第八讲矩阵的分块法
矩阵分块法
矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分解成较小矩阵的方法，以便更高效地进行计算。
这种方法在高性能计算和科学计算中得到了广泛应用。
矩阵分块法是将一个大的矩阵分成若干个块，每个块都是一个小的矩阵。
这些小的矩阵可以更容易地进行计算，而且可以更好地利用计算机的并行处理能力。
在矩阵分块法中，矩阵被分成若干行和列的块。
例如，一个n×n的矩阵可以被分成四个n/2×n/2的块，每个块都是一个n/2×n/2的矩阵。
这种分块方法可以继续递归地应用，直到矩阵被分成足够小的块。
矩阵分块法可以用于各种各样的计算，例如矩阵乘法、矩阵求逆、矩阵特征值等。
在矩阵乘法中，矩阵分块法可以将一个大的矩阵乘法变成许多小的矩阵乘法，从而提高计算效率。
在矩阵求逆和矩阵特征值中，矩阵分块法可以将一个大的矩阵分解成多个小的矩阵，从而简化计算。
矩阵分块法的实现需要考虑许多因素，例如矩阵块的大小、矩阵块之间的通信、矩阵块的分配等。
这些因素可以影响矩阵分块法的性能和可扩展性。
因此，在实现矩阵分块法时需要仔细考虑这些因素，并进行优化。
矩阵分块法是一种非常重要的技术，在高性能计算和科学计算中得到了广泛应用。
矩阵分块法可以将一个大的矩阵分解成多个小的矩阵，从而更高效地进行计算。
在实现矩阵分块法时需要考虑许多因素，并进行优化，以提高性能和可扩展性。
矩阵分块知识点总结
矩阵分块知识点总结一、矩阵分块的基本概念1.1 矩阵分块的定义矩阵分块是一种对矩阵进行分割的方法，将一个大的矩阵分割成若干个较小的子矩阵，这些子矩阵可以是行向量、列向量或者更小的矩阵。
矩阵分块的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
1.2 矩阵分块的表示形式矩阵分块可以采用不同的表示形式，其中包括方括号表示、圆括号表示和其他符号表示。
以方括号表示为例，一个矩阵可以分割成四个子矩阵，如下所示：A = [ A11, A12A21, A22 ]其中A11、A12、A21、A22为子矩阵，分别表示矩阵A的四个子块。
1.3 矩阵分块的基本性质矩阵分块具有很多基本的性质，其中包括可交换性、可加性、可乘性等。
具体而言，如果矩阵A和B可以进行相应的分块操作，则有以下性质：可交换性：A和B的分块顺序可以交换，即A*B = B*A。
可加性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A + B) = A + B。
可乘性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A * B) = A * B。
1.4 矩阵分块的应用矩阵分块在实际中有着广泛的应用，其中包括矩阵的运算、方程组的求解、特征值与特征向量的计算等方面。
矩阵分块能够简化问题的处理过程，提高计算的效率，使得矩阵的性质更加清晰和易于理解，因此在很多领域中得到了广泛的应用。
二、矩阵分块的基本类型2.1 行分块矩阵行分块矩阵是将一个大的矩阵按照行进行分块，将每一行的元素划分成若干个较小的行向量，从而形成一个行分块矩阵。
行分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
2.2 列分块矩阵列分块矩阵是将一个大的矩阵按照列进行分块，将每一列的元素划分成若干个较小的列向量，从而形成一个列分块矩阵。
列分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
高等代数矩阵的分块
Chk = Ah1B1k + Ah2B2k + · · · + AhsBsk.
cuv 是位于 AhqBqk (q = 1, 2, · · · , s) 的第 u 行第 v 列的元素的和， 即 Ah1, · · · , Ahs 的第 u 行分别与 B1k, B2k, · · · , Bsk 的第 v 列的 乘积的和. 但由 (4)，Ah1, · · · , Ahs 的第 u 行凑起来就是 A 的第 i 行，而 B1k, · · · , Bsk 的第 v 列凑起来就是 B 的第 j 列，所以
矩阵分块与分块矩阵的概念
在这节，我们将介绍矩阵运算的一种有用的技巧 -矩阵的分块.
这种技巧在处理教高阶的矩阵时常常被用到.
设 A 是一个矩阵. 我们在它的行或列之间加上一些线. 把这个矩
阵分成若干个小块. 例如，设 A 是一个 4 × 3 矩阵
A = aaa123111
a12 a22 a32
个 m × n 矩阵，并且对 A, B 都用同样的方法来分块：
A = A...11
···
A1q ...
,
B = B...11 · · · B...1q ,
Ap1 · · · Apq
Bp1 · · · Bpq
而 a 是一个数，那么
A
+
B
=
A11
+ ...
B11
m1 + m2 + · · · + mr = m,
n1 + n2 + · · · + ns = n,
(1)
p1 + p2 + · · · + pt = p.
矩阵分块法
矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分割成小块的技术，以便更有效地处理和计算。
这种方法在计算机科学和数学领域中被广泛应用，可以提高计算效率和减少计算时间。
矩阵分块法的基本思想是将大型矩阵分割成若干个小块，然后对每个小块进行单独的计算。
这种方法可以减少计算量，提高计算效率，同时也可以更好地利用计算机的并行计算能力。
在实际应用中，矩阵分块法可以用于解决各种数学问题，如线性代数、微积分、概率论等。
例如，在线性代数中，矩阵分块法可以用于求解大型矩阵的特征值和特征向量，从而解决各种实际问题，如图像处理、信号处理等。
矩阵分块法的实现需要考虑多个因素，如矩阵的大小、分块的大小、计算机的硬件配置等。
通常情况下，矩阵分块法需要进行一定的优化和调整，以便更好地适应不同的应用场景。
矩阵分块法是一种非常重要的数学技术，可以提高计算效率和减少计算时间，对于解决各种实际问题具有重要的意义。
在未来的发展中，矩阵分块法将继续发挥重要作用，为各种科学和工程问题的解决提供更加高效和可靠的方法。
矩阵分块法
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
高二数学矩阵的分块
kA11 kA1r kA kA kA sr s1
例
k 3,
1 A 3 4
2 2 5
3 1 6
1 3 3 A 3 3 4 3
2 3 2 3 5 3
3 3 1 3 6 3
其 中Ai 1 , Ai 2 , , Ais的 列 数 分 别 等 于 B1 j , B2 j , , Bsj的 行 数 。 那么 C11 C1r
AB C r1
ik
C rs
其 中C ij
A
k 1
t
Bkj
i 1, , s; j 1, , r .
1 a 1 1 1 a 0 1
0 B 0 1 B2 b B3 b 0 0 C1 1 C3 b 0 C1 a0 0 0b 1 C3 0 0 1 1 0 0 b 1 10
C2 , C4
11
1s
rs
rs
T A A1 s 则 A . A A
T 11 T
T
r1
T
rs
注:
大块小块一起转。
T
A11 A12 例 A A 21 A22 (5) 分块对角矩阵 设 A 为 n 阶矩阵，若 A 的分块矩阵只有对角线上 有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块
O A . 1 O D C A B
(2) 由(1)可得
A O 1 XYZ A D C A B, 1 O DC A B
XYZ X Y Z ,
而 X Z 1,
A B A D C A1 B . C D
线性代数—矩阵的分块、子矩阵
数,
那
么
As1 Asr
A
A11
A1r
.
As1 Asr
3 设A为m l矩阵, B为l n矩阵,分块成
A
A11
A1t
,
B
B11
B1r
,
As1 Ast
Bt1 Btr
其中Ai1 , Ai2 ,, Ait的列数分别等于B1 j , B2 j ,, Bij
的
行
数,
上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都
是方阵.即
A1
A
A2
O
O
,
As
A1
A
A2
O
O
,
As
其中 Ai i 1,2,s 都是方阵,那末称 A为分块
对角矩阵.
若每一块 Ai 均可逆, 则A可逆，并有
A11
o
A1
A21
o
. As 1
A1 0
0 A2
0 B1 0 0
那么
AB
C11
C1r
t
Cs1 Csr
其中Cij Aik Bkj i 1,, s; j 1,, r .
k 1
4
设
A
A11
A1r
, 则则
AATT
AA1T1T11
AAsTsT11 ..
As1 Asr
AA1Tr1Tr
AAsTsTrr
5 设A为n阶矩阵,若A的分块矩阵只有在主对角线
0
0 1 0 0 0 1 3 1
0
0
2
1
0
21
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
矩阵分块计算公式
矩阵分块计算公式——优化大矩阵运算的利
器
矩阵分块计算是一种有效优化大矩阵运算的方法，它通过将大矩
阵划分成若干小块，逐一计算，最终将结果合并得到整个大矩阵的运
算结果。
这种方法在高性能计算、科学计算等领域得到广泛应用。
其计算
公式如下：
首先，将大矩阵按照行列分成 M*N 个小块，每个小块的大小为
m*n，其中 M = ceil(M'/m)，N = ceil(N'/n)，M'表示大矩阵的行数，N'表示大矩阵的列数。
则每个小块的编号为 B(i,j)，其中 i 属于
[1,M]，j 属于 [1,N]。
其次，我们要定义一个块乘运算，表示两个小块相乘的结果。
假
设有两个小块 A(p,q) 和 B(q,r)，其中 p 属于 [1,M]，r 属于
[1,N]，则它们的块乘结果为 C(p,r) = A(p,q) * B(q,r)。
最后，我们要定义整个大矩阵的乘法运算，即 C = A * B。
它的
计算公式为：
C(i,j) = sum(C(k,l)), k belongs [1,M], l belongs [1,N], k =< i <= (k + 1)m, l =< j <= (l + 1)n, B(k,l) A((i-1)m+1:i*m, (j-1)n+1:j*n)
这个公式的意思是，对于每个大矩阵的元素 C(i,j)，我们将其分配给 M*N 个小块，分别与小块内的元素计算块乘运算，然后将结果按照指定的方式合并，得到 C(i,j) 的值。
通过矩阵分块计算，我们可以充分利用计算机的并行计算能力，提高大矩阵运算的效率和速度，达到更好的计算效果。
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第八讲矩阵的分块法
第八讲矩阵的分块法
一、矩阵的分块法
用处：（1）将高阶矩阵用低阶矩阵表示
（2）把每一小块看成元素一样按矩阵的运算来进行运算（3）分块之后使得矩阵的一些运算简化
分块的标准：（1）能分出一些零子块
（2）能分出一些单位矩阵
（3）分成数量矩阵
二、分块矩阵的运算
简单解释一下即可，不做要求
三、分块对角矩阵
1、定义
2、对应的行列式的求法
3、逆矩阵的求法
例题1、设
--=320210002A ，求A ，1-A 四、线性方程组的矩阵表示1、一般表示
=++=++m n mn m n n b x a x a b x a x a
1
111111 系数矩阵n
m m m n a a a a A ?????? ??=11111
未知量矩阵
=n x x X 1
常数项矩阵
=m b b b 1
2、线性方程组的矩阵表示
将上面的方程组用矩阵表示：
=????? ??????? ??m n m m n b b x x a a a a 1111111
b AX =
例题：设=--=-+-=+-02212321
321321x x x x x x x x x ，写出矩阵表达式。
对角矩阵的行列式值和逆矩阵的求法要求必须会。
练习题
1、求逆矩阵101210002A ?? ?= ?
2、求逆矩阵1200250000620032A ?? ? ?= ? ???
3、求x 和y ，使2180341x y -+= ??? ?-
. 4、求x ，y 和z ，使110101************x y z --?????? ??? ?-= ??? ? ??? ?-??????。