同济大学概率论期末考试(A)2013-2014(1)&答案

2013—2014学年第一学期A

备用数据：975.0)96.1(=Φ ，5345.17)8(,1797.2)8(,3060.2)8(2

975.02

025.0975.0===χχt 。 一、填空题(16分)

1、(4分）设C B A ,,是三个随机事件，φ=AC ，52.0)(=AB P ,15.0)(=C P ，则

)(C AB P = ， )(C AB P = .

2、（4分）设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为1的指数分布，记

()),max(,,min Y X V Y X U ==，则U 的密度函数为=)(u f U ，

V

的密度函数为

=)(v f V .

3、（4分）设随机变量X 服从自由度为2的t 分布，用)2(αt 表示自由度为2的t 分布的α分位数,且()05.0)(,95.0=>=

从的分布的分位数表示). 4、（4分）设

12,X X 相互独立且服从相同的分布，且1X 服从正态分布),1(2σN ，则

121

1

X X --服从自由度为 的 分布.

二、(8分)某市的血库急需AB 型血,要从体检合格的献血者中获得AB 型血,已知在体检合格的

献血者中AB 型血的比例为百分之二. 问: 至少需要多少位体检合格的献血者才能保证至少获得一份AB 型血的概率达到0.95 ?

三、(10分)设随机变量X 满足,λ==)()(X D X E ,且[]16

7

)1)(5.0(=--X X E ,求λ的值.

四、(14分) 假设离散型随机变量21X X 与服从相同的分布,且

1)0(21==X X P ,()4

3

)0(,811)1(111=====-=X P X P X P .

（1）求),(21X X 的联合概率函数；（2）求概率)(21X X P =;

（3）求协方差和相关系数),(),,(2121X X X X Cov ρ .

五、(16分)设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为

⎩

⎨

⎧<<<<=其他且,02010,1),(x

y x y x f (1) 分别求X 和Y 的边缘密度函数； (2) 求概率()5.0,5.0≤≤Y X P ； （3）求Y X Z -=2的密度函数.

六、(12分) 为确定某市成年男子中吸烟者比例p ,准备调查这个城市中的n 个成年男子,记这

n 个成年男子中的吸烟人数为X . (1)问: n 至少为多大才能使95.0)1(02.0≥⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-<-p p p n X P (要求用中心极限定理); (2)试证明: 对于(1)中求得的n ，成立95.001.0≥⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛<-p n X P . 七、(10分) 设某工厂生产的零件重量X 服从正态分布2

(,)N μσ，现从该厂生产的零件中抽

取了9个零件,测得其重量数据（单位：g ），并由此算出样本均值和样本方差分别为36.0,452==s x ，分别求μ和2σ的置信水平0.95的双侧置信区间。（结果保留四位小数）

八、(14分)设n X X X ,,,21 是取自总体X 的简单随机样本，离散型随机变量X 的概率函数为22)1()3(),1(2)2(,)1(θθθθ-==-====X P X P X P ，其中10<<θ. θ未知. 用i N 表示n X X X ,,,21 中取值为i 的个数, i=1,2,3. n N N N =++321 .

（1）求θ的矩估计θ~

；（2）求θ的极大似然估计θˆ；

（3）问：θ的极大似然估计θˆ是否为θ的无偏估计？

一、填空题

1. ()P ABC =0.25，5

()17

P AB C =

2. ()22,0u U f u e u -=>；()()

21,0v v

V f v e e v --=->

3. ()()0.9750.952,2x t y t ==

4. 自由度为1的t 分布

二、记X 为n 个体检合格者中AB 血型者的个数，则()~,0.02X B n

()()()0.9511110P X P X P X =≥=-<=-=

()()0

00.0510.02n

n P X C ===-

ln 0.05

148.3ln 0.98

n ≥

=，取149n =

三、14

λ=

四、（1）

12

\10111

0081

21084811

8

X X -- （2）()121

2

P X X ==

（3）()()()12120,0E X E X E X X ===

()()1212cov ,0,,0X X X X ρ==

五、（1）()2010

X x

x f x <<⎧=⎨

⎩其余

，()1022

Y y y f y ⎧-

<<⎪=⎨⎪⎩其余

（2）()30.5,0.516

P X Y ≤≤=

（3）()1022

Z z z f z ⎧-

<<⎪=⎨⎪⎩其余

六、（1）2

98n ≥，取9604n =

（2）证明：因为()1

14

p p -≤

，所以()0.0210.01p p -≤ 所以 ()0.0210.01X X p p p p n n ⎧⎫⎧⎫

-<-⊂-<⎨

⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭

所以()0.010.0210.95X X P p P p p p n n ⎧⎫⎧⎫

-<≥-<-≥⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭

七、[][]244.5388,45.4612,0.1642,1.3213μσ∈∈

八、（1）32

X θ-=

，122ˆ2N N n θ

+= （2）因为()

()()()2122221ˆ22E N E N n n E n n

θθθθθ+⨯⨯+⨯-=

==， 所以θ的极大似然估计θˆ是θ的无偏估计。