高考数学圆锥曲线及解题技巧

1 / 15圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。

熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。

一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。

例1. 已知点A （3，2），F （2，0），双曲线x y 2231-=，P 为双曲线上一点。

求||||PA PF +12的最小值。

解析：如图所示，Θ双曲线离心率为2，F 为右焦点，由第二定律知12||PF 即点P 到准线距离。

∴+=+≥=||||||||PA PF PA PE AM 1252二. 引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。

例2. 求共焦点F 、共准线l 的椭圆短轴端点的轨迹方程。

解：取如图所示的坐标系，设点F 到准线l 的距离为p （定值），椭圆中心坐标为M （t ，0）（t 为参数）2 /15Θp b c=2，而c t = ∴==b pc pt 2 再设椭圆短轴端点坐标为P （x ，y ），则x c t y b pt ====⎧⎨⎪⎩⎪消去t ，得轨迹方程y px 2=三. 数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。

熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。

例3. 已知x yR ,∈，且满足方程x y y 2230+=≥()，又m y x =++33，求m 范围。

解析：Θm y x =++33的几何意义为，曲线x y y 2230+=≥()上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示3 / 15k m k PA PB ≤≤∴-≤≤+332352m四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。

例4. 已知圆()xy -+=3422和直线y mx =的交点为P 、Q ，则||||OP OQ ⋅的值为________。

解：Θ∆∆OMP OQN ~||||||||OP OQ OM ON ⋅=⋅=5五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。

例5. 已知椭圆：x y 2224161+=，直线l ：x y 1281+=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于一点R ，点Q 在OP 上且满足||||||OQ OP OR ⋅=2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程。

分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。

解：如图，OQ OR OP →→→，，共线，设OR OQ →=→λ，OP OQ →=→μ，OQ x y →=()，，则OR x y →=()λλ，，OP x y →=()μμ，4 /15Θ||||||OQ OP OR →⋅→=→2∴→=→μλ||||OQ OQ 222∴=μλ2Θ点R 在椭圆上，P 点在直线l 上∴+=λλ222224161x y ，μμx y 1281+= 即x y x y 222416128+=+ 化简整理得点Q 的轨迹方程为：()()x y -+-=152153122（直线y x =-23上方部分）六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。

所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。

例6. 求经过两圆xy x 22640++-=和x y y 226280++-=的交点，且圆心在直线x y --=40上的圆的方程。

解：设所求圆的方程为：x y x x y y 2222646280++-+++-=λ() ()()()1166284022+++++-+=λλλλx y x y5 / 15则圆心为()-+-+3131λλλ，，在直线x y --=40上 ∴解得λ=-7故所求的方程为x y x y 227320+-+-=七. 巧用点差，简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。

例7. 过点A （2，1）的直线与双曲线x y 2221-=相交于两点P 1、P 2，求线段P 1P 2中点的轨迹方程。

解：设P x y 111()，，P x y 222()，，则 x y x y 12122222211212-=<>-=<>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ <2>－<1>得()()()()x x x x y y y y 211221122-+=-+ 即y y x x x x y y 212112122--=++() 设P 1P 2的中点为M x y ()00，，则k y y x x x y P P 122121002=--= 又k y x AM =--0012，而P 1、A 、M 、P 2共线 ∴=k k P P AM 12，即y x x y 0000122--=6 / 15∴P P 12中点M 的轨迹方程是24022xy x y --+= 解析几何题怎么解 高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.例1 已知点T 是半圆O 的直径AB 上一点，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB 为直腰作直角梯形B B A A ''，使A A '垂直且等于AT ，使B B '垂直且等于BT ，B A ''交半圆于P 、Q 两点，建立如图所示的直角坐标系.(1)写出直线B A ''的方程； （2）计算出点P 、Q 的坐标；（3）证明：由点P 发出的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q.讲解: 通过读图, 看出'',B A 点的坐标. (1 ) 显然()t A -1,1', ()，，‘t B +-11 于是 直线B A ''的方程为1+-=tx y ；（2）由方程组⎩⎨⎧+-==+,1,122tx y y x 解出),(10P 、),(2221112t t t t Q +-+； （3）t t k PT 1001-=--=, t t t t t t t t t k QT 1111201122222=--=-+-+-=)(. 由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q.需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?7 / 15例2 已知直线l 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 有且仅有一个交点Q ，且与x 轴、y 轴分别交于R 、S ，求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程． 讲解：从直线l 所处的位置, 设出直线l 的方程,由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为).0(≠+=k m kx y代入椭圆方程，222222b a y a x b =+ 得 .)2(22222222b a m kmx x k a x b =+++化简后，得关于x 的一元二次方程 .02)(222222222=-+++b a m a mx ka x b k a于是其判别式).(4))((4)2(222222222222222m b k a b a b a m a b k a m ka -+=-+-=∆由已知，得△=0．即.2222m b k a =+ ①在直线方程m kx y +=中，分别令y=0，x=0，求得).,0(),0,(m S km R - 令顶点P 的坐标为（x ，y ）， 由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.,.,y m x y k m y k m x 解得 代入①式并整理，得 12222=+yb x a , 即为所求顶点P 的轨迹方程． 方程12222=+yb x a 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 例3已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23 （1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.8 / 15讲解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x（2）把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得07830)31(22=---kx x k . 设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则012000220115515,.21313BE y x x k x y kx k k k x k++==⋅=+===--- ,000=++∴k ky x 即7,0,0315*******=∴≠=+-+-k k k k k k k 又 故所求k=±7. 为了求出k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构k 的方程.例4 已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 为椭圆上的一个动点，且∠F 1PF 2的最大值为90°，直线l 过左焦点F 1与椭圆交于A 、B 两点，△ABF 2的面积最大值为12．（1）求椭圆C 的离心率； （2）求椭圆C 的方程．讲解：（1）设112212||,||,||2PF r PF r F F c ===, 对,21F PF ∆ 由余弦定理, 得1)2(2441244242)(24cos 22122212221221221212221121-+-≥--=--+=-+=∠r r c a r r c a r r c r r r r r r c r r PF F 0212=-=e ，9 / 15解出 .22=e （2）考虑直线l 的斜率的存在性，可分两种情况：i) 当k 存在时，设l 的方程为)(c x k y +=………………① 椭圆方程为),(),,(,122112222y x B y x A b y a x =+ 由.22=e 得 2222,2c b c a ==. 于是椭圆方程可转化为222220x y c +-=………………② 将①代入②，消去y 得02)(22222=-++c c x k x , 整理为x 的一元二次方程，得 0)1(24)21(22222=-+++k c x ck x k .则x 1、x 2是上述方程的两根．且221221122||k k c x x ++=-，2212221)1(22||1||k k c x x k AB ++=-+=， AB 边上的高,1||2sin ||22121k k c F BF F F h +⨯=∠= c k k k k c S 21||)211(2221222+++= 2.===ii) 当k 不存在时，把直线c x -=代入椭圆方程得2,||,2y AB S =±== 由①②知S 的最大值为22c 由题意得22c =12 所以2226b c == 2122=a也可这样求解： ||||212121y y F F S -⋅= ||||21x x k c -⋅⋅=10 / 15 故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为： .12621222=+y x下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣： 设过左焦点的直线方程为：c my x -=…………①（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.） 椭圆的方程为：),(),,(,122112222y x B y x A by a x =+ 由.22=e 得：,,22222c b c a ==于是椭圆方程可化为：022222=-+c y x ……② 把①代入②并整理得：02)2(222=---c mcy y m于是21,y y 是上述方程的两根.21|||AB y y ==-2)2(441222222++++=m m c c m m 2)1(2222++=m m c , AB 边上的高212m ch +=, 从而222222)2(122122)1(2221||21++=+⨯++⨯==m m c m c m m c h AB S .221111222222c m m c ≤++++=当且仅当m=0取等号，即.22max c S = 由题意知1222=c , 于是 212,26222===a c b . 故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为： .12621222=+y x11 / 15例5 已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上.（１）求此椭圆的离心率； （2 ）若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆422=+y x 上，求此椭圆的方程.讲解:（1）设A 、B 两点的坐标分别为⎪⎩⎪⎨⎧=++-=11).,(),,(22222211b y ax x y y x B y x A ，则由 得 02)(2222222=-+-+b a a x a x b a ,根据韦达定理，得 ,22)(,2222212122221ba b x x y y b a a x x +=++-=++=+ ∴线段AB 的中点坐标为（222222,b a b b a a ++）. 由已知得2222222222222)(22,02c a c a b a b a b b a a =∴-==∴=+-+，故椭圆的离心率为22=e . （2）由（1）知,c b =从而椭圆的右焦点坐标为),0,(b F 设)0,(b F 关于直线02:=-y x l 的对称点为,02221210),,(000000=⨯-+-=⋅--y b x b x y y x 且则解得 b y b x 545300==且12 / 15由已知得 4,4)54()53(,42222020=∴=+∴=+b b b y x ，故所求的椭圆方程为14822=+y x .例6 已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(22=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，（1）如果324||=AB ，求直线MQ 的方程；（2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程. 讲解:（1）由324||=AB ，可得,31)322(1)2||(||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理，得,3|||,|||||2=⋅=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中，523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ，故55-==a a 或，所以直线AB 方程是;0525205252=+-=-+y x y x 或（2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由点M ，P ，Q 在一直线上，得(*),22x y a -=-由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ⋅=即(**),14)2(222=+⋅-+a y x把（*）及（**）消去a ，并注意到2<y ，可得).2(161)47(22≠=-+y y x适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.13 / 15 ①②③例7 如图，在Rt △ABC 中，∠CBA=90°，AB=2，AC=22。