数字信号处理实验第8章

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数字信号处理实验实验八

实验报告课程：数字信号处理实班级：姓名：学号：实验项目名称：用窗函数法设计FIR 数字滤波器实验目的：1、掌握用窗函数法设计FIR 数字滤波器的原理和方法。

2、熟悉线性相位FIR 数字滤波器特性。

3、了解各种窗对滤波特性的影响。

实验仪器、材料及软件：电脑、MATLAB 软件实验步骤：1、复习用窗函数法设计FIR 数字滤波器的内容；2、熟悉产生矩形窗、汉宁窗、哈明窗、三角形窗、布莱克曼窗和凯塞-贝塞尔窗的窗函数子程序及其调用方法。

3、编写Matlab 程序sy8_1.m 用窗函数法设计低通数字FIR 滤波器。

滤波器指标为ωp =0.2π Rp=0.25dB ωs =0.3π As=50dB 。

选择哈明窗。

确定冲激响应，并画出滤波器的频率响应。

4、编写Mtable 程序sy8_2.m 用窗函数法设计数字带通FIR 滤波器。

滤波器指标为：低阻带：ω1s=0.2π，As=60dB 低通带：ω1p=0.35π，Rp=1dB 高通带：ω2p=0.65π，Rp=1dB 高阻带：ω2s=0.8π，As=60dB选用Blackman 窗。

确定冲激响应，并画出滤波器的频率响应。

5、编写程序sy8_3.m 用所设计的滤波器对由三个正弦波分量（频率分别为6、25和48赫兹）构成的一个复合信号采样序列进行仿真滤波处理，并分别绘出滤波前后的波形图，观察总结滤波作用与效果。

实验成绩指导老师实验源程序代码及截图：function hd=ideal_lp(wc,M);alpha=(M-1)/2;n=[0:1:(M-1)];m=n-alpha+eps;hd=sin(wc*m)./(pi*m);wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;tr_width=ws-wp;M=ceil(6.6*pi/tr_width)+1;n=[0:1:M-1];wc=(ws+wp)/2;hd=ideal_lp(wc,M);w_ham=(hamming(M))';h=hd.*w_ham;[H,w]=freqz(h,1,1000,'whole');H=(H(1:1:501))';w=(w(1:1:501))';mag=abs(H);db=20*log10((mag+eps)/max(mag));pha=angle(H);grd=grpdelay(h,1,w);delta_w=2*pi/1000;Rp=-(min(db(1:1:wp/delta_w+1)));As=-round(max(db(ws/delta_w+1:1:501)));subplot(1,1,1);subplot(2,2,1);stem(n,hd);title('理想脉冲响应');axis([0 M-1 -0.1 0.3]);xlabel('n');ylabel('hd(n)');subplot(2,2,2);stem(n,w_ham);title('Hamming窗');axis([0 M-1 0 1.1]);xlabel('n');ylabel('w(n)');subplot(2,2,3);stem(n,h);title('实际脉冲响应');axis([0 M-1 -0.1 0.3]);xlabel('n');ylabel('h(n)');subplot(2,2,4);plot(w/pi,db);title('相对标尺的幅度响应');grid; axis([0 1 -100 10]);xlabel('frequency in pi units');ylabel('Decibels'); set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,0.2,0.3,1]);set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-50,0]);set(gca,'YTickLabelMode','manual','YTickLabels',['50';'0']);204060-0.100.10.20.3理想脉冲响应nh d (n )02040600.51Hamming 窗nw (n )204060-0.100.10.20.3实际脉冲响应nh (n )0.20.31-50相对标尺的幅度响应frequency in pi unitsD e c i b e l sws1=0.2*pi;wp1=0.35*pi; wp2=0.65*pi;ws2=0.8*pi; As=60;tr_width=min((wp1-ws1),(ws2-wp2)) M=ceil(11*pi/tr_width)+1 n=[0:1:M-1];wc1=(ws1+wp1)/2;wc2=(wp2+ws2)/2; hd=ideal_lp(wc2,M)-ideal_lp(wc1,M); w_bla=(blackman(M))'; h=hd.*w_bla;[H,w]=freqz(h,1,1000,'whole'); H=(H(1:1:501))';w=(w(1:1:501))'; mag=abs(H);db=20*log10((mag+eps)/max(mag)); pha=angle(H);grd=grpdelay(h,1,w); delta_w=2*pi/1000;Rp=-(min(db(1:1:wp/delta_w+1)));As=-round(max(db(ws/delta_w+1:1:501))); subplot(1,1,1);subplot(2,2,1);stem(n,hd);title('理想脉冲响应');axis([0 M-1 -0.1 0.3]);xlabel('n');ylabel('hd(n)'); subplot(2,2,2);stem(n,w_bla);title('blackman 窗'); axis([0 M-1 0 1.1]);xlabel('n');ylabel('w(n)'); subplot(2,2,3);stem(n,h);title('实际脉冲响应'); axis([0 M-1 -0.1 0.3]);xlabel('n');ylabel('h(n)');subplot(2,2,4);plot(w/pi,db);title('相对标尺的幅度响应');grid; axis([0 1 -100 10]);xlabel('frequency in pi units');ylabel('Decibels'); set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,0.2,0.3,1]); set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-50,0]);set(gca,'YTickLabelMode','manual','YTickLabels',['50';'0']); >> sy8_2 tr_width =0.4712 M =75204060-0.100.10.20.3理想脉冲响应nh d (n )20406000.51blackman 窗nw (n )204060-0.100.10.20.3实际脉冲响应nh (n )0.20.31-50相对标尺的幅度响应frequency in pi unitsD e c i b e l s窗函数法设计FIR滤波器的主要特点分析：FIR 滤波器目前常用的设计方法有窗函数法和频率采样法，窗函数法是从时域进行设计，而频率采样法是从频域进行设计。

数字信号处理实验报告

《数字信号处理》实验报告课程名称：《数字信号处理》学院：信息科学与工程学院专业班级：通信1502班学生姓名：侯子强学号：02指导教师：李宏2017年5月28日实验一离散时间信号和系统响应一. 实验目的1. 熟悉连续信号经理想采样前后的频谱变化关系，加深对时域采样定理的理解2. 掌握时域离散系统的时域特性3. 利用卷积方法观察分析系统的时域特性4. 掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法，利用序列的傅里叶变换对离散信号及系统响应进行频域分析二、实验原理1. 采样是连续信号数字化处理的第一个关键环节。

对采样过程的研究不仅可以了解采样前后信号时域和频域特性的变化以及信号信息不丢失的条件，而且可以加深对离散傅里叶变换、Z 变换和序列傅里叶变换之间关系式的理解。

对连续信号()a x t 以T 为采样间隔进行时域等间隔理想采样，形成采样信号：ˆ()()()a a xt x t p t = 式中()p t 为周期冲激脉冲，$()a x t 为()a x t 的理想采样。

()a x t 的傅里叶变换为µ()a X j Ω：上式表明将连续信号()a x t 采样后其频谱将变为周期的，周期为Ωs=2π/T。

也即采样信号的频谱µ()a X j Ω是原连续信号xa(t)的频谱Xa(jΩ)在频率轴上以Ωs 为周期，周期延拓而成的。

因此，若对连续信号()a x t 进行采样，要保证采样频率fs ≥2fm ，fm 为信号的最高频率，才可能由采样信号无失真地恢复出原模拟信号计算机实现时，利用计算机计算上式并不方便，因此我们利用采样序列的傅里叶变换来实现，即而()()j j n n X e x n e ωω∞-=-∞=∑为采样序列的傅里叶变换()()n P t t nT δ∞=-∞=-∑µ1()()*()21()n a a a s X j X j P j X j jn T π∞=-∞Ω=ΩΩ=Ω-Ω∑µ()()|j a TX j X e ωω=ΩΩ=2. 时域中，描述系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应，频域中可用系统函数描述系统特性。

《数字信号处理》实验指导书(2015版)

数字信号处理实验指导书电子信息工程学院2015年4月目录实验一离散信号产生和基本运算 (3)实验二基于MATLAB的离散系统时域分析 (7)实验三基于ICETEK-F2812-A 教学系统软件的离散系统时域分析 (9)实验四基于MATLAB 的FFT 算法的应用 (14)实验五基于ICETEK-F2812-A 的FFT 算法分析 .................................. 错误!未定义书签。

实验六基于ICETEK-F2812-A 的数字滤波器设计 ................................. 错误!未定义书签。

实验七基于ICETEK-F2812-A的交通灯综合控制................................... 错误!未定义书签。

实验八基于BWDSP100的步进电机控制................................................. 错误!未定义书签。

实验一离散信号产生和基本运算一、实验目的1．掌握MATLAB最基本的矩阵运算语句。

2．掌握对常用离散信号的理解与运算实现。

二、实验原理1．向量的生成（1）利用冒号“：”运算生成向量，其语句格式有两种：A=m:nB=m:p:n第一种格式用于生成不长为1的均匀等分向量，m和n分别代表向量的起始值和终止值，n>m 。

第二种格式用于生成步长为p的均匀等分的向量。

（2）利用函数linspace()生成向量，linspace()的调用格式为：A=linspace(m,n)B=linspace(m,n,s)第一种格式生成从起始值m开始到终止值n之间的线性等分的100元素的行向量。

第二种格式生成从起始值m开始到终止值n之间的s个线性等分点的行向量。

2．矩阵的算术运算（1）加法和减法对于同维矩阵指令的A+BA-B对于矩阵和标量（一个数）的加减运算，指令为：A+3A-9（2）乘法和除法运算A*B 是数学中的矩阵乘法，遵循矩阵乘法规则A．*B 是同维矩阵对应位置元素做乘法B=inv（A）是求矩阵的逆A/B 是数学中的矩阵除法，遵循矩阵除法规则A．/B 是同维矩阵对应位置元素相除另A’表示矩阵的转置运算3.数组函数下面列举一些基本函数，他们的用法和格式都相同。

中国地质大学《数字信号处理》习题

数字信号处理教案目录第1章概论................................................................................................................................... 1 第2章离散时间信号与系统 ......................................................................................................... 1 第3章Z 变换及其性质 .................................................................................................................. 3 第4章连续时间信号采样与量化误差 ......................................................................................... 4 第5章变换域分析 ........................................................................................................................... 4 第6章离散傅立叶变换 ................................................................................................................. 5 第7章快速傅立叶变换 ................................................................................................................. 6 第8章离散时间系统的实现 ......................................................................................................... 6 第9章 FIR 数字滤波器的设计 ..................................................................................................... 7 第10 章 IIR 数字滤波器的设计 ................................................................................................... 8 第11 章多采样率信号处理 ............................................................................................................ 8 第12 章多采样率信号处理 ............................................................................................................ 9 第13 章其它信号变换法 (10)第1章概论习题1、将)5cos()cos( t t ωω+展成Fourier 复指数形式。

数字信号处理实验报告_完整版

实验1 利用DFT 分析信号频谱一、实验目的1.加深对DFT 原理的理解。

2.应用DFT 分析信号的频谱。

3.深刻理解利用DFT 分析信号频谱的原理，分析实现过程中出现的现象及解决方法。

二、实验设备与环境计算机、MATLAB 软件环境三、实验基础理论1.DFT 与DTFT 的关系有限长序列的离散时间傅里叶变换在频率区间的N 个等间隔分布的点上的N 个取样值可以由下式表示：212/0()|()()01N jkn j Nk N k X e x n eX k k N πωωπ--====≤≤-∑由上式可知，序列的N 点DFT ,实际上就是序列的DTFT 在N 个等间隔频率点上样本。

2.利用DFT 求DTFT方法1：由恢复出的方法如下：由图2.1所示流程可知：101()()()N j j nkn j nN n n k X e x n eX k W e N ωωω∞∞----=-∞=-∞=⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑∑∑ 由上式可以得到：IDFTDTFT( )12()()()Nj k kX e X k Nωπφω==-∑ 其中为内插函数12sin(/2)()sin(/2)N j N x eN ωωφω--= 方法2：实际在MATLAB 计算中，上述插值运算不见得是最好的办法。

由于DFT 是DTFT 的取样值，其相邻两个频率样本点的间距为2π/N ，所以如果我们增加数据的长度N ，使得到的DFT 谱线就更加精细，其包络就越接近DTFT 的结果，这样就可以利用DFT 计算DTFT 。

如果没有更多的数据，可以通过补零来增加数据长度。

3.利用DFT 分析连续信号的频谱采用计算机分析连续时间信号的频谱，第一步就是把连续信号离散化，这里需要进行两个操作：一是采样，二是截断。

对于连续时间非周期信号,按采样间隔T 进行采样，阶段长度M ，那么：1()()()M j tj nT a a a n X j x t edt T x nT e ∞--Ω-Ω=-∞Ω==∑⎰对进行N 点频域采样，得到2120()|()()M jkn Na a M kn NTX j T x nT eTX k ππ--Ω==Ω==∑因此，可以将利用DFT 分析连续非周期信号频谱的步骤归纳如下：（1）确定时域采样间隔T ，得到离散序列（2）确定截取长度M ，得到M 点离散序列,这里为窗函数。

数字信号处理实验指导书(需印刷)

实验一常见离散信号的MATLAB 产生和图形显示1、实验目的：（１）熟悉MATLAB 应用环境，常用窗口的功能和使用方法。

（２）加深对常用离散时间信号的理解。

（３）掌握简单的绘图命令。

（４）掌握线性卷积的计算机编程方法。

2、实验原理：（１）单位抽样序列⎩⎨⎧=01)(n δ0≠=n n如果)(n δ在时间轴上延迟了k 个单位，得到)(k n -δ即：⎩⎨⎧=-01)(k n δ≠=n k n（２）单位阶跃序列⎩⎨⎧=01)(n u 00<≥n n（３）矩形序列 ⎩⎨⎧=01)(n R N 其他10-≤≤N n（４）正弦序列)sin()(ϕ+=wn A n x（５）复正弦序列jwnen x =)(（６）指数序列na n x =)(（７）线性时不变系统的响应为如下的卷积计算式：∑∞-∞=-=*=m m n h m x n h n x n y )()()()()(3、实验内容及步骤：（１）复习常用离散时间信号的有关内容。

（２）编制程序产生上述6种序列（长度可输入确定，对(4) (5) (6)中的参数可自行选择），并绘出其图形。

（３）已知系统的单位脉冲响应),(9.0)(n u n h n=输入信号)()(10n R n x =，试用卷积法求解系统的输出)(n y ，并绘出n n x ~)(、n n h ~)(及n n y ~)(图形。

4、实验用MATLAB 函数介绍（１）数字信号处理中常用到的绘图指令(只给出函数名，具体调用格式参看help)figure(); plot(); stem(); axis(); grid on; title(); xlabel(); ylabel(); text(); hold on; subplot()（２）离散时间信号产生可能涉及的函数zeros(); ones(); exp(); sin(); cos(); abs(); angle(); real(); imag(); （３）卷积计算可能涉及的函数conv(); length()注：实验过程中也可以使用自己编制的自定义函数，如impseq()、stepseq()等。

数字信号处理实验指导书

注意此书用的时候N要先付值数字信号处理实验指导书目录前言 (1)第一章MATLAB基础知识 (1)第二章MATLAB基本数值运算 (4)第三章MATLAB的图形处理功能 (8)第四章MATLAB的程序设计 (11)第五章常用数字信号处理函数 (16)第六章MATLAB在数字信号处理中的应用 (23)实验一常见离散信号的MATLAB产生和图形显示 (33)实验二离散系统的频率响应分析和零、极点分布 (37)实验三序列线性卷积、圆周卷积的计算及其关系的研究 (39)实验四利用DFT分析信号的频谱 (41)实验五信号时间尺度变换的研究 (43)实验六快速傅里叶变换及其应用 (47)实验七IIR滤波器的实现与应用 (56)实验八FIR滤波器的实现与应用 (61)第一章MATLAB基础知识§1-1 MA TLAB软件简介MATLAB，Matrix Laboratory的缩写，是由Mathworks公司开发的一套用于科学工程计算的可视化高性能语言，具有强大的矩阵运算能力。

它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体，构成了一个界面友好的用户环境，在这个环境中，问题与求解都能方便地以数学的语言（主要是矩阵形式）或图形方式表示出来。

与大家常用的Fortran 和C等高级语言相比，MA TLAB的语法规则更简单，更贴近人的思维方式，被称为“草稿纸式的语言”。

§1-2 MA TLAB应用入门1．MATLAB的安装与卸载MATLAB软件在用户接口时具有较强的亲和力，其安装过程比较典型，直接运行光盘中的安装向导支撑程序SETUP.exe，按其提示一步步选择即可。

MATLAB自身带有卸载程序，在其安装目录下有uninstall子目录，运行该目录下uninstall.exe的即可；也可以通过Windows系统的安装卸载程序进行卸载。

2．MATLAB的启动与退出MATLAB安装完成后，会自动在Windows桌面上生成一个MA TLAB图标，它是指向安装目录下\bin\win32\matlab.exe的链接，双击这个图标即可来到MATLAB集成环境的基本窗口；也可以在开始菜单的程序选项中选择MATLAB 快捷方式；还可以在MA TLAB的安装路径的bin子目录中双击可执行文件matlab.exe。

第8章基于CVI的测试信号

1） Gabor展开和STFT
在方程(8.1)中，Gabor展开用时移函数
s[i ] Cm ,n h[i mM ]e
m n 0
N 1
j 2ni / N
(8.1)
第8章基于CVI的测试信号这里，Gabor的系数Cm,n用STFT来计算，方程为
Cm,n STFT[mM , n] s[i] [i mM ]e
第8章基于CVI的测试信号
第8章基于CVI的测试信号
8.1 信号分析概述 8.2 基于CVI的联合时频分析 8.3 基于CVI的小波分析 8.4 CVI信号分析函数说明
第8章基于CVI的测试信号
8.1 信号分析概述
8.1.1 信号处理的发展过程
信号处理的发展历史久远，19世纪发展起来的经典傅里叶
* i 0
j2ni / N
(8.2)
这里，N表示频率段的个数，ΔM表示采样时间间隔。可以使用
像γ［i］一样的任意函数，只要它的对偶函数h［i］存在。对
于理想的重构，过采样率N/ΔM必须大于等于1。给定h［i］或γ ［i］，LabWindows/CVI用户可以使用SPTFastDualFunction来计
(Fourier)分析和以概率论为基础的统计分析，构成了传统信
号处理技术的理论框架。然而，信号处理作为一门独立的学科，
是伴随着20世纪五六十年代计算机的普及和数字信号处理技术的广泛运用而真正全面发展起来的。其中，一个标志性的进展
是20世纪60年代，快速傅里叶变换算法(FFT)的提出和实现，
使信号实时在线的频谱分析成为可能。
了作为时间和频率函数的信号的能量。
第8章基于CVI的测试信号
图8.1 语言信号时频分析

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H(z)
g
l k1
b0k b1k z1 b2k z2 1 a1k z1 a 2k z2
(8-5)
(5)状态变量(ss)模型。系统的状态方程可表示为：
W(n1) AW(n) BX(n)
Y(n) CW(n) DX(n)
(8-6)
表示为传递函数形式：
H(z) Y(z) C W(z) D X(z) X(z)
统函数的二次分式(sos)模型。
调用格式：
［sos，g］＝zp2sos(z，p，k)；输入系统函数的零-极点增益模型中零点向量z、极点向量p和增益系数k，求系统函数的二次分式模型的系数矩阵sos、增益系数g。
7.ss2tf 功能：将系统状态空间(ss)模型转换为系统传递函数
(tf)模型。
调用格式：
解 MATLAB程序如下：
num＝［0，10，0］； den＝［1，－3，2］；［z，p，k］＝tf2zp(num，den)
程序运行结果如下： z＝
0 p＝
2 1 k＝ 10 根据程序运行结果，零-极点增益模型的系统函数为
H(z) 10( z )( z ) z 2 z1
例8-2 已知离散时间系统的零-极点增益模型 H(z) 5 (z1)(z 3) (z 2)(z 4)
C(zI A)1 B D
(8-7) 在MATLAB中提供了上述各种模型之间的转换函数。这些函数为系统特性的分析提供了有效的手段。
2.系统传递函数(tf)模型与零-极点增益(zpk)模型间的转换
例8-1 已知离散时间系统的传递函数
10 z1 H(z) 1 3z1 2 z2
求系统的零点向量z、极点向量p和增益系数k，并列出系统函数的零-极点增益模型。
［num，den］＝ss2tf(A，B，C，D，xi)；可将系统状态空间(ss)模型转换为相应的传递函数(tf)模型。xi)模型转换为系统状态空间
(ss)模型。
调用格式：
［A，B，C，D］＝tf2ss(num，den)；将系统传递函数 (tf)模型转换为系统状态空间(ss)模型。num按s降幂排列顺序输入分子系数，den按s降幂排列顺序输入分母系数。
极点增益(zpk)模型。
调用格式：
［z，p，k］＝tf2zp(num，den)；输入系统传递函数模型中分子(num)、分母(den)多项式的系数向量，求系统函数的零-极点增益模型中的零点向量z、极点向量p和增益系数 k。其中z、p、k为列向量。
2.zp2tf 功能：将系统函数的零-极点增益(zpk)模型转换为系
实验8 离散系统的描述模型及其转换
1.1 市场与市场营销 1.2 我国汽车市场的发展与现状复习思考题
一、实验目的
(1)了解离散系统的基本描述模型。 (2)掌握各种模型相互间的关系及转换方法。 (3)熟悉MATLAB中进行离散系统模型间转换的常用子函数。
二、实验涉及的MATLAB子函数
1.tf2zp 功能：将系统传递函数(tf)模型转换为系统函数的零-
统传递函数(tf)模型。
调用格式：
［num，den］＝zp2tf(z，p，k)；输入零-极点增益(zpk) 模型零点向量z、极点向量p和增益系数k，求系统传递函数 (tf)模型中分子(num)、分母(den)多项式的系数向量。
3.tf2sos 功能：将系统传递函数(tf)模型转换为系统函数的二
次分式(sos)模型。
三、实验原理
1.离散系统的基本描述模型
一个线性移不变(LSI)离散系统可以用线性常系数差分方程表示：
N
M
y(n) ak y(n k) bmx(n m) (8-1)
k1
m0
这是系统在时间域的表达式，如果在变换域对系统进行描述，则可以采用以下几种模型。
(1)系统传递函数(tf)模型。对式(8-1)所示的线性常系数差分方程两边进行z变换，可以得到离散LSI系统的系统传递函数：
5.sos2zp 功能：将系统函数的二次分式(sos)模型转换为系统函
数的零-极点增益(zpk)模型。
调用格式：
［z，p，k］＝sos2zp(sos，g)；输入系统函数的二次分式模型的系数矩阵sos、增益系数g(默认值为1)，求系统函数的零-极点增益模型中的零点向量z、极点向量p和增益系
k。
6.zp2sos 功能：将系统函数的零-极点增益(zpk)模型转换为系
调用格式：
［sos，g］＝tf2sos(num，den)；输入系统传递函数模型中分子(num)、分母(den)多项式的系数向量，求系统函数的二次分式模型的系数矩阵sos、增益系数g。
4.sos2tf 功能：将系统函数的二次分式(sos)模型转换为系统
传递函数(tf)模型。
调用格式：
［num，den］＝sos2tf(sos，g)；输入系统函数的二次分式模型的系数矩阵sos、增益系数g(默认值为1)，求系统传递函数模型中分子(num)、分母(den)多项式的系数向量。
(8-3)
(3)极点留数(rpk)模型。当式(8-3)模型中的极点均为单极点时，可以将式(8-3)分解为部分分式，表示为系统的极点留数模型：
H(z)
r1 1 p1z1
r2 1 p2z1
rN 1 pNz1
k0
(8-4)
(4)二次分式(sos)模型。离散LSI系统函数经常包含复数的零、极点，把每一对共轭零点或共轭极点多项式合并，就可以得到二次分式模型：
求系统的传递函数(tf)模型。
解 MATLAB程序如下：
z＝［1，－3］； p＝［2，－4］； k＝5；［num，den］＝zp2tf(z，p，k)
程序运行结果如下：
num＝
5 10 －15
den＝
M
H (z)
Y(z)
bmzm
m0
X(z)
N
a k z k
k0
b0 b1z1 b2z2 bMzM 1 a1z1 a 2z2 a NzN
(8-2)
(2)零-极点增益(zpk)模型。对式(8-2)表示的系统传递函数进行因式分解，可以得到系统传递函数的零-极点增益模型：
H(z) k (z q1)(z q2 ) (z qM ) (z p1)(z p2 ) (z pN )