直线与圆的方程题型归类
直线与圆题型总结
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．2、设圆满足：(1)截轴所得弦长为2；(2)被轴分成两段弧，其弧长的比为，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1 已知圆，求过点与圆相切的切线．2 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程．3、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程2、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为 3、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为.类型三：弦长、弧问题1、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长2、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为3、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系1、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，实数m 的取值范围 2圆上到直线的距离为1的点有个？3、直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是4、若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是.5、 圆上到直线的距离为的点共有（）．（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个6、 过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点 类型五：圆与圆的位置关系1、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系2圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有条。
直线和圆的方程题型总结
直线和圆的方程题型总结1. 直线的方程题型1.1 点斜式点斜式方程的形式为：y - y1 = k(x - x1)其中(x1, y1)是直线上已知的一点，k是直线的斜率。
常见的题型包括：例题：已知直线过点 A(2, 3)，斜率为 2. 求直线方程。
解答：根据点斜式方程，直线方程为y - 3 = 2(x - 2)。
1.2 截距式截距式方程的形式为：x/a + y/b = 1其中a是 x 轴截距，b是 y 轴截距。
常见的题型包括：例题：直线与 x 轴和 y 轴的截距分别为 4 和 2. 求直线方程。
解答：根据截距式方程，直线方程为x/4 + y/2 = 1。
1.3 两点式两点式方程的形式为：(y - y1)/(x - x1) = (y - y2)/(x - x2)其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上已知的两点。
常见的题型包括：例题：已知直线通过点 A(-2, 1) 和 B(3, 4). 求直线方程。
解答：根据两点式方程，直线方程为(y - 1)/(x - (-2)) = (y - 4)/(x - 3)。
2. 圆的方程题型2.1 标准式标准式方程的形式为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中(h, k)是圆心坐标，r是半径。
常见的题型包括：例题：圆心坐标为 (-1, 2)，半径为 3. 求圆的方程。
解答：根据标准式方程，圆的方程为(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 3^2。
2.2 一般式一般式方程的形式为：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0其中D, E, F是圆心坐标和半径的函数表达式。
常见的题型包括：例题：圆心坐标为 (2, -1)，半径为 5. 求圆的方程。
解答：根据一般式方程，圆的方程为(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 - 5^2 = 0。
结语本文总结了直线和圆的常见方程题型，包括点斜式、截距式、两点式、标准式和一般式。
直线和圆的方程的题型与方法
第七章直线和圆的方程知识结构第一节直线的倾斜角和斜率学习目标1．了解直线的方程、方程的直线的定义；2．掌握直线的倾斜角、直线的斜率的定义及其取值范围；3．掌握过两点的直线的斜率公式，会运用公式求出有关直线的斜率和倾斜角．重点难点本节重点：正确地理解斜率的概念，熟练地掌握已知直线上两点求直线斜率的公式，这是学好直线这部分内容的关键．本节难点：正确理解直线倾斜角定义中的几个条件，如直线与x轴相交与不相交，按逆时针方向旋转、最小正角等．求倾斜角时，要特别注意其取值范围是高考中，由于本节内容是解析几何成果中最基础的部分，一般是隐含在综合题中进行考查．典型例题【分析】【解】【点评】【分析】【解】【点评】【解法一】代数方法：套两点斜率公式．【解法二】【点评】“解析几何的特点之一是数形结合，数无形时少直观，形无数时难入微．”在学习数学时，应该记住华罗庚的这段话．教材上还涉及证明三点共线的练习题，怎样证明三点共线呢？请看下面例4．【分析】证明三点共线，可以用代数方法、几何方法，可以用直接证法、间接证法，你能想出至少一个方法吗？下面是同学们讨论出的几种证法供参考．【证法一】【证法二】【证法三】第二节直线的方程学习目标掌握直线方程的点斜式、两点式、参数式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程式．重点难点本节重点：直线方程的点斜式和一般式，点斜式是推导直线方程其他形式的基础，一般式是直线方程统一的表述形式．本节难点：灵活运用直线方程的各种形式解题．在高考中几乎每年都要考查这部分内容，题型以选择题、填空题居多．典型例题【分析】关键是确定直线方程中的待定系数．【解】【点评】学习直线的方程常犯的错误是忽略方程各种形式的应用条件，因此造成丢解．本例中各个小题均为两解，你做对了吗？第（4）小题的解法一要用到下节学到的公式，解法二用到课外知识，供有兴趣的同学欣赏．【解法一】【解法二】【解法三】【点评】灵活运用直线方程的各种形式，常常要和平面几何的有关知识相结合．本题还有别的解法，不再一一列举．【解法一】【解法二】【解法三】【证明】【点评】【分析】【解法一】【解法二】【解法三】【点评】第三节两条直线的位置关系学习目标1．掌握两条直线平行与垂直的条件，以及两条直线的夹角和点到直线的距离公式．2．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．重点难点本节重点：两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．本节难点：了解解析几何的基本思想，并用解析几何方法研究角．在高考中，两条直线的位置关系几乎年年必考，常常单独出现在选择题和填空题中，或作为综合题的一部分出现在解答题中．典型例题学习了本节以后，应该对两条直线平行与垂直的充要条件，怎样求直线的斜率、距离与角有哪些公式等问题进行归纳小结，以便提纲挈领地掌握有关知识，并灵活运用这些知识解决问题．1．两条直线平行、垂直的充要条件是什么？答：2．怎样求直线的斜率？答：3．距离和角有哪些公式？能灵活运用吗？答：用下面的例题检验是否理解和掌握了以上这些内容．1．两条直线的位置关系【解】【解】2．两条直线所成的角【解】【解法一】【解法二】3．有关交点的问题（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【解法一】【解】【解法二】4．点到直线的距离【错误的解】【正确的解】【解法一】【解法二】【解法三】【解法四】第四节简单的线性规划学习目标1．了解用二元一次不等式表示平面区域．2．了解线性规划的意义，并会简单的应用．重点难点典型例题学习了简单的线性规划以后，常见的题型是用二元一次不等式表示平面区域，以及用线性规划的知识来解决一些简单的问题．下面的例题可检验是否掌握了这些内容．1．二元一次不等式表示的区域【分析】【解】【点评】例2 试讨论点线距离公式中，去掉绝对值符号的规律？【分析】【解】【点评】2．线性规划初步例3钢管长11.1米，需要截下1.5米和2.5米两种不同长度的小钢管，问如何截取可使残料最少？【分析】关键是利用约束条件，列出线性目标函数．【解】【评析】例4 用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）．（A）5种（B）6种（C）7种（D）8种【解法一】【解法二】【解法三】列表数点．故选（C）．【点评】本题为1999年全国高考试题第14题，难度系数0.47．如果有利用二元一次不等式表示平面区域的知识，此题将不再困难．【分析】甲的解法错误，错在（1）、（2）（3）、（4），反之不行，用必要不充分条件代替原条件，使解的范围扩大，[6，10]是[5，11]的子集．乙的解法正确．本题数形结合，利用本节的知识还可以有以下的解法．【解】【点评】第六节曲线和方程学习目标1．掌握曲线的方程、方程的曲线等概念．2．了解解析几何的基本思想和解析法，学习运动变化、对立统一等辩证唯物主义思想．重点难点本节重点：了解曲线的点集与方程的解集之间的一一对应关系，从而掌握曲线的方程和方程的曲线这两个重要概念，并掌握由曲线的已知条件求方程的方法和步骤，熟悉解析法．本节难点：理解曲线和方程的概念，以及求曲线的方程的方法．在高考中，曲线和方程常是重点考查的内容，出现在解答题中．典型例题学习了本节后主要要掌握求曲线的方程的步骤，以及用解析法解题的步骤，以下归纳供参考．求曲线的方程的步骤是：一建--选取适当的点和直线，建立坐标系；二设--设曲线上点，以及利用已知条件设出其他有关点的坐标等；三列式--根据动点符合的条件，列出含、的方程0；四化简--化方程0为最简形式；五证明--证曲线上点的坐标都是方程的解，以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（这一步不要求写出）．解析法的主要步骤是：一建--建立适当的坐标系．建系原则是使已知条件好用，使表达式简明，运算简便．因此，尽量利用已知点和已知直线；二设--选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程；三算--通过运算，得到所要的结果．用以下例题检验是否理解和掌握了这些内容．1．怎样求轨迹方程【解法一】【解法二】【点评】【错误解法】【正确解法】【点评】【解法一】【解法二】【点评】2．解析法与综合法【证法一】【证法二】【证法三】【证法四】【点评】不同证法，以解析法较简便，复数将在高三年级学习，这里的证法实质和解析法一样，不过是换个说法．【分析】【解】【点评】解析法与综合法的特点，从中你体会到了吗？解析法的优点是程序固定（一建二设三算），操作简便，但一般运算量较大；综合法的优点是思路灵活，但如何添加辅助线不易掌握．【解法一】【解法二】【解法三】【解法四】【点评】“是否可以用代数中的计算过程代替几何中的证明？”“让代数和几何中一切最好的东西互相取长补短”等是笛卡儿创立解析几何的初衷．解析几何既然是用代数方法来研究几何对象的特征和性质，当然对运算能力要求较高．运算能力是一种计算化了的推理能力，是逻辑思维能力与计算知识、方法、技能和技巧的结合．在解析几何中，如果不注意运算方法上的特点和技能，就可能陷入有思路但算不出或很难算出正确结果的窘境，如本题的思路一、二．解析几何中常用的运算方法和技能是：①注意利用平面几何知识，如思路四；②不忘利用定义，尤其是圆锥曲线的定义解题；③充分利用一元二次方程根与系数的关系，并不忘对判别式的要求，如思路三；④合理利用曲线系；⑤数形结合，依形判数，就数论形；⑥灵活运用字母的可轮换性，减少同类量的重复运算．以上方法和技能，要在实际解题中逐步掌握．第七节圆的方程学习目标1．掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程．2．初步了解直线和圆中反映出的运动变化、对立统一等辩证思想和观点．重点难点本节重点：圆的标准方程、一般方程、参数方程及其相互转化．本节难点：直线和圆的综合运用．在高考中，圆的方程在选择题、填空题、解答题等各类题型中出现．本节要掌握三种类型的问题，之一是求圆的方程，之二是直线和圆的综合题，之三是应用直线和圆的知识解决一些问题．1．圆的方程有哪些形式？典型例题用下面的例题检验是否理解和掌握了圆的方程的三种形式：【解法一】【解法二】【解法三】【点评】怎样求圆的方程？这三条思路具有典型意义．【解法一】【解法二】【点评】【解法一】【解法二】【点评】【分析】关键确定圆心坐标和半径．【解】【点评】本题为1997年全国高考理科第25题，难度系数0.20．难在什么地方呢？第一文字叙述较长，有同学读不懂题；第二涉及众多知识，有同学不会运用；第三丢解，忽略了不同的位置关系．会不会用知识和怎样用知识，是一个人有没有能力和能力高低的重要标志，努力吧！2．直线和圆综合题【分析】【解】【点评】【解法一】【解法二】【点评】【分析】【解】【点评】【解法一】【解法二】【点评】分类是自然科学的基本方法，数学中的分类讨论的思想方法，就是依据数学对象的共同点和差异点，将其区分为不同种类，分类讨论并归纳结论，这一思想方法，在近代数学和现代数学中占有重要地位，是应该学习和掌握的重要思想方法．3．怎样利用直线和圆的知识解题？【分析】数形结合，将代数式或方程赋予几何意义．【解】【点评】从“数”中认识“形”，从“形”中认识“数”，数形结合相互转化，是数学思维的基本方法之一．“数学是一个有机的统一体，它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合．”（希尔伯特）数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一，而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力．本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目．【解法一】【解法二】【解法三】【点评】。
直线和圆的方程题型
直线和圆的方程题型直线和圆的方程是解析几何中的重要内容。
在解析几何中，直线和圆的方程是解决几何问题的基础。
本文将介绍直线和圆的方程题型，并提供解题步骤和示例。
直线的方程题型以下是直线的方程题型及解题步骤：1. 已知两点求直线方程问题描述：已知点A(x₁, y₁)和点B(x₂, y₂)，求直线AB的方程。
解题步骤： 1. 使用点斜式公式或两点式公式求解。
- 点斜式公式：直线的方程为 y - y₁ = k(x - x₁)，其中k为斜率。
- 两点式公式：直线的方程为 (y - y₁)/(x - x₁)= (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)。
2.根据题目给出的点坐标，代入公式，求解方程。
2. 已知斜率和一点求直线方程问题描述：已知直线的斜率m和一点A(x₁, y₁)，求直线的方程。
解题步骤： 1. 使用点斜式公式求解。
- 点斜式公式：直线的方程为 y - y₁ = m(x - x₁)。
2.根据题目给出的斜率和点坐标，代入公式，求解方程。
3. 已知截距求直线方程问题描述：已知直线的截距b和斜率m，求直线的方程。
解题步骤： 1. 使用斜截式公式求解。
- 斜截式公式：直线的方程为 y = mx + b。
2.根据题目给出的截距和斜率，代入公式，求解方程。
圆的方程题型以下是圆的方程题型及解题步骤：1. 已知圆心和半径求圆的方程问题描述：已知圆心坐标C(h, k)和半径r，求圆的方程。
解题步骤： 1. 使用标准圆方程求解。
- 标准圆方程：圆的方程为 (x-h)² + (y-k)²= r²。
2.根据题目给出的圆心坐标和半径，代入公式，求解方程。
2. 已知直径的两个端点求圆的方程问题描述：已知直径的两个端点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，求圆的方程。
解题步骤： 1. 使用标准圆方程求解。
- 标准圆方程：圆的方程为 (x-h)² + (y-k)²= r²。
直线与圆的方程必考的几种题型
直线与圆的方程必考的几种题型ʏ河北省三河市第二中学 杨 勇从高考命题的角度看,直线㊁圆的方程及位置关系问题是必考的内容,题型大多以选择题或填空题的形式呈现,此类试题难度中等㊂鉴于以上高考命题特点,建议同学们必须掌握以下几种必考题型㊂一㊁求直线方程例1 已知直线l 1:(m +2)x +m y -8=0与直线l 2:m x +y -4=0,m ɪR ㊂(1)若l 1ʊl 2,求m 的值;(2)若点P (1,m )在直线l 2上,直线l 过点P ,且在两坐标轴上的截距之和为0,求直线l 的方程㊂分析:(1)由题意可知m ʂ0,所以可得m +2m =m 1ʂ-8-4,从而可求出m 的值㊂(2)将点P (1,m )的坐标代入直线l 2的方程,求出m 的值,从而可得点P 的坐标,然后设出直线l 的方程,利用两坐标轴上的截距之和为0,列方程求解㊂解:(1)因为l 1ʊl 2,所以m ʂ0,且m +2m=m 1ʂ-8-4㊂由m +2m =m1,得m 2-m -2=0,解得m =-1或m =2(舍去),故m =-1㊂(2)因为点P (1,m )在直线l 2上,所以m +m -4=0,解得m =2,点P 的坐标为(1,2)㊂设直线l 的方程为y -2=k (x -1)(k ʂ0)㊂令x =0,则y =2-k ;令y =0,则x =1-2k㊂因为直线l 在两坐标轴上的截距之和为0,所以1-2k +2-k =0,解得k =1或k =2㊂因此,直线l 的方程为x -y +1=0或2x -y =0㊂点评:解决直线方程问题时应注意以下几点㊂(1)求解两条直线平行的问题时,在利用A 1B 2-A 2B 1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性㊂(2)要注意直线方程每种形式的局限性,应用点斜式㊁两点式㊁斜截式时,要求直线不能与x 轴垂直㊂而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线㊂(3)讨论两条直线的位置关系时,要讨论直线的斜率是否存在㊂(4)直线与圆相切时,利用 切线与过切点的半径垂直,圆心到切线的距离等于半径 建立关于切线斜率的等式,一般求切线方程时多选择点斜式㊂二㊁求圆的方程例2 (1)已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2,-2),且圆心C 在直线l :x +y +5=0上,则圆C 的方程为㊂(2)经过点(0,0),(0,4),(3,3)的圆的方程为㊂分析:(1)由圆的性质可得,A B 的垂直平分线与直线l :x +y +5=0联立求得圆心为(-3,-2),用两点之间距离公式求得r =|C A |=(-3-1)2+(-2-1)2=5,即可求出圆的标准方程㊂(2)设圆的一般方程为x 2+y 2+D x +E y +F =0,代入三个点的坐标,求出待定系数即可㊂解:因为A (1,1),B (2,-2),所以线段A B 的中点坐标为32,-12,直线A B 的斜率k A B =-2-12-1=-3㊂因此线段A B 的垂直平分线方程是y +12=13x -32,即x -3y -3=0㊂圆心C 的坐标是方程组x -3y -3=0,x +y+5=0的解㊂解此方程组得x =-3,y =-2㊂所以圆心C 的坐标是(-3,-2)㊂因此,圆C 的半径r =|C A |=(-3-1)2+(-2-1)2=5㊂所以圆C 的标准方程是(x +3)2+(y +2)2=25㊂(2)设圆的方程为x 2+y 2+D x +E y +F =0,代入点(0,0),(0,4),(3,3)可得:F =0,16+4E +F =0,18+3D +3E +F =0,解得F =0,D =-2,E =-4㊂故圆的方程为x 2+y 2-2x -4y =0㊂点评:求圆的方程一般有两种方法㊂(1)几何法,通过研究圆的性质㊁直线与圆㊁圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程㊂(2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各个系数㊂三㊁与直线或圆有关的距离问题例3 (1)已知点P 1(1,1),P 2(5,4)到直线l 的距离都等于2,则直线l 的方程为㊂(2)已知圆:x 2+y 2=16上恰有3个点到直线l :y =3x +b (b >0)的距离等于2,则b 的值为㊂分析:(1)直线l 与直线P 1P 2平行,直线l 过线段P 1P 2的中点或斜率不存在,进行分类讨论㊂(2)根据圆上3个点到直线l 的距离等于2,可得圆心到直线l 的距离为4-2=2,利用点到直线的距离公式解出b 即可㊂解:(1)①当l ʊP 1P 2时,因为直线P 1P 2的方程为3x -4y +1=0,所以可设直线l 的方程为3x -4y +m =0㊂由d =|m -1|5=2⇒m =11或m =-9,即直线l 的方程为3x -4y +11=0或3x -4y -9=0㊂②当l 过线段P 1P 2的中点M 3,52时,设l 的方程为y -52=k (x -3),即k x -y +52-3k =0㊂点P 1到l 的距离d =32-2k k 2+1=2⇒k =-724,即y -52=-724(x -3)⇒7x +24y -81=0㊂③当l ʅx 轴时,斜率不存在,此时x =3也符合题意㊂(2)因为圆的方程为x 2+y 2=16,所以圆心为(0,0),半径为4㊂因为圆x 2+y 2=16上恰有3个点到直线l 的距离都等于2,所以只需要圆心到直线l :y =3x +b (b >0)的距离为2即可㊂直线方程为y =3x +b (b >0),所以圆心到直线的距离为b2=2,且b >0,故b 的值为4㊂点评:(1)求点到直线的距离时,应先将直线方程化为一般式㊂(2)求两平行线之间的距离时,应先将两直线方程化为一般式且x ,y 的系数对应相等㊂(3)求曲线上任意一点到已知直线的最小距离,要利用数形结合和转化与化归思想解题㊂四㊁直线与圆㊁圆与圆的位置关系判断例4 (1)(多选)已知直线l :(1+a )x +y +2a =0(a ɪR )与圆C :x 2+(y -2)2=4,则( )㊂A.直线l 必过定点B .当a =1时,l 被圆C 截得的弦长为455C .直线l 与圆C 可能相切D .直线l 与圆C 不可能相离(2)已知圆C 1的圆心在直线x +2y -1=0上,点(3,0)与(1,-2)都在圆C 1上,圆C 2:(x -3)2+(y +1)2=1,则圆C 1与圆C 2的位置关系是㊂分析:(1)将直线l 变形为x +y +a (x +2)=0,求定点坐标,即可判断A 项;根据弦长公式求弦长,判断B 项;根据直线l 所过定点与圆C 的关系,结合直线方程的形式,即可判断C ㊁D 项㊂(2)利用待定系数法求得圆C 1的标准方程,求出圆心距|C 1C 2|,与两圆的半径和㊁差比较即可得出结论㊂解:(1)因为联立x +y =0,x +2=0,得x =-2,y =2,所以直线过点(-2,2),故A 正确㊂当a =1时,l :2x +y +2=0,圆心(0,2)到直线l 的距离d =422+12=45,弦长=2r 2-d 2=455,故B 正确㊂直线l 所过定点(-2,2)在圆上,过点(-2,2)与圆C 相切的直线是x =-2,但直线l :(1+a )x +y +2a =0(a ɪR )表示斜率存在的直线,表示不了直线x =-2,故不存在直线l 与圆C 相切,故C 错误㊂直线所过定点(-2,2)在圆上,所以直线l 与圆C 总有公共点,不可能相离,故D 正确㊂故选A B D ㊂(2)设圆C 1的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 21㊂因为圆心C 1在直线x +2y -1=0上,且该圆经过(3,0)与(1,-2)两点,列方程组a +2b -1=0,(3-a )2+(0-b )2=r 21,(1-a )2+(-2-b )2=r 21,解得a =1,b =0,r 1=2㊂圆C 1的标准方程为(x -1)2+y 2=4,圆心C 1(1,0),半径r 1=2㊂圆C 2:(x -3)2+(y +1)2=1,圆心C 2(3,-1),半径r 2=1㊂则|C 1C 2|=(3-1)2+12=5㊂又r 1+r 2=3,r 1-r 2=1,而1<5<3,故圆C 1与圆C 2的位置关系是相交㊂点评:(1)直线与圆的位置关系有相交㊁相切和相离三种情况,判断直线与圆的位置关系,主要通过比较圆心到直线的距离与半径的大小㊂(2)圆与圆的位置关系有五种,即内含㊁内切㊁相交㊁外切㊁外离㊂两个圆的位置关系的判断依据是两个圆的圆心距与两个圆的半径差的绝对值或半径和的大小关系㊂(3)过圆外一点求解切线段长的问题,可先求出圆心到圆外点的距离,再结合半径利用勾股定理计算㊂五㊁直线与圆㊁圆与圆弦长问题例5 已知圆C 1:(x -a )2+y 2=4与C 2:x 2+(y -b )2=1(a ,b ɪR )交于A ,B 两点㊂若存在a ,使得|A B |=2,则b 的取值范围为㊂分析:根据圆与圆相交弦所在直线方程性质求得直线A B 的方程,利用直线与圆相交弦长公式,求得a ,b 满足的等式关系,根据方程有解,即可得b 的取值范围㊂解:圆C 1:(x -a )2+y 2=4的圆心C 1(a ,0),半径r 1=2㊂圆C 2:x 2+(y -b )2=1的圆心C 2(0,b ),半径r 2=1㊂若两圆相交,则|r 1-r 2|<|C 1C 2|<r 1+r 2,即1<a 2+b 2<3,则1<a 2+b 2<9㊂又两圆相交弦A B 所在直线方程为(x -a )2+y 2-x 2-(y -b )2=4-1,即2a x -2b y -a 2+b 2+3=0㊂所以圆心C 1(a ,0)到直线A B 的距离d 1=|2a 2-0-a 2+b 2+3|4a 2+4b2,圆心C 2(0,b )到直线A B 的距离d 2=|0-2b 2-a 2+b 2+3|4a 2+4b2,则弦长|A B |=2r 21-d 21=2r 22-d 22=2㊂所以d 1=3,d 2=0,则|a 2+b 2+3|4a 2+4b 2=3,|a 2+b 2-3|4a 2+4b 2=0㊂因此,a 2+b 2=3㊂若存在a ,使得|A B |=2,则b 2ɤ3,即-3ɤb ɤ3,所以b 的取值范围为[-3,3]㊂点评:求解圆的弦长的方法有三种㊂(1)几何法,根据半径㊁弦心距㊁弦长构成的直角三角形,构成三者间的关系r 2=d 2+l 24(其中l 为弦长,r 为圆的半径,d 为圆心到弦的距离)㊂(2)公式法,根据公式l =1+k 2|x 1-x 2|求解(其中l 为弦长,x 1,x 2为直线与圆相交所得两个交点的横坐标,k 为直线的斜率)㊂(3)距离法,联立直线与圆的方程,解方程组先求出两个交点坐标,再利用两点间的距离公式求解㊂六㊁隐圆问题例6 (1)已知A (-2,0),B (2,0),点P 满足|P A |2+|P B |2=16,直线l :(m +1)㊃x -y +1-3m =0(m ɪR ),当点P 到直线l 的距离最大时,m 的值为( )㊂A.43 B .13 C .-74 D .-34(2)已知O 为坐标原点,A ,B 在直线x -y -4=0上,|A B |=22,动点M 满足|M A |=2|M B |,则|O M |的最小值为㊂分析:(1)由|P A |2+|P B |2=16可求出点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4,结合图形可知,当O M ʅl 时,点P 到直线l 的距离最大,计算k O M ㊃k l =-1可求得m 的值㊂(2)设M (x ,y ),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由|A B |=22,|M A |2=4|M B |2,得到(x -x 1)2+(y -y 1)2=4(x -x 2)2+4(y -y 2)2,整理得M 点在以D4x 2-x 13,4y 2-y 13为圆心,半径为423的圆上,且圆心D 在直线x -y -4=0上,过O 作l 的垂线,当垂足为圆心D 时,|O M |长度最小,求出|O D |长度即可㊂解:(1)已知A (-2,0),B (2,0),设P (x ,y ),则|P A |2+|P B |2=(x +2)2+y 2+(x -2)2+y 2=2x 2+2y 2+8㊂因为|P A |2+|P B |2=16,所以2x 2+2y 2+8=16,化简得x 2+y 2=4㊂故点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4,其圆心为(0,0),半径为2㊂直线l :(m +1)x -y +1-3m =0(m ɪR ),化简得m (x -3)+x -y +1=0㊂由x -3=0,x -y +1=0,解得x =3,y =4㊂即直线l 恒过定点(3,4)㊂图1设定点为M (3,4),如图1,当O M ʅl 时,点P 到直线l 的距离最大㊂此时k O M ㊃k l =-1,k O M =4-03-0=43,k l=m +1,故43(m +1)=-1,m =-74㊂选C㊂(2)设M (x ,y ),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)㊂因为|A B |=22,所以|A B |2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=8㊂因为|M A ||M B |=2,所以|M A |2=4|M B |2,即(x -x 1)2+(y -y 1)2=4(x -x 2)2+4(y -y 2)2㊂整理得x -4x 2-x 132+y -4y 2-y 132=4(y 1-y 1)2+4(x 1-x 2)29=329,可得M 点在以D 4x 2-x 13,4y 2-y 13为圆心,半径为423的圆上㊂M A ң=(x 1-x ,y 1-y ),B M ң=(x -x 2,y -y 2),当B M ң=-14M A ң时,可得x -x 2=-14(x 1-x ),y -y 2=-14(y 1-y ),即x =4x 2-x 13,y =4y 2-y 13㊂图2易知圆心D4x 2-x 13,4y 2-y 13在直线x -y -4=0上㊂如图2,过O 作x -y -4=0的垂线,当垂足为圆心D 时,|O D |长度最小,|O M |的长度也最小㊂|O D |长度的最小值为|0-0-4|2=22,此时|O M |的最小值为22-423=223㊂点评:(1)利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆㊂(2)在平面上给定相异的两点A ,B ,设点P 与点A ,B 在同一平面上,且满足|P A |=λ|P B |,当λ>0且λʂ1时,点P 的轨迹是一个圆,这个圆我们称为阿波罗尼斯圆㊂(3)两定点A ,B 与动点P 满足P A ң㊃P B ң=λ,点P 的轨迹是隐圆㊂(4)两定点A ,B 与动点P 满足|P A |2+|P B |2是定值,点P 的轨迹是隐圆㊂(责任编辑 徐利杰)。
直线与圆的方程 解答题(八大题型,均为不同类型题)(学生版)24-25学年高二数学期中(人教选修一)
特训06 直线与圆的方程 解答题（八大题型，均为不同类型题）目录：题型1：直线的倾斜角、斜率，方程题型2：交点、距离问题题型3：对称，将军饮马问题题型4：求圆的方程（含轨迹）题型5：直线与圆综合题型6：直线与圆的实际应用题型7：圆与圆综合题型8：难点分析题型1：直线的倾斜角、斜率，方程1．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）已知直线1:(31)(3)300l a x a y ++-+=，直线2:(1)390l a x y -++=．(1)若12//l l ，求实数a 的值；(2)若12l l ^，求实数a 的值．2．（22-23高二上·甘肃武威·期中）已知坐标平面内两点()()3,25,2,1M m m N m ++-.(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？3．（23-24高二上·四川·期中）已知()4,0A ，()1,2B ，(),C m m ，()7,1D -.(1)若直线AB 与CD 平行，求m 的值；(2)若ABC V 为直角三角形，求m 的值.4．（20-21高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知ABC V 的三个顶点的坐标分别为()3,8A ，()3,2B -，()3,0C -.（1）求AB 边上中线CM 所在直线的方程；（2）求BC 边上高AD 所在直线的方程.5．（23-24高二上·浙江·期中）已知()2,3A ，()4,1B -，()0,3C -．(1)求直线AB 和AC 的斜率；(2)若点D 在线段BC （包括端点）上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．6．（23-24高二上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：()()()121740R k x k y k k -+--+=Î．(1)求证：直线l 经过第一象限；(2)当原点O 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．7．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线:210l x y +-=和点()1,2A (1)请写出过点A 且与直线l 平行的直线；(2)求点A 关于直线l 的对称点的坐标.8．（21-22高二上·云南·期中）已知直线l ：()12(3)(4)0x y l l l ++--+=，()()1,3,3,2A B -(1)证明无论l 取何值，直线l 恒过一定点，并求出该定点坐标；(2)若l 与线段AB 有公共点，求l 斜率k 的取值范围．题型2：交点、距离问题9．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知直线2310x y --=和直线30x y +-=的交点为P .(1)求过点P 且与直线210x y --=平行的直线1l 的方程；(2)求线段OP （O 为原点）的垂直平分线2l 的方程.10．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知直线1l ：23180x y ++=，2l ：2380x y +-=，在1l 上任取点A ，在2l 上任取点B ，过线段AB 的中点作2l 的平行线3l .(1)求直线1l 与2l 之间的距离；(2)求直线3l 的方程.11．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知直线1l 的方程为240x y +-=，若直线2l 在x 轴上的截距为32，且12l l ^.(1)求直线1l 和直线2l 的交点坐标；(2)已知不过原点的直线3l 经过直线1l 与直线2l 的交点，且在y 轴上截距是在x 轴上的截距的2倍，求直线3l 的方程.12．（23-24高二上·河南开封·期中）已知ABC V 的顶点()2,0A ，()0,4B ，且重心G 的坐标为24,33æö-ç÷èø.(1)求C 点坐标：(2)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.求ABC V 的欧拉线的一般式方程.题型3：对称，将军饮马问题13．（2020高三·全国·专题练习）已知直线:2310l x y -+=，点()1,2--A ．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ¢的坐标；(2)直线:3260m x y --=关于直线l 的对称直线m ¢的方程；(3)直线l 关于点()1,2--A 对称的直线l ¢的方程．14．（21-22高一下·江西宜春·阶段练习）已知直线1:30l x y -+=及点(4,7)A -和点(1,8)B ，Q 为1l 上一动点．(1)求AQ BQ +的最小值并求出此时点Q 的坐标；(2)在（1）的条件下，直线2l 经过点Q 且与x 轴正半轴､y 轴正半轴分别交于C ､D 两点，当直线2l 与两坐标轴围成的三角形面积取得最小值时，求直线2l 的方程．题型4：求圆的方程（含轨迹）15．（23-24高二上·辽宁·期中）分别求满足下列条件的圆的标准方程：(1)经过点()()3,2,2,3A B ，圆心在x 轴上；(2)经过直线230x y ++=与230x y -+=的交点，圆心为点()2,1C -.16．（23-24高二上·河北保定·期中）已知()()2,0,2,0A B -，动点M 与点A 的距离是它与点B 倍.(1)求点M 的轨迹方程；(2)倍改成(0)k k >倍，求点M 的轨迹.17．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知ABC V 的三个顶点分别是(5,1)A ，(7,3)B -，(8,2)C -．(1)求BC 边上的高所在的直线方程；(2)求ABC V 的外接圆的标准方程．18．（23-24高三上·山西大同·阶段练习）已知线段AB 的端点B 的坐标为()1,3，端点A 在圆()22:14C x y ++=上运动.(1)求线段AB 的中点M 的轨迹方程；(2)已知点(),P x y 为（1）所求轨迹上任意一点，求22x y +的最大值.19．（22-23高二上·四川成都·期中）已知直线l 的倾斜角为135o ，且过点（3，3），直线l 分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，圆C 是以AB 为直径的圆.(1)求圆C 的标准方程；(2)分别判断点M （6，4），点N （-1，1）与圆C 的位置关系.20．（22-23高二上·四川成都·阶段练习）设()3,0A -，()3,0B 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值2.(1)求P 点的轨迹E 方程；(2)求ABP △面积的最大值.21．（22-23高二上·北京怀柔·期中）在平面直角坐标系中，已知点(0,3)A ，(4,0)B ，(1,0)M -，(1,0)N ，O 为原点，以MN 为直径作圆C ．(1)求圆C 的方程；(2)设P 是圆C 上的动点，求22S PA PB =+的最大值和最小值．题型5：直线与圆综合22．（23-24高二上·云南昆明·期中）已知两直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点为P ．(1)直线l 过点P 且与直线310x y ++=平行，求直线l 的一般式方程；(2)圆C 过点()1,0且与1l 相切于点P ，求圆C 的一般方程．23．（23-24高二下·四川·阶段练习）已知圆C 和直线12:240,:20l x y l x y --=--=，若圆C 的圆心为(0,0)，且圆C 经过直线1l 和2l 的交点．(1)求圆C 的标准方程；(2)过定点(1,2)的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，且MN =l 的方程．24．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆C 的圆心在直线y x =上，且过点()()3,0,2,1-(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过()0,3，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．25．（23-24高二上·贵州·期中）已知直线l 经过点()2,1A -，且与直线2210x y +-=平行．(1)求直线l 的方程；(2)已知圆C 与y 轴相切，直线l 被圆C 截得的弦长为1y x =-上，求圆C 的方程．26．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知直线:(21)(1)85l m x m y m +++=+，圆22:(1)(2)25C x y -+-=．(1)证明：直线与圆总有两个交点，与m 的取值无关．(2)是否存在m ，使得直线l 被圆C 截得的弦长为m 的值；若不存在，请说明理由．27．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知圆心为C 的圆经过点()1,1A -和()2,2B --，且圆心在直线:10l x y +-=，求：(1)求圆心为C 的圆的标准方程：(2)设点()1,1P 在圆C 内，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，求四边形ABCD 的面积题型6：直线与圆的实际应用28．（23-24高二上·湖北黄冈·期中）为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时建立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直，保护区的边界为圆心M 在线段OA 上，并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不小于94m .经测量点A 位于点O 正北方向40m 处，点C 位于O 正东方向220m 处（OC 为河岸），3tan 4BCO Ð=.(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时，圆形保护区面积最大.29．（23-24高二上·四川成都·期中）如图所示，有一个矩形坐标场地ABCD （包含边界和内部，A 为坐标原点），AD 长为8米，在AB 边上距离A 点4米的F 处放置一个行走仪，在距离A 点2米的E 处放置一个机器人，机器人行走速度为v ，行走仪行走速度为2v ，若行走仪和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ，那么行走仪将被机器人捕获，称点M 叫捕获点.(1)求在这个矩形场地内捕获点M 的轨迹方程；(2)若N 为矩形场地AD 边上的一点，若行走仪在线段FN 上都能逃脱，问：N 点的位置应在何处？题型7：圆与圆综合30．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆221:2280C x y x y +++-=与圆222:210240C x y x y +-+-=相交于A ，B 两点．(1)求公共弦AB 的长;(2)求圆心在直线y x =-上，且过A ，B 两点的圆的方程;31．（23-24高二上·江西·期中）已知圆1C ：222210x y x y +--+=，圆2C ：()()22245x y r -+-=（0r >）.(1)若圆1C 与圆2C 相外切，求r 的值；(2)若圆1C 与圆2C 有两个公共点，求r 的取值范围.32．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆22:48120C x y x y +--+=，(2,0)A -，O 为坐标原点.(1)若P 为圆C 上的动点，当PAO Ð最大时，求直线PA 的斜率；(2)若圆M 过点O 及点A ，且与圆C 外切，求圆M 的方程.33．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆22:4O x y +=.(1)直线430x y a -+=截圆O 的弦长为a 的值.(2)记圆O 与x 、y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，动点Q Q 的轨迹与圆O 是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.题型8：难点分析34．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆C 过点()2,6A ，圆心在直线1y x =+上，截y 轴弦长为(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 半径小于10，点D 在该圆上运动，点()3,2B ，记M 为过B 、D 两点的弦的中点，求M 的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，若直线BD 与直线:2l y x =-交于点N ，证明：BM BN ×恒为定值．35．（22-23高二上·湖北武汉·期中）如图，已知圆22:1O x y +=，点P 为直线20x y +-=上一动点，过点P 作圆O 的切线，切点分别为M 、N ，且两条切线PM 、PN 与x 轴分别交于A 、B 两点．(1)当P 在直线y x =上时，求PA PB -的值；(2)当P 运动时，直线MN 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．36．（22-23高三上·辽宁·阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy 中，(0,1),(0,4),A B 平面内动点P 满足2PA PB =．(1)求点P 的轨迹方程；(2)点P 轨迹记为曲线τ，若C ，D 是曲线τ与x 轴的交点，E 为直线:4l x =上的动点，直线CE ，DE 与曲线τ的另一个交点分别为M ，N ，直线MN 与x 轴交点为Q ，求2211MQ NQ +的最小值．。
(完整word版)直线与圆的方程典型例题
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a 解之得：1-=a ,202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径)因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解:则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切,则734=+=CA 或134=-=CA ．(1）当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ,或2221)14()2(=-+-a (无解），故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ,或2224)4()1022(=-++-y x ．（2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解）,故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ,或2224)4()622(=+++-y x ． 说明:对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ,其圆心为)1,2(A ,半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析:欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等． ∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ， ∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ． 解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(,半径为55．∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明:本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：（1)截y 轴所得弦长为2；(2）被x 轴分成两段弧,其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程,只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹,若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ．则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+=)(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=．将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ,∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢?类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解:∵点()42，P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ． 说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况,要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决,此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析:首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程,但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有:0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得:0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程.练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程．解：设切线方程为1(3)y k x -=-,即310kx y k --+=， ∵圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2，2=，解得34k =-，∴切线方程为31(3)4y x -=--，即34130x y +-=，当过点M 的直线的斜率不存在时,其方程为3x =，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2， 故直线3x =也适合题意。
直线与圆的方程复习专题
直线与圆的方程复习专题直线与圆的方程复专题一、斜率与过定点问题1.已知点A(1,3)、B(2,6)、C(5,m)在同一条直线上，求实数m的值。
直线的斜率为：(6-3)/(2-1)=3，因为三点在同一条直线上，所以AC的斜率也为3，即(m-3)/(5-1)=3，解得m=9.2.已知m≠0，过点(1,-1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为：-a/3m，因为过点(1,-1)，所以1a+3(-1)m+2a=0，解得a=3m，代入斜率公式得-k=3m/3m，即k=-1.3.已知线段PQ两端点的坐标分别为(-1,1)、(2,2)，若直线l:mx+y-m=0与线段PQ有交点，求m的范围。
设交点为R，则PR的斜率为(2-1)/(2-(-1))=1/3，QR的斜率为(2-1)/(2-(-1))=1/3，因为l与PQ有交点，所以l的斜率也为1/3，即m=1/3+(-1)/3=2/3.二、截距问题：4.若三点A(2,2)、B(a,0)、C(0,b)(ab≠0)共线，则(2-0)/(2-0)=(0-b)/(a-0)，解得a=4b/3，所以11/ab=11/4.5.已知ab0,b0时，直线在第二象限；当a<0,b<0时，直线在第一象限。
6.（1）过点A(1,2)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为y=x+1；（2）过点A(1,2)且在x轴、y轴截距互为相反数的直线方程为y=-x+3.三、平行垂直：7.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则两条直线的斜率相等，即(m-4)/(-2-m)=1，解得m=-1.8.若直线.9.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y-5=0.10.已知直线l1:(m+3)x+4y=5-3m，.五、交点问题：11.过直线.12.若直线l:y=kx-1与直线x+y-1=0的交点位于第一象限，求实数k的取值范围。
直线l与x+y-1=0的交点为(1,k-1)，因为在第一象限，所以1+k-1>0，即k>0；又因为直线l与x+y-1=0的斜率相等，即k=1，所以k=1.六、距离问题：13.已知点(3,m)到直线x+3y-4=0的距离等于1，则|3+3m-4|/√(1^2+3^2)=1，解得m=-2或m=2/3.14.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离为|3(-6)+2(m)-3|/√(3^2+2^2)=|18-2m|/√13.15.（1）平行于直线3x+4y-12=0且与它的距离是7的直线的方程为3x+4y-47=0；（2）垂直于直线x+3y-5=0且与点P(-1,0)的距离是5的直线方程为3x-y-4=0.16.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 y = -2x + 4.七：圆的方程例1、若方程x+y-2x+4y+1+a=0表示的曲线是一个圆，则a的取值范围是 -4<a<6.圆心坐标是(1,-2)，半径是√10.例2、求过点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y=-x上的圆的标准方程，并判断点P(2,4)与圆的关系。
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直线与圆的方程题型归类
一、求直线方程
例1.直线l 过点（－1，2）且与直线2x －3y ＋4=0垂线，则l 的方程是（ ）
（A ）3x ＋2y －1=0 （B ）3x ＋2y ＋7=0 （C ）2x －3y ＋5=0 （D ） 2x －3y ＋8=0 分析：要求过已知点的直线方程只需求斜率，因而可以由与已知直线的垂直关系得到斜率。
解：因为直线2x －3y ＋4=0的斜率为3
232=--
=k ，且直线l 与它垂直，所以，3
2l k =-，
∴l 的方程为3
2(1)2
y x -=-
+，即3210x y +-=选A 点评：本题考查直线的斜率、直线方程、两直线的位置关系，在学习中一定要弄清楚有关概 念、直线方程的不同形式的特点、两直线平行与垂直所满足的条件，熟练掌握、灵活运用。
二、求圆方程
1．直接求圆方程
例2.（1）以点（2，－1）为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是_____________________。
分析：因为圆心知道，只需要求出圆的半径
解：先将直线6x y +=化为一般式60x y +-=,再由圆心到直线的距离公式得：
圆的半径
r =
=,
所以圆的方程为2
2
25
(2)(1)2
x y -++=
点评：此题考查圆的方程，首先要明确圆的标准方程、一般式方程、其中中包含哪些待定系数？其次，要掌握求这些系数的办法。
2．利用对称关系求圆方程
（2）已知圆1C ：2
(1)x ++2
(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（B ）
（A ）2
(2)x ++2
(2)y -=1 （B ）2
(2)x -+2
(2)y +=1 （C ）2
(2)x ++2
(2)y +=1 （D ）2
(2)x -+2
(2)y -=1
分析：要求圆的方程，关键是求圆心坐标和半径。
可以用对称关系代换、也可以列方程求解。
解法1。
将圆1C 方程中的x 用1+y 代换，y 用1-x 代换就会得选项（B ）。
解法2。
设圆心),(2b a C ， 则由已知得 半径12=r , )1,1(1-C
由于两圆关于直线10x y --=对称得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-+--1)
1(10121
2
1a b b a 解得：)2,2(2-C 故选（B ）
点评：对称是直线与圆一章中很重要的问题之一，在学习中要正确理解对称的概念，准确把
握点点对称、点线对称、图形对称的本质，灵活运用。
三、直线与圆
1．直线与圆相切
例3.（1）已知圆C 与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C 的方程为(B)
（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22
(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D)
22(1)(1)2x y +++= 解析：（1）由圆C 夹在直线x-y=0 及x-y-4=0之间，且圆心在直线x+y=0上可知，圆心在第四象限，参看选项。
故选(B) （2）因为，直线x-y=0 和x-y-4=0都是圆的相切线且圆心在直线x+y=0上，所以，直线x-y=0 和x-y-4=0平行且都与直线x+y=0相交，它们的交点是直径的两个端点，求交点坐标可得(B) 点评：本题考察的是圆及其切线，要弄清楚切线的概念、切线与半径的垂直关系、圆心到切线的距离等于半径等。
2．直线与圆相交 例
4.在平面直角坐标系
xoy
中，已知圆
2
2
1:(3)(1)4
C x y ++-=和圆2
2
2:(4)(5)4C x y -+-=
（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为，求直线
l 的方程；
（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线12l l 和，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C
截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.
分析：(1)由弦长公式求斜率或由直角三角形列方程求斜率；（2）P 在以C 1C 2的中垂线上，且与C 1、C 2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P 坐标。
解：(1) 圆1C 被直线所截，弦长为
∴ 设直线l 的方程为),4(-=x k y 即04=--k y kx
4))1(41)3(322
22
=-+---+k k k （
）（ 解得k=0 或 24
7
-
所以，所求直线l 的方程为0y =或7
(4)24
y x =--， (2)依题意点P 在C 1C 2的中垂线上，且与C 1、C 2等腰直角三角形，设点),(y x P 则
)1,3(1-C ，)5,4(2C ，取C 1C 2 中点为D （32
1，）
,21C C PD ⊥ 21PC PC ⊥ 由12
1-=•∴C C PD K K 且 121-=•PC PC K K 得：
点P 坐标为313(,)22-
或51(,)22
-。
点评：本题综合考察直线与圆的相关问题，其中牵扯到直线的斜率、直线方程、两直线的位置关系、点到直线的距离、圆的方程、直线与圆的位置关系以及相关几何关系。
学习时要对这些问题理解清楚、把握准确、熟练运用。
四、圆与圆相交
例 5.若圆422=+y x 与圆
)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，则a=________.
分析：因为，两圆相交连心线垂直公共弦，垂直于弦且平分弦，所以，由勾股定理可解。
解：由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为
a y 1
=
，利用圆心（0，0）
到直线的距离d
1|1|
a =为13222
=-，解得a=1 点评：本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。
考察了同学们的
运算能力和推理能力。