2019年浙江省温州中学提前招生考试数学试卷(含答案)

合集下载

2019年浙江省温州市重点中学招生模拟数学试题含答案

2019年浙江省温州市重点中学招生模拟数学试题含答案2019年温州市重点中学自主招生模拟试题数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）一.选择题（每题5分，共50分） 1.下列数中不属于有理数的是（）A.1B.21C.22D.0.11132.如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上．下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y 和x ，则y 与x 的函数图象大致是（）A. B. C. D.3.如果把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（） A 、13 = 3+10 B 、25 = 9+16 C 、49 = 18+31 D 、36 = 15+214.a 、b 、c 均不为0，若0<=-=-=-abc cxz b z y a y x ，则),(bc ab p 不可能在（） A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限5.如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ）（a ＞2），半径为2，函数y=x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为23错误！未找到引用源。

，则a 的值是（）A 、22错误！未找到引用源。

B 、22+错误！未找到引用源。

C 、23+2错误！未找到引用源。

D 、23+6.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90º，∠A=30º，BC=2，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后，得到△EDC，此时，点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A 、30，2B 、60，2C 、60，32D 、60，3 7.如图一个长为m 、宽为n 的长方形（m ＞n ）沿虚线剪开，拼接成图2，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（） A 、2m n - B 、m －n C 、2mD 、2n8.抛物线2x y =上有三点P 1、P 2、P 3，其横坐标分别为t ，t +1，t +3，则△P 1P 2P 3的面积为（）． A.1 Ｂ. 2 Ｃ. 3 Ｄ.4 9.已知直线483y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 上的一点，若将△ABM 沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B '处，则直线AM 的函数解析式是( )A.821+-=x yB.831+-=x y C.321+-=x y D.331+-=x y10.正五边形广场ABCDE 的边长为80米，甲、乙两个同学做游戏，分别从A 、C 两点处同时出发，沿A-B-C-D-E-A 的方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分，则两人第一次刚走到同一条边上时（）．Ａ.甲在顶点A 处Ｂ.甲在顶点B 处 C.甲在顶点C 处Ｄ.甲在顶点D 处B /y xMOBA二.填空题（每题6分，共36分）11.分解因式：22242y xy x ++=________________. 12.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数)0,0(>>=k x xky的图象经过点A （1, 2），B （m ，n ）（m ＞1），过点B 作 y 轴的垂线,垂足为C.若△ABC 面积为２，则点B 的坐标为________.13.如右图，是一回形图，其回形通道的宽和OB 的长均为1，回形线与射线OA 交于A 1，A 2，A 3，…．若从O 点到A 1点的回形线为第1圈（长为7），从A 1点到A 2 点的回形线为第2圈，…，依次类推．则第11圈的长为．14.今有一副三角板（如图1），中间各有一个直径为4cm 的圆洞，现将三角板a 的30º角的那一头插入三角板b 的圆洞内（如图2），则三角板a 通过三角板b 的圆洞的那一部分的最大面积为 cm 2（不计三角板的厚度，精确到0.1cm 2）．15.如图，等腰梯形MNPQ 的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD 的边长为1，它的一边AD 在MN 上，且顶点A 与M 重合．现将正方形ABCD 在梯形的外面沿边MN 、NP 、PQ 进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q 重合时，点A 所经过的路线与梯形MNPQ 的三边 MN 、NP 、PQ 所围成图形的面积是________．A 3A 2A 1BAO图1ba16.如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，⊙D 的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O 重合，绕着O 点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H ，此时两直角边与AD 交于E ，F 两点，则tan EFO ∠的值为．三.解答题（共6小题，分别为8,10,10,10,12，14分，共64分） 17.设数列 ,1,,12,1,,13,22,31,12,21,11kk k -，问：（1）这个数列第2010项的值是多少？（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少？18.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，⊙O 为内切圆，E 为切点，（Ⅰ）求AOD ∠的度数；（Ⅱ）若8=AO cm ，6=DO cm ，求OE 的长． .19.请设计三种方案：把一个正方形剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，并且使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形，画出必要的示意图，并附以简要的文字说明．20.某商场在促销期间规定：商场所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，可按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额w （元）的范围 200≤w ＜400 400≤w ＜500 500≤w ＜700 700≤w ＜900 … 获得奖券的金额（元）3060100130…根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。

2019年温州市重点中学自主招生模拟数学试题含答案

2019年温州市重点中学自主招生模拟试题数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）一.选择题（每题5分，共50分） 1.下列数中不属于有理数的是（）A.1B.21C.22D.0.11132.如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上．下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y 和x ，则y 与x 的函数图象大致是（）A. B. C. D.3.如果把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（） A 、13 = 3+10 B 、25 = 9+16 C 、49 = 18+31 D 、36 = 15+214.a 、b 、c 均不为0，若0<=-=-=-abc cxz b z y a y x ，则),(bc ab p 不可能在（） A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限5.如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ）（a ＞2），半径为2，函数y=x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为23，则a 的值是（）A 、22B 、22+C 、23+2D 、23+6.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90º，∠A=30º，BC=2，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后，得到△EDC，此时，点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A 、30，2B 、60，2C 、60，32D 、60，3 7.如图一个长为m 、宽为n 的长方形（m ＞n ）沿虚线剪开，拼接成图2，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（） A 、2m n - B 、m －n C 、2mD 、2n8.抛物线2x y =上有三点P 1、P 2、P 3，其横坐标分别为t ，t +1，t +3，则△P 1P 2P 3的面积为（）． A.1 Ｂ. 2 Ｃ. 3 Ｄ.4 9.已知直线483y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 上的一点，若将△ABM 沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B '处，则直线AM 的函数解析式是( )A.821+-=x yB.831+-=x y C.321+-=x y D.331+-=x y10.正五边形广场ABCDE 的边长为80米，甲、乙两个同学做游戏，分别从A 、C 两点处同时出发，沿A-B-C-D-E-A 的方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分，则两人第一次刚走到同一条边上时（）．Ａ.甲在顶点A 处Ｂ.甲在顶点B 处 C.甲在顶点C 处Ｄ.甲在顶点D 处二.填空题（每题6分，共36分）11.分解因式：22242y xy x ++=________________.12.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数)0,0(>>=k x xky的图象经过点A （1, 2），B （m ，n ）（m ＞1），过点B 作 y 轴的垂线,垂足为C.若△ABC 面积为２，则点B 的坐标为________.13.如右图，是一回形图，其回形通道的宽和OB 的长均为1，回形线与射线OA 交于A 1，A 2，A 3，…．若从O 点到A 1点的回形线为第1圈（长为7），从A 1点到A 2 点的回形线为第2圈，…，依次类推．则第11圈的长为．14.今有一副三角板（如图1），中间各有一个直径为4cm 的圆洞，现将三角板a 的30º角的B /y xMOB AA 3A 2A 1BAO那一头插入三角板b 的圆洞内（如图2），则三角板a 通过三角板b 的圆洞的那一部分的最大面积为 cm 2（不计三角板的厚度，精确到0.1cm 2）．15.如图，等腰梯形MNPQ 的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD 的边长为1，它的一边AD 在MN 上，且顶点A 与M 重合．现将正方形ABCD 在梯形的外面沿边MN 、NP 、PQ 进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q 重合时，点A 所经过的路线与梯形MNPQ 的三边 MN 、NP 、PQ 所围成图形的面积是________．16.如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，⊙D 的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O 重合，绕着O 点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H ，此时两直角边与AD 交于E ，F 两点，则tan EFO ∠的值为．三.解答题（共6小题，分别为8,10,10,10,12，14分，共64分） 17.设数列 ,1,,12,1,,13,22,31,12,21,11kk k -，问：（1）这个数列第2010项的值是多少？（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少？ 18.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，⊙O 为内切圆，E 为切点，（Ⅰ）求AOD ∠的度数；（Ⅱ）若8=AO cm ，6=DO cm ，求OE 的长． .19.请设计三种方案：把一个正方形剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，并且使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形，画出必要的示意图，并附以简要的文字说明．20.某商场在促销期间规定：商场所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，可按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额w （元）的范围 200≤w ＜400 400≤w ＜500 500≤w ＜700 700≤w ＜900 … 获得奖券的金额（元）30 60 100 130 …图1baA BDCEO根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。

2019年温州瓯海中学提前自主招生模拟考试数学试题及参考答案(含详解)

2019年温州瓯海中学提前招生模拟考试数学试题（时间：120分钟满分150分）一、选择题（共8小题，满分48分，每小题6分）1．（2017•奉化中学自主招生）实数a，b，c满足2a=5，2b=10，2c=80，则代数式2006a﹣3344b+1338c的值为（）A．2007B．2008C．2009D．2010 2．（2015•乐清中学自主招生）若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大3．一列数b0，b1，b2，…，具有下面的规律，b2n+1=b n，b2n+2=b n+b n+1，若b0=1，则b2015的值是（）A．1B．6C．9D．194．如图所示，正三角形ABC的边长为2，=2，=，BD交CE于点F，则△AEF的外接圆半径长为（）A．B．C．D．第4题第6题5．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴负半轴交于A（m，0），与x正半轴交于B（n，0），4＜n＜5，与y轴负半轴交于C，且OA=OC，则a的取值范围是（）A．0＜a＜B．＜a＜C．D．＜a＜16．如图，等腰△ABC内接于圆O，底边AB是直径，E为AC的中点，点D在BC上，且CD=3BD，AD与BE相交于点F，则∠AFE的正切值为（）A．B．C．D．7．（2015•黄冈中学自主招生）如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜2B．C．D．8．如图所示，扇形AOB中，∠AOB=60°，AO=R，圆O1与AO，BO和弧AB 都相切；圆O2和圆O1，AO，BO都相切；圆O3和圆O2；AO，BO都相切；则圆O3的面积为（）A．B．C．D．第8题第10题二、填空题（共6小题，满分42分，每小题7分）9．（2017•芜湖一中自主招生）已知x、y是实数且满足x2+xy+y2﹣2=0，设M=x2﹣xy+y2，则M的取值范围是．10．如图，一次函数y=x+1的图象交x轴于点E、交反比例函数的图象于点F（点F在第一象限），过线段EF上异于E、F的动点A作x轴的平行线交的图象于点B，过点A、B作x轴的垂线段，垂足分别是点D、C，则矩形ABCD 的面积最大值为．11．如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA，OC分别在x轴，y 轴的正半轴上．OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E，F分别是线段OA，AB上的两个动点，且始终保持∠DEF=45°．设OE=x，AF=y，则y与x的函数关系式为．第11题第12题12．（2014•宁波重点高中自主招生）如图，在同一平面内，圆O和直线AB相切，P是圆O上一个定点，初始位置圆O和AB相切于点A（此时点P与点A重合），从A处开始圆O在直线AB上以每3分钟1圈的速度匀速向右无滑动地滚动，1分钟到达点E（圆O与AB相切于点E），此时，tan∠PAE的值为．13．（2015•黄冈中学自主招生）若直线y=b（b为实数）与函数y=|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是．14．射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值（单位：秒）第14题三、解答题（共5小题，满分60分）15．（10分）已知关于x的一元二次方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k的值．16．（10分）（2017•启东中学自主招生）已知：关于x的方程①x2﹣（m+2）x+m ﹣2=0有两个符号不同的实数根x1，x2，且x1＞|x2|＞0；关于x的方程②mx2+（n ﹣2）x+m2﹣3=0有两个有理数根且两根之积等于2．求整数n的值．17．（10分）如图，已知锐角△ABC及其外接圆⊙O，AM是BC边的中线．分别过点B，C作⊙O的切线，两条切线相交于点X，连接AX．求证：．第17题18．（14分）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t杪，连结OP并延长交抛物线于点B，连结OA，AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．第18题19．（16分）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=45°，BC=20，点D在线段BC上，BD=4，点M、N以相同的速度从D点同时出发，点M沿DC方向运动，点N沿DB方向运动到点B后立刻以原速返回向点C运动，以MN为直径构造⊙O，过点M作⊙O的切线交折线BA﹣AC于点E，将线段EM绕点E顺时针旋转45°得到EF，过F点作FG⊥EM于G，当M运动到点C时，N也停止运动，设DM=m．（1）当m=时，点N与点B重合，此时MN=．当4＜m≤16时，BM=，BN=（用含有m的代数式表示）（2）当线段FG长度达到最大时，求m的值；（3）在点M，N运动过程中，①当为何值时，⊙O与△ABC的一边相切？②直接写出点F所经过的路径长．（提示：当直角三角形的两直角边之比为定值时，这个直角三角形的两个锐角度数为定值）第19题2019年温州瓯海中学提前招生模拟考试数学试题参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，满分48分，每小题6分）1．【解析】∵2b÷2a=2，∴b﹣a=1，则a=b﹣1，∵2c÷2b=8，∴c﹣b=3，则c=b+3，∴2006a﹣3344b+1338c=2006（b﹣1）﹣3344b+1338（b+3）=2008．故选：B．2．【解析】∵若﹣1＜a＜0，∴a可取﹣0.001，那么a3=﹣0.000 000 001，=﹣0.1，=﹣1000，∴最小，a3最大，故选：A．3．【解析】∵b2n+1=b n，b2n+2=b n+b n+1，∴b2015=b1007=b503=b251=b125=b62=b30+b31=b14+b15+b15=b6+b7+2b7=3b3+b2+b3=4b3+b0+b1=5b1+b0 =6b0，∵b0=1，∴b2015的值是6．故选：B．4．【解析】作DH⊥AB于H，如图所示：∵正三角形ABC的边长为2，=2，=，∴BE=AD=AB=，AB=BC=AC，∠EBC=∠BAD=60°，∴AE=，在△BCE和△ABD中，，∴△BCE≌△ABD（SAS），∴∠1=∠2，∴∠DFC=∠3+∠2=∠3+∠1=60°，∴∠DFC=∠EAD=60°，∴A、D、F、E四点共圆，作DH⊥AB于H，则∠ADH=30°，∴AH=AD=，DH=AH=，∴EH=AE﹣AH=1，∴sin∠DEH==，∴∠DEH=30°，∴∠ADE=90°，∴∠AFE=∠ADE=90°，∴AE为△AEF的外接圆的直径，∴△AEF的外接圆半径长为AE=．故选：A．5．【解析】∵OA=OC，A（m，0），∴C（0，m），即c=m，则抛物线解析式为y=ax2+bx+m，根据题意知抛物线对称轴x=﹣=，可得b=﹣am﹣an ①，将点A（m，0）代入y=ax2+bx+m，得：am2+bm+m=0，即am+b+1=0，∴b=﹣am﹣1 ②，由①、②可得﹣am﹣1=﹣am﹣an，即an=1，a=，∵4＜n＜5，∴＜a＜，故选：B．6．【解析】作EH⊥AD于H，EG∥AD交BC于G，如图，设BD=a，则CD=3a，∴CA=CB=4a，∵E为AC的中点，∴AE=CE=2a，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACD中，AD==5a，在Rt△BCE中，BE==2a，∵∠EAH=∠DAC，∴Rt△AEH≌Rt△ADC，∴=，即=，解得EH=a，∵EG∥AD，∴CG：DG=CE：AE=1：1，∴CG=DG=a，∵DF∥EG，∴===，∴EF=BE=a，∴HF==a，∴tan∠EFH===．故选：B．7．【解析】∵△=a2﹣4（a2﹣3）=12﹣3a2（1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±2，若a=2，此时方程x2﹣2x+1=0的根x=1符合条件，若a=﹣2，此时方程x2+2x+1=0的根x=﹣1不符舍去，（2）当方程有两个根时，△＞0可得﹣2＜a＜2，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2﹣3≤0，解可得﹣≤a≤，而a=﹣时不合题意，舍去．所以﹣＜a≤符合条件，②若方程有两个正根，则，解可得a＞，综上可得，﹣＜a≤2．故选：C．8．【解析】如图所示：连接各切线与对应圆的圆心．∵OA、OB是⊙O1的切线，∴∠AOO1=∠BOO1=30°．∵圆O1与AO相切，∴∠OCO1=90°．∴OO1=2O1C．∴OA=3r11．∴r1=．∴OE=O1E=r1=．同理：可知：r2=，r3=．∴r3=．由圆的面积公式可知圆O3的面积==．故选：C．二、填空题（共6小题，满分42分，每小题7分）9．【解析】由x2+xy+y2﹣2=0得：x2+2xy+y2﹣2﹣xy=0，即（x+y）2=2+xy≥0，所以xy≥﹣2；由x2+xy+y2﹣2=0得：x2﹣2xy+y2﹣2+3xy=0，即（x﹣y）2=2﹣3xy≥0，所以xy≤，∴﹣2≤xy≤，∴不等式两边同时乘以﹣2得：（﹣2）×（﹣2）≥﹣2xy≥×（﹣2），即﹣≤﹣2xy≤4，两边同时加上2得：﹣+2≤2﹣2xy≤4+2，即≤2﹣2xy≤6，∵x2+xy+y2﹣2=0，∴x2+y2=2﹣xy，∴M=x2﹣xy+y2=2﹣2xy，则M的取值范围是≤M≤6．故答案为：≤M≤610．【解析】设A（a，a+1），则B（，a+1），∴AB=﹣a，AD=a+1，∴S矩形ABCD=（a+1）（﹣a）=2﹣a（a+1）=﹣（a+）2+，∴当a=﹣时，矩形ABCD的面积最大值为，故答案为：．11．【解析】过B作BM⊥x轴于M．在Rt△ABM中，∵AB=3，∠BAM=45°，∴AM=BM=，∴BC=OA﹣AM=4﹣=，CD=BC﹣BD=，∴D（，）．连接OD，则点D在∠COA的平分线上，所以∠DOE=∠COD=45°．又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，∴由三角形外角定理得：∠1=∠DEA﹣45°，又∠2=∠DEA﹣45°，∴∠1=∠2，∴△ODE∽△AEF，∴=，即：=，∴y与x的解析式为：y=﹣x2+x．故答案为y=﹣x2+x．12．【解析】如图所示，过点P作PC⊥AB，垂足为C，过点O作OD⊥PC，垂足为D．根据题意可知∠POE==120°，AE=劣弧PE的弧长．∴AE=2πR×=．∵AB是圆O的切线，∴∠OEC=90°．∵PC⊥AB，OD⊥PC，∴∠DCE=∠ODC=90°．∴∠OEC=∠DCE=∠ODC=90°．∴四边形ODCE为矩形．∴DC=OE=R，OD=CE．∵∠POD=30°，∠PDO=90°，∴PD=，DO==．∴PC=PD+DC=，AC=AE﹣EC=﹣．∴tan∠PAE====．故答案为：．13．【解析】∵当x2﹣4x+3=0时，x=1或x=3，∴当x＜1或x＞3时，x2﹣4x+3＞0，即：y=|x2﹣4x+3|，函数值大于0，当1＜x＜3时，﹣1≤x2﹣4x+3＜0，即：y=|﹣x2+4x﹣3|，函数最大值为1，故符合条件的实数b的取值范围是0＜b≤1．14．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点，∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：①如图1，当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=cm，∠PM′M=90°，∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2；②如图2，当⊙P于AC切于A点时，连接PA，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，即t=3，当⊙P于AC切于C点时，连接P′C，则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；③如图3，当⊙P切BC于N′时，连接PN′则PN′=cm，∠PN′N=90°，∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；注意：由于对称性可知，当P点运动到AB右侧时也存在⊙P切AB，此时PM也是为2，即P点为N点，同理可得P点在M点时，⊙P切BC．这两点都在第二种情况运动时间内．故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．三、解答题（共5小题，满分60分）15．【解析】原方程可化为：[（6﹣k）x﹣9][（9﹣k）x﹣6]=0．因为此方程是关于x的一元二次方程，所以，k≠6，k≠9，于是有：x1=①，x2=②．由①得k=，由②得k=，∴=，整理得x1x2﹣2x1+3x2=0，有（x1+3）（x2﹣2）=﹣6．∵x1、x2均为整数，∴．故x1=﹣9，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，3．又k==6﹣，将x1=﹣9，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，3分别代入，得k=7，，，，，15，3．16．【解析】由方程①知：∵x1•x2＜0，x1＞|x2|＞0，∴x1＞0，x2＜0，∵△=（m﹣2）2+8＞0，∴x1+x2=m+2＞0，x1•x2=m﹣2＜0，∴﹣2＜m＜2，由方程②知：，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m=3（舍去），m=﹣1（2分）代入②得：x2﹣（n﹣2）x+2=0，∵方程的两根为有理数，∴△=（n﹣2）2﹣8=k2，∴（n﹣2）2﹣k2=8，（n﹣2+k）（n﹣2﹣k）=8，∵n﹣2+k和n﹣2﹣k奇偶性相同，∴或或或，解得n=5或n=﹣1．17．【解析】证明：设AX与⊙O相交于点A1，连接OB，OC，OA1．又M为BC的中点，所以，连接OX，它过点M．∵OB⊥BX，OX⊥BC，∴XB2=XM•XO．①又由切割线定理得XB2=XA1•XA．②由①，②得，∴△XMA∽△XA1O，∴．又∵∠BOC=2∠BAC，∴∠BOX=∠BAC，∴．18．【解析】（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x=2，∴c=0，﹣=2，则b=﹣4、c=0，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x；（2）设点B（a，a2﹣4a），∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，∴点A（2，﹣4），则OA2=22+42=20、OB2=a2+（a2﹣4a）2、AB2=（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，①若OB2=OA2+AB2，则a2+（a2﹣4a）2=20+（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，解得a=2（舍）或a=，∴B（，﹣），则直线OB解析式为y=﹣x，当x=2时，y=﹣3，即P（2，﹣3），∴t=（﹣3+4）÷1=1；②若AB2=OA2+OB2，则（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2=20+a2+（a2﹣4a）2，解得a=0（舍）或a=，∴B（，），则直线OB解析式为y=x，当x=2时，y=1，即P（2，1），∴t=[1﹣（﹣4）]÷1=5；③若OA2=AB2+OB2，则20=（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2+a2+（a2﹣4a）2，整理，得：a3﹣8a2+21a﹣18=0，a3﹣3a2﹣5a2+15a+6a﹣18=0，a2（a﹣3）﹣5a（a﹣3）+6（a﹣3）=0，（a﹣3）（a2﹣5a+6）=0，（a﹣3）2（a﹣2）=0，则a=3或a=2（舍），∴B（3，﹣3），∴直线OB解析式为y=﹣x，当x=2时，y=﹣2，即P（2，﹣2），∴t=[﹣2﹣（﹣4）]÷1=2；综上，当△AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5．（3）∵⊙M为△AOB的外接圆，∴点M在线段OA的中垂线上，∴当1≤t≤5时，点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段，当t=1时，如图1，由（2）知∠OAB=90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OB的中点，∵B（，﹣），∴M（，﹣）；当t=5时，如图2，由（2）知，∠AOB=90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是AB的中点，∵B（，）、A（2，﹣4），∴M（，﹣）；当t=2时，如图3，由（2）知，∠OBA=90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OA的中点，∵A（2，﹣4），∴M（1，﹣2）；则点M经过的路径长度为=．19．【解析】（1）当点N从点D向点B运动时，根据题意可得BM=4+m，BN=4﹣m，当点N与点B重合，BN=0，∴4﹣m=0，∴m=4，MN=2DN=2BD=8；当4＜m≤16时，此段内，点M，N以相同的速度向点C运动，∴MN=8，∴BM=4+m，BN=BM﹣MN=m+4﹣8=m﹣4，故答案为4；8；4+m；m﹣4；（2）如图1中，∵EM是⊙O的切线∴∠BME=90°，∵∠B=45°，∴∠BEM=45°=∠B，∴BM=EM∴FG⊥EM，∴∠FGE=90°=∠EFG，∴FG∥BC，∴∠EFG=∠B=45°，∴∠FEG=45°=∠EFG，∴FG=EG，∴FG=EF，由旋转知，EF=EM，当点E与点A重合时，ME的值最大，∵△ABC是等腰直角三角形，EM是底边的高，∴EM=BC=10，∵BM=EM，∴10=4+m，∴m=6；（3）①当0＜m≤4（N在往B运动）时，如图2中，设⊙O切AB于H，连接OH．∴∠BHD=90°，∵∠B=45°，∴DH=BD=4×=2，∴ND=m=DH=2，即m=2．当4＜m≤16（N从B向C运动）时，则MN=（4+m）﹣（m﹣4）=8，如图3中，设⊙O切AB于H．连接OH．∴OH=MN=4，则BO=OH=4，∴BM=BO+OM=4+4，即4+m=4+4，∴m=4．如图4中，设⊙O切AC于H，连接OH．在等腰直角三角形OHC中，OC=OH=4，则CM=OC﹣OM=4﹣4，∵BM=BC﹣CM，∴BM=20﹣（4﹣4）=24﹣4=4+m，∴m=24﹣4﹣4=20﹣4．综上所述，当m=2或4或20﹣4时，⊙O与△ABC的边相切．②如图5中，Ⅰ、当E在AB上时，点F的运动轨迹是F1→F2→F3．当点M和点D重合时，E1F1=BM1=E1M1=BD=4，∴BE1=BM1=4，∴BF1=BE1﹣BF1=4﹣4当点N和点B重合时，同理可得BF2=8﹣8，当点E和点A重合时，同理可得，BF3=10﹣10，∴F1F3=BF3﹣BF1=6﹣6，Ⅱ、当点E在AC上时，点F的轨迹为F3→C，在Rt△ACF3中，AF3=AM3=10，∴CF3==10，∴点F所经过的路径为F1F3+CF3=6﹣6+10．第21页（共21页）。

2019年浙江省温州市重点中学提前招生数学试卷及答案

2019年浙江省温州市重点中学提前招生数学试卷一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）（下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。

） 1.下列计算正确的是（）.A.32a a a -=B.22(2)4a a -= C.326x x x --⋅= D.623x x x ÷= 2．如图，M ，N 两点在数轴上表示的数分别是m ，n ，则下列式子中成立的是（）.A ．－m ＜－nB ． |m |－|n |＞0C ．m －1＜n －1D ．m ＋n ＜03. 用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时,下列假设正确．．的是（）. A ．三角形中最少有一个角是直角或钝角 B ．三角形中没有一个角是直角或钝角 C ．三角形中三个角全是直角或钝角 D ．三角形中有两个或三个角是直角或钝角4. 若函数mx x y ++=212的自变量x 的取值范围为一切实数，则m 的取值范围是( ).A ．m<lB ．m=1C ． m>lD ．m ≤15. 已知一个函数图象经过(1，－4)，(2，－2)两点，在自变量x 的某个取值范围内，都有函数值y 随x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是().A. 正比例函数B. 一次函数C. 反比例函数D. 二次函数6.已知四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 相等，则下列结论正确的个数是（）. ①．当AC ⊥BD 时，四边形ABCD 一定是菱形②．当AB=AD ，CB=CD 时，四边形ABCD 一定是正方形 ③．当AB=AD=BC 时，四边形ABCD 一定是正方形④．当AC ⊥BD ，AD=AB 时，四边形ABCD 有可能是正方形 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7．对于反比例函数ky x =，如果当2-≤x ≤1-时有最大值4=y ，则当x ≥8时，有（）. A ．最小值y =21- B ．最小值1-=y C ．最大值y =21- D ．最大值1-=y8.七个正整数的中位数是4, 唯一众数是6, 则这七个正整数的和最小值为（）.A ．32 B. 31 C.29 D.269. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的圆过点A(13，0)，直线y ＝kx －3k+4与⊙O 交于B 、C两点，则弦BC 长的最小值为（）. A.22B.105C.24D.123（第9题图）（第10题图）10．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 上的一点，将△BCE 沿CE 折叠至△FCE ，若CF 、CE 恰好与以正方形ABCD 的中心为圆心的圆O 相切，则圆O 的半径为( ).A. 1B.21- C. 31- D.312+ 二．认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：()222)4(160sin 4-+---πo =____________.12.如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD=35°，则∠B+∠E=．（第12题图）（第13题图）（第16题图）13. 如图，在5×5的正方形网格中，△ABC 为格点三角形（顶点都在格点上），则图中与△ABC 相似（但不全等）的最小的三角形与最大的三角形的面积比值为__________.14.已知函数()31()y k x x k =+-，下列说法：①方程()31()3k x x k+-=-必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位；③当k >3时，抛物线顶点在第三象限；④若k <0，则当x<-1时，y 随着x 的增大而增大.其中正确的序号是.15．用18根火柴棒搭一个三角形，火柴棒不允许剩余、折断，则搭出的所有三角形中，属于锐角三角形的概率是________．16.如图，在四边形ABDC 中，AD=4，CD=32，∠ABC=∠ACB=∠ADC=045,则BD 的长是_________.三．全面答一答（本题有6个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，请画出以A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：以下为备用图，只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）18．（本小题满分10分）对x ，y 定义一种新运算▲，规定：x ▲y =by ax +（其中a ，b 均为非零常数），例如：1▲0=a ．已知1▲1=3，1-▲1=1-．（1）求a ，b 的值；（2）若关于m 的不等式组⎩⎨⎧>≤-p m m m m ▲▲24)21(3恰有3个整数解，求实数p 的取值范围.19. （本小题满分10分）记3(3)(43)(3)z x y x x y x y =---+．（1）若,x y 均为整数，求证：当x 是3的倍数时，z 能被9整除；（2）若1y x =+，求z 的最小值．小杰到学校食堂买饭，看到A ，B 两个窗口前排队的人一样多（设为a 人，8>a ），就站到A 窗口队伍的后面，观察了2分钟，他发现A 窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B 窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B 窗口队伍后面每分钟增加5人。

2019年温州乐清中学提前自主招生选拔模拟考试数学试题及参考答案（含详..

第1页（共23页）页）2019年温州乐清中学提前自主招生选拔模拟考试年温州乐清中学提前自主招生选拔模拟考试数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（共8小题，满分48分，每小题6分） 1．方程（x 2+x ﹣1）x+3＝1的所有整数解的个数是（） A ．5个 B ．4个C ．3个D ．2个2．如果，p ，q 是正整数，则p 的最小值是（）A ．15B ．17C ．72D ．1443．如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3 A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为（） A ．（，） B ．（，） C ．（，）D ．（，）第3题第5题4．将四个编号为1，2，3，4的小球随机放入4个编号为1，2，3，4的盒子中．记f （i ）为第i 个盒子中小球的编号与盒子编号的差的绝对值．则f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4的概率为（） A ． B ． C ．D ．5．（2017•余姚中学自主招生）如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF ，正方形的中心为O ，且OC ＝4，那么BC 的长等于（） A ．3B ．5C ．2D ．6．（2017•黄冈中学自主招生）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（） A ．B ．C ．D ．7．（2017•黄冈中学自主招生）设关于x 的方程ax 2+（a+2）x+9a ＝0，有两个不相等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么实数a 的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．8．（2016•温州中学自主招生）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，P 为劣弧上一点，P A 交BD 于点M ，PB 交AC 于点N ，记∠PBD ＝θ．若MN⊥PB ，则2cos 2θ﹣tan tanθθ的值（）A ．B ．1C ．D ．第8题第10题二、填空题（共7小题，满分42分，每小题6分）9．（2014•乐清中学自主招生）设非零实数a ，b ，c 满足，则的值为．10．如图：已知AB ＝10，点C 、D 在线段AB 上且AC ＝DB ＝2；P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形APEF 和正方形PBGH ，点O 1和O 2是这两个正方形的中心，连接O 1O 2，设O 1O 2的中点为Q ；当点P 从点C 运动到点D 时，则点Q 移动路径的长是．11．（2016•黄冈中学自主招生）已知y ＝x 2+mx ﹣6，当1≤m≤3时，y ＜0恒成立，那么实数x 的取值范围是． 12．（2018•四川绵阳中学自主招生）如图，已知∠AOB ＝60°，点P 在边OA 上，OP ＝10，点M ，N 在边OB 上，PM ＝PN ，点C 为线段OP 上任意一点，CD∥ON交PM、PN分别为D、E．若MN＝3，则的值为．第12题第15题 13．（2018•山东枣庄八中自主招生）已知有理数x满足：，若|3﹣x|﹣|x+2|的最小值为a，最大值为b，则ab＝．14．方程7x2﹣（m+13）x+m2﹣m﹣2＝0的两根为x1，x2，且满足0＜x1＜1，1＜x2＜2，则m的取值范围为．15．（2017•浙江诸暨中学自主招生）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+4x与x轴的正半轴交于点A，其顶点为M，点P是该抛物线上位于A、M 两点之间的部分上的动点，过点P作PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，且交抛物线于点D，连接BC，AD，OP，当四边形ABCD被OP分成的两部分面积比为1：2时，点P的坐标为．三、解答题（共4小题，满分60分）16．（12分）已知实数a、b、c满足：（1）；（2）a＝bc．请你求出所有满足上述条件的c的值．17．（12分）二元二次方程组有两个实数解和，其中y1＝2，且，求常数n，t的值．18．（18分）如图，在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC＝25，BD＝20，BE＝7，求AK的长．第18题19．（18分）如图1，点A、B分别在x轴的原点左、右两边，点C在y轴正半轴，点F（0，﹣1），S＝15，抛物线y＝ax2﹣2ax+4经过点A、B、C．四边形AFBC（1）求抛物线的解析式．（2）点P是抛物线上一点，且tan∠PCA＝，求出点P的坐标．（3）如图2，过A、B、C三点作⊙O′交抛物线的对称轴于N，点M为弧BC上一动点（异于B、C），E为MN上一点，且∠EAB＝∠MNB，ES⊥x轴于S，当M点运动时，问的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．第19题2019年温州乐清中学提前自主招生选拔模拟考试年温州乐清中学提前自主招生选拔模拟考试数学试题参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分48分，每小题6分）1．方程（x2+x﹣1）x+3＝1的所有整数解的个数是（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【解析】（1）当x+3＝0，x2+x﹣1≠0时，解得x＝﹣3；（2）当x2+x﹣1＝1时，解得x＝﹣2或1．（3）当x2+x﹣1＝﹣1，x+3为偶数时，解得x＝﹣1因而原方程所有整数解是﹣3，﹣2，1，﹣1共4个．故选：B．2．如果，p，q是正整数，则p的最小值是（） A．15 B．17 C．72 D．144【解析】由题意得，p＜q＜p，如果p＝15，则此时13.325＜q＜13.33，q没有正整数值；如果p＝17，则此时14.875＜q＜15.111，q可取15；如果p＝72，则此时63＜q＜64，q没有正整数值；如果p＝144，则此时126＜q＜128，q可取127；综上可得p的最小值为17．故选：B．3．如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3 A2B2，顶点P3在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）【解析】作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，如图所示：设P1（a，），则CP1＝a，OC＝，∵四边形A1B1P1P2为正方形，∴∠A1B1P1＝90°，∴∠CB1P1+∠OB1A1＝90°，∵∠CB1P1+∠CP1B1＝90°，∠OB1A1+∠OA1B1＝90°，∴∠CB1P1＝∠OA1B1，在△P1B1C和△B1A1O中，，∴△P1B1C≌△B1A1O（AAS），同理：△B1A1O≌△A1P2D，∴OB1＝P1C＝A1D＝a，∴OA1＝B1C＝P2D＝﹣a，∴OD＝a+﹣a＝，∴P2的坐标为（，﹣a），把P2的坐标代入y＝（x＞0）得：（﹣a）•＝2，解得：a＝﹣1（舍去）或a＝1，∴P2（2，1），设P3的坐标为（b，），又∵四边形P2P3A2B2为正方形，同上：△P2P3F≌△A2P3E，∴P3E＝P3F＝DE，∴OE＝OD+DE＝2+，∴2+＝b，解得：b＝1﹣（舍去），b＝1+，∴＝＝﹣1，∴点P3的坐标为（+1，﹣1）．故选：A．4．将四个编号为1，2，3，4的小球随机放入4个编号为1，2，3，4的盒子中．记f（i）为第i个盒子中小球的编号与盒子编号的差的绝对值．则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝4的概率为（）A． B． C． D．【解析】共有24种情况，满足f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝4的有7种，则概率为：，故选：D．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AB为一边向三角形外作正方形A．3 B．5 C．2 D．【解析】如图，作EQ⊥x轴，以C为坐标原点建立直角坐标系，CB为x轴，CA为y轴，则A（0，3）．设B（x，0），由于O点为以AB一边向三角形外作正方形ABEF的中心，∴AB＝BE，∠ABE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBQ＝90°，∴∠BAC C＝∠EBQ，∴∠BA在△ABC和△BEQ中，∴△ACB≌△BQE（AAS），∴AC＝BQ＝3，BC＝EQ，设BC＝EQ＝x，∴O为AE中点，∴OM为梯形ACQE的中位线，∴OM＝，又∵CM＝CQ＝，∴O点坐标为（，），根据题意得：OC＝4＝，解得x＝4，则BC＝5．故选：B．6．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）A． B． C． D．【解析】设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：S＝，又∵r＝，∴a+b＝2r+c，将a+b＝2r+c代入S＝得：S＝r＝r（r+c）．又∵内切圆的面积是πr2，∴它们的比是．故选：B．7．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】方法1、∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且△＞0，由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2＝﹣，x1x2＝9，又∵x1＜1＜x2，110x210那么（x 1﹣1）（x 2﹣1）＜0， ∴x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1＜0，即9++1＜0，解得＜a ＜0，最后a 的取值范围为：＜a ＜0．故选D ．方法2、由题意知，a≠0，令y ＝ax 2+（a+2）x+9a ，由于方程的两根一个大于1，一个小于1， ∴抛物线与x 轴的交点分别在1两侧，当a ＞0时，x ＝1时，y ＜0， ∴a+（a+2）+9a ＜0， ∴a ＜﹣（不符合题意，舍去），当a ＜0时，x ＝1时，y ＞0， ∴a+（a+2）+9a ＞0，∴a ＞﹣， ∴﹣＜a ＜0，故选：D ．8．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，P 为劣弧上一点，P A 交BD 于点M ，PB交AC 于点N ，记∠PBD ＝θ．若MN⊥PB ，则2cos 2θ﹣tan tanθθ的值（）A ．B ．1C ．D ．【解析】设⊙O 的半径为1，则BD ＝2．连结PD ，则∠BPD ＝90°．2cosθθ．在Rt△BPD中，PB＝BD•cosθ＝2cos在Rt△BON中，BN＝＝，在Rt△BMN中，MN＝BN•tanθ＝，在Rt△PMN中，∵∠MPN＝∠APB＝∠ADB＝45°，∴PN＝MN＝．∵BN+PN＝PB，2cosθθ，∴+＝2cos∴1+tanθ＝2cos2θ，tanθθ＝1．∴2cos2θ﹣tan故选：B．二．填空题（共7小题，满分42分，每小题6分）9．设非零实数a，b，c满足，则的值为 ﹣ ．【解析】∵，∴a+b+c＝0，∴（a+b+c）2＝0，∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝0，∴a2+b2+c2＝﹣2（ab+bc+ac），∴原式＝＝﹣；10．如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形APEF和正方形PBGH，点O1和O2是这两个正方形的中心，连接O1O2，设O1O2的中点为Q；当点P从点C运动到点D时，则点Q移动路径的长是 3 ．【解析】如图，分别延长AO1、BO2交于点K，∵∠KAP＝∠O2PB＝45°，∴AK∥PO2，∵∠KBA＝∠O1P A＝45°，∴BK∥PO1，∴四边形O1PO2K为平行四边形，∴O1O2与KP互相平分．∵Q为O1O2的中点，∴Q正好为PK中点，所以Q的运行的中点，所以中点，即在即在P的运动过程中，Q始终为PK的中点，轨迹为三角形KCD的中位线，∵AB＝10，AC＝DB＝2，∴CD＝10﹣2﹣2＝6，∴Q的移动路径长＝×6＝3．故答案为：3．11．已知y＝x2+mx﹣6，当1≤m≤3时，y＜0恒成立，那么实数x的取值范围是 ﹣3＜x＜．【解析】∵1≤m≤3，y＜0，∴当m＝3时，x2+3x﹣6＜0，由y＝x2+3x﹣6＜0，得＜x＜；当m＝1时，x2+x﹣6＜0，由y＝x2+x﹣6＜0，得﹣3＜x＜2．∴实数x的取值范围为：﹣3＜x＜．故本题答案为：﹣3＜x＜．12．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，点C为线段OP上任意一点，CD∥ON交PM、PN分别为D、E．若MN＝3，则的值为．【解析】过P作PQ⊥MN，∵PM＝PN，∴MQ＝NQ＝，在Rt△OPQ中，OP＝10，∠AOB＝60°，∴∠OPQ＝30°，∴OQ＝5，则OM＝OQ﹣QM＝，∵CD∥ON，∴，∴＝＝，故答案为；．13．已知有理数x满足：，若|3﹣x|﹣|x+2|的最小值为a，最大值为b，则ab＝ 5 ．【解析】解不等式：不等式两边同时乘以6得：3（3x﹣1）﹣14≥6x﹣2（5+2x）去括号得：9x﹣3﹣14≥6x﹣10﹣4x移项得：9x﹣14﹣6x+4x≥3﹣10即7x≥7∴x≥1∴x+2＞0，当1≤x≤3时，x+2＞0，则|3﹣x|﹣|x+2|＝3﹣x﹣（x+2）＝﹣2x+1则最大值是﹣1，最小值是﹣5；当x＞3时，x+2＞0，则|3﹣x|﹣|x+2|＝x﹣3﹣（x+2）＝x﹣3﹣x﹣2＝﹣5，是一定值．总之，a＝﹣5，b＝﹣1，∴ab＝5故答案是：5．14．方程7x 2﹣（m+13）x+m2﹣m﹣2＝0的两根为x1，x2，且满足0＜x1＜1，1＜x2＜2，则m的取值范围为 ﹣2＜m＜﹣1或3＜m＜4 ．【解析】设f（x）＝7x2﹣（m+13）x+m2﹣m﹣2，则f（x）＝0的根满足0＜x1＜1，1＜x2＜2，需要：f（0）＞0，则m2﹣m﹣2＞0，解得m＞2或m＜﹣1；f（1）＜0，则7﹣（m+13）+m2﹣m﹣2＜0，解得﹣2＜m＜4；f（2）＞0，则28﹣2（m+13）+m2﹣m﹣2＞0，解得m＞3或m＜0．则m的范围是：﹣2＜m＜﹣1或3＜m＜4．故答案为：﹣2＜m＜﹣1或3＜m＜4．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x 2+4x与x轴的正半轴交于点A，其顶点为M，点P是该抛物线上位于A、M两点之间的部分上的动点，过点P作PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，且交抛物线于点D，连接BC，AD，OP，当四边形ABCD被OP分成的两部分面积比为1：2时，点P的坐标为（，）．【解析】如图，连接OP交BC于E，交AD于F．∵∠PCO＝∠COB＝∠PBO＝90°，∴四边形OCPB是矩形，∴EC＝EB，PC∥OB，根据对称性可知，CD＝AB，四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，设EC＝EB＝a，DF＝x，平行四边形BC边上的高为h，则BC＝AD ＝2a，AF＝2a﹣x，由题意，（a+x）h：（a+2a﹣x）h＝2：1或（a+x）h：（a+2a﹣x）h＝1：2，∴x＝或a，∴DF：AF＝1：5或5：1∵DP∥OA，∴＝＝或5，∵OA＝4，∴DP＝或20（舍弃），设C（0，m），由消去y得到，x2﹣4x+m＝0，设两根为x1，x2，∴|x1﹣x2|＝，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝，∴16﹣4m＝，∴m＝，∴x2﹣4x+＝0，∴x1＝或，∴点P坐标（，），故答案为（，）．三．解答题（共4小题，满分60分）16．（12分）已知实数a、b、c满足：（1）；（2）a＝bc．请你求出所有满足上述条件的c的值．【解析】∵∴+2＝2+3b，∴|a|＝3b，∵≥0，∴a＝3b，∵a＝bc，∴3b＝bc，∴c＝3．17．（12分）二元二次方程组有两个实数解和，其中y1＝2，且，求常数n，t的值．【解析】∵y1＝2，∴，将x1＝4n，y1＝2代入，得化简，得，解得由方程组，消去x，得（n 2+4）y 2+4n 2y+4（n 2﹣t ）＝0，由韦达定理，得，解得．18．（18分）如图，在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K ，已知BC ＝25，BD ＝20，BE ＝7，求AK 的长．【解析】延长AH 交BC 于P ，连接DF ，如图．由题知∠ADB ＝∠CDB ＝∠CEB ＝∠AEC ＝90°， ∵BC ＝25，BD ＝20，BE ＝7， ∴CD ＝15，CE ＝24．又∵∠D ∵∠DABAB ＝∠EAC ，∠ADB ＝∠AEC ， ∴△ADB∽△AEC ， ∴＝＝，①由①得：，解得，∵∠AEC ＝90°，AD ＝CD ＝15， ∴DE ＝AC ＝15．∵点F在以DE为直径的圆上，∴∠DFE＝90°，∵DA＝DE，∴AF＝EF＝AE＝9．∵∠CDB＝∠CEB＝90°，∴D、E、B、C四点共圆，∴∠ADE＝∠ABC．∵G、F、E、D四点共圆，∴∠AFG＝∠ADE，∴∠AFG＝∠ABC，∴GF∥BC．∴＝．②∵H是△ABC的垂心，∴AP⊥BC，∴S△ABC＝AB•CE＝BC•AP，AB•CE∵BA＝BC＝25，∴AP＝CE＝24，由②得AK＝＝＝8.64．19．（18分）如图1，点A、B分别在x轴的原点左、右两边，点C在y轴正半轴，点F（0，﹣1），S四边形AFBC＝15，抛物线y＝ax2﹣2ax+4经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是抛物线上一点，且tan∠PCA＝，求出点P的坐标．（3）如图2，过A、B、C三点作⊙O′交抛物线的对称轴于N，点M为弧BC上一动点（异于B、C），E为MN上一点，且∠EAB＝∠MNB，ES⊥x轴于S，当M点运动时，问的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．【解析】（1）由抛物线y＝ax2﹣2ax+4知：对称轴x＝1，C（0，4）；∵S＝S△ABC+S△ABF＝AB（OC+OF）＝AB（4+1）＝15，四边形AFBC∴AB＝6；又∵A、B两点关于x＝1对称，且AB＝6，∴A（﹣2，0）、B（4，0）；将B（4，0）代入y＝ax2﹣2ax+4中，得：16a﹣8a+4＝0，解得：a＝﹣∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+x+4．（2）在△ACF中，OA＝2、OF＝1、OC＝4，即：＝，又∵∠COA＝∠AOF，∴△AOC∽△FOA，∴∠CAO＝∠AFO，∠CAF＝∠CAO+∠FAO＝∠AFO+∠FAO＝90°；延长AF交直线CP于D，如右图1；在Rt△ADC中，AC＝＝2，tan∠DCA＝，则：AD＝3；又∵tan∠OAF ＝＝， ∴sin∠OAF ＝，cos∠OAF ＝；由AD ＝3可解得：D （4，﹣3）；设直线CD ：y ＝kx+4，代入D 点的坐标可得：k ＝﹣；联立直线CD 和抛物线的解析式，得：，解得、∴P （，﹣）．（3）设圆心O′的坐标为（1，y ），则：O′A 2＝9+y 2、O′C 2＝1+（y ﹣4）2＝y 2﹣8y+17，∵O′A ＝O′C ，∴9+y 2＝y 2﹣8y+17，解得：y ＝1，∴⊙O′的半径R ＝；延长AE ，交⊙O′于点G ，如右图2；∵∠EAB ＝∠MNB ，∴G 是的中点，即：＝；过G 作⊙O′的直径GH ，连接GH 、HM 、MG ，则△HMG 是直角三角形，且∠HMG＝90°；∵∠MAG ＝∠EAS （＝），∠HMG ＝∠ESA ＝90°，∴△HMG∽△ASE ，得：＝，即：＝HG ＝2R…①；连接AM 、AN ；∵＝、＝，∴∠GAB＝∠MAE，∠AME＝∠BAN；对于△AEM有：∠GEM＝∠MAE+∠AME；又∵∠GMN＝∠GAB+∠BAN，∴∠GEM ＝∠GMN，即MG＝GE，代入①式，得：＝2R＝2；由相交弦定理得：ME•NE＝AE•EG，∴＝2；综上，值不会发生变化，且值为2．。

2019年浙江省温州中学中考自主招生数学试卷解析版

2019年浙江省温州中学自主招生数学试卷解析版
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．（5分）设，则代数式x（x+1）（x+2）（x+3）的值为（）A．0B．1C．﹣1D．2
【解答】解：∵x ＝，
∴2x ＝﹣3，
2x+3＝
（2x+3）2＝（）2，
4x2+12x+9＝5，
∴x2+3x＝﹣1，
∴原式＝（x2+3x）（x2+3x+2）
＝﹣1×（﹣1+2）
＝﹣1；
故选：C．
2．（5分）对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“△”
为：（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc）．如果对于任意实数u，v，都有（u，v）△（x，y）＝（u，v），那么（x，y）为（）
A．（0，1）B．（1，0）C．（﹣1，0）D．（0，﹣1）
【解答】解：∵（u，v）△（x，y）＝（ux+vy，uy+vx）＝（u，v），
∴ux+vy＝u，uy+vx＝v，
∵对于任意实数u，v都成立，
∴x＝1，y＝0，
∴（x，y）为（1，0）．
故选：B．
3．（5分）已知A，B 是两个锐角，且满足，，则实数t所有可能值的和为（）
第1 页共13 页。