必修一高一数学第一学期期中考试试卷
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
2023-2024学年河南省南阳市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．∅B．A C．B D．A∪B2．命题“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是（）A．方程x2﹣8x+15＝0有一个根不是偶数B．方程x2﹣8x+15＝0至少有一个根不是偶数C．方程x2﹣8x+15＝0至多有一个根不是偶数D．方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数3．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f(x)=1e x+e−x B．f(x)=1e x−e−xC．f(x)=e x−e−xe x+e−x D．f(x)=ex+e−xe x−e−x4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln54≈0.223，由此可知ln5的近似值为（）A．1.519B．1.726C．1.609D．1.3165．已知a=243，b=425，c=2013，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b6．通过北师大版必修一教材57页的详细介绍，我们把y＝[x]称为取整函数．那么“[x]＝[y]”是“|x﹣y|＜1”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要7．若关于x的不等式1x−a ＞1x−b的解集是{x|1＜x＜3}，则下列式子中错误的是（）A．a﹣b＜0B．a+b＝4C．a＝1，b＝3D．a＝3，b＝18．已知函数f(x)={−2x 2+4x ，x ≤2，x−2x+1，x ＞2，若存在三个不相等的实数x 1，x 2，x 3使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则f （x 1+x 2+x 3）的取值范围是（ ） A ．(25，1)B ．(25，+∞)C ．(25，2)D ．（2，+∞）二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．满足函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调的实数a 的值可能是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．610．下列函数中，具备奇偶性的函数是（ ） A ．f(x)=(√x)2B ．f(x)=1+22x−1C ．f(x)={−x ，x ＜−11，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.D ．f(x)=√4−x 22−|x−2|11．已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ），且对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则下列结论正确的有（ ）A ．f （1.2）＞f （1.5）B ．2a +b ＝0C ．f(−√2)＜f(√3)D ．abc ＜012．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则下列结论成立的是（ ） A ．1a +1b的最小值为4B ．1a +ab 的最小值为3C ．11−a+12−b的最小值为2D ．a +1b的最小值为1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4），则a +b ＝ ． 14．若函数f （x ）的定义域是[2，5]，则函数y =f(2x−3)√x 2−2x−3的定义域是 ．15．已知f （x ）＝x 2+|x |+2；则不等式f （x +1）＜8的解集是 ．16．如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为√6，则该等腰三角形的面积最大值为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（1）已知x+x﹣1＝3，求是x 12+x−12值；（2）计算：2−12+2+(1−√2)−1−823+2lg5lg20+(lg2)2．18．（12分）已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）在[1+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）求函数g(x)=√x2+4x2+5的值域．19．（12分）已知集合A＝{x|x2+ax﹣a﹣1＜0，a∈R}，B＝{x|2＜x＜3}．（1）若0∈A且2∉A，求实数a的取值范围；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．20．（12分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件20元，出厂价为每件24元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+600．（1）设袁阳每月获得的利润为ω（单位：元），写出每月获得的利润ω与销售单价x的函数关系；（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？21．（12分）已知log a b+log b a=52，a b＝b a，其中a＞b＞1．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）＝m•a x+b x+1在定义域[1，2]上为增函数，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＞0时，f（x）＝2x+a，a∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求函数f（x）的表达式；（2）若函数f（x）是奇函数且在R上单调，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，若关于x的方程（（f（x）+2+a）（f（x）﹣a）＝0有三个不等的实数根，求实数a的取值范围．2023-2024学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．∅B．A C．B D．A∪B解：集合A＝{x|1＜x＜3}，则B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}＝{y|1＜y＜5}，故A∩B＝A．故选：B．2．命题“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是（）A．方程x2﹣8x+15＝0有一个根不是偶数B．方程x2﹣8x+15＝0至少有一个根不是偶数C．方程x2﹣8x+15＝0至多有一个根不是偶数D．方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数解：“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是：方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数．故选：D．3．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f(x)=1e x+e−x B．f(x)=1e x−e−xC．f(x)=e x−e−xe x+e−x D．f(x)=ex+e−xe x−e−x解：对于A，f(0)=12，与图象不相符，故A错误；对于B，f（0）无意义，与图象不相符，故B错误；对于C，函数定义域为R，f（0）＝0，f(−x)=e−x−e xe−x+e x=−f(x)，函数为奇函数，符合图象，故C正确；对于D，f（0）无意义，与图象不相符，故D错误．故选：C．4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln 54≈0.223，由此可知ln 5的近似值为（ ）A ．1.519B ．1.726C ．1.609D ．1.316解：因为ln 2≈0.693，ln 54≈0.223=ln 5﹣2ln 2＝ln 5﹣1.386，由此可知ln 5≈1.609．故选：C ． 5．已知a =243，b=425，c=2013，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解：∵a =243=√163，b =425=√165，c =2013=√203，y =x 13=√x 3是R 上的增函数，20＞16，∴√203＞√163，即c ＞a ．再根据√163＞√165，可得a ＞b ． 综上可得，c ＞a ＞b ． 故选：A ．6．通过北师大版必修一教材57页的详细介绍，我们把y ＝[x ]称为取整函数．那么“[x ]＝[y ]”是“|x ﹣y |＜1”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要解：若[x ]＝[y ]，设[x ]＝[y ]＝m ，则x ＝m +a （0≤a ＜1），y ＝m +b （0≤b ＜1）， ∴x ﹣y ＝a ﹣b ∈（﹣1，1），∴|x ﹣y |＜1，反之，令x ＝1.1，y ＝0.9，则满足|x ﹣y |＝0.2＜1，但[x ]＝1，[y ]＝0，[x ]≠[y ]， ∴[x ]＝[y ]是|x ﹣y |＜1的充分不必要条件． 故选：A ． 7．若关于x 的不等式1x−a＞1x−b的解集是{x |1＜x ＜3}，则下列式子中错误的是（ ）A ．a ﹣b ＜0B ．a +b ＝4C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝3，b ＝1解：由1x−a＞1x−b，得1x−a−1x−b＞0，化简得，a−b(x−a)(x−b)＞0，即（a ﹣b ）（x ﹣a ）（x ﹣b ）＞0，∵不等式1x ＞a＞1x−b的解集是{x |1＜x ＜3}，∴a ﹣b ＜0，且1和3是方程（x ﹣a ）（x ﹣b ）＝0的两个根， ∴a ＝1，b ＝3，∴a +b ＝4，故A 正确，B 正确，C 正确，D 错误． 故选：D ．8．已知函数f(x)={−2x 2+4x ，x ≤2，x−2x+1，x ＞2，若存在三个不相等的实数x 1，x 2，x 3使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则f （x 1+x 2+x 3）的取值范围是（ ） A ．(25，1)B ．(25，+∞)C ．(25，2)D ．（2，+∞）解：函数f （x ）={−2x 2+4x ，x ≤2x−2x+1，x ＞2的图象如图所示：由f （x ）在（﹣∞，2]上关于x ＝1对称，且f max （x ）＝2， 当x ∈（2，+∞）时，f （x ）=x−2x+1=1−3x+1是增函数， 且f （x ）=x−2x+1=1−3x+1∈（0，1）， 所以x 1+x 2＝2，x 3∈（2，+∞）， 所以x 1+x 2+x 3∈（4，+∞），又f （4）=4−24+1=25， 故f （x 1+x 2+x 3）∈（25，1）．故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．满足函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调的实数a 的值可能是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：因为函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调，所以1＜12a ＜3，即2＜a ＜6．故选：ABC ．10．下列函数中，具备奇偶性的函数是（ ） A ．f(x)=(√x)2B ．f(x)=1+22x−1C ．f(x)={−x ，x ＜−11，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.D ．f(x)=√4−x 22−|x−2|解：根据题意，依次分析选项：对于A ，f （x ）＝（√x ）2，其定义域为[0，+∞），不关于原点对称， 则该函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B ，f （x ）＝1+22x−1，其定义域为R ， 有f （﹣x ）+f （x ）＝1+22−x −1+1+22x −1=2+2⋅2x1−2x +22x−1=0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 则该函数为奇函数，符合题意；对于C ，f(x)={−x ，x ＜−11，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.其定义域为{x |x ≠±1}，当x ＜﹣1时，﹣x ＞1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝﹣x ， 当﹣1＜x ＜1时，﹣1＜﹣x ＜1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝1， 当x ＞1时，﹣x ＜﹣1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝x ，综合可得：∀x ∈{x |x ≠±1}，都有f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）为偶函数，符合题意；对于D ，f （x ）=√4−x 22−|x−2|，则有{4−x 2≥02−|x −2|≠0，解可得﹣2≤x ≤2且x ≠0，即函数的定义域为{x |﹣2≤x ≤2且x ≠0}， 则f （x ）=√4−x 2x，则有f （﹣x ）=−√4−x 2x=−f （x ），则f （x ）为奇函数．故选：BCD ．11．已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ），且对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则下列结论正确的有（ ）A ．f （1.2）＞f （1.5）B ．2a +b ＝0C ．f(−√2)＜f(√3)D ．abc ＜0解：因为二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ）， 即函数的图象关于x ＝1对称，故−b2a=1，所以b +2a ＝0，B 正确； 对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，所以f （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，所以a ＜0，b ＝﹣2a ＞0，但c 的正负无法确定，D 错误；根据函数的对称性可知，f （x ）在（1，+∞）上单调递减，则f （1.2）＞f （1.5），A 正确， 又f （−√2）＝f （2+√2）＜f （√3），C 正确． 故选：ABC ．12．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则下列结论成立的是（ ）A ．1a +1b的最小值为4B ．1a +ab 的最小值为3C ．11−a+12−b的最小值为2D ．a +1b的最小值为1解：对于A ，1a +1b =(a +b)(1a +1b )=2+b a +a b ≥2+2√b a ⋅a b=4，当且仅当a ＝b =12时，取等号，故A 正确；对于B ，1a =a+b a =1+b a ，故1a +a b =1+b a +a b ≥1+2√b a ⋅a b=3，当且仅当a ＝b =12时，取等号，故B 正确；对于C ，由a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，可知（1﹣a ）+（2﹣b ）＝3﹣（a +b ）＝2，且1﹣a ＞0，2﹣b ＞0， 11−a+12−b=12[(1−a)+(2−b)](11−a+12−b)=12(2+2−b 1−a+1−a 2−b)≥12(2+√2−b 1−a ⋅1−a 2−b)=2， 不等式取等号的条件是1﹣a ＝2﹣b ＝1，即a ＝0，b ＝1，与题设a +b ＝1矛盾，故11−a+12−b的最小值大于2，C 不正确；对于D ，a +1b −1=1b −b =1−b 2b =(1+b)(1−b)b ＞0，故a +1b＞1，最小值大于1，故D 不正确．故选：AB ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4），则a +b ＝ 3 ． 解：幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4）， ∴{a 2−2a +2=1f(2)=2b =4，解得a ＝1，b ＝2，则a +b ＝1+2＝3． 故答案为：3．14．若函数f （x ）的定义域是[2，5]，则函数y =f(2x−3)√x 2−2x−3的定义域是 （3，4] ．解：由题意得，{2≤2x −3≤5x 2−2x −3＞0，解得3＜x ≤4．故答案为：（3，4]．15．已知f （x ）＝x 2+|x |+2；则不等式f （x +1）＜8的解集是 （﹣3，1） ．解：对于f （x ）＝x 2+|x |+2，当x ≥0时，f （x ）＝x 2+x +2，当x ＜0时，f （x ）＝x 2﹣x +2， 所以f(x)={x 2+x +2，x ≥0x 2−x +2，x ＜0，当x +1≥0时，即x ≥﹣1时，不等式f （x +1）＜8可化为（x +1）2+（x +1）+2＜8，即x2+3x﹣4＜0，解得﹣4＜x＜1，所以﹣1≤x＜1；当x+1＜0时，即x＜﹣1时，不等式f（x+1）＜8可化为（x+1）2﹣（x+1）+2＜8，即x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，所以﹣3＜x＜﹣1；综上，不等式f（x+1）＜8的解集为（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．16．如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为√6，则该等腰三角形的面积最大值为4．解：如图所示：作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则AE＝EB，EF＝FB，设DF＝h，FB＝b，故AF＝3b，在△ADF中：6＝9b2+h2≥2√9b2×ℎ2=6bh，即bh≤1，当且仅当9b2＝h2，即h=√3，b=√33时等号成立，S△ABC＝2S△ABD＝4bh≤4．故答案为：4．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（1）已知x+x﹣1＝3，求是x 12+x−12值；（2）计算：2−12+40√2+(1−√2)−1−823+2lg5lg20+(lg2)2．解：（1）由于(x 12+x12)2=x+x−1+2=5，又x 12+x−12＞0，故x12+x12=√5；（2）原式=√222−（√2+1）﹣4+2＝﹣3．18．（12分）已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）在[1+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）求函数g(x)=√x2+4x2+5的值域．解：（1）函数f（x）在[1+∞）上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，x2x1＞1，则f(x2)−f(x1)=(x2+1x2)−(x1+1x1)=x2−x1+1x1=(x2−x1)(x2x1−1)x2x1＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）是[1，+∞）上的增函数．（2）令t=√x2+4(t≥2)，则t2﹣4＝x2，于是g（x）的值域即为求ℎ(t)=tt2+1=1t+1t的值域，由（1）知函数y=t+1t(t≥2)在[2，+∞）是单调递增的，所以当t＝2时，即√x2+4=2，即x＝0处y取最小值y min=2+12=52，所以0＜1t+1t≤25，所以函数g(x)=√x2+4x2+5的值域为(0，25]．19．（12分）已知集合A＝{x|x2+ax﹣a﹣1＜0，a∈R}，B＝{x|2＜x＜3}．（1）若0∈A且2∉A，求实数a的取值范围；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：（1）由0∈A且2∉A，得{−a−1＜0a+3≥0，∴a＞﹣1，∴a的取值范围为（﹣1，+∞）；（2）由p是q的必要不充分条件，∴B⫋A，∵x2+ax﹣a﹣1＝（x﹣1）（x+a+1）＜0，且B＝{x|2＜x＜3}，故A＝{x|1＜x＜﹣a﹣1}，∴{1＜−a−1−a−1≥3，∴a≤﹣4，∴a的取值范围为（﹣∞，﹣4]．20．（12分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件20元，出厂价为每件24元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+600．（1）设袁阳每月获得的利润为ω（单位：元），写出每月获得的利润ω与销售单价x 的函数关系；（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？解：（1）依题意可知每件的销售利润为（x ﹣20）元，每月的销售量为（﹣10x +600）件，所以每月获得的利润ω与销售单价x 的函数关系为ω＝（x ﹣20）（﹣10x +600）（20≤x ≤60）；（2）由每月获得的利润不小于3000元，即（x ﹣20）（﹣10x +600）≥3000，即x 2﹣80x +1500≤0，即（x ﹣30）（x ﹣50）≤0，解得30≤x ≤50，又因为这种节能灯的销售单价不得高于40元，所以30≤x ≤40，设政府每个月为他承担的总差价为p 元，则p ＝（24﹣20）（﹣10x +600）＝﹣40x +2400，由30≤x ≤40，得800≤p ≤1200，故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为[800，1200]元．21．（12分）已知log a b +log b a =52，a b ＝b a ，其中a ＞b ＞1． （1）求实数a ，b 的值；（2）若函数f （x ）＝m •a x +b x +1在定义域[1，2]上为增函数，求实数m 的取值范围．解：（1）设log b a ＝k ，则k ＞1，因为log a b +log b a =52， 可得k +1k =52，所以k ＝2，则a ＝b 2． 又a b ＝b a ，所以b 2b =b b 2，即2b ＝b 2，又a ＞b ＞1，解得b ＝2，a ＝4．（2）由（1）以及函数f （x ）＝m •a x +b x +1，得f （x ）＝m •4x +2x +1，令t ＝2x ，x ∈[1，2]，则y ＝mt 2+t +1，t ∈[2，4]．为使f （x ）在[1，2]上为增函数，则m ＝0或{m ＞0−12m ＜2或{m ＜0−12m≥4，解得m ＝0或m ＞0或−18≤m ＜0． 综上，m 的取值范围为[−18，+∞)． 22．（12分）已知函数f （x ）的定义域为R ．当x ＞0时，f （x ）＝2x +a ，a ∈R ．（1）若函数f （x ）为奇函数，求函数f （x ）的表达式；（2）若函数f （x ）是奇函数且在R 上单调，求实数a 的取值范围；（3）在（1）的条件下，若关于x 的方程（（f （x ）+2+a ）（f （x ）﹣a ）＝0有三个不等的实数根，求实数a 的取值范围．解：（1）当x ＝0时，f （0）＝0；当x ＜0时，f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（2﹣x +a ）＝﹣2﹣x ﹣a ；故f(x)={2x +a ，x ＞00，x =0−2−x −a ，x ＜0．（2）因为当x ＞0时，f （x ）＝2x +a 是单调增函数，所以若f （x ）在R 上单调，则f （x ）必为R 上的单调增函数，只须满足﹣20﹣a ≤0≤20+a ，得a ≥﹣1，实数a 的取值范围是[﹣1，+∞）；（3）由方程（f （x ）+2+a ）（f （x ）﹣a ）＝0⋯（*），可得f （x ）＝﹣2﹣a 或f （x ）＝a ，由题意可知，f （x ）不可能是单调函数，故a ＜﹣1，又因为方程（*）有三个不等的实数根，且a ＜1+a ，所以只须1+a ＜﹣2﹣a ＜﹣1﹣a 且﹣2﹣a ≠0，解得a ＜−32且a ≠﹣2， 综上所述，a 的取值范围为(−∞，−2)∪(−2，−32)．。
(word完整版)人教版高一上学期必修1数学期中测试题含答案,推荐文档
高一数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=｛1，2，3，4，5｝，集合A=｛1，2｝，B=｛2，3｝，则A ∩B C u =( ) A ．{}45， B ．{}23， C ．{}1 D ．{}2 2．下列表示错误的是( )A.0∉ΦB.{}12Φ⊆，C.()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=-=+53102,y x y x y x ={}4,3 D.若,A B ⊆则A B A ⋂=3．2log 13a <，则a 的取值范围是 （ ） A ．()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 4．已知x x f 26log )(=，则=)8(f （ ） A .34 B. 8 C. 18 D .21 5．当0＜a ＜1时，在同一坐标系中，函数xy a -=与log a y x =的图象是( )6、若函数xa a a y ⋅+-=)33(2是指数函数，则有 （ ） A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且7. 下列哪组中的函数)(x f 与)(x g 相等（ ）A ．2)(x x f =，4)()(x x g = B ． 1)(+=x x f ，1)(2+=xx x g C ．x x f =)(，33)(x x g = D.)2)(1()(++=x x x f ，21)(++=x x x g8．若2log 31x =，则39xx+的值为( )A ．6B ．3C ．52 D ．129．若函数y = f （x ）的定义域为[]1,2，则(1)y f x =+的定义域为( )A ．[]2,3B ．[]0,1C ．[]1,0-D ．[]3,2--10. 设3log 21=a ，2.0)31(=b ，312=c ，则a 、b 、c 的大小顺序为（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<11．定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且在区间]0,1[-上为递增，则（ ） A ．)2()2()3(f f f << B ．)2()3()2(f f f << C ．)2()2()3(f f f << D ．)3()2()2(f f f <<12. 已知[]⎩⎨⎧<+≥-=)10()5()10(3)(x x f f x x x f ，其中N x ∈,则)8(f 等于（ ）A ．2 B ．10 C ．6 D ．7第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高一数学a版必修一期中考试试题及答案
高一数学a版必修一期中考试试题及答案高一数学A版必修一期中考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，是奇函数的是（）。
A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^2 + 1D. y = x^3 - 1答案：B2. 函数y = 2^x的反函数是（）。
A. y = log2(x)B. y = log10(x)C. y = 2^xD. y = x^2答案：A3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B = （）。
A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 4}D. {1, 2, 3, 4}答案：B4. 函数y = f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是（）。
A. 0B. 1C. 4D. -1答案：A5. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(1)的值（）。
A. 3B. -3C. 5D. -5答案：A6. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(-1)的值（）。
A. -1B. 1C. -5D. 5答案：C7. 函数y = sin(x)的值域是（）。
A. (-∞, +∞)B. [0, +∞)C. [-1, 1]D. [1, +∞)答案：C8. 函数y = cos(x)的值域是（）。
A. (-∞, +∞)B. [0, +∞)C. [-1, 1]D. [1, +∞)答案：C9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值（）。
A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A10. 函数y = 3x - 2的反函数是（）。
A. y = (x + 2) / 3B. y = 3x + 2C. y = (x - 2) / 3D. y = 3x - 2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数y = 2x - 3的零点是 _______。
答案：3/212. 函数y = x^2 - 6x + 9的顶点坐标是 _______。
2023-2024学年天津一中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年天津一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集U＝{x|0≤x＜5，x∈N*}，集合P＝{1，2，3}，Q＝{2，4}，则（∁U P）∪Q＝（）A．{0，2，3，4}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，4}2．“a＝b”是“a+b2=√ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．存在量词命题p：∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1≤0的否定是（）A．∀x∈[﹣1，1]，x2﹣1＞0B．∀x∈[﹣1，1]，x2﹣1≥0 C．∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1＞0D．∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1≥0 4．已知a，b∈R，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则a2≠b2B．若a2≠b2，则a＞bC．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b25．已知x＞y＞z，且x+y+z＝1，则下列不等式中恒成立的是（）A．xy＞yz B．x|y|＞z|y|C．xy＞xz D．xz≥yz6．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+2f（1x ）＝5x+4x，则f（x）的最小值为（）A．2B．3C．4D．2√27．若函数f(x)=2ax2+bx+c的部分图象如图所示，则f（5）＝（）A．−13B．−23C．−16D．−1128．定义在R上的奇函数f（x），满足f（12+x）＝f（12−x），在区间[−12，0]上递增，则（）A．f（0.3）＜f(√2)＜f(2)B．f（2）＜f（0.3）＜f（√2）C ．f （0.3）＜f （2）＜f （√2）D ．f （√2）＜f （2）＜f （0.3）9．已知a ，b ∈R ，若√4a 2+b 2⋅√a 2+4b 2a 2+b2的最大值为m ，且不等式x 2﹣ax +b ＜0的解集为（1，2m ），则a +b ＝（ ） A ．3B ．43C ．7D ．1110．定义区间长度m 为这样的一个量：m 的大小为区间右端点的值减去区间左端点的值，若关于x 的不等式x 2﹣ax ﹣6a ＜0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，25]∪[1，+∞） B ．[﹣25，﹣24）∪（0，1] C ．[﹣25，0）∪（1，24） D ．[﹣25，1]二、填空题：（每小题4分，共24分） 11．已知函数f(x)=√2+x 1√16−x 的定义域为 ．12．已知命题p ：x ＞m ，q ：2+x ﹣x 2＜0，如果命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 ．13．某班共48人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为 ．14．已知函数f(x)={x +3，x ≤0√x ，x ＞0，若f （a ﹣3）＝f （a +2），则f （a ）＝ ．15．已知函数f(x)={x 2−(a +4)x +5，x ＜2(2a −3)x ，x ≥2在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．16．定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），且当x ≥0时，f （x ）={−x 2+1，0≤x ＜11−x ，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m +1]，不等式f （1﹣x ）≤f （x +m ）恒成立，则实数m 的最大值为 ． 三、解答题：（本题共4小题，共46分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ＝0}，B ＝{x |x 2+（m ﹣1）x ﹣m 2+1＝0} （1）若A ∩B ＝{2}，求实数m 的取值范围； （2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围． 18．（12分）已知a ＞0，b ＞0，2a +b ＝2． （1）求b a +4b的最小值；（2）求4a 2+8ab +b 2的最大值． 19．（12分）已知函数f(x)=x 2+2x．（1）求f（1），f（2）的值；（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）的单调性并证明；（3）若不等式f(x−1)≥2(x−1)+2x−1+m对一切x∈[1，6]恒成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知函数f(x)=x+1−aa−x(x∈R且x≠a）．（1）求f（x）+f（2a﹣x）的值；（2）当函数f（x）的定义域为[a+12，a+1]时，求f（x）的值域；（3）设函数g（x）＝x2+|（x﹣a）f（x）|，求g（x）的最小值．2023-2024学年天津一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集U＝{x|0≤x＜5，x∈N*}，集合P＝{1，2，3}，Q＝{2，4}，则（∁U P）∪Q＝（）A．{0，2，3，4}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，4}解：因为U＝{x|0≤x＜5，x∈N*}＝U＝{1，2，3，4}，所以（∁U P）∪Q＝{4}∪{2，4}＝{2，4}．故选：B．2．“a＝b”是“a+b2=√ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：a＝b＜0时，a+b2=√ab不成立，“a＝b”不是“a+b2=√ab”的充分条件；a+b2=√ab时，有a≥0且b≥0，a+b−2√ab=0，即(√a−√b)2=0，得a＝b，故“a＝b”是“a+b2=√ab”的必要条件；所以“a＝b”是“a+b2=√ab”的必要不充分条件．故选：B．3．存在量词命题p：∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1≤0的否定是（）A．∀x∈[﹣1，1]，x2﹣1＞0B．∀x∈[﹣1，1]，x2﹣1≥0 C．∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1＞0D．∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1≥0解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x∈[﹣1，1]，x2﹣1＞0．故选：A．4．已知a，b∈R，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则a2≠b2B．若a2≠b2，则a＞bC．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b2解：对于A，当a＝﹣b时，如a＝2，b＝﹣2时a2＝b2成立，故A错误；对于B，当a＝1，b＝2，显然a2≠b2，但a＜b，故B错误；对于C，当a＝2，b＝﹣3时，显然a＞b，但a2＜b2，故C错误；对于D，a＞|b|，则a2＞|b|2＝b2，故D正确．故选：D．5．已知x＞y＞z，且x+y+z＝1，则下列不等式中恒成立的是（）A．xy＞yz B．x|y|＞z|y|C．xy＞xz D．xz≥yz解：当x＝2，y＝0，z＝﹣1时，不等式xy＞yz，x|y|＞z|y|，xz≥yz均不成立，故选项A、B、D错误；因为x＞y＞z，且x+y+z＝1，所以x＞0，所以xy＞xz，故选项C正确．故选：C．6．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+2f（1x ）＝5x+4x，则f（x）的最小值为（）A．2B．3C．4D．2√2解：由f（x）+2f（1x ）＝5x+4x，取x=1x，则f（1x）+2f（x）=5x+4x，联立解得f（x）＝x+2x，x∈（0，+∞）．∴f（x）＝x+2x≥2√x⋅2x=2√2，当且仅当x=2x，即x=√2时等号成立．∴f（x）的最小值为2√2．故选：D．7．若函数f(x)=2ax2+bx+c的部分图象如图所示，则f（5）＝（）A．−13B．−23C．−16D．−112解：根据题意，函数f(x)=2ax2+bx+c，由函数的图象，其定义域为{x|x≠2且x≠4}，在区间（2，4）上，f（x）＞0，且当x＝3时，f（x）取得最小值1，在区间（﹣∞，2）和（4，+∞）上，f（x）＜0，设g（x）＝ax2+bx+c，则g（x）＝0的两个零点为2和4，必有a＜0，且当x＝3时，g（x）取得最大值2，则有{−ba =2+4=6c a =2×4=89a +3b +c =2，解可得{a =−2b =12c =−16，则f （x ）=2−2x 2+12x−16=−1x 2−6x+8， 则f （5）=−13．故选：A ．8．定义在R 上的奇函数f （x ），满足f （12+x ）＝f （12−x ），在区间[−12，0]上递增，则（ ）A ．f （0.3）＜f(√2)＜f(2)B ．f （2）＜f （0.3）＜f （√2）C ．f （0.3）＜f （2）＜f （√2）D ．f （√2）＜f （2）＜f （0.3）解：定义在R 上的奇函数f （x ），满足f （12+x ）＝f （12−x ），可得f （x ）的图象关于直线x =12对称，由f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （﹣x ）＝f （x +1）， 可得f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ）， 即f （x ）的周期为2，奇函数f （x ）在区间[−12，0]上递增，可得f （x ）在（0，12）递增，由f （x ）的图象关于直线x =12对称，可得f （x ）在（12，1）递减，即有f （12）＞f （0）＝0，f （−12）＜0，f （0.3）＞0，即有f （2）＝f （0）＝0，f （√2）＝f （1−√2）＜0， 可得f （√2）＜f （2）＜f （0.3）， 故选：D ．9．已知a ，b ∈R ，若√4a 2+b 2⋅√a 2+4b 2a 2+b2的最大值为m ，且不等式x 2﹣ax +b ＜0的解集为（1，2m ），则a +b ＝（ ） A ．3B ．43C ．7D ．11解：根据不等式xy ≤x 2+y 22可得√4a 2+b 2⋅√a 2+4b 2≤4a 2+b 2+a 2+4b 22=52(a 2+b 2)，当且仅当4a 2+b 2＝a 2+4b 2，即a 2＝b 2时等号成立， 所以，√4a 2+b 2⋅√a 2+4b 2a 2+b 2≤52，所以m =52．所以，不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，5）．根据一元二次不等式的解集与一元二次方程解的关系可知，1和5是方程x2﹣ax+b＝0的两个解，由根与系数的关系知{1+5=a1×5=b，解得{a=6b=5，所以a+b＝11．故选：D．10．定义区间长度m为这样的一个量：m的大小为区间右端点的值减去区间左端点的值，若关于x的不等式x2﹣ax﹣6a＜0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，25]∪[1，+∞）B．[﹣25，﹣24）∪（0，1]C．[﹣25，0）∪（1，24）D．[﹣25，1]解：∵关于x的不等式x2﹣ax﹣6a＜0有解，∴Δ＝a2+24a＞0，解得a＞0或a＜﹣24．由x2﹣ax﹣6a＝0解得．x1=a−√△2，x2=a+√△2∵x1＜x2，∴不等式解集为（x1，x2），∵解集的区间长度不超过5个单位长x2﹣x1≤5，解得﹣25≤a≤1，∵a＞0或a＜﹣24，∴﹣25≤a＜﹣24或0＜a≤1．故选：B．二、填空题：（每小题4分，共24分）11．已知函数f(x)=√2+x√16−x2的定义域为[﹣2，4）．解：由题意得函数f(x)=√2+x1√16−x2要有意义，需满足{2+x≥016−x2＞0，解得﹣2≤x＜4，即函数f(x)=√2+x1√16−x2的定义域为[﹣2，4）．故答案为：[﹣2，4）．12．已知命题p：x＞m，q：2+x﹣x2＜0，如果命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是[2，+∞）．解：不等式2+x﹣x2＜0，即x2﹣x﹣2＞0，解得x＜﹣1或x＞2．设A＝{x|x＞m}，B＝{x|x＜﹣1或x＞2}，由命题p是命题q的充分不必要条件，可知A⫋B，所以有m≥2，即实数m的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．13．某班共48人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为 13 ．解：某班共48人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱， 设两项运动都喜欢的人数为x ，作出维恩图，可得：25﹣x +x +20﹣x +16＝48，解得x ＝13， 则既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为13． 故答案为：13．14．已知函数f(x)={x +3，x ≤0√x ，x ＞0，若f （a ﹣3）＝f （a +2），则f （a ）＝ √2 ．解：当a +2≤0，即a ≤﹣2时，则由f （a ﹣3）＝f （a +2）可得，a ＝a +5，无解； 当a ﹣3≤0，且a +2＞0，即﹣2＜a ≤3时，由f （a ﹣3）＝f （a +2）可得，a =√a +2，所以a ＞0， 整理可得，a 2﹣a ﹣2＝0，解得a ＝﹣1（舍去）或a ＝2； 当a ﹣3＞0，即a ＞3时，由f （a ﹣3）＝f （a +2）可得，√a −3=√a +2，无解． 综上所述，a ＝2． 所以，f(a)=f(2)=√2． 故答案为：√2．15．已知函数f(x)={x 2−(a +4)x +5，x ＜2(2a −3)x ，x ≥2在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为 [0，76] ．解：函数f(x)={x 2−(a +4)x +5，x ＜2(2a −3)x ，x ≥2在R 上单调递减，则{2a −3＜0a+42≥24−2(a +4)+5≥2(2a −3)，解得0≤a ≤76，即实数a 的取值范围为[0，76]．故答案为：[0，76]．16．定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），且当x ≥0时，f （x ）={−x 2+1，0≤x ＜11−x ，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m +1]，不等式f （1﹣x ）≤f （x +m ）恒成立，则实数m 的最大值为 −13．解：因为 f （﹣x ）＝f （x ），x ∈R ，所以函数f （x ）为偶函数， 又当x ⩾0时，f （x ）={−x 2+1，0≤x ＜11−x ，x ≥1是减函数，所以不等式 f （1﹣x ）⩽f （x +m ），等价于不等式 f （|1﹣x |）⩽f （|x +m |）， 即|1﹣x |⩾|x +m |，平方化简得 2（m +1）x ⩽1﹣m 2， 当m +1＝0时，x ∈R ，符合题意，所以m ＝﹣1； 当m +1＞0，即 m ＞﹣1时 ，x ⩽1−m2，又x ∈[m ，m +1]， 所以 m +1⩽1−m 2，解得 m ⩽−13，所以−1＜m ⩽−13； 当m +1＜0，即m ＜﹣1 时，x ⩾1−m2，又x ∈[m ，m +1]， 所以m ⩾1−m 2，解得m ⩾13，这与m ＜﹣1矛盾，舍去． 综上，−1⩽m ⩽−13，因此实数 m 的最大值是 −13．三、解答题：（本题共4小题，共46分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ＝0}，B ＝{x |x 2+（m ﹣1）x ﹣m 2+1＝0} （1）若A ∩B ＝{2}，求实数m 的取值范围； （2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．解：（1）因为A ＝{x |x 2﹣2x ＝0}＝{0，2}，由A ∩B ＝{2}可得2∈B ， 则22+2（m ﹣1）﹣m 2+1＝0， 化简可得m 2﹣2m ﹣3＝0， 解得m ＝﹣1或m ＝3，当m ＝﹣1时，x 2+（m ﹣1）x ﹣m 2+1＝0⇒x 2﹣2x ＝0，则B ＝{0，2}，此时A ∩B ＝{0，2}，不满足题意； 当m ＝3时，x 2+（m ﹣1）x ﹣m 2+1＝0⇒x 2+2x ﹣8＝0，则B ＝{4，2}，此时A ∩B ＝{2}，满足题意； 所以m ＝3．（2）由A ∩B ＝B 可得，B ⊆A ，当B ＝∅时，Δ＝（m ﹣1）2+4（m 2﹣1）＜0， 化简可得5m 2﹣2m ﹣3＜0，解得−35＜m ＜1；当B为单元素集合时，Δ＝（m﹣1）2+4（m2﹣1）＝0，解得m=−35或m＝1，当m=−35时，x2+(m−1)x−m2+1=0⇒x2−85x+1625=0，解得x=45，即B={45}，不满足B⊆A；当m＝1时，x2+（m﹣1）x﹣m2+1＝0⇒x2＝0，解得x＝0，即B＝{0}，满足B⊆A；当B为双元素集合时，则其两个元素分别是0，2，由韦达定理得{Δ=(m−1)2+4(m2−1)＞0−(m−1)=0+2−m2+1=0×2，解得m＝﹣1，此时x2+（m﹣1）x﹣m2+1＝0⇒x2﹣2x＝0，即B＝{0，2}，满足B⊆A，综上所述，m∈(−35，1]∪{1}．18．（12分）已知a＞0，b＞0，2a+b＝2．（1）求ba +4b的最小值；（2）求4a2+8ab+b2的最大值．解：（1）a＞0，b＞0，2a+b＝2，所以ba+4b=ba+2(2a+b)b=ba+4ab+2≥2√ba⋅4ab+2=6，当且仅当ba=4ab且2a+b＝2，即a=12，b＝1时等号成立，故ba+4b的最小值为6．（2）由2a+b=2≥2√2ab，得ab≤12，当且仅当2a＝b且2a+b＝2，即a=12，b＝1时等号成立，4a2+8ab+b2=(2a+b)2+4ab=4+4ab≤4+4×12=6，故4a2+8ab+b2的最大值为6．19．（12分）已知函数f(x)=x2+2x．（1）求f（1），f（2）的值；（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）的单调性并证明；（3）若不等式f(x−1)≥2(x−1)+2x−1+m对一切x∈[1，6]恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）f(x)=x2+2x，则f（1）＝1+2＝3，f（2）＝4+1＝5．（2）函数f（x）在区间（1，+∞）的单调递增，证明如下：任取1＜x1＜x2，则f(x1)−f(x2)=x12+2x1−(x22+2x2)=(x12−x22)+(2x1−2x2)=(x1−x2)(x1+x2−2x1x2)，由1＜x1＜x2，得x1﹣x2＜0，x1+x2＞2，x1x2＞1，2x1x2＜2，x1+x2−2x1x2＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在区间（1，+∞）的单调递增．（3）不等式f(x−1)≥2(x−1)+2x−1+m，即（x﹣1）2﹣2（x﹣1）≥m，依题意有（x﹣1）2﹣2（x﹣1）≥m对一切x∈[1，6]恒成立，（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1﹣1＝（x﹣2）2﹣1，由1≤x≤6，得﹣1≤x﹣2≤4，0≤（x﹣2）2≤16，﹣1≤（x﹣2）2﹣1≤15，则有﹣1≥m，实数m的取值范围（﹣∞，﹣1]．20．（12分）已知函数f(x)=x+1−aa−x(x∈R且x≠a）．（1）求f（x）+f（2a﹣x）的值；（2）当函数f（x）的定义域为[a+12，a+1]时，求f（x）的值域；（3）设函数g（x）＝x2+|（x﹣a）f（x）|，求g（x）的最小值．解：（1）已知函数f(x)=x+1−aa−x(x∈R且x≠a）．则f(x)+f(2a−x)=x+1−aa−x+2a−x+1−aa−2a+x=x+1−aa−x+a−x+1x−a=x+1−a−a+x−1a−x=−2．（2）f(x)=1−(a−x)a−x=−1+1a−x，由a+12≤x≤a+1，有−a−1≤−x≤−a−1 2，得−1≤a−x≤−1 2，则有−2≤1a−x≤−1，可得−3≤−1+1a−x≤−2，所以f（x）值域为[﹣3，﹣2]．（3）由题意，函数g（x）＝x2+|（x﹣a）f（x）|，所以g（x）＝x2+|x+1﹣a|（x≠a），①当x≥a﹣1且x≠a时，g(x)=x2+x+1−a=(x+12)2+34−a，如果a−1≥−12，即a≥12时，g(x)min=g(a−1)=(a−1)2；如果a−1＜−12，即a＜12且a≠−12时，g(x)min=g(−12)=34−a；如果a=−12时，g（x）无最小值．②当x＜a﹣1时，g(x)=x2−x−1+a=(x−12)2+a−54；如果a−1＞12，即a＞32时，g(x)min=g(12)=a−54；如果a−1≤12，即a≤32时，g(x)min=g(a−1)=(a−1)2，当a＞32时，(a−1)2−(a−54)=(a−32)2＞0，当a＜12时，(a−1)2−(34−a)=(a−12)2＞0，综上所述，当a＜12且a≠−12时，g（x）的最小值是34−a；当12≤a≤32时，g（x）的最小值是（a﹣1）2；当a＞32时，g（x）的最小值是a−54；当a=−12时，g（x）无最小值．。
人教版高一数学上学期期中考试试题及详细答案解析全文
人教版高一数学上学期期中考试数学试题（满分150分时间120分钟）一、单选题（12小题，每题5分）。
1.已知集合(){}{}0222>==-==x ,y x B ,x x lg y x A x,是实数集，则（）A.B.C.D.以上都不对2.下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（）A.2xy = B.xy -=2C.2-=x y D.3xy -=3.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.2xy =和()2x y =B.()12-=x lg y 和()()11-++=x lg x lg y C.2x log y a =和xlog y a 2= D.x y =和xa alog y =4.已知3110220230...c ,b ,.log a ===，则c ,b ,a 的大小关系是（）A.cb a << B.b ac << C.bc a << D.ac b <<5.在同一直角坐标系中，函数()()()x log x g ,x x x f a a=≥=0的图像可能是（）A. B. C. D.6.若132=log x ，则x x 93+的值为（）A.3B.C.6D.7.函数()x x x f 31+-=的单调递增区间是（）A.B.C.D.8.某同学求函数()62-+=x x ln x f 零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：则方程062=-+x x ln 的近似解（精确度0.1）可取为（）A.2.52B.2.625C.2.66D.2.759.函数()xx lg x f 1-=的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,10)C.(10,100)D.(100，＋∞)10.已知函数()2211xxx f -+=，则有()A.()x f 是奇函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 B.()x f 是奇函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛1C.()x f 是偶函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 D.()x f 是偶函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛111.如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系，大致是（）A. B. C. D.12.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=0621100x ,x x x ,x lg x f ，若a ，b ，c 均不相等，且()()()c f b f a f ==，则abc的取值范围是A.（1，10）B.(5，6)C.(10，12)D.(20，24)二、填空题（4小题，每题5分）13.若对数函数()x f 与幂函数()x g 的图象相交于一点（2，4）,则()()=+44g f ________.14.对于函数f (x )的定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③()()02121>--x x x f x f .当f (x )＝e x 时，上述结论中正确结论的序号是______.15.已知3102==b,lg a ，用a,b 表示=306log _____________.16.设全集{}654321,,,,,U =,用U 的子集可表示由10,组成的6位字符串,如：{}42表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．（1）若，则M C U 表示6位字符串为_____________．（2）若,集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数为____个．三、解答题。
2023~2024学年第一学期高一期中考试数学试题[含答案]
在
上单调递增，
f x f 1 1
min
，C 正确；
D
选项，令
2x2
3x
0
，解得
x
3 2
或
0（舍去），
f x
故
的图象与 x 轴只有 1 个交点，D 错误．
故选：ABC
11.
已知关于 x 的不等式
ax²
2bx
3c
0
x
的解集为
|
3
x
1 ，则下列结论正确的是（
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断.
【详解】由 a b 得不到 ac2 bc2 ，如 c 0 ，故充分性不成立，
反之，由 ac2 bc2 可以得到 a b ，故必要性成立，
则“ a b ”是“ ac2 bc2 ”的必要不充分条件.
若 m 2 ，则 f (x) x2 ，函数 f (x) 在 (0, ) 上为增函数，不符合题意，舍去；
若m
1 ，则
f
(x)
1 x
，函数
f
(x) 在 (0, ) 上为减函数，符合题意；
所以实数 m 的值是 1.
故选：B.
4. 已知 a, b, c 是实数，则“ a b ”是“ ac2 bc2 ”的（ ）
，
2
x
5
0
【答案】C
【解析】
【分析】“存在一个符合”的否定为“任一个都不符合”
【详解】命题
p： x R
3x2
，使得
2
x
5
0
2023-2024学年度上学期高一数学期中考试[含答案]
又 f (x) 是奇函数，所以 0 x 2 时， f (x) 0 ， x 2 时， f (x) 0 ，且 f (0) f (2) 0 ，
不等式
xf
x
0
x
f
0
x
0
或
x
f
0 (x)
0
或
x
0
，所以 0
x
2 或 2
x
0
，
综上 2 x 2 ．
故选：D．a 23 ， b 45 ， c 253 ，则
【解析】
【分析】根据交集含义即可得到答案.
A B 1, 0,1
【详解】根据交集含义即可得到
，
故选：B.
2. 命题： x R, x | x | 0 的否定为（ ）
A. x R, x | x | 0
B. x R, x | x | 0
C. x R, x | x | 0
D. x R, x | x | 0
【详解】因为
f
2x
1
x2
1 t
，令
2x
1,
x
t
1 2
，
f
(t)
t
1 2 2
1
，即
f
(x)
x 12 2
1
，
所以 f (3) 2 .
故选：B
6.
若定义在 R 的奇函数
f
x
，若
x
0
时
f
x
x 2
xf
，则满足
x 0 的 x 的取值范围是（
）
, 20, 2
A. 【答案】D 【解析】
, 2 2, , 20, 2
对于 C，
y∣y∣ x2 1, x R
高一数学必修1上学期期中试卷及答案
高一数学上学期期中试卷(必修1)考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（填空题、解答题）两部分：第Ⅰ卷1至2页：第Ⅱ卷3至6页：满分150分：考试时间120分钟。
注意事项：1．答第I 卷前：考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔或圆珠笔、签字笔写在答卷上。
2．第I 卷每小题得出答案后：请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上。
答在第Ⅰ卷上不得分。
3．考试结束：考生只需将第Ⅱ卷（含答卷）交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题：每小题5分：共60分．在每小题给出的四个选项中：只有一个是符合题目要求的．）1.（改编自北师大版必修一第9页习题1-2A 组第2题第2问）集合2{|60} ,M x x x =--=则以下正确的是（ ）. {2} . 2 . 3 . 3A M B M C M D M -∈-⊂∈∈－ 2．如图：U 是全集：M 、P 是U 的子集：则阴影部分所表示的集合是A ．()U MPB ．M PC ．()U M PD ．()()U U M P3．下列各组函数中：表示同一函数的是A ．1y =：0y x =B ．y x = ： 2x y x=C ．y x =：ln xy e =D ．||y x = ：2()y x =4．函数()xf x a =在[0,1]上的最大值与最小值之和为3：则a 的值是A ．12B ．2C ．3D ．325．二次函数2()23f x x bx =+-()b R ∈零点的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．46．如图的曲线是幂函数ny x =在第一象限内的图象。
已知n 分别取1-：l ：12：2四个值：与曲线1C 、2C 、3C 、4C 相应的n 依次为A ．2：1：12：1- B ．2：1-：1：12 C ．12：1：2：1-D ．1-：1：2：127．已知0.70.70.7log 0.8,log 0.9,log 1.1a b c ===：那么A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<8．我市底人口总数约为100万：经统计近年来我市的年人口增长率约为10％：预计到2011年底我市人口总数将达到（ ）万人（精确到0．1）．A ．121B ．133．1C ．133．2D ．146．49．根据表格中的数据：则方程20xe x --=的一个根所在的区间可为A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)10．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整：调整后初期利润增长迅速：后来增长越来越慢：若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系：可选用A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数11．若1ab =（其中1,1a b ≠≠）：则函数()log a f x x =与函数()log b g x x =的图象A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称12．（必修1第三章习题3-5 B 组第3题改编）关于函数xxx f +-=11lg )(：有下列三个命题：①对于任意)1,1(-∈x ：都有0)()(=-+x f x f ： ②)(x f 在)1,1(-上是减函数：③对于任意)1,1(,21-∈x x ：都有)1()()(212121x x x x f x f x f ++=+：其中正确命题的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题：每小题4分：共16分） 13．已知25(1)()21(1)x x f x x x +>⎧=⎨+≤⎩：则[(1)]f f = 。
2024-2025学年高一上学期期中模拟考试数学试题01(人教A版2019必修第一册)含解析
2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷01
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
或C或D
由图知：()040f x x >⇒-<<.故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
的取值范围为．
16．（15分）
17．（15分）
18．（17分）
19．（17分）。
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必修一高一数学第一学期期中考试试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共
60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
） 1．已知集合{1,2,3,4}A =，那么A 的真子集的个数是（ ） A 、15 B 、16 C 、3 D 、4
2．若()f x =
(3)f = （ ）
A 、10
B 、4
C 、
D 、2 3. 不等式（x ＋1）（2－x ）＞0的解集为 （ ）
A 、{|12}x x x <->或
B 、{|21}x x x <->或
C 、{|21}x x -<<
D 、{|12}x x -<< 4．下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）
A 、0
,1x y y == B 、1
1
,12+-=-=x x y x y
C 、33,x y x y ==
D 、()2
,x y x y =
=
5．函数)3(-=x f y 的定义域为[4，7]，则)(2
x f y =的定义域为
A 、（1，4）
B [1，2]
C 、)2,1()1,2(⋃--
D 、 ]2,1[]1,2[⋃-- 6．若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有 （ ）
（1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一；（2）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像；（3）B 中的元素可以在A 中无原像；（4）像的集合就是集合B 。
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
7．若函数2
()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4)-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 A 、3a ≤- B 、3a ≥- C 、5a ≤ D 、3a ≥ 8．定义域为R 的函数y=f(x)的值域为[a ，b]，则函数y=f(x ＋a)的值域为 （ ） A ．[2a ，a ＋b] B ．[a ，b] C ．[0，b －a] D ．[－a ，a ＋b] 9．下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ）
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。
A 、（1）（2）（4）
B 、（4）（2）（3）
C 、（4）（1）（3）
D 、（4）（1）（2） 10．已知)(x f 的图象恒过（1，1）点，则)4(-x f 的图象恒过
A ．（－3，1）
B ．（5，1）
C ．（1，－3）
D ．（1，5）
11. 方程|x 2-6x |=a 有不同的四个解，则a 的范围是
A 、a ≤9
B 、0≤a ≤9
C 、0<a<9
D 、0<a ≤9
12、已知集合A={a ，b ，c}，B={1，2，3，4，5，6}。
f ：A B →是从A 到B 的映射，则满足f(a)>f(b)=f(c)的映射个数为
A 、10
B 、15
C 、20
D 、21 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13．三数113
3321
3、
9、()3
-从小到大排列为______________．
14．已知()y f x =在定义域(1,1)-上是减函数，且(1)(21)f a f a -<-，则a 的取值范围是
15．设2
2 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩
≤≥，若()3f x =，则x =
16．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料.如果矩形的一边长为
x cm ，面积为y cm 2.把y 表示为x 的函数,
这个函数的解析式为 （须注明函数的定义域）.
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 18、.（本小题满分12分）
已知M={x| -2≤x ≤5}, N={x| a+1≤x ≤2a -1}. （Ⅰ）若M ⊆N ，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若M ⊇N ，求实数a 的取值范围.
19、（本题满分12分）已知一次函数f(x)=23)1(2
2
+-+-m m x m ,若f(x)是减函数，且f(1)=0, （1）求m 的值； (2)若f(x+1) ≥ x 2
, 求x 的取值范围。
（1）
（2）
（3）
（4）
20、已知函数)0()(1
≥=-x a x f x 的图象经过点)2
1
,2(，其中0>a 且1≠a ．
(1)求a 的值； (2) 求函数=y )(x f )0(≥x 的值域.
21、（本小题满分12分）如图，用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y =f (x )，并写出它的定义域.
x
3q 2px )x (f 2-+=是奇函数，且
22、（满分14分）已知函数
3
5)2(f -=.
（1）求函数f(x)的解析式；
)1,0(上的单调性，并加以证明.
（2）判断函数f(x)在
高一数学试卷答案及评分标准
一、选择题
1— 6：A 、D 、D 、C 、D 、B 7—12：A 、B 、D 、B 、C 、B
二、填空题：113
33
211339()3
-<<、
，14、0<a<2/3, 15、3x =， 16、))50,0((25002
∈-=x x x y
三、解答题
17、解：不等式化为，（x+2）(x-a )≤0 a>-2时，－2≤x ≤a a=-2时， x ≠-2
a<-2时，a ≤x ≤-2
所以，不等式的解集为：a>-2时，｛x ︱-2≤x ≤a ｝; a=-2时，｛x ︱x ≠-2｝;a<-2时，｛x ︱a ≤x ≤-2｝;
18、解：（Ⅰ）由于M ⊆N ，则21
521211a a a a -≥+⎧⎪
≤-⎨⎪-≥+⎩
，解得a ∈Φ
（Ⅱ）①当N=Φ时，即a ＋1＞2a －1，有a ＜2
②当N ≠Φ，则21521211a a a a -≤+⎧⎪
≥-⎨⎪-≥+⎩
，解得2≤a ≤3，.
综合①②得a 的取值范围为a ≤3
19
20、解：（1）函数图象过点)21,2(，所以，2112=-a ，则2
1
=a ．
(2) )0()2
1
()(1≥=-x x f x
由0≥x 得，11-≥-x
于是2)2
1
()21(011=≤<--x
所以，所求的函数值域为]2,0(． 21、解：由已知，得 AB=2x , CD =πx ,
于是AD=2
2x x L π--，
因此，y =2x · 2
2x x L π--+22
x
π，
即y =Lx x ++-
22
4
π.
由⎪⎩
⎪⎨⎧>-->02202x x L x π，得0<x <,2+πL
函数的定义域为（0，
2
+πL
）. 22、解：（1）∵f(x)是奇函数，∴对定义域内的任意的x ，都有)x (f )x (f -=-，
即x
3q 2
px x 3q 2px 22-+-=++，整理得：x 3q x 3q +-=+ ∴q=0 又∵35
)2(f -=，∴3
5
62p 4)2(f -=-+=
， 解得p=2 ∴所求解析式为x
32
x 2)x (f 2-+=
（2）由（1）可得x 32x 2)x (f 2-+==)x
1
x (32+-， 设1021<<<x x ，
则由于)]x 1x 1()x x [(32)]x 1x ()x 1x [(3
2)x (f )x (f 1
212112221-+-=+-+
=- =2
121212*********x x x x 1)x x (32
)1x x 1)(x x (32]x x x x )x x [(3
2
-⨯
-=--=-+
-因此，当1x x 021≤<<时，1x x 021<<，
从而得到0)x (f )x (f 21<-即，)x (f )x (f 21< ∴]1,0(是f(x)的递增区间。