大量 二、无穷小量
三、无穷大量与无穷小 量的关系 四、无穷小量阶的比较
一、无穷大量
若函数 y = f ( x ) 的绝对值 | f ( x )| 在 x 的某
种趋向下无限增大，则称 y = f ( x ) 为在 x 的这
种趋向下的无穷大量，简称为无穷大.
当 x→ x0 时， f ( x ) 为无穷大量， 记作
x x0
lim f ( x ) ,
当 x → 时， f ( x ) 为无穷大量， 记作
lim f ( x ) .
x
有时，所研究的无穷大量具有确定的符号， 若在 x 的某种趋向下，f ( x ) 恒正地无限变大， 或者恒负，但绝对值无限变大，则记为
| a (x) f (x) | = | a (x) | | f (x) | < e M .
由于 e 是任意的小正数，因而 e M 也是可以任意 小的正数, 故 a (x) f (x) →0 .
推论 1
有限个无穷小量 (自变量同一趋向下)
之积为无穷小量 . 推论 2 常数与无穷小量之积为无穷小量 . 若 lim f ( x ) , 则 lim
定理3
设 f ( x ) 0 , 若 lim f ( x ) 0 ,
1 0. 反之， f ( x) 则 lim 1 . f ( x)
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 1 为无穷大, 则 若 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 若 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) 说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
无穷小量与无穷大量
一、无穷大量 二、无穷小量
三、无穷大量与无穷小 量的关系 四、无穷小量阶的比较
一、无穷大量
若函数 y = f ( x ) 的绝对值 | f ( x )| 在 x 的某
种趋向下无限增大，则称 y = f ( x ) 为在 x 的这
种趋向下的无穷大量，简称为无穷大.
当 x→ x0 时， f ( x ) 为无穷大量， 记作
x x0
lim f ( x ) ,
当 x → 时， f ( x ) 为无穷大量， 记作
lim f ( x ) .
x
有时，所研究的无穷大量具有确定的符号， 若在 x 的某种趋向下，f ( x ) 恒正地无限变大， 或者恒负，但绝对值无限变大，则记为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3. 若两个无穷小量在
x
2
sin
1 x
是同阶无穷小量.
U ( x0 ) 内满足:
f (x) L, g( x)
则记 f ( x) O( g( x)) ( x x0 ).
f ( x) 为 x x0 时的有界量时 , 我们记
f ( x) O(1) ( x x0 ) .
应当注意，若
f ( x) , g( x) 为 x x0 时的同阶无
U ( x0 ) 内，有
L f (x) M , g( x)
则称 f与( x) 是 g( x) x x0 时的同阶无穷小量.
根据函数极限的保号性，特别当
f (x)
lim
c0
xx0 g( x)
时，这两个无穷小量一定是同阶的.
例如: 当 x 0 时, 1 cos x 与 x2是同阶无穷小量;
当 x 0 时，x 与
x 0
x x 0 x 0 x
从几何上看，曲线
y
x sin
1 x
在
x 近0旁发生无
限密集的振动，其振幅被两条直线
y x 所限制.
y
0.1 y x
0.05
y x sin 1 x
-0.1 -0.05 O
0.05 0.1
x
-0.05 -0.1
y x
二、无穷小量阶的比较 、 、 两个相同类型的无穷小量，它们的和 差 积仍
一、无穷小量
定义1 设 f 在点x0 的某邻域 U ( x0 ) 内有定义，
若 lim f x 0, x x0
则称 f 为 x x0 时的无穷小量 .
若 f 在点 x0的某个空心邻域内有界，则称 f 为
x x0 时的有界量.
类似地可以分别定义 f 为
x x0 , x x0 , x , x , x 时的无穷小量和有界量.
是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的. 这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察
两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给 出如下定义.
设当 x x0 时，f x, gx 均是无穷小量 .
1.
若 lim x x0
f x gx
0，则称
x x0
时 f x 是关于 gx
的高阶无穷小量，记作 f ( x) o( g( x)) ( x x0 ) .
2. 无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量.
性质1可由极限的四则运算性质直接得到.
下面对性质２加以证明.
设 lim x x0
f (x)
0, |
g(x) |
M,
x U o( x0 ). 对于任意
的 0, 因为 lim f x 0 , 所以存在 0 , 使得当
x x0
0|
x
x0
|
时,
|
f (x)|
, 从而
M 1
| f ( x)g( x) | .
这就证明了 f ( x)g( x) 是 x x0 时 的无穷小量 .
例如:
x
为
x
0
时的无穷小量，sin
1 x
为
x
0
时
的有界量，那么 x sin 1x 为 x 0 时的无穷小量 .
应当注意, 下面运算的写法是错误的：
lim x sin 1 lim x lim sin 1 0 .
f (x)
f (x)
g( x)
lim
lim
lim
1 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxx0 h( x) xx0 g( x) xx0 h( x)
前面讨论了无穷小量阶的比较, 值得注意的是, 并
不是任何两个无穷小量都可作阶的比较. 例如
sin x 与 x
1 均为 x2
x 时的无穷小量, 却不能
按照前面讨论的方式进行阶的比较. 这是因为
当 f ( x) 为 x x0 时的无穷小量时，我们记 f ( x) o (1) ( x x0 ) .
例如： 1 cos x o( x) ( x 0 ) ; sin x o (1) ( x 0 ) ; xk1 o ( xk ) ( x 0, k 0 ) .
2. 若存在正数 K 和 L，使得在 x0 的某一空心邻域
x x0
x x0
(2) 若 lim h( x) A, 则 lim h( x) A.
xx0 f ( x)
xx0 g( x)
证 (1) 因为 lim f ( x)h( x) A, lim f ( x) 1, 所以
x x0
xx0 g( x)
lim g( x)h( x) lim g( x) f ( x)h( x) A.
因为
lim
x 0
sin x
x
1,
所以
sin x ~
x ( x 0) ;
因为
lim
x 0
arctan x
x
1,
所以
arctan
x
~
x (x
0) ;
同样还有 1 cos x ~ 1 x2 ( x 0) . 2
根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：
若 f ( x) ~ g( x) ( x x0 ), g( x) ~ h( x) ( x x0 ), 那么 f ( x) ~ h( x) ( x x0 ) . 这是因为
sin x x x sin x ( x ) 1
x2
是一个无界量，并且
(2nπ)sin(2nπ) 0 .
下面介绍一个非常有用的定理：
定理3.12
设函数 f, g, h 在
U ( x0 ) 内有定义, 且
f ( x) ~ g( x) ( x x0 ).
(1) 若 lim f ( x)h( x) A, 则 lim g( x)h( x) A;
穷小量，当然有
f ( x) O( g( x) ) ( x x0 ) .
反之不一定成立, 例如
x
sin
1 x
O(
x
)
( x 0) .
但是这两个无穷小量不是同阶的.
注意： 这里的 f ( x) o( g( x) ) 与 f ( x) O( g( x) )
( x x0 ) 和通常的等式是不同的，这两个式子的
例如: x 1为 x 1 时的无穷小量； 1 x2 为 x 1 时的无穷小量； sin x 为 x 时的无穷小量; x sin x 为 x 时的有界量.
显然，无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷 小量.
对于无穷小量与有界量，有如下关系：
1. 两个(类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是 无穷小量.
右边，本质上只是表示一类函数．例如
o( g( x) )
( x x0 ) 表示 g的( x所)有高阶无穷小量的集合．
也就是说，这里的 “=” 类似于
“” .
4.
若
lim
x x0
f (x) g( x)
1,
则称
f ( x) 与 g( x) 为 x x0 时的
等价无穷小量，记作
f ( x) ~ g( x) ( x x0 ).
x
2
sin
1 x
是同阶无穷小量.
U ( x0 ) 内满足:
f (x) L, g( x)
则记 f ( x) O( g( x)) ( x x0 ).
f ( x) 为 x x0 时的有界量时 , 我们记
f ( x) O(1) ( x x0 ) .
应当注意，若
f ( x) , g( x) 为 x x0 时的同阶无
U ( x0 ) 内，有
L f (x) M , g( x)
则称 f与( x) 是 g( x) x x0 时的同阶无穷小量.
根据函数极限的保号性，特别当
f (x)
lim
c0
xx0 g( x)
时，这两个无穷小量一定是同阶的.
例如: 当 x 0 时, 1 cos x 与 x2是同阶无穷小量;
当 x 0 时，x 与
x 0
x x 0 x 0 x
从几何上看，曲线
y
x sin
1 x
在
x 近0旁发生无
限密集的振动，其振幅被两条直线
y x 所限制.
y
0.1 y x
0.05
y x sin 1 x
-0.1 -0.05 O
0.05 0.1
x
-0.05 -0.1
y x
二、无穷小量阶的比较 、 、 两个相同类型的无穷小量，它们的和 差 积仍
一、无穷小量
定义1 设 f 在点x0 的某邻域 U ( x0 ) 内有定义，
若 lim f x 0, x x0
则称 f 为 x x0 时的无穷小量 .
若 f 在点 x0的某个空心邻域内有界，则称 f 为
x x0 时的有界量.
类似地可以分别定义 f 为
x x0 , x x0 , x , x , x 时的无穷小量和有界量.
是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的. 这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察
两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给 出如下定义.
设当 x x0 时，f x, gx 均是无穷小量 .
1.
若 lim x x0
f x gx
0，则称
x x0
时 f x 是关于 gx
的高阶无穷小量，记作 f ( x) o( g( x)) ( x x0 ) .
2. 无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量.
性质1可由极限的四则运算性质直接得到.
下面对性质２加以证明.
设 lim x x0
f (x)
0, |
g(x) |
M,
x U o( x0 ). 对于任意
的 0, 因为 lim f x 0 , 所以存在 0 , 使得当
x x0
0|
x
x0
|
时,
|
f (x)|
, 从而
M 1
| f ( x)g( x) | .
这就证明了 f ( x)g( x) 是 x x0 时 的无穷小量 .
例如:
x
为
x
0
时的无穷小量，sin
1 x
为
x
0
时
的有界量，那么 x sin 1x 为 x 0 时的无穷小量 .
应当注意, 下面运算的写法是错误的：
lim x sin 1 lim x lim sin 1 0 .
f (x)
f (x)
g( x)
lim
lim
lim
1 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxx0 h( x) xx0 g( x) xx0 h( x)
前面讨论了无穷小量阶的比较, 值得注意的是, 并
不是任何两个无穷小量都可作阶的比较. 例如
sin x 与 x
1 均为 x2
x 时的无穷小量, 却不能
按照前面讨论的方式进行阶的比较. 这是因为
当 f ( x) 为 x x0 时的无穷小量时，我们记 f ( x) o (1) ( x x0 ) .
例如： 1 cos x o( x) ( x 0 ) ; sin x o (1) ( x 0 ) ; xk1 o ( xk ) ( x 0, k 0 ) .
2. 若存在正数 K 和 L，使得在 x0 的某一空心邻域
x x0
x x0
(2) 若 lim h( x) A, 则 lim h( x) A.
xx0 f ( x)
xx0 g( x)
证 (1) 因为 lim f ( x)h( x) A, lim f ( x) 1, 所以
x x0
xx0 g( x)
lim g( x)h( x) lim g( x) f ( x)h( x) A.
因为
lim
x 0
sin x
x
1,
所以
sin x ~
x ( x 0) ;
因为
lim
x 0
arctan x
x
1,
所以
arctan
x
~
x (x
0) ;
同样还有 1 cos x ~ 1 x2 ( x 0) . 2
根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：
若 f ( x) ~ g( x) ( x x0 ), g( x) ~ h( x) ( x x0 ), 那么 f ( x) ~ h( x) ( x x0 ) . 这是因为
sin x x x sin x ( x ) 1
x2
是一个无界量，并且
(2nπ)sin(2nπ) 0 .
下面介绍一个非常有用的定理：
定理3.12
设函数 f, g, h 在
U ( x0 ) 内有定义, 且
f ( x) ~ g( x) ( x x0 ).
(1) 若 lim f ( x)h( x) A, 则 lim g( x)h( x) A;
穷小量，当然有
f ( x) O( g( x) ) ( x x0 ) .
反之不一定成立, 例如
x
sin
1 x
O(
x
)
( x 0) .
但是这两个无穷小量不是同阶的.
注意： 这里的 f ( x) o( g( x) ) 与 f ( x) O( g( x) )
( x x0 ) 和通常的等式是不同的，这两个式子的
例如: x 1为 x 1 时的无穷小量； 1 x2 为 x 1 时的无穷小量； sin x 为 x 时的无穷小量; x sin x 为 x 时的有界量.
显然，无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷 小量.
对于无穷小量与有界量，有如下关系：
1. 两个(类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是 无穷小量.
右边，本质上只是表示一类函数．例如
o( g( x) )
( x x0 ) 表示 g的( x所)有高阶无穷小量的集合．
也就是说，这里的 “=” 类似于
“” .
4.
若
lim
x x0
f (x) g( x)
1,
则称
f ( x) 与 g( x) 为 x x0 时的
等价无穷小量，记作
f ( x) ~ g( x) ( x x0 ).