矩阵分块法
§2.4 分块矩阵
a 1 B= 0 0
线性代数
0 a 0 0
0 0 b 1
0 a B1 = 0 B1 O 1 , 其中 = 0 O B2 b B2 = b 1
第二章 §2.5
A1 A+ B = O
O B1 + A2 O
o
o
线性代数
第二章 §2.5
15 15
例2
a 0 设 A= 0 0
1 a 0 0
0 0 b 1
0 0 , 1 b
a 1 B= 0 0
0 a 0 0
0 0 b 1
0 0 0 b
求 A + B,
线性代数 第二章 §2.5
ABA.
16 16
T T A11 L As1 Ar L 1 M . 则 T M ， A = M AT L AT L Asr sr 1r
三、分块对角阵
设A为n阶矩阵，若 A的分块矩阵只有在主对 角线 阶矩阵， 上有非零子块， 块都为零矩阵， 上有非零子块，其余子 块都为零矩阵，且非零 子 块都是方阵， 块都是方阵，即
线性代数 第二章 §2.5
O B2
A1 + B1 = O
, A2 + B2 O
a 1 a 0 2a 1 A1 + B1 = + = , 0 a 1 a 1 2a b 1 b 0 2b 1 A2 + B2 = + = , 1 b 1 b 2 2b
线性代数 第二章 §2.5
21 21
例3
5 0 0 设 A = 0 3 1 , 求 A −1 . 0 2 1 5 0 0 A1 A = 0 3 1 = 0 2 1 O
矩阵分块知识点总结
矩阵分块知识点总结一、矩阵分块的基本概念1.1 矩阵分块的定义矩阵分块是一种对矩阵进行分割的方法，将一个大的矩阵分割成若干个较小的子矩阵，这些子矩阵可以是行向量、列向量或者更小的矩阵。
矩阵分块的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
1.2 矩阵分块的表示形式矩阵分块可以采用不同的表示形式，其中包括方括号表示、圆括号表示和其他符号表示。
以方括号表示为例，一个矩阵可以分割成四个子矩阵，如下所示：A = [ A11, A12A21, A22 ]其中A11、A12、A21、A22为子矩阵，分别表示矩阵A的四个子块。
1.3 矩阵分块的基本性质矩阵分块具有很多基本的性质，其中包括可交换性、可加性、可乘性等。
具体而言，如果矩阵A和B可以进行相应的分块操作，则有以下性质：可交换性：A和B的分块顺序可以交换，即A*B = B*A。
可加性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A + B) = A + B。
可乘性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A * B) = A * B。
1.4 矩阵分块的应用矩阵分块在实际中有着广泛的应用，其中包括矩阵的运算、方程组的求解、特征值与特征向量的计算等方面。
矩阵分块能够简化问题的处理过程，提高计算的效率，使得矩阵的性质更加清晰和易于理解，因此在很多领域中得到了广泛的应用。
二、矩阵分块的基本类型2.1 行分块矩阵行分块矩阵是将一个大的矩阵按照行进行分块，将每一行的元素划分成若干个较小的行向量，从而形成一个行分块矩阵。
行分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
2.2 列分块矩阵列分块矩阵是将一个大的矩阵按照列进行分块，将每一列的元素划分成若干个较小的列向量，从而形成一个列分块矩阵。
列分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
矩阵分块法
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
高二数学矩阵的分块
kA11 kA1r kA kA kA sr s1
例
k 3,
1 A 3 4
2 2 5
3 1 6
1 3 3 A 3 3 4 3
2 3 2 3 5 3
3 3 1 3 6 3
其 中Ai 1 , Ai 2 , , Ais的 列 数 分 别 等 于 B1 j , B2 j , , Bsj的 行 数 。 那么 C11 C1r
AB C r1
ik
C rs
其 中C ij
A
k 1
t
Bkj
i 1, , s; j 1, , r .
1 a 1 1 1 a 0 1
0 B 0 1 B2 b B3 b 0 0 C1 1 C3 b 0 C1 a0 0 0b 1 C3 0 0 1 1 0 0 b 1 10
C2 , C4
11
1s
rs
rs
T A A1 s 则 A . A A
T 11 T
T
r1
T
rs
注:
大块小块一起转。
T
A11 A12 例 A A 21 A22 (5) 分块对角矩阵 设 A 为 n 阶矩阵，若 A 的分块矩阵只有对角线上 有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块
O A . 1 O D C A B
(2) 由(1)可得
A O 1 XYZ A D C A B, 1 O DC A B
XYZ X Y Z ,
而 X Z 1,
A B A D C A1 B . C D
2.3 分块矩阵(《线性代数》闫厉 著)
A
7
2
3
3
5
1
求逆矩阵 A 。
解
将矩阵A划分成分块对角矩阵 A diag A1 , A2 , A3 ，其中
8 5
A1
,
3 2
A2 7 ,
2 3
A3
3
5
由公式计算出
2 5
A
,
3 8
T
A22
A2Tt
A1t
A2 t
Ast
AsT1
AsT2
T
Ast
分块矩阵A的转置，不仅要把分块矩阵A的每一行变为同序
号的列，还要把A的每一个子块 Aij 取转置。
五、分块对角矩阵
8 5
3
2
A
7
2
3
3
5
五、分块对角矩阵
设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零
E
A1 B22
而
1
A1 B11 B21
1
3
0
2 1 0 1 0
1 1 2 1 1
4 1 0 2 4
2 1 1 1 1
1 2 4 1 3 3
a
31
a12
分块矩阵的概念
As
i 1,2,L , s.
a1 j
按列分块 A
A1, A2 ,L
, An ，其中
Aj
a2 j M
,
j 1,2,L ,n. anj
一、分块矩阵的运算
1、加法 设 A, B 是两个 m n 矩阵，对它们
用同样的分法分块:
A11 A
As1
A1r
B11
, B
A1t
A2t L
Ast
例1 设
1 0 0 0
A
0 1
1 2
0 1
00 ,
1 1 0 1
求 AB.
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
解 把A, B分块成
1 0
A
0
1
1 0
0 1
E
E
,
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
1 1 2 0
,
O
Bs
A1 B1
则 A B
A2 B2
O
，
O
O
As
BS
A1B1
AB
A2 B2
O
O
.
O
As BS
(2) 准对角矩阵
A1
A
A2
O O
O
As
可逆
Ai 0，i 1,L , s Ai可逆，i 1,L , s
且
A11
A1
A21
O
O
O
As1
5 0 0
AB
Cs1 Csr
大学线性代数课程 第七节 矩阵的分块法 课件
2
1
0
0
0 0 1 2
0
0
1
1
1 2 0
A
2
5
0
1
A1
O
0 0
O A2
,
A1
A11 O
O
A2
1
,
A11
1 2
2
5
,
A21
1 3
1 1
2
1
,
0 0 1 3 2 3
0
0
1 3
1
3
6、设 B 1 2 L s , 则 AB A1 2 L s A1 A2 L As .
A11 L
A
M
As1 L
A1r
A11 L
M
,
R,
则
A
M
Asr
As1 L
k 0 k 3k
kI
kA
kO
kC
kI
0
0
0
k 0 0
2k k 0
4k
0kLeabharlann A1r M.
Asr
3、乘法 设 Aml , ，Bl分n 块成
A11 L
A
M
As1 L
A1t
B11 L
b01
注： 分块时首先满足 I，再考虑对角或三角矩阵， 然后考虑 O以及其它的特殊矩阵.
按行分块或按列分块是两种特殊的分块形式.
二、分块矩阵的运算规则
分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似.
1、矩阵的加法 设 A与 B为同型矩阵，采用相同的分块法，有
A11 L
A
M
As1 L
A1r
B11 L
矩阵分块法
0 L 0 B2 L 0 L L L 0 L Bs
A1B1 0 0 A2B2 = L L 0 0
0 L 0 . L L L As Bs
3）逆矩阵 ）
A1 设 A=
A2
o
o , O As
a 0 A= 1 0
0 0 = ( A1 A2 A3 A4 ), 1 b
LL
二、分块矩阵的运算规则
(1 )
对于加法 : 设矩阵 A 与 B 的行数相同 , 列数相同 , ,有 采用相同的分块法
A11 A= M A s1
L L
A1 r B11 M , B = M B A sr s1
例
设 1 2 A= −1 1 求 A + B.
0 0 0 0 0 0 0 0 , B = 1 2 1 0 −1 1 1 1
0 1 0 2 0 1 , 0 0 0 0 0 0
解 把 A, B 分块成 记
A11 A= A 21
A1 O A2 ⇒ A = A1 A2 L As . A= O O As
A1 O A2 A= O O As
A可逆 ⇔ Ai 可逆i = 1,2,L , s且
A1−1 O −1 A2 −1 A = O O As−1
B22 . 0
T T A11 L A1 A11 L Ar 1 s (4 ) 设 A = M M , 则 AT = M M . T A1 L A A L AT s sr sr 1r
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第四节 矩阵分块法内容分布图示★ 矩阵的分块 ★ 例1 ★ 例2 ★ 分块矩阵的运算规则★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7★ 分块矩阵的其它运算规则★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 克莱姆法则的证明 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题2-4★ 返回内容要点：一、分块矩阵的概念对于行数和列数较高的矩阵, 为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成若干小矩阵间的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰. 具体做法是：将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵. 每个小矩阵称为A 的子块, 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.矩阵的分块有多种方式，可根据具体需要而定注：一个矩阵也可看作以n m ⨯个元素为1阶子块的分块矩阵.二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似. 分块时要注意，运算的两矩阵按块能运算，并且参与运算的子块也能运算，即，内外都能运算.1. 设矩阵A 与B 的行数相同、列数相同，采用相同的分块法, 若,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t st s t B B B B B A A A A A其中ij A 与ij B 的行数相同、列数相同, 则.11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+st st s s t t B A B A B A B A B A2.设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A Ak 为数, 则.1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t kA kA kA kA kA 3．设A 为l m ⨯矩阵, B 为n l ⨯矩阵, 分块成,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=tr t r st s t B B B B B A A A A A其中pt p p A A A ,,,21 的列数分别等于tq q q B B B ,,,21 的行数, 则,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sr s r C C C C AB其中).,,2,1;,,2,1(1r q s p B A C tk kqpk pq ===∑=4. 分块矩阵的转置设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A A 则.1111⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T st T t T s T TA A A A A5. 设A 为n 阶矩阵, 若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且在对角线上的子块都是方阵, 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A O A O A A21, 其中),,2,1(s i A i =都是方阵, 则称A 为分块对角矩阵.分块对角矩阵具有以下性质：(1) 若 ),,2,1(0||s i A i =≠，则0||≠A ，且|;|||||||21s A A A A = (2) .112111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----s A O A O A A(3) 同结构的对角分块矩阵的和、差、积、商仍是对角分块矩阵. 且运算表现为对应子块的运算。
6.形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ss s s A A A A A A0022211211 或⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ss s s A A A A A A 21222111000的分块矩阵，分别称为上三角分块矩阵或下三角分块矩阵，其中),,2,1(s p A pp =是方阵.同结构的上（下）三角分块矩阵的和、差、积、商仍是上（下）三角分块矩阵.三、克莱姆法则的证明 对线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* (1) 若记.,,2121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n nn n n n n b b b b x x x X a a a a a a a a a A 则可写成矩阵方程b AX =.于是，克莱姆法则可重新叙述如下:克莱姆法则 若方程组b AX =的系数行列式0||≠=A D , 则它有唯一解,DD x j j =).,,2,1(n j =例题选讲:例1设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=311320520131A . 则A 就是一个分块矩阵.若记),3(),1,1,3(,20,05213122211211=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=A A A A则A 可表示为.22211211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A AA A A 这是一个分成了4块的分块矩阵.例2设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1000001100001000001100011A , 则A 是一个分了块的矩阵,且A 的分块有一个特点，若记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11012A ,)1(3=A , 则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321000000A A A A , 即A 作为分块矩阵来看，除了主对角线上的块外，其余各块都是零矩阵，以后我们会看到这种分块成对角形状的矩阵在运算上是比较简便的.例3 (讲义例1) 设矩阵,1020013600020021,100001004210311⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B A 用分块矩阵计算.,B A kA +例4 (讲义例2) 设,021********10101,1011012100100001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=B A 求AB . 例5设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1020101300121100121A ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=102110311010201B ,也可写为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=232221131211A A AA A A A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211B BB B B B B . 例6(讲义例3) 如果将矩阵n n m E A ,⨯分块为 )(100010001),(2121212222111211n n n nn n n n n E A A A a a a a a a a a a A εεε =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 则).()()(212121n n n n A A A A A A A AE ===εεεεεε).,,2,1(n j A A jj ==⇒ε注：矩阵按行（列）分块是最常见的一种分块方法. 一般地，n m ⨯矩阵A 有m 行, 称为矩阵A 的m 个行向量，若记第i 行为),,,,(21in i i T i a a a =α则矩阵A 就可表示为.21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T m T T A αααn m ⨯矩阵A 有n 列, 称为矩阵A 的n 个列向量, 若第j 列记作⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mj j j j a a a 21α.则 ).,,,(21n A ααα =例7 设A 是一个n m ⨯矩阵，B 是一个l n ⨯矩阵，同样，可对A 作行分块，即将A 的每一行作为一块，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m a a a A 21，其中),,2,1)(,,,(21m i a a a a in i i i ==是A 的第i 行。
这时也将B 看成11⨯分块矩阵，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B a B a B a B a AB 4321.例8设有二个分块对角阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k A A A A 0021, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k B B B B 0021. 其中矩阵i A 与i B 都是i n 阶方阵（因此A ，B 是同阶方阵），因此i A 与i B 可以相乘，用分块矩阵的乘法不难求得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k k B A B A B A AB 002211即分块对角阵相乘时只需将主对角线上的块乘起来即可.例9设A 是一个分块对角矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k A A A A 0021，且每块i A 都是非异方阵（因此A 也是方阵），则A 也是非异方阵且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----11211100k A A A A .事实是由例8知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----11221111k k A A A A A A AA ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k n n n E E E21， 其中k n E 表示与i A 同阶的单位阵，一个分块对角阵主对角线上的块都是单位阵，则它自己也是一个单位阵，故E AA =-1.例10 (讲义例4) 设,120130005⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 求1-A .例11 (讲义例5) 设,O A A T = 证明.O A =课堂练习 1.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b b a aB b b a a A 100000001000,100100000001, 求.ABA2.分块方阵,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B O C A D 其中A ,B 均为可逆方阵, 证明D 可逆, 并求.1-D。