2误差理论(第二章第三节粗大误差)-2015版

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第二章：误差理论

重物的误差是多少？重物的误差是多少？
∆x = x ⋅ δ = 500× 0.1% = 0.5g
相对误差的特征：相对误差的特征： ⑴大小与被测量单位无关 ⑵能反映误差的大小和方向 ⑶能反映测量工作的精细程度
相对误差比较符合实际检测需要，一般地，相对误差比较符合实际检测需要，一般地，测量范围越小，要求的绝对误差越小。量范围越小，要求的绝对误差越小。比如量程为 1000Kg的秤相对误差为1％，则测量10Kg重物的的秤，则测量10Kg 1000Kg的秤，相对误差为1％，则测量10Kg重物的误差为0.1Kg 而测量500Kg重物的误差为5Kg 0.1Kg， 500Kg重物的误差为5Kg。误差为0.1Kg，而测量500Kg重物的误差为5Kg。
对残余误差进行列表或作图进行观察。对残余误差进行列表或作图进行观察。
U U U
0
n
差周期性系统误差
b)残余误差之和相减法(马利科夫判据): b)残余误差之和相减法(马利科夫判据): 残余误差之和相减法当测量次数较多时，当测量次数较多时，将测量列前一半的残余误差之和，减去测量列后一半的残余误差之和。差之和，减去测量列后一半的残余误差之和。
举例说明：举例说明： 1.测量温度的绝对误差为例1.测量温度的绝对误差为±10C，测量水的沸点温度100 测量的相对误差是多少？温度1000C，测量的相对误差是多少？
1 δ = × 100 % = 1 % 100 2.某电子天平的相对误差是0.5%，测量500g 某电子天平的相对误差是0.5% 例2.某电子天平的相对误差是0.5%，测量500g
学习误差的意义: 学习误差的意义: 1.正确认识误差的性质, 1.正确认识误差的性质,分析误差产生的原正确认识误差的性质以便消除或减小它; 因,以便消除或减小它; 2.正确处理数据,合理计算所得结果,以便在 2.正确处理数据,合理计算所得结果, 正确处理数据一定条件下,得到更接近真实值的数据; 一定条件下,得到更接近真实值的数据; 3.正确组成检测系统, 3.正确组成检测系统,合理设计检测系统或选正确组成检测系统用测量仪表,正确选择检测方法, 用测量仪表,正确选择检测方法,以便在最经济的条件下,得到理想的测量结果. 的条件下,得到理想的测量结果.

第二章误差理论基础

1.非线性特性近似地视为线性
例：激光扫描测径仪

激光光束被工件遮挡相当于计算电路中的计数脉冲
•设多面棱镜的转速和角速度为n，ω，透镜6的焦距为f •认为激光光速的扫描速度是匀速的
v 2f 4nf
•实际上，在时间t内，光束转过了2 ωt角
y f tg(2t ) f tg(4nt)
第二章误差理论基础
例：加工一个直径为7.5mm的轴，共150只，原材料相同，同一台机床，同一个工人结果：直径在7.4mm到7.5mm之间变化影响因素：机床误差：主轴的径向偏摆、导轨的直线度和平行度误差等夹具误差：夹具是否有偏心刀具误差：定尺寸刀具的尺寸误差、刀具在加工过程中的磨损机床-刀具-工件的变形，即刚度温度变形：刀具、机床、工件的温度变形材料内应力的不均匀调整误差：特别是自动机床测量误差人员误差其它
则实际速度：
dy v0 4nf sec2 (4nt) dt y 4nf [1 tg 2 (4nt)] 4nf [1 ( ) 2 ] f

V0∝y，则可得到：离光轴垂直距离越大，扫描速度越高被遮挡的时间越短读到的脉冲数越少测得值总小于被测直径的实际值
原理误差

测量杆1感受被测工件2的尺寸变化位移s经过一级杠杆传动（正弦机构）和两级圆柱齿轮传动，使指针l偏转角度φ 指针末端位移L的理论值
L l l s s sin ， arcsin , a a

z1 z3 z2 z4

机械测微仪的刻度方程式 L和s是非线性的
1 绝对误差
测得值x与被测量真值x0（或相对真值）之差

粗大误差

计算标准差及算术平均值标准差
ˆ x
测量结果
x limx x t x
二、不等精度测量数据处理一般步骤：假定不存在系差和粗差 1 确定各组（测量值）权值
1 1 p1 : p 2 : : p m 2 : 2 : : 2 1 2 m
加权算术平均值
x
p x
i 1 m i
m
i
p
i 1
测量结果
i
加权算术平均值标准差
pi
pi v 2 x i
i 1 m
x limx x t x
x ) pi
i 1
m
| vd || xd x | 3
则可认为该数据含有粗大误差，应予以剔除。（二）罗曼诺夫斯基准则
原理简单
特点
适合测量次数较少的情况
当测量次数较少时，按 t 分布确定臵信系数，判别粗差较为合理。若
x j x t
则认为测量值该值含有粗大误差，应予剔除。
n
4 5 6 0.05 0.01 n 0.05 0.01 n 0.05 0.01
4.97 3.56 3.04
11.46 6.53 5.04
13 14 15
2.29 2.26 2.24
3.23 3.17 3.12
22 23 24
2.14 2.13 2.12
2.91 2.90 2.88
7
8 9 10 11 12
2.78
2.62 2.51 2.43 2.37 2.33
4.36
3.96 3.71 3.54 3.41 3.31
r0 (n, a)
0.641 0.616 0.595 0.577 0.561 0.547 0.535 0.524 0.514 0.505 0.497 0.489 0.546 0.525 0.507 0.490 0.475 0.462 0.450 0.440 0.430 0.421 0.413 0.406

【精品】[误差理论与数据处理][课件][第02章][第3节][粗大误差]教学资料

与
r22
x3 x1 xn 2 x1
n14~30
4- 13
误差误差与数据处理第二章误差的基本性质与处理
判断准则
若
rij rij, rij D (,n)
则判断 x n 为异常值。
若
rij rij, rijD (,n)
则判断 x 1 为异常值。否则，判断没有异常值。
4- 14
误差误差与数据处理第二章误差的基本性质与处理【例4-2】
4- 6
误差误差与数Байду номын сангаас处理第二章误差的基本性质与处理
二、判别粗大误差的准则
4- 7
误差误差与数据处理第二章误差的基本性质与处理
统计方法的基本思想
给定一个显著性水平，按一定分布确定一个临界值，凡超过这个界限的误差，就认为它不属于随机误差的范畴，而是粗大误差，该数据应予以剔除
▪3σ准则 ▪罗曼诺夫斯基准则 ▪格罗布斯(Grubbs)准则 ▪狄克松(Dixon)准则
顺序排列为 x1,x2,...,xn
构造统计量
r10
xn xn1 xn x1
与
r10
x 2 x1 x n x1
n3~7
r11
xn xn1 xn x2
与
r11
x2 x1 xn 1 x1
n8~10
r21
xn xn2 xn x2
与
r21
x3 x1 xn 1 x1
n11~13
r22
xn xn2 xn x3
（2）偶然误差服从统计规律，无法消除但适当增加次数可减小之；系统误差服从确定性规律，要采取适当的措施消除或减小它；粗大误差既违背统计规律又违背确定性规律，可用物理或统计的方法判断后剔除。

误差理论第二章

三、系统误差的分类和特征
四、系统误差对测量结果的影响五、系统误差的发现六、系统误差的消除
2.3 粗大误差
一、粗大误差产生的原因二、判别粗大误差的准则
七、不等精度测量
八、随机误差的其他分布九、减小随机误差的技术途径
三、防止与消除粗大误差的方法
2.4 测量结果的数据处理实例一、等精度测量数据处理二、不等精度测量数据处理 2.5 三类误差性质与特征小结
x ＝ 1879.64 。
x 1879.65 0.01 ＝1879.64
l
i 1
10
i
10
v
i 1
n
i
0.01
（二）算术平均值的计算校核
算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和来校核。由 i li x v l nx ，式中的 x 是根据（2-8）计算的， n x 当求得的为未经凑整的准确数时，则有： vi 0 (2-11)
（一）均方根误差（标准偏差）σ 为什么用σ来作为评定随机误差的尺度？可以从高斯（ 1 正态）分布的分布密度 f ( ) 推知：f ( ) ( 2 ) exp[ 2 ]
2 2
令
h
1 2
，则有： f ( ) 1 exp[ h 2 2 ]

高斯参数h为精密度。由于h值无法以实验中得到，故以 σ值代之。
第2章误差的基本性质与处理
误差理论与数据处理
教学目标
本章阐述。
误差理论与数据处理
重点与难点

三大类误差的特征、性质以及减小各类误差对测量精度影响的措施掌握等精度测量的数据处理方法掌握不等精度测量的数据处理方法

1 误差理论(绪论)-2015版

由于在计算中使用了较大误差的地球半径值，使得他测得的月球加速度的值和理论计算值相差约10％，因而不得不推迟20年才发表他的引力论文。
《误差理论与数据处理》
第16页
第一节研究误差理论的意义
瑞利（Rayleigh）发现惰性气体（科学发明与实验数据处理的关系）
在测定氮的密度时，从大气中分离的氮与用化学方法制取的氮二者密度相差1/2000，由于正确估计了误差，导致他发现惰性气体（氩气）。
具体实验数据（雷莱测定的氮气的密度数据）： ① 化学方法制得的氮，其平均密度和实验标准偏差分别为：2.29971和0.00041； ② 从大气中分离的氮，其平均密度和实验标准偏差分别为：2.31022和0.00019
《误差理论与数据处理》第17页
第一节研究误差理论的意义
爱因斯坦广义相对论（科学实验测量结果的可置信度）
完整的测量包括：
① 被测量：测量对象的特定量。 ② 测量单位：以定量表示同种量的量值而约定采用的特定量。物质形式：光波波长和精密量块。 ③ 测量方法：在实施测量过程中对测量原理的运用及实际操作。可以理解为测量原理、测量器具（计量器具）
和测量条件（环境和操作者）的总合。
④ 测量精度：测量结果与真值的一致程度。
L L L0
问题：
真值可知吗？真值存在吗？绝对误差的值可知吗？绝对误差与误差的绝对值的区别？
《误差理论与数据处理》
第24页
第二节测量误差的概念
真值：指在观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。
理论真值：仅存在于纯理论之中，如三角形内角和恒为 180°。约定真值：指由国家设立尽可能维持不变的实物或基准，以法令的形式指定其所体现的量值。

2 误差理论(第二章第三节粗大误差)-2015版

• 但不能在不知原因的情况下，不加分析就轻易舍弃测量列中最大或最小的数据，这样可能造成错觉。
对数据中异常值的正确判断与处理，是获得客观的测量结果的重要方法第三节粗大误差来自一、粗大误差产生的原因
产生粗大误差的原因是多方面的，大致可归纳为： ① 测量人员的主观原因
测量者工作责任感不强、工作过于疲劳、缺乏经验操作不当，或在测量时不小心、不耐心、不仔细等，造成错误的读数或记录。
1 n x xi n 1 i 1
i j
特点：首先剔除一个可疑的测得值，然后按 t 分布检验被剔除的值是否是
v

i 1 i j
n
2 i
并求得测量列的标准差(计算时不包括 vj xj x )： n2 根据测量次数n 和选取的显著度，即可由表2-12查得 t 分布的检验系数K (n, )。若 x j x K 则认为测量值 x j 含有粗大误差，剔除 x j 是正确的，否则认为 x j 不含有粗大误差，应予保留。
② 客观外界条件的原因
测量条件意外地改变（如机械冲击、外界振动、电磁干扰等）。
第三节粗大误差
二、可疑值处理的基本原则
两个错误做法：
• 凭主观臆断，轻易地剔除主观认定为反常的数据，从而人为地使测得数据一致起来；
• 不敢舍弃任一个测得数据，一概当作是正常信息。
处理原则：
• • • • 直观判断、及时处理增加测量次数、继续观察用统计的方法继续判断保留不剔、确保安全
x(15) 可怀疑,
第三节粗大误差
三、粗大误差的统计判别方法
因
x x(1) 20.404 20.30 0.104 x(15) x 20.43 20.404 0.026

粗大误差理论(精)

一、粗大误差问题概述
1、什么是粗大误差？粗大误差，亦称过失误差或反常误差，它是由于测试人员主观因素或者由于测试条件突然变化引起的明显与测量结果不符的误差，比如仪器操作不当，读数错误、记录和计算错误、测试系统的突然故障和环境条件（如仪器的灵敏度、电源电压和频率、环境温度）等疏忽因素而造成的误差，因而又简称粗差。

v
i 1
n
2 i
n2
3、格罗布斯准则
设对某量作多次等精度独立测量，得 x1 , x2 ,..., xn
当x j 服从正态分布时，计算
1 x x n
vi xi x

2 v
n 1
为了检验 xi (i 1,2,...,n)中是否存在粗大误差，将 x i 按大小顺序排列成顺序统计量 xi ，而 x1 x2 ... xn 格罗布斯导出了gn 及 g1 的分布，取定显著（一般为0.05或0.01），可以得到格罗布斯系数 g0 (n, ) 度而 x x1 x x
2、粗大误差对测量数据的影响 ▫可疑数据：在一列重复测量的数据中，有个别数据xd 与其它数据有明显差异，它可能是含有粗大误差（简称粗差）的数据。 ▫异常值：确定混有粗大误差的数据。
不恰当地剔除含大误差的正常数据，会造成测量重复性偏好的假象
未加剔除，必然会造成极差比的方法，得到简化而严密的结果。
狄克松研究了x1 , x2 ,..., xn的顺序统计量 xi 的分布，当 x i 服从正态分布时，得到 xn 的统计量 xn xn1 xn xn1
r10
xn x1
xn xn2 xn x2
xn x
x x1

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《误差理论与数据处理》
第3页
第三节粗大误差
一、粗大误差产生的原因
定义：
超出在规定条件下预期的误差。是测量过程中操作者的偶然失误或环境的突发干扰造成的。明显歪曲测量结果。
或称为“异常值” （abnormal value)。
• 对已确知是在受到外界不正常干扰下测得的数据，或经查是错读、错记的数据，则应舍弃。
• 但不能在不知原因的情况下，不加分析就轻易舍弃测量列中最大或最小的数据，这样可能造成错觉。
对数据中异常值的正确判断与处理，是获得客观的测量结果的重要方法
第三节粗大误差
一、粗大误差产生的原因
产生粗大误差的原因是多方面的，大致可归纳为：
① 测量人员的主观原因
测量者工作责任感不强、工作过于疲劳、缺乏经验操作不当，或在测量时不小心、不耐心、不仔细等，造成错误的读数或记录。
则认为它含有粗大误差，应予剔除。
课堂问题讨论：
•为什么每次只能剔除一个vi最大的测值作为粗大误差？一次剔除两个行不行？ •若vi绝对值最大的测量值同时有两个相同怎么办？
第三节粗大误差
三、粗大误差的统计判别方法
例2-18 对某量进行15次等精度测量，测得值如下表2-11所列，设这些测得值已消除了系统误差，试判别该测量列中是否含有粗大误差的测得值。
下测量值所含有的随机误差，而应视为粗大误差予以剔除。
第三节粗大误差
三、粗大误差的统计判别方法
（一） 3σ 准则(莱以特准则)
前提条件：测量次数充分大，不会含有系统误差。
对某量等精度测量n次，得测得值 x1, x2,莱以, xn特准则认为：如果某测得值的残余误差的绝对值大于三倍的标准差时，即
vi 3
② 客观外界条件的原因
测量条件意外地改变（如机械冲击、外界振动、电磁干扰等）。
第三节粗大误差
二、可疑值处理的基本原则
两个错误做法：
• 凭主观臆断，轻易地剔除主观认定为反常的数据，从而人为地使测得数据一致起来；
• 不敢舍弃任一个测得数据，一概当作是正常信息。
处理原则：
• 直观判断、及时处理 • 增加测量次数、继续观察 • 用统计的方法继续判断 • 保留不剔、确保安全
含有粗大误差。
设对某量作多次等精度测量，得x1 , x2 , …, xn ，若认为测量值xj 为可疑数据，将
其剔除后计算平均值为(计算时不包括 x j ) ：
x

1 n 1
n i1
xi
i j
n
vi2
i 1
并求得测量列的标准差(计算时不包括 vj xj x )：

i j
n2
表2-11
第三节粗大误差
三、粗大误差的统计判别方法
由表2-11可得 x 20.404
n

vi2
i 1

0.01496 0.033
n 1
14
3 3 0.033 0.099
根据3σ准则，第八测得值的残余误差为：
v8 0.104 0.099
即它含有粗大误差,故将此测得值剔除。再根据剩下的14个测得值重新计算
计算得
x

1 n

x
vi xi x
v2 (n 1)
按大小顺序排列成顺序统计量，而 x(1) x(2) x(n)
格拉布斯导出了
g(n)

x(n)
x
及
• 在测量次数小于10次时， 3σ准则失效。为什么？
• 3σ准则只宜用于重复测量次数较多（有的资料推荐测量次数n>50）的重要测量中。
第三节粗大误差
三、粗大误差的统计判别方法
（二）罗曼诺夫斯基准则（ t 检验准则）
前提条件：当测量次数较少时，按t分布判断系统误差较为合理
特点：首先剔除一个可疑的测得值，然后按 t 分布检验被剔除的值是否是
因
x8 x 20.30 20.411 0.111 0.036
故第八组测量值含有粗大误差，应予剔除。然后对剩下的14个测得值进行判别，可知这些测得值不再含有粗大误差。
第三节粗大误差
三、粗大误差的统计判别方法
（三）格拉布斯准则
设对某量作多次等精度独立测量，得 x1, x2 ,xn ，当 xi 服从正态分布时,
第三节粗大误差
三、粗大误差的统计判别方法
测量中出现的随机误差大多服从正态分布，由正态分布的单峰性和有界限可知，大误差出现的机会很少（对有限次测量而言，可看做小概率事件）粗大误差统计判别方法的基本依据：
• 给定一置信概率（如99%）； • 确定其随机误差的分布范围； • 凡超出这个范围的误差，就认为是不属于正常测量条件
根据测量次数n 和选取的显著度，即可由表2-12查得 t 分布的检验系数K(n,)。
若
x j x K
则认为测量值 x j 含有粗大误差，剔除 x j 是正确的，否则认为 x j 不含有粗大误
差，应予保留。
第三节粗大误差
三、粗大误差的统计判别方法
例2-19 试判断例2-18中是否含有粗大误差。
重庆大学光电工程学院
本科课程
误差理论与数据处理
李伟红副教授 2015/5/1
第二章误差的基本性质与处理
第一节随机误差第二节系统误差第三节粗大误差第四节测量结果的数据处理
《误差理论与数据处理》
第2页
第三节粗大误差
一、粗大误差产生的原因二、可疑值处理的基本原则二、粗大误差的统计判别方法三、防止与消除粗大误差的方法
第三节粗大误差
三、粗大误差的统计判别方法
解：首先怀疑第八组测得值含有粗大误差，将其剔除。然后根据剩下的14 个测量值计算平均值和标准差，得：
x 20.411, 0.016
选取显著度 a 0，.0已5 知n＝15，查表2-12得： K(15,0.05) 2.24
则
K 2.24 0.016 0.036
，得：
x ' 20.411

n
vi'2
i 1

n 1
0.003374 0.016 13
由表2-11知，剩下的14个测得值的残余误差均满足
测得值不再含有粗大误差。
vi' 3,粗大误差的统计判别方法
• 特点：
• 3σ准则比较保守，因为在测量次数有限时，出现在靠近 ±3σ界限处的数据极少，除非有较大的粗大误差，否则|v| ＞3σ而导致数据被剔除的可能性很小。