北师大版必修4高中数学第三章二倍角的三角函数课件2
3 答： 20
提示：因为sinx+2cosx= 5 sin(x ) =3
四、学习小结
1．公式的特点要嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的， 如： 是 的倍角. 4 8 2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角— —升次）. 3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形。
角终边所在象限，就可以开平方；公式的“本质”是用 角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切. 2
(2)求sin2α+cos2α的值
5 已知 sin( x) , (0 x ) 题 2、 4 13 4
求 cos 2 x cos( x) 4
(2)
7 15 8
的值。
24 13
已知(2sinx+cosx)(sinx+2cosx-3)=0
sin 2 x cos 2 x 求 的值。 tan 2 x
120 sin 2 169
119 cos 169
120 tan 119
（倍角公式的直接运用）
分析：
1、在题中要求的问题看：显然要写出倍角
公式。 2、分析可知,，要通过正弦函数来求余弦。 3、重点是要确定余弦的正、负号的问题。 一定要根据角终边所在的的象限来确定。
说明： 1、倍角公式不仅可运用 于将2作为的2倍 的情况，还可以运用于 诸如将4作为2的2倍。
2
0
'
0
'
1
例3:要把半径为2的半圆形木料截成长方形(如图),
应怎样截取,才使长方形面积最大? 思考:设哪一个变量较容易表示SABCD
D A O
C B
解:设COB=. 则 AB=4cos, BC=2sin, 则S=4sin2. 当=450时,S=4
提高性题目
5 1、已知α为第二象限角，并且 cos 2 sin 2 2 3 (1)求 sin cos 的值 (1) 2 2 2
4.半角公式左探析新课 学生练习：在两角和的正弦、余弦、正切和 角公式中令 可得到什么结果？
Sin2α=2sinα·cosα 倍 角 公 式
cos 2 cos sin
2 2
cos 2 2 cos 1 2 cos 2 1 2 sin
2
2 tan tan 2 2 1 tan
将作为 的2倍。将 作为 的2倍。 2 2 4 3 将3作为 的2倍等情况。 2
2、对公式我们不仅要会直接的运用，还要会逆 用、还要会变形用，还要会与其它的公式一起 灵活的运用。
例题2、求下列各式的值。
1) sin 67 30 cos67 30 12 0 2 tan150 3) 2 0 1 tan 150 2)2 cos
sin2x=2sinxcosx
上面公式成立吗? 怎样证明?
二、知识回顾：
1．写出两角和的正弦、余弦、正切公式是 什么？
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan tan tan( ) 1 tan tan
一.教学目标：
1.知识与技能：
（1）能够由和角公式而导出倍角公式；（2）能较
熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生 灵活运用数学知识和逻辑推理能力；（3）能推导和 理解半角公式；（4）揭示知识背景，引发学生学习 兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生 的参与意识. 并培养学生综合分析能力.
发学生学数学的兴趣。(2)反馈练习法：以练习来检验
知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程
一、问题提出
观察 sin
3
与 sin
6
与 cos
6
积的关系
用计算器计算sin 360 和sin 180 与cos180的积.
比较sin2x与sinx·cosx的值,猜想sin2x的公式
解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生
灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能
力.提高逆用思维的能力.
二.教学重、难点 ：
重点:倍角公式的应用.
难点:公式的推导.
三.学法与教法：教法与学法：(1)自主+探究性学习：
让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化
归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激
一.教学目标：
2.过程与方法：让学生自己由和角公式而导出倍
角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数
学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学
数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练
习,巩固所学知识.
一.教学目标：
3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们
对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理
公式的变形
cos 2 cos sin
2 2
=(cosa-sina)(cosa+sina)
2
1 cos 2 2 cos
观察特点升幂 倍角化单角少项 函数名不变
1 cos 2 2 sin
2
观察特点升幂 倍角化单角少项 函数名变
5 例1．已知sin , ( , ), 13 2 求 sin 2 , cos 2 , tan 2的值。
提示：因为sinx+2cosx= 5 sin(x ) =3
四、学习小结
1．公式的特点要嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的， 如： 是 的倍角. 4 8 2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角— —升次）. 3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形。
角终边所在象限，就可以开平方；公式的“本质”是用 角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切. 2
(2)求sin2α+cos2α的值
5 已知 sin( x) , (0 x ) 题 2、 4 13 4
求 cos 2 x cos( x) 4
(2)
7 15 8
的值。
24 13
已知(2sinx+cosx)(sinx+2cosx-3)=0
sin 2 x cos 2 x 求 的值。 tan 2 x
120 sin 2 169
119 cos 169
120 tan 119
（倍角公式的直接运用）
分析：
1、在题中要求的问题看：显然要写出倍角
公式。 2、分析可知,，要通过正弦函数来求余弦。 3、重点是要确定余弦的正、负号的问题。 一定要根据角终边所在的的象限来确定。
说明： 1、倍角公式不仅可运用 于将2作为的2倍 的情况，还可以运用于 诸如将4作为2的2倍。
2
0
'
0
'
1
例3:要把半径为2的半圆形木料截成长方形(如图),
应怎样截取,才使长方形面积最大? 思考:设哪一个变量较容易表示SABCD
D A O
C B
解:设COB=. 则 AB=4cos, BC=2sin, 则S=4sin2. 当=450时,S=4
提高性题目
5 1、已知α为第二象限角，并且 cos 2 sin 2 2 3 (1)求 sin cos 的值 (1) 2 2 2
4.半角公式左探析新课 学生练习：在两角和的正弦、余弦、正切和 角公式中令 可得到什么结果？
Sin2α=2sinα·cosα 倍 角 公 式
cos 2 cos sin
2 2
cos 2 2 cos 1 2 cos 2 1 2 sin
2
2 tan tan 2 2 1 tan
将作为 的2倍。将 作为 的2倍。 2 2 4 3 将3作为 的2倍等情况。 2
2、对公式我们不仅要会直接的运用，还要会逆 用、还要会变形用，还要会与其它的公式一起 灵活的运用。
例题2、求下列各式的值。
1) sin 67 30 cos67 30 12 0 2 tan150 3) 2 0 1 tan 150 2)2 cos
sin2x=2sinxcosx
上面公式成立吗? 怎样证明?
二、知识回顾：
1．写出两角和的正弦、余弦、正切公式是 什么？
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan tan tan( ) 1 tan tan
一.教学目标：
1.知识与技能：
（1）能够由和角公式而导出倍角公式；（2）能较
熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生 灵活运用数学知识和逻辑推理能力；（3）能推导和 理解半角公式；（4）揭示知识背景，引发学生学习 兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生 的参与意识. 并培养学生综合分析能力.
发学生学数学的兴趣。(2)反馈练习法：以练习来检验
知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程
一、问题提出
观察 sin
3
与 sin
6
与 cos
6
积的关系
用计算器计算sin 360 和sin 180 与cos180的积.
比较sin2x与sinx·cosx的值,猜想sin2x的公式
解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生
灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能
力.提高逆用思维的能力.
二.教学重、难点 ：
重点:倍角公式的应用.
难点:公式的推导.
三.学法与教法：教法与学法：(1)自主+探究性学习：
让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化
归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激
一.教学目标：
2.过程与方法：让学生自己由和角公式而导出倍
角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数
学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学
数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练
习,巩固所学知识.
一.教学目标：
3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们
对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理
公式的变形
cos 2 cos sin
2 2
=(cosa-sina)(cosa+sina)
2
1 cos 2 2 cos
观察特点升幂 倍角化单角少项 函数名不变
1 cos 2 2 sin
2
观察特点升幂 倍角化单角少项 函数名变
5 例1．已知sin , ( , ), 13 2 求 sin 2 , cos 2 , tan 2的值。
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2019-2020高中北师版数学必修4第3章 §3 第1课时 倍角公式课件PPT
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＝2×153×1123＝112609，cosπ4＋x＝sinπ2－π4＋x
＝sinπ4－x＝153，
120 ∴原式＝1569＝2143.
13
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1．条件求值问题常有两种解题途径： (1)对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函 数名靠拢； (2)对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函 数名靠拢，以便将题设条件代入结论． 2．当遇到π4±x 这样的角时，可利用互余角的关系和诱导公式， 将条件与结论沟通．
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(4)原式＝cossi1n01°－0°co3ss1in0°10°
＝212cossin1100°－°co2s31s0in°10°
＝4sin
30°cos 10°－cos 30°sin 2sin 10°cos 10°
10°
＝4ssiinn2200°°＝4.
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在使用二倍角公式化简时，要注意三种应用：1正用公式，从 题设条件出发，顺着问题的线索，运用已知条件和推算手段逐步达到 目的.2公式逆用，要求对公式特点有一个整体感知.3公式的变形应 用.
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ππ
π
[解]
2sin (1)原式＝
2
12＝sin2
6＝14.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)
＝cos 60°＝12.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°＝－ 3.
＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝1－2×
52
5
＝35.]
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合作探究 提素养
＝2×153×1123＝112609，cosπ4＋x＝sinπ2－π4＋x
＝sinπ4－x＝153，
120 ∴原式＝1569＝2143.
13
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1．条件求值问题常有两种解题途径： (1)对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函 数名靠拢； (2)对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函 数名靠拢，以便将题设条件代入结论． 2．当遇到π4±x 这样的角时，可利用互余角的关系和诱导公式， 将条件与结论沟通．
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(4)原式＝cossi1n01°－0°co3ss1in0°10°
＝212cossin1100°－°co2s31s0in°10°
＝4sin
30°cos 10°－cos 30°sin 2sin 10°cos 10°
10°
＝4ssiinn2200°°＝4.
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在使用二倍角公式化简时，要注意三种应用：1正用公式，从 题设条件出发，顺着问题的线索，运用已知条件和推算手段逐步达到 目的.2公式逆用，要求对公式特点有一个整体感知.3公式的变形应 用.
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ππ
π
[解]
2sin (1)原式＝
2
12＝sin2
6＝14.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)
＝cos 60°＝12.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°＝－ 3.
＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝1－2×
52
5
＝35.]
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合作探究 提素养
高中数学 第三章 三角恒等变形 3 二倍角的三角函数 第2课时 半角公式及其应用课件 北师大版必修4
θ
sin 2 ，
θθ
cos 2 ，tan 2 的值分别为( B )
A．－255， 55，2
B．－255，－ 55，2
2 C.
5
5，－
55，2
D．－255，－ 55，－2
(2)若 cosα＝－45，α 是第三象限的角，则11＋ －ttaannαα22＝( A )
A．－12
1 B.2
C．2
D．－2
(3)若1－sincoαs α＝2，则 cosα－sinα＝_－__75_____.
探究点一 给值求值
已知 α 为钝角，β 为锐角，且 sinα＝45，sinβ＝1123，求 cosα－2 β的值． (链接教材 P127 例 6，例 7) [解]因为 α 为钝角，β 为锐角，sinα＝45，sinβ＝1123， 所以 cosα＝－35，cosβ＝153，
所以 cosα＝－35，cosβ＝153，
(4)若 α 是第一象限角，则 tanα2＝
1－cos α 1＋cos α.(
√
)
解析：(1)错误．只有当－π2 ＋2kπ≤α2≤π2 ＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ
≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cosα2＝
1＋cos α 2.
(2)正确．当 cosα＝－ 3＋1 时，上式成立，但一般情况下不成立．
(3)选公式．涉及半角公式的正切值时，常用
tanα2＝1＋sincoαs
＝ α
1－cos sin α
α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问
题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用 siα计算．
(4)下结论．结合(2)求值.
1.(1)已知|cosθ|＝35，且5π 2 <θ<3π，则
【高中课件】高中数学北师大版必修4二倍角的正弦、余弦和正切导学课件ppt.ppt
(3)(sin5������ +cos5������ )(sin5������ -cos5������ );
12
12
12
12
【解析】(1)原式=4sin ������ cos ������ cos ������ =2sin ������ cos ������ =sin ������=������.
sin ������ cos ������ 的值为( A
12
12
).
A.1
B. 3
C.1
D. 3
4
4
2
2
【解析】sin ������ cos ������ =������(2sin ������ cos ������ )=������sin(2× ������ )=������sin ������=������.
直接利用二倍角、半角等公式进行化简或求值
将下列三角函数式进行化简或求值:
(1)8sin ������ cos ������ cos ������ cos ������ ;
48 48 24 12
(2) 1 - 1 ;
1-������������������������ 1+������������������������
D.sin 1-cos 1
【解析】∵0<1<������,∴cos 1>0,
������
∴ ������ + ������������������������= ������ + (������������������������������������-������)= ������������������������������������= ������cos 1.
北师大版必修4高中数学3.3.1《二倍角的三角函数》ppt课件
tan
1 2
1 3
1 2
5. 6
方法二：
sin2
2sincos sin2 cos2Biblioteka 2tan 1 tan2
,
cos2
cos2 sin2 sin2 cos2
1 1
tan 2 tan 2
,
2tan
原式
＝ sin2 1 cos2
【规范解答】由2α +β ＝π知，β =π-2α ， 所以y＝cos(π-2α)-6sinα =-cos2α-6sinα =2sin2α-6sinα-1 …………………………………………4分 令t＝sinα则t∈[-1,1]，原题变为求y＝2t2-6t-1在区间 [-1,1]上的最值． ………………………………………… 6分
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
sin20
1 sin40cos40cos80 2
sin20
1 sin80cos80 4
1 sin160 8
1.
sin20
sin20 8
方法二： 原式 sin40 g sin80 gsin160 1gsin160 1 .
【数学课件】二倍角的三角函数(2)
最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身
3.2 二倍角的三角函数(2)
探究练习1:
已知tan 1 , tan 1 ,且, 都是锐角,求 2的值?
7
3
探究练习2:
已知：tan
=
1 2
,
求
tan(
2
2
)的值？
探究练习3:
• 1) 已知
x ( , ),sin( x) 3 ,求cos 2x的值？
心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
1.对二倍角公式的变形使用： 1+sin2x=(sinx+cosx)2 ; 1 sin 2x (sin x cos x)2; 1 cos 2x 2 cos2 x; 1 cos 2x 2sin2 x;
3.2 二倍角的三角函数(2)
探究练习1:
已知tan 1 , tan 1 ,且, 都是锐角,求 2的值?
7
3
探究练习2:
已知：tan
=
1 2
,
求
tan(
2
2
)的值？
探究练习3:
• 1) 已知
x ( , ),sin( x) 3 ,求cos 2x的值？
心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
1.对二倍角公式的变形使用： 1+sin2x=(sinx+cosx)2 ; 1 sin 2x (sin x cos x)2; 1 cos 2x 2 cos2 x; 1 cos 2x 2sin2 x;
3.2 二倍角的三角函数(二) 课件 (北师大必修4)
【典例】(12分)求函数 f x
cosx x x cos sin 2 2
的值域.
【审题指导】根据函数结构选择恰当的二倍角公式形式进行
化简，然后用辅助角公式化简求值域.
x x sin 2 cosx 2 2 【规范解答】Q f x x x x x cos sin cos sin 2 2 2 2 x x cos sin 2 2 x „„„„„„„„„„„„„„„„7分 2sin( ), 2 4 又 Q cos x sin x 0, 2 2 x x 即 sin cos , 2 2 cos 2
2
2
2
三角函数实际应用问题 解决三角函数实际应用问题的方法 三角函数实际问题以“三角函数”为模型的数学实际
应用问题，解决这类问题关键在于建立以“角”为自变量
的函数模型，具体求解过程中也要遵循解决数学实际问题
的步骤和程序进行，具体如下：
【例】南方的气候一般多雨，因此南方的房屋一般采取如 图所示的屋顶，那么怎样建造屋顶才能保证雨水流速快 呢？设BC=m为定值.(不考虑雨水的初速)
A
6 6
B
D
cos
1 cos 2 2
1
2 3 30 . 2 6
2.在 tan x 的定义域内，下列各式中恒成立的一个是(
2 x 1 cosx A tan 2 1 cosx
)
x 1 cosx 2 1 cosx x 1 cosx C tan 2 sinx x sinx D tan 2 1 cosx
10 ； 10
10 ， 10
(2) Q sin －x －sin ＋x ＋2cos ＝－
高中数学北师大版必修4第3章3《二倍角的三角函数》ppt课件
(5)原式＝coss1in01°－0°co3ss1i0n°10°＝212cossin1100°－°co2s31s0i°n10° ＝4sin30°c2ossin1100°－°cocso1s03°0°sin10°＝4ssiinn320×°－101°0°＝4ssiinn2200°° ＝4. [规律总结] 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系， 另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及 诱导公式是常用的方法．
42－12＝
2 4.
3．若sinα2＝ 33，则cosα＝( )
A．－23
B．－13
C．13 [答案] C
D．23
[解析]
本题考查了余弦的二倍角公式．因为sin
α 2
＝
3 3
，
所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2( 33)2＝13.
4．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是________，最大值
(1)化简2sicno2sxx·(1＋tanx·tan2x)．
(2)求证：33－ ＋44ccooss22AA＋ ＋ccooss44AA＝tan4A．
[解析] (1)原式＝2s2incxocsoxsx(1＋csoinsxx·1－sincoxsx) ＝sinx(1＋1－cocsoxsx)＝csoinsxx＝tanx.
[规范解答] (1)原式＝sin2×1π2＝sinπ6＝12. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(60°＋4×360°)＝ cos60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－ tan60°＝－ 3. (4)原式＝cos1π2cosπ2－1π2＝cos1π2sin1π2 ＝12·2sin1π2cos1π2＝12sinπ6＝12×12＝14.
3.3.1二倍角的正弦、余弦和正切公式 课件(北师大版必修4)
◎化简 2 sin 8＋1＋ 2cos 8＋2.
【错解】 原式＝2 1＋2sin 4cos 4＋ 4cos 4 ＝2 sin24＋cos24＋2sin 4cos 4＋2|cos 4| ＝2 sin 4＋cos 42＋2|cos 4| ＝2(sin 4＋cos 4)＋2cos 4 ＝2sin 4＋4cos 4.
4 － 3
1 4．已知 cos 2α＝－ ，则 sin2α＝________. 9 5 答案： 9
化简求值 求下列各式的值： π π π π (1)(cos －sin )(cos ＋sin )； 12 12 12 12 1 2π (2) －cos ； 2 8 π 2π (3)cos cos . 5 5
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如： 8α 是 4α 的二倍；6α 是 3α 的二倍；4α 是 2α 的二 3 α α α α 倍； 是 α 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 3α 2 2 4 3 6 α α n＝2·n＋1(n∈N＋)． 2 2
2．二倍角余弦公式的运用 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多 样，应用广泛．二倍角的常用形式：①1＋cos 2α 1＋cos 2α 2 2 ＝2cos α，②cos α＝ ，③1－cos 2α＝ 2 1－cos 2α 2 2 2sin α，④sin α＝ . 2
2
2cos α－1 (2)原式＝ π 2sin －α 4 2 π · －α cos π 4 cos －α 4 2cos2α－1 ＝ π π 2sin －α· cos －α 4 4 2cos2α－1 cos 2α ＝ ＝ ＝1. cos 2α cos 2α
2
[题后感悟] 被化简的式子中有切函数和弦函 数时，常首先切化弦，然后分析角的内部关系， 是否有互余或互补的，若有，应用诱导公式转 化，若没有，再分析角间是否存在线性关系， 并利用两角和与差的三角函数展开，经过这样 处理后，一般就会化简完毕．
高二数学3.3二倍角三角函数 课件 (北师大必修4)
例2.化简
(1ห้องสมุดไป่ตู้(sin
5 5 3 5 5 5 5 2 5 cos2 cos cos )(sin cos ) sin 12 12 6 2 12 12 12 12
4
(2) cos
2
sin
4
2
(cos 2
2
sin 2
2
)(cos 2
2
sin 2
2
) cos
2 tan 1 1 tan 2 (3) 2 1 tan 1 tan 1 tan
(4)1 2cos2 cos 2 2
(5) 1 sin | sin
=
2
cos
2
|
1 sin 8 8
(6)sin cos cos 2 cos 4
例3.已知
5 cos , 是第二象限角，求 sin 2 ,cos 2 , tan 2 的值。 13
例4.要把为R的半圆形木料截成长方形（如右图应怎样截取， 才能使长方形面积最大？
动态分析
7 例5.已知 cos 25
，求
sin
2
, cos
2
, tan
2
的值。
例6.已知
12 3 sin 2 , 2 , 求 tan 13 2
例7.求函数
y cos x cos x sin x
2
的值域.
小结：
sin 2 2sin cos cos 2 cos 2 sin 2 2 cos 1
数学北师大版必修4知识导航：3.3二倍角的三角函数 含
§2 二倍角的三角函数知识梳理1.倍角公式（1）公式：sin2α=2sinαcosα；（S 2α）cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α;（C 2α） tan2α=αα2tan 1tan 2-.（T 2α）（2）公式的理解①成立的条件：在公式S 2α、C 2α中，角α可以为任意角，T 2α则只有当α≠kπ+2π及α≠2πk +4π（k ∈Z ）时才成立.②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是23α的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. ③cos2α的变形：cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α， cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-；（这两个公式称为降幂公式） 1+cos2α=2cos 2α，1-cos2α=2sin 2α.（这两个公式称为升幂公式）2.半角公式 （1）公式：sin2α=±2cos 1α-；cos 2α=±2cos 1α+； tan2α=±ααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 1+=-=+-. （2）公式的理解 关于半角正切公式：tan2α=ααsin cos 1-不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与以下两个公式：tan2α=±ααcos 1cos 1+-和tan 2α=ααcos 1sin +的使用范围不完全相同，后两个公式只要α≠(2k+1)π（k ∈Z ），而第一个公式除α≠(2k+1)π（k ∈Z ）之外，还必须有α≠2kπ（k ∈Z ）.当然，这三个公式可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用.知识导学①要学好本节，有必要复习两角和的正弦、余弦、正切公式；②学好本节的小窍门：在公式的选择运用上，审题是关键，找准题目的突破口，选择适当的方法，定能事半功倍；③选择二倍角余弦公式形式的策略：1加余弦想余弦；1减余弦想正弦；幂升一次角减半；幂降一次角翻番. 解释如下：难疑突破1.求半角的正切值常用什么方法？剖析：难点是半角的正切值公式有三种形式，到底选择哪个来处理问题，突破的路径是靠平时经验的积累.根据经验有，处理半角的正切问题有三条途径：第一种方法是用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理；第二种方法是用tan2α=ααsin cos 1-来处理；第三种方法是用tan 2α=ααcos 1sin +来处理.例如：已知cosα=33，α为第四象限的角，求tan 2α的值.解法一：（用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理）∵α为第四象限的角，∴2α是第二或第四象限的角. ∴tan2α<0. ∴tan 2α=ααcos 1cos 1+-=32331331--=+-- =262)26(21348212-=--=--. 解法二：（用tan2α=ααsin cos 1-来处理）∵α为第四象限的角，∴sinα<0. ∴sinα=36311cos12-=--=--α. ∴tan 2α=ααsin cos 1-=26236331-=--. 解法三：（用tan2α=ααcos 1sin +） ∵α为第四象限的角，∴sinα<0. ∴sinα=36311cos12-=--=--α. ∴tan 2α=ααcos 1sin +=26233633136-=--=--. 比较上述三种解法可知：在求半角的正切tan2α时，用tan 2α=±ααcos 1cos 1+-来处理，要由α所在的象限确定2α所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan 2α=ααsin cos 1-或tan 2α=ααsin cos 1+来处理，可以避免这些问题.尤其是tan 2α=ααsin cos 1+，分母是单项式，容易计算.因此常用tan 2α=ααsin cos 1+求半角的正切值.2.为什么说1+sinα和1-sinα是完全平方的形式？剖析：疑点是对此结论总是产生质疑.其突破的方法是学会推导.要明确这个问题，先从完全平方公式来分析.(a+b)2=a 2+2ab+b 2；(a-b)2=a 2-2ab+b 2，由此看一个式子是完全平方的形式，必须有a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2的形式特点.1±sinα要具备这种形式特点，需要进行恒等变形.观察到完全平方的式子中有a 2和b 2，联想1±sinα中的1能变形为平方和的形式，即变形的方向是1=a 2＋b 2，sinα=2ab.由同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式得1±sinα=sin 22α+cos 22α±2sin 2αcos 2α=(sin 2α±cos 2α)2.这个结论应用很广泛.。