专题十一矩形

专题十一矩形、菱形和正方形
例题导航：
1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2，则的大小关系为
2.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE=DF；②∠DAF=15°；③BE+DF=EF；④AC垂直平分EF；⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确的有（）个.
3.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC边上一点，连接AE，把∠B没AE折叠，使点B落在
B ,
处，当CEB
,
为直角三角形时，BE的长为（）
4.如图①，在△OAB中，∠OAB=90°，∠A0B=30°，OB=8，以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于点E，（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图②，将图中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长.
5.某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同且含有60°角的直角三角尺ABC与AFE按如图①所示的位置放置，现将Rt△AEF绕点A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
（1）求证：AM=AN；
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．
6.在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF，（1）如图（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．
能力达标：
1.如图，在矩形ABCD 中，M 为CD 的中点，以点B 、M 为圆心，分别以BC 、MC 的长为半径画弧，两弧相交于点P ，若∠PBC=70°，则∠MPC 的度数为（ ）
2.如图，在△ABC 中，AC=BC ，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，将△ADE 绕点E 旋转180°得△CFE ，则四边形ADCF 一定是（ ）
3.如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边上的点B ′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD 的面积是（ ）
4.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接DE 和BF ，分别取DE 、BF 的中点M 、N ，连接AM 、CN 、MN ，若AB=22，BC=32，则图中涂色部分的面积为（ ）
5.如图，在菱形ABCD 中，AB=4，∠B=60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，连接EF ，则△AEF 的 面积是（ ）
6.如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF=BE ，（1）求证：CE=CF ；（2）若点G 在AD 上，且∠GCE=45°,则GE=BE+GD 成立吗？为什么？
7.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF.（1）求证：AF=DC ；（2）AD ⊥BC ，试判断四边形ADCF 的形状并证明你的结论。

拓展提升：
1.如图，把一长方形纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（）
2.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）
3.正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（）
4.如图，将正三角形每条边四等分，然后过这些分点作平行于其他两边的直线，则以图中线段为边的菱形的个数是（）
5.如图，在□ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O。

（1）求证：△ABN≌△CDM
（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长。

6.如图①，O为正方形ABCD的中心，延长OA到点F，延长OD到点E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF，将△△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F′OE′（如图2）。

（1）探究AE′与BF′的数量关系，并给予证明；
（2）当α=30°时，求证△AOE′为直角三角形。

7.若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形.如菱形就是和谐四边形
（1）如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=120°,∠C=75°,BD平分∠ABC.求证:BD是梯形ABCD的和谐线;
（2）如图2,在12×16的网格图上(每个小正方形的边长为)有一个扇形BAC,点A、B、C均在格点上,请在网格图上各找一个点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线,并画出相应的和谐四边形;
（3）在四边形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC是四边形ABCD的和谐线,求∠BCD的度数.
8.以四边形ABCD的这AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、
G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH。

（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），
①试用含α的代数式表示∠HAE；
②求证：HE=HG；
③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．。