八下暑假数学讲义
八年级(下)数学 同步讲义 四边形的存在性
四边形的存在性内容分析本节包含两部分，平行四边形的存在性及梯形的存在性，常见题型是存在菱形和正方形，根据题目中的条件及特殊的平行四边形的性质构造等量关系，求出相应的点的坐标；常见的梯形的问题中，经常需要添加辅助线，考察学生的分类讨论思想及逻辑思维能力．知识结构模块一平行四边形的存在性知识精讲平行四边形的问题是近几年来考试的热点，考察学生的分类讨论的思想．常见的题型是在平面直角坐标系中已知三点和第四点构成平行四边形，求第四点；或者已知两点，另外两点在某函数图像上，四点构成平行四边形；利用两点间的距离公式和平移的思想，结合题目中的条件构造等量关系进行求解即可．在几何中，平行四边形的判定方法有如下几条：①两组对边互相平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分；⑤两组对角相等。
在压轴题中，往往与函数（坐标轴）结合在一起，运用到④⑤的情况较少，更多的是从边的平行、相等角度来得到平行四边形．- 2 -ABCM 1M 2M 31、 知识内容：已知三点后，其实已经固定了一个三角形（平行四边形的一半），如图ABC ．第四个点M 则有3种取法，过3个顶点作对边的平行线且取相等长度即可（如图中3个M 点）．2、 解题思路：（1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标； （2） 用一点及其对边两点的关系，求出一个可能点； （3） 更换顶点，求出所有可能的点；（4） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．【例1】 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =24 cm ，BC =26 cm ，动点P 从点A 出发沿AD 方向向点D 以1cm /s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿着CB 方向向点B 以3cm /s 的速度运动．点P 、Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形； （2）经过多长时间，四边形PQBA 是矩形．例题解析思路剖析【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为A (3， 0)，点B 的坐标为B (0， 4)．（1）求直线AB 的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点，点O 为坐标原点，点D 在第二象限，且四边形BCOD 为菱形，求点D 坐标；（3）在（2）的条件下，点E 在x 轴上，点P 在直线AB 上，且以B 、D 、E 、P 为顶点 的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P 的坐标．【例3】 如图，在平面直角坐标系中，过点(2，3)的直线y ＝kx ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将此直线向下平移3个单位，所得到的直线l 与x 轴交于点C ． （1）求直线l 的表达式；（2）点D 为该平面直角坐标系内的点，如果以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行 四边形，求点D 的坐标．ABOxyAB Oxy【例4】如图，已知直线l1经过点A(－5，－6)且与直线l2：362y x=-+平行，直线l 2与x轴、y轴分别交于点B、C．（1）求直线l1的表达式及其与x轴的交点D的坐标；（2）判断四边形ABCD是什么四边形．并证明你的结论；（3）若点E是直线AB上一点，平面内存在一点F，使得四边形CBEF是正方形，求点E的坐标，请直接写出答案．【例5】直线364y x=-+与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿O B A→→运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．xOy- 4 -【例6】 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，∠B 是锐角，AF ⊥BC 于点F ， CH ⊥AD 于点H ， 在AB 边上取点E ，使得AE ＝AH ，在CD 边上取点G ，使得CG ＝CF ．联结EF 、FG 、GH 、HE ．（1）求证：四边形EFGH 是矩形；（2）当∠B 为多少度时，四边形EFGH 是正方形．并证明．【例7】 如图所示，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，正比例函数y =kx （x 为自变量）的图像与双曲线2y x=-交于点A ，且点A 的横坐标为2-．（1）求k 的值；（2）将直线y =kx （x 为自变量）向上平移4个单位得到直线BC ，直线BC 分别交x 轴、y 轴于B 、C ，如点D 在直线BC 上，在平面直角坐标系中求一点，使以O 、B 、D 、P 为顶点的四边形是菱形．ABC OxyABCDEFGH- 6 -【例8】 在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =4，将一个30°角的顶点P 放在AB边上滑动，保持30°角的一边平行于BC ，且交边AC 于点E ，30°的另一边交射线BC 于点D ，连ED ．（1）如图，当四边形PBDE 为等腰梯形时，求AP 长；（2）四边形PBDE 有可能为平行四边形吗．若可能，求出PBDE 为平行四边形时，AP 的长，若不可能，说明理由；（3）若点D 在BC 边上（不与B 、C 重合），试写出线段AP 的取值范围．ABCDE P梯形的分类讨论题多见于各类压轴题中，由于这类题目都与图形的运动有关，需要学生有一定的想象力、分析力和运算力．梯形的主要特征是两底平行，特殊梯形又可分为等腰梯形和直角梯形两大类．常见题型为在直角坐标平面内已知三点求第四点，抓住梯形两底平行的特征，对应的一次函数的解析式的k 相等而b 不相等．若是等腰梯形，常需添设辅助线，过上底的两个顶点作下底的垂线，构造两个全等的直角三角形．若是直角梯形，则需连接对角线或过上底的一顶点作下底的高构造直角三角形．【例9】 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =12cm ，DC =8cm ，且∠C =60°，动点P 以1cm/s的速度从点A 出发，沿AD 方向向点D 移动，同时，动点Q 以2cm /s 的速度从点C 出发，沿C 出发，沿CB 方向向点B 移动，连接PQ ，（1）得四边形ABQP 和四边形PQCD .若设移动的时间为t 秒（0＜t ＜7），四边形PQCD 的面积为ycm ²，求y 与t 的函数关系式；（2）当t 为何值时，四边形QPCD 是等腰梯形．说明理由； （3）当t 为何值时，四边形PQCD 是直角梯形．模块二 梯形的存在性知识精讲例题解析QPBCDA- 8 -【例10】 如图，一次函数33y x b =+的图像与x 轴相交于点A (53，0)、与y 轴相交于点B ． （1）求点B 的坐标及∠ABO 的度数；（2）如果点C 的坐标为（0，3），四边形ABCD 是直角梯形，求点D 的坐标【例11】 如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点G 为BC 的中点，点E 为线段BC 延长线上的一点，且CE ＝12BC ，过点E 作EF //CA ，交CD 于点F ，联结OF ．（1）求证：OF //BC ；（2）如果四边形OBEF 是等腰梯形，判断四边形ABCD 的形状，并给出证明．【例12】 如图，在平面直角坐标系中，直线l 1经过O 、A (1，2)两点，将直线l 1向下平移6AB C OxyABCDEFGO个单位得到直线l 2，交x 轴于点C ，B 是直线l 2上一点，且四边形ABCO 是平行四边形．（1）求直线l 2的表达式及点B 的坐标；（2）若D 是平面直角坐标系内的一点，且以O 、A 、C 、D 四个点为顶点的四边形是等腰梯形，求点D 的坐标．【例13】 已知一次函数142y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，梯形AOBC 的边AC =5．（1） 求点C 的坐标；（2） 如果点A 、C 在一次函数y =kx +b （k 、b 为常数，且k <0）的图像上，求这个一次 函数的解析式【例14】 如图1，在平面直角坐标系中，已知点A (0，2)，点P 是x 轴上一动点，以线段APAOC xy为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．（1）求点B的坐标；（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，求证：∠ABQ＝90°；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．ABOPQ xyABO xy图1备用图- 10 -【例15】 在直角平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM ∥x 轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y =x +b （b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，连接OD ． （1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）若动点P 在x 轴的正半轴上，以每秒2个单位长的速度向右运动；动点Q 在射线CM 上，且以每秒1个单位长的速度向右运动，若P 、Q 分别由O 点、C 点同时出发，问几秒后，以P 、Q 、O 、D 为顶点的四边形可以成为平行四边形；以P 、Q 、O 、D 为顶点的四边形是否可以成为等腰梯形．写出理由．1AO4CxMy- 12 -【习题1】 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B两点．过点A 的直线交y 轴正半轴于点C ，且点C 为线段OB 的中点． （1）求直线AC 的表达式；（2）如果四边形ACPB 是平行四边形，求点P 的坐标．【拓展】如果以A 、C 、P 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．【习题2】 如图，在平面直角坐标系中，直线162y x =-+与y 轴交于点A ，与直线12y x =相交于点B ，点C 是线段OB 上的点，且△AOC 的面积为12． （1）求直线AC 的表达式；（2）设点P 为直线AC 上的一点，在平面内是否存在点Q ，使四边形OAPQ 为菱形， 若存在，求点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．随堂检测ABCOxy ABO xy【习题3】 如图，已知在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，AB ＝8cm ，BC ＝26cm ，动点P 从A 点开始沿AD 边以1cm /s 的速度向D 运动，动点Q 从C 点开始沿CB 边以3 cm /s 的速度向B 运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为t 秒，当t 为何值时，线段PQ ＝CD ．【作业1】 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A 、B两点，点A 的坐标为(2，3)，点B 的横坐标为6． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）如果点C 、D 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCD 是平行四边形，求直线CD 的表达式．课后作业ABCDQPAB CDABOxy【作业2】已知一条直线y=kx+b在y轴上的截距为2，它与x轴、y轴的交点分别为A、B，且△ABO的面积为4．（1）求点A的坐标；（2）若k<0，在直角坐标平面内有一点D，使四边形ABOD是一个梯形，且AD∥BO，其面积又等于20，试求点D的坐标．【作业3】定义[p，q]为一次函数y＝px＋q的特征数．（1）若特征数为[3，k－1]的一次函数为正比例函数，求k的值；（2）一次函数y＝kx＋b的图像与x轴交于点A(3-，0)，与y轴交于点B，且与正比例函数43y x=的图像的交点为C (m，4)．求过A、B两点的一次函数的特征数；（3）在（2）的条件下，若点D与A、O、C构成的四边形为平行四边形，直接．．写出所有符合条件的点D的坐标．A BCO x y- 14 -【作业4】 如图所示，直线y =-2x +12，分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段OC 上，点D 的纵坐标是4． （1） 求点C 的坐标和直线AD 的解析式；（2） P 是直线AD 上的点，请你找出一点Q ，使得以O 、A 、P 、Q 这四个点为顶点的 四边形是菱形，写出所有满足条件的Q 的坐标．BA Cyx。
第05讲 平方根-2024年新八年级数学暑假提升讲义(北师大版 学习新知)
第05讲平方根模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根；2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根；3．掌握平方根与算术平方根的有关运算。
知识点1算术平方根（1）定义：一般地，如果一个正数x 的平方根等于a ,即：2,x a =那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作，读作“根号a ”,（2）表示方法：非负数a的算术平方根记作a ,（3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即0=；③负数没有算术平方根，当式子a 一定是一个非负数。
知识点2平方根（1）定义:一般地，如果一个正数x 的平方根等于a ,即：2,x a =那么数x 就叫做a 的平方根，记作a ±，读作“正负根号a ”,（2）表示方法：一个数a （a ≧0）的平方根记作a ±(a ≧0)，读作根号a ,“正负根号a ”,（3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。
知识点3开平方（1）定义:求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，a 叫做被开方数；（2）22(0)a a a ≥与( ）的性质：（1）2(0),0(0),(0).a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩（2）2()(0)a a a =≥（3）22)a a 与(的区别与联系区别：取值范围不同：2a 中a 为任意实数；()2a 中a 0≥；被开方数不同：2a 中被开方数为2a ；()2a 中被开方数为a ；运算顺序不同：2a 先平方再开方；()2a 先开方再平方。
联系：2a 结果为非负数；()2a 中a ≧0时，2a =()2a 考点一：算术平方根与平方根概念理解例1．（2024·山东菏泽·二模）下列说法正确的是（）A ．64是8的算术平方根B ．981C 93D ．一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1【变式1-1】（23-24七年级下·全国·假期作业）下列语句写成数字式子正确的是（）A ．9是81的算术平方根：9=B ．5是2(5)-5C ．6±是366=±D ．2-是42=-【变式1-2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下面语句中正确的是（）A ．64的平方根是4±B ．18的平方根是12-C ．9-的平方根是3-D ．116的算术平方根是14【变式1-3】（23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）下列说法正确的是（）A ．9-的算术平方根是3B ．9的平方根是3C ．0的平方根与算术平方根都是0D ．平方根等于本身的数是0和1考点二：求一个数的算术平方根例2.（23-24七年级下·吉林·期中）4的算术平方根是．【变式2-1】（23-24七年级下·吉林松原·期中）49100的算术平方根是．【变式2-2】（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）16的平方根是，=．【变式2-3】（2024七年级下·全国·专题练习）（1=，=，=，=，=，对于任意实数0=．（2）2=，2=，2=，2=，对于任意非负数a ，猜想2=．考点三：利用算术平方根的非负性解题例3.（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·|1|0-=b ，那么()2024a b +的值为（）A ．1-B ．1C ．20243D ．2024-【变式3-1】（23-24八年级下·重庆永川·期中）已知x ，y |3|0y +=，则x y +=()A ．1-B ．1C ．5D ．5-【变式3-2】（23-24七年级下·云南昆明·期中）若01x -=，则20232024x y +的值为（）A ．0B ．1C ．1-D ．2【变式3-3】（23-24八年级下·广西防城港·期中）已知()210x -=）A ．2B ．2-C ．4D ．4-考点四：求算术平方根的整数部分和小数部分例4.的整数部分为a ，小数部分为b ，则=a ，b =．【变式4-1】（20-21七年级上·山东泰安·的整数部分是．小数部分是．【变式4-2】（23-24八年级下·河北廊坊·2-的整数部分是m ，小数部分是n ，则m =，n =．【变式4-3】已知a ，b 2a ﹣b 的值为．考点五：与算术平方根有关的规律探索题例5.（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）按要求填空：（1）填表并观察规律：2.638=______；0.06164=61.64=，则x =______．【变式5-1】（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）（1）填表并观察规律：5.8==___________；0.035==，则x =___________．（3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明．【变式5-2】（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题∶(2)从表格中探究a3.16≈________；8.973=897.3=，用含m 的式子表示b ，则b =________；(3)a 的大小．【变式5-3】（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．22212OA =+=，1S =；22313OA =+=，22S=；22414OA =+=，3S =．(1)推算出210OA =______；10S =______．(2)请用含n （n 是正整数）的式子填空：n OA =______n S =______(3)求出2222123100S S S S +++⋅⋅⋅+的值．考点六：求一个数的平方根例6.（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）0.0081的平方根是．【变式6-1】（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）1681的平方根是．【变式6-2】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）116的算术平方根是；的平方根是．【变式6-3】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）144平方根是，()27-的算术平方根是，的平方根是，3π-=.考点七：已知一个数的平方根，求这个数例7.（23-24七年级下·山东德州·期中）如果一个数的平方根是()3a -+和()215a -，则这个数为．【变式7-1】（23-24七年级下·内蒙古通辽·期中）一个正数的两个平方根分别是24a +和1a -，则这个正数是．【变式7-2】（23-24七年级下·山东临沂·期中）已知一个正数的两个不同的平方根是23-x 和41x +，则这个正数是．【变式7-3】（23-24七年级下·河南漯河·期中）一个正数的两个平方根是2m -和10m +，则这个正数是．考点八：求代数式的平方根例8.（23-24七年级下·河南新乡·期中）互为相反数，求326b a -++的平方根．【变式8-1】（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）一个正数b 的平方根是21a -与2a -+，(1)求a 和b 的值．(2)求5a b +平方根．【变式8-2】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知21a +的算术平方根是5，103b +的平方根是4±，c 的整数部分，求5a b c -+的平方根．【变式8-3】（22-23七年级下·陕西安康·期中）一个正数x 的两个不同的平方根分别是23a -和5a -．(1)求a 和x 的值．(2)求12x a +的平方根．考点九：利用平方根解方程例9.（23-24七年级下·全国·假期作业）求下列各式中x 的值．(1)2169100x =；(2)2(1)81x +=；(3)2925x =；(4)24(2)9x -=．【变式9-1】（23-24七年级下·河南安阳·期中）求下列各式中x 的值．(1)2218x =；(2)21728x +=．【变式9-2】（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知一个正数的两个平方根是6a -与310a -．(1)求a 的值；(2)求关于x 的方程22250ax -=的解．【变式9-3】（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数a 的两个平方根分别是x 和x y +．(1)若2x =，求y 的值；(2)若()2224ax a x y -+=-，求a 的值．一、单选题1．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）9的算术平方根是（）A ．3B ．81C ．3±D ．81±2．（23-24七年级下·山东日照·期中）下列说法正确的是（）A 4=±B ．4-是16的平方根C 4D ．16的平方根是43．（23-24七年级下·河南周口·期中）若一个正数的两个平方根分别是26m +和18m -，则m 的值是（）A ．3B ．4-C ．2D ．44．（23-24七年级下·山东德州·期中）下列各式中，正确的是（）A3=-B 3=±C 3±D ．3=-5．（23-24七年级下·广东汕头·期中）若41a +的算术平方根是5，则2a -的算术平方根是（）A B ．2±C D ．2二、填空题6．（23-24七年级下·山东临沂·阶段练习）81的算术平方根是；的平方根是．7．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）若2x +的算术平方根是3，则25x +的平方根是．8．（2024·四川内江·二模）若235a b -+a b +=．9．（23-24七年级下·福建厦门· 1.2165≈ 3.8471≈≈．（精确到十分位）10．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）已知a b 是整数的算术平方根为．三、解答题11．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）求下列各式的值(2)(3)(4)12．（23-24七年级下·天津北辰·期中）求x 的值．(1)2519x -=；(2)()2419x -=．13．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知正数a 的两个不同的平方根分别是32x -和510x +,4a b +-的算术平方根是3.(1)求a 、b 的值；(2)求2a b -的平方根．14．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）（1）如果一个正数的平方根为23x -和5x -，求这个正数．（2）已知21a -的平方根是3±，31a b +-的平方根是4±，求2+a b 的平方根．15．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知4a -的立方根是1，b 的算术平方根是2c ．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求23a b c -+的平方根．16．（23-24八年级上·福建泉州·求得，请同学们观察表：2位则它的算术平方根的小数点就向左或向右移动位；(2)23.26≈7.155≈≈；≈②若20.00512x ≈，则x ≈．第05讲平方根模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根；2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根；3．掌握平方根与算术平方根的有关运算。
第3讲 一元一次不等式-2021年新八年级数学暑假精品课程(华师大版)(原卷版)
第3讲一元一次不等式【学习目标】1.了解一元一次不等式的含义2.解不等式3.不等式应用【基础知识】考点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．考点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪“≠”读作“不等于”个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量读作“小于或等“≤”于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量读作“大于或等“≥”于”(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．考点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc(或a b c c>)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc(或a b c c <)． 考点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．考点三、一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：a x <（或a x >）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为ax b >（或ax b <）的形式（其中0a ≠）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.考点诠释：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．考点四、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．考点诠释：不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x ≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：考点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a 而言，x ＞a 或x ≥a 向右画；对边界点a 而言，x ＜a 或x ≤a 向左画．注意：在表示a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．考点五、常见的一些等量关系1.行程问题：路程＝速度×时间2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，=100%⨯利润利润率进价4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×时间6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+.考点六、列不等式解决实际问题列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；(2)设：设出适当的未知数；(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；(4)解：解所列的不等式；(5)答：写出答案，并检验是否符合题意．考点诠释：(1)列不等式的关键在于确定不等关系；(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．如：若“设还需要B 型车x 辆 ”，而在答中应为“至少需要11辆 B 型车 ”．这一点应十分注意．考点七、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010x x ->⎧⎨-<⎩，7021163159x x x ->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组． 考点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．考点八、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．考点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．考点九、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．考点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【考点剖析】考点一：不等式的概念例1．用不等式表示：(1)x与-3的和是负数；(2)x与5的和的28％不大于-6;(3)m除以4的商加上3至多为5．考点二：不等式的基本性质例2．.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；（4）若ac2＞bc2，则a＞b；（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．（6）若a＞b＞0，则＜．．考点三：解一元一次不等式例3．.解不等式：2)1x (3)1x (2-+<-，并把解集在数轴上表示出来．考点四：不等式的解及解集例4．不等式x ＞1在数轴上表示正确的是 ( ).考点五：利润问题例5水果店进了某种水果1t ，进价是7元/kg ．售价定为10元/kg ，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售．如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果至少可以按原定价的几折出售？考点六：方案选择例6某大型企业为了保护环境，准备购买A 、B 两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A 型2台、B 型3台需54万，购买A 型4台、B 型2台需68万元．（1）求出A 型、B 型污水处理设备的单价；（2）经核实，一台A 型设备一个月可处理污水220吨，一台B 型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．考点七：不等式组的概念例7某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x ，请你根据题意写出x 必须满足的不等式．举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3xx>⎧⎨>-⎩的解集是______；(2)2,3xx<⎧⎨<-⎩的解集是______；(3)2,3xx<⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3xx>⎧⎨<-⎩的解集是_______．考点八：解一元一次不等式组例8解不等式组：．考点九：一元一次不等式组的应用例“六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【真题演练】1.下列结论中，正确的是（）A．若a＞b ，则＜ B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，则1﹣a＜1﹣b D．若a＞b，ac2＞bc2 2.不等式＞﹣1的正整数解的个数是（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个3.不等式组24010xx-<⎧⎨+⎩≥的解集在数轴上表示正确的是（）．A B C D4. 如果关于x的不等式 (a+1)x>a+1的解集为x<1，那么a的取值范围是( ) ．A. a>0B. a<0C. a>-1D. a<-15.三个连续自然数的和小于11，这样的自然数组共有（）组．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题6.已知不等式3x﹣a≤0的解集为x≤5，则a的值为．7.一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是_____.8．不等式组⎩⎨⎧<+≥+321xx的整数解是_______.°．°．．．°°9．已知2(2)230x x y a -+--=，y 是正数，则a 的取值范围 .10．关于x 的方程2x +3k =1的解是负数,则k 的取值范围是_______.11．若不等式（ｍ－２）x ＞2的解集是x ＜,则ｍ的取值范围是_____.12．小明借到一本有72页的图书,要在10天之内读完,开始2天每天只读5页,那么以后几天里每天至少要读多少页?设以后几天里每天至少要读x 页,所列不等式为___________.三、解答题13．在数学学习中，及时对知识进行归纳、类比和整理是提高学习效率的有效策略，善于学习的小明在学习解一元一次不等式中，发现它与解一元一次方程有许多相似之处．小明列出了一张对照表：从表中可以清楚地看出，解一元一次不等式与解一元一次方程有一定的联系，利用这种联系解决下列问题：（1）若不等式kx ＞b 的解集是x ＜1，求方程kx=b 的解；（2）若方程kx=b 的解是x=-1，求不等式kx ＞b 的解集．14.解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．15．某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．(1)请你帮助学校设计所有可行的租车方案；(2)如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行方案使租车费用最省?【过关检测】一、选择题1．不等式组的所有整数解的和是（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．62．某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（ ）．A ．80元B ．100元C ．120元D ．160元 3．若不等式组12x x k<≤⎧⎨>⎩ 有解，则k 的取值范围是（ ）．A.2k <B. 2k ≥C.1k <D. 12k ≤< 4．如果不等式ax+4＜0的解集在数轴上表示如图,那么a 的值是( ) ．A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a=－2D ．a=25. 中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则与两个球体质量相等的正方体的个数为( ) ．A ．5B ．4C ．3D ．26.已知关于x 的不等式组有且只有1个整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞1B ．1≤a ＜2C ．1＜a ≤2D ．a ≤2二、填空题7．如果关于x 的不等式（a+1）x ＞a+1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是 ． 8．已知方程组⎩⎨⎧=+=-7325ay x y ax 的解满足⎩⎨⎧<>00y x ，则a 的取值范围 ．9. 若不等式组⎩⎨⎧->+<121m x m x 无解，则m 的取值范围是. 10.已知关于x 的方程3k －5x ＝－9的解是非负数，求k 的取值范围 .11.如果关于x 的不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1,2,3，则a 的取值范围是 ，b 的取值范围是 .12. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则为：明文a ，b 对应的密文为a-2b ，2a+b ．例如，明文1，2对应的密文是-3，4，当接收方收到密文是1，7时，解密得到的明文是 .13.若不等式组: 114111.5(1)()0.5(21)22x x a x a x x +⎧+>⎪⎪⎨⎪-+>-+-⎪⎩①②只有一个整数解，则a 的取值范围 ． 三、解答题14.解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．15.已知关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围．16.某小区准备新建50个停车位，用以解决小区停车难的问题.已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元.（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？（2）该小区的物业部门预计投资金额超过12万元而不超过13万元，那么共有几种建造停车位的方案？。
精品讲义 八年级数学下册同步讲义--平行四边形
第十八章 平行四边形18.1 平行四边形的性质与判定例1.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O （0,0）、A （2,0）、B （1,1），则第四个顶点C 的坐标是多少?例2.如图所示,□AECF 的对角线相交于点O,DB 经过点O,分别与AE ，CF 交于B,D ．求证:四边形ABCD 是平行四边形．例3.如图所示,DB ∥AC,且DB=AC,E 是AC 的中点,求证:BC=DE ．例4.已知:如图,在平行四边形ABCD 中,E 是AD 的中点,连结BE 、CE ，∠BEC=900。
(1)求证:BE 平分∠ABC ；(2)若EC=4,且3 ABBE,求四边形ABCE 的面积.例5.如图,已知△ABC 是等边三角形,点D 、F 分别在线段BC 、AB 上,∠EFB=600，DC=EF ．（1）求证：四边形EFCD 是平行四边形； （2）若BF=EF ，求证：AE=AD ．平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。
平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的判定：1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.对角线互相平分的四边形是平行四边形；3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
总结：顺次连接四边形各边中点，所得的图形是 ；顺次连接平行四边形各边中点所得的图形是 ； 顺次连结矩形四边中点所得四边形是_________；顺次连结菱形四边中点所得四边形是_________；顺次连结等腰梯形四边中点所得四边形是_______。
由此猜想：顺次连结_______的四边形四边中点所得四边形是矩形； 顺次连结_______的四边形四边中点所得四边形是菱形。
即新四边形的形状与原四边形的_______有关。
八年级数学暑假专题 整式与分式 北师大版 知识精讲
八年级数学暑假专题整式与分式北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：暑假专题——整式与分式二、教学目标：1. 了解分解因式的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式分解因式．2. 熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算．3. 会解分式方程和分式方程应用题．4. 体会数学知识之间的整体联系．三、知识要点分析：1. 分解因式分解因式的常用方法：提公因式法、运用公式法．2. 分式的运算（1）分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．（2）分式乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．（3）分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．3. 分解因式和整式乘法运算是互逆的，分解因式和整式乘法运算是分式运算的重要依据．4. 解分式方程的一般步骤：（1）去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程．（2）解这个整式方程．（3）验根，即把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根．需要注意的是，这种代入最简公分母验根的方法虽然简便，但是必须要保证解方程的各步运算准确无误，否则这种简便的验根方法不能起到有效的作用．因此，我们还可以采用另一种验根方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，看等式左边是否等于右边．【典型例题】知识点1：分解因式例1. 分解因式：（1）x3－2x2＋x；（2）x2（x－y）＋y2（y－x）．题意分析：本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式．思路分析：（1）题是三项式，先提取公因式，再考虑用完全平方公式解题．（2）题先提取公因式，再考虑用平方差公式解题．解：（1）x3－2x2＋x＝x（x2－2x＋1）＝x（x－1）2；（2）x2（x－y）＋y2（y－x）．＝（x －y ）x 2－（x －y ）y 2 ＝（x －y ）（x 2－y 2） ＝（x －y ）（x ＋y ）（x －y ） ＝（x －y ）2（x ＋y ）．解题后的思考：解决分解因式的问题时，首先考虑因式是否有公因式，如果有，先提取公因式；如果没有公因式且因式是两项式，则考虑能否用平方差公式分解因式；因式是三项式时应考虑用完全平方公式解题．最后，直到每一个因式都不能再分解为止．例2．在边长为a cm 的正方形木板上开出边长为b cm （b ＜a2）的四个方形小孔，如图所示．（1）试用a 、b 表示出剩余部分的面积；（2）若a ＝14.5，b ＝2.75，则剩余部分的面积是多少？题意分析：本题意在考查整式和分解因式的综合应用．思路分析：剩余面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积． 解：（1）剩余部分的面积＝（a 2－4b 2）cm 2． （2）当a ＝14.5，b ＝2.75时， （a 2－4b 2）＝（a ＋2b ）（a －2b ） ＝（14.5＋5.5）（14.5－5.5） ＝20×9＝180（cm 2）．答：剩余部分的面积是180cm 2．解题后的思考：观察所列算式，先分解因式，再代入求值较简便．小结：分解因式是整式的一种重要的恒等变形，它和整式乘法运算，尤其是多项式乘法运算有着密切的联系．分解因式是分式的化简与运算、解一元二次方程的重要基础．知识点2：分式的运算例3. 计算：（a ＋2a 2－2a －a －1a 2－4a ＋4）÷4－aa 2－2a．题意分析：本题考查分式的混合运算．运算顺序是先算括号内的，再算乘除，最后算加减．思路分析：本题有两种解法，一是按顺序计算，先计算括号内的，再算除法；二是先利用分配律计算除法，最后再求差．解法一：原式＝[a ＋2a （a －2）－a －1（a －2）2]·a （a －2）－（a －4）＝a 2－4－a （a －1）a （a －2）2·a （a －2）－（a －4）＝a －4a （a －2）2·a （a －2）－（a －4）＝－1a －2＝12－a 解法二：原式＝[a ＋2a （a －2）－a －1（a －2）2]·a （a －2）－（a －4）＝a ＋2a （a －2）·a （a －2）－（a －4）－a －1（a －2）2·a （a －2）－（a －4）＝－a ＋2a －4＋a （a －1）（a －4）（a －2）＝－（a 2－4）＋a 2－a （a －4）（a －2）＝4－a（a －4）（a －2）＝－1a －2＝12－a解题后的思考：本题是分式四则混合运算，既可以先算括号里面的，再算除法，也可以先用乘法分配律进行计算，最后求差．总之，分式混合运算的综合性较强，解题时应遵循运算顺序、法则进行变形，有些题目需要注意其结构特点，选择恰当的方法来解决．例4．已知：1x ＋1y ＝5，求2x －3xy ＋2y x ＋2xy ＋y的值；题意分析：这是一道分式的化简求值题．思路分析：把已知等式进行整理即得x ＋y ＝5xy ，把x ＋y 或xy 作为一个整体代入到所求分式中化简求值．解：（1）因为1x ＋1y＝5，所以x ＋y ＝5xy ．所以2x －3xy ＋2y x ＋2xy ＋y ＝（2x ＋2y ）－3xy （x ＋y ）＋2xy ＝5xy ×2－3xy 5xy ＋2xy ＝1．解题后的思考：解分式求值问题一般先化简，再求值．已知条件是等式的，通常先把已知等式和所求代数式变形，找到它们之间的联系，再运用整体代入的方法解题．小结：分式运算法则类似于分数运算，除了注意运算顺序，还要注意运算技巧．知识点3：分式方程例5. 解方程：x ＋1x －1－4x 2－1＝1．题意分析：这个分式方程中含有两个分式，其最简公分母是x 2－1．思路分析：将方程两边都乘以最简公分母x 2－1，去分母后进行整理，转化成整式方程求解．解：原方程可以化为x ＋1x －1－4（x ＋1）（x －1）＝1，所以（x ＋1）2－4＝（x ＋1）（x －1）， 即：2x ＝2，解得x ＝1． 检验：当x ＝1时，（x ＋1）（x －1）＝0，所以x ＝1是原方程的增根，原方程无解．解题后的思考：去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项．例6. 某顾客第一次在商店买若干小商品花去4元，第二次再去买该小商品时，发现每一打（12件）降价0.8元，购买1打以上可以拆零买．这样，第二次花去4元钱买同样小商品的件数是第一次的1.5倍，问这位顾客第一次买的小商品是多少件？每件是多少元？题意分析：第二次购买小商品12件降价0.8元，而每件降价0.812元，将第一次与第二次购买商品的单价表示出来，即有以下等量关系：第一次单价－第二次单价＝0.812．思路分析：设第一次买的小商品是x 件，用含x 的代数式分别表示第一次购买时的单价和第二次购买时的单价，根据其差是0.812列方程．解：设第一次买的小商品是x 件，则第二次买的小商品是1.5x 件．根据题意，得4x －41.5x ＝0.812．解得x ＝20，经检验，x ＝20是原方程的根且符合题意． 4÷20＝0.2（元）．答：这位顾客第一次买的小商品是20件，每件0.2元．解题后的思考：解分式方程应用题和解一元一次方程应用题找相等关系的方法是相同的，所不同的是分式方程的数量关系大多是以分式的形式出现的．小结：检验是解分式方程必不可少的步骤．注意，解分式方程的检验与解一元一次方程的检验是不同的，解一元一次方程验根的目的只是检验解答的过程有无错误，而解分式方程验根的目的是在解答无误的前提下看是否有增根，检验的办法是把结果代入原方程的各分母，看是否为零，也可直接代入最简公分母，看是否为零．总结：本讲内容联系较密切，整式乘法→分解因式→分式运算→分式方程，层层递进，逐级加深．应重点掌握分解因式的方法和分式运算法则，并在此基础上进一步提高分析解决综合问题和应用问题的能力．【预习导学案】（暑假专题——图形的相似）一、预习前知1. 如何判断两个三角形相似，相似三角形有什么性质？2. 什么是相似图形，什么是位似图形？二、预习导学1. 在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ ） A. 4.8米 B. 6.4米 C. 9.6米 D. 10米2. 如图，在Rt ΔABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于点D ，BC ＝3，AB ＝5，其中的一对相似三角形是__________和__________；它们的面积比为_________．ABCD3. 如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点A 和点F 的坐标分别为（3，2），（－1，－1），则两个正方形的位似中心的坐标是_________．4. 如图，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC ．求证：△ABC ∽△FDE ．FDCBA反思：（1）如何利用相似图形的性质解决实际问题（2）相似图形和位似图形有什么区别和联系【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 化简m 2－n 2m 2＋mn 的结果是（ ）A. m －n 2mB. m －n mC.m ＋nmD.m －nm ＋n2. 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ） A. x 2－xy B. x 2＋xy C. x 2－y 2D. x 2＋y 2 3. 把多项式2x 2－8x ＋8分解因式，结果正确的是（ ） A. （2x －4）2 B. 2（x －4）2 C. 2（x －2）2D. 2（x ＋2）24. 分式1a ＋1＋1a （a ＋1）的计算结果是（ ）A. 1a ＋1B. a a ＋1C. 1aD.a ＋1a5. 化简（a －b 2a ）·aa －b的结果是（ ）A. a －bB. a ＋bC. 1a －bD.1a ＋b6. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际植树效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是（ ）A. 300x －2060＝3001.2xB. 300x －3001.2x＝20C.300x －300x ＋1.2x ＝2060D. 300x ＝3001.2x －2060 *7. 若m ＝2009×2010＋2010×20112，则m 是（ ）A. 奇数，且是完全平方数B. 偶数，且是完全平方数C. 奇数，但不是完全平方数D. 偶数，但不是完全平方数．**8. 若a b ＝20，bc ＝10，则a ＋b b ＋c 的值为（ ）A. 1121B. 2111C. 11021D. 21011二、填空题1. 把多项式x 3－4x 分解因式的结果为__________．2. 分式方程1x ＋1＝2x －1的解为__________．3. 如果x ＋y ＝－4，x －y ＝8，那么代数式x 2－y 2的值是__________．*4. 当m ＝__________时，关于x 的分式方程2x ＋mx －3＝1无解．*5. 若︱x ︱－3x 2－2x －3的值为零，则x 的值是__________．**6. 已知关于x 的方程2x ＋mx －2＝3的解是正数，则m 的取值范围为__________．三、解答题1. 分解下列因式：（1）2581－1100x 2；（2）a 4b 4－12a 2b 2＋116．2. 解分式方程：x x －2＋6x ＋2＝1．3. 先化简再求值：⎝⎛⎭⎫a － a 2－b 2＋1 a ÷ b －1 a × 1 a ＋b，其中a ＝－ 1 2，b ＝－2．*4. 用简便方法计算下列各题．（1）10002－2000×993＋9932； （2）1.992－2.992．**5. 注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，则不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．（Ⅰ）设骑车同学的速度为x 千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．（Ⅱ）列出方程（组），并求出问题的解．【试题答案】一、选择题1. B2. C3. C4. C5. B6. A7. B 【m ＝2009×2010＋2010×20112＝2010（2009＋2011）2＝20102】8. D 【由题设得a ＋b b ＋c＝a b ＋11＋c b ＝20＋11＋110＝21011．】二、填空题 1. x （x ＋2）（x －2） 2. x ＝－3 3. －324. －6【解这个分式方程得x ＝－3－m ，若使原方程无解，则x －3＝0，即－3－m ＝3，所以m ＝－6．】5. －3【由︱x ︱－3＝0得x ＝±3．当x ＝3时，x 2－2x －3＝0；当x ＝－3时，x 2－2x －3≠0．所以满足条件的x 的值是－3】6. m ＞－6且m ≠－4【解这个分式方程得x ＝m ＋6，根据题意m ＋6＞0，即m ＞－6．因为原方程的解是正数，所以x ≠2（如果有增根必为2），即m ＋6≠2，m ≠－4，所以6m ->且m ≠－4．】三、解答题1.（1）（59＋x 10）（59－x 10）；（2）原式＝（a 2b 2－14）2＝（ab ＋12）2（ab －12）2．2. x ＝13. 原式＝b ＋1a ＋b ＝254.（1）原式＝10002－2×1000×993＋9932＝（1000－993）2＝72＝49；（2）原式＝（1.99＋2.99）（1.99－2.99）＝－4.98．5.（Ⅰ）10x ，2x ，102x （Ⅱ）根据题意，列方程得10x ＝102x ＋13，解这个方程，得x ＝15．答：骑车同学的速度是15千米/时．。
精品 八年级下数学讲义+练习题--函数综合题
例 4.已知：如图，正比例函数 y ax 的图象与反比例函数 y
k 的图象交于点 A(3，2). x
①试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； ②根据图象回答，在第一象限内，当 x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ ③M(m，n)是反比例函数图象上的一动点，其中 0＜m＜3 过点 M 作直线 MN∥x 轴，交 y 轴于点 B；过点 A 作直线 AC∥y 轴交 x 轴于点 C，交直线 MB 于点 D．当四边形 OADM 的面积为 6 时，请判断线段 BM 与 DM 的大小关系，并说明理由．
x 的图象上，那么点 P 应在平面直角坐标系中的（
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.根据图中所示的程序，得到了 y 与 x 的函数图象，过点 M 作 PQ∥x 轴交图象于点 P,Q，连 接 OP,OQ.则以下结论：①x＜0 时， y
2 ②△OPQ 的面积为定值；③x＞0 时，y 随 x 的增 x；
8.若 A、B 两点关于 y 轴对称，且点 A 在双曲线 y 的坐标为（a,b）,则
1 上，点 B 在直线 y x 3 上，设点 A 2x
a b = b a 9 9.函数 y1 x( x 0) , y 2 ( x 0) 的图象如图所示，则结论： ① 两函数图象的交点 A x
八年级下数学讲义
讲义 04 反比例函数综合题
例 1.反比例函数 y
k 和一次函数 y=mx+n 的图象的一个交点 A（-3，4） ，且一次函数的图 x
像与 x 轴的交点到原点的距离为 5. (1)分别确定反比例函数与一次函数的解析式； (2)设一次函数与反比例函数图像的另一个交点为 B ，试判断∠AOB（点 O 为平面直角坐标 系原点）是锐角、直角还是钝角？并简单说明理由．
八年级数学讲义不等式的基本性质及其解集
不等式的基本性质及其解集一、不等式的性质1．不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变．c a b a +⇒> c a b a c b +⇒<+, c b +2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
若：0,>>c b a ，可得ac bc ．3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．若ac c b a ⇒<>0, bc ．二．不等式的解集1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.2．解与解集的联系： 解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体）3．不等式解集的表示方法. 1-≤x①用不等式表示。
如1-≤x 或x <-1等。
x <-1②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别）4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需要变号。
典型例题例1.①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围.②不等式a x <2的解集为7<x ，求a 的值.例2.（1）如果关于x 的方程x m m x +-=+2432的解为大于4的数，求m 的取值范围.（2）已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围.例3．（2007山东临沂）直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（ ）。
A 、x ＞－1 B 、x ＜－1 C 、x ＜－2 D 、无法确定 例4．（1）若0)2(32=--+-k y x x 中，y 为非负数，求k 的取值范围．（2）若b a ,满足753=+b a ，求b a S 32-=的取值范围．例5．已知由小到大的十个正整数109321,,,,,a a a a a 的和是2003，那么5a 的最大值是多少？当5a 取得最大值时，写出10a 最小的这十个数．思考：1.已知a c c b a c b a 求,,0>>=++的取值范围．2．设c b a ,,均为正数，若ac b c b a b a c +<+<+，试确定c b a ,,三个数的大小．【经典练习】y k 2x1．如果关于x 的不等式b x a <-)1(的解集是1->a b x ，则有（ ） A 、1>a B 、1<a C 、1≠a D 、a 为一切实数2.若m 为有理数，下列不等式关系不一定成立的是（ ）A 、m m +>+79B 、m m -<-43C 、m m 46>D 、0||4≥m3.下列四个结论：（1）4是不等式63>+x 的解；（2）4>x 是不等式63>+x 的解集；（3）3是不等式63≥+x 的解；（4）3≥x 是不等式63≥+x 的解集，其中正确的是（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4．满足不等式135->-x 的正整数值是方程[]a x x x =-----)15(4)21(5)2(4的解，则a 的值是（ ）A 、0B 、1C 、17D 、-175．不等式)52(4)83(714-<+-x x x 的负整数解是（ ）A 、-3，-2，-1，0B 、-4，-3，-2，-1C 、-2，-1D 、以上答案都不对6．已知032)2(2=--+-n b a a 中，b 为正数，则n 的取值范围是（ ）A 、2<nB 、3<nC 、4<nD 、5<n 7.如果b ax >，02<ac ，则xa b 8．（2007湖北孝感）如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0ax b +<的解集是 ．9.若不等式a x <6的解集为3<x ，则a 的值为 .10．当a = 时，不等式x x 532≥-与x ax ≤+2同解．11．化简：若41<<x ，则化简22)1(4(-+-x ）x 的结果是 ． 12．当a 为何值时，方程)(23a x a x +-=+的解大于方程2)12(3)13(+=-x a x a 的解13．已知7321,,,a a a a 是彼此不相等的正整数，它们的和为159，求其中最小数a 的最大值．作业1．如果关于x 的方程7332+=-+x m x 的解为不大于2的非负数，那么（ ）（第8题图）A 、6=mB 、7,6,5=mC 、无解D 、75≤≤m2．如果关于x 的方程52)4(3+=+a x 的解大于关于x 的方程3)43(4)14(-=+x a x a 的解，那么（ ） A 、2>a B 、2<a C 、187<a D 、187>a 3．如果22,7235>+->-c a a ，那么（ ） A 、c a c a +<- B 、a c a c +<- C 、ac ac -> D 、a a 23> 4．若b a b a ><>,0,0，那么b a b a --,,,的大小顺序是（ ）A 、b a a b >->>-B 、b a b a ->->>C 、a b a b ->->>D 、a b b a ->>->5．已知0)24(1832=-+++k y x x ，求当k 为何值时，y 的值是非负数？6.（1）关于x 的方程1223+=+m x 的解为正数，求m 的取值范围.(2)不等式a x <+32的正整数解恰为1，2，求m 的取值范围.思考：已知三个非负数z y x ,,满足132,523=-+=++z y x z y x ，若z y x m 73-+=，求m 的最大值及最小值。
人教版八年级数学下册讲义(中等班)19.1 函数
第十九章一次函数19.1 函数1．常量和变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为__________．（1）变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，而t为常量．（2）“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量．（3）变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”．（4）判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化．2．函数的定义一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有__________确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．对函数定义的理解，主要抓住以下三点：（1）有两个变量．（2）函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．（3）函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同．在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数．3．自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体叫做__________的取值范围．当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义．4．函数解析式及函数值函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的__________．（1）函数解析式是等式．（2）函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．（3）用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b 叫做自变量x的值为a时的函数值．5．函数的图象及其画法一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．K知识参考答案：1．常量2．唯一3．自变量4．解析式K—重点常量与变量的判断，函数自变量取值范围的确定，函数解析式及函数值的确定，函数的图象及其画法K—难点函数的定义的理解K—易错求自变量的取值范围时，考虑不周出错一、常量和变量常量和变量不是绝对的，必须根据具体的变化过程进行判断．【例1】在圆的面积公式S=πr2中，是常量的是A．S B．πC．r D．S和r 【答案】B【解析】在圆的面积公式S=πr2中，π是常量，S、r是变量，故选B．二、函数的定义判断一个关系是不是函数关系的方法：第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中是不是有两个变量；第三要看其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应． 【例2】下列变量之间的关系中，具有函数关系的有①三角形的面积与底边；②多边形的内角和与边数；③圆的面积与半径；④y =21x -中的y 与x ． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】对于①，设三角形的面积为S ，底边为a ，高为h ，则有S =12ah ，由于h 为变量，故不满足函数关系； 对于②，设多边形的内角和为y ，边数为n （n ≥3且n 为整数则有y =（n -2）⨯180°，满足函数关系；对于③，设圆的面积为S ，半径为r ，则有S =πr 2，满足函数关系；对于④，21y x =-满足函数关系，故具有函数关系的有三个，故选C ．三、自变量取值范围的确定函数关系式中有分式、二次根式、零指数幂等情况综合时，自变量的取值范围一定要满足每一种情况，不要出现遗漏．【例3】函数y =3x -+12x -中自变量x 的取值范围是 A ．3x ≤B ．3x <且2x ≠C ．3x ≤且2x ≠D ．2x ≠【答案】C【解析】由题意，得3020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≤3且x ≠2，故选C ．四、函数解析式及函数值（1）要正确理解函数与函数值：函数是一个关系式，是一种对应关系，是对变量而言的；函数值是对具体数值而言的．（2）一个函数的函数值一般是随着自变量的变化而变化的．（3）求函数值的方法：将自变量的取值代入函数解析式进行运算即可．【例4】在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=3t2+2t+1，则当t=4时，该物体所经过的路程为A．28米B．48米C．57米D．88米【答案】C【解析】把t=4代入s=3t2+2t+1，得s=3×42+2×4+1=57（米）．故选C．五、函数的图象（1）函数图象上的任意点（x，y）中的x，y满足函数解析式．（2）满足函数解析式的任意一对（x，y）的值，所对应的点一定在函数的图象上．（3）利用函数国象可以求方程的解、不等式的解集、方程组的解，还可以预测变量的变化趋势．【例5】小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s关于时间t的图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是A．B．C．D．【答案】D【解析】因为开始以正常速度匀速行驶---停下修车---加快速度匀驶，可得s先缓慢减小，再不变，在加速减小．故选D．【例6】如图，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是A．第3分时汽车的速度是40千米/时B．第12分时汽车的速度是0千米/时C．从第3分到第6分，汽车行驶了120千米D．从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时【答案】C【解析】横轴表示时间，纵轴表示速度．当第3分的时候，对应的速度是40千米/时，A 对； 第12分的时候，对应的速度是0千米/时，B 对；从第3分到第6分，汽车的速度保持不变，是40千米/时，行驶的路程为40×120=2千米，C 错； 从第9分到第12分，汽车对应的速度分别是60千米/时，0千米/时，所以汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时，D 对．综上可得：错误的是C ．故选C ．1．在三角形面积公式S =12ah ，a =2中，下列说法正确的是 A ．S ，a 是变量，12，h 是常量 B ．S ，h 是变量，12是常量 C ．S ，h 是变量，12，a 是常量D ．S ，h ，a 是变量，12是常量2．某市居民用电价格是0.58元/度，居民应付电费为y 元，用电量为x 度，其中 A ．0.58，x 是常量，y 是变量 B ．0.58是常量，x ，y 是变量 C ．0.58，y 是常量，x 是变量D ．x ，y 是常量，0.58是变量3．关于变量x ，y 有如下关系：①x -y =5；②y 2=2x ；③：y =|x |；④y =3x．其中y 是x 的函数的是 A ．①②③B ．①②③④C ．①③D ．①③④4．下列关系式：①x 2-3x =4；②S =3.5t ；③y =32x -；④y =5x -3；⑤C =2πR ；⑥S =v 0t +12at 2；⑦2y +y 2=0，其中不是函数关系的是 A ．①⑦B ．①②③④C ．④⑥D ．①②⑦5．函数2y x =+的自变量的取值范围是A ．x ≥-2B ．x <-2C ．x >-2D ．x ≤-26．一根弹簧长8 cm ，它所挂物体的质量不能超过5 kg ，并且所挂的物体每增加1 kg ，弹簧就伸长0.5 cm ，则挂上物体后弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x （kg ）（0≤x ≤5）之间的关系式为A．y=0.5（x+8）B．y=0.5x-8 C．y=0.5（x-8）D．y=0.5x+87．小明同学准备从家打车去南坪，出门后发现到了拥堵使得车辆停滞不前，等了几分钟后他决定步行前往地铁站乘地铁直达南坪站（忽略中途等站和停靠站的时间），在此过程中，他离南坪站的距离y（km）与时间x（h）的函数关系的大致图象是A．B．C．D．8．如图是某市某一天的温度随时间变化的图象，下列说法错误的是A．15点时温度最高B．3点时温度最低C．最高温度与最低温度的差是12 °CD．21点时的温度是30 °C9．小亮帮母亲预算家庭4月份电费开支情况，下表是小亮家4月初连续8天每天早上电表显示的读数：日期/日 1 2 3 4 5 6 7 8电表读数/度21 24 28 33 39 42 46 49 表格中反映的变量是__________，自变量是__________，因变量是__________．10．函数y=23xx-+的自变量x的取值范围是__________．11．已知点M（3，5）在函数y=ax2-2x+2的图象上，则a等于__________．12．“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200 km的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45 L，当行驶150 km时，发现油箱余油量为30 L（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（km）与剩余油量Q（L）的关系式；（2）当x=280 km时，求剩余油量Q的值．13．在等腰△ABC中，底角x为（单位：度），顶角y（单位：度）．（1）写出y与x的函数解析式；（2）求自变量x的取值范围．14．已知两个变量x，y之间的变化情况如图所示，根据图象回答下列问题：（1）写出y的变化范围；（2）求当x=0，-3时，y的对应值；（3）求当y=0，3时，对应的x的值；（4）当x为何值时，y的值最大？（5）当x在什么范围内时，y的值在不断增加？15．已知函数y=212xx-+，当x=a时的函数值为1，则a的值为A．3 B．-1 C．-3 D．116．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，设S△PDB=y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图②所示，则AC的长为A．14 B．7 C．4 D．217．长方形的周长为20，一边长为x，另一边长为y，写出y随x变化的函数表达式__________．18．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC-CD-DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y.如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是__________．19．已知如图，一天上午6点钟，言老师从学校出发，乘车上市里开会，8点准时到会场，中午12点钟回到学校，他这一段时间内的行程s（km）（即离开学校的距离）与时间（时）的关系可用图中的折线表示，根据图中提供的有关信息，解答下列问题：（1）开会地点离学校多远？（2）请你用一段简短的话，对言老师从上午6点到中午12点的活动情况进行描述．20．（2018·湖南岳阳）函数y3x=-中自变量x的取值范围是A．x>3 B．x≠3C．x≥3D．x≥021．（2018·湖南永州）函数y13x=-中自变量x的取值范围是A．x≥3B．x<3 C．x≠3D．x=322．（2018·内蒙古赤峰）有一天，兔子和乌龟赛跑．比赛开始后，兔子飞快地奔跑，乌龟缓慢的爬行．不一会儿，乌龟就被远远的甩在了后面．兔子想：“这比赛也太轻松了，不如先睡一会儿．”而乌龟一刻不停地继续爬行．当兔子醒来跑到终点时，发现乌龟已经到达了终点．正确反映这则寓言故事的大致图象是（）A．B．C．D．23．（2018·广东韶关）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A B C D→→→路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为A．B．C．D．24．（2018·宁夏）如图，一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60秒后将容器内注满，容器内水面的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系图象大致是A．B．C．D．25．（2018·黑龙江齐齐哈尔）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了齐齐哈尔市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化，下列从图象中得到的信息正确的是A．0点时气温达到最低B．最低气温是零下4 °CC．0点到14点之间气温持续上升D．最高气温是8 °C26．（2018·浙江丽水）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元)与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是A．每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多C．每月上网时间为35 h时，选择B方式最省钱D．每月上网时间超过70 h时，选择C方式最省钱27．（2018·辽宁辽阳）晓琳和爸爸到太子河公园运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，晓琳继续前行5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家，晓琳和爸爸在整个运动过程中离家的路程y1（米），y2（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论：①两人同行过程中的速度为200米/分；②m的值是15，n的值是3000；③晓琳开始返回时与爸爸相距1800米；④运动18分钟或30分钟时，两人相距900米，其中正确结论的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个28．（2018·江苏镇江）甲、乙两地相距80 km，一辆汽车上午9：00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20 km/h，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y（km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午A．10：35 B．10：40 C．10：45 D．10：5029．（2018·四川攀枝花）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作Rt△ABC，使∠BAC=90°，∠ACB=30°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是A．B． C．D．30．（2018·湖北咸宁）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米，其中正确的结论有A．1个B．2个C．3个D．4个31．（2018·湖南长沙）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是A．小明吃早餐用了25 min B．小明读报用了30 minC．食堂到图书馆的距离为0.8 km D．小明从图书馆回家的速度为0.8 km/min32．（2018·四川巴中）函数y=112xx-+-中自变量x的取值范围是__________．33．（2018·湖北恩施州）函数y=213xx+-的自变量x的取值范围是__________．34．（2018·山东枣庄）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P 运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是__________．35．（2018·吉林）小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30 min．小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示（1）家与图书馆之间的路程为多少米，小玲步行的速度为多少；（2）求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）求两人相遇的时间．36．（2018·黑龙江牡丹江）在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）请写出甲的骑行速度为__________米/分，点M的坐标为__________；（2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．37．（2018·辽宁本溪）“五·一”期间，九年一班同学从学校出发，去距学校6千米的本溪水洞游玩，同学们分为步行和骑自行车两组，在去水洞的全过程中，骑自行车的同学比步行的同学少用40分钟，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍．（1）求步行同学每分钟．．．走多少千米？（2）如图是两组同学前往水洞时的路程y（千米）与时间x（分钟）的函数图象．完成下列填空：①表示骑车同学的函数图象是线段__________；②已知A点坐标（30，0），则B点的坐标为（__________）．38．（2018·山东日照）“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发0.5小时后到达甲地，玩一段时间后按原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回家中．小红从家出发到返回家中，行进路程y（km）随时间x （h ）变化的函数图象大致如图所示．（1）小红从甲地到乙地骑车的速度为__________km /h ；（2）当1.5≤x ≤2.5时，求出路程y （km ）关于时间x （h ）的函数解析式，并求乙地离小红家多少千米？39．（2018·黑龙江绥化）端午节期间，甲、乙两人沿同一路线行驶，各自开车同时去离家560千米的景区游玩，甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时，再以每小时m 千米的速度匀速行驶，途中体息了一段时间后，仍按照每小时m 千米的速度匀速行驶，两人同时到达目的地，图中折线、线段分别表示甲、乙两人所走的路程(km)y 甲，(km)y 乙与时间(h)x 之间的函数关系的图象.请根据图象提供的信息，解决下列问题：（1）图中E 点的坐标是__________，题中m __________km/h ，甲在途中休息__________h ； （2）求线段CD 的解析式，并写出自变量x 的取值范围； （3）两人第二次相遇后，又经过多长时间两人相距20 km ？1．【答案】C【解析】在三角形面积公式S=12ah，a=2中，S，h是变量，12，a是常量，故选C．2．【答案】B【解析】某市居民用电价格是0.58元/度，0.58是常量；居民应付电费为y元，用电量为x度，其中x，y是变量，故选B．3．【答案】D【解析】y是x函数的是①x-y=5；③y=|x|；④y=3x．当x=1时，在y2=2x中y=±2，则不是函数，故选D．4．【答案】A【解析】函数是指两个变量之间的关系，而①⑦只有一个变量，故①⑦不是函数；②③④⑤都有两个变量，并且给等号右边的变量一个确定的值，等号左边的变量都只有唯一的值与之对应，所以②③④⑤都是函数；⑥是以后将要学习的一个物理公式，对于一个确定的运动过程而言，v0和a都是不变的，只有S和t两个变量，并且满足一一对应，故⑥也是函数，故选A．5．【答案】A【解析】二次根式有意义的条件是根号下被开方数非负，所以x+2≥0，即x≥-2，故选A．6．【答案】D【解析】∵挂上1 kg的物体后，弹簧伸长0.5 cm，∴挂上质量为x kg的物体后，弹簧伸长0.5x cm，∴弹簧的长度y=0.5x+8，故选D．7．【答案】D【解析】小明同学出校门后发现道路拥堵使得车辆停滞不前，等了几分钟，他离南坪站的距离没有变化，然后她步行前往地铁站他离南坪站的距离y（km）随时间x（h）的增大而减小，最后她乘地铁直达南坪站他离南坪站的距离y（km）随时间x（h）的增大而减小，并且增加的速度更快了，符合以上的图象是D．故选D．8．【答案】C【解析】横轴表示时间，纵轴表示温度．A、温度最高应找到函数图象的最高点所对应的x值与y值：为15时，38 °C．故本选项正确；B、温度最低应找到函数图象的最低点所对应的x值与y值：为3时，22 °C，故本选项正确；C、这天最高温度与最低温度的差应让前面的两个y值相减，即38-22=16 °C，故本选项错误；D、从图象看出，这天21时的温度是30 °C，故本选项正确．故选C．9．【答案】日期和电表读数，日期，电表读数【解析】表格中反映的变量是：日期和电表读数，自变量为日期，因变量为电表读数．故答案为：日期和电表读数，日期，电表读数．10．【答案】x≥2【解析】根据题意可得：2030xx-≥⎧⎨+≠⎩，解得x≥2，故答案为：x≥2．11．【答案】1【解析】∵函数y=ax2-2x+2过M（3，5），∴5=9a-2×3+2，解得a=1，故答案为：1．12．【解析】（1）该车平均每千米的耗油量为（45-30）÷150=0.1（L/km），行驶路程x（km）与剩余油量Q（L）的关系式为Q=45-0.1x．（2）当x=280时，Q=45-0.1×280=17．故当x=280 km时，剩余油量Q的值为17 L．13．【解析】（1）由题意得：x+x+y=180，∴y=180-2x．（2）由y>0得：x<90，又x>0，故0<x<90．14．【解析】（1）根据函数图象可得：y的变化范围为-2～4．（2）当x=0时，y=3；当x=-3时，y=1．（3）当y=0时，x1=-2.5，x2=-1.5，x3=3.5．当y=3时，x1=0，x2=2．（4）当x=1时，图象有最高点，此时y最大．（5）当x在-2～1时，函数图象上升，y的值在不断增加．15．【答案】A【解析】∵函数y=212xx-+中，当x=a时的函数值为1，∴2112aa-=+，∴2a−1=a+2，∴a=3，故选A．16．【答案】C【解析】如图所示，过点D作DE⊥BC于点E，则S△DPB=12BP·DE，即12y=DE·x，由题图②中的信息可知，当点P运动到点C时，y最大=7，此时x=BC=7，即12DE×7=7，解得DE=2，∵在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中点，∴CD=DB，又∵DE⊥BC于点E，∴CE=BE，又∵点D是AB边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AC=2DE=4，故选C．17．【答案】y=10-x（0<x<10）【解析】设长方形的另一条边长为y，则y=2022x-，即y=10-x，∵y>0，∴10-x>0，x<10，∵x>0，∴0<x<10．∴y关于x的函数解析式是y=10-x，x的取值范围是0<x<10．故答案为：y=10-x（0<x<10）．18．【答案】10【解析】由题可知点P的运动过程分三种情况：P在BC上；P在CD上；P在AD上，该三种情况对应图象上的三段线段，由此可知P在第一段的运动路程为4，第二段的运动路程为9-4=5，即AD=BC=4，CD=AB=5，∴1=2ABCS BC AB⨯⨯△=1452⨯⨯=10，故答案为：10．19．【解析】（1）开会地点离学校有60千米．（2）答案不唯一，如：言老师上午6点钟从学校出发，开车走普通公路，出发1小时后，车坏了，半小时后修好了以原速度继续前进，8点钟准时赶到了会场，开会持续了3小时结束，会后改走高速公路，12点钟到学校．20．【答案】C【解析】由题意得：x-3≥0，解得x≥3，故选C．21．【答案】C【解析】根据题意得：x-3≠0，解得：x≠3，故选C．22．【答案】D【解析】乌龟运动的图象是一条直线，兔子运动的图象路程先增大，而后不变，再增大，并且乌龟所用时间最短．故选D．23．【答案】B【解析】设菱形的高为h，有三种情况：①当P在AB边上时，如图1，y=12AP·h，∵AP随x的增大而增大，h不变，∴y随x的增大而增大，故选项C不正确；②当P在边BC上时，如图2，y=12AD·h，AD和h都不变，∴在这个过程中，y不变，故选项A不正确；③当P在边CD上时，如图3，y=12PD·h，∵PD随x的增大而减小，h不变，∴y随x的增大而减小，∵P点从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，∴P在三条线段上运动的时间相同，故选项D不正确，故选B．24．【答案】D【解析】已知一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60秒后将容器内注满，因为长方体是均匀的，所以初期的图象应是直线，当水越过长方体后，注水需填充的体积变大，因此此时的图象也是直线，但斜率小于初期，综上所述选D．25．【答案】D【解析】A．根据图象4时气温最低，故A错误；B．最低气温为零下3 °C，故B错误；C．0点到14点之间气温先下降后上升，故C错误；D描述正确，故选D．26．【答案】D【解析】观察函数图象，可知：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确；观察函数图象，可知：当每月上网费用大于等于50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；设当x≥25时，y A=kx+b，将（25，30）、（55，120）代入y A=kx+b，得253055120k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得345kb=⎧⎨=-⎩，∴y A=3x-45（x≥25），当x=35时，y A=3x-45=60>50，∴每月上网时间为35 h时，选择B方式最省钱，结论C正确；设当x≥50时，y B=mx+n，将（50，50）、（55，65）代入y B=mx+n，得50505565m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得3100mn=⎧⎨=-⎩，∴y B=3x-100（x≥50），当x=70时，y B=3x-100=110<120，∴结论D错误．故选D．27．【答案】C【解析】①4000÷20=200米/分，∴两人同行过程中的速度为200米/分，①正确；②m=20-5=15，n=200×15=3000，②正确；③晓琳开始返回时，爸爸和晓琳各走5分钟，爸爸返回的速度为100，所以他们的距离为：300×5=1500（米），③不正确；④设爸爸返回的解析式为y2=kx+b，把（15，3000）（45，0）代入得153000 450k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得1004500kb=-⎧⎨=⎩，∴y2=-100x+4500，∴当0≤x≤20时，y1=200x，y1-y2=900，∴200x-（-100x+4500）=900，∴x=18，当20≤x≤45时，y1=ax+b，将（20，4000）（45，0）代入得204000450a ba b+=⎧⎨+=⎩，∴1607200kb=-⎧⎨=⎩，y1=-160x+7200，y1-y2=900，（-160x+7200）-（-100x+4500）=900，x=30，∴④正确，故选C．28．【答案】B【解析】由图象知走前一半路程用的时间为1小时，所以走前一半路程时的速度为40 km/h，因为匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20 km/h，所以以后的速度为20+40=60 km/h，时间为4060×60=40分钟，故该车到达乙地的时间是当天上午10：40，故选B．29．【答案】C【解析】如图，过点C作CD⊥y轴于点D，∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠OAB=90°，∵∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DCA=∠OAB，又∵∠CDA=∠AOB=90°，∴△CDA∽△AOB，∴OB OA ABDA DC AC===tan30°，则313xy=-，故y=3x+1（x>0），则选项C符合题意．故选C．30．【答案】A【解析】由图可得，甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误，乙追上甲用的时间为：16-4=12（分钟），故③错误，乙到达终点时，甲离终点距离是：2400-（4+30）×60=360米，故④错误，故选A．31．【答案】B【解析】小明吃早餐用了（25-8）=17 min，A错误；小明读报用了（58-28）=30 min，B正确；食堂到图书馆的距离为（0.8-0.6）=0.2 km，C错误；小明从图书馆回家的速度为0.8÷10=0.08 km/min，D错误，故选B．32．【答案】x ≥1且x ≠2【解析】由题意得1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得：x ≥1且x ≠2，故答案为：x ≥1且x ≠2． 33．【答案】x ≥-12且x ≠3 【解析】根据题意得2x +1≥0，x -3≠0，解得x ≥-12且x ≠3．故答案为：x ≥-12且x ≠3． 34．【答案】12【解析】根据题意观察图象可得BC =5，点P 在AC 上运动时，BP ⊥AC 时，BP 有最小值，观察图象可得，BP 的最小值为4，即BP ⊥AC 时BP =4，又勾股定理求得CP =3，因点P 从点C 运动到点A ，根据函数的对称性可得CP =AP =3，所以ABC ∆的面积是1(3+3)42⨯⨯=12，故答案为：12． 35．【解析】（1）结合题意和图象可知，线段CD 为小玲路程与时间函数图象，折线O -A -B 为为小东路程与时间图象，则家与图书馆之间路程为4000 m ，小玲步行速度为2000÷10=200 m /s ． （2）∵小东从离家4000 m 处以300 m /min 的速度返回家，则x min 时，∴他离家的路程y =4000-300x ，自变量x 的范围为0≤x ≤403． （3）由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前，∴4000-300x =200x ，解得x =8，∴两人相遇时间为第8分钟．36．【解析】（1）由题意得：甲的骑行速度为：10202114-=240（米/分）， 240×（11-1）÷2=1200（米）， 则点M 的坐标为（6，1200），故答案为：240，（6，1200）．（2）设MN 的解析式为：y =kx +b （k ≠0），∵y =kx +b （k ≠0）的图象过点M （6，1200）、N （11，0），∴61200 110k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得2402640kb=-⎧⎨=⎩，∴直线MN的解析式为：y=-240x+2640．即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y=-240x+2640．（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，乙的速度：1200÷20=60（米/分），如图1所示：∵AB=1200，AC=1020，∴BC=1200-1020=180，分5种情况：①当0<x≤3时，1020-240x=180-60x，x=143>3，此种情况不符合题意；②当3<x<214-1时，即3<x<174，甲、乙都在A、C之间，∴1020-240x=60x-180，x=4，③当214<x≤6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，∴240x-1020=60x-180，x=143<214，此种情况不符合题意；④当x=6时，甲到B地，距离C地180米，乙距C地的距离：6×60-180=180（米），即x=6时两人距C地的路程相等，⑤当x>6时，甲在返回途中，。
著名机构数学讲义暑假07-八年级培优版-一元二次方程的解法(2)-教师版
教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间学 科数学课题名称一元二次方程的解法（2）知识点Ⅰ： 配方法解一元二次方程1.定义：先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方形式，然后直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法。
2.理论依据：222)(2b a b ab a ±=+±3.步骤：二次项系数化为1；移项；配方：配上一次项系数一半的平方；直接开平方法解。
【例1】 (1) 2x ++x 8 = (+x )2;一元二次方程的解法（2）(2) _2a 6+a = (-a )2; (3) 2y 32-+y = (-y )2. 【答案】（1）164（2）93（3）1193【例2】（1）x x 252-+____=2___)(-x ; (2)px x -2+_____=2__)(-x ; (3)x ab x +2+ ______=2___)(+x . 【答案】（1）255164（2）242p p （3）2242b baa【例3】用配方法解方程（1）2610x x --= （2）22330x x --=（3）22410x x --= （4）22370x x +-= 【答案】（1）12310310x x =+=-（2）1233333344x x +-==（3）12262622x x +-==（4）1236536544x x -+--==知识点Ⅱ：一元二次方程的解法公式法1.求根公式推导：（3）23102x x --= （4）()441t t -=（5）2102x x --= （6）2243220x x +-= 【答案】（1）1242242233y y +-==（2）12513x x ==-（3）12122x x ==-（4）12235235x x =+=-（5）12131322x x +-==（6）12622622x x =-+=--知识点Ⅲ： 用适当的方法求一元二次方程先观察形式，在看是否需要整理成一般形式；考虑十字相乘法，在考虑公式法。
(八下)数学提高班第一次讲义--分解因式之十字相乘法
第一讲分解因式及十字相乘法一、分解因式的基础知识和典型例题分解因式是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本块知识时，应注意：1. 分解因式的对象是多项式；2. 分解因式的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止，即分解要彻底；4. 乘法公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7.分解因式时：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤.即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法（含平方项时）、换元法（有相同部分时）、十字相乘法（二次三项式时）或双十字相乘法（二次六项式）、待定系数法、拆项（添项）等方法；8. 如下两个公式：（1）立方和公式：()()3322a b a b a ab b +=+-+；立方差公式：()()3322a b a b a ab b -=-++； （2）和立方公式：()()3333a b a b ab a b +=+++；差立方公式：()()3333a b a b ab a b -=---； 例1. 已知:x x x x+=+=12133，则__________.例2. 分解因式：x x x x x 54321-+-+-.例3. 求证：n n 35+是6的倍数（其中n 为整数）.例4. 若多项式x x x a 3257+++有一个因式是x +1，求a ，并将原式分解因式.相关练习：若多项式21332x x x k --+有一个因式是21x +.求k 的值，并将原式分解因式.二、十字相乘法的基础知识及典型例题对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式()()x a b x ab x a x b 2+++=++()进行因式分解.掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数.对于二次三项ax bx c 2++（a 、b 、c 都是整数，且a ≠0）来说，如果存在四个整数a c a c 1122，，，满足a a a c c c 1212==，，并且a c a c b 1221+=，那么二次三项式ax bx c 2++即()a a x a c a c x c c 122122112+++可以分解为()()a x c a x c 1122++.这里要确定四个常数a c a c 1122，，，，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定.例5.分解因式：(1) a b ab 221639++； (2)22224954y y x y x --； (3)()()x x x x 222322372+-++.练习. 已知：x y x y +=+=05312..，，求312922x xy y ++的值.例6.（1）解方程：26750x x --=； （2）解不等式：x x 211240-+>.例7. 分解因式：3529422x xy y x y +-++-.练习. 1.分解因式：2226773x xy y x y --+++2.已知多项式6823222-+--+y x y xy x 的值恒等于两个因式 )2)(2(B y x A y x +-++乘积的值，你们B A += .例8. 因式分解：22243x y x y ----例9. 已知：a 、b 、c 为互不相等的数，且满足()()()a c b a c b -=--24，. 求证：a b b c -=-.相关练习：1.分解因式：(x y)(x y 2xy)(xy 1)(xy 1)+++++-2.求证多项式()()x x x 2241021100--++的值一定是非负的.3.分解因式：（1）x(x 1)(x 2)(x 3)1++++； （2）2(x 1)(x 2)(x 3)(x 6)x +++++；（3）222(a 1)(a 6a 1)12a a ++-++。
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试题1 )23)(23()13(2+---
(2解方程：3)12)(2(=-+x x ．
3甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度()m y 与挖掘时间()h x 之间的关系如图1所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： ⑴乙队开挖到30m 时，用了 h ． 开挖6h 时甲队比乙队多挖了 m ；
⑵请你求出：①甲队在06x ≤≤的时段内，y 与x 之间的函数关系式；②乙队在26x ≤≤的时段内，y 与
x 之间的函数关系式；
⑶当x 为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的
长度相等？
4如图，AB ∥CD ，AB=CD ，点E 、F 在BC 上，且BE=CF ．
（1）求证：△ABE ≌△DCF ；
（2）试证明：以A 、F 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形．
5、已知：如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，且BF ＝CE 。
求证：（1）△ABC 是等腰三角形；（2）当∠A ＝900时，试判断四边形AFDE
是怎样的四边形？证明你的判断结论。
6列方程或方程组解应用题：某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于
施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务。
若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积。
7某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A ：4棵；B ：5棵；C ：6棵；D ：7棵．将各类的人数绘制成扇形图（如图14-1）和条形图（如图14-2），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误．
回答下列问题：
（1）写出条形图中存在的错误，并说明理由；
（2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；
（3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的：
① 小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？
② 请你帮他计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵．
8如图，A 、B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地经过C 地沿折线A →C →B 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？（结果保留根号）
9、关于x 的方程04
)2(2
=+
++m
x m mx 有两个不相等的实数根 （1）求m 的取值范围；
（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
10如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 折叠，B 点落在F ，FC 与AD 交于E 点，求证：ED=EF ．
11、抛物线5)4(22-+-=x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，即x_____0时， y 随着x 的增大而增大； 在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小；当x= 时，函数y 最 值是____。
.将y=3x 2向左平移3个单位,再向下平移2个单位后, 所得图像的函数表达式是____ _. 12求下列函数的图像的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标. (1)y=4x 2+24x+35; (2)y=-3x 2+6x+2;
13解答题： 根据下列条件，求二次函数的解析式 （1）图象顶点坐标是（2，－5），且过原点
（2）图象与x 轴的交点坐标是（－1，0），（－3，0）且函数有最小值－5。
14．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为
S m 2．
（1）求S 与x 的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45 m 2的花圃，AB 的长是多少米？ （3）能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出 最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．。