高中数学选择性必修二 精讲精炼 5 1 函的单调性(精讲)(含答案)

5.3.1 函数的单调性(精讲)考点一导数与单调性图像问题【例1】(2021·全国高二课时练习)()'f x是函数y＝f(x)的导函数，若y＝()'f x的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由导函数的图象可知，当x＜0时，()'f x＞0，即函数f(x)为增函数；当0＜x＜2时，()'f x＜0，即f(x)为减函数；当x＞2时，()'f x＞0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.故选：D【一隅三反】1(2021·全国高二课时练习)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵函数f (x )在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数， ∴当x ＞0时，f ′(x )＜0，当x ＜0时，f ′(x )＜0.故选：D2．(2021·全国高二课时练习)如果函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝()'f x 的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有选项A 满足．故选：A ． 3．(2021·西藏日喀则区南木林高级中学)如图所示是函数()f x 的导函数()'f x 的图象，则下列判断中正确的是( )A ．函数()f x 在区间(3,0)-上是减函数B ．函数()f x 在区间(3,2)-上是减函数C ．函数()f x 在区间(0,2)上是减函数D ．函数()f x 在区间(3,2)-上是单调函数 【答案】A【解析】由函数()y f x =的导函数()'f x 的图像知，A ：(30)x ∈-，时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，故A 正确； B ：(32)x ∈-，时，()0f x '<或()0f x '>， 所以函数()f x 先单调递减，再单调递增，故B 错误；C ：(02)x ∈，时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，故C 错误； D ：(32)x ∈-，时，()0f x '<或()0f x '>， 所以函数()f x 先单调递减，再单调递增，不是单调函数，故D 错误.故选：A考点二 无参单调性区间【例2】(2021·全国高二课时练习)求下列函数的单调区间.(1)f (x )＝x 3－3x ＋1；(2)y ＝x ＋2x.(3)32223y x x =-+3；(4)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.【答案】(1)增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，减区间是(－1，1)；(2)增区间为(－∞，)和)，减区间为(，0)和(0(3)单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)； (4)单调递增区间为3(,1)2--，1(,)2-+∞，单调递减区间为1(1,)2--.【解析】(1)()'f x ＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 令()'f x >0，得x >1，或x <－1.令()'f x <0，得－1<x <1.∴f (x )的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，减区间是(－1，1).(2)y '＝1－22x由y '>0，解得x <x 由y '<0<x (x ≠0).∴函数的增区间为(和)，减区间为(，0)和(0(3)函数的定义域为R.y ′＝2x 2－4x ＝2x (x －2)．令y ′＞0，则2x (x －2)＞0，解得x ＜0或x ＞2.所以函数的单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)．令y ′＜0，则2x (x －2)＜0，解得0＜x ＜2.所以函数的单调递减区间为(0，2)．(4) 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为3(,)2-+∞.y ′＝223x +＋2x ＝246223x x x +++＝2(21)(1)23x x x +++.令y ′＞0，解得－32＜x ＜－1或x ＞－12.所以函数的单调递增区间为3(,1)2--，1(,)2-+∞.令y ′＜0，解得－1＜x ＜－12，所以函数的单调递减区间为1(1,)2--.【一隅三反】1(2021·全国高二单元测试)设a 为实数，函数32()(3)f x x ax a x =++-，且f x 是偶函数，则()f x 的单调递增区间为( ) A ．(0,)+∞ B ．(,1)-∞-，(1,)+∞ C ．(1,1)- D ．(3,)+∞【答案】B【解析】因为32()(3)f x x ax a x =++-，所以()2323f x x ax a '=++-，因为f x 是偶函数，所以()()f x f x ''-=对x ∈R 恒成立，即223()2()3323x a x a x ax a -+-+-=++-，即40ax =，所以0a =，所以()233f x x ='-，令0fx，解得1x >或1x <-，所以()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞． 故选：B ．2．(2021·全国高二课时练习)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A ．先增后减 B ．先减后增 C ．单调递增 D ．单调递减【答案】D【解析】f ′(x )＝－sin x －1，x ∈(0，π)，∴f ′(x )<0，则f (x )＝cos x －x 在(0，π)上单调递减.选：D3．(2021·绥德中学高二月考(理))若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点()1,0-，则函数()f x 的单调递减区间为( ) A ．(),0-∞ B ．()0,∞+C ．()(),11,0-∞--D ．(),1-∞-，()1,0-【答案】D【解析】由题意得22(1)()(1)x ax a e f x ax -+-'=+，所以12(1)(1)e k f a -='=+，且()111ef a -=+．故函数()f x 在(1,()1f )处的切线为：211(1)(1)(1)y x e a e a -=-++，将点(1,0)-代入得1a =． 则22()(1)x xe f x x -'=+，由()0f x '<得0x <且1x ≠-．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，(1,0)-． 故选：D ．4．(2021·全国)求下列函数的单调区间(1)f (x )＝211+-x x ；(2)y ＝12x 2－ln x ．(3)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1；(4)f (x )＝sin x －x (0<x <π)．(5)()()22e xf x x x -=+；(6)()sin 2cos x f x x=+．【答案】(1)单调递增区间是(－∞，1和(1＋∞)；单调递减区间是(1，1)和(1，1) ；(2)单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0，1) ． (3)增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2) ； (4)单调递减区间为(0，π) ．(5)函数的单调递减区间为(,-∞，)+∞，单调递增区间为(；(6)单调递增区间为222,233ππk πk π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(k ∈Z )，单调递减区间242,233k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭(k ∈Z ).【解析】(1)f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，f ′(x )＝222(1)(1)(1)x x x x --+-＝2221(1)x x x ---＝2(1(1(1)x x x ⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦-．令f ′(x )>0，解得x >1或x <1f ′(x )<0，解得1<x <1或1<x <1．所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1和(1＋∞)；单调递减区间是(11)和(1，1． (2)函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝(1)(1)x x x+-． 若y ′>0，即(1)(1)0,0,x x x +->⎧⎨>⎩解得x >1；若y ′<0，即(1)(1)0,0,x x x +-<⎧⎨>⎩解得0<x <1．故函数y ＝12x 2－ln x 的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0，1)． (3)()'f x ＝6x 2＋6x －36．由()'f x >0得6x 2＋6x －36>0，解得x <－3或x >2；由()'f x <0解得 －3<x <2．故f (x )的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2)．(4)()'f x ＝cos x －1．因为0<x <π，所以cos x －1<0恒成立，故函数f (x )的单调递减区间为(0，π)，无增区间．(5)由题得函数的定义域为R .()()2()222x x f x x e x x e --'=+-+()22xx e -=--，令()0f x '>，即()220xe x --->，解得x <<令()0f x '<，即()220xe x ---<，解得x <x >故所求函数的单调递减区间为(,-∞，)+∞，单调递增区间为(．(6)由题得函数的定义域为R .()()()()()222cos cos sin sin 2cos 12cos 2cos x x x x x x f x x +--+==+'+令()0f x '>，得1cos 2x >-，即222233k x k ππππ-<<+(k ∈Z )，令()0f x '<，得1cos 2x <-，即242233k x k ππππ+<<+(k ∈Z )，故()f x 的单调递增区间为222,233ππk πk π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(k ∈Z )，单调递减区间242,233k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭(k ∈Z )． 考点三 已知单调性求参数【例3-1】(2021·河南高二期末)若函数()222ln f x x a x x=++在[]2,1上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．[)0,+∞ B ．(],0-∞C ．7,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．5,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】由()222ln f x x a x x =++，得()2222a f x x x x'=-++， 由()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，得()22220a f x x x x '=-++≤在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即21a x x ≤-在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.令()21g x x x =-，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()2120g x x x '=--<，∴()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，即()()min 10g x g ==，∴0a ≤，故a 的取值范围(],0-∞.故选：B .【例3-2】(2021·全国高二单元测试)已知函数21()2ln 2f x ax ax x =-+，则()f x 在(2,4)上不单调的一个充分不必要条件是( )A ．1,8a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭B ．[1,)a ∈+∞C ．(,0]a ∈-∞D ．(,1)a ∈-∞-【答案】D【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()21212ax ax f x ax a x x-+'=-+=，令2()21g x ax ax =-+，若()f x 在(2,4)上不单调，则函数2()21g x ax ax =-+与x 轴在(2,4)上有交点， 又(0)(2)1g g ==，则(2)(4)0g g <，解得18a <-，故()f x 在(2,4)上不单调的一个充分不必要条件是(,1)a ∈-∞-．故选：D ． 【一隅三反】1．(2021·重庆市广益中学校高二月考)若函数()2cos f x x a x =+在()0,π上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．[]22-,B ．(2,2)-C ．(),2-∞D ．(],2-∞【答案】D【解析】由()'2cos ()2sin f x x a x f x a x =+⇒=-，函数()2cos f x x a x =+在()0,π上单调递增，所以'()2sin 0f x a x =-≥在()0,π上恒成立，即2sin a x≤在()0,π上恒成立， 因为()0,x π∈，所以sin (0,1]x ∈，因此22sin x ≥，要想2sin a x≤在()0,π上恒成立，只需2a ≤，故选：D 2．(2021·山西运城·高二期中(理))已知函数()ln 3f x ax x =++在区间()1,2上不单调，则实数a 的取值范围为( ) A ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．21,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由()11ax f x a x x+'=+=，①当0a ≥时函数()f x 单调递增，不合题意；②当0a <时，函数()f x 的极值点为1x a =-，若函数()f x 在区间()1,2不单调，必有112a <-<，解得112a -<<-.故选：C.3．(2021·宁夏大学附属中学高二月考)已知函数32()1f x x ax x =-+--在(,)-∞+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(,-∞B ．⎡⎣C ．)+∞D ．(【答案】B【解析】由32()1f x x ax x =-+--，得'2()321f x x ax =-+-， 因为函数32()1f x x ax x =-+--在(,)-∞+∞上是单调函数， 所以'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，因为'2()321f x x ax =-+-的图像开口向下，所以'()0f x ≥恒成立不可能， 所以'()0f x ≤恒成立，所以2244(3)(1)4120a a ∆=-⨯-⨯-=-≤，解得a ≤ 故选：B4．(2021·江苏金湖·高二月考)函数21()9ln 2f x x x =-在区间(,1)m m +上单调递减，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．[0,2]C ．[0,1)D ．(0,2)【答案】B【解析】函数定义域是(0,)+∞，由题意9(3)(3)()x x f x x x x +-'=-=，03x <<时()0f x '<，3x >时，()0f x '>， 所以()f x 的减区间是(0,3)，又(,1)(0,3)m m +⊆，所以013m m ≥⎧⎨+≤⎩，解得02m ≤≤．故选：B ．5．(2021·全国高二课时练习)若函数()312f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．(][][),31,13,-∞-⋃-⋃+∞B ．()()3,11,3--⋃C ．()2,2-D ．不存在这样的实数k【答案】B【解析】由题意得，()23120x x f '=-=在区间()1,1k k -+上至少有一个实数根， 而()23120x x f '=-=的根为2x =±，区间()1,1k k -+的长度为2，故区间()1,1k k -+内必含有2或2-．∴121k k -<<+或121k k -<-<+， ∴13k <<或31k -<<-，故选：B ．考点四 利用单调性比较大小【例4】(1)(2021·全国高二单元测试)已知奇函数f (x )的导函数为()'f x ，当x ≠0时，x ()'f x +f (x )＞0，若a ＝1e f 1e ⎛⎫⎪⎝⎭，b ＝﹣e f (﹣e)，c ＝f (1)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b(2)(2021·全国高二单元测试)函数()ln xf x x=，当01x <<时，下列式子大小关系正确的是( ) A ．()()()22f x f x f x <<B ．()()()22f x f x f x <<C ．()()()22f x f x f x <<D ．()()()22f x f x f x <<【答案】(1)C(2)C【解析】(1)令g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )+xf ′(x )＞0，所以g (x )为递增函数， 因为e ＞1＞1e ，∴g (e)＞g (1)＞g (1e )，∴e f (e)＞f (1)＞1e f (1e)，又f (x )为奇函数，所以﹣e f (﹣e)＝e f (e)，∴b ＞c ＞a ，故选：C.(2)()2210x x x x x x -=-<⇒<，()()'2ln 10ln x f x x -=<，()f x 在()0,1上递减，所以()()2f x f x >.()()()()()22222222ln 20ln ln 2ln x x x x f x f x x x x --=-=<，所以()()22f x f x <，所以()()()22f x f x f x <<.故选：C 【一隅三反】1．(2021·全国高二课时练习)设函数()2sin f x x x =+，则( ) A ．()()12f f > B ．()()12f f < C ．()()12f f = D ．以上都不正确【答案】B【解析】由题可知()2sin ()f x x x x R =+∈，()2cos f x x '∴=+， 又当x ∈R ，则1cos 1x -≤≤，()2cos 0f x x '∴=+>， 故()f x 是R 上的增函数，故()()12f f <.故选：B.2．(2021·全国高二课时练习)(多选题)已知函数f (x )的导函数为()'f x ，且()()f x f x '<，对任意的x ∈R 恒成立，则( )A ．f (ln2)<2f (0)B ．f (2)<e 2f (0)C ．f (ln2)>2f (0)D ．f (2)>e 2f (0) 【答案】AB 【解析】依题意，令()()e x f xg x =，则()()()0e x f x f x g x '-=<，于是得()g x 在R 上单调递减， 而ln2>0，2>0，则(ln 2)(0)g g <，(2)(0)g g <，即ln 20(ln 2)(0)(0)e e f f f <=，20(2)(0)(0)e ef f f <=， 所以f (ln2)<2f (0)，f (2)<e 2f (0).故选：AB 3．(2021·全国高二课时练习)(多选题)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (a )B ．f (d )>f (e )C ．f (a )>f (d )D ．f (c )>f (e )【答案】ABD 【解析】由题图可得，当x ∈(－∞，c )∪(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0，故f (x )在(－∞，c )，(e ，＋∞)上是增函数，在(c ，e )上是减函数， 且a b c d e <<<<， 所以f (b )>f (a )，f (d )>f (e )，f (c )>f (e ).故选：ABD4．(2021·全国高二课时练习)(多选题)已知定义在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的函数f (x )的导函数为()f x '，且()00f =，()()cos sin 0f x x f x x '+<，则下列判断中正确的是( )A ．64f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ln 03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．43f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD 【解析】令()()cos f x g x x =，[0,)2x π∈，因为()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则2()cos ()sin ()0f x x f x x g x cos x '+'=<在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立， 故()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减， 因为(0)0f =，则()(0)00cos 0f g ==，所以()()0cos f x g x x =≤在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立， 结合选项可知，由于64ππ<，所以()()64g g ππ>，()()f f ππ>，即()()64f f ππ>，故A 选项错误； 因为13π>，则03ln π>，结合()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，且()0g x ≤， 可知03g ln π⎛⎫< ⎪⎝⎭，从而有()30cos 3f ln ln ππ<， 由于0132ln ππ<<<，则cos 03ln π>，可得03f ln π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故B 选项错误； 又因为63ππ<，所以()()63g g ππ>()()312f f ππ>，即()()63f ππ，故C 选项正确； 又因为43ππ<，所以()()43g g ππ>()()312f f ππ>，即()()43f ππ>，故D 选项正确． 故选：CD ．考点五 利用单调性解不等式【例5】(2021·全国高二课时练习)已知()f x 的定义域为()0,∞+，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x <-'，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是( )A ．()0,1B ．()2,+∞C ．()1,2D ．()1,+∞【答案】B【解析】构造函数()y xf x =，()0,x ∈+∞，则()()0y f x xf x +''=<，所以函数()y xf x =的图象在()0,∞+上单调递减．又因为()()()2111f x x f x +>--， 所以()()()()221111x f x x f x ++>--， 所以211x x +<-，解得2x >或1x <-(舍)．所以不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是()2,+∞． 故选：B【一隅三反】1．(2021·全国高二单元测试)定义域为R 的函数()2(0x f x x a a =+>且1)a ≠，且()f x 的导函数()2f x '>，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1,)+∞C ．(2,)+∞D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由()2f x '>可知()20f x '->，设()()2F x f x x =-， ()0F x '∴>，()F x ∴是R 上的单调递增函数．由()2(0x f x x a a =+>且1)a ≠，可知()()2(0x F x f x x a a =-=>且1)a ≠，1a ∴>.故选：B ．2．(2021·全国高二单元测试)已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()0f x f x '->，2022(2022)e 0f -=，则不等式1ln 4f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭( ) A ．()6063e ,+∞ B ．()20220,e C ．()8088e ,+∞ D ．()80880,e【答案】D 【解析】由题可设()()e xf x F x =，因为()()0f x f x '->， 则2()e ()e ()()()0e e x x x xf x f x f x f x F x ''--'==>， 所以函数()F x 在R 上单调递增，又2022(2022)(2022)1e f F ==，不等式1ln 4f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭1ln 41ln 41e x f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭<， ∴1ln 1(2022)4F x F ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 所以1ln 20224x <，解得80880e x <<，所以不等式1ln 4f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()80880,e ． 故选：D.3．(2021·广西蒙山中学高二月考(理))已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)=20，且f (x )的导函数()'f x 满足2()62f x x '>+，则不等式f (x )>2x 3+2x 的解集为( )A ．{x |x >-2}B ．{x |x >2}C ．{x |x <2}D ．{x |x <-2或x >2}【答案】B【解析】 令3()()22g x f x x x =--，因2()62f x x '>+，则2()()620g x f x x ''=-->，即()g x 在R 上单调递增， 因3(2)(2)22220g f =-⋅-⋅=，则不等式f (x )>2x 3+2x 等价于()(2)g x g >，于是得x >2，所以原不等式的解集为{x |x >2}.故选：B4．(2021·山东任城·)已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x >'+，()03f =，则不等式()21x f x e >+的解集为( )A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),1-∞D ．()1,+∞ 【答案】A【解析】设()g x ＝()1x f x e -，则()g x '＝()()1xf x f x e '---， ∵()()1f x f x >'+，∴()()10f x f x '-->，∴()0g x '<，∴y ＝g (x )在定义域上单调递减，∵()21x f x e >+∴()g x ＝()12xf x e ->， 又()0g ＝0(0)12f e -=，∴()()0g x g >， ∴0x <，∴()21x f x e >+的解集为(),0-∞．故选：A ．5(2021·全国高二课时练习)已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()f x f x '<对任意的x ∈R 恒成立，则( )A ．()()1e 0f f <，()()20202020e 0f f >B ．()()1e 0f f >，()()20202020e 0f f >C ．()()1e 0f f >，()()20202020e 0f f <D ．()()1e 0f f <，()()20202020e 0f f <【答案】D【解析】令()()x f x g x =e ，则()()()()()()()2e e 0e e e x x x x x f x f x f x f x f x g x '''-'-⎡⎤'===<⎢⎥⎣⎦， 所以函数()()x f x g x =e 在R 上单调递减，所以()()10g g <，()()20200<g g ， 即()()110e 1f f <，()()202020200e 1f f <，故()()1e 0f f <，()()20202020e 0f f <． 故选：D.。