分块矩阵
矩阵分块法
矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分解成较小矩阵的方法，以便更高效地进行计算。
这种方法在高性能计算和科学计算中得到了广泛应用。
矩阵分块法是将一个大的矩阵分成若干个块，每个块都是一个小的矩阵。
这些小的矩阵可以更容易地进行计算，而且可以更好地利用计算机的并行处理能力。
在矩阵分块法中，矩阵被分成若干行和列的块。
例如，一个n×n的矩阵可以被分成四个n/2×n/2的块，每个块都是一个n/2×n/2的矩阵。
这种分块方法可以继续递归地应用，直到矩阵被分成足够小的块。
矩阵分块法可以用于各种各样的计算，例如矩阵乘法、矩阵求逆、矩阵特征值等。
在矩阵乘法中，矩阵分块法可以将一个大的矩阵乘法变成许多小的矩阵乘法，从而提高计算效率。
在矩阵求逆和矩阵特征值中，矩阵分块法可以将一个大的矩阵分解成多个小的矩阵，从而简化计算。
矩阵分块法的实现需要考虑许多因素，例如矩阵块的大小、矩阵块之间的通信、矩阵块的分配等。
这些因素可以影响矩阵分块法的性能和可扩展性。
因此，在实现矩阵分块法时需要仔细考虑这些因素，并进行优化。
矩阵分块法是一种非常重要的技术，在高性能计算和科学计算中得到了广泛应用。
矩阵分块法可以将一个大的矩阵分解成多个小的矩阵，从而更高效地进行计算。
在实现矩阵分块法时需要考虑许多因素，并进行优化，以提高性能和可扩展性。
矩阵分块知识点总结
矩阵分块知识点总结一、矩阵分块的基本概念1.1 矩阵分块的定义矩阵分块是一种对矩阵进行分割的方法，将一个大的矩阵分割成若干个较小的子矩阵，这些子矩阵可以是行向量、列向量或者更小的矩阵。
矩阵分块的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
1.2 矩阵分块的表示形式矩阵分块可以采用不同的表示形式，其中包括方括号表示、圆括号表示和其他符号表示。
以方括号表示为例，一个矩阵可以分割成四个子矩阵，如下所示：A = [ A11, A12A21, A22 ]其中A11、A12、A21、A22为子矩阵，分别表示矩阵A的四个子块。
1.3 矩阵分块的基本性质矩阵分块具有很多基本的性质，其中包括可交换性、可加性、可乘性等。
具体而言，如果矩阵A和B可以进行相应的分块操作，则有以下性质：可交换性：A和B的分块顺序可以交换，即A*B = B*A。
可加性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A + B) = A + B。
可乘性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A * B) = A * B。
1.4 矩阵分块的应用矩阵分块在实际中有着广泛的应用，其中包括矩阵的运算、方程组的求解、特征值与特征向量的计算等方面。
矩阵分块能够简化问题的处理过程，提高计算的效率，使得矩阵的性质更加清晰和易于理解，因此在很多领域中得到了广泛的应用。
二、矩阵分块的基本类型2.1 行分块矩阵行分块矩阵是将一个大的矩阵按照行进行分块，将每一行的元素划分成若干个较小的行向量，从而形成一个行分块矩阵。
行分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
2.2 列分块矩阵列分块矩阵是将一个大的矩阵按照列进行分块，将每一列的元素划分成若干个较小的列向量，从而形成一个列分块矩阵。
列分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
矩阵分块法
1 1 O Байду номын сангаас 1 E 1
0 2 0 1
1 0 4 2
0 1 B11 1 B 21 0
E , B22
§4
(4)设
矩阵分块法
A11 A A s1 A1r , Asr
A11T T A A1r T
2 A11 2A 2 A21
2 A12 2 A22
2 1 2 2 2 3 2 4 6 2 4 2 5 2 6 8 10 12 . 2 7 2 8 2 9 14 16 18
§4
矩阵分块法
主要内容：
一、分块矩阵的定义
二、分块矩阵的运算法则
§4
矩阵分块法
引言:对于行数和列数较高的矩阵A,运算时常采用分块法, 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. 定义:将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每 一个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形式上的矩 阵称为分块矩阵.
§4
例
矩阵分块法
§4
例
2 2 0 A 0 0 0 0
矩阵分块法
5 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 6 7 0 0 0 2 4 4 0 0 0 7 5 3 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 6 0
A1 O O
定义:对于线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2
amn xn bn ,
x1 b1 a11 x b a21 2 2 A aij , x ,b ,B xn bn am1
矩阵的分块
二、分块矩阵的运算
1、加法
设 A, B 是两个 m n 矩阵，对它们
用同样的分法分块:
A11 A A s1 A1r B11 , B B Asr s1 B1r Bsr
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则
A2 B2
A1 O A2 (2) 准对角矩阵 A 可逆 O As
A1 B1 O A2 B2 . AB O As BS
Ai 0，i 1, , s Ai 可逆，i 0, C B
设逆阵
∴ D 可逆.
1
X 11 X 12 , D X 21 X 22
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于是 即
A 0 X 11 X 12 Ek 0 , C B X 21 X 22 0 Er
0 . 1 B
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三、准对角矩阵
A1 O A2 形式如 A , O As
定义
的分块矩阵，其中 Ai 为 ni 阶方阵 ( i 1,2, , s ), 称为准对角矩阵.
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性质
其中子块 Aij与 Bij 为同型矩阵，则 A11 B11 A1r B1r A B . A B Asr Bsr s1 s1
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2、数量乘法
A11 A1r 设分块矩阵 A , P , 则 A A sr s1
分块矩阵
引言为了研究行数、列数较高的矩阵，常常对矩阵采用分块的方法。
类似于集合的划分，是把矩阵完全地分成一些互不相交的子矩阵，使得原矩阵的每一个元落到一个分快的子矩阵中。
以这些子块为元素的矩阵就称为分块矩阵。
线形代数以其独特的理论体系和解题技巧而引人入胜。
在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.而且利用分快矩阵还可以求出某些矩阵的逆矩阵，证明矩阵的秩等。
第一章 矩阵的分块和分块矩阵的定义设A 是数域K 上的m n ⨯矩阵，B 是K 上n k ⨯矩阵，将A 的行分割r 段，每段分别包含12r m m m 个行，又将A 的列分割为s 段，每段包含12s n n n 个列。
A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭于是A 可用小块矩阵表示如下：，其中ij A 是i j m n ⨯矩阵。
对B 做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A 的列的分割法一样。
于是B 可以表示为B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中ij B 是i j n k ⨯的矩阵。
这种分割法称为矩阵的分块。
二．分块矩阵加法和乘法运算设()ij m n A a ⨯=()ij m n B b ⨯=为同型矩阵（行和列数分别相等）。
若采用相同的分块法。
A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则可以直接相加 乘法:设，则C 有如下分块形式：C=111212122212s s r r rs C C C C C C C C C ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，其中ij C 是i j m k ⨯矩阵，且 1nij ij ij i C A B ==∑定义 称数域K 上的分块形式的n 阶方阵A=12S A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为准对角矩阵，其中为阶方阵（），其余位置全是小块零矩阵。
分 块 矩 阵
，
B
3 0
4 1
1 3
B11 B21
1 0 1
B12 B22
．
所以，
AB
A11 A21
A12 B11
A22
B21
B12 B22
A11B11 A21 B11
A12 B21 A22 B21
A11B12 A21 B12
A12 B22 A22 B22
．
1.1 分块矩阵的运算
1 1
2 3
1，| A3 | 5 ，都不为零，均可逆，故 A 可逆。
又因为
A11
1 3
，
A21
3
1
2 1
，
A31
1 5
，则
．
1.1 分块矩阵的运算
5.例题
由于
A1
A2
A2
A1
A2
A12
A22
，
A3
A3
A32
且
A12
9 ，A22
1 1
2
2
3
3
4
8 11
，A32
C
O
时，有
A O
O 1 A1
B
O
O B 1
．
线性代数
A21
A22
As1 As2
A1r
A2r
Asr
B11 B12
B
B21
B22
Bs1 Bs2
B1r
B2r
Bsr
则 ，
A11 B11
A
B
A21
B21
As1 Bs1
A12 B12 A22 B22
As2 Bs2
A1r B1r
第二章§4 分块矩阵
4.1 分块矩阵的概念
例如
a1 1 A a1 = 2 a 31 得到4个子块 个子块： 得到 个子块：
1 0 A = 1 − 1
A B 、 分块成
1 −1 B= 1 −1 0 1 0 2 0 1 , 0 4 1 1 − 2 0
0 0 0 1 0 0 , 2 1 0 1 0 1
E 0 2 = A E 1 2
4.2 分块矩阵的运算
4. 分块矩阵的转置
分块后， 设对矩阵 A 分块后，得分块矩阵为
A1 A2 L At 1 1 1 A A L A 2 2 2 t A 21 = , M M M A A L A s2 s t s1
则
T T T A1 A1 L A 2 s 1 1 T T T T A2 A2 L A2 s . A = 1 2 M M M T T T 1 2 s t At At L A
4.2 分块矩阵的运算
分块对角阵的性质(教材 页 分块对角阵的性质 教材58页) 教材
分块对角阵的行列式
A 1 A 2 A = O A s
A= A A L s . A 1 2
分块对角阵的逆： 当 分块对角阵的逆： A≠0 即 A ≠0时，有 ， i
− A1 1 1 − A 1 2 − A = . O 1 − A s
矩阵分块法
以对角矩阵 Λm 左乘 A 的结果是 A 的每一行乘以 Λ 中与该行对应的对角元. 中与该行对应的对角元
以对角矩阵 Λn 左乘矩阵 Am × n 时，把 A 按列 分块， 分块，有
λ1 λ2 AΛn = (a1 , a2 ,L, an ) O λm = (λ1α1 , λ2α 2 ,L, λnα n ) ,
其中 Ai1 , Ai2 , …, Ait 的列数分别等于 B1j , B2j , …, Btj 的行数 那么 的行数,那么
C 11 AB = M C s1
t
L L
C 1r M , C sr
其中
Cij = ∑Aik Bkj (i = 1,L,s; j = 1,L,r) .
的行数相同、列数相同, 其中 Aij 与 Bij 的行数相同、列数相同 那么
A11 + B11 L A1r + B1r A+ B = M M . A + B L A + B s1 sr sr s1
2. 数乘运算
A11 L A1r 设 A= M M , A L A sr s1
即
x 1a 1 + x 2 a 2 + … + x n a n = b .
（4） ）
）、（3）、（ （2）、（ ）、（ ）是线性方程组（1）的 ）、（ ）、（4）是线性方程组（ ） 各种变形. 今后，它们与（ ） 各种变形 今后，它们与（1）将混同使用而不加 区分，并都称为线性方程组或线性方程 区分，并都称为线性方程组或线性方程.
α1Tb1 α1Tb2 L α1Tbn α T T T α α2 b1 α2 b2 L α2 bn AB = (b1, b2 ,L, bn ) = M M M M α T α Tb α Tb L α Tb m m n m1 m2
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第一章 矩阵的分块和分块矩阵的定义设A 是数域K 上的m n ⨯矩阵，B 是K 上n k ⨯矩阵，将A 的行分割r 段，每段分别包含12r m m m 个行，又将A 的列分割为s 段，每段包含12s n n n 个列。
A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭于是A 可用小块矩阵表示如下：， 其中ij A 是i j m n ⨯矩阵。
对B 做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A 的列的分割法一样。
于是B 可以表示为B=111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中ij B 是i j n k ⨯的矩阵。
这种分割法称为矩阵的分块。
二．分块矩阵加法和乘法运算 设()ij m n A a ⨯=()ij m n B b ⨯=为同型矩阵（行和列数分别相等）。
若采用相同的分块法。
A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则可以直接相加 乘法:设，则C 有如下分块形式：C=111212122212s s r r rs C C C C C C C C C ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭， 其中ij C 是i j m k ⨯矩阵，且1nij ij iji C A B ==∑定义 称数域K 上的分块形式的n 阶方阵A=12S A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为准对角矩阵，其中为阶方阵（），其余位置全是小块零矩阵。
2、分块矩阵的一些简单基本性质命题 阶准对角矩阵有如下性质：（1）、对于两个同类型的n阶准对角矩阵（其中同为阶方阵）， A=12S A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B=12S B B B ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，有； AB=1122S S A B A B A B ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2）、；（3）、A 可逆等价于(1,2,)i A i n =可逆，且111121r A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
第二章 利用分块矩阵计算行列式1 引理 设矩阵H=12S A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或H=120S A A A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中A1,A2,…,As 是实矩阵，且均为方阵,则|H|=|A1||A2|…|As|2 利用分块矩阵计算行列式设A 、B 分别为m 与n 阶方阵.计算行列式H=A D CB2·1 矩阵A 或B 可逆时行列式|H|的计算 命题1 设A 、B 分别为m 与n 阶方阵.证明:(1)当A 可逆时,有A D CB=1A B CA D-∙-（2)当B 可逆时,有A D CB=1A DB C B--证 (1)根据分块矩阵的乘法,有1100EA D A D CAE C B B CA D --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭由引理知,两边取行列式即得(1).(2)根据分块矩阵的乘法,有1100A D E DB A DB CC B E C B --⎛⎫⎛⎫--⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式即得(2).注意:利用命题1解题时,要注意条件:矩阵A 或B 可逆.推论1 设A,B,C,D 分别是m,n,n ×m 和m ×n 矩阵.证明(1)m E D B CD C B =- （3）(2)nA D CE = |A-DC|. (4)证明 只需要在命题1的(1)中令A=Em,即得(3);在(2)中令B=En,即得(4). 推论2 C,D 分别是n ×m 和m ×n 矩阵.证明：m n m nE D E CD E CDCE =-=- （5）证明：证明 在推论1的(3)中,令B=En,在(4)中,令A=Em,即得(5). 例1 计算下面2n 阶行列式|2n H |=ada d cbcb(a ≠0)解令A=aa ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,B=b b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，C=c c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,D=dd ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭且都为n 阶方阵.由于a ≠0,故A 为可逆方阵.又易知1111b ca db ca d B CA D b ca d ----⎛⎫- ⎪- ⎪-=⎪ ⎪⎪-⎝⎭从而由命题1中(1)得|2n H |=11()()n n n A D A B CA D a b ca d ab cd CB--==-=-=-例2 计算行列式(1)12111101001na a a a ,(ai ≠0,i=1,2,…,n);（2）1231231000010000100001n na a a ab b b b c解 (1)设Q=A D CB，其中A=(0a ),B=1n a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, C=()1,1,,1T,D=()1,1,,1T因为ai ≠0,i=1,2,…,n,所以B 是可逆矩阵.又易知11111ni i iA DBC a A DB C A DB C B a ---=-=---∑从而由命题1中的(2)得A D CB=1A DBC --B 1211nn i i i a a a a a =-∑.=1211nn i i ia a a a a =-∑(2)设 Q=n E D CB其中B=(c),Ｃ=()12Tn b b b ,Ｄ＝()12Tn a a a由于 CD=()12n b b b ()12Tn a a a =1ni ii a b =∑从而由推论1知, Q=1nn i i i E D B CD C a b CB==-=-∑2.2 矩阵A=B,C=D 时行列式|H|的计算命题2 设A,C 是两个n 阶方阵.则A C A C A CCA=+-证 根据行列式的性质和引理,有A C CA==A C C A C C A C A CC A AA C++==+-+-例3 计算行列式.D=000X Y Z X Z Y Y Z X ZYX解 这道题看似简单,但如果方法选择不佳,做起来并不轻松.这里设0,0X Y ZA C XZ Y==由命题2知D=A C C A=A C A C+-=Y X Z X ZY++Y X Z X ZY----=22()YX Z ⎡⎤--⎣⎦22()Y X Z ⎡⎤-+⎣⎦= (X+Y+Z)(-X+Y-Z) (X+Y-Z)(-X+Y+Z)2.3 当A 与C 或者B 与C 可交换时行列式|H|的计算 命题3 设A,B,C,D 都是n 阶方阵.(1)如果AC=CA,则=A D CB=AB CD-(2)如果BC=CB,则A D CB=AB DC-例4 计算例2所给的2n 阶行列式.解 设A,C 如例2,则|2nH =A D CB而AC=CA,由命题3知:2nH =AB CD-A D CB=()n ab cdab cdab cd ab cdab cd--=---注意:①这里并不需要a ≠0的条件.②在利用命题3计算高阶行列式时,如果A 和C(或B 和C)有一个是n 阶单位矩阵或者是n 阶数量矩阵时,那么计算方法会更简便. 3 矩阵H 被分成两个特殊矩阵的和时计算行列式|H| 命题4 设A 为n 阶可逆方阵,α与β均为n 维列向量.则TA βα+=1(1)T A A αβ-+证 因为00111TT T E A A βββααα-⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭(7) 110110T T T EA AAA ββαααβ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(8)由引理,(7)和(8)两边各取行列式,并由于111001011110T T T T E EEA AA A A βββααααβ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭故由(7)和(8)得1TA βα-=TA βα+=1(1)T A A αβ-+即T A βα+=1(1)T A A αβ-+注意:在利用这个命题计算n 阶行列式时,需要根据具体情况,把原行列式的元素组成的矩阵分成两项,其中一项是n 阶可逆矩阵A,该矩阵一般选为对角矩阵,则其行列式和逆矩阵比较容易求出;另一项是n 维列向量α与β组成的乘积Tαβ这种分法是利用命题4计算n 阶行列式的难点,它需要具有较强的观察能力.例5 计算下列n 阶行列式:①D=23103120123n n n n②D=123123123123n n n n a b a a a a a b a a a a a b aa a a a b++++解 ①令A=12n -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭α=()1,2,,(1,1,,1)TT n β=则有()1121121,2,,112T n n n n βα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然有D=|A+Tβα|. 再由于|A|=(-1)·n!,且1TA αβ-=(1,2,…,n)11111121n ---⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-n 从而由命题4知:D=|A+T βα|=|A|(1+1TA αβ-)=(1)!(1)nn n --②令A=b b b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α=12,(a ,,)T n a a(1,1,,1)T β=则有Tβα=111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12,(a ,,)n a a =123123123123n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭且D=|A+Tβα| 再由于|A|=1TA αβ-,且1T A αβ-=12,(a ,,)n a a11111111nii b b b a b ---=-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑从而由命题4知:D=|A+Tβα|=|A|(1+1TA αβ-)=1111nnnn iii i bbabb a --===+∑∑第三章 分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用引理1 矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩，两个因子中有一个是可逆的，它们乘积的秩等于另一个因子的秩。
引理2 秩A+秩B ≤秩0A C B ⎛⎫⎪⎝⎭引理3 秩0A B B ⎛⎫⎪⎝⎭=秩00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩A+秩B引理4 秩0AB C B ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩00C B ⎛⎫⎪⎝⎭引理5 秩(A +B)≤秩A+秩B性质1秩(A +B)≤秩[A B]≤秩A+秩B 。
其中A ,B 均为m ×n 矩阵。
证明 因为00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭00E E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=000A B +⎛⎫ ⎪⎝⎭于是由引理1得秩(A +B)=秩000A B +⎛⎫⎪⎝⎭≤秩00A B ⎛⎫⎪⎝⎭=秩[A B] 又因为秩0A B B ⎛⎫⎪⎝⎭≥秩00A B ⎛⎫⎪⎝⎭ 于是由引理1及3得秩[A B]=秩00A B ⎛⎫⎪⎝⎭≤0A B B ⎛⎫⎪⎝⎭秩A+秩B综上证明即得 秩(A +B)≤秩[A B]≤秩A+秩B 证毕。