初二数学北师大版不等式知识点以及例题
2022-2023学年北师大版八年级数学下册《2-4一元一次不等式》知识点分类练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版八年级数学下册《2.4一元一次不等式》知识点分类练习题（附答案）一．一元一次不等式的定义1．下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A．2x﹣1＞0B．﹣1＜2C．x﹣2y≤﹣1D．y2+3＞52．在x＞0，＜﹣1，2x＜﹣2+x，x+y≥﹣3，x+1＝0，x2＞3中，是一元一次不等式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．解一元一次不等式3．关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（）A．14B．7C．﹣2D．24．若3a﹣22和2a﹣3是实数m的两个平方根，且t＝，则不等式4（2x﹣t）﹣6（3x﹣t）≥5的解集为（）A．x≤B．x≥C．x≤D．x≥5．不等式x﹣1＜3x+3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．如果关于x的方程＝的解是非负数，那么a与b的关系是（）A．a＞b B．b≥a C．a≥b D．a＝b7．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，例如＝1×4﹣2×3＝﹣2，如果＞0，则x的取值范围为．8．已知点P（2，3﹣2x）在第四象限，则x的取值范围是．三．一元一次不等式的整数解9．不等式3x≤7+x的非负整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．关于x的不等式3x﹣m+2＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（）A．5≤m＜8B．5＜m＜8C．5≤m≤8D．5＜m≤8 11．不等式2x﹣1≤x+1的正整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知x＝2不是关于x的不等式2x﹣m＞4的整数解，x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解，则m的取值范围为（）A．0＜m＜2B．0≤m＜2C．0＜m≤2D．0≤m≤2四．由实际问题抽象出一元一次不等式13．某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小芳得分不低于80分．设她答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（）A．10x﹣2（20﹣x）≥80B．10x﹣（20﹣x）＞80C．10x﹣5（20﹣x）≥80D．10x﹣5（20﹣x）＞8014．小丽同学准备用自己节省的零花钱购买一台学生平板电脑，她已存有750元，并计划从本月起每月节省30元，直到她至少存有1080元，设x个月后小丽至少有1080元，则可列计算月数的不等式为（）A．30x+750＞1080B．30x﹣750≥1080C．30x﹣750≤1080D．30x+750≥108015．用不等式表示：x与5的差不大于x的2倍：．16．“x的2倍与5的和不大于4”，用不等式表示是（）A．2x﹣5＜4B．2x+5＜4C．2x+5≤4D．2x﹣5≤4五．一元一次不等式的应用17．今年六一，小明在超市买一款心爱的玩具，付款时收银员说：玩具成本是80元，定价为120元，今天是儿童节打折优惠卖给小朋友，但利润率不能低于5%，则该玩具最多可以打（）折．A．8.5B．8C．7.5D．718．某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于10%，则至多可以打几折（）A．8折B．8.5折C．8.8折D．9折19．如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克定理”．若有一个格点多边形的面积为9，则b的最大值为（）A．17B．18C．19D．2020．某射击运动员在一次比赛中前6次射击共中55环，如果他要打破92环（10次射击）的纪录，第7次射击起码要超过（）A．6环B．7环C．8环D．9环参考答案一．一元一次不等式的定义1．解：A、该不等式符合一元一次不等式的定义，故此选项符合题意；B、不含未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；C、该不等式中含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；D、未知数的次数是2，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；故选：A．2．解：是一元一次不等式的有：x＞0，2x＜﹣2+x共有2个．故选：B．二．解一元一次不等式3．解：解不等式≤﹣2得：x≥，∵不等式的解集为x≥4，∴＝4，解得m＝2，故选：D．4．解：由题意知3a﹣22+2a﹣3＝0，解得a＝5，则m＝（3a﹣22）2＝（15﹣22）2＝（﹣7）2＝49，∴t＝＝7，则不等式为4（2x﹣7）﹣6（3x﹣7）≥5，∴8x﹣28﹣18x+42≥5，∴8x﹣18x≥5+28﹣42，∴﹣10x≥﹣9，∴x≤，故选：C．5．解：x﹣1＜3x+3，x﹣3x＜3+1，﹣2x＜4，x＞﹣2，在数轴上表示为：；故选：B．6．解：＝，5（2x+a）＝3（4x+b），10x+5a＝12x+3b，10x﹣12x＝3b﹣5a，﹣2x＝3b﹣5a，x＝，∵关于x的方程＝的解是非负数，∴≥0，解得：a≥b，b≤a，故选：C．7．解：根据题意得4x﹣3（3﹣x）＞0，去括号，得：4x﹣9+3x＞0，移项、合并，得：7x＞9，系数化为1，得：x＞，故答案为：x＞．8．解：∵点P（2，3﹣2x）在第四象限，∴3﹣2x＜0，解得x．∴x的取值范围是x．故答案为：x．三．一元一次不等式的整数解9．解：解不等式3x≤7+x得，x≤3.5，∴不等式3x≤x+4的非负整数解是0，1，2，3，一共4个．故选：D．10．解：3x﹣m+2＞0，3x＞m﹣2，，∵不等式的最小整数解为2，∴，解得：5≤m＜8，故选：A．11．解：移项得：2x﹣x≤1+1，合并同类项得：x≤2，∴不等式的正整数解是1、2．故选：B．12．解：由2x﹣m＞4得x＞，∵x＝2不是不等式2x﹣m＞4的整数解，∴≥2，解得m≥0；∵x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解，∴＜3，解得m＜2，∴m的取值范围为0≤m＜2，故选：B．四．由实际问题抽象出一元一次不等式13．解：设她答对了x道题，根据题意，得10x﹣5（20﹣x）≥80．故选：C．14．解：根据题意，得30x+750≥1080．故选：D．15．解：由题意得：x﹣5≤2x；故答案为：x﹣5≤2x16．解：“x的2倍与5的和不大于4”，用不等式表示是2x+5≤4，故选：C．五．一元一次不等式的应用17．解：设该玩具打x折销售，依题意得：120×﹣80≥80×5%，解得：x≥7，∴该玩具最多可以打7折．故选：D．18．解：设该商品打x折销售，依题意，得：500×﹣400≥400×10%，解得：x≥8.8．故选：C．19．解：∵格点多边形的面积为9，∴a+b﹣1＝9，又∵a≥0，∴b﹣1≤9，∴b≤20，∴b的最大值为20．故选：D．20．解：设第7次射击为x环，∵射击环数最多为10环，∴第8次，第9次，第10次最多射中环数都是10环，∴55+（10﹣6﹣1）×10+x＞92，解得x＞7，即第7次射击起码要超过7环，故选：B．。
北师大版数学八年级下册第二章一元一次不等式(组)含参问题归纳复习总结(培优讲义,有部分答案)
一元一次不等式（组）含参综合分析【题型要点分析】一、解含参数的不等式或不等式组的解集二、解不等式（组）的（非）负数解、整数解及参数的取值范围三、根据实际情况求解参数的取值范围四、不等式（组）同解，求参数的取值范围【知识储备】一、点坐标象限的特征：点) ,(y x P 在第一象限，则00>>y x ，； 点) ,(y x P 在第二象限，则00><y x ，； 点) ,(y x P 在第一象限，则00<<y x ，； 点) ,(y x P 在第二象限，则00<>y x ，；二、一元一次不等式的解集情形（简称：四大法则或“口诀”）：三、二元一次方程组的解法：代入消元法与加减消元法。
【题型1：利用分类讨论思想，求解含参数的不等式或不等式组的解集】【例题1】若a 为任意实数，解关于x 不等式：ax a x ->+1。
【例题2】已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+>-≥-43)2(2103x x a x 有解，求实数a 的取值范围，并写出该不等式的解集。
【答案】【解析】【例题3】解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥--+1)1(31312ax x x x a【变式练习1】若实数a 满足23a a a <<，则不等式ax a x ->+1的解集为_________。
【变式练习2】若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>+<-303m x m x 有解，求不等式012>+-m 的解集。
【题型2：借助数轴或解集情形，求解不等式（组）的（非）负数解、整数解或参数的取值范围】【例题1】已知不等式03≥+ax 的正整数解为1，2，3，则a 取值范围是__________。
【答案】【解析】【例题2】如果关于x 的不等式03≤-a x 只有3个正整数解，则a 的取值范围_______【答案】129<≤a【解析】【例题3】关于x 的不等式组⎩⎨⎧<+-<a x x x 1)3(32有四个整数解，求a 的取值范围是。
北师大版八年级数学下册《一元一次不等式和一元一次不等式组——不等式的解集》教学PPT课件(4篇)
创设情境
为确保安全，引火线的长度应满足什么条件？
引火线长度
4cm
6cm
燃放者撤离到安全 区域外的时间
引火线燃烧完所用 时间
结论
大于 10÷4=2.5（s）
0.04÷0.02=2（s）
0.06÷0.02=3（s）
不安全
安全
学习目标
1.经历探索发现不等关系的过程，进一步体会模型思想. 2.探索并掌握不等式的基本性质，体会类比的思想方法. 3.会解一元一次不等式（组）并直观表示其解集，发展几何直观. 4.能够用一元一次不等式解决一些简单的实际问题. 5.体会不等式、函数、方程之间的联系.
A.X>2
B. X>4
C.X>-2
D. X>-4
学习目标 情境导入 例题讲解
巩固提升 归纳总结 当堂检测 课后作业
4.如图所示的不等式的解集是___x_＜__3_______.
5.在数轴上表示下列不等式的解集.
（1）X<-2.5;
（2） X>2.5;
（3） X≥3
-3 -2.5 -2 -1
0
0
1
2 2.5 3
A．
B．
C．
D．
4．关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集 x≤2 ．
学习目标 情境导入 例题讲解
巩固提升 归纳总结 当堂检测 课后作业
不等式
数学知识
思想方法
不等式的 解
不等式 的解集
用数轴表示不 等式的解集
类比思 想
数形结合 思想
学习目标 情境导入 例题讲解
巩固提升 归纳总结 当堂检测 课后作业
不等式的解集 解不等式
不等式知识点北师大八年级
不等式知识点北师大八年级不等式知识点不等式是数学中的一种基本概念，其本质是描述数值大小之间的关系。
不等式在数学中具有广泛应用，尤其在代数与几何中具有极其重要的地位。
本文将对不等式的基本概念、不等式的解法、不等式的应用等方面进行详细介绍。
一、不等式的基本概念不等式是由‘>’、‘<’、‘≥’、‘≤’等符号来表示的数值大小关系的式子。
不等式中的数值可以是整数、分数、甚至是根式等。
不等式中出现的符号具有以下含义：1.＞：大于2.＜：小于3.≥：大于或等于4.≤：小于或等于例如：x ＞ 2 表示x大于2y ＜ 3 表示y小于3a +b ≤ 10 表示a与b的和小于或等于10二、不等式的解法解不等式就是要求出不等式中未知数的取值范围。
不等式的解法需要根据不等式的形式来进行，以下为常见的不等式形式及其解法：1.一元一次不等式一元一次不等式是一种只涉及一个变量及其一次项的不等式，其通式为ax + b ＞ c（或ax + b ＜ c、ax + b ≥ c、ax + b ≤ c）。
对于一元一次不等式的解法，需要注意以下步骤：（1）将不等式移项，使得未知数在等号左侧。
（2）对不等式两侧同乘/除以正数，使得未知数的系数为1。
（3）求出未知数的取值范围。
例如：3x - 4 ≥ 5，将-4移项得3x ≥ 9，再除以3，得到x ≥ 3。
2.一元二次不等式一元二次不等式是一种有二次项的不等式，其通式为ax² + bx + c ＞ 0（或ax² + bx + c <0、ax² + bx + c ≥ 0，ax² + bx + c ≤ 0）。
对于一元二次不等式的解法，需要注意以下步骤：（1）将不等式移项，使得不等式的右侧为0。
（2）根据判别式（b² - 4ac），判断二次函数的零点个数及其位置。
（3）根据二次函数在零点处的取值情况，求出不等式的解集。
例如：x² - 2x - 3 ＞ 0，移项得x² - 2x + 3 < 0，此时判别式Δ = b² - 4ac = 4 - 4(1)(3)＝-8 ＜0，说明该二次函数没有实数根，即对任意x，该不等式均成立。
北师大版八年级下不等式精讲2
专题 不等式（二）Vip 个性化学科优化学案鹰击长空—知识要点1. 不等式的基本性质一：不等式两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
（重点） 不等式的基本性质二：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（重点）不等式的基本性质三：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
（重点、难点）2．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（1）要判断某个数是不是不等式的解，可直接将该值带入不等式的左右两边，看不等式是否成立，成立，则是，不成立，则不是。
（2）一般，不等式的解不止一个，有时有很多个，甚至无穷个。
3．一个含有未知数的不等式的所有解的集合，组成这个不等式的解集。
不等式的解集必须符合两个条件①解集中的每一个数都能使不等式成立②能使不等式成立的解都在解集内。
4．求解不等式解集的过程叫解不等式。
5．不等式的解集有两种表示方法①用不等式表示（注意≤≥与＜＞区别）②用数轴表示（特别注意有等号画实心点，没有等号画空心点）。
6．等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
7．解一元一次不等式的一般步骤（部分步骤可以根据实际情况适当省略）① 分母 ②去括号 ③移项 （注意变号）④合并同类项 ⑤系数化为一8． 用图像法解ax+b<0(或ax+b>0)型的不等式的步骤（1）将一元一次不等式化成标准形式ax+b<0(或ax+b>0)；（2）在平面直角坐标系中画出一次函数y=ax+b 的图像，确定图像与x 轴交点；（3）图像在x 轴上方的部分所对应的自变量的取值是一元一次不等式ax+b>0的解集; 图像在x 轴下方的部分所对应的自变量的取值是一元一次不等式ax+b<0的解集.9．一般的关于同一未知数的几个一元一次不等式和在一起，就组成了一个一元一次不等式组，理解一元一次不等式组的概念时应注意：（1）不等式组中所有一元一次不等式都只含有同一未知数；(2)不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上。
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幂的乘方法则可以逆用：即 a mn (a m )n (a n )m
如： 46 (42 )3 (43 )2
7、积的乘方法则： (ab)n a nbn （ n 是正整数）
积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（ 2x3 y 2 z)5 = (2)5 (x3 )5 ( y 2 )5 z 5 32x15 y1_______________。
8、同底数幂的除法法则： a m a n a mn （ a 0, m, n 都是正整数，且 m n)
同底数幂相除，底数不变，指数相减。如： (ab)4 (ab) (ab)3 a3b3
9、零指数和负指数；
a 0 1 ，即任何不等于零的数的零次方等于 1。
ap
1 ap
（a
0,
p 是正整数），即一个不等于零的数的
p 次方等于这个数的
p
次方的倒数。
如： 23 ( 1 )3 1 28
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大学通
初二因式分解 赵亮 2015-6-7 陈老师
10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式 里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 注意： ①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 ②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。 ③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
基本方法
⑴提公因式法 ⑵公式法
平方差公式 ：a2-b2=(a+b)(a-b)； 完全平方公式 ：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2； 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数 (或式) 的平方和的形式，另一项是这两个数 (或式)的积的 2 倍。 立方和公式 ：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式 ：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)； 完全立方公式 ：a3±3a2b＋3ab2±b3=(a±b) 3．
(完整版)北师大版八年级下册数学复习知识点及例题相结合
一. 不等关系第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1. 一般地,用符号“<”(或“ ≥”), “>”(或“ ≤”)连接的式子叫做不等式.2.区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。
3.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数⇔ 非正数⇔ 大于等于0( ≥ 0) ⇔小于等于0( ≤ 0) ⇔0 和正数0 和负数⇔不小于0⇔不大于0二. 不等式的基本性质1.掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, a >b .c c(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, a <bc c2.比较大小:(a、b 分别表示两个实数或整式) 一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即:a>b ⇔ a-b>0 a=b ⇔ a-b=0 a<b ⇔ a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要作差即可)例下列各式一定成立的是( )A．7a﹥4a B. a﹥-a C. a+1﹥a－1 D. a≤a2例若a﹥b,且a、b 同号，以下不等式中一定成立的有①a2﹥b2 ②a3＜b3 ③1/a＜1/b ④a/b﹥1A. 0B. 1C. 2D. 3三. 不等式的解集:1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2.不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3.不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心点,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1.只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3.解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4.一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0 时,解为x >b;②当a=0 时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0 时,且b≥0,则a无解;③当a<0 时, 解为x <b ;a5.不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.例不等式mx﹥n(m≠0)的解集是( )A．x﹥n/m B.当m﹥0 时，x﹥n/m，当m＜0 时，x＜-n/mC．x＜n/m D．当m﹥0 时，x﹥n/m，当m＜0 时，x＜n/m例如果不等式(a+1) x﹥(a+1)的解集为x＜1，则a 必须满足的的条件是：A. a＜0B. a≤-1C. a﹥-1D. a＜-1例已知关于x 的不等式(2a－b)x+a－5b ﹥0 的解集为x＜10/7,则ax+b﹥0 的解集为例若不等式组x﹥a 无解，则不等式组x﹥2－a 的解集是例水果店进了某中水果1t，进价是7 元/kg。
北师大版八年级下册数学[不等式及其性质(提高)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习不等式及其性质（提高）知识讲解【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系.2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.【要点梳理】知识点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)(3)x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．知识点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是( ).【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量＞5克，3个糖果的质量＜16克，依此求出1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的．【答案】D.【解析】解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，即每一个糖果的重量小于163克．故A选项错；两个糖果的重量小于3221033=克故B选项错；三个糖果的重量大于15克小于16克故C选项错，四个糖果的重量小于16641421 333⨯==克故D选项对．【总结升华】观察图示，确定大小．本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式．举一反三：【变式】设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（）.A．■、●、▲B．▲、■、●C．■、▲、●D．●、▲、■【答案】C.类型二、不等式的基本性质 2.下面四个命题：（1）22ac bc >,则a b >；（2）a b >，则a c b c >；（3）若a b >，则1b a<；（4）若0a >，则b a b -<.其中正确的个数是（ ）. A. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个【答案】B.【解析】(1)由22ac bc >得0c ≠，因为2c >0,所以a b >，正确；（2）因为a b >，当0c =时，a c b c =，所以错误； （3）因为a b >，当0a =时，b a 没有意义，而当0a <时，1b a>，所以错误； （4）因为0a >，所以0a -<，b a b -<，正确. 【总结升华】不等式的基本性质是不等式变形的主要依据，要认真弄清楚不等式的基本性质与等式的基本性质的异同点，特别是不等式两边同时乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且先必须确定这个数是正数还是负数.举一反三：【变式1】a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )．A ．若a ＞b ，则a 2＞b 2；B ．若a 2＞b 2，则a ＞bC ．若a ≠b ，则｜a ｜≠|b|D ．若｜a ｜≠|b|，则a ≠b【答案】D.【变式2】若点P （1﹣m ，m ）在第一象限，则（m ﹣1）x ＞1﹣m 的解集为 ．【答案】x ＜﹣1.解：∵点P （1﹣m ，m ）在第一象限，∴1﹣m ＞0，即m ﹣1＜0；∴不等式（m ﹣1）x ＞1﹣m ，∴（m ﹣1）x ＞﹣（m ﹣1），不等式两边同时除以m ﹣1，得：x ＜﹣1，故答案为：x ＜﹣1．3.设a ＞0＞b ＞c ，且a+b+c=-1，若M ＝b c a +，N ＝a c b +，P ＝a b c+， 试比较M 、N 、P 的大小．【答案与解析】∵a+b+c=-1，∴b+c=-1-a ， ∴M=1a a --=−1−1a， 同理可得N=−1−1b ，P=−1−1c ； 又∵a ＞0＞b ＞c ，∴1a＞0＞1c＞1b，∴−1−1a＜−1＜−1−1c＜−1−1b即M＜P＜N．【总结升华】本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系．4.（2016春•唐河县期中）【提出问题】已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x 的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．【解决问题】解：∵x﹣y=2，∴x=y+2．又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1．又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…①同理得1＜x＜2…②由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2．∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．【尝试应用】已知x﹣y=﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围．【思路点拨】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x 的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．【答案与解析】解：∵x﹣y=﹣3，∴x=y﹣3．又∵x＜﹣1，∴y﹣3＜﹣1，∴y＜2．又∵y＞1，∴1＜y＜2，…①同理得﹣2＜x＜﹣1…②由①+②得1﹣2＜y+x＜2﹣1．∴x+y的取值范围是﹣1＜x+y＜1．【总结升华】此题主要考查了等量代换及不等式的基本性质（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．。
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不等式
不等式的定义：用不等号（＞、≥、＜、≤、≠）表示不等关系的式子，叫做不等式。
不等式中可含未知数，也可不含未知数。
例1：a与2的差是非正数，用不等式表示____________
例2：以下是不等式的是___________
①-3＜0；
②4x+3y＞0；
③x=3;
④x2+xy+y2;
⑤x≠5;
⑥x+2＞y+3
不等式的加减法性质
1、传递性：若a＜b,b＜c,则a＜c。
2、移项的依据：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，所得的不等式仍成立。
不等式的乘除法性质
1、不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立。
2、不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须把不等号的方向改变，所得的不等式成立。
不等式与等式基本性质的比较
例3：下列说法不一定成立的是（）
A 若a＞b,则a+c＞b+c
B 若a+c＞b+c，则a＞b
C 若a＞b,则ac2＞bc2
D 若a＞b,则1+a＞b-1
例4：已知a＜b，则下列不等式中不正确的是（）
A 4a＜4b
B a+4＜b+4
C a-4＜b-4 D-4a＜-4b
不等式的解集
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
例5：下列说法正确的是_____________
a.4是x-3＞1的解；
b.不等式x-2＜0的解有无数个；
c.x＞5是不等式x+2＞3的解集；
d.x=3是不等式x+2＞1的解；
e.不等式x+2＜5有无数个整数解。
例6：下列说法错误的是（）
A 不等式x＜5的整数解有无数个
B 不等式x＞-5的负数解集有限个
C 不等式-2x＜8的解集是x＜-4
D -40是不等式2x＜-8的一个解
用数轴表示不等式的解集
小于朝左，大于朝右，有等画实，无等画空。
解一元一次不等式
解一元一次不等式组
一元一次不等式组定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一
个一元一次不等式组。
例7：
例8：
例9：
例10：
例11：
例12：。