数学的本质特征
数学学科的本质特征
数学学科的本质特征
数学的本质特征可以理解为它是对结构和关系的描述，以及对这些结构和关系的验证的方法和过程。
数学通过抽象的方法，剥离去除一切无意义的具体，只留下单纯的结构和关系，并探索其中的逻辑。
数学试图去发现所有的结构和关系，这是一种描述行为。
数学可以说是一种描述物质的物质，就像是一种元数据和元语言——描述的就是物质结构和关系所固有的逻辑。
数学的本质特征随着数学的发展而发展，不同的观点对其本质特征有不同的理解。
例如，柏拉图认为数学是研究模式的学问，怀特海认为数学的本质特征就是从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究。
同时，数学也兼有演绎科学和经验科学的特性，因为公理化逻辑演绎系统中存在缺憾，人们开始认识到数学是经验科学。
以上内容仅供参考，可以查阅数学史、数学哲学等相关书籍，以更全面地理解数学的本质特征。
初中数学课程_第六章数学抽象
初中数学课程_第六章数学抽象第六章数学抽象抽象是人类认识世界的一种科学的方法和思维活动，而数学的抽象是一种特殊的思维活动，除了具有抽象的一般共性外，数学的抽象又具有自己特殊的性质。
抽象性通常被认为是数学的一个基本特征，一切数学对象都是抽象思维的产物。
抽象是思维的基础，只有具备了一定的抽象能力，才可能从感性认识中获得事物的本质特征，从而上升到理性认识。
本章将就一般的抽象、科学的抽象和数学的抽象其含义进行说明，并阐述数学抽象的层次性、数学概念的抽象存在性、数学抽象的方法等问题，同时阐述在中小学数学教学中尤为重要的数量关系的抽象、空间形式的抽象、模型模式的抽象。
第一节数学抽象一、如何理解抽象的一般含义？抽象和具体是一对哲学范畴，是在实践过程中正确认识事物的部分与整体的处理具体和抽象的辩证关系的科学思维方法。
具体是指对客观存在着的各种事物或在认识中的整体的反映，是特定事物多方面属性、特点、联系和关系的统一。
而抽象则是指从具体事物中被抽象出来的相对独立的各个属性、特征、联系和关系。
抽象是正确反映客观事物本质，形成概念、范畴的一种思维方法。
它是在对事物的属性进行分析、综合、比较的基础上，抽取出事物的本质属性，撇开非本质属性，从而形成对某一事物的概念。
例如，“人”这个概念，就是在对千差万别的人进行分析、综合、比较的基础上，撇开了他们的非本质属性（肤色、语言、国别、性别、年龄、职业等等），抽取出他们的本质属性（都是能够进行高级思维活动、能够按照一定目的制造和使用工具的动物）而形成的，这就是抽象。
抽象和具体是人们认识过程中的两个不同的方面，也是两种不同的方法，二者即是对立又是统一的，并在一定条件下相互转化。
人类认识发展的历史证明，由感性具体进到理性抽象和再由理性抽象进到理性具体相结合的认识方法，既体现了认识过程的辩证法，又是人类认识世界的科学方法。
二、如何理解科学抽象？科学的抽象必须具备客观性、实在性和可检验性，都是客观事物所具有的某种属性、关系的反映，不是空洞的、荒谬的、神秘的虚构。
对数学本质特征的若干认识
对数学本质特征的若干认识对数学本质特征的若干认识什么是数学？这是任何一个数学教育工作者都应认真思考的问题。
只有对数学的本质特征有比较清晰的认识，才能在数学教育研究中把握正确的方向。
1、数学，其英文是mathematics，这是一个复数名词，“数学曾经是四门学科：算术、几何、天文学和音乐，处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。
”自古以来，多数人把数学看成是一种知识体系，是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和，它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系”的认识，又反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识。
数学既可以来自现实世界的直接抽象，也可以来自人类思维的能动创造。
2、从人类社会的发展史看，人们对数学本质特征的认识在不断变化和深化。
“数学的根源在于普通的常识，最显著的例子是非负整数。
"欧几里德的算术来源于普通常识中的非负整数，而且直到19世纪中叶，对于数的科学探索还停留在普通的常识，”另一个例子是几何中的相似性，“在个体发展中几何学甚至先于算术”，其“最早的征兆之一是相似性的知识，”相似性知识被发现得如此之早，“就象是大生的。
”因此，19世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然科学、经验科学，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切，随着数学研究的不断深入，从19世纪中叶以后，数学是一远，而且数学证明（作为一种演绎推理）在数学研究中占据了重要地位，因此，出现了认为数学是人类思维的自由创造物，是研究量的关系的科学，是研究抽象结构的理论，是关于模式的学问，等等观点。
这些认识，既反映了人们对数学理解的深化，也是人们从不同侧面对数学进行认识的结果。
正如有人所说的，“恩格斯的关于数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的提法与布尔巴基的结构观点是不矛盾的，前者反映了数学的来源，后者反映了现代数学的水平，现代数学是一座由一系列抽象结构建成的大厦。
”而关于数学是研究模式的学问的说法，则是从数学的抽象过程和抽象水平的角度对数学本质特征的阐释，另外，从思想根源上来看，人们之所以把数学看成是演绎科学、研究结构的科学，是基于人类对数学推理的必然性、准确性的那种与生俱来的信念，是对人类自身理性的能力、根源和力量的信心的集中体现，因此人们认为，发展数学理论的这套方法，即从不证自明的公理出发进行演绎推理，是绝对可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演绎出来的结论也一定是真的，通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑，数学家们得出的结论显然是毋庸置疑的、无可辩驳的。
中国传统数学的特点
我国传统数学具有的特点是:实用性;算法化;模型化;数形结合、直觉把握;寓理于算.基于对数学本质特征的认识，人们也从不同侧面讨论了数学的具体特点。
比较普遍的观点是，数学有抽象性、精确性和应用的广泛性等特点，其中最本质的特点是抽象性。
A，。
亚历山大洛夫说，“甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地觉察到数学的这些特点：第一是它的抽象性，第二是精确性，或者更好他说是逻辑的严格性以及它的结论的确定性，最后是它的应用的极端广泛、性，”「5」王粹坤说，“数学的特点是：内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确必”这种看法主要从数学的内容、表现形式和数学的作用等方面来理解数学的特点，是数学特点的一个方面。
另外，从数学研究的过程方面、数学与其它学科之间的关系方面来看，数学还有形象性、似真性、拟经验性。
“可证伪性”的特点。
对数学特点的认识也是有时代特征的，例如，关于数学的严谨性，在各个数学历史发展时期有不同的标准，从欧氏几何到罗巴切夫斯基几何再到希尔伯特公理体系，关于严谨性的评价标准有很大差异，尤其是哥德尔提出并证明了“不完备性定理…以后，人们发现即使是公理化这一曾经被极度推崇的严谨的科学方法也是有缺陷的。
因此，数学的严谨性是在数学发展历史中表现出来的，具有相对性。
关于数学的似真性，波利亚在他的《数学与猜想》中指出，“数学被人看作是一门论证科学。
然而这仅仅是它的一个方面，以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的，在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比．你得一次又一次地进行尝试。
数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。
只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。
数学学习应体现的几个本质特征
名 师 的结论。 有学者认为， 学习理论大致可以 分为三类： 学习 导 航 是刺激一反应之间联结的加强（ 行为主义） ； 学习是指认
知 桐 的 改 耍 【 知 芋 ； 认 氏） 雩
系统 的 ， 至是 非常模 糊 的 ， 是对他 们 正式学 习数学 都 甚 但
奠定 了必要 的基础 。 以 ， 所 学生 头脑 中的数学 往往与成 人
的理解 不完全 相 同。 对他们说 来 ， 数学是 自己对生活中 数 学现 象 的解读 或升华 。 因此可 以说 ， 学生 数学学 习的过程 也就 是在他 们原 有 的认 知结 构 的基础 上建构 数学 模型 的 过 程。 他们 必须 循序渐进 ， 小 的、 从 简单的数 学模型 学起 ，
过程 。
一
从 数学 哲学 的视 角来看 ，数学 是人 类创造 和发 明的
个 不断扩 展的领 域 ， 是一 个调 查 、 了解和 不 断充实 知识
的过 程。 数学不 是一种 既定 的结 果 ， 学 的结 论是不 断修 数 正的 ， 具有 很大 的开放 性。 数学是 由 问题 构成 的 ， 数学 的 发 展是 不断提 出 问题 与解 决 问题 的过程 。 因此 ， 在学 习数
量 象数 模 ，以号 自 为 学型 并 符化 —
《 ｌ ＧＸＩＥＤＵＣＡＴＩ ｏＮ
小 于 ３ ０ ” ， 提 出这 样 的生 活 问 题 ： 的 骨 架 构 成 ６。 时 可 伞
一
方法 ， 在 即
定 的指导 下 ， 由学生本 人 去发 现 或创 造 出要
个 多 面角 ， 慢慢 撑 开 时 ， 邻 骨架 之 间 的面 角有 什 当伞 相
作 为一种 学 习活动 ， 数学 学 习是学 生在 教 师指导 下 ， 根据 教学计 划获取 数学 知识 、 技能 和能 力 发展 个性 品质 的过 程。 数学 学 习除具 有一般 学 习的特点 外 ， 还呈现 以下 明显特 点 ： 需要提 高抽 象概括 思维 水平 ； 要发展 逻辑 推 需 理能力： 需要 必要 的解题 练 习。 学学 习是一 个极其 复杂 数 的过程 ， 从不 同 的角度和 不 同的观 点 出发 ， 会得 出不 同 就
数形结合的重要性
数形结合的重要性数形结合的思想方法是贯穿于整个高中数学的知识体系当中，它是贯穿高中数学课程的一条主线，它不仅是我们解题的一种思想方法，更重要的是它是我们进一步学习、探索和研究数学的有力武器。
数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。
这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。
因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
我认为数形结合思想是贯穿高中课程的主线，也是数学最本质的思想方法之一，它的实质是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
它渗透到各个章节的角角落落里，直观的感受让我们形成了对事物的感性认识，为我们加深理解定义概念和性质打下了基础，很多探索性的研究都是从图形开始的，数形结合的数学思想方法是研究数学问题的一个非常重要的思想方法。
数与形是数学中两个最古老的、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化如某些代数问题、三角问题往往都有几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论。
数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种的思维方法，因此它在数学中占有重要的地位。
数形结合的解题方法特点是具有直观性、灵活性、深刻性，并跨越各科的知识界限，有较强的综合性。
在复习中加强这方面的训练，对巩固和加深有关数学知识的理解、打好基础、提高能力是非常重要的。
数形结合解题就是在解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数的信息，利用数量特征，将其转化为代数问题；在解决与数量有关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题。
从而利用数形的辩证统一和各自的优势尽快地得到解题途径，这对提高分析和解决问题的能力将有极大的帮助。
“形”中觅“数”：很多数学问题，需要根据图形寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形，使问题获解。
数学的本质和意义是什么？
数学的本质和意义是什么？这个问题，莘莘学⼦当琢磨，理⼯学者须吃透。
先给出我的答案，然后逐⼀解释，最后警惕⾛⽕⼊魔，共有七个标题。
数学的本质是——抽象思维，表现为三个⽅⾯：①代数抽象或统计⽅法、②⼏何抽象或微积分⽅法、③拓扑抽象或符号⽅法。
数学的意义是——应⽤⼯具，表现为三个⽅⾯：①作为逻辑思维的⼯具、②作为物理表达的⼯具、③作为设计制造的⼯具。
代数抽象，是统计思维的精髓统计抽象，即不考虑样本个性差异，只考虑样本的共性特征，对样本进⾏统计操作，包括：统计总量、统计分组、统计分析、统计图表。
某类事物的存在形式是千差万别的，但他们的共性：都是相对独⽴的个体、个数、单位1。
看看：1个男⼈+1个⼥⼈=2个⼈；1个狗+1个猫=2个宠物；1个⼤⿊狗+1个⼩花狗=2个狗；1个圣⼈君⼦+1个流浪狗=2个哺乳动物...再看：1个电⼦+1个质⼦=2个粒⼦；1个地球+1个太阳=2个天体；1个伽玛线光⼦+1个红外线光⼦=2个光⼦...显然：若⼲个单位1，就是“数”。
毕达哥拉斯说“万象皆数”，统计是最基本的数学逻辑。
然⽽，形式逻辑≠数学逻辑，唯象思维≠数学思维，抽象事物并不存在。
悖论：⽩马⾮马，因为抽象的马不存在，没有个性的马不存在。
⼏何抽象，是微积分思维的精髓微积分抽象：即把⾃然的曲线元素，变成⼈造的直线元素，把⾃然的漩涡元素，变成⼈造的圆弧元素。
物体的结构，都是不规则的椭球。
植物的花粉与种⼦，动物的精⼦与卵⼦，微⽣物的孢⼦与泡囊，⽆机界的沙⼦与晶胞，太空中的尘埃与星体，可以做“球模型”的⼏何抽象。
物体的运动，都是不规则的流线。
⾃然界不存在直线运动。
指纹、年轮、神经、蛛⽹、海螺、河道、湍流、云涌......皆⽆纯⼏何轨迹。
然⽽，在这些缭乱⾛向中：当你截取相当⼩⽚段，它们就是⼀段圆弧；当你截取⾜够⼩⽚段，它们就成了⼀节直线。
⽆论多么杂乱⽆序的缭绕，都可以因为“⽚段→差分→微分”之⼏何抽象⼿术，变成极简的线与弧，变得规规矩矩⽽听由处置。
数学学习应体现的几个本质特征
数学学习应体现的几个本质特征作者：黄贵来源：《江西教育·教学版》2010年第01期作为一种学习活动,数学学习是学生在教师指导下,根据教学计划获取数学知识、技能和能力,发展个性品质的过程。
数学学习除具有一般学习的特点外,还呈现以下明显特点:需要提高抽象概括思维水平;需要发展逻辑推理能力;需要必要的解题练习。
数学学习是一个极其复杂的过程,从不同的角度和不同的观点出发,就会得出不同的结论。
有学者认为,学习理论大致可以分为三类:学习是刺激—反应之间联结的加强(行为主义);学习是指认知结构的改变(认知学派);学习是自我概念的变化(人本主义)。
这些解释尽管存在偏颇,但他们从不同的角度揭示了学习的实质,为我们研究数学学习提供了不同的视角。
基于对学习本质的现代意义的理解和数学学习基本特点的把握,笔者认为数学学习应体现以下几个本质特征。
■一、数学模型建构是数学学习的基础从认知学派的视角来看,发展性教学论认为学习不是一个被动吸收、反复练习和强化记忆的过程,而是一个以学生原有的知识经验为基础,通过个体与环境相互作用主动建构的过程。
麦克莱恩认为,数学研究现实世界和人类经验各方面的各种形式模型的构造。
强调数学涉及大量各种各样的模型,同一个经验事实可以用多种方法在数学中被模型化。
因此,数学学习的直接对象是数学模型,数学学习是数学模型建构的过程。
正如新课程标准所说,数学学习是从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并且进行解释与应用的过程。
数学源于生活,寓于生活,用于生活,同时数学又把现实世界中这些量的关系、量的变化、空间形式等问题抽象为数学模型,并以符号化的形式表示出来,数学符号(数学模型)是抽象的结晶与基础。
因此,数学学习是一种符号化的数学知识与生活实践经验相互结合的学习,即是对数学符号的学习。
在生活实际中,学生已经遇到过不少与数学有关的实践问题,积累了一些与数学有关的生活经验,形成了一些概念和观点。
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数学的本质特征
数学是一种智力活动，其本质特征包括：
1. 逻辑性。
数学的推理过程必须遵循严格的逻辑规则，不能有任何漏洞或矛盾。
2. 抽象性。
数学理论和方法可以通过抽象化的方式描述和表达，不受具体对象的限制。
3. 精确性。
数学概念和定理必须被定义和表述得非常精确，以确保其准确性和可验证性。
4. 普遍性。
数学思想和方法可以应用于各种学科领域和实际问题中，具有普遍性和通用性。
5. 创造性。
数学的发展离不开前人的积累和启发，但同时也需要创新和发明，以推动学科的进步。
这些本质特征使得数学成为一种重要的学科，不仅对科学技术的发展有着深刻的影响，也对人类思维方式和文化传承产生了重要的影响。
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