2015-2016学年山东省泰安市高一(上)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，4，5}，则A∩∁U B=（）A．{1，3，6} B．{1，3} C．{1} D．{2，4，5} 2．如图所示的斜二测直观图表示的平面图形是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．直角梯形D．长方形3．函数f（x）=e2+x﹣2的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（1，2）D．（0，1）4．沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．5．已知函数f（x）=，则f（﹣1）的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．16．在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是（）A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若α∩β=m，且l⊥m，则l∥αD．若l⊥β，且α⊥β，则l∥α7．函数y=log3|x|的图象大致形状是（）A．B．C．D．8．直线l过点A（1，2），且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围（）A．[0，]B．[0，1]C．[0，2]D．（0，）9．下列的判断错误的是（）A．20.6＞20.3B．log23＞1C．log a xlog a y=log a xyD．函数是奇函数10．过点（2，3）的直线L被两平行直线L1：2x﹣5y+9=0与L2：2x﹣5y﹣7=0所截线段AB的中点恰在直线x﹣4y﹣1=0上，则直线L的方程为（）A．5x﹣4y+11=0 B．4x﹣5y+7=0C．2x﹣3y﹣4=0 D．以上结论都不正确二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸相应位置．11．函数f（x）=lg（2x﹣1）的定义域为．12．一个球的体积是，则这个球的表面积是．13．若直线2x+y+4=0与ax+2y﹣2=0平行，则这两条平行线间的距离为．14．若函数f（x）=a x（0＜a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，则m=．15．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为万元．三．解答题：本大题共6小题.共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置．16．设集合A={x|2≤x≤4}，B={x|x＞3，或x＜1}，C={x|t+1＜x＜2t}，t∈R．（Ⅰ）求A∪∁U B；（Ⅱ）若A∩C=C，求t的取值范围．17．某几何体的三视图所示．（Ⅰ）求此几何体的表面积；（Ⅱ）求此几何体的体积．18．已知在△ABC中，点A（﹣1，0），B（0，），C（1，﹣2）．（Ⅰ）求边AB上高所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的面积S△ABC．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D、E、F分别是BC、AC1、BB1的中点．（1）求证：平面AC1D⊥平面BCC1B1；（2）求证：EF∥平面A1B1C1．20．某网店经营的一红消费品的进价为每件12元，周销售量p（件）与销售价格x（元）的关系，如图中折线所示，每周各项开支合计为20元．（1）写出周销售量p（件）与销售价格x（元）元的函数关系式；（2）写出利润周利润y（元）与销售价格x（元）的函数关系式；（3）当该消费品销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．21．已知函数f（x）=mx2﹣2mx+n（m＞0）在区间[1，3]上的最大值为5，最小值为1，设．（Ⅰ）求m、n的值；（Ⅱ）证明：函数g（x）在[，+∞）上是增函数；（Ⅲ）若函数F（x）=g（2x）﹣k2x在x∈[﹣1，1]上有零点，求实数k的取值范围．2015-2016学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，4，5}，则A∩∁U B=（）A．{1，3，6} B．{1，3} C．{1} D．{2，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】利用集合的补集的定义求出集合B的补集；再利用集合的交集的定义求出A∩C U B 【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={2，4，5}，∴∁U B={1，3，6}A∩∁U B={1，3，5}∩{1，3，6}={1，3}故选：B．【点评】本题考查集合的交集、并集、补集的定义并用定义解决简单的集合运算．2．如图所示的斜二测直观图表示的平面图形是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．直角梯形D．长方形【考点】平面图形的直观图．【专题】作图题；数形结合；综合法；立体几何．【分析】由图形可知底角等于45°的梯形的原图形是直角梯形，可得结论．【解答】解：由图形可知底角等于45°的梯形的原图形是直角梯形．故选：C．【点评】本题考查了平面图形的直观图，解答的关键是熟记并理解斜二侧画法的步骤，是基础的作图题．3．函数f（x）=e2+x﹣2的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（1，2）D．（0，1）【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】易知函数f（x）=e x+x﹣2是增函数且连续，从而判断．【解答】解：易知函数f（x）=e x+x﹣2是增函数且连续，且f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=2+1﹣2＞0，∴f（0）f（1）＜0，∴函数f（x）=e2+x﹣2的零点所在的区间是（0，1）故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性及函数的零点的应用，属于基础题．4．沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体，它的侧视图首先应该是一个正方形，中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，分析对角线的方向，并逐一对照四个答案中的视图形状，即可得到答案．【解答】解：由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故B不正确故A选项正确．故选：A．【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键．5．已知函数f（x）=，则f（﹣1）的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】函数的值．【专题】分类讨论；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用分段函数的性质即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣1）=f（2）=log22=1．故选：D．【点评】本题考查了分段函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是（）A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若α∩β=m，且l⊥m，则l∥αD．若l⊥β，且α⊥β，则l∥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】根据线面垂直的定义和定理，注意紧扣面面垂直的性质定理的条件逐项判断，分析可得答案．【解答】解：A不正确，由面面垂直的性质定理可推出；C不正确，可能l⊂α；B正确，由线面垂直的定义和定理，面面平行的性质定理可推出；D不正确，由面面垂直的性质定理可知，α∩β=m，且l⊥m，l⊥β，则l⊂α；故选B．【点评】本题考查了空间线面的位置关系，用垂直和平行的定理去判断，考查了空间想象能力和逻辑推理能力．7．函数y=log3|x|的图象大致形状是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】利用对数函数的性质求解．【解答】解：y=log3|x|=，当x＞0时，y=log3x的图象为当x＜0时，y=log3（﹣x）的图象为：∴函数y=log3|x|的图象大致形状是故选：D．【点评】本题考查函数的图象的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函的性质的合理运用．8．直线l过点A（1，2），且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围（）A．[0，]B．[0，1]C．[0，2]D．（0，）【考点】确定直线位置的几何要素．【专题】直线与圆．【分析】由斜率公式数形结合可得．【解答】解：∵直线l过点A（1，2），∴当直线的倾斜角为0°，斜率k=0；当直线经过原点时，斜率k′=2，当直线在如图的区域时不经过第四象限，∴直线l的斜率的取值范围为[0，2]，故选：C【点评】本题考查直线的斜率，属基础题．9．下列的判断错误的是（）A．20.6＞20.3B．log23＞1C．log a xlog a y=log a xyD．函数是奇函数【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】A．利用函数y=2x的单调性即可判断出正误；B．利用函数y=log2x的单调性即可判断出正误；C．利用对数函数的单调性即可判断出正误；D．计算f（﹣x）与﹣f（x）的关系即可判断出正误．【解答】解：∵A.20.6＞20.3，正确；B．log23＞log22=1，正确；C．∵log a（xy）=log a x+log a y≠=log a xlog a y，∴不正确；D．∵f（﹣x）===﹣f（x），x≠0，∴函数f（x）是奇函数．综上可得：只有C错误．故选：C．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性及其运算法则、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．过点（2，3）的直线L被两平行直线L1：2x﹣5y+9=0与L2：2x﹣5y﹣7=0所截线段AB的中点恰在直线x﹣4y﹣1=0上，则直线L的方程为（）A．5x﹣4y+11=0 B．4x﹣5y+7=0C．2x﹣3y﹣4=0 D．以上结论都不正确【考点】两条直线的交点坐标；中点坐标公式；直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】设AB的中点C（a，b），由线段AB的中点恰在直线x﹣4y﹣1=0上，知a﹣4b﹣1=0，由点C到两平行直线的距离相等，知|2a﹣5b+9|=|2a﹣5b﹣7|，故b=﹣1，a=4b+1=﹣3．由此能求出L的直线方程．【解答】解：设AB的中点C（a，b），∵线段AB的中点恰在直线x﹣4y﹣1=0上，∴a﹣4b﹣1=0，a=4b+1∵点C到两平行直线的距离相等，∴|2a﹣5b+9|=|2a﹣5b﹣7|，把a=4b+1代入，得|2（4b+1）﹣5b+9|=|2（4b+1）﹣5b﹣7|∴|3b+11|=|3b﹣5|3b+11=﹣3b+5∴b=﹣1，a=4b+1=﹣3∵直线L过点（2，3）和点（﹣3，﹣1），∴k L==∴L的直线方程：4x﹣5y+7=0．故选B．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意点到直线的距离公式的灵活运用．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸相应位置．11．函数f（x）=lg（2x﹣1）的定义域为（0，+∞）．【考点】对数函数的定义域；指数函数单调性的应用．【专题】计算题．【分析】根据对数函数定义得2x﹣1＞0，求出解集即可．【解答】解：∵f（x）=lg（2x﹣1）根据对数函数定义得2x﹣1＞0，解得：x＞0故答案为：（0，+∞）【点评】考查学生理解函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围．会求不等式的解集．12．一个球的体积是，则这个球的表面积是16π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由球的体积，由球的体积公式能求出这个球的半径，再由球的表面积的计算公式能求出结果．【解答】解：一个球的体积V=π×r3=，设这个球的半径r=2，则4πr2=16π，故答案为：16π．【点评】本题考查球的体积和表面积的应用，解题时要认真审题，仔细解答．13．若直线2x+y+4=0与ax+2y﹣2=0平行，则这两条平行线间的距离为．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题；数形结合；转化思想；直线与圆．【分析】直线2x+y+4=0与ax+2y﹣2=0平行，可得﹣2=，解得a．再利用两条平行线间的距离公式即可得出．【解答】解：∵直线2x+y+4=0与ax+2y﹣2=0平行，∴﹣2=，解得a=4．∴ax+2y﹣2=0化为：2x+y﹣1=0，∴这两条平行线间的距离==．故答案为：．【点评】本题考查了两条平行线间的距离公式、相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．若函数f（x）=a x（0＜a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，则m=2或．【考点】指数函数的图象与性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】按a＞1，0＜a＜1两种情况进行讨论：借助f（x）的单调性及最大值先求出a值，再求出其最小值即可．【解答】解：①当a＞1时，f（x）在[﹣1，2]上单调递增，则f（x）的最大值为f（2）=a2=4，解得：a=2，最小值m=f（﹣1）==；②当0＜a＜1时，f（x）在[﹣1，2]上单调递减，则f（x）的最大值为f（﹣1）==4，解得a=，此时最小值m=f（2）=a2=，故答案为：2或．【点评】本题考查指数函数的单调性及其应用，考查分类讨论思想，对指数函数f（x）=a x （a＞0，a≠1），当a＞1时f（x）递增；当0＜a＜1时f（x）递减．15．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为45.6万元．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题．【分析】先根据题意，设甲销售x辆，则乙销售（15﹣x）辆，再列出总利润S的表达式，是一个关于x的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可．【解答】解：依题意，可设甲销售x（x≥0）辆，则乙销售（15﹣x）辆，∴总利润S=5.06x﹣0.15x2+2（15﹣x）=﹣0.15x2+3.06x+30=﹣0.15（x﹣10.2）2+45.606．根据二次函数图象和x∈N*，可知当x=10时，获得最大利润L=﹣0.15×102+3.06×10+30=45.6万元．故答案为：45.6．【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用配方法求函数的最值，解题的关键是正确构建函数解析式．三．解答题：本大题共6小题.共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置．16．设集合A={x|2≤x≤4}，B={x|x＞3，或x＜1}，C={x|t+1＜x＜2t}，t∈R．（Ⅰ）求A∪∁U B；（Ⅱ）若A∩C=C，求t的取值范围．【考点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】（Ⅰ）由B与全集U，求出B的补集，找出A与B补集的并集即可；（Ⅱ）由A与C的交集为C，得到C为A的子集，确定出t的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵B={x|x＞3，或x＜1}，∴∁U B={x|1≤x≤3}，∵A={x|2≤x≤4}，∴A∪∁U B={x|1≤x≤4}；（Ⅱ）∵A∩C=C，∴C⊆A，当C=∅时，则有2t≤t+1，即t≤1；当C≠∅时，则，即1＜t≤2，综上所述，t的范围是t≤2．【点评】此题考查了交集及其运算，以及交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．某几何体的三视图所示．（Ⅰ）求此几何体的表面积；（Ⅱ）求此几何体的体积．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】几何体为圆锥与圆柱的组合体，表面由圆锥侧面，圆柱侧面和圆柱底面组成，根据三视图得出圆锥的高计算即可．【解答】解：由三视图可知该几何体上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，圆锥与圆柱的底面半径r=3，圆柱的高为h1=5，圆锥的高h2=4．∴圆锥的母线l==5．（1）圆锥的侧面积S1=πrl=π×3×5=15π；圆柱的侧面积S2=2πrh1=2π×3×5=30π，圆柱的底面积S3=πr2=π×32=9π，∴几何体的表面积S=15π+30π+9π=54π．（2）圆柱的体积V1=πr2h1=π×32×5=45π，圆锥的体积V2===12π．∴几何体的体积V=45π+12π=57π．【点评】本题考查了旋转体的三视图和结构特征，面积与体积计算，属于基础题．18．已知在△ABC中，点A（﹣1，0），B（0，），C（1，﹣2）．（Ⅰ）求边AB上高所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的面积S△ABC．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；两点间距离公式的应用；点到直线的距离公式．【专题】计算题；数形结合；转化思想；直线与圆．【分析】（I ）k AB =，可得边AB 上高所在直线的斜率为﹣．利用点斜式即可得出．（II ）直线AB 的方程为：y=x+，利用点到直线的距离公式可得点C 到直线AB 的距离d ，利用△ABC 的面积S △ABC =|AB|d ，即可得出．【解答】解：（I ）k AB ==，∴边AB 上高所在直线的斜率为﹣．∴边AB 上高所在直线的方程为：y+2=﹣（x ﹣1），即x+3y+6﹣=0．（II ）直线AB 的方程为：y=x+，|AB|==2．点C 到直线AB 的距离d==+1．∴△ABC 的面积S △ABC =|AB|d==+1．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 、E 、F 分别是BC 、AC 1、BB 1的中点．（1）求证：平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1； （2）求证：EF ∥平面A 1B 1C 1．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题．【分析】（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱底面ABC为正三角形，D是BC的中点，可得AD⊥BC，结合正三棱柱的几何特征，我们可得CC1⊥AD，由线面垂直的判定定理可得AD⊥平面BCC1B1；再由面面垂直的判定定理，即可得到答案．（2）取A1C1的中点G，连接EG、B1G，根据三角形中位线定理可得EG平行且等于AA1平行且等于B1F，进而得到EF∥B1G，再由线面平行的判定定理，即可得到答案．【解答】证明：（1）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵D是BC的中点，∴AD⊥BC又CC1⊥AD，∴AD⊥平面BCC1B1；又∵AD⊂平面AC1D∴平面AC1D⊥平面BCC1B1；（2）取A1C1的中点G，连接EG、B1G，∵E、F分别是AC1、BB1的中点，∴EG平行且等于AA1平行且等于B1F∴四边形EFB1G为平行四边形，∴EF∥B1G又B1G⊂平面A1B1C1，∴EF∥平面A1B1C1．【点评】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间中直线与平面平行和垂直的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键．20．某网店经营的一红消费品的进价为每件12元，周销售量p（件）与销售价格x（元）的关系，如图中折线所示，每周各项开支合计为20元．（1）写出周销售量p（件）与销售价格x（元）元的函数关系式；（2）写出利润周利润y（元）与销售价格x（元）的函数关系式；（3）当该消费品销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法；函数的图象．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数图象为分段函的图象，所以应求12≤x≤20，与20＜x≤28两部分的解析式，由图象上的点分别代入p=ax+b，求出即可；（2）利用周销售量与利润的积，可得利润周利润y（元）与销售价格x（元）的函数关系式；（3）根据（2）分段求最值，即可得出结论．【解答】解：（1）由题设知，当12≤x≤20时，设p=ax+b，则，∴a=﹣2，b=50∴p=﹣2x+50，同理得，当20＜x≤28时，p=﹣x+30，所以p=；（2）当12≤x≤20时，y=（x﹣12）（﹣2x+50）=﹣2x2+74x﹣620；当20＜x≤28时，y=（x﹣12）（﹣x+30）﹣20=﹣x2+42x﹣380；∴y=；（3）当12≤x≤20时，y=（x﹣12）（﹣2x+50）=﹣2x2+74x﹣620，∴x=时，y 取得最大值； 当20＜x ≤28时，y=（x ﹣12）（﹣x+30）﹣20=﹣x 2+42x ﹣380，∴x=21时，y 取得最大值61；∵＞61，∴该消费品销售价格为时，周利润最大，最大周利润为．【点评】本题是一道综合题，难度较大．重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，能够从图象上准确地获取信息，本题中p 与x 的关系是分段的，要注意对应，这是做本题的关键．21．已知函数f （x ）=mx 2﹣2mx+n （m ＞0）在区间[1，3]上的最大值为5，最小值为1，设．（Ⅰ）求m 、n 的值；（Ⅱ）证明：函数g （x ）在[，+∞）上是增函数；（Ⅲ）若函数F （x ）=g （2x ）﹣k2x 在x ∈[﹣1，1]上有零点，求实数k 的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据二次函数的单调性求出f （1）=1，f （3）=5，求出m ，n 的值即可；（Ⅱ）根据函数单调性的定义证明函数的单调性即可；（Ⅲ）问题转化为k=1+2﹣2在x ∈[﹣1，1]上有解，通过换元得到k=2t 2﹣2t+1在t ∈[，2]上有解，求出k 的范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=m （x ﹣1）2﹣m+n （m ＞0），∵m ＞0，∴，解得：，（Ⅱ）由已知得g （x ）=x+﹣2，设≤x 1＜x 2，∵g（x1）﹣g（x2）=（x1﹣x2）（1﹣）=，∵≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，2＜x1x2，即x1x2﹣2＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），∴函数g（x）在[，+∞）上是增函数；（Ⅲ）函数F（x）=g（2x）﹣k2x在x∈[﹣1，1]上有零点，即g（2x）﹣k2x=0在x∈[﹣1，1]上有解，即k=1+2﹣2在x∈[﹣1，1]上有解，令t=，则k=2t2﹣2t+1，∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，即k=2t2﹣2t+1在t∈[，2]上有解，2k=2k2﹣2t+1=2+，（≤t≤2），∴≤k≤5，∴k的范围是[，5]．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查换元思想，是一道中档题．。
山东省烟台市高一数学上学期期末试题(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．32．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值X围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜16．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元 90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值X围是．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的X围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，某某数a的取值X围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．2015-2016学年某某省某某市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据空间中的平行与垂直关系，得出命题A、B、C正确，命题D错误【解答】解：对于（1），空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，∴命题（1）错误；对于（2），若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面，根据线面平行的性质得到命题（2）正确；对于（3），夹在两个平行平面间的平行线段相等；命题（3）正确；对于（4），垂直于同一条直线的两个直线平行、相交或异面，∴命题（4）错误．故正确的命题有2个；故选：C．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题目．2．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．【分析】两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，分别化为：y=﹣x﹣3，y=﹣，∴，﹣3≠﹣，解得a=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（）=＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据三视图知几何体为一直四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知几何体为一直四棱锥，其直观图如图所示；∵正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱垂直于底面且侧棱长也为1，∴该四棱锥的体积为×12×1=．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是判断几何体的形状，是基础题．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值X围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值X 围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，∴R2=r2，∴S球=4πR2，截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选A．【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】先求出线段AB的长度为10，等于5的2倍，故满足条件的直线有3条，其中有2条和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线．【解答】解：线段AB的长度为=10，故在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有3条，其中有2条在线段AB的两侧，且都和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线，故选 C．【点评】本题考查两点间的距离公式的应用，线段的中垂线的性质，体现了分类讨论的数学思想．8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面周长求出圆锥底面半径．【解答】解：圆锥的侧面积为，侧面展开图的弧长为=，设圆锥的底面半径为r′，则2πr′=，∴r′=．∴圆锥的全面积S=+=．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积计算，属于基础题．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】利用线面平行，面面平行的判定定理即可．【解答】解：点M，N分别为线段PB，BC的中点，o为AB的中点，∴MO∥PA，ON∥AC，OM∩ON=O，∴MO∥平面PAC；平面PAC∥平面MON，②③故正确；故选：C．【点评】考查了线面平行，面面平行的判断，属于基础题型，应熟练掌握．10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a 的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x ≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元 90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）②．【分析】随着时间x的增加，y的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论【解答】解：∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y=ax+k和y=alog m x 显然都是单调函数，不满足题意，∴y=ax2+bx+c．故答案为：②．【点评】本题考查函数模型的选择，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，确定函数模型是关键．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件AC⊥BD或四边形ABCD为菱形时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．【分析】由假设A1C⊥B1D1，结合直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质定理，我们易得到A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，又由菱形的几何特征可判断出四边形ABCD为菱形，又由本题为开放型题目上，故答案可以不唯一．【解答】解：若A1C⊥B1D1，由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，AA1⊥B1D1，易得B1D1⊥平面AA1BB1，则A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，则四边形ABCD为菱形，故答案为：AC⊥BD或四边形ABCD为菱形．【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，属于知识的考查，属于中档题．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于135°．【分析】由两平行线间的距离，得直线m和两平行线的夹角为90°．再根据两条平行线的倾斜角为45°，可得直线m的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为，可得直线m 和两平行线的夹角为90°．由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线m的倾斜角为135°，故答案为：135°．【点评】本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，本题属于基础题．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值X围是（4，+∞）．【分析】根据条件可判断函数为偶函数，则要使（x）有4个零点，只需当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，根据二次方程的根的判定求解．【解答】解：对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），∴函数为偶函数，若f（x）有4个零点，∴当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，∴△=a﹣4＞0，∴a＞4．【点评】考查了偶函数的应用和二次方程根的性质．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为②③．【分析】①根据线面垂直性质可判断；②根据公式cosθ=cosθ1cosθ2求解即可；③找出二面角的平面角，利用余弦定理求解．【解答】解：①取AB中点M，易证AB垂直平面SMC，可得AB垂直SC，故错误；②易知BC在平面上的射影为∠ABC的角平分线，∴cos60°=cosθcos30°，∴cosθ=，故正确；③取BC中点N，∴二面角为∠ANC，不妨设棱长为1，∴cos∠ANC==，故正确，故答案为：②③．【点评】考查了线面垂直，线面角，二面角的求法．属于基础题型．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．【分析】（1）证明BC⊥平面AA1C，即可证明平面AA1C⊥平面BA1C；（2）求出AC，直接利用体积公式求解即可．【解答】（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，所以AC⊥BC．因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．又BC⊂平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C．…（6分）（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，则由AB2=AC2+BC2且AC=BC，得，所以．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查几何体A1﹣ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．【分析】（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，则A1C∥EO，由此能证明A1C∥平面BDE．（2）由BD⊥AC，BD⊥EO，得∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BD ﹣A的正切值．【解答】证明：（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，∵E是AA1的中点，O是BD的中点，∴A1C∥EO，又EO⊂面BDE，AA1⊄面BDE，所以A1C∥平面BDE．…（6分）解：（2）由（1）知，BD⊥AC，BD⊥EO，∴∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，在Rt△AOE中，tan∠AOE==．∴二面角E﹣BD﹣A的正切值为．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的X围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【分析】（1）由题意得G（x）=2.8+x．由，f（x）=R （x）﹣G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．（2）当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．由此能求出要使工厂有盈利，产量x的X围．（3）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…（2分）∵，…（4分）∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…（6分）（2）∵f（x）=，∴当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；．…（7分）当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．∴要使工厂有盈利，求产量x的X围是（1，8.2）．．…（8分）（3）∵f（x）=，∴当x＞5时，函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．…（10分）当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．…（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）【点评】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．【分析】（1）设B（x0，y0），利用中点坐标公式可得：AB的中点M，代入直线CM．又点B在直线BT上，联立即可得出．（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，利用对称的性质即可得出．【解答】解：（1）设B（x0，y0），则AB的中点M在直线CM上，所以+1=0，即3x0+2y0+6=0 ①…（2分）又点B在直线BT上，所以x0﹣y0+2=0 ②…（4分）由①②得：x0=﹣2，y0=0，即顶点B（﹣2，0）．…（6分）（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，由题意知，，解得a=﹣3，b=4，即A′（﹣3，4）．…（9分）因为k BC===﹣4，…（11分）所以直线BC的方程为y=﹣4（x+2），即4x+y+8=0．…（12分）【点评】本题考查了角平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．【分析】（1）先证明OM∥AN，根据线面平行的判定定理即可证明OM∥面DAF；（2）由题意可先证明AF⊥CB，由AB为圆O的直径，可证明AF⊥BF，根据线面垂直的判定定理或面面垂直的性质定理即可证明AF⊥面CBF．【解答】解：（1）设DF的中点为N，连接MN，则MN∥CD，MN=CD，又∵AO∥CD，AO=CD，∴MN∥AO，MN=AO，∴MNAO为平行四边形，∴OM∥AN．又∵AN⊂面DAF，OM⊄面DAF，∴OM∥面DAF．（2）∵面ABCD⊥面ABEF，CB⊥AB，CB⊂面ABCD，面ABCD∩面ABEF=AB，∴CB⊥面ABEF．∵AF⊂面ABEF，∴AF⊥CB．又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，又∵CB∩BF=B，CB，BF⊂面CBF．∴AF⊥面CBF．【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，某某数a的取值X围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．【分析】（1）对a分类讨论，利用截距式即可得出；（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，由于l不经过第二象限，可得，解出即可得出．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得aX围；令y=0，解得x=＞0，解得aX围．求交集可得：a＜﹣1．利用S△AOB= [﹣（a﹣2）]×，变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）若2﹣a=0，解得a=2，化为3x+y=0．若a+1=0，解得a=﹣1，化为y+3=0，舍去．若a≠﹣1，2，化为： +=1，令=a﹣2，化为a+1=1，解得a=0，可得直线l的方程为：x+y+2=0．（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，∵l不经过第二象限，∴，解得：a≤﹣1．∴实数a的取值X围是（﹣∞，﹣1]．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a＜2；令y=0，解得x=＞0，解得a＞2或a＜﹣1．因此，解得a＜﹣1．∴S△AOB=|a﹣2|||==3+≥3+=6，当且仅当a=﹣4时取等号．∴△AOB（O为坐标原点）面积的最小值是6．【点评】本题考查了直线的方程、不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
2016-2017学年山东省泰安市高一(下)期末数学试卷与解析word
2016-2017学年山东省泰安市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin15°cos15°的值是（）A．B．C．D．2．（5分）为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．2，4，8，16，32C．1，2，3，4，5 D．7，17，27，37，473．（5分）某单位在1～4 月份用电量（单位：千度）的数据如表：已知用电量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程 5.25，由此可预测5月份用电量（单位：千度）约为（）A．1.9 B．1.8 C．1.75 D．1.74．（5分）已知向量||=1，||=，，的夹角为45°，若=，，则在方向上的投影为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣5．（5分）已知圆x2+y2﹣2x+my=0上任意一点M关于直线x+y=0的对称点N也在圆上，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．26．（5分）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1，2x4﹣1，2x5﹣1的平均数，方差分别是（）A．3，B．3，C．4，D．4，7．（5分）已知一扇形的周长为20cm，当这个扇形的面积最大时，半径R的值为（）A．4 cm B．5cm C．6cm D．7cm8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．69．（5分）已知α为锐角，且5α的终边上有一点P（sin（﹣50°），cos130°），则α的值为（）A．8°B．44°C．40°D．80°10．（5分）已知角α，β均为锐角，且cosα=，sinβ=，则α﹣β的值为（）A．B．C．D．11．（5分）四边形ABCD中，AB=BC，AD⊥DC，AC=2，∠ACD=θ，若，则cos2θ等于（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=asinx+bcosx，（ab≠0）的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数是奇函数，则直线ax﹣by+c=0的斜率为（）A．B．C．﹣D．﹣二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+a+1=0恒过定点C，则以C 为圆心，为半径的圆的方程是．14．（5分）若sin（x+）=，则sin（﹣x）+sin2（﹣x）+cos（2x+）=．15．（5分）已知△ABC中，AB=AC=4，BC=4，已知蚂蚁在△ABC的内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离△ABC的三个顶点距离均超过1的概率为．16．（5分）关于函数f（x）=cos（2x﹣）+sin（2x+），有①y=f（x）的最大值为；②y=f（x）的最小正周期是π③y=f（x）在区间[﹣，]上是减函数；④直线x=是函数y=f（x）的一条对称轴方程．其中正确命题的序号是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知sinα+cosα=﹣，α为第二象限角．（1）求sinα﹣cosα的值；（2）求的值．18．（12分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点．不包括右端点．如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？19．（12分）某校男女篮球队各有10名队员，现将这20名队员的身高绘制成茎叶图（单位：cm）．男队员身高在180cm以上定义为“高个子”，女队员身高在170cm 以上定义为“高个子”，其他队员定义为“非高个子”．按照“高个子”和“非高个子”用分层抽样的方法共抽取5名队员．（1）从这5名队员中随机选出2名队员，求这2名队员中有“高个子”的概率；（2）求这5名队员中，恰好男女“高个子”各1名队员的概率．20．（12分）如图，某市园林局准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC 以外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花．若BC=a （a为定值），∠ABC=α，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2；（1）用a，α表示S1，S2（2）当α为何值时，取得最大值，并求出此最大值．21．（12分）已知圆O：x2+y2=4，圆O与x轴交于A，B两点，过点B的圆的切线为l，P是圆上异于A，B的一点，PH垂直于x轴，垂足为H，E是PH的中点，延长AP，AE分别交l于F，C．（1）若点P（1，），求以FB为直径的圆的方程，并判断P是否在圆上；（2）当P在圆上运动时，证明：直线PC恒与圆O相切．22．（12分）设函数f（x）=•，其中=（2sin（+x），cos2x）．=（sin（+x），﹣），x∈R，（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）的周期和单调递增区间；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[，]上有解，求实数m的取值范围．2016-2017学年山东省泰安市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin15°cos15°的值是（）A．B．C．D．【解答】解：sin15°cos15°=sin30°=，故选：B．2．（5分）为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．2，4，8，16，32C．1，2，3，4，5 D．7，17，27，37，47【解答】解：从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，采用系统抽样间隔应为=10，只有D答案中的编号间隔为10，故选：D．3．（5分）某单位在1～4 月份用电量（单位：千度）的数据如表：已知用电量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程 5.25，由此可预测5月份用电量（单位：千度）约为（）A．1.9 B．1.8 C．1.75 D．1.7【解答】解：∵=2.5，=3.5，线性回归方程是 5.25，∴3.5=2.5b+5.25，∴b=﹣0.7，∴y=﹣0.7x+5.25，x=5时，y=﹣3.5+5.25=1.75，故选：C．4．（5分）已知向量||=1，||=，，的夹角为45°，若=，，则在方向上的投影为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【解答】解：根据数量积的几何意义可知，在方向上的投影为||与向量，夹角的余弦值的乘积，∴在方向上的投影为||•cos，如图：||2=（）2=1+2+=5．||=cos=﹣∴则在方向上的投影为﹣1．故选：B．5．（5分）已知圆x2+y2﹣2x+my=0上任意一点M关于直线x+y=0的对称点N也在圆上，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x+my=0上任意一点M关于直线x+y=0的对称点N也在圆上，∴直线x+y=0经过圆心C（1，﹣），故有1﹣=0，解得m=2，故选：D．6．（5分）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1，2x4﹣1，2x5﹣1的平均数，方差分别是（）A．3，B．3，C．4，D．4，【解答】解：∵一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，∴另一组数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1，2x4﹣1，2x5﹣1的平均数为：2×2﹣1=3，方差为：=．故选：A．7．（5分）已知一扇形的周长为20cm，当这个扇形的面积最大时，半径R的值为（）A．4 cm B．5cm C．6cm D．7cm【解答】解：∵l=20﹣2R，∴S=lR=（20﹣2R）•R=﹣R2+10R=﹣（R﹣5）2+25∴当半径R=5cm时，扇形的面积最大为25cm2．故选：B．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：A=2，i=1，s=0＜A，s=1＜A，i=2，s=＜A，i=3，s=＜A，i=4，s=＜A，i=5，s=＞A，输出i=5，故选：C．9．（5分）已知α为锐角，且5α的终边上有一点P（sin（﹣50°），cos130°），则α的值为（）A．8°B．44°C．40°D．80°【解答】解：∵α为锐角，∴5α∈（0°，450°）；∵5α的终边上有一点P（sin（﹣50°），cos130°），即点P（﹣sin50°，﹣cos50°），故点P在第三象限，即5α的终边在第三象限，再根据tan5α===cot50°=tan40°=tan（180°+40°）=tan220°，∴5α=220°，则α=44°，故选：B．10．（5分）已知角α，β均为锐角，且cosα=，sinβ=，则α﹣β的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵角α，β均为锐角，且cosα=，sinβ=，∴sinα==，cosβ==，则sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=•﹣•=﹣，再根据α﹣β∈（﹣，），可得α﹣β=﹣，故选：C．11．（5分）四边形ABCD中，AB=BC，AD⊥DC，AC=2，∠ACD=θ，若，则cos2θ等于（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，取AC的中点O，连接OD，OB，∵AB=BC，OA=OC，∴OB⊥AC，∴•=0；又∵=，=+，=（+），∴（+）•=•+•=（+）•=（+）•（﹣）=﹣+=①，又AD⊥DC，∴+==4②，由①②解得=，∴||=，∴cosθ==；∴cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=．故选：D．12．（5分）若函数f（x）=asinx+bcosx，（ab≠0）的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数是奇函数，则直线ax﹣by+c=0的斜率为（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵函数f（x）=asinx+bcosx=sin（x+∅），（tanφ=），把函数f（x）的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数是g（x）=sin（x++∅），再由g（x）是奇函数可得=k π，k∈z．∴tan∅=tan（kπ﹣）=﹣，即=﹣．故直线ax﹣by+c=0的斜率为=﹣，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+a+1=0恒过定点C，则以C 为圆心，为半径的圆的方程是x2+y2+2x﹣4y=0．【解答】解：直线（a﹣1）x﹣y+a+1=0，即a（x+1）+（﹣x﹣y+1）=0，定点C的坐标是方程组的解，∴定点C的坐标是（﹣1，2），再由为半径可得圆的方程是（x+1）2+（y﹣2）2=5，即x2+y2+2x﹣4y=0，故答案为x2+y2+2x﹣4y=0．14．（5分）若sin（x+）=，则sin（﹣x）+sin2（﹣x）+cos（2x+）=．【解答】解：因为sin（x+）=，所以sin（﹣x）=sin（π﹣﹣x）=sin（x+）=，sin（﹣x）=sin[﹣（x+）]=cos（x+），则sin2（﹣x）=cos2（x+）=1﹣sin2（x+）=，所以sin（﹣x）+sin2（﹣x）+cos（2x+）==，故答案为：．15．（5分）已知△ABC中，AB=AC=4，BC=4，已知蚂蚁在△ABC的内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离△ABC的三个顶点距离均超过1的概率为1﹣．【解答】解：∵三角形的三边长分别是4，4，4，∴三角形的高AD=2，则△ABC的面积为S=×4×2=4；则该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1，对应的区域为图中阴影部分，三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的，圆的半径为1，则阴影部分的面积为S1=4﹣π•12=4﹣π，根据几何概型的概率公式得所求概率为P==1﹣．故答案为：1﹣．16．（5分）关于函数f（x）=cos（2x﹣）+sin（2x+），有①y=f（x）的最大值为；②y=f（x）的最小正周期是π④直线x=是函数y=f（x）的一条对称轴方程．其中正确命题的序号是②④．【解答】解：由题意得，f（x）=cos（2x﹣）+sin（2x+）=cos2x+sin2x+sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=，①、当=1时，y=f（x）取到最大值为2，①不正确；②、由T=得，y=f（x）的最小正周期是π，②正确；③、由得，，所以y=f（x）在区间[﹣，]上不是单调函数，③不正确；④、当x=时，，所以直线x=是函数y=f（x）的一条对称轴方程，④正确，故答案为：②④．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知sinα+cosα=﹣，α为第二象限角．（1）求sinα﹣cosα的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵sinα+cosα=﹣，∴（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2sinαcosα=，∴又（sinα﹣cosα）2=（sinα+cosα）2﹣4sinαcosα=．∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα＞0．∴sinα﹣cosα=；（2）==．18．（12分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点．不包括右端点．如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？【解答】解：（1）月收入在[3000，3500）的频率为0.0003×500=0.15；（2）从左数第一组的频率为0.0002×500=0.1；第二组的频率为0.0004×500=0.2；第三组的频率为0.0005×500=0.25；∴中位数位于第三组，设中位数为2000+x，则x×0.0005=0.5﹣0.1﹣0.2=0.2⇒x=400．∴中位数为2400（元）由1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400，样本数据的平均数为2400（元）；（3）月收入在[2500，3000）的频数为0.25×10000=2500（人），∵抽取的样本容量为100．∴抽取比例为=，∴月收入在[2500，3000）的这段应抽取2500×=25（人）．以上定义为“高个子”，其他队员定义为“非高个子”．按照“高个子”和“非高个子”用分层抽样的方法共抽取5名队员．（1）从这5名队员中随机选出2名队员，求这2名队员中有“高个子”的概率；（2）求这5名队员中，恰好男女“高个子”各1名队员的概率．【解答】解：（1）由题意及茎叶图得：“高个子”共8名队员，“非高个子”共12名队员，共抽取5名队员，故从“高个子”队员中抽取2名队员，记为A，B，从“非高个子”中抽取3名队员，记为a，b，c，从中选出2名队员共有=10种选法，分别为：AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，这2名队员中有“高个子”的选法有7种，分别是：AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，故选取2名队员中有“高个子”的概率是p1=．（2）由茎叶图知“高个子”男队员有4名，记为D，E，F，G，“高个子”女队员有4名，记为d，e，f，g，从中抽取2名队员，共有=28种抽法，分别为：DE，DF，DG，Dd，De，Df，Dg，EF，EG，Ed，Ee，Ef，Eg，FG，Fd，Fe，Ff，Fg，gd，Ge，Gf，Gg，de，df，dg，ef，eg，fg，其中，男女“高个子”各1名队员的抽法有16种，∴这5名队员中，恰好男女“高个子”各1名队员的概率p2=．20．（12分）如图，某市园林局准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC 以外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花．若BC=a （a为定值），∠ABC=α，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2；（2）当α为何值时，取得最大值，并求出此最大值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC=a，∠ABC=α，∴AB=acosα，AC=asinα，∴S1==，设正方形PQRS的边长为x，则BP=，AP=xcosα，由BP+AP=，AB=acosα，又AP+BP=AB，∴x==，∴S2=x2=（）2=．（2）==，令sin2α=t，由0＜α＜，得0＜2α＜π，∴0＜t≤1．∴==，0＜t≤1，设f（t）=t+（0＜t≤1），任取0＜t1＜t1≤1，则f（t1）﹣f（t2）=﹣=（t1﹣t2），＞0，∴f（t）=t++4在（0，1]上单调递减，∴f（t）≥9，∴0＜≤，∴的最大值为，此时α=．21．（12分）已知圆O：x2+y2=4，圆O与x轴交于A，B两点，过点B的圆的切线为l，P是圆上异于A，B的一点，PH垂直于x轴，垂足为H，E是PH的中点，延长AP，AE分别交l于F，C．（1）若点P（1，），求以FB为直径的圆的方程，并判断P是否在圆上；（2）当P在圆上运动时，证明：直线PC恒与圆O相切．【解答】（1）证明：由P（1，），A（﹣2，0）∴直线AP的方程为．令x=2，得F（2，）．（2分）由E（1，），A（﹣2，0），则直线AE的方程为y=（x+2），令x=2，得C（2，）．（4分）∴C为线段FB的中点，以FB为直径的圆恰以C为圆心，半径等于．∴圆的方程为，且P在圆上；（2）证明：设P（x0，y0），则E（x0，），则直线AE的方程为在此方程中令x=2，得C（2，）直线PC的斜率为=﹣=﹣若x0=0，则此时PC与y轴垂直，即PC⊥OP；（13分）∵×（﹣）=﹣1∴PC⊥OP∴直线PC与圆O相切．（16分）22．（12分）设函数f（x）=•，其中=（2sin（+x），cos2x）．=（sin（+x），﹣），x∈R，（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）的周期和单调递增区间；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[，]上有解，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）=（2sin（+x），cos2x）．=（sin（+x），﹣），则f（x）=•=2sin2（x+）﹣cos2x=1﹣cos（2x+）﹣cos2x=1+sin2x﹣cos2x=1+2sin（2x﹣）；（Ⅱ）f（x）的周期为T==π，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，可得f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（Ⅲ）由x∈[，]，sin（2x ﹣）∈[，1]，则f（x）的值域为[2，3]，由m+2∈[2，3]，可得m∈[0，1]．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
山东省烟台市2015-2016学年高一上期末数学试题(有答案)AwwMqK
2015-2016学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．32．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜16．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N 分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．2015-2016学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据空间中的平行与垂直关系，得出命题A、B、C正确，命题D错误【解答】解：对于（1），空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，∴命题（1）错误；对于（2），若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面，根据线面平行的性质得到命题（2）正确；对于（3），夹在两个平行平面间的平行线段相等；命题（3）正确；对于（4），垂直于同一条直线的两个直线平行、相交或异面，∴命题（4）错误．故正确的命题有2个；故选：C．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题目．2．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．【分析】两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，分别化为：y=﹣x﹣3，y=﹣，∴，﹣3≠﹣，解得a=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（）=＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据三视图知几何体为一直四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知几何体为一直四棱锥，其直观图如图所示；∵正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱垂直于底面且侧棱长也为1，∴该四棱锥的体积为×12×1=．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是判断几何体的形状，是基础题．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，∴R2=r2，∴S球=4πR2，截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选A．【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】先求出线段AB的长度为10，等于5的2倍，故满足条件的直线有3条，其中有2条和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线．【解答】解：线段AB的长度为=10，故在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有3条，其中有2条在线段AB的两侧，且都和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线，故选C．【点评】本题考查两点间的距离公式的应用，线段的中垂线的性质，体现了分类讨论的数学思想．8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面周长求出圆锥底面半径．【解答】解：圆锥的侧面积为，侧面展开图的弧长为=，设圆锥的底面半径为r′，则2πr′=，∴r′=．∴圆锥的全面积S=+=．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积计算，属于基础题．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N 分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】利用线面平行，面面平行的判定定理即可．【解答】解：点M，N分别为线段PB，BC的中点，o为AB的中点，∴MO∥PA，ON∥AC，OM∩ON=O，∴MO∥平面PAC；平面PAC∥平面MON，②③故正确；故选：C．【点评】考查了线面平行，面面平行的判断，属于基础题型，应熟练掌握．10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）②．【分析】随着时间x的增加，y的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论【解答】解：∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y=ax+k和y=alog m x显然都是单调函数，不满足题意，∴y=ax2+bx+c．故答案为：②．【点评】本题考查函数模型的选择，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，确定函数模型是关键．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件AC⊥BD或四边形ABCD为菱形时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．【分析】由假设A1C⊥B1D1，结合直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质定理，我们易得到A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，又由菱形的几何特征可判断出四边形ABCD为菱形，又由本题为开放型题目上，故答案可以不唯一．【解答】解：若A1C⊥B1D1，由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，AA1⊥B1D1，易得B1D1⊥平面AA1BB1，则A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，则四边形ABCD为菱形，故答案为：AC⊥BD或四边形ABCD为菱形．【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，属于知识的考查，属于中档题．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于135°．【分析】由两平行线间的距离，得直线m和两平行线的夹角为90°．再根据两条平行线的倾斜角为45°，可得直线m的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为，可得直线m 和两平行线的夹角为90°．由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线m的倾斜角为135°，故答案为：135°．【点评】本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，本题属于基础题．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是（4，+∞）．【分析】根据条件可判断函数为偶函数，则要使（x）有4个零点，只需当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，根据二次方程的根的判定求解．【解答】解：对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），∴函数为偶函数，若f（x）有4个零点，∴当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，∴△=a﹣4＞0，∴a＞4．【点评】考查了偶函数的应用和二次方程根的性质．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为②③．【分析】①根据线面垂直性质可判断；②根据公式cosθ=cosθ1cosθ2求解即可；③找出二面角的平面角，利用余弦定理求解．【解答】解：①取AB中点M，易证AB垂直平面SMC，可得AB垂直SC，故错误；②易知BC在平面上的射影为∠ABC的角平分线，∴cos60°=cosθcos30°，∴cosθ=，故正确；③取BC中点N，∴二面角为∠ANC，不妨设棱长为1，∴cos∠ANC==，故正确，故答案为：②③．【点评】考查了线面垂直，线面角，二面角的求法．属于基础题型．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．【分析】（1）证明BC⊥平面AA1C，即可证明平面AA1C⊥平面BA1C；（2）求出AC，直接利用体积公式求解即可．【解答】（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，所以AC⊥BC．因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．又BC⊂平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C．…（6分）（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，则由AB2=AC2+BC2且AC=BC，得，所以．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查几何体A1﹣ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．【分析】（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，则A1C∥EO，由此能证明A1C∥平面BDE．（2）由BD⊥AC，BD⊥EO，得∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BD﹣A的正切值．【解答】证明：（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，∵E是AA1的中点，O是BD的中点，∴A1C∥EO，又EO⊂面BDE，AA1⊄面BDE，所以A1C∥平面BDE．…（6分）解：（2）由（1）知，BD⊥AC，BD⊥EO，∴∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，在Rt△AOE中，tan∠AOE==．∴二面角E﹣BD﹣A的正切值为．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【分析】（1）由题意得G（x）=2.8+x．由，f（x）=R（x）﹣G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．（2）当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．由此能求出要使工厂有盈利，产量x的范围．（3）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…（2分）∵，…（4分）∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…（6分）（2）∵f（x）=，∴当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；．…（7分）当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．∴要使工厂有盈利，求产量x的范围是（1，8.2）．．…（8分）（3）∵f（x）=，∴当x＞5时，函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．…（10分）当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．…（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）【点评】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．【分析】（1）设B（x0，y0），利用中点坐标公式可得：AB的中点M，代入直线CM．又点B在直线BT上，联立即可得出．（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，利用对称的性质即可得出．【解答】解：（1）设B（x0，y0），则AB的中点M在直线CM上，所以+1=0，即3x0+2y0+6=0 ①…（2分）又点B在直线BT上，所以x0﹣y0+2=0 ②…（4分）由①②得：x0=﹣2，y0=0，即顶点B（﹣2，0）．…（6分）（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，由题意知，，解得a=﹣3，b=4，即A′（﹣3，4）．…（9分）因为k BC===﹣4，…（11分）所以直线BC的方程为y=﹣4（x+2），即4x+y+8=0．…（12分）【点评】本题考查了角平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．【分析】（1）先证明OM∥AN，根据线面平行的判定定理即可证明OM∥面DAF；（2）由题意可先证明AF⊥CB，由AB为圆O的直径，可证明AF⊥BF，根据线面垂直的判定定理或面面垂直的性质定理即可证明AF⊥面CBF．【解答】解：（1）设DF的中点为N，连接MN，则MN∥CD，MN=CD，又∵AO∥CD，AO=CD，∴MN∥AO，MN=AO，∴MNAO为平行四边形，∴OM∥AN．又∵AN⊂面DAF，OM⊄面DAF，∴OM∥面DAF．（2）∵面ABCD⊥面ABEF，CB⊥AB，CB⊂面ABCD，面ABCD∩面ABEF=AB，∴CB⊥面ABEF．∵AF⊂面ABEF，∴AF⊥CB．又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，又∵CB∩BF=B，CB，BF⊂面CBF．∴AF⊥面CBF．【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．【分析】（1）对a分类讨论，利用截距式即可得出；（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，由于l不经过第二象限，可得，解出即可得出．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a范围；令y=0，解得x=＞0，解得a范围．求交集可得：a＜﹣1．利用S△AOB= [﹣（a﹣2）]×，变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）若2﹣a=0，解得a=2，化为3x+y=0．若a+1=0，解得a=﹣1，化为y+3=0，舍去．若a≠﹣1，2，化为： +=1，令=a﹣2，化为a+1=1，解得a=0，可得直线l的方程为：x+y+2=0．（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，∵l不经过第二象限，∴，解得：a≤﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a＜2；令y=0，解得x=＞0，解得a＞2或a＜﹣1．因此，解得a＜﹣1．∴S△AOB=|a﹣2|||==3+≥3+=6，当且仅当a=﹣4时取等号．∴△AOB（O为坐标原点）面积的最小值是6．【点评】本题考查了直线的方程、不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
山东省泰安市2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试题带答案
试卷类型：A高二年级考试数学试题（文科） 2016.1一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项 1. “x=1”是“0322=-+x x ”的A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件2已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线方程为A.110622=-y x B. 141222=-y x C.161022=-y x D.112422=-y x 3.命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题是A.若4πα≠，则1tan ≠α B.若4πα=，则1tan ≠αC.若1tan ≠α，则4πα≠D.若1tan ≠α，则4πα=4.已知等比数列{}n a 中，1031=+a a ，4564=+a a ，则该数列的公比q 为A.2B.1C.41D.215.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A,B,C 所对的边，若C b a cos 2=，则此三角形一定是 A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形6.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若63=a ，123=S ，则公差d 等于A.2B.35C.1D.3 7.在ABC ∆中，若bc b a 322=-且Bsin B)sin(A +=32，则角A=A.6πB.3πC.32πD.65π 8.设1F ,2F 是双曲线12422=-y x 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且2143PF PF =,则21F PF ∆的面积等于A.24B.38C.48D.249.若不等式012≥++ax x 对于一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 恒成立，则a 的取值范围是A. 0≥aB. 2-≥aC.25-≥a D.3-≥a 10.已知定点1F （-2,0），2F （2,0），N 是圆O ：122=+y x 上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段M F 1的中垂线与直线M F 2相交于点P ，则点P 的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.设a=107+，b=143+，则a 与b 的大小关系是12.平面内动点P 到点F （0,2）的距离和到直线l ：y=-2的距离相等，则动点P 的轨迹方程为是13.命题p ：,0R x ∈∃022020≤++x x ，则p ⌝：14.设直线)(2)1(*∈=++N n y n nx 与两坐标轴围城的三角形的面积为n S ，则2016321S S S S ++++ 的值为15.已知实数x ，y 满足xy=1，且x>2y>0,则yx y x 2422-+的最小值为三．解答题（本大题共6小题.共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置。
山东省泰安市2015-2016学年高一上学期期末数学试卷 含解析
2015-2016学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．集合U={1，2，3，4，5，6｝,A={1，3，5}，B=｛2，4，5}，则A∩∁U B=（）A．｛1,3，6} B．{1，3｝C．｛1} D．{2,4，5}2．如图所示的斜二测直观图表示的平面图形是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．直角梯形D．长方形3．函数f（x)=e2+x﹣2的零点所在的区间是（）A．（﹣2,﹣1）B．（﹣1，0) C．（1，2) D．（0,1）4．沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．5．已知函数f(x）=，则f(﹣1)的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．16．在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是（)A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β,且α∥β，则l⊥αC．若α∩β=m,且l⊥m，则l∥αD．若l⊥β，且α⊥β，则l∥α7．函数y=log3|x|的图象大致形状是（）A．B．C．D．8．直线l过点A（1，2），且不经过第四象限,则直线l的斜率的取值范围（）A．［0,］B．［0，1]C．[0，2］D．（0，）9．下列的判断错误的是(）A．20.6＞20.3B．log23＞1C．log a xlog a y=log a xyD．函数是奇函数10．过点（2，3）的直线L被两平行直线L1:2x﹣5y+9=0与L2：2x﹣5y﹣7=0所截线段AB的中点恰在直线x﹣4y﹣1=0上，则直线L的方程为（）A．5x﹣4y+11=0 B．4x﹣5y+7=0C．2x﹣3y﹣4=0 D．以上结论都不正确二．填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分.请把答案填在答题纸相应位置．11．函数f（x）=lg（2x﹣1）的定义域为．12．一个球的体积是，则这个球的表面积是．13．若直线2x+y+4=0与ax+2y﹣2=0平行，则这两条平行线间的距离为．14．若函数f(x）=a x(0＜a≠1）在［﹣1，2］上的最大值为4,最小值为m,则m=．15．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润（单位：万元）分别为，其中x为销售量（单位:辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为万元．三．解答题:本大题共6小题。
山东省泰安市2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题
２０． （本小题满分 １３ 分） 为振兴经济发展，某市 ２０１７ 年计划投入专项资金加强旅游基础设施改造． 据调查，
改造后预计该市在一个月内（以 ３０ 天记），旅游人数 ｆ（ｘ）（万人）与日期 ｘ（日）的函数关
三、解答题：本大题共６ 个小题，满分７５ 分． 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤． 请将解答过程写在答题纸的相应位置．
１６． （本小题满分 １２ 分） 已知集合 ｛ ｝， ｛ ｝ Ａ ＝ ｘ ｜４≤２ｘ≤１６ Ｂ ＝ ｘ ｜５ － ２ｍ≤ｘ≤ｍ ＋ １ ． （Ⅰ）当 ｍ ＝ ３ 时，求集合 ， ； Ａ∩Ｂ Ａ∪Ｂ （Ⅱ）若 Ｂ Ａ，求实数 ｍ 的取值范围．
｛ ｝ 分 Ａ∪Ｂ ＝ ｘ ｜ － １≤ｘ≤４ ５
（）因为 ，，所以当 时， 分 ２
ＢＡ
Ｂ ＝ Φ ５ － ２ｍ ＞ ｍ ＋ １ ６
所以 分 ｍ ＜
４ ３
７
当 时，则{ 分 Ｂ≠Φ
５ － ２ｍ≤ｍ ＋ １ ５ － ２ｍ≥２ ９
２０１７ １
一、选择题：本大题共 １０ 个小题，每小题 ５ 分，共 ５０ 分．
题 号
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
答 案
ＡＤＤＢＣＢＣＣＢＡ
二、填空题：本大题共 ５ 个小题，每小题 ５ 分，共 ２５ 分．
１１． ２ １２． ４π １３． １９６π １４． １２ １５． ①④
侧面 ， ∵ ＰＡ
ＰＡＤ
， 分 ∴ ＣＤ⊥ＰＡ ８
又 槡 ， ∵ ＰＡ ＝ ＰＤ ＝ ２２ＡＤ
，所以 ， 分 ∴ ＰＡ２ ＋ ＰＤ２ ＝ ＡＤ２
山东省泰安市2016届高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2}B．{4，6}C．{1，3，5}D．{4，6，7，8}2．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a3=10，且a1a3=16，则a11+a12+a13等于（）A．75 B．90 C．105 D．1203．已知p：0＜a＜4，q：函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β5．不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣2，6）C．（6，+∞）D．（﹣1，5）6．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于M、N两点，若△M NF2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．7．设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A． B．C．D．8．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．（，]10．已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．若α∈（0，）且cos2α+cos（+2α）=，则tanα=．12．直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是．13．如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为．14．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．15．规定记号“*”表示一种运算，a*b=a2+ab，设函数f（x）=x*2，且关于x的方程f（x）=ln|x+1|（x≠﹣1）恰有4个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=．三、解答题：本大题共有6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，且（Ⅰ）求角A（Ⅱ）若，求a的最小值．17．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，EF∥AD，FA⊥面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD于点P（Ⅰ）证明：PF∥面ECD；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣A的大小．18．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2=6，S4=30，n∈N*，数列{b n}满足b n•b n+1=a n，b1=1（I）求a n，b n；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和为T n．19．如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB是以A为顶点，AC为对称轴的抛物线的一部分，点B到边AC的距离为2km，另外两边AC，BC的长度分别为8km，2km．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．（Ⅰ）求此曲边三角形地块的面积；（Ⅱ）求科技园区面积的最大值．20．已知椭圆C：的右顶点A（2，0），且过点（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（1，0）且斜率为k1（k1≠0）的直线l于椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3于M，N两点，线段MN的中点为P，记直线PB的斜率为k2，求证：k1•k2为定值．21．已知函数f（x）=lnx+ax在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）若，证明：当x＞1时，（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x0，使得：．2015-2016学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2}B．{4，6}C．{1，3，5}D．{4，6，7，8}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，根据集合的运算求解即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，∵C U A={4，6，7，8}，∴（C U A）∩B={4，6}．故选B．2．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a3=10，且a1a3=16，则a11+a12+a13等于（）A．75 B．90 C．105 D．120【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知得a1＜a3，且a1，a3是方程x2﹣10x+16=0的两个根，解方程x2﹣10x+16=0，得a1=2，a3=8，由此求出公差，从而能求出a11+a12+a13的值．【解答】解：∵{a n}是公差为正数的等差数列，a1+a3=10，且a1a3=16，∴a1＜a3，且a1，a3是方程x2﹣10x+16=0的两个根，解方程x2﹣10x+16=0，得a1=2，a3=8，∴2+2d=8，解得d=3，∴a11+a12+a13=3a1+33d=3×2+33×3=105．故选：C．3．已知p：0＜a＜4，q：函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，即x2﹣ax+a＞0恒成立，则判别式△=a2﹣4a＜0，则0＜a＜4，则p是q的充要条件，故选：C4．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．【解答】解：A、如图，平面α⊥平面β，α∩β=l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；B、如A中的图，平面α⊥平面β，α∩β=l，a⊂α，若a∥l，则a∥β，所以正确；C、如图，设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB=O，所以l⊥γ．所以正确．D、若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确；故选：A．5．不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣2，6）C．（6，+∞）D．（﹣1，5）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由条件利用绝对值的意义，求得绝对值不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集．【解答】解：由于|x﹣5|+|x+1|表示数轴上的x对应点到5、﹣1对应点的距离之和，而数轴上的﹣2和6对应点到5、﹣1对应点的距离之和正好等于8，故不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（﹣2，6），故选：B．6．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于M、N两点，若△M NF2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】把x=﹣c代入椭圆，解得y=±．由于△MNF2为等腰直角三角形，可得=2c，由离心率公式化简整理即可得出．【解答】解：把x=﹣c代入椭圆方程，解得y=±，∵△MNF2为等腰直角三角形，∴=2c，即a2﹣c2=2ac，由e=，化为e2+2e﹣1=0，0＜e＜1．解得e=﹣1+．故选C．7．设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A． B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x）的图象可得在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，即有y轴左侧导数小于0，右侧导数先小于0，再大于0，最后小于0，对照选项，即可判断．【解答】解：由f（x）的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，即有导数小于0，可排除C，D；再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f（x）递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确．故选：B．8．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数的零点；指数函数的图象与性质．【分析】根据对数，指数的转化得出f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f（0）=1﹣log32＞0，f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，判定即可．【解答】解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2，∴a=log23＞1，0＜b=log32＜1，∵函数f（x）=a x+x﹣b，∴f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，∵f（0）=1﹣log32＞0f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间（﹣1，0），故选：B．9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．（，]【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意求得sin（ωx+φ）=﹣1，函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，根据周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式．再根据当x∈（﹣，）时，f（x）＞1，可得sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，由此求得φ的取值范围．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤）的图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，令2sin（ωx+φ）+1=﹣1，即sin（ωx+φ）=﹣1，即函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，故T==π，求得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）+1．由题意可得，当x∈（﹣，）时，f（x）＞1，即sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，求得φ≥2kπ+，且φ≤2kπ+，k∈Z，故φ的取值范围是[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，结合所给的选项，故选：B．10．已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【分析】由已知得a≤﹣1，a﹣2b=a﹣e a﹣1，再由函数y=﹣e x+a﹣1，（x≤﹣1）单调递减，能求出实数a﹣2b的范围．【解答】解：∵函数f（x）=，a＜b，f（a）=f（b），∴a≤﹣1，∵f（a）=e a，f（b）=2b﹣1，且f（a）=f（b），∴e a=2b﹣1，得b=，∴a﹣2b=a﹣e a﹣1，又∵函数y=﹣e x+a﹣1（x≤﹣1）为单调递减函数，∴a﹣2b＜f（﹣1）=﹣e﹣1=﹣，∴实数a﹣2b的范围是（﹣∞，﹣）．故选：B．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．若α∈（0，）且cos2α+cos（+2α）=，则tanα=．【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用．【分析】首先根据诱导公式和同角三角函数的关系式进行恒等变换，整理成正切函数的关系式，进一步求出正切的函数值．【解答】解：cos2α+cos（+2α）=，则：，则：，整理得：3tan2α+20tanα﹣7=0，所以：（3tanα﹣1）（tanα+7）=0解得：tan或tanα=﹣7，由于：α∈（0，），所以：．故答案为：12．直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是﹣2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．【解答】解：圆x2+y2﹣2ax+a=0可化为（x﹣a）2+y2=a2﹣a∴圆心为：（a，0），半径为：圆心到直线的距离为：d==．∵直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，∴a2+1+1=a2﹣a，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．13．如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故答案为：．14．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由正视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故答案为：15．规定记号“*”表示一种运算，a*b=a2+ab，设函数f（x）=x*2，且关于x的方程f（x）=ln|x+1|（x≠﹣1）恰有4个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣4．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得f（x）=x2+2x，可得图象关于x=﹣1对称，由函数图象的变换可得函数y=ln|x+1|（x≠﹣1）的图象关于直线x=﹣1对称，进而可得四个根关于直线x=﹣1对称，由此可得其和．【解答】解：由题意可得f（x）=x*2=x2+2x，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣1，函数y=ln|x+1|可由y=ln|x|向左平移1个单位得到，而函数函数y=ln|x|为偶函数，图象关于y轴对称，故函数y=ln|x+1|的图象关于直线x=﹣1对称，故方程为f（x）=ln|x+1|（x≠﹣1）四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，也关于直线x=﹣1对称，不妨设x1与x2对称，x3与x4对称，必有x1+x2=﹣2，x3+x4=﹣2，故x1+x2+x3+x4=﹣4，故答案为：﹣4．三、解答题：本大题共有6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，且（Ⅰ）求角A（Ⅱ）若，求a的最小值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知可得sinAsinB=sinBcosA，又sinB≠0，从而可求tanA，由于0＜A＜π，即可解得A的值．（Ⅱ）利用平面向量数量积的运算和余弦定理化简已知等式可得bc=8，利用余弦定理及基本不等式即可求得a的最小值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）因为，由正弦定理，得sinAsinB=sinBcosA，又sinB≠0，从而tanA=，由于0＜A＜π，所以A=．…4分（Ⅱ）由题意可得：=+•（﹣）﹣=+﹣•﹣=c2+b2﹣bccosA﹣a2=2bccosA﹣bccosA=bc=4，∵bc=8，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，∴a≥2，∴a的最小值为．…12分17．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，EF∥AD，FA⊥面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD于点P（Ⅰ）证明：PF∥面ECD；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣A的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取CD中点G，连结EG、PG，推导出四边形EFPG是平行四边形，由此能证明FP∥平面ECD．（Ⅱ）以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣A的大小．【解答】证明：（Ⅰ）取CD中点G，连结EG、PG，∵点P为矩形ABCD对角线交点，∴在△ACD中，PG AD，又EF=1，AD=2，EF∥AD，∴EF PG，∴四边形EFPG是平行四边形，∴FP∥EG，又FP⊄平面ECD，EG⊂平面ECD，∴FP∥平面ECD．解：（Ⅱ）由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则F（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），E（0，1，1），∴=（0，2，0），=（1，1，﹣1），=（1，2，0），取FB中点H，连结AH，则=（），∵=0，=0，∴AH⊥平面EBC，故取平面AEC法向量为=（），设平面AEC的法向量=（x，y，1），则，∴=（2，﹣1，1），cos＜＞===，∴二面角B﹣EC﹣A的大小为．18．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2=6，S4=30，n∈N*，数列{b n}满足b n•b n+1=a n，b1=1（I）求a n，b n；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和为T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比均为2，可得a n=a1q n﹣1=2n；再由n换为n+1，可得数列{b n}中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，运用等比数列的通项公式，即可得到所求b n；（Ⅱ）讨论n为奇数和偶数，运用分组求和和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．【解答】解：（I）设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由题意可得a1+a1q=6，a1+a1q+a1q2+a1q3=30，解得a1=q=2（负的舍去），可得a n=a1q n﹣1=2n；由b n•b n+1=a n=2n，b1=1，可得b2=2，即有b n+1•b n+2=a n=2n+1，可得=2，可得数列{b n}中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，即有b n=；（Ⅱ）当n为偶数时，前n项和为T n=（1+2+..+）+（2+4+..+）=+=3•（）n﹣3；+当n为奇数时，前n项和为T n=T n﹣1=3•（）n﹣1﹣3+=（）n+3﹣3．综上可得，T n=．19．如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB是以A为顶点，AC为对称轴的抛物线的一部分，点B到边AC的距离为2km，另外两边AC，BC的长度分别为8km，2km．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．（Ⅰ）求此曲边三角形地块的面积；（Ⅱ）求科技园区面积的最大值．【考点】扇形面积公式；弧度制的应用．【分析】（Ⅰ）以AC所在的直线为y轴，A为坐标原点建立平面直角坐标系，求出曲边AB 所在的抛物线方程，利用积分计算曲边三角形ABC地块的面积；（Ⅱ）设出点D为（x，x2），表示出|DF|、|DE|与|CF|的长，求出直角梯形CEDF的面积表达式，利用导数求出它的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）以AC所在的直线为y轴，A为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，如图所示；则A（0，0），C（0，8），设曲边AB所在的抛物线方程为y=ax2（a＞0），则点B（2，4a），又|BC|==2，解得a=1或a=3（此时4a=12＞8，不合题意，舍去）；∴抛物线方程为y=x2，x∈[0，2]；又x2=x3=，∴此曲边三角形ABC地块的面积为S﹣x2=×（8+4）×2﹣=；梯形ACBM（Ⅱ）设点D（x，x2），则F（0，x2），直线BC的方程为：2x+y﹣8=0，∴E（x，8﹣2x），|DF|=x，|DE|=8﹣2x﹣x2，|CF|=8﹣x2，直角梯形CEDF的面积为S（x）=x[（8﹣2x﹣x2）+（8﹣x2）]=﹣x3﹣x2+8x，x∈（0，2），求导得S′（x）=﹣3x2﹣2x+8，令S′（x）=0，解得x=或x=﹣2（不合题意，舍去）；当x∈（0，）时，S（x）单调递增，x∈（，2）时，S（x）单调递减，∴x=时，S（x）取得最大值是S （）=﹣﹣+8×=；∴科技园区面积S 的最大值为．20．已知椭圆C ：的右顶点A （2，0），且过点 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （1，0）且斜率为k 1（k 1≠0）的直线l 于椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别交直线x=3于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，记直线PB 的斜率为k 2，求证：k 1•k 2为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，代入点，解方程可得椭圆方程；（Ⅱ）设过点B （1，0）的直线l 方程为：y=k （x ﹣1），由，可得（4k 12+1）x 2﹣8k 12x +4k 12﹣4=0，由已知条件利用韦达定理推导出直线PB 的斜率k 2=﹣，由此能证明k •k ′为定值﹣．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a=2，+=1， a 2﹣b 2=c 2，解得b=1，即有椭圆方程为+y 2=1； （Ⅱ）证明：设过点B （1，0）的直线l 方程为：y=k 1（x ﹣1），由，可得：（4k 12+1）x 2﹣8k 12x +4k 12﹣4=0，因为点B （1，0）在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即△＞0恒成立．设点E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则x 1+x 2=，x 1x 2=．因为直线AE 的方程为：y=（x ﹣2），直线AF 的方程为：y=（x ﹣2），令x=3，得M（3，），N（3，），所以点P的坐标（3，（+））．直线PB的斜率为k2==（+）=•=•=•=﹣．所以k1•k2为定值﹣．21．已知函数f（x）=lnx+ax在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）若，证明：当x＞1时，（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x0，使得：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得a的值；（Ⅱ）求出f（x）=lnx+x，要证原不等式成立，即证xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，可令g（x）=xlnx+x﹣k（x﹣3），求出导数，判断符号，可得单调性，即可得证；（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，假设存在正数x0，使得：．运用转化思想可令H（x）=（x+1）•e﹣x+x2﹣1，求出导数判断单调性，可得最小值，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+ax的导数为f′（x）=+a，在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1，可得f′（t）=+a=2，f（t）=2t﹣1=lnt+at，解得a=t=1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得f（x）=lnx+x，要证当x＞1时，，即证lnx＞k（1﹣）﹣1（x＞1），即为xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，可令g（x）=xlnx+x﹣k（x﹣3），g′（x）=2+lnx﹣k，由，x＞1，可得lnx＞0，2﹣k≥0，即有g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增，可得g（x）＞g（1）=1+2k≥0，故当x＞1时，恒成立；（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，假设存在正数x0，使得：．由e f（x0+1）﹣2x0﹣1+x02=e ln（x0+1）﹣x0+x02=（x0+1）•e﹣x0+x02．即对于b∈（0，1），存在正数x0，使得（x0+1）•e﹣x0+x02﹣1＜0，从而存在正数x0，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可．令H（x）=（x+1）•e﹣x+x2﹣1，H′（x）=e﹣x﹣（x+1）•e﹣x+bx=x（b﹣e﹣x），令H′（x）＞0，解得x＞﹣lnb，令H′（x）＜0，解得0＜x＜﹣lnb，则x=﹣lnb为函数H（x）的极小值点，即为最小值点．故H（x）的最小值为H（﹣lnb）=（﹣lnb+1）e lnb+ln2b﹣1=ln2b﹣blnb+b﹣1，再令G（x）=ln2x﹣xlnx+x﹣1，（0＜x＜1），G′（x）=（ln2x+2lnx）﹣（1+lnx）+1=ln2x＞0，则G（x）在（0，1）递增，可得G（x）＜G（1）=0，则H（﹣lnb）＜0．故存在正数x0=﹣lnb，使得．。
2016-2017学年山东省泰安市高一下学期期末数学试卷(答案+解析)
山东省泰安市2016-2017学年高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin15°cos15°的值是（）A．B．C．D．2．（5分）为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．2，4，8，16，32C．1，2，3，4，5 D．7，17，27，37，473．（5分）某单位在1～4 月份用电量（单位：千度）的数据如表：已知用电量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程 5.25，由此可预测5月份用电量（单位：千度）约为（）A．1.9 B．1.8 C．1.75 D．1.74．（5分）已知向量||=1，||=，，的夹角为45°，若=，，则在方向上的投影为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣5．（5分）已知圆x2+y2﹣2x+my=0上任意一点M关于直线x+y=0的对称点N也在圆上，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．26．（5分）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1，2x4﹣1，2x5﹣1的平均数，方差分别是（）A．3，B．3，C．4，D．4，7．（5分）已知一扇形的周长为20cm，当这个扇形的面积最大时，半径R的值为（）A．4 cm B．5cm C．6cm D．7cm8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．69．（5分）已知α为锐角，且5α的终边上有一点P（sin（﹣50°），cos130°），则α的值为（）A．8°B．44°C．40°D．80°10．（5分）已知角α，β均为锐角，且cosα=，sinβ=，则α﹣β的值为（）A．B．C．D．11．（5分）四边形ABCD中，AB=BC，AD⊥DC，AC=2，∠ACD=θ，若，则cos2θ等于（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=a sin x+b cos x，（ab≠0）的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数是奇函数，则直线ax﹣by+c=0的斜率为（）A．B．C．﹣D．﹣二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程是．14．（5分）若sin（x+）=，则sin（﹣x）+sin2（﹣x）+cos（2x+）=．15．（5分）已知△ABC中，AB=AC=4，BC=4，已知蚂蚁在△ABC的内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离△ABC的三个顶点距离均超过1的概率为．16．（5分）关于函数f（x）=cos（2x﹣）+sin（2x+），有①y=f（x）的最大值为；②y=f（x）的最小正周期是π③y=f（x）在区间[﹣，]上是减函数；④直线x=是函数y=f（x）的一条对称轴方程．其中正确命题的序号是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知sinα+cosα=﹣，α为第二象限角．（1）求sinα﹣cosα的值；（2）求的值．18．（12分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点．不包括右端点．如第一组表示收入在[1000，1500）.（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？19．（12分）某校男女篮球队各有10名队员，现将这20名队员的身高绘制成茎叶图（单位：cm）．男队员身高在180cm以上定义为“高个子”，女队员身高在170cm以上定义为“高个子”，其他队员定义为“非高个子”．按照“高个子”和“非高个子”用分层抽样的方法共抽取5名队员．（1）从这5名队员中随机选出2名队员，求这2名队员中有“高个子”的概率；（2）求这5名队员中，恰好男女“高个子”各1名队员的概率．20．（12分）如图，某市园林局准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC以外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花．若BC=a（a为定值），∠ABC=α，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2；（1）用a，α表示S1，S2（2）当α为何值时，取得最大值，并求出此最大值．21．（12分）已知圆O：x2+y2=4，圆O与x轴交于A，B两点，过点B的圆的切线为l，P 是圆上异于A，B的一点，PH垂直于x轴，垂足为H，E是PH的中点，延长AP，AE分别交l于F，C．（1）若点P（1，），求以FB为直径的圆的方程，并判断P是否在圆上；（2）当P在圆上运动时，证明：直线PC恒与圆O相切．22．（12分）设函数f（x）=•，其中=（2sin（+x），cos2x）．=（sin（+x），﹣），x∈R，（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）的周期和单调递增区间；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[，]上有解，求实数m的取值范围．【参考答案】一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．B【解析】sin15°cos15°=sin30°=，故选B．2．D【解析】从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，采用系统抽样间隔应为=10，只有D答案中的编号间隔为10，故选D．3．C【解析】∵=2.5，=3.5，线性回归方程是 5.25，∴3.5=2.5b+5.25，∴b=﹣0.7，∴y=﹣0.7x+5.25，x=5时，y=﹣3.5+5.25=1.75，故选C．4．B【解析】根据数量积的几何意义可知，在方向上的投影为||与向量，夹角的余弦值的乘积，∴在方向上的投影为||•cos，如图：||2=（）2=1+2+=5．||=cos=﹣∴则在方向上的投影为﹣1．故选B．5．D【解析】∵圆x2+y2﹣2x+my=0上任意一点M关于直线x+y=0的对称点N也在圆上，∴直线x+y=0经过圆心C（1，﹣），故有1﹣=0，解得m=2，故选D．6．A【解析】∵一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，∴另一组数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1，2x4﹣1，2x5﹣1的平均数为：2×2﹣1=3，方差为：=．故选A．7．B【解析】∵l=20﹣2R，∴S=lR=（20﹣2R）•R=﹣R2+10R=﹣（R﹣5）2+25∴当半径R=5cm时，扇形的面积最大为25cm2．故选B．8．C【解析】A=2，i=1，s=0＜A，s=1＜A，i=2，s=＜A，i=3，s=＜A，i=4，s=＜A，i=5，s=＞A，输出i=5，故选C．9．B【解析】∵α为锐角，∴5α∈（0°，450°）；∵5α的终边上有一点P（sin（﹣50°），cos130°），即点P（﹣sin50°，﹣cos50°），故点P在第三象限，即5α的终边在第三象限，再根据tan5α===cot50°=tan40°=tan（180°+40°）=tan220°，∴5α=220°，则α=44°，故选B．10．C【解析】∵角α，β均为锐角，且cosα=，sinβ=，∴sinα==，cosβ==，则sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=•﹣•=﹣，再根据α﹣β∈（﹣，），可得α﹣β=﹣，故选C．11．D【解析】如图所示，取AC的中点O，连接OD，OB，∵AB=BC，OA=OC，∴OB⊥AC，∴•=0；又∵=，=+，=（+），∴（+）•=•+•=（+）•=（+）•（﹣）=﹣+=①，又AD⊥DC，∴+==4②，由①②解得=，∴||=，∴cosθ==；∴cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=．故选D．12．D【解析】∵函数f（x）=a sin x+b cos x=sin（x+∅），（tanφ=），把函数f（x）的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数是g（x）=sin （x++∅），再由g（x）是奇函数可得=kπ，k∈z．∴tan∅=tan（kπ﹣）=﹣，即=﹣．故直线ax﹣by+c=0的斜率为=﹣，故选D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．x2+y2+2x﹣4y=0【解析】直线（a﹣1）x﹣y+a+1=0，即a（x+1）+（﹣x﹣y+1）=0，定点C的坐标是方程组的解，∴定点C的坐标是（﹣1，2），再由为半径可得圆的方程是（x+1）2+（y﹣2）2=5，即x2+y2+2x﹣4y=0，故答案为x2+y2+2x﹣4y=0．14．【解析】因为sin（x+）=，所以sin（﹣x）=sin（π﹣﹣x）=sin（x+）=，sin（﹣x）=sin[﹣（x+）]=cos（x+），则sin2（﹣x）=cos2（x+）=1﹣sin2（x+）=，cos（2x+）=cos2（x+）=1﹣2sin2（x+）=，所以sin（﹣x）+sin2（﹣x）+cos（2x+）==，故答案为．15．1﹣【解析】∵三角形的三边长分别是4，4，4，∴三角形的高AD=2，则△ABC的面积为S=×4×2=4；则该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1，对应的区域为图中阴影部分，三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的，圆的半径为1，则阴影部分的面积为S1=4﹣π•12=4﹣π，根据几何概型的概率公式得所求概率为P==1﹣．故答案为1﹣．16．②④【解析】由题意得，f（x）=cos（2x﹣）+sin（2x+）=cos2x+sin2x+sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=，①、当=1时，y=f（x）取到最大值为2，①不正确；②、由T=得，y=f（x）的最小正周期是π，②正确；③、由得，，所以y=f（x）在区间[﹣，]上不是单调函数，③不正确；④、当x=时，，所以直线x=是函数y=f（x）的一条对称轴方程，④正确，故答案为②④．三、解答题（共6小题，满分70分）17．解：（1）∵sinα+cosα=﹣，∴（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2sinαcosα=，∴又（sinα﹣cosα）2=（sinα+cosα）2﹣4sinαcosα=．∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα＞0．∴sinα﹣cosα=；（2）===．18．解：（1）月收入在[3000，3500）的频率为0.0003×500=0.15；（2）从左数第一组的频率为0.0002×500=0.1；第二组的频率为0.0004×500=0.2；第三组的频率为0.0005×500=0.25；∴中位数位于第三组，设中位数为2000+x，则x×0.0005=0.5﹣0.1﹣0.2=0.2⇒x=400．∴中位数为2400（元）由1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400，样本数据的平均数为2400（元）；（3）月收入在[2500，3000）的频数为0.25×10000=2500（人），∵抽取的样本容量为100．∴抽取比例为=，∴月收入在[2500，3000）的这段应抽取2500×=25（人）．19．解：（1）由题意及茎叶图得：“高个子”共8名队员，“非高个子”共12名队员，共抽取5名队员，故从“高个子”队员中抽取2名队员，记为A，B，从“非高个子”中抽取3名队员，记为a，b，c，从中选出2名队员共有=10种选法，分别为：AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，这2名队员中有“高个子”的选法有7种，分别是：AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，故选取2名队员中有“高个子”的概率是p1=．（2）由茎叶图知“高个子”男队员有4名，记为D，E，F，G，“高个子”女队员有4名，记为d，e，f，g，从中抽取2名队员，共有=28种抽法，分别为：DE，DF，DG，Dd，De，Df，Dg，EF，EG，Ed，Ee，Ef，Eg，FG，Fd，Fe，Ff，Fg，gd，Ge，Gf，Gg，de，df，dg，ef，eg，fg，其中，男女“高个子”各1名队员的抽法有16种，∴这5名队员中，恰好男女“高个子”各1名队员的概率p2=．20．解：（1）在Rt△ABC中，BC=a，∠ABC=α，∴AB=a cosα，AC=a sinα，∴S1==，设正方形PQRS的边长为x，则BP=，AP=x cosα，由BP+AP=，AB=a cosα，又AP+BP=AB，∴x==，∴S2=x2=（）2=．（2）==，令sin2α=t，由0＜α＜，得0＜2α＜π，∴0＜t≤1．∴==，0＜t≤1，设f（t）=t+（0＜t≤1），任取0＜t1＜t1≤1，则f（t1）﹣f（t2）=﹣=（t1﹣t2），＞0，∴f（t）=t++4在（0，1]上单调递减，∴f（t）≥9，∴0＜≤，∴的最大值为，此时α=．21．（1）证明：由P（1，），A（﹣2，0）∴直线AP的方程为．令x=2，得F（2，）．（2分）由E（1，），A（﹣2，0），则直线AE的方程为y=（x+2），令x=2，得C（2，）．（4分）∴C为线段FB的中点，以FB为直径的圆恰以C为圆心，半径等于．∴圆的方程为，且P在圆上；（2）证明：设P（x0，y0），则E（x0，），则直线AE的方程为在此方程中令x=2，得C（2，）直线PC的斜率为=﹣=﹣若x0=0，则此时PC与y轴垂直，即PC⊥OP；若x0≠0，则此时直线OP的斜率为，∵×（﹣）=﹣1∴PC⊥OP∴直线PC与圆O相切．22．解：（Ⅰ）=（2sin（+x），cos2x）．=（sin（+x），﹣），则f（x）=•=2sin2（x+）﹣cos2x=1﹣cos（2x+）﹣cos2x=1+sin2x﹣cos2x=1+2sin（2x﹣）；（Ⅱ）f（x）的周期为T==π，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，可得f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（Ⅲ）由x∈[，]，可得2x﹣∈[，]，sin（2x﹣）∈[，1]，则f（x）的值域为[2，3]，由m+2∈[2，3]，可得m∈[0，1]．。
山东省泰安市2015届高三上学期期末考试数学试题(理科)
山东省泰安市2015届高三上学期期末考试数学试题（理科）【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.2015.1【题文】一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1.集合{}{}{}3,2,,4a A B a b A B A B ==⋂=⋃，则，则等于A. {}234，， B. {}341，， C. {}0,1,2,3D. {}1,2,3,4【知识点】集合的并集 A1【答案】 A 解析：因为{}4A B ⋂=，所以24a=，解得2a =，由集合B 可得4b =，所以{}{}3,4,2,4A b ==，{}2,3,4A B ⋃=可得故选A .【思路点拨】由{}4A B ⋂=可得2a =进而得到4b =，即可得到集合A,B ，再由并集定义求得. 【题文】2.已知a R ∈，则“2a a <”是“1a <”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【知识点】充分必要条件 A2【答案】 A 解析：因为由2a a <，可得01a <<，所以“2a a <”是“1a <”的充分而不必要条件.故选A. 【思路点拨】找到不等式2a a <的解集为01a <<，然后根据“小范围能推大范围，大范围推不出小范围”进行判断.【题文】3.正项等比数列{}n a 的公比为2，若21016a a =，则9a 的值是 A.8 B.16 C.32 D.64 【知识点】等比数列的性质 D3【答案】 C 解析：因为21016a a =且等比数列各项为正，由等比中项可得64a =，而可得3964832a a q ==⨯=.故选C【思路点拨】由等比中项可得64a =，再由等比数列公式可得3964832a a q ==⨯=.【题文】4.已知命题4:0,4p x x x ∀>+≥：命题001:,22x q x R +∃∈=.则下列判断正确的是 A.p 是假命题B.q 是真命题C.()p q ∧⌝是真命题D.()p q ⌝∧是真命题【知识点】复合命题的真假 A3 【答案】 C 解析：命题4:0,4p x x x ∀>+≥由基本不等式可得为真命题，而命题01:22x q =的解为01x R +=-∉，所以为假命题，由复合命题的真值表可得C 正确.故选C. 【思路点拨】由基本不等式可得命题p 为真命题，解0122x =可得命题q 为假命题，再结合复合命题的真值表可得.【题文】5.已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是 A. ,////m n m n αα⊂⇒B. ,m n m n αα⊂⊥⇒⊥C. ,////m n n m αβαβ⊂⊂⇒D. ,n n βααβ⊂⊥⇒⊥【知识点】空间中的直线与平面的位置关系 G4 G5【答案】 D 解析：A. 因为,////m n m n n ααα⊂⇒⊂或，所以不正确；B. ,m n m α⊂⊥不能确定n α与关系，所以不正确；C. ,//m n n m αβ⊂⊂，若两平面相交且,m n 都平行于交线，也可以满足，所以不正确；D.直线垂直于平面，则过该直线的所有的面都与此面垂直，所以正确.故选D.【思路点拨】A.中直线还可以在平面内；B.中n α与的关系不能确定；C. 若两平面相交且,m n 都平行于交线，也可以满足；D.由线面垂直的性质定理可得正确.【题文】6.若变量,x y 满足条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的取值范围为A. 5,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 55,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【知识点】线性规划 E5【答案】 A 解析：根据线性条件画出可行域如图：令2,z x y =+可得22x z y =-+由图像可知当过点1,12B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，目标函数有最小值为()152122-+⨯-=-.故选A.【思路点拨】由线性条件画出可行域，目标函数为22x zy =-+是一组平行线，可得当过B 点时为最小值. 【题文】7.下列函数中，与函数,0,1,0x x e x y x e ⎧≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩的奇偶性相同，且在(),0-∞上单调性也相同的是A. 1y x =-B. 22y x =+C. 33y x =-D. 1log ey x =【知识点】函数的奇偶性单调性 B3 B4【答案】 B 解析：因为函数,0,1,0x xe x y x e ⎧≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩当0x >时，()()10,x x xf x e f x e -⎛⎫-<-=== ⎪⎝⎭，当0x <时，()()()10,xxx f x e f x e -⎛⎫->-=== ⎪⎝⎭，所以函数为偶函数，排除A,C ，且在(),0-∞上单调减，排除D.故选B. 【思路点拨】由函数的奇偶性可得为偶函数，由函数的性质可得在(),0-∞上单调减，逐一检验即可. 【题文】8.设函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，将()y f x =的图象向左平移8π个单位得函数()y g x =的图象，则 A. ()02g x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递减B. ()344g x ππ⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递减 C. ()02g x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递增D. ()344g x ππ⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递增【知识点】三角函数的图象与性质 C4【答案】 A 解析：由题意可得：()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭因为最小正周期为π，所以可得2ω=，即()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其图象向左平移8π个单位得函数()sin 2sin 2cos 2842y g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由余弦函数图像的性质可得()02g x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递减.故选A【思路点拨】由辅助角公式可得()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由最小正周期为π，可得()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由图像的平移变换可得()cos 2g x x =，再由余弦函数图像的性质可得结果.【题文】9.设函数()f x 的零点为()1,422xx g x x =+-的零点为2x ，若()120.25x x f x -≤，则可以是A. ()21f x x =-B. ()24xf x =-C. ()()ln 1f x x =+D. ()82f x x =-【知识点】函数的零点 B9【答案】 D 解析：因为()1310120,0,2120422g g g ⎛⎫⎛⎫=-<=-<=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且函数()g x 为增函数，所以零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，又因为120.25x x -≤，所以可得函数()f x 的零点在区间13,24⎛⎫⎪⎝⎭内，只有D 的零点满足.故选D.【思路点拨】根据零点存在性定理可得()g x 零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，由120.25x x -≤可得函数()f x 的零点在区间13,24⎛⎫⎪⎝⎭内，逐一检验即可. 【题文】10.定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()()1,00,f x f x f f x f x ''>-=是的导函数，则不等式()1x x e f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为A. ()(),10,-∞-⋃+∞B. ()0,+∞C. ()(),01,-∞⋃+∞D. ()1,-+∞【知识点】导数的应用 B12 【答案】 B 解析：由题意可得： 即函数()()()()()()1'10'0x x x f x f x f x f x e f x e f x e '>-⇒+->⇒+->为增函数，而()()0011g f =-=-，所以不等式()1x x e f x e >-的解集，即()1x x e f x e ->-的解集为()0,+∞.故选B.【思路点拨】根据()()1,f x f x '>-构造不等式()()'0x x x e f x e f x e +->，既得函数()()x xg x e f x e =-为增函数，由()()0011g f =-=-，可解得不等式解集.【题文】二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置. 【题文】11.已知向量()()()3,1,0,1,,3.2m n k t m n k ==-=-若与共线，则t= ▲ .【知识点】向量共线的坐标表示F2 【答案】 1t =解析：由已知可得()23,3m n -=3t =⨯，解得1t =.故答案为1t =【思路点拨】两向量共线的充要条件：1221x y x y =可求得. 【题文】12.设α为锐角，若4cos sin 6512ππαα⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 ▲ . 【知识点】三角变换 C7 【答案】 解析：因为α为锐角，所以可得2663πππα<+<，所以有3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而sin sin sin cos cos sin 12646464πππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-+⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==.故答案为. 【思路点拨】通过凑角由1264πππαα⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，然后利用两角差的正弦展开式求得. 【题文】13.若()()123f x x f x dx =+⎰，则()1f x dx ⎰= ▲ .【知识点】定积分 B13 【答案】 16-解析：因为()()()()()()13111112000000133333x f x dx x f x dx dx f x dx x f x dx =+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰，可得()116f x dx =-⎰.故答案为16-.【思路点拨】因为()1f x dx⎰为一个常数，所以对整个函数求定积分可得()()()()()()131111120000133333x f x dxx f x dx dx f x dx x f x dx =+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰，整理即可求得.【题文】14.20y -+=100y --=截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是 ▲ . 【知识点】直线与圆的位置关系 H4【答案】 25π解析：因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两直线距离的一半，即3d =，又因为直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径5r ==，所以圆C 的面积是25π.故答案为25π【思路点拨】根据题意确定圆心在两平行直线的中间，即圆心到直线的距离d 为两直线距离的一半，由两平行直线的距离求得圆心得到直线的距离，进而由勾股定理可得圆的半径.【题文】15.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 ▲ .【知识点】三视图 正方体的体积 G2【答案】 32解析：如图，红色虚线表示截面，可见这个截面将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积即是原正方体的体积的一半，1444322V =⨯⨯⨯=.故答案为32.【思路点拨】由图像的直观图可得，截面将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积即是原正方体的体积的一半.【题文】三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.） 16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 2.c A b ⋅= （I ）求角C 的大小；（II ）若b =，ABC ∆2A ，求a 、c 的值.【知识点】解三角形 C8 【答案】（I ）6π；（II ）1.解析：（I ）由2sin 2C A b =可得：2sin cos 2sin C A B A =-即：()2sin cos 2sin C A A C A =+即：2sin cos 2sin cos 2cos sin C A A C A C A =+-整理可得：2sin cos 0C A A =即：(sin 2cos 0A C -=又(),0,,sin 0,cos 6A C A C C ππ∈∴>=∴=； （II ）3,,6b a C π==2111sin ..222ABCSab C a ∴===又2,ABCSA ∴=22sin 4a A ∴=故有：sin 2aA = 即：2sin aA= 由正弦定理可得：,2sin sin sin a c cA C C=∴= 2sin 1c C ∴==，由余弦定理可得：2222cos a b c ab C +-=即：2231 2.a a a +-= 整理可得：222413,1,1a a a a -=∴=∴=【思路点拨】由正弦定理可得2sin cos 2sin C A B A =，再由()sinB sin A c =+化简即可得到cos 6C C π==；由面积公式可得sin 2a A =，有正弦定理可得2sin c C =，由余弦定理可得1a =. 【题文】17.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,4,3,AA AB AC BC D ====为AB 的中点，且11AB AC ⊥（I ）求证：11AB A D ⊥；（II ）求二面角1A AC D --的平面的正弦值. 【知识点】线线垂直 二面角 G5 G11【答案】（I ）略：（II . 解析： 如图：三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱1AA ABC ∴⊥平面，又CD ⊂平面ABC 1AA CD ∴⊥又,CD CB D =为AB 中点CD AB ∴⊥又1AA AB A ⋂=，CD ∴⊥平面1AB 又1AB ⊂平面1AB1CD AB ∴⊥又111,AB AC CD AC C ⊥⋂= 1AB ∴⊥平面1ACD 又1A D ⊂平面1ACD 11AB A D ∴⊥（II ）由（I ）知，1AB ⊥平面1ACD ，交1A D 于点E ， ∴过A 作1AF AC ⊥与点F,连接EF1AC ∴⊥平面AEF ，1AC EF ∴⊥ 则AEF ∠为所求二面角1A AC D --的平面角 在1Rt A AD中，112,2,A A AD A D ===1.AA ADAE AD∴==同理可得：11.AA AC AF A C ==sin AE AFE AF ∴∠==故二面角1A AC D --. 【思路点拨】通过证明1CD AB ⊥， 11AB AC ⊥，1AC CD C ⋂=，证明1AB ⊥平面1A CD ，进而得到11AB A D ⊥；过A 作1AF AC ⊥与点F,连接EF ,则AEF ∠为所求二面角1A AC D --的平面角，在1Rt A AD 中，求得AE =，同理可得：AF =即可求得sin AE AFE AF ∠==. 【题文】18.（本小题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：()21262n n n S S S n n N *++++=-∈.（I ）若数列{}n a 是等差数列，求{}n a 的通项公式. （II ）若121a a ==，求50S .【知识点】等差数列的性质 数列求和 D2 D4 【答案】（I ）46n a n =-；（II ）4028.解析：（I ）由题意可得：设数列的公差为d ，当n=1时，123624S S S ++=-= 即()()1121231644a a a a a a a d +++++=+= 整理可得：1322a d +=(1)当2n =时，223462222S S S ++=⨯-=即()()()11112334691022a d a d a d a d +++++=+=(2) 由(1)（2）可得：12,4a d =-= 所以46n a n =-所以等差数列的通项公式为46n a n =-； （II ）因为()21262n n n S S S n n N*++++=-∈(1)所以：当2n ≥时，有()211612n n n S S S n -+++=--(2) （1）-（2）可得：()121262n n n a a a n n ++++=-≥，所以()()()50125012345678484950S a a a a a a a a a a a a a a =+++=+++++++++++()()()21236126612486=+⨯-+⨯-++⨯-⎡⎤⎣⎦()2123648616=+⨯++-⨯⎡⎤⎣⎦4028=【思路点拨】分别令1,2n n ==联立解得12,4a d =-=，即可得46n a n =-；由题意当2n ≥时，有()211612n n n S S S n -+++=--与已知式子做差，可得()121262n n n a a a n n ++++=-≥，得到数列的的每三项和的特点，进而求和.【题文】19.（本小题满分12分）某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y （单位：万元）与投资x （单位：万元）满足：()ln 3f x a x bx =-+（,,,a b R a b ∈为常数），且曲线()y f x =与直线y kx =在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图像经过点（4，4）. （I ）分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；（II ）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元.问怎样分配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ （参考数据：ln 10 2.303,ln15 2.708,ln 20 2.996,ln 25 3.219,ln 30 3.401======） 【知识点】导数的应用 B12【答案】（I ）()()3ln 30f x x x =+>，()g x =；（II ）当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为21.124万元.解析：（I ） 函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()'af x b x=- 因为点()1,3在直线y kx =上，故有3k = 又曲线()y f x =与直线3y x =在()1,3处相切，故有：()()'133013f a b f =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩ 所以甲产品的利润与投资资金间的函数关系式为：()()3ln 30f x x x =+> 由题意可得乙产品的利润与投资资金间的函数关系式为()g x m =， 将点()4,4代入可得2m =，所以乙产品的利润与投资资金间的函数关系式为()g x =； （II ）设甲产品投资x 万元，则乙产品投资（40-x ）万元，且[]10,30x ∈ 则该公司所得利润为：3ln 3y x =++故有'3x y =令'0y >解得1015x ≤< 令'0y <解得1530x ≤<所以15x =为函数的极大值点，也是函数的最大值点，min 3ln15321.124y =++=(万元)所以：当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为21.124万元.【思路点拨】由已知可得()()'1313f f =⎧⎪⎨=⎪⎩解得30a b =⎧⎨=⎩可得()()3ln 30f x x x =+>，将已知点()4,4代入()g x =()g x =；设甲产品投资x 万元，则乙产品投资（40-x ）万元，且[]10,30x ∈则该公司所得利润为：3ln 3y x =++. 【题文】20.（本小题满分13分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点为12F F 、，，直线l 与椭圆相交于A 、B两点，且满足121,2OA OB AF AF K K +=⋅=-O 为坐标原点.（I ）求椭圆的方程; （II ）求OA OB ⋅的最值.【知识点】椭圆方程 直线与圆锥曲线 H5 H8【答案】（I ）22184x y +=；（II）. 解析：（I，可得：a =又122a AF AF =+=2,2a c b ∴=∴==所以椭圆方程为：22184x y +=；（II ）设直线AB 的方程为y kx m =+，设()()1122,,,A x y B x y联立22184y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得：()222124280kxkmx m +++-=()()()()222224412288840km k m k m =-+-=-+>2121222428,.1212km m x x x x k k --+==++ 21221211.,22OA OBy y b k k a x x =-=-∴=-21212214212m y y x x k-∴=-=-+ 又()()()2222121212122812m k y y kx m kx m k x x km x x m k-=++=+++=+ 2224281212km m k k --∴=++，()2222248,42m m k k m ∴--=-∴+= 2212122222844.2121212m m OA OB x x y y k k k--=+=-=-+++ 所以224.2OAOB -=-≤<当k=0(此时22m =满足上式)，即直线AB 平行于x 轴时，.OAOB 最小值为-2， 当斜率不存在时，有2121121221211,,k .k .2OA OB y y y x x y y x x x ====-=- 所以22112x y =将点A 坐标代入椭圆方程，可得：212y = 所以212121.2OAOB x x y y y =+== 所以.OAOB 最大值为2，综上所述：.OAOB 最小值为-2，最大值为2.，可得：a =，由椭圆的定义可得a =可得2121222428,.1212km m x x x x k k --+==++，由221.,2OA OBb k k a =-=-可得121212y y x x =-即21212214212m y y x x k -=-=-+，再由直线可得()()()2222121212122812m k y y kx m kx m k x x km x x m k-=++=+++=+，列的等式解得2242k m +=，因为2212122222844.2121212m m OA OB x x y y k k k--=+=-=-+++，224.2OAOB -=-≤<，当斜率不存在时，.2OAOB =，所以可得其范围.【题文】21.（本小题满分14分） 设函数()()11ln .22f x m x x m R x=-+∈. （I ）当54m =时，求()f x 的极值； （II ）设A 、B 是曲线()y f x =上的两个不同点，且曲线在A 、B 两点处的切线均与x 轴平行，直线AB 的斜率为k ，是否存在m ，使得1?m k -=若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由.【知识点】导数的应用 B12 【答案】（I ）()()()35135=2ln 2,=ln 2.44244f x f f x f ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭极大值极小值（II ）故不存在这样的m 使得1k m =-.解析：（I ） 函数()f x 的定义域为()0,+∞()2221'2x mx f x x-+=- （I ）当54m =时，()()222152122'22x x x x f x x x ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=-=- 令()'0f x =解得：2x =或12x =所以，当x 变化时，()()',f xf x 变化情况如下表：由上表可知：()()()35135=2ln 2,=ln 2.44244f x f f x f ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭极大值极小值（II ）设()()112212,y ,0A x y B x x x ≤< 令()221g x x mx =-+由题意可得()()12''0f x f x <=，所以()()12''0g x g x == 所以12,x x 为方程2210x mx -+=的两个根 故121x x =，且2440m =->即21m >()()121122121111''ln ln 2222f x f x m x x m x x x x -=-+-+- ()()1212ln ln m x x x x =--- 若存在实数m 使得1k m =- 则()()()12121212ln ln 11f x f x m x x k m x x x x --==-=-+--()1212ln ln m x x m x x -=-所以1212n ln 1l x x x x -=-即：1212n ln l x x x x -=-，又1212.1,0,x x x x =<<111112ln 0,01x x x x ∴--=<< 令()12ln ,01h t t t t t=--<<()22121'110h t t t t ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭所以()h t 在()0,1上单调递减， 所以()()10h t h <= 即：11112ln 0,x x x ∴--<与111112ln 0,01x x x x ∴--=<<矛盾 故不存在这样的m 使得1k m =-【思路点拨】对函数求导，令导函数为零，解得零点，由左右单调性判断是否为极值，即可求得极值；令()221g x x mx =-+由题意可得12,x x 为方程2210x mx -+=的两个根，()()12''f x f x -()()1212ln ln m x x x x =---若存在实数m使得1k m =-则()()()12121212ln ln 11f x f x m x x k m x x x x --==-=-+--所以1212n ln 1l x x x x -=-即：1212n ln l x x x x -=-，又1212.1,0,x x x x =<<111112ln 0,01x x x x ∴--=<< 令()12ln ,01h t t t t t=--<<，可证得 ()()10h t h <=，故不存在这样的m 使得1k m =-.。