国考行测备考：等差数列相关知识点梳理

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等差数列知识点

学生活动组织规定随着社会的进步和教育发展，学生活动组织在学校中起到了越来越重要的作用。

学生活动组织旨在培养学生的组织能力、领导力和团队合作意识，丰富学生的课余生活，提高综合素质。

然而，学生活动组织的发展也面临一些问题，比如管理混乱、资源浪费等。

因此，制定一套科学合理的学生活动组织规定显得尤为重要。

一、明确学生活动组织的目标和任务首先，学生活动组织的目标应该明确，是为了培养学生的领导能力、创新能力和团队合作精神。

其次，学生活动组织的任务包括组织各类活动，如文艺演出、科技竞赛、志愿服务等，提供学生展示才华的平台，同时能够为学生提供锻炼和发展的机会。

二、建立学生活动组织的组织架构学生活动组织的组织架构应该建立起来，包括学生会、社团联合会、班级组织等。

学生会负责各项活动的策划和组织，社团联合会负责管理和资源协调，班级组织则负责本班级内的活动组织。

这样的组织架构可以使学生活动组织更加规范化和专业化。

三、明确学生活动组织的活动范围和权限学生活动组织应明确自己的活动范围和权限，不能越权行使。

活动范围可以根据学校的特点、学生的需求和资源的情况确定。

而权限则需要按照学校的规定来执行，不能滥用职权或者超越权限进行活动。

四、制定学生活动组织的活动流程和标准为了保证学生活动组织的规范进行，需要制定一套科学合理的活动流程和标准。

活动流程包括活动策划、方案制定、活动组织、活动评估等。

活动标准则包括活动主题、参与人数、活动时间、活动预算等方面的规定。

五、加强学生活动组织的师资培训学生活动组织需要具备一定的组织和管理能力，而这需要有经验丰富的老师进行指导和培训。

学校应该加强对学生活动组织师资的培训，提高他们的专业素养和组织能力，从而保证学生活动组织的有效开展。

六、加大学生活动组织的宣传力度学生活动组织需要有一定的知名度和影响力，这就需要加大宣传力度。

学校可以利用校园电视台、校报和校网等渠道，对学生活动组织的活动进行宣传报道，让更多的学生了解和参与进来。

公务员考试行测数量关系：说说等差数列那些事

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差，都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母名缝纫工进行技术评比，9名工人的得分恰好成等差数列，9人的平均得分是86分，前5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是多少?
公务员考试行测数量关系：说说等差数列那些事
公务员考试行政职业能力测验主要测查与公务员职业密切相关的、适合通过客观化纸笔测验方式进行考查的基本素质和能力要素，包括言语理解与表达、数量关系、判断推理、资料分析和常识判断等部分。行政职业能力测验涉及多种题目类型，试题将根据考试目的、报考群体情况，在题型、数量、难度等方面进行组合。了解公务员成绩计算方法，可以让你做到心中有数，认真备考。
【例题3】某一天，小李发现台历已经有一周没有翻了，就一次性翻了七张，这七天的日期数加起来恰好是77，请问这一天是几号?
A.13 B.14 C.15 D.17
【中公解析】：C.结合选项，7天是连续的，这一天是13到17号，因此日期数没有跨月，则翻过去的7天日期数应为是公差为1的等差数列。因此7天日期和为77，中间项为第4天为77÷7=11号，以此类推，最后一天是14号，那么当天为15号，答案为C选项。
【例题2】某学校在400米跑道上举行万米长跑活动，为鼓励学生积极参与，制定了积分规则：每跑满半圈积1分，此外，跑满1圈加1分，跑满2圈加2分，跑满3圈加3分……以此类推。那么坚持跑完一万米的同学一共可以得到的积分是多少分??
A.325 B.349 C.350 D.375
【中公解析】D.根据“每跑满半圈积1分”，1万米即为25圈，50个半圈，每个半圈积一分，则得分为50分。根据“跑满1圈加1分，跑满2圈加2分，跑满3圈加3分……”，可知，跑完25圈的累计积分为，公差为1的等差数列的前25项之和。故得分为。所以，总得分为325+50=375分，答案为D选项。

国考行测数量关系之生活中的等差数列

国考行测数量关系之生活中的等差数列从小到大我们在学习数学这一门学科的过程中，总会觉得在实际生活里的用处不大，买菜的时候可能也不会考察我们对数字的敏感程度，吃饭的时候也不会去求一张饼的面积有多大，但其实数学的思维和思考的逻辑却是贯穿于生活之中的，可以解决很多实际的问题。

例如等差数列这一个知识点在生活中也是经常出现的。

什么是等差数列呢?它指的是对于一列数而言，从第二项开始，每一项与前一项的差，都是一个固定的常数，这样的数列就叫做等差数列，相差的差值，这个固定的常数叫做公差。

例如：1，3，5，7，9……这一组数从第二项开始，往后每一项与前一项的差值都是固定的常数2，则这一组数就是公差为2的等差数列。

通常情况下，关于等差数列容易考察对于通项公式和求和公式的理解和应用。

例1：某个月有五个星期六，已知这五个日期的和为85，则这个月中最后一个星期六是多少号?A.10B.17C.24D.31【答案】D。

由于每过一个星期，日期数都会加七，因此第二个星期六，它的日期数比第一个星期六的日期数多七，第三个星期六的日期数比第二个星期六的日期数多七，则一个月之中连续的星期六，他们的日期数就形成了彼此差七的等差数列。

已知这五个日期之和为85，则根据等差数列中项的求和公式可以直接求出五项的中间项，即第三项的数值为85÷5=17，说明第三个星期六的日期为17号，想去求最后一个星期六即是第五个星期六的日期，需要在第三个星期六，17号的基础上再过两个星期，加上两倍的公差得到，为17+2×14=31号。

选择D选项。

例2：国际象棋棋盘为64方格，用铅笔从第一格开始填写1，第二格填写2，第三格填写3，以此类推至64，然后用橡皮将所有能被3整除的数全部擦掉，所剩数字的总和是多少?A.2408B.1387C.1408D.1487【答案】B。

如果从正向思考，找出剩余的数字，再将其加和，计算的过程会比较复杂。

因此我们想，所有的数字之和，该是由两部分组成，一部分是所有能被3整除的数字之和，另一部分就是我们所要求的剩余数字总和。

等差等比知识点总结

等差等比知识点总结一、等差数列1. 定义等差数列又叫等差数列，是一种特殊的数列，它的相邻两项之间的差都是相同的，这个差值称为公差。

比如一个等差数列通常的形式是a，a+d，a+2d，a+3d，…其中a是首项，d 是公差。

2. 通项公式设等差数列的首项为a，公差为d，那么它的通项公式为：an = a + (n - 1)d，其中n为数列的项数。

3. 性质① 等差数列的任意一项可以表示成它的首项和公差的线性组合；② 等差数列的前n项和为Sn = n(a + l)/2，其中l为数列的最后一项；③ 若等差数列的前n项和为Sn，则Sn+k = Sn + kn(k为常数)；④ 若Tn为等差数列的前n项和，那么Sn = Tn - (n-1)d；⑤ 若Tn为等差数列的前n项和，那么T1、T2、…、Tn为等差数列；⑥ 等差数列的和与项数成正比例。

4. 应用等差数列的应用非常广泛，它可以用在数学、物理、工程学等各个领域。

在数学中，利用等差数列可以解决关于求和、求通项公式、求公差、求项数等各种问题。

在物理中，等差数列可以用来描述各种运动的位移、速度、加速度等之间的关系。

在工程学中，等差数列也可以用来描述一些周期性变化的规律。

二、等比数列1. 定义等比数列又叫等比数列，是一种特殊的数列，它的相邻两项之间的比值都是相同的，这个比值称为公比。

比如一个等比数列通常的形式是a，ar，ar²，ar³，…其中a是首项，r是公比。

2. 通项公式设等比数列的首项为a，公比为r，那么它的通项公式为：an = a * r⁽ⁿ⁻¹⁾，其中n为数列的项数。

3. 性质① 等比数列的任意一项可以表示成它的首项和公比的乘积；② 对于等比数列，前n项和的公式为Sn = a(1-rⁿ)/(1-r)；③ 若Tn为等比数列的前n项和，那么Sn = Tn - a；④ 若Tn为等比数列的前n项和，那么T1、T2、…、Tn为等比数列；⑤ 等比数列的和与项数成正比例。

等差数列知识点归纳总结

等差数列知识点归纳总结等差数列（ArithmeticSequence）是指一组有序的满足规定的数据，通常按公差d（即每一项与其前一项的差值）来进行排列，即形如a1,a1+d,a1+2d,a1+3d.....an-1,an的数列，其中a1是等差数列的第一项，d是等差数列的公差，而an是等差数列最后一项。

二、等差数列的性质1、如果等差数列的公差不为0，则等差数列中任意两项的差值均相等，即d=a2-a1=a3-a2=a4-a3=....an-1-an-2=an-an-1；2、如果等差数列的公差为0，则等差数列的所有数据均相等，即a1=a2=a3=...=an-1=an；3、等差数列的每一项与等差数列的第一项和项数都有关，即a3=a1+2d,a4=a1+3d......an=a1+(n-1)d；4、等差数列的和 Sn=a1+a2＋a3＋....an-1＋an＝n/2（a1＋an）；5、等差数列中任一项的平方和与项数有关，即a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2=n(2a1a2+(n-1)d^2)/3；三、等差数列的特殊性质1、等差数列的四项和等差数列a1，a2，...，an中任意四项的和都是一定的，即a1+a2+a3+a4=a2+a3+a4+a5=......an-3+an-2+an-1+an；2、等差数列的两项之积等差数列a1，a2，...，an中任意两项的乘积也是一定的，即a1×a2=a2×a3=......an-1×an；3、等差数列的总和等差数列的总和Sn=a1+a2+a3+......an-1+an可表示为n/2(a1+an)，即Sn=n/2(首项与末项的和)；四、等差数列的运用1、求等差数列的某一项如果给出等差数列的首项和公差，通过公式a3=a1+2d，a4=a1+3d，...，an=a1+(n-1)d可以计算出第n项的值；2、求等差数列的和等差数列的和Sn=a1+a2＋a3＋....an-1＋an=n/2（a1＋an），如果给出等差数列的首项和末项，则可以通过公式求出等差数列的和；3、求等差数列的任意项之和如果要求等差数列从a1到an的和，可以通过Sn=n/2(a1+an)求解；4、求等差数列某两项之和如果要求等差数列从a1到an的和，可以通过Sn=n/2(a1+an)求解，如果要求从第m项到第n项的和，可以使用公式S(m，n)=n/2(am+an)；五、等差数列的应用1、等差数列应用于等额本息贷款等额本息是指在贷款到期时，贷款本息全部偿还，每期还款数相等，比较为常见的一种贷款形式，它的特点是本金渐渐减少，利息渐渐减少，每期还款金额相等。

行测数量关系考点：等差数列

公务员考试行政职业能力测验主要测查与公务员职业密切相关的、适合通过客观化纸笔测验方式进行考查的基本素质和能力要素，包括言语理解与表达、数量关系、判断推理、资料分析和常识判断等部分。

行政职业能力测验涉及多种题目类型，试题将根据考试目的、报考群体情况，在题型、数量、难度等方面进行组合。

了解公务员成绩计算方法，可以让你做到心中有数，认真备考。

在公职类笔试当中，行测考试一直占据着不可撼动的位置，很多同学感觉自己的行测成绩无法提高，或者提高不明显，一个很大的原因就是因为很多人都会把行测理科当中的数量关系放弃掉，感觉自己一定要舍弃一部分的题目，那就是数量关系的题目，殊不知，每次数量的题目其实并不是特别的难，里面很多有技巧性的题目是可以快速解决掉的，而在这么多题目里面，有一些题目也是我们在初高中阶段就有接触的，比如几何问题、等差数列、等比数列、裂项公式等等，这些内容往往会勾起大家内心深处的记忆，那么，对于等差数列大家还掌握多少呢?今天，中公教育专家带大家一起会会“老朋友”——等差数列。

一、基本公式
二、具体应用
例1：某商店10月1日开业后，每天得营业额均以100元的速度上涨，已知该月15日这一天的营业额为5000元，问该商店10月份的总营业额为多少元?。

2022国家公务员考试行测技巧：深入浅出探究“等差数列”

2022国家公务员考试行测技巧：深入浅出探究“等差数列”2022国家公务员笔试备考已开始，为了帮助大家提早备考，这里特整理了，包含：常识判断、言语理解与表达、数量关系、判断推理、资料分析、行测技巧，希望可以帮助大家顺利备考。

下面为大家分享：2022国家公务员考试行测技巧：深入浅出探究等差数列。

||2022国家公务员考试行测技巧：深入浅出探究等差数列对于大多数公考考生来说，行测数量关系一直是一个令人头疼的板块，虽然在数量关系中确实有一部分题目有一定的难度，解题的过程可能也会花比较多的时间，但是并不是意味着数量关系中所有的题目都特别难，还是存在有部分题目比较简单,而且还具备一定的技巧;对于这部分题目，如果我们掌握了相应的解题策略，也可以很快的对这部分题目进行求解。

今天中公教育就重点学习在行测数量关系中具备固定解题策略的一类问题等差数列。

一、定义等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。

二、核心公式三、例题展示【例题1】如果一个等差数列共有25项，和为3700，而且它的每一项都是自然数，那么这个等差数列的第13项的值是多少?A.74B.8C.148D.160【中公解析】C。

由等差数列求和公式可知，解得。

故本题选C。

【例题2】论文集中收录了一篇十多页的论文，其所在各页的所有页码之和为1023。

问这篇论文之后的一篇论文是从第几页开始的?A.94B.99C.102D.109【中公解析】B。

结合选项且论文有十多页，根据等差数列中项求和公式，1023 11=93，则这篇论文最后一页页码为98，本题所求为99。

故本题选B。

【例题3】某剧院有33排座位，后一排比前一排多3个座位，最后一排有135个座位。

这个剧院一共有( )个座位。

A.2784B.2871C.2820D.2697【中公解析】B。

等差数列求和问题，公差为3，则第一排有135 -(33-1)3=39个座位，座位总数为33 (39+135) 2=2871个。

等差数列知识点总结与题型归纳讲义

10.1等差数列知识梳理.等差数列1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)①通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d )⇒当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数．②通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(3)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．①若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．②当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(4)前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2――→a n ＝a 1＋(n －1)dS n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋a 1－d2n ⇒当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且没有常数项．2.常用结论：已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .(2)若{a n }是等差数列，则S nn 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12.(3)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.题型一.等差数列的基本量1．已知等差数列{a n}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a6＝11．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝12，3a2＝a5，∴2a1+5d＝12，3（a1+d）＝a1+4d，联立解得a1＝1，d＝2，∴a6＝a1+5d＝11故答案为：112．（2018•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，∴3×(31+3×22p=a1+a1+d+4a1+4×32d，把a1＝2，代入得d＝﹣3∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．故选：B．3．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴1+3+1+4=2461+6×52=48，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{a n}的公差为4．故选：C．题型二.等差数列的基本性质1．在等差数列{a n}中，已知a5+a10＝12，则3a7+a9等于（）A．30B．24C．18D．12【解答】解：∵等差数列{a n}中，a5+a10＝12，∴2a1+13d＝12，∴3a7+a9＝4a1+26d＝2（2a1+13d）＝24．故选：B．2．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则a9−1311的值为（）A．17B．16C．15D．14【解答】解：由a4+a6+a8+a10+a12＝（a4+a12）+（a6+a10）+a8＝5a8＝120，解得a8＝24．a9−1311=a1+8d−1+103=23a1+143d=23（a1+7d）=23a8＝16故选：B．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝10，S4＝36，则公差d为2．【解答】解：∵a3＝10，S4＝36，∴a1+2d＝10，4a1+4×32d＝36，解得d＝2．故答案为：2．题型三.等差数列的函数性质1．下面是关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：（1）数列{a n}是递增数列；（2）数列{na n}是递增数列；（3）数列{}是递减数列；（4）数列{a n+3nd}是递增数列．其中的真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差d＞0，则a n＝a1+（n﹣1）d＝dn+a1﹣d，∴数列{a n}是递增数列，故（1）正确；B=B2+(1−p，当n＜K12时，数列{na n}不是递增数列，故（2）错误；=+1−，当a1﹣d≤0时，数列{}不是递减数列，故（3）错误；a n+3nd＝4nd+a1﹣d，数列{a n+3nd}是递增数列，故（4）正确．∴真命题个数有2个．故选：C．2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2（n∈N*），则{a n}的通项公式为（）A．a n＝2n B．a n＝2n﹣1C．a n＝3n﹣2D．=1，=12，≥2【解答】解：∵S n＝n2，∴当n＝1时，a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，而当n＝1时也满足，∴a n＝2n﹣1．故选：B．3．在数列{a n}中，若a n＝5n﹣16，则此数列前n项和的最小值为（）A．﹣11B．﹣17C．﹣18D．3【解答】解：令a n＝5n﹣16≤0，解得n≤3+15．则此数列前n项和的最小值为S3=3×(−11+15−16)2=−18．故选：C．题型四.等差数列的前n项和经典结论1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，则S6＝（）A．27B．33C．36D．45【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，故2（S6﹣S3）＝S3+S9﹣S6，即2（S6﹣9）＝9+72﹣S6，求得S6＝33，故选：B．2．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，1=−11，1010−88=2，则S11＝（）A．﹣11B．11C．10D．﹣10【解答】解：=B1+oK1)2，得=1+(K1)2，由1010−88=2，得1+10−12−(1+8−12)=2，d＝2，1111=1+(11−1)2=−11+5×2=−1，∴S11＝﹣11，故选：A．3．若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知=2r1，则77等于（）A．1321B．214C．1327D．827【解答】解：∵=2r1，∴77=2727=132(1+13)132(1+13)=1313=132×13+1=1327，故选：C．题型五.等差数列的最值问题1．已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当S n最大时，n的值为（）A．8B．9C．10D．16【解答】解：∵等差数列{a n}中，S16＞0且S17＜0∴a8+a9＞0，a9＜0，∴a8＞0，∴数列的前8项和最大故选：A．2．在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n为何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．【解答】解：∵等差数列{a n}中S10＝S15，∴S15﹣S10＝a11+a12+a13+a14+a15＝5a13＝0，∴a13＝0，∴数列的前12项为正数，第13项为0，从第14项开始为负值，∴当n＝12或13时，S n取得最大值，又公差d=13−113−1=−53，∴S12＝12×20+12×112（−53）＝130∴S n的最大值为1303．（2014·江西）在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时S n取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，−78）．【解答】解：∵S n＝7n+oK1)2，当且仅当n＝8时S n取得最大值，∴7＜8 9＜8，即49+21＜56+2863+36＜56+28，解得：＞−1＜−78，综上：d的取值范围为（﹣1，−78）．题型六.证明等差数列1．已知数列{a n}满足1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，数列{b n}满足=1−1(∈∗)．（1）求证数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}中的最大项和最小项．【解答】解：（1）由1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，得a n+1＝2−1（n∈N•）b n+1﹣b n=1r1−1−1−1=12−1−1−1−1=1…（4分）又b1=−52，所以{b n}是以−52为首项，1为公差的等差数列…（6分）（2）因为b n＝b1+（n﹣1）＝n−72，所以a n=1+1=22K7+1．…（9分）1≤n≤3时数列{a n}单调递减且a n＜1，n≥4时数列{a n}单调递减且a n＞1所以数列{a n}的最大项为a4＝3，最小项为a3＝﹣1．…（14分）2．已知数列{a n}中，a2＝1，前n项和为S n，且S n=o−1)2．（1）求a1；（2）证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；【解答】解：（1）令n＝1，则a1＝S1=1(1−1)2=0（2）由=o−1)2，即=B2，①得r1=(r1)r12．②②﹣①，得（n﹣1）a n+1＝na n．③于是，na n+2＝（n+1）a n+1．④③+④，得na n+2+na n＝2na n+1，即a n+2+a n＝2a n+1又a1＝0，a2＝1，a2﹣a1＝1，所以，数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n＝n﹣1课后作业.等差数列1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝72，则a1+a5+a9＝（）A．36B．24C．16D．8【解答】解：由等差数列的求和公式可得，S9=92（a1+a9）＝72，∴a1+a9＝16，由等差数列的性质可知，a1+a9＝2a5，∴a5＝8，∴a1+a5+a9＝24．故选：B．2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S8＝4a3，a7＝﹣2，则a10＝（）A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣2【解答】解：等差数列{a n}中，前n项和为S n，且S8＝4a3，a7＝﹣2，则81+28=41+81+6=−2，解得a1＝10，d＝﹣2，∴a10＝a1+9d＝﹣8．故选：A．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＞0，2a5+a11＝0，则下列说法错误的为（）A．a8＜0B．当且仅当n＝7时，S n取得最大值C．S4＝S9D．满足S n＞0的n的最大值为12【解答】解：∵2a5+a11＝0，∴2a1+8d+a1+10d＝0，∴a1＝﹣6d，∵a1＞0，∴d＜0，∴{a n}为递减数列，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣6d+（n﹣1）d＝（n﹣7）d，由a n≥0，（n﹣7）d≥0，解得n≤7，∴数列前6项大于0，第7项等于0，从第8项都小于0，∴a8＜0，当n＝6或7时，S n取得最大值，故A正确，B错误；∵S4＝4a1+6d＝﹣24d+6d＝﹣18d，S9＝9a1+36d＝﹣28d+36d＝﹣18d，∴S4＝S9，故C正确；∴S n＝na1+oK1)2=2（n2﹣13n）＞0，解得0＜n＜13，∴满足S n＞0的n的最大值为12，故D正确．故选：B．4．若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝8时，{a n}的前n项和最大；当S n＞0时n的最大值为15．【解答】解：∵a7+a8+a9＝3a8＞0，a7+a10＝a8+a9＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴n＝8时，{a n}的前n项和最大；∵S15=15(1+15)2=15a8＞0，S16=16(1+16)2=8（a8+a9）＜0，∴当S n＞0时n的最大值为15．故答案为：8；15．5．在数列{a n}中，a2＝8，a5＝2，且2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是（）A．210B．10C．50D．90【解答】解：∵2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），即2a n+1＝a n+2+a n（n∈N*），∴数列{a n}是等差数列，设公差为d，则a1+d＝8，a1+4d＝2，联立解得a1＝10，d＝﹣2，∴a n＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n．令a n≥0，解得n≤6．S n=o10+12−2p2=11n﹣n2．∴|a1|+|a2|+…+|a10|＝a1+a2+…+a6﹣a7﹣…﹣a10＝2S6﹣S10＝2（11×6﹣62）﹣（11×10﹣102）＝50．故选：C．6．已知在正整数数列{a n}中，前n项和S n满足：S n=18（a n+2）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=12a n﹣30，求数列{b n}的前n项和的最小值．【解答】解：（1）∵S n=18（a n+2）2，∴当n＝1时，1=18(1+2)2，化为(1−2)2=0，解得a1＝2．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1=18（a n+2）2−18(K1+2)2，化为（a n﹣a n﹣1﹣4）（a n+a n﹣1）＝0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝4．∴数列{a n}是等差数列，首项为2，公差为4，∴a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．（2）b n=12a n﹣30=12(4−2)−30=2n﹣31．由b n≤0，解得≤312，因此前15项的和最小．又数列{b n}是等差数列，∴数列{b n}的前15项和T15=15(−29+2×15−31)2=−225．∴数列{b n}的前n项和的最小值为﹣225．。

等差数列知识点汇总

专题二等差数列巩固——等差、等比数列是重要的、基本的数列，许多其它数列要转化成这种数列来处理，要站好这块地盘一、明确复习目标1．理解等差数列的概念和性质；2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能用公式解决简单问题二．建构知识网络1．定义：)()(1•+∈=-N n d a a n n 常数2．通项公式：d n a a n )1(1-+=，推广：d m n a a m n )(-+= d =11--n a a n ，d =mn a a mn --是点列（n ，a n ）所在直线的斜率. 3．前n 项的和：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=21()22d d n a n =+- 变式：21n a a +=nS n4．等差中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c 5．性质:设{a n }是等差数列，公差为d,则 (1)m+n=p+q ,则a m +a n =a p +a q(2) a n ,a n+m ,a n+2m ……组成公差为md 的等差数列.(3) S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ……组成公差为n 2d 的等差数列.(4)当n=2k-1为奇数时，S n =na k ；S 奇=ka k ，S 偶=(k-1)a k (a k =a 中) 6．等差数列的判定方法(n ∈N*)(1)定义法: a n+1-a n =d 是常数 (2)等差中项法:212+++=n n n a a a(3)通项法:d n a a n )1(1-+= (4)前n 项和法:Bn An S n +=27．n n S a n d a ,,,,1知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质, 三数:d a a d a +-,,, 四数d a d a d a d a 3,,,3-+-- 8.会从函数角度理解和处理数列问题.三、双基题目练练手1.（2006全国Ⅱ）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613s s =，则612ss = ( ) （A ）310 （B ）13 （C ）18 （D ）192. (2006广东) 已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是( )A 5B 4C 3D 23.等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0且a 11＞|a 10|，S n 为其前n 项和，则 ( ) A. S 10小于0，S 11大于0 B. S 19小于0，S 20大于0 C. S 5小于0，S 6大于0 D. S 20小于0，S 21大于04.(2006天津)已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，1a 、*1b N ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于A ．55B ．70C ．85D ．100 （）5.等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2+a 4+a 15=p 是一常数，则S 13=6.在等差数列{}n a 中,已知499,6,63n a a S ==-=,则n= .简答:1-4.ACBC; 3. a 11＞|a 10|=－a 10，∴a 10+a 11=a 1+a 20＞0.∴S 20=10（a 1+a 20）＞0.选 B4.11110(1)(1)13,5(413)85n b n a a b a b n n S =+-=++--=-=+=5. a 2+a 4+a 15=p （常数），∴3a 1+18d =p ，即a 7=31p . ∴S 13=2)(13131a a +⨯=13a 7=313p .6.设首项为1a ,公差为d ,则⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧+=-+=3188639111d a d a d a 得76:)1(231863==--==∴n n n n n S n 或得四、经典例题做一做【例1】(1)若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390, 求这个数列项数.(2)等差数列{}n a 的前10项的和,10010=S 前100项的和10100=S ,求前110项的和.110S 解(1)1231234,146n n n a a a a a a --++=++=Q 又12132n n n a a a a a a --+=+=+Q11:3()180,60n n a a a a +=+=两式相加得,13,3902)(1==+=n a a n S n n 得由 (2)分析一:方程的思想,将题目条件应用公式表示成关于首项1a 与公差d 的两个方程.解法一:设{}n a 的首项为1a ,公差d ,则11111110109100502:1109910010099102100d a d a d a ⎧⎧=-+⨯⨯=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪+⨯⨯==⎪⎪⎩⎩解得110109110211101110-=⨯⨯+=∴d a S分析二:运用前n 项和变式: Bn An S n +=2解法二: {}n a 为等差数列,故可设Bn An S n +=2,则1110101001000010010100-=+⎩⎨⎧=+=+B A B A B A 解得110)110(1101101102110-=+=+=∴B A B A S解法三：290290)(100111001110100-=+∴-=⨯+=-a a a a S S Θ1102110)(2)(110100*********-=⨯+=+=∴a a a a S方法提炼:本题是等差数列的基本计算,要求熟练准确.题(1)利用了等差数列的性质和前S n 公式的特点;题(2)法一:转化为两个基本量,是重要的方法;法二利用了前n 项和公式的函数式特征.【例2】数列{a n }的前n 项和为S n =npa n （n ∈N *）且a 1≠a 2，（1）求常数p 的值；（2）证明：数列{a n }是等差数列. 分析：（1）注意讨论p 的所有可能值.（2）运用公式a n =⎩⎨⎧--11n nS S S .2,1≥=n n 求a n .解：（1）当n =1时，a 1=pa 1，若p =1时，a 1+a 2=2pa 2=2a 2，∴a 1=a 2，与已知矛盾，故p ≠1.则a 1=0. 当n =2时，a 1+a 2=2pa 2，∴（2p －1）a 2=0.∵a 1≠a 2，故p =21. （2）由已知S n =21na n ，a 1=0.n ≥2时，a n =S n －S n －1=21na n －21（n －1）a n －1.∴1-n n a a =21--n n .则21--n n a a =32--n n ，…，23a a =12.(n ≥3) ∴2a a n=n －1.∴a n =（n －1）a 2， a n －a n －1=a 2. (n ≥3) 又a 2-a 1=a 2,所以从第二项起每项减去前项的差是同一常数. 故{a n }是以a 2为公差，以a 1为首项的等差数列.提炼拓展: 证明等差数列的方法:1.由定义a n -a n-1=d, 2.等差中项,3.通项公式a n =pn+q,4.S n =Pn 2=qn例3．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少相同的项？并求出所相同项的和。

在等差数列知识点归纳总结

在等差数列知识点归纳总结等差数列是数学中常见的数列形式，其性质和规律对于学习数学和应用数学具有重要意义。

本文将对等差数列的定义、性质、求和公式以及实际应用进行归纳总结。

定义：等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。

通常用字母代表数列的首项，用常数d表示公差（即相邻两项的差值），则等差数列的一般形式可以表示为：a，a+d，a+2d，a+3d，...，其中a为首项，d为公差。

性质：1. 等差数列的第n项可以表示为an = a + (n-1)d。

2. 等差数列的前n项和可以表示为Sn = (2a + (n-1)d) * n/2。

3. 等差数列的求和公式可以用来求解等差数列的前n项和。

4. 等差数列的对称性：如果等差数列中有一个数等于首项与尾项的和，则该数在等差数列的位置与首项和尾项的位置关于中间项的位置对称。

求和公式：等差数列的前n项和公式为Sn = (2a + (n-1)d) * n/2，其中Sn表示前n项的和，a表示首项，d表示公差，n表示项数。

实际应用：等差数列的概念和求和公式在实际生活中有着广泛的应用，特别是在数学和统计学中。

1. 在数学领域，等差数列的概念是理解和解决数列问题的基础。

应用等差数列的知识，可以帮助我们预测未知数列的某些特性，从而更好地解决一些实际问题。

2. 在统计学中，等差数列的求和公式可以应用于计算某些现象的累计变化趋势，如人口增长、财富分布等。

通过对等差数列的分析，我们可以得出一些重要的结论和规律。

3. 在金融领域，等差数列的应用也很常见。

例如，计算存款利息、贷款偿还计划等都可以应用等差数列的性质和求和公式。

通过对等差数列的定义、性质、求和公式以及实际应用的总结归纳，我们可以更好地理解和应用这一重要的数学概念。

对于学习数学和应用数学的人来说，掌握等差数列的知识是非常有益的，它为我们解决实际问题提供了有效的工具和思路。

在今后的学习和应用中，我们应该深入理解等差数列的性质和规律，并善于将其运用到实际问题中，从而提升自己在数学和应用数学领域的能力。

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国考行测备考：等差数列相关知识点梳理
等差数列是我们在高中一年级重点学习过的数列形式，也是近几年国考行测数学的重点
题型之一。虽然这部分内容对于我们来说并不算陌生，但是我们还是有必要再重新回顾一下
以下几个知识点。
首先是“中位数”，这个概念是考试命题的核心，不管是等差数列求和还是求等差数列
中的某一项，都是围绕中位数来展开的。那么什么是中位数呢，其实顾名思义，所谓的中位
数就是处于中间位置上的数字。在这里大家要注意：如果等差数列的项数是奇数项的话，中
位数就是处于中间位置上的数；如果是偶数项的话，中位数就是中间两个数字的平均数。在
等差数列求和这种题型中，我们经常用到的公式是：和=中位数×项数。此外我们还需要掌

握级差公式：an-am=(n-m)公差。下面通过几道例题给大家演示这两个公式的具体应用。
【例1】某一天节秘书发现办公桌上的台历已经有9天没有翻了，就一次翻了9张，这
9天的日期加起来，得数恰好是108，问这一天是几号？( )
A.14 B.13
C.17 D.19
【答案】C
【解析】9张台历上的日期构成一个等差数列，所以这道题相当于告诉我们等差数列有
9项，而且9项的和是108，根据这一条件我们可以求中位数，即第5天的日期是108÷9=12，
那么题目求的是这一天的日期，当我们翻了9页的时候，呈现在我们眼前的是第10天的日
期，所以根据级差公式，第10天比第5天多5天，应该是12+5=17号。
【例2】77个连续自然数的和是7546，则其中第45个自然数是( )。
A.91 B.100
C.104 D.105
【答案】
C
【解析】根据题意，77个连续自然数构成一个公差是1的等差数列，那么它们的和是
7546，我们可以求到第39个数字是7546÷77=98，再根据级差公式可知第45
个数字比第

39个数字都6，所以第45个自然数是98+6=104。

( )。
A.32 B.36
C.156 D.182
【答案】
C
【解析】题目要求的是前13项的和，那么我们只需要找到第7项就可以了，由第一个
式子可以得到a7=8+a10-a3,再根据级差公式可知：a10-a3=a11-a4=7d,所以a7=8+4=12，
所以前13项的和等于：13×12=156，选择C选项。
综合上述几个例题我们发现，等差数列的考点主要是围绕“中位数”来展开的，所以我
们要深刻理解“中位数”的概念以及它与级差公式的结合使用，只有这样才能掌握好这部分
题型，才能在有限的时间内迅速得分。