(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题
1．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ）
A ．3
B ．8
C ．12
D ．16
2．如图，在ABC 中，13
AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭，则实数m 的值为( )
A ．19
B ．13
C ．1
D ．3
3．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝
13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．2
4．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则PM PN +的取值范围为（ ）
A ．53,53+⎡⎣
B ．103,103⎡-⎣
C ．523,523-+⎡⎣
D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦
5．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ）
A ．(0,21⎤-⎦
B ．(0,21⎤+⎦
C ．21,21⎡⎤-+⎣⎦
D ．)
21,⎡-+∞⎣ 6．在平行四边形ABCD 中，3DE CE =，若AE 交BD 于点M .且AM AB AD λμ=+，则λμ=（ ） A ．23 B ．32 C ．34 D ．43
7．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=
，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（ ）
A ．14
B ．12
C ．2
D ．4
8．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ）
A ．52
B ．52-
C ．4
D ．4-
9．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（ ）
A ．42，0
B ．4，42
C ．16，0
D ．4，0
10．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )
A ．2
B ．8 km/h
C ．34
D ．10 km/h
11．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ）
A ．a b ⋅
B ．a c ⋅
C ．b c ⋅
D ．不能确定
12．已知2a b ==，0a b ⋅=，()()0c a c b -⋅-=，若2d c -=，则d 最大值为（ ）
A ．22
B ．122+
C ．222+
D ．42 二、填空题
13．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G ，作用在行李包上的两个拉力分别为1F ，2F ，且12F F =，1F 与2F 的夹角为θ.给出以下结论：
①θ越大越费力，θ越小越省力；
②θ的范围为[]0,π；
③当2πθ=
时，1F G =； ④当23
πθ=时，1F G =. 其中正确结论的序号是______.
14．在△ABC 中，D 为BC 中点，直线AB 上的点M 满足：
32(33)()AM AD AC R λλλ=+-∈，则AM
MB =__________．
15．把单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量
OB ，点C 在线段AB 上，若12
AC CB =，则OC BA ⋅的值为__________． 16．如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若AP =m 211
AB AC +,则实数m 的值为_____.
17．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，圆M 为BCD △的内切圆，点P 为圆上任意一点， 且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为________.
18．在ABC ∆中，1AC BC ==，3AB =，且CE xCA =，CF yCB =，其中(),0,1x y ∈，且41x y +=，若M ，N 分别为线段EF ，AB 中点，当线段MN 取最小值时x y +=__________.
19．如图所示，已知OAB ，由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列四个向量：①12=+OM OA OB ； ②23143OM OA OB =
+；③33145=+OM OA OB ；④44899
=+OM OA OB .对于点1M ，2M ，3M ，4M 落在阴影区域内（不含边界）的点有________（把所有符合条件点都填上）
20．设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点1A 、1B 、1C 满足：
()1AA AB AC λ=+，()1BB BC BA λ=+，()
1CC CA CB λ=+，若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为_____. 三、解答题
21．已知ABC 中C ∠是直角，CA CB =，点D 是CB 的中点，E 为AB 上一点．
（1）设CA a =，CD b =，当12
AE AB =，请用a ，b 来表示AB ，CE . （2）当2AE EB =时，求证：AD CE ⊥.
22．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量
()()sin sin ,sin sin ,sin sin ,sin m B C A B n B C A =++=-，且m n ⊥.
（1）求角C 的大小；
（2）若3c =2a b +的取值范围.
23．已知向量()1,2a =，(),1b x =.
（1）若|2|||a b a b -=+，求实数x 的值；
（2）若2x =，求2a b -与a b +的夹角.
24．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边CD 上．
（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+，求λ+μ的值． （2）若AB ＝2，当AE BF ⋅=1时，求DF 的长．
25．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =
（1）若||25c =，且//c a ，求c 的坐标；
（2）若5||b =，且2 a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ. 26．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1,2)a =-，(1,)b k =．
（1）若()a a b ⊥+，求实数k 的值； （2）若对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，求实数k 的取值范围．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值.
【详解】
()
3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-， AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，
所以，()22
4344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 2．A
解析：A
【解析】 因为2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭29mAB AC =+，设BP tBN =，而31()()(1)44
AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-=-+，所以1m t =-且
249t =，故811199
m t =-=-=，应选答案A ． 3．C
解析：C
【分析】 根据向量的运算法则，求得12
AM AD AB =+
，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】
由题意，作出图形，如图所示： 由图及题意，根据向量的运算法则，可得12
AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232
BC DC AD AB =-+=-+， 所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛
⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
21936334
=-⨯+⨯=. 故选C ．
【点睛】
本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 4．B
解析：B
【分析】
作出图形，可求得线段MN 的中点Q 的轨迹方程为2234x y +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得出2PM PN PQ +=，求得PQ 的取值范围，进而可求得PM PN +的取值范围. 【详解】 由1MN =，可知OMN 为等边三角形，
设Q 为MN 的中点，且3sin 602OQ OM ==
Q 的轨迹为圆2234x y +=， 又()3,4P ，所以，33PO PQ PO -≤≤+，即3355PQ ≤≤+. 由平面向量加法的平行四边形法则可得2PM PN PQ +=，
因此2103,103PM PN PQ ⎡+=∈+⎣.
故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
5．C
解析：C
【分析】
法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出22OB x y d =+=,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.
【详解】
解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 取得最小值21-,O 在BM 的延长线上时,OB 取得最大值21+．
故选:C
法二：设(),B x y ,则
224a c +=,()221x y c +-=,()2
22251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,()()2222222ax cy a c x y x y +≤
++=+,取等号条件：ay cx =,令22OB x y d =+=,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得2121d -≤≤+．
故选:C
【点睛】
本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.
6．B
解析：B
【分析】
根据已知找到相似三角形，用向量AB 、AD 线性 表示向量AM .
【详解】
如图，平行四边形ABCD 中，3DE CE =，ABM EDM ，
3322
DE DC AB ∴==，
()
22223323555255AM ME AE AD DE AD AB AB AD ⎛⎫===+=+=+ ⎪⎝⎭. 32
λμ= 故选：B
【点睛】
此题考查平面向量的线性运算，属于中档题.
7．C
解析：C
【分析】
由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos 62b a b t a a π⋅=-
=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin 16b π=，从而可求出b
【详解】
解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+， 因为2222224()44(cos
1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<， 所以()g t 恒大于零， 所以当232cos 622b b a b t a a a π⋅=-=-=-
时，()g t 取得最小值1， 所以2223332122b b b g a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得2114
b =， 所以2b =，
故选：C
【点睛】
此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题
8．C
解析：C
【分析】
建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】
以点A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系
(0,0),(2,1),(1,2)A E F
(2,1),(1,2)AE AF ∴==
21124AE AF ∴⋅=⨯+⨯=
故选：C
【点睛】
本题主要考查了求平面向量的数量积，属于中档题.
9．D
解析：D
【分析】
利用向量的坐标运算得到|2|a b -用θ的三角函数表示化简求最值．
【详解】
解：向量()a cos sin θθ=，，向量()
31b =-，，则2a b -=（2cosθ32sinθ+1）， 所以|2|a b -2＝（2cosθ3-2+（2sinθ+1）2＝8﹣3cosθ+4sinθ＝8﹣8sin
（3π
θ-）， 所以|2|a b -2的最大值，最小值分别是：16，0； 所以|2|a b -的最大值，最小值分别是4，0；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．
10．A
解析：A
【解析】
设客船在静水中的速度大小为 /v km h 静，水流速度为 v 水，则2/v km h =水，
则船实际航行的速度
v v v =+静水，6
0.160t h =，由题意得100.1
AB v ≤=． 把船在静水中的速度正交分解为
x y v v v 静=+， ∴0.6
60.1
y v ==，在Rt ABC 中，221060.8BC =-=．． ∵80.1
x x BC
v v v v +=+==水水，∴826x v =-= ∴22
62x y
v v v 静=
+=
设v v 静水＜，
＞＝θ，则tan 1y
x
v v θ==，∴2cos 2θ=．
此时2
2
2
272242410102
v v v v v v v +=+⋅+=+⨯
+=≤静水静静水水＝ ，满足条件，故选A.
11．C
解析：C 【分析】
由0a b c ++=，可得2
222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】
解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b
c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，
||||||a b c <<，
∴222a b c <<
则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．
12．C
解析：C
【分析】
不妨设(2,0),(0,2)a b ==，设(,),(,)c m n d x y ==，则由()()
0c a c b -⋅-=求出点
(,)a b 满足的关系（点(,)C a b 在一个圆上），而2d c -=表示点(,)D x y 在以(,)C a b 为圆
心，2为半径的圆上，d 表示该圆上的点到原点的距离，由几何意义可得解． 【详解】
∵2a b ==，0a b ⋅=，∴不妨设(2,0),(0,2)a OA b OB ====，如图，设
(,)c OC m n ==，(,)d OD x y ==，
则()()
(2,)(,2)(2)(2)0c a c b m n m n m m n n -⋅-=-⋅-=-+-=，即
22(1)(1)2m n -+-=，
∴点(,)C m n 在以(1,1)M 为圆心，2为半径的圆M 上， 又2d c -=，∴(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆C 上， 则2d OC ≤+，当且仅当D 在OC 延长线上时等号成立， 又OC 的最大值是圆M 的直径22， ∴d 最大值为222+． 故选：C ．
【点睛】
本题考查平面向量的数量积与向量的模，解题关键是引入坐标表示向量，用几何意义表示向量，求解结论．
二、填空题
13．①④【分析】根据为定值求出再对题目中的命题分析判断正误即可【详解】解：对于①由为定值所以解得；由题意知时单调递减所以单调递增即越大
越费力越小越省力；①正确对于②由题意知的取值范围是所以②错误对于③当
解析：①④. 【分析】
根据12G F F =+为定值，求出()
2
2
121cos G
F θ=+，再对题目中的命题分析、判断正误
即可. 【详解】
解：对于①，由12G F F =+为定值， 所以()2222
121212cos 21cos G F F F F F θθ=++⨯⨯=+，
解得(2
2
1
21cos G
F θ=+；
由题意知()0,θπ∈时，cos y θ=单调递减，所以2
1F 单调递增， 即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确.
对于②，由题意知，θ的取值范围是()0,π，所以②错误. 对于③，当2π
θ=
时，2
2
12
G
F =，所以12
F G =，③错误. 对于④，当23
πθ=时，221F G =，所以1F G =，④正确.
综上知，正确结论的序号是①④. 故答案为：①④. 【点睛】
此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题
14．1【解析】设∵D 为BC 中点所以可以化为3x=λ（）+（3-3λ）化简为（3x-λ）=（3-2λ）只有3x-λ=3-2λ=0时（3x-λ）=（3-2λ）才成立所以λ=x=所以则M 为AB 的中点故答案为1
解析：1 【解析】
设 AM AB λ=，∵D 为BC 中点，所以1
2
AD AB AC （）
=+,() 3233AM AD AC λλ=+- 可以化为3x AB =λ（AB AC +）+（3-3λ）AC ，化简为（3x-λ）AB =（3-2λ）AC ，只有3x-λ=3-2λ=0时，（3x-λ）AB =（3-2λ）AC 才成立，所以λ=
32，x=12
所以1
2
AM AB =，则M 为AB 的中点 故答案为1
点睛：本题考查向量的基本定理基本定理及其意义，考查向量加法的三角形法则，考查数形结合思想，直线AB 上的点M 可设成 AM AB λ=，D 为BC 中点可得出
1
2
AD AB AC （）=+，代入已知条件整理可得.
15．【分析】由题意可得与夹角为先求得则再利用平面向量数量积的运算法则求解即可【详解】单位向量绕起点逆时针旋转再把模扩大为原来的3倍得到向量所以与夹角为因为所以所以故答案为【点睛】本题主要考查平面向量几何 解析：116
-
【分析】
由题意可得3OB =，OA 与OB 夹角为120︒，先求得1
(2)3
OC OA AC OA OB =+=+，则1
(2)()3
OC BA OA OB OA OB ⋅=+⋅-，再利用平面向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】
单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ， 所以3OB =，OA 与OB 夹角为120︒， 因为1
2
AC CB =
，所以111
()(2)333
OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+，
所以()
2211
(2)()233
OC BA OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅=
+⋅-=--⋅ 11291332⎡⎤
⎛⎫=--⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
116=-
，故答案为11
6-. 【点睛】 本题主要考查平面向量几何运算法则以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）．
16．【解析】由得设=n 所以+n=+n()=(1-n)=m 由n=得m=1-n= 解析：
311
【解析】
由13AN NC =
,得1
4
AN AC =. 设BP =n BN ,
所以AP AB BP AB =+=+n BN =AB +n (AN AB -)
=(1-n )14AB nAC +
=m 2
11
AB AC +. 由14n=211,得m=1-n=311
. 17．【分析】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示由已知条件得
出点坐标圆M 的方程设由得出再设（为参数）代入中根据三角函数的值域可求得最大值【详解】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示因为在 解析：
11
6
【分析】
以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，由已知条件得出点坐标，圆M 的方
程，设(),P x y ，由AP AB AD λμ=+，得出13
4y x λμ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，再设3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参
数），代入λμ+中，根据三角函数的值域，可求得最大值. 【详解】
以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，
因为在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，所以圆M 的半径为3+45
12
r -==， 所以()0,0B ，()0,3A ，()4,0C ，()4,3D
，()3,1M ，圆M 的方程为
()()
22
311x y -+-=，
设(),P x y ，又AP AB AD λμ=+，所以()()(),30,34,0x y λμ-=-+，解得
13
4y x λμ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
， 又点P 是圆M 上的点，所以3cos 1sin x y θ
θ=+⎧⎨=+⎩
（θ为参数），
所以()1sin 3cos 517sin 1+1+34312124+y x θθβθλμ+=+--
+=-=，其中3
tan 4
β=，
所以，当()sin 1βθ-=时，λμ+取得最大值116
， 故答案为：
116
.
【点睛】
本题考查向量的线性表示，动点的轨迹中的最值问题，属于中档题.
18．【分析】根据平面向量的数量积运算求得的值再利用中线的性质表示出由此求得计算当的最小时的值即可【详解】解：连接如图所示：由等腰三角形中知所以∵是的中线∴同理可得∴又∴故当时有最小值此时故答案为：【点睛 解析：
47
【分析】
根据平面向量的数量积运算求得CA CB 的值，再利用中线的性质表示出CM 、CN ，由此求得MN ，计算当||MN 的最小时x y +的值即可． 【详解】
解：连接CM ，CN ，如图所示：
由等腰三角形中，1AC BC ==，3AB =120ACB ∠=︒，所以1
=2
CA CB ⋅-.
∵CM 是CEF ∆的中线，∴()()
11
22
CM CE CF xCA yCB =+=+. 同理可得()
1
=
2
CN CA CB +. ∴()()111122
MN CN CM x CA y CB =-=
-+-， ()()()()2
22
111111114224MN x x y y ⎛⎫=
-+--⨯-+- ⎪
⎝⎭
， 又41x y +=，
∴2
22131
424
MN y y =-+，(),0,1x y ∈. 故当17y =
时，2
MN 有最小值，此时3147
x y =-=. 故答案为：4
7
. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积公式及其运算性质问题，也考查了二次函数求最值的应用问题，属于中档题．
19．①②④【分析】射线与线段的公共点记为根据平面向量基本定理可得到由在阴影区域内可得实从而且得出结论【详解】解：设在阴影区域内则射线与线段有公共点记为则存在实数使得且存在实数使得从而且又由于故对于①中解
解析：①②④ 【分析】
射线OM 与线段AB 的公共点记为N ，根据平面向量基本定理，可得到
(1)ON tOA t OB =+-，由M 在阴影区域内可得实1r ≥，从而
(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥得出结论
【详解】
解：设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ， 则存在实数(0,1]t ∈，使得(1)ON tOA t OB =+-，
且存在实数1r ≥，使得OM rON =，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且
(1)1rt r t r +-=≥．
又由于01t ≤≤，故(1)0r t -≥． 对于①中1,(1)2rt r t =-=，解得3
1
3,r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故①满足条件． 对于②中31,(1)43rt r t =-=，解得139
,1213
r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故②满足条件， 对于③31,(15)4rt r t =-=，解得19,15
2019r t ==，不满足1r ≥，故③不满足条件， 对于④,(189)49rt r t =-=，解得,41
33
r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故④满足条件．
故答案为：①②④． 【点睛】
本题主要考查平面向量基本定理，向量数乘的运算及其几何意义，属于中档题．
20．【分析】设的重心为点可知与关于点对称利用重心的向量性质可求得实数的值【详解】设的重心为点则由于和的面积相等则与关于点对称则解得故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算涉及三角形重心向
解析：2
3
【分析】
设ABC ∆的重心为点G ，可知ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，利用重心的向量性质可求得实数λ的值. 【详解】
设ABC ∆的重心为点G ，则3AB AC AG +=，()
13AA AB AC AG λλ∴=+=， 由于ABC ∆和111A B C ∆的面积相等，则ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称， 则12AA AG =，32λ∴=，解得2
3
λ=. 故答案为：23
. 【点睛】
本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算，涉及三角形重心向量性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题
21．（1）2AB b a =-，1
2
CE a b =+；（2）证明见解析. 【分析】
（1）求出2CB b =，利用AB CB CA =-与1
2
CE CA AB =+
化简可得答案； （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设
()0,A a ， 求出,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 可得0AD CE ⋅=，进而可得答案.
【详解】
（1）∵CA a =，CD b =，点D 是CB 的中点， ∴2CB b =，
∴2AB CB CA b a =-=-，
∵()
111
2222
CE CA AE a AB a b a a b =+=+
=+-=+. （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，
设()0,A a ，∴B 点坐标为(),0a ，另设点E 坐标为(),x y ，∵点D 是CB 的中点，
∴点D 坐标为,02a ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 又∵2AE EB =，∴()(),2,x y a a x y -=--，∴23a x =
，3
a
y =， 所以,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
所以()20233
a a a
AD CE a ⋅=⨯+-⨯=， ∴AD CE ⊥.
【点睛】
方法点睛：平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用． 22．（1）2C 3
π
=；（2）(
323，.
【分析】
（1）根据向量m n ⊥得到22
sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++=，再由正弦定理将边
化为角的表达式，结合余弦定理求得角C 的值．
（2）利用正弦定理求的△ABC 的外接圆半径，将2a b +表示成A 与B 的三角函数式，利用辅助角公式化为角A 的函数表达式；再由角A 的取值范围求得2a b +的范围． 【详解】 （1）∵m n ⊥ ∴0m n ⋅=
∴22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++= ∴222c a b ab =++ ∴1
cos 2
C =- 又()0,C π∈ . ∴23
C π=
.
（2）∵23
C π
=
，c = ∴△ABC 外接圆直径2R=2
∴24sin 2sin a b A B +=+
4sin 2sin 3A A π⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
4sin sin A A A =+-
3sin A A =
6A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
∵0,
3A π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
∴,662A π
ππ⎛⎫+
∈ ⎪⎝⎭
∴1sin ,162A π⎛⎫⎛⎫
+
∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
∴2a b + 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查了向量垂直的坐标表示，正弦定理、余弦定理的综合应用，辅助角公式化简三角函数表达式，知识点多，较为综合，属于中档题． 23．（1）1
2；（2）4
π． 【分析】
（1）求出向量2a b -与a b +的坐标，然后由模的坐标运算列出方程可求得x ； （2）求出向量2a b -与a b +的坐标，由向量夹角的坐标运算计算． 【详解】
（1）因为()1,2a =，(),1b x =， 所以()22,3a b x -=-，()1,3a b x +=+. 因为|2|||a b a b -=+，
=
解得12
x =
. （2）当2x =时，()20,3a b -=，()3,3a b +=， 所以()()
203339a b a b -⋅+=⨯+⨯=，
23a b -=，32a b +=.
(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题 1．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ） A ．3 B ．8 C ．12 D ．16 2．如图，在ABC 中，13 AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝ ⎭，则实数m 的值为( ) A ．19 B ．13 C ．1 D ．3 3．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝ 13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 4．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则PM PN +的取值范围为（ ） A ．53,53+⎡⎣ B ．103,103⎡-⎣ C ．523,523-+⎡⎣ D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦ 5．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ）
A ．(0,21⎤-⎦ B ．(0,21⎤+⎦ C ．21,21⎡⎤-+⎣⎦ D ．) 21,⎡-+∞⎣ 6．在平行四边形ABCD 中，3DE CE =，若AE 交BD 于点M .且AM AB AD λμ=+，则λμ=（ ） A ．23 B ．32 C ．34 D ．43 7．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ= ，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（ ） A ．14 B ．12 C ．2 D ．4 8．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ） A ．52 B ．52- C ．4 D ．4- 9．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（ ） A ．42，0 B ．4，42 C ．16，0 D ．4，0 10．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( ) A ．2 B ．8 km/h C ．34 D ．10 km/h 11．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A ．a b ⋅ B ．a c ⋅ C ．b c ⋅ D ．不能确定
新版高中数学人教A版必修4习题：第二章平面向量 检测A(1)
第二章检测(A ) (时间:90分钟 满分:120分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1若四边形ABCD 是矩形,则下列命题不正确的是( ) A .A B ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 B .A C ⃗⃗⃗⃗⃗ 与B D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等 C .A D ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 模相等,方向相反 D .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 模相等 答案:B 2已知A (1,2),B (3,-1),C (3,4),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.11 B .5 C .-1 D .-2 解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2−3×2=−2. 答案:D 3已知向量a =(1,m ),b =(m ,2),若a ∥b ,则实数m 等于 ( ) A.−√2 B.√2 C.−√2或√2 D.0 解析:由a ∥b 知1×2-m 2=0,即m =√2或−√2. 答案:C
4若向量a =(1,-2)与b 的夹角是180°,且|b |=3√5,则b 等于( ) A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3) 解析:由于向量a ,b 的夹角为180°,可设b =λa =λ(1,-2)=(λ,-2λ),其中λ<0,又|b |=3√5,则√λ2+4λ2=3√5,解得λ=±3,又λ<0,所以λ=-3,所以b =(-3,6). 答案:A 5在下列向量组中,可以把向量a =(3,2)表示出来的是( ) A .e 1=(0,0),e 2=(1,2) B .e 1=(-1,2),e 2=(5,-2) C .e 1=(3,5),e 2=(6,10) D .e 1=(2,-3),e 2=(-2,3) 解析:由平面向量基本定理可知,平面内任意一个向量可用平面内两个不共线向量线性表示,A 中e 1=0·e 2,B 中e 1,e 2为两个不共线向量,C 中e 2=2e 1,D 中e 2=-e 1.故选B . 答案:B 6已知M 是平行四边形ABCD 对角线的交点,下列四个式子不能化简为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( ) A .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C .OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ D .MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴选项A 错; ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +0=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴选项B 错;
(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)
一、选择题 1．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且 (),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（ ） ①当0x =时，[]2,3y ∈ ②当P 是线段CE 的中点时，1 2x =-，52 y = ③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．若平面向量与的夹角为 ， ， ，则向量的模为 （ ） A ． B ． C ． D ． 3．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（ ） A ．30 B ．60︒ C ．90︒ D ．120︒ 4．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点 E 位于线段OD 上，若3 4 OE EA ⋅= ，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ． 1 2或32 B ．1 C ．1或 1 2 D ． 32 5．已知1a ，2a ，1b ，2b ，( )* k b k ⋅⋅⋅∈N 是平面内两两互不相等的向量，1 2 1a a -=， 且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝1 3 BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．2
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 平面向量单元同步测试(含解析)新人教A版必修4
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 平面向量单元同 步测试（含解析）新人教A 版必修4 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．有下列四个表达式： ①|a ＋b |＝|a |＋|b |； ②|a －b |＝±(|a |－|b |)； ③a 2 >|a |2 ； ④|a 2b |＝|a |2|b |. 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4 解析 对于①仅当a 与b 同向时成立．对于②左边|a －b |≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a 2 ＝|a |2 ，∴a 2 >|a |2 不成立．对于④当a ⊥b 时不成立，综上知，四个式子都是错误的． 答案 A 2．下列命题中，正确的是( ) A ．a ＝(－2,5)与b ＝(4，－10)方向相同 B ．a ＝(4,10)与b ＝(－2，－5)方向相反 C ．a ＝(－3,1)与b ＝(－2，－5)方向相反 D ．a ＝(2,4)与b ＝(－3,1)的夹角为锐角 解析 在B 中，a ＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b ， ∴a 与b 方向相反． 答案 B 3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( ) A.7 B.10 C.13 D ．4 解析 ∵|a ＋3b |2 ＝(a ＋3b )2 ＝a 2 ＋9b 2 ＋6a2b ＝1＋9＋6|a ||b |cos60°＝13，∴|a ＋3b |＝13. 答案 C 4．已知向量a ＝? ?? ??8＋12x ，x ，b ＝(x ＋1,2)，其中x >0，若a ∥b ，则x 的值为( )
高中数学 第二章 《平面向量》测试题B卷 新人教A版必修4
高中数学必修4 第二章 《平面向量》测试题B 卷 考试时间：100分钟，满分：150分 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）. 1．化简AB →＋BD →－AC →－CD → 等于 ( ) A.AD → B ．0 C.BC → D.DA → 2．已知MA →＝(－2,4)，MB → ＝(2,6)，则12AB →＝ ( ) A ．(0,5) B ．(0,1) C ．(2,5) D ．(2,1) 3．下列说法正确的是( ) A ．(a ·b )c ＝a (b ·c ) B ．a ·c ＝b ·c 且c ≠0，则a ＝b C ．若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0 D ．|a ·b |≤|a |·|b | 4．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，1 2)，则下列结论中正确的是 ( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝ 2 2 C ．a －b 与b 垂直 D ．a ∥b 5．如图，正方形ABCD 中，点 E 、 F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF → ＝ ( ) A.12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD → C ．－12AB →＋12AD → D.12AB →－12 AD 6．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC → ＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝15 4，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角 为( ) A ．30° B ．－150° C ．150° D ．30°或150° 7．已知a 、b 、c 是共起点的向量，a 、b 不共线，且存在m 、n ∈R 使c ＝m a ＋n b 成立，若a 、 b 、 c 的终点共线，则必有( ) A ．m ＋n ＝0 B ．m －n ＝1 C ．m ＋n ＝1 D ．m ＋n ＝－1 8．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB → 在CD → 方向上的投影为 ( ) A.322 B.3152 C ．－322 D ．－315 2
高中数学必修四第二章《平面向量》单元测试题(含答案)
高中数学必修四第二章单元测试题 《平面向量》 （时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量a 与b 的夹角是120?，且5a =， 4b =，则 a b ?=（ ）． A. 20 B. 10 C. 10- D. 20- 2．已知向量312BA ?? = ???? ， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（ ） A. π6 B. π4 C. π3 D. 2π 3 3.已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则() 2a b a +?＝（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2 4．已知向量，若 ，则实数m 的值为 （ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( ) A. 1e ＋2e B. 21e －2e C. －21e ＋2e D. 21e ＋2e 6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（ ） A. 4 B. 4- C. 2 D. 2- 7．已知平面向量,a b 的夹角为60°，() 1,3a =， 1b =，则a b +=（ ） A. 2 B. D. 4
8．已知向量a 与b 的夹角是120?，且5a =， 4b =，则 a b ?=（ ）． A. 20 B. 10 C. 10- D. 20- 9.已知向量( )()() 3,1,0,1,,3a b c k = =-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为 A. 1 B. 1- C. 3 D. 3- 10.已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） D. 11．在矩形ABCD 中， 3AB =， BC =， 2BE EC =，点F 在边CD 上，若?3AB AF =，则 ?AE BF 的值为（ ） A. 0 B. 8 C. 4- D. 4 12．已知ABC ?是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则() PA PB PC ?+的最小值为 （ ） A. 3- B. 6- C. 2- D. 83 - 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________． 14.已知单位向量a ， b 满足() 1 ?232 a a b -= ，则向量a 与b 的夹角为__________． 15．在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点O ， E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______（用a ， b 表示）. 16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ?的值为__________； DE DB ?的取值范围为__________． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （2 3,4m m +）
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积习题(1)
高中数学教案学案平面向量的数量积及其应用 学习目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 1．向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 在b 方向上的投影． (2)向量数量积的性质： ①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝__________________； ②非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔________________； ③a·a ＝________________或|a |＝________________； ④cos 〈a ，b 〉＝________； ⑤|a·b |____|a||b |. 2．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝________； (2)分配律：(a ＋b )·c ＝________________； (3)数乘向量结合律：(λa )·b ＝________________. 3．向量数量积的坐标运算与度量公式 (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a·b ＝________________________； (2)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔________________________； (3)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， 则|a |＝________________，cos 〈a ，b 〉＝____________________________. (4)若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AB →＝________________________，所以|AB → |＝_____________________. 1.（2010·湖南）在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =4,则AB →·AC → 等于 ( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 2．(2010·重庆)已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝ ( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8 3．(2011·福州月考)已知a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，(a ＋λb )⊥b ，则λ等于 ( ) A ．－2 B ．2 C.12 D ．－1 2 4.平面上有三个点A （-2，y ），B （0，2 y ），C （x ，y ），若A B →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________________． 5.（2009·天津）若等边△ABC 的边长为M 满足CM →＝16CB →＋23 CA → ， 则MA →·MB →＝________. 考点一 向量的模及夹角问题 例1 (2011·马鞍山月考)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |； （3）若AB →＝a ，BC → ＝b ，求△ABC 的面积．
新版高中数学人教A版必修4习题：第二章平面向量 2.3.4(1)
2.3.4 平面向量共线的坐标表示 课时过关·能力提升 基础巩固 1若A (3,-6),B (-5,2),C (6,y )三点共线,则y= ( ) A.13 B.-13 C.9 D.-9 解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−8,8),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(11,y −2),因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以-8(y-2)-8×11=0,解得y=-9. 答案:D 2已知点A (-1,1),点B (2,y ),向量a =(1,2),若AB ∥a ,则实数y 的值是( ) A .5 B .6 C .7 D .8 解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,y −1),∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥a , ∴3×2-1×(y-1)=0,解得y=7. 答案:C 3下列向量与a =(1,3)共线的是( ) A.(1,2) B.(-1,3) C.(1,-3) D.(2,6) 答案:D 4已知向量a =(1,1),b =(2,x ),若a +b 与4b -2a 平行,则实数x 的值为( ) A .-2 B .0 C .1 D .2
答案:D 5若向量a =(x ,1),b =(4,x ),则当x= 时,a 与b 共线且方向相同. 解析:∵a =(x ,1),b =(4,x ),若a ∥b ,则x 2-4=0,即x 2=4,∴x=±2.当x=-2时,a 和b 方向相反;当x=2时,a 与b 方向相同. 答案:2 6若三点A (-2,-2),B (0,m ),C (n ,0)(mn ≠0)共线,则 1m +1 n 的值为 . 解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,m +2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(n +2,2). ∵A ,B ,C 三点共线, ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴2×2-(m+2)(n+2)=0, 即mn+2m+2n=0.∵mn ≠0,∴1m +1n =−12 . 答案:−12 7若三点P (1,1),A (2,-4),B (x ,-9)共线,则x= . 解析:PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−5),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,−10), 因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, 所以1×(-10)-(-5)(x-1)=0,解得x=3. 答案:3 8已知点P 1(2,-1),点P 2(-1,3),点P 在线段P 1P 2上,且|P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23 |PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,求点P 的坐标. 解设点P 的坐标为(x ,y ), 由于点P 在线段P 1P 2上,则有P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23 PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y +1),PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−x,3−y), 由题意得{x -2=2 3(-1-x ), y +1=2 3(3-y ),
高一数学必修4《平面向量》测试卷(含答案)
《平面向量》测试卷 考试时间：120分钟满分：150分 一.选择题.(本大题共1２小题,每小题5分,共6０分) 1.对于任意向量a b 和，下列命题中正确的是（) A.若,a b 满足a b >,且a b 与同向,则a b > B.a b a b +≤+ C ．a b a b ⋅≥ D.a b a b -≤- 2.已知平面向量(1,1),(1,1)a b ==-，则向量13 22 a b -等于（) A ．(2,1)--ﻩ B.(2,1)- Ｃ.(1,0)- D.(1,2)- 3．下列各组向量中，可以作为基底的是（） A ．12(0,0),(1,2)e e ==- B ．12(1,2),(5,7)e e =-= C ．12(3,5),(6,10)e e == D .1213 (2,3),(,)24 e e =-=- 4.已知5,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,则（ ) A.A B D 、、三点共线B.A B C 、、三点共线 C.B C D 、、三点共线Ｄ.A C D 、、三点共线 ５.已知正方形ABCD 的边长为1,,,,AB a BC b AC c ===则a b c ++等于（) A.0Ｂ.32Ｄ.226.已知,,,,OA a OB b OC c OD d ====且四边形ABCD 为平行四边形，则() A.0a b c d +++=Ｂ.0a b c d -+-= C.0a b c d +--=D ．0a b c d --+= 7.若(2,3),(4,7)a b ==-,则b a 在方向上的投影为() 36513 5 65８.在三角形ABC 中,,AB c AC b ==，若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ) Ａ.2133b c + Ｂ．5233b c - C.2133b c - D.12 33 b c + ９.如图，正六边形ABCDEF 中,BA CD EF ++=（) A.0B.BE Ｃ.AD D ．CF 10.已知点 O N P 、、在三角形ABC 所在平面内，且 OA OB OC ==,0NA NB NC ++=,PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则点O N P 、、依 次是三角形ABC 的（ ) A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心 11.如图，三角形OAB 中,3,2ON NA OM MB ==, AM 和BN 交于点G ,OG mOA nOB =+,则（）A A.11,23m n == B.11,32m n == C.11,63m n == D.11,26 m n == １２.定义平面向量之间的一种运算“⊗”如下:对任意的(,),(,)a m n b p q ==，令 a b mq np ⊗=-．下列说法错误的是（ ） Ａ.若a b 与共线，则0a b ⊗= B.a b b a ⊗=⊗ C.,R λ∈∀都有()()a b a b λλ⊗=⊗ D.2 2 2 2 ()()a b a b a b ⊗+⋅= 二.填空题．（本大题共４小题，每小题5分,共20分）
高中数学必修4平面向量测试试卷典型例题(含详细答案)
高中数学平面向量组卷 一．选择题（共18小题） 1．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，若 =（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（） A．4B．C．6D．2 2．已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（） A．﹣1 B．0C．1D．2 3．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（） A．2B．C．0D．﹣ 4．向量，，且∥，则=（） A．B．C．D． 5．如图，在△ABC中，BD=2DC．若，，则=（） A．B．C．D． 6．若向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，则sinα=（） A．B．C．D． 7．已知点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O（0，0），若，则 的夹角为（） A．B．C．D． 8．设向量=，=不共线，且|+|=1，|﹣|=3，则△OAB的形状是（） A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形 9．已知点G是△ABC的重心，若A=，•=3，则||的最小值为（） A．B．C．D．2 10．如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，=，=2，则向量•=（）
A．﹣B．C．﹣D． 11．已知函数f（x）=sin（2πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象 交于D，E两点，则（）•的值为（） A．B．C．1D．2 12．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状一定为（） A．等边三角形B．直角三角形C．钝三角形D．等腰三角形 13．如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的面积之比等于（） A．B．C．D． 14．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过△ABC的（） A．垂心B．外心C．重心D．内心 15．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（） A．B．C．D．
高中数学 第二章 平面向量章末检测(B)(含解析)新人教A版必修4(2021年最新整理)
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第二章平面向量(B) (时间：120分钟满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分） 1．已知向量a＝（4,2），b＝（x，3），且a∥b，则x的值是( ) A．－6 B．6 C．9 D．12 2．下列命题正确的是( ） A．单位向量都相等 B．若a与b共线，b与c共线,则a与c共线 C．若｜a＋b｜＝｜a－b|,则a·b＝0 D．若a与b都是单位向量，则a·b＝1。 3．设向量a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，若a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围是( ) A．(－错误!，2） B．（－∞,－错误!)∪（2，＋∞） C．（－2,错误!) D．（－∞，2)∪（错误!,＋∞) 4．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线,若错误!＝(2，4)，错误!＝(1，3），则错误!·错误!等于( ) A．8 B．6 C．－8 D．－6 5．已知|a｜＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与向量b的夹角是（) A.错误! B。错误! C.错误! D.错误! 6．关于平面向量a,b，c，有下列四个命题： ①若a∥b，a≠0,则存在λ∈R，使得b＝λa； ②若a·b＝0,则a＝0或b＝0; ③存在不全为零的实数λ，μ使得c＝λa＋μb； ④若a·b＝a·c，则a⊥（b－c)． 其中正确的命题是（) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 7．已知|a｜＝5,|b｜＝3,且a·b＝－12，则向量a在向量b上的投影等于（) A．－4 B．4 C．－错误! D.错误! 8．设O,A，M,B为平面上四点，错误!＝λ错误!＋（1－λ)·错误!,且λ∈(1,2），则( ) A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上 C．点A在线段BM上 D．O，A,B，M四点共线 9．P是△ABC内的一点,错误!＝错误!（错误!＋错误!），则△ABC的面积与△ABP的面积之比为( ） A.错误! B．2 C．3 D．6 10．在△ABC中,错误!＝2错误!，错误!＝2错误!,若错误!＝m错误!＋n错误!，则m＋n等于（) A。错误! B。错误! C。错误! D．1 11．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a｜＝｜b|＝｜c|＝1,则a·(b＋c）等于( ） A．－4 5 B．－错误! C．0 D。错误!
2020-2021学年人教A版必修4第二章平面向量综合测试卷(A)含答案(共3套)
必修4 第二章 向量(一) 一、选择题: 1.下列各量中不是向量的是 （ ） A ．浮力 B ．风速 C ．位移 D ．密度 2．下列命题正确的是 （ ） A ．向量A B 与BA 是两平行向量 B ．若a 、b 都是单位向量,则a =b C ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、 D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于 （ ） A ．O B ．MD 4 C ．MF 4 D ．M E 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+ C ．||||||b a b a -=+ D ．||||||b a b a +=+ 5．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则 （ ） A ．A B 与A C 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等 D ．与相等 6．已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于( ) A ．3 B ．－3 C ．0 D ．2 7. 设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的 横坐标为 ( ) A ．-9 B ．-6 C ．9 D ．6 8. 已知a 3= ，b 23=,a ⋅b =-3，则a 与b 的夹角是 ( ) A ．150︒ B ．120︒ C ．60︒ D ．30︒ 9.下列命题中，不正确的是 ( ) A ．a =2 a B ．λ(a ⋅b )=a ⋅(λb ) C ．（a -b ）c =a ⋅c -b ⋅c D ．a 与b 共线⇔a ⋅b =a b 10．下列命题正确的个数是 ( ) ①=+0 ②0=⋅0 ③=- ④（a ⋅b ）c =a （b ⋅c ）
(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测卷(答案解析)
一、选择题 1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭ 的最小值为（ ） A ．1 B ．3 C ．7 D ．3 2．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ） A ．3 B ．8 C ．12 D ．16 3．已知ABC 中，2AB AC ==，120CAB ∠=，若P 是其内一点，则AP AB ⋅的取值范围是（ ） A ．(4,2)-- B ．(2,0)- C ．(2,4)- D ．(0,2) 4．若向量a ，b 满足|a 10 ，b =（﹣2，1），a •b =5，则a 与b 的夹角为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 5．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ） A 2 B ．1 C ．2 D ．226．已知ABC ，若对任意m R ∈，BC mBA CA -≥恒成立，则ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 7．已知向量()a 1,2=，()b x,2=-，且a b ⊥，则a b +等于（ ）． A 5 B ．5 C ．42 D 31 8．ABC 是边长为1的等边三角形，CD 为边AB 的高，点P 在射线CD 上，则AP CP ⋅的最小值为（ ） A ．1 8- B ．116- C ．316- D ．0
9．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若2FP QF =，则||QF =（ ） A ．8 B ．4 C ．6 D ．3 10．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（ ） A ．56π B ．23π C ．3π D ．6 π 11．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若 AD AB AC λμ=+，则λμ=（ ） A ．12 B ．13 C ．2 D ．23 12．已知平面上的非零．． 向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ） ①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若2a b =，则2a b =±； ③若23x y a b a b +=+，则2x =，3y =； ④若//a b ，则一定存在唯一的实数λ，使得a b λ=. A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 二、填空题 13．已知ABC ，点P 是平面上任意一点，且AP AB AC λμ=+（,λμ∈R ），给出以下命题： ①若1 AB λ=，1AC μ=，则P 为ABC 的内心； ②若1λμ==，则直线AP 经过ABC 的重心； ③若1λμ+=，且0μ>，则点P 在线段BC 上； ④若1λμ+>，则点P 在ABC 外； ⑤若01λμ<+<，则点P 在ABC 内． 其中真命题为______ 14．已知平面向量,,a b c 满足()()||2,||2||a c b c a b a b -⋅-=-==.则c 的最大值是
2020学年高中数学第二章平面向量单元质量测评(含解析)新人教A版必修4(2021-2022学年)
第二章单元质量测评 对应学生用书P79 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分１50分,考试时间1２０分钟. 第Ⅰ卷 (选择题,共60分) 一、选择题(本大题共1２小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1．下列等式恒成立的是() A.错误!+错误!未定义书签。＝０ B．错误!－错误!=错误! C.(a·ｂ）·c＝a·(b·c) D.(a＋b)·ｃ＝a·c+b·c 答案 D 解析由数量积满足分配律可知D正确． ２．设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解,有如下四个命题： ①给定向量ｂ，总存在向量c,使a＝b+c; ②给定不共线的向量ｂ和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μｃ; ③给定单位向量ｂ和正数μ,总存在单位向量ｃ和实数λ，使ａ=λb+μc; ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c,使a＝λb+μc. 上述命题中的向量ｂ，c和ａ在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) Ａ.1 B.2 C．３ D．4 答案Ｂ ﻬ解析显然①②正确;对于③，当μ〈|ａ｜sｉｎ
A.错误!未定义书签。 B.错误! C．错误! D．错误! 答案 B 解析错误!未定义书签。＋错误!-错误!未定义书签。＝错误!+错误!未定义书签。=错误!未定义书签。. 4．设D为△ABＣ所在平面内一点,错误!=３错误!，则（ ) Ａ.错误!＝－错误!未定义书签。错误!＋错误!未定义书签。错误! B．错误!未定义书签。 ＼s＼ｕp6（→)-错误!错误! ＝错误!未定义书签。ＡB Ｃ．错误!=错误!未定义书签。错误!+错误!未定义书签。错误! D.错误!=错误!未定义书签。错误!未定义书签。－错误!未定义书签。错误! 答案A 解析由题意得错误!未定义书签。=错误!＋错误!未定义书签。=错误!+错误!未定义书签。错误!未定义书签。＝错误!未定义书签。+错误!未定义书签。错误!未定义书签。-错误!未定义书签。错误!＝－错误!未定义书签。错误!+错误!未定义书签。错误!未定义书签。．5．已知a+b＝(２，－８),a－b＝(-8，16),则a与ｂ之间的夹角的余弦值为（ ) A.错误! B.－错误!未定义书签。 C．±错误!未定义书签。 D．错误! 答案B 解析由a+b＝（2,-8）,a－b＝(－8，16）,得ａ=（－3,4),ｂ=(５,-12),所以|a|=5，|b｜=13,ａ·
高中数学必修4 第二章 平面向量(A卷)
高中数学必修4 第二章平面向量（A卷）试卷 一、选择题（共21题；共100分） 1.下列说法正确的是() A.向量与向量是共线向量，则所在直线平行于所在的直线 B.向量与平行，则与的方向相同或相反 C.向量的长度与向量－的长度相等 D.单位向量都相等 【答案】C 【考点】平面向量的概念与表示 【解析】于A，考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，可以在同一直线上；对于B，由于零向量与任一向量平行，因此若a，中有一个为零向量，其方向是不确定的；对于C，向量与－方向相反，但长度相等；对于D，需要强调的是，单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．故选C. 2.下列说法正确的是() A.若||＝||，则、的长度相等且方向相同或相反 B.若向量，满足||＞||，且同向，则＞ C.若≠，则与可能是共线向量 D.若非零向量与平行，则四点共线 【答案】C 【考点】平面向量的概念与表示 【解析】对于A项，||＝||只能说明，的长度相等，不能判断他们的方向；对于B项，向量不能比较大小，因而该选项错误；对于D项，与平行，可能，即四点不一定共线，因而该选项错误． 3.设D为所在平面内一点，，则() A.
B. C. D. 【答案】A 【考点】平面向量的线性运算 【解析】∵，∴，即， ∴. 4.在中，已知，，对角线相交于O点，则 的坐标是() A. B. C. D. 【答案】B 【考点】平面向量的坐标运算 【解析】∵． 5.向量，若三点共线，则的值为() A.－2 B.11 C.-2或11 D.2或-11 【答案】C 【考点】平面向量的坐标运算
(完整版)高中数学平面向量习题及答案
第二章平面向量 、选择题 A.向量AB 与BA 是两平行向量 B.若a, b 都是单位向量，则 a=b C.若AB = DC ,则A, B, C, D 四点构成平行四边形 D.两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 模为（ 1 .在4ABC 中，AB=AC, D, E 分别是 AB, AC 的中点，贝心 )• A. AB 与AC 共线 C. AD 与AE 相等 2 . 卜列命题正确的是（ 3.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3, 1） , B （ -1, 3）,若点C 满足 OC OA+ OB ,其中 C R ,且+ = 1,则点C 的轨迹方程为（ )• A. 3x+2y —11 = 0 B. (x —1)2 +(y — 1)2=5 C. 2x-y=0 D. x+2y-5=0 4 .已知a 、b 是非零向量且满足（a —2b ） La, （b-2a ） ±b,则a 与b 的夹角是（ )• D. 5 6 5 .已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点 A, C ）,则AP =（ )• A. X AB + AD ), 长(0, 1) B. N AB + BC ), C. X AB - AD ), 入C (0, 1) D. 乂 AB — BC ), 二 .2 入e (0 , — ) ,2 (。，—) 6. AABC 中，D, 巳F 分别是 AB, BC, AC 的中点，贝U DF =( A. EF + ED B. EF - DE C. EF + AD D. EF + AF 7. 若平面向量a 与b 的夹角为 60°, | b| =4, (a+2b) - (a- 3b) =- 72,则向量 B. DE 与CB 共线 D. AD 与BD 相等
(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(含答案解析)(2)
一、选择题 1．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A ．1 B ．25 C ．5 D ．3 2．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点 E 位于线段OD 上，若3 4 OE EA ⋅= ，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ． 1 2或32 B ．1 C ．1或 1 2 D ． 32 3．已知1a ，2a ，1b ，2b ，( )* k b k ⋅⋅⋅∈N 是平面内两两互不相等的向量，1 2 1a a -=， 且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为 （ ） A ．21- B ．2 C ．21+ D ．22+ 5．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，3AD CD ==，E 是CD 的中点， 1 4 DF DA = ，若12AE BF ⋅=-，则梯形ABCD 的高为（ ） A ．1 B 6 C 5 D ．2 6．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则 PM PN +的取值范围为（ ） A ．53,53+⎡⎣ B ．103,103⎡-⎣ C ．523,523-+⎡⎣ D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦ 7．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( )