第15课函数的周期性(经典例题练习、附答案)

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函数的周期性(基础+复习+习题+练习)

课题：函数的周期性考纲要求：了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.教材复习()1 周期函数：对于函数()y f x =，如果存在非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的一个周期.()2最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中的正数，那么这个最小正数就叫作()f x 的最小正周期.基本知识方法1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；3.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=; 二是能找到适合这一等式的非零常数T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.4.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值.问题1．(06山东)已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为 .A 1- .B 0 .C 1 .D 2问题2．()1(00上海) 设()f x 的最小正周期2T =且()f x它在区间[]0,1上的图象如右图所示的线段AB ,则在区间[]1,2上,()f x =()2已知函数()f x 是周期为2的函数，当11x -<<时，2()1f x x =+，当1921x << 时，()f x 的解析式是()3 ()x f 是定义在R 上的以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，已知当0x I ∈时，()2f x x =，求()x f 在k I 上的解析式。

第15课__函数的周期性(经典例题练习、附答案)

第15课函数的周期性◇考纲解读掌握周期函数的定义及最小正周期的意义.◇知识梳理对于函数()x f ，存在非0常数T ，使得对于其定义域内总有()()x f T x f =+，则称的常数T 为函数的周期.1.周期函数的定义：对于函数()x f ，存在非0常数T ，使得对于其定义域内总有()()x f T x f =+，则称的常数_____为函数的周期.2.周期函数的性质：① ()()x f T x f =+()f x ⇒的周期为_____；②()()()x f x f a x f ⇒-=+的周期为_____；③如()()()x f x f a x f ⇒=+1的周期为_____； ④()()()x f x f a x f ⇒-=+1的周期为_____；⑤()()()1()1f x f x a f x f x -+=⇒+的周期为_____； ⑥()()()1()1f x f x a f x f x ++=⇒-的周期为_____；⑦()()()f x a f x b f x +=+⇒的周期为_____；⑧如果奇函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-()f x ⇒的周期为_____；⑨如果偶函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-()f x ⇒的周期为_____；◇基础训练1.设f (x )是定义在R 上最小正周期为T 的函数，则f (2x ＋3)是（）A.最小正周期为T 的函数B.最小正周期为2T 的函数C.最小正周期为2T的函数 D.不是周期函数2. 设函数()f x （x R ∈）是以3为周期的奇函数，且()()11,2,f f a >=则（）A. a >2B. a <-2C. a >1D. a <-13.（2006山东）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 ( )A.－1B.0C. 1D.24．（2007深圳一模）函数f （x ）是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f （x ）在［－1，0］上是减函数，那么f （x ）在［2，3］上是( )A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数 ◇典型例题例1. （安徽卷）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________例2. 已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-①证明：(1)(4)0f f +=；②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式◇能力提升1．已知定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，对2)3()2()2( -=--=+∈f x f x f R x ，当有都时，)2007(f 的值为（）A ．2B ．4C ．－2D ．－42.（2007安徽）定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为( )A.0B.1C.3D.5 3 .(2008珠海质检理)定义在R 上的奇函数)(x f 满足：对于任意,(3)()x R f x f x ∈+=-有，若(1)2f =，(5)f =则 ____.4．(2008中山一模)设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则)5.2004(-f =_______.5.（2007广州二模）已知函数)x (f 满足1(x)(1)2,(x 1)1(x)f f f f +=+=-，则(3)f 的值为_________, (1)(2)(3)(2007)f f f f ⋅⋅⋅⋅ 的值为_____________.6.（2007北京海淀）设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在1,12骣÷ç÷ç÷ç桫上单调递增，且满足()(1)f x f x -=-，给出下列结论：①(1)0f =；②函数()f x 的周期是2；③函数()f x 在1,02骣÷ç-÷ç÷ç桫上单调递增； ④函数(1)f x +是奇函数.其中正确的命题的序号是 .第15课函数的周期性◇知识梳理1.T ．2.① T ；②a 2；③a 2；④2a ；⑤2a ；⑥a 4；⑦a b -；⑧a 4；⑨2a ； ◇基础训练1. C ，2. D ，3. B ,4. A .◇典型例题例1．解：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+。

高中数学函数的周期性与常考题(附经典例题与解析)

函数的周期性与常考题【知识点分析】：函数的周期性设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数f(x)的一个周期．(D为定义域)1. 型的周期为T。

定义：对x取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，T叫函数的周期。

【相似题练习】1．定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（）A．336B．337C．338D．3391．已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是．1．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x有f（x+4）＝﹣f（x）+2，若函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则f（2014）＝（）A．﹣2+2B．2+2C．2D．【知识点分析】：2. 型的周期为。

证明：。

特别得：f（x-a）＝f（x+a）型，的周期为2a。

【相似题练习】2．已知偶函数y＝f（x）满足条件f（x+1）＝f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝3x+，则f（5）的值等于．1．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）＝x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x）；当时，，则f（2019）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2【知识点分析】：3. 型的周期为2a。

证明：【相似题练习】1．已知定义在R上的函数f（x﹣1）的对称中心为（1，0），且f（x+2）＝﹣f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（x）在闭区间[﹣2014，2014]上的零点个数为．1．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+1）＝﹣f（x﹣1），若f（﹣1）＞1，f（5）＝a2﹣2a﹣4，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）1．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）＝2f（3），y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且f （4）＝4，则f（2012）＝（）A．0B．﹣4C．﹣8D．﹣161．已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称图形，且满足，f（﹣1）＝1，f（0）＝﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【知识点分析】：4. 型的周期为2a。

函数周期性和对称性课件及习题与答案

函数的周期性和对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2ba x +=对称. 推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.推论2：如果函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对称.推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称.推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.三、函数周期性的性质：定理3：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期. 定理4：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.定理5：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期.1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

【高中数学函数专题】函数的周期性(解析版)

函数的周期专题六性1．周期函数的定义对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )；如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．2．函数周期性常用的结论结论1：若f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )的一个周期为2a ；结论2：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论3：若f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a ；结论4：若f (x )＝f (x ＋a )＋f (x －a )(a ≠0)，则f (x )的一个周期为6a ；结论5：若f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论6：若f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论7：若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论8：若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论9：若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为4|b －a |．结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．考点一已知函数的周期性(显性的)，求函数值【方法总结】利用函数的周期性，可将其他区间上的求值等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例1](1)若f (x )是R 上周期为2的函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝__________．答案－1解析由f (x ＋2)＝f (x )可得f (3)－f (4)＝f (1)－f (2)＝1－2＝－1．(2)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )x 2－2，－2≤x ≤0，，0<x <1，则＝________．答案14解析由题意可得－2＝14，＝14．(3)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＋a ，－1≤x <0，|25－x|，0≤x <1，其中a ∈R ．若5(2f -＝9(2f ，则f (5a )的值是________．答案－25解析：由题意可得5()2f -＝＝－12＋a，9()2f ＝|25－12|＝110，则－12＋a ＝110，a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25．【高中数学函数专题】(4)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)cosπx2，0<x≤2，x＋12|，－2<x≤0，则f(f(15))的值为________．答案22解析由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝|－1＋12|＝12，所以f(f(15))＝cosπ4＝22．(5)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)的值等于()A．403B．405C．806D．809答案B解析定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405．【对点训练】1．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．1．答案7解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x．又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0．又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．2．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)1≤x<0，0≤x≤1，其中a，b∈R．若＝a＋3b的值为________．2．答案－10解析因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f f(－1)＝f(1)，故＝，从而12b＋212＋1＝－12a＋1，即3a＋2b＝－2，①．由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋22，即b＝－2a，②．由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10．3．已知函数f(x)(1－x)，0≤x≤1，－1，1<x≤2，如果对任意的n∈N*，定义f n(x)＝{[()]}n ff f f x⋅⋅⋅个，那么f2019(2)的值为()A．0B．1C．2D．33．答案C解析∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，f4(2)＝f(2)＝1，∴f n(2)的值具有周期性，且周期为3，∴f2019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故选C．4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝__________．4．答案337解析由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，由已知条件可得f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2022)＝337×1＝337．5．已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>12时，f(6)＝()A．－2B．－1C．0D．25．答案D解析当x>12时，由可得当x>0时，f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，而f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝2，故选D．6．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝()A．0B．2C．3D．46．答案B解析∵y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数．令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0．则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，即函数的周期是2，又f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2，故选B．考点二已知函数的周期性(隐性1)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性1)，可利用周期性的性质结论1到结论6，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例2](1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)，－1＜x≤0，1，0＜x≤1，则下列函数值为1的是()A．f(2.5)B．f(f(2.5))C．f(f(1.5))D．f(2)答案D解析由f(x＋1)＝－f(x)知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，于是f(x)是以2为周期的周期函数，从而f(2.5)＝f(0.5)＝－1，f(f(2.5))＝f(－1)＝f(1)＝－1，f(f(1.5))＝f(f(－0.5))＝f(1)＝－1，f(2)＝f(0)＝1，故选D．(2)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2018)的值为()A．2018B．－2018C．0D．4答案C解析依题意得，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，因此函数y＝f(x)是偶函数，且f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(2)＋f(2)，所以f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的函数，f(2018)＝f(4×504＋2)＝f(2)＝0．(3)已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2022)＝__________．答案2解析由f(x＋2)＝1f(x)得f(x＋4)＝1f(x＋2)＝f(x)，所以T＝4，f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝2．(4)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－f(x)，则f(2020)＝________．答案－2－3解析由f(x＋2)＝1－f(x)，得f(x＋4)＝1－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f (2020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2020)＝－2－3．(5)已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1．则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)的值为________．答案1348解析∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4．又x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1，∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f (1)＝－1，f (4)＝－1f (2)＝－13．∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2)＝＋3－11＋3＝1348．【对点训练】7．函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则5(2f 的值为()A ．12B ．14C ．－14D ．－127．答案A解析由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，则5()2f ＝2×12×＝12，故选A ．8．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝()A ．－2B ．2C ．－98D ．988．答案A解析由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (7)＝－f (5)＝f (3)＝－f (1)＝－2．故选A ．9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2019)＝()A ．5B ．12C ．2D ．－29．答案D解析由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2．10．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，且f (2)＝4，则f (2014)＝()A ．0B ．－4C ．－8D ．－1610．答案B解析由题意可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f [(x ＋6)＋6]＝－f (x ＋6)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝12．把y ＝f (x －1)的图象向左平移1个单位得y ＝f (x －1＋1)＝f (x )的图象，关于点(0，0)对称，因此函数f (x )为奇函数，∴f (2014)＝f (167×12＋10)＝f (10)＝f (10－12)＝f (－2)＝－f (2)＝－4．故选B ．11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2018)＝()A ．－2－3B ．－2＋3C ．2－3D ．2＋311．答案A解析由f (x ＋2)＝1－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )．所以函数f (x )的周期为4，所以f (2018)＝f (2)．又f (4)＝f (2＋2)＝1－f (2)＝2－3，所以－f (2)＝12－3＝2＋3，即f (2)＝－2－3，故选A ．12．已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则________．12．答案52解析∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴2≤x ≤3时，f (x )＝x ，∴＝52，∴＝52．考点三已知函数的周期性(隐性2)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性2)，可利用周期性的性质结论7到结论9，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例3](1)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝()A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3答案B解析由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2)．∴f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4．所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3．(2)函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝9，则f (8.5)等于()A ．－9B ．9C ．－3D ．0答案B解析因为f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (－x )＝－f (x －2)．又因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝－f (x －2)＝f (x －4)，故f (x )的周期为4，所以f (0.5)＝f (8.5)＝9．故选B ．(3)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为()A ．2B ．1C ．－1D ．－2解析：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)．∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A ．(4)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2，4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝________．答案解析因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝0．(5)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有33()()22f x f x +=--成立．若f (1)＝2，则f (2)＋f (3)＝________．答案－2解析由33()()22f x f x +=--，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f 32＋－f 32－＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2．(6)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50答案C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x －1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0．又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2，故选C．【对点训练】13．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)是偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x(3－2x)，则()A．12B．－12C．－1D．113．答案C解析∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵函数y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期是4，∴f－12＝－＝－12·(3－1)＝－1，故选C．14．已知偶函数f(x)的定义域为R，若f(x－1)为奇函数，且f(2)＝3，则f(5)＋f(6)的值为() A．－3B．－2C．2D．314．答案D解析因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x－2)．又因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝－f(x－2)＝f(x－4)，故f(x)的周期为4，所以f(5)＋f(6)＝f(1)＋f(2)＝0＋3＝3．选D．15．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．15．答案3解析解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)．又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3．16．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________．16．答案2解析根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)，又由函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，则有f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)，则f(x)的最小正周期是12，故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2．17．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(1)＝a，则f(2)＋f(3)＋f(4)＝() A．0B．－a C．a D．3a17．答案B解析因为函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)，f(3)＝f(－1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又由f(1＋x)＝f(1－x)可得f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因此，函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(4)＝f(0)，又f(1)＝a，因此f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(0)＋f(－1)＋f(0)＝－f(1)＝－a．故选B．18．函数y＝f(x)满足对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值为________．18．答案4解析∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，∴f(x)是R上的奇函数，又f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4，∴f(2017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，∴f(2016)＋f(2018)＝f(2016)＋f(2016＋2)＝f(2016)－f(2016)＝0，∴f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝4．。

函数的周期性(基础+复习+习题+练习).docx

基本知识方法1.周期函数的定义：对于 f (X)定义域内的每一个X ,都存在非零常数T ,使得f(x TH f (X)恒成立，则称函数f (X)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT( k∙ Z,k=O)也是f (X)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (X)的最小正周期2. 几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y = f X满足对定义域内任一实数X (其中a为常数)，①fx=fχ∙a ,贝U y=fx是以T = a为周期的周期函数；②f X ∙ a = -f X ,则f X是以T ≡2a为周期的周期函数；1③f X ∙ a,贝U f X是以T =2a为周期的周期函数；f(X)④f X a = f X -a ,则f X是以T =2a为周期的周期函数;⑤f (X a) J - f (X),贝U f X是以T =2a为周期的周期函数1+ f(x)⑥f(Xa^-Fff，则fx是以T s为周期的周期函数⑦f(X ∙ a) = 1 f (X),贝y f X是以T =4a为周期的周期函数.1-f(χ)1 .已知定义在R上的奇函数f (X)满足f(X • 2) = -f (X),贝U f⑹的值为A. -1B. 0C. 1D. 2 22(1)设f(x)的最小正周期T =2且f (X)为偶函数，它在区间1.0, 1上的图象如右图所示的线段AB,则在区间∣1,2 ］上,f (X)=-----------函数的周期性2已知函数f(χ)是周期为2的函数，当-1：：：x：：：1时，f(x) = χ2∙1 , 当19 ：：：X ：：： 21时，f (X)的解析式是___________________3 f X是定义在R上的以2为周期的函数，对k∙ Z ,用I k表示区间2k-1,2k∙11, 已知当X I0时，f X = X2,求f X在I k上的解析式。

3. 1定义在R上的函数f X满足f X A f X 2 ,当X 3,5】时，fπλ(πλf (x )= 2 - X -4 ,贝U A. f sin —JC f cos—; B- f (Sin1 )> f (COSI)；I 6丿V 6 JC2兀、f2兀、C. f . cos一< f . Sin 一: D- f (COS2)A f (sιn2 )I 3 丿I 3 J2 设f (X)是定义在R上以6为周期的函数，f (X)在(0,3)内单调递减，且y = f (X)的图像关于直线X = 3对称，则下面正确的结论是A. f (1.5) ：：f(3.5) ：：f (6.5)B. f (3.5) ：：f(1.5) ：：f(6.5)C. f (6.5) ：： f(3.5) ：：： f (1.5)D. f(3.5) ：：： f (6.5) ：： f (1.5)4.已知函数f(x)是定义在(-∞,+ ∞)上的奇函数，若对于任意的实数X≥0,都有f(x+2)=f(x), 且当x∈［0,2)时，•'；•二’‘工,'— 1 ',贝U f(-2013)+f(2014) 的值为5. 已知是'上最小正周期为2的周期函数，且当' -时，' ,则函数的图象在区间［0,6］上与轴的交点的个数为________________则"沁=6. 已知f(X)为偶函数，且f(2+X)=f(2-X) ,当-2≤X≤ 0 时，一 -；若•「，… 一,7. 已知定义在R 上的奇函数f 迥，满足/(j →) = -ΛJ ),且在区间上是增函数，则()o A: B ： C ：' ■D ：；：廷:密:Y 曲氏A. B.2 + M C. 2 - 2√2D. 29定义在R 上的函数f X ，对任意χ. R ，有f χ . y . f x _y =2f χ f y ，且fOF ,1求证：fO=1 ；2判断f X 的奇偶性；3若存在非零常数c ,使 2,①证明对任意x∙ R 都有f χ ∙ c = -f χ成立;②函数f X 是不是周期函数，为什么？8.已知函数定义在R 上，对任意实数X 有f{τ) I 2v2,若函数 "=1'的图象关于直线对称,,则」(则"沁=8.已知f (X)是定义在R 上的奇函数，满足f (X • 2) = - f (X),且χ∙ [0, 2时， f(x)= 2x- X . 1求证：f (X)是周期函数；2当χ∙ [2, 4]时，求f(x)的表达式；3 计算 f (1) +f (2) +f ( 3) +……+f (2013)9. ( 05朝阳模拟)已知函数f (X)的图象关于点-3,0对称，且满足f(x)--f(χP), I 4丿2课后作业：1. ( 2013榆林质检)若已知f(x)是R 上的奇函数，且满足f(χ∙4)=f(x),当X 0时，f(x)=2χ2 ,贝U f(7)等于 A -2B. 2C.-98D. 982. 设函数f X ( X ∙ R )是以3为周期的奇函数，且 f 11, f 2 = a ,则A. a 2B. a —2C. a 1D. a -13.函数f(x)既是定义域为 R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f (X)在∣-1,0 1上是减函数，那么 f (X)在∣2,3 1上是A.增函数B.减函数C.先增后减函数D.先减后增函数,记 f n (X )= f{ f [ f f (X )]},则 f 2007 (X) X 1 n 个 fI 3 I5.已知定义在R 上的函数f (X)满足f(X ^-f x - ,且 f -2=3，则 f (2014)=6.设偶函数 f (x)对任意X R , 1,且当X t 3,-2]时, f(x)f (X )=2x , A.--7则 f (113.5)= B. - C.-7D.- 57.设函数 f (X)是定义在R 上的奇函数，对于任意的1 - f(X ) χ∙ R ,都有 f(x T)= 1 f(X),当 O ：： X ≤ 1 时，f (X) =2x ,则 f(11∙5A.1 -1B. 1C.-2又f (-1) =1 , f(0) 一2 ,求f (1) f(2) f (3)…f (2006)的值高考真题：1. f (x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且 f(2)=0在区间0,6内解的个数的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 52.定义在R 上的函数f(x)满足f (x ∙6) = f(x),当-3 ≤ X ” T 时，2f(x) =p x 2 ,当-1 ≤ X ：：3时，f (X) =X ,则 f(1) f(2) f(3) —f (2012)=A. 335B. 338C. 1678D. 20123•已知函数f (x)为R 上的奇函数，且满足 f(χ∙2)=-f(x)，当 0 ≤ X <1 时，f(x) X ,贝U f (7.5)等于 A 0.5B. -0.5C. 1.5D. -1.514.函数f X 对于任意实数X 满足条件f X • 2,若f 1 - -5 ,f(X )则 f f 5= ___________7.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且目=f (X)的图象关于直线对称，则 f (1) f (2)f(3) f(4) f(5)=8.设函数 f (x)在上满足 f (2 -x) = f (2 ∙ x), f (7 -x) = f (7 ∙ x),且在闭区间 0,7 1 上，只有 f(1)= f(3) =0 .(I )试判断函数 y = f (X)的奇偶性；(∏)试求方程f(X) =0在闭区间∣-2005,20051上的根的个数，并证明你的结论.5.已知 f (x)是周期为2的奇函数，当0：：：x”：1时，f(x) 3 5=f( ), c= f(),则2 2 设 a = f (6),b5 A. a ：：：：：：C. C ：：： b ：：： a =Ig X.D. c ：： a b 6.定义在R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若f (X)的最小正周期是二，且当 χ∙ [0, 2] ^, f (X H SinX ,则 f5T 的值为A. -12B.丄2C. 一 3D. 23。

函数周期性习题及答案

1.给出定义：若m - 1x m + 1 (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作 22｛x ｝，即｛x ｝=m ，在此基础上给出下列关于函数 f (x ) = x -｛x ｝的四个命题：① y = f (x )的定义域是R ，值域是(- , ］； ② 点(k ,0)是y = f (x )的图象的对称中心，其中k Z ；③ 函数 y = f (x )的周期为1； ④ 函数 y = f (x )在(- 1, 3］上是增函数上述命题中真命题的序号是( )A. ①② D. ②④2.设 f (x )是(-,+)上的奇函数， f (x +2)=-f (x )，当0x 1时有 f (x )=2x ，则f (2015) = ()3.函数 f (x ) = 1 (1+cos2x )sin 2 x , x R 是(为(5.定义在R 上的函数 f (x )满足 f (x +6)=f (x )，当x［-3,-1)时，f (x )=-(x +2)2，当x [-1,3)时， f (x )=x ，则 f (1)+ f (2)+ f (3) +...+ f (2015)=( )6.在数列｛a n ｝中，已知a 1 = 2,a 2 = 7，记a n 与a n +1(n N +)的积的个位数为a n +2，则a 2015B. ②③C. ①③ A. -1B. -2C. １D. 2B.最小正周期为的奇函数 2D.最小正周期为的偶函数2A. 最小正周期为的奇函数 C. 最小正周期为的偶函数4.已知函数 f (x )=4cos x sin(x +)-1(0)，若 f ()=1，则 f (x )的最小正周期A.B. 32C. 2D. 4A. 336B. 355C. 1676D. 20157.函数f (x) =sin2x -cos2x的最小正周期是 ______ ．8.函数f (x) = sin 2x - 4sin x cos3x( x R)的最小正周期为___ ．9.函数f (x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x+2)=f(x)．当x［0,1］时，f(x)=2x，若在区间［-2,3］上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_____ ．10.已知函数f (x)是R上的奇函数，且f (x + 2)为偶函数，若f(1)=1，则f(8)+f(9)=11.设函数y= f (x)的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x D，都有f(x+T)=T f (x) ，则称函数y = f(x)是“似周期函数”，非零常数T为函数y= f(x)的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数” y = f(x)的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f(x)= x是“似周期函数”；③函数f (x) = 2-x是“似周期函数”；④如果函数f (x) = cos x是“似周期函数”，那么“= k,k Z”．其中是真命题的序号是 __ .(写出所有满足条件的命题序号)12.___________________________________________________________ 已知函数f (x) = 1 sin 2x + 3 cos2x，则f (x)的最小正周期是_________________________ ；如果f(x)的导函数是f(x)，则f() = _ ．6答案和解析1.2015年河南省信阳市高中毕业班模拟数学理科试题卷第12题答案：C 分析：2.2015年广西省玉林市4 月高中毕业班联合数学模拟理科试卷第 5 题答案：B 分析：∵ f(x+2)=-f(x)，得f(x+4)=f(x)，∴周期为T =4，又∵函数为奇函数，f (2015) = f(5044-1)= f(-1)=-f(1)=-2，故选B．3.2015年广西省南宁市高中毕业班第二次适应性测试理科数学模拟试题第9 题答案：A分析：4.2015年天津市和平区高三二模文科数学试题第4题答案：A分析：因为函数f (x) = 4cos x sin(x +) -1, f()=2sin(+)-1=1 ，所以sin(+) =1，由0 可得 ++ ，∴ += ,= ，故:3 3 3 3 2 6f (x) = 4cos x sin(x+)-1= 2sin x cos x +2 3cos2x-1= sin 2x + 3 cos 2x + 3 -1 = 2 sin(2x + ) + 3 -1，2则f (x)的最小正周期为2 =，故选A．5.2015年北京市东城区高三第二学期数学理科综合练习(二)第7 题答案：A 分析：由题意得f(1)=1, f (2) = 2, f(3)= f(-3)=-1, f(4)= f(-2)=0, f(5)= f(-1)=-1, f(6)= f(0)=0, 则f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)+ f(5)+ f(6)=1,又因为2015=6336-1，所以f(1)+ f(2)+ f(3)+L + f (2015) = 3361- f (6) = 336,故选A．6.2015年广西省南宁市高中毕业班第一次适应性检测数学模拟试卷(理科)第15题答案：2分析：a1a2=27=14 ，所以a3 =4,47=28 ，所以a4 =28,48=32 ，所以a5=2,28=16，所以a6=6,a7=2,a8=2,a9= 4, a10= 8, a11= 2,所以从第三项起，a n 的值成周期排列，周期数为6 ，2015 = 335 6 + 5 ，所以a2015=a5=2．7.2015年北京市西城区高三第一次模拟考试数学文科试题第10题答案：分析：利用二倍角公式化简解析式后求解最小正周期．因为f (x) =-cos2x，所以最小正2周期T =2=．28.2015年河北省石家庄市高三二模文科数学试题第14题答案：答案：29.2015年北京市东城区高三第二学期数学文科综合练习(一)第13题22答案：a53分析：因为函数f (x)为偶函数，且当x［0,1］时，f(x)=2x，所以当x［-1,0］时，f (x) = -2x，又因为函数f (x)为周期为2的周期函数，所以画出函数f(x)在［-2,3］上的图象如图所示，则方程ax+2a- f(x)=0在［-2,3］上有4个不相等的实数根等价于函数f (x)的图象与直线y = ax + 2a = a(x + 2)在［-2, 3］上有4个交点，则图易得实数a应满足2-0 2-0 22a，即a．3- (-2) 1- (-2) 5310.2015年北京市东城区高三第一学期期末教学统一检测数学理科试题第13题答案：1 分析：因为f (x)是R上的奇函数，且f (x + 2)为偶函数，所以f (x)是以4为周长的奇函数，所以f(8)+ f(9)= f(0)+ f(1)=1．11.2015年北京市丰台区高三第一学期期末练习数学理科试题第14题答案：①③④ 分析：利用新定义逐一判断 . 若函数y= f(x)的“ 似周期” 为-1 ，则f(x-1)=-f(x)= f(x+1)，即它是周期为2的周期函数，所以①正确；若f(x)=x是“似周期函数”，则存在非零常数T，对任意x R满足f(x+T)=x+T = Tf (x) = Tx，显然不可能，所以②错误；若f(x)=2-x是“似周期函数”，则存在非零常数T，对任意x R满足f(x+T)=2-(x+T)=Tf(x)=T2-x，即2-T=(1)T=T，而已知函数y = (1)x, y = x的图象有一个交点，即非零常数T存在，所以③正确；若函数f (x) = cos x是“似周期函数”，则存在非零常数T，对任意x R满足f (x +T) = cos[(x +T)] = Tf (x) = T cos x，则T = 1，此时cos(x w) = cos x，所以= k, k Z，所以④正确，综上所述，真命题的序号是①③④.12.2015年北京市丰台区高三第二学期数学统一练习理科试题(二)第11题答案：，-1分析：f(x)=1sin2x+3cos2x= 2sin2x+ 3( 2 )= 2sin2x+ 2 cos2x+ 2=sin(2x+ 3)+22所以f(x)的最小正周期为2=，f(x)的导函数f(x)=2cos(2x+) ，则f() = 2cos(2 + ) = -1.。

函数的周期性

1求f 0的值； 2证明函数f x是周期函数；
3若f x x 12 0 x 2，求x 6,8时
f x的解析式。
解：
（1）因 f(x)为奇函数，且定义域为R, 所以f(0)=0
（2）T=4
f (x) f (x) （应用奇函数）
f (2 x)
(应用关于x=1对称)
f (2 x) （再应用奇函数）
1、函数的周期T可以是正数，也可以是负数。
2、若T是函数的周期，则T的任何正整数倍也一定是函数的周期。
3、若函数的所有周期中有一个最小的正值，则称其为函数的最小正周期。
注意：今后所称周期，若无特别说明，均指函数的最小正周期。
练习： 1已知是定义在实数集上的周期函数，且
满足 f (1) 1 ，T 2 求 f (2009)
f (4 x) （再应用奇函数）
f [4 (4 x)] (再应用关
f (8 x)
于x=2对称)
T 8
f (x) f (x 2) f (x 1) -------（1）
f (x 1) f (x 3) f (x 2) -------（2）
将（2）代入（1）得
f (x) [ f (x 1) f (x 3)] f (x 1)
f (x) f (x 3) 0 f (x) f (x 3)
f (x) f (x 3) { f [(x 3) 3]} f (x 6)
T 6
因 f(x)为奇函数，且定义域为R, 所以
f(0)=0
又因周期T=3，所以f(3)=f(0)=0
由奇函数 f (T ) f ( T )
f [2 (2 x)] (再应用关
f (4 x)
于x=1对称)
(1) f (x a) f (x)

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第15课函数的周期性
◇考纲解读
掌握周期函数的定义及最小正周期的意义.
◇知识梳理
对于函数()x f ，存在非0常数T ，使得对于其定义域内总有()()x f T x f =+，则称的常数T 为函数的周期.
1.周期函数的定义：对于函数()x f ，存在非0常数T ，使得对于其定义域内总有()()x f T x f =+，则称的常数_____为函数的周期.
2.周期函数的性质：
① ()()x f T x f =+()f x ⇒的周期为_____；
②()()()x f x f a x f ⇒-=+的周期为_____；
③如()()
()x f x f a x f ⇒=+1的周期为_____； ④()()()x f x f a x f ⇒-
=+1的周期为_____； ⑤()()
()1()1f x f x a f x f x -+=⇒+的周期为_____； ⑥()()()1()1f x f x a f x f x ++=
⇒-的周期为_____； ⑦()()()f x a f x b f x +=+⇒的周期为_____；
⑧如果奇函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-()f x ⇒的周期为_____；
⑨如果偶函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-()f x ⇒的周期为_____；
◇基础训练
1.设f (x )是定义在R 上最小正周期为T 的函数，则f (2x ＋3)是（）
A.最小正周期为T 的函数
B.最小正周期为2T 的函数
C.最小正周期为2
T 的函数 D.不是周期函数 2. 设函数()f x （x R ∈）是以3为周期的奇函数，且()()11,2,f f a >=则（）
A. a >2
B. a <-2
C. a >1
D. a <-1
3.（2006山东）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 ( )
A.－1
B.0
C. 1
D.2
4．（2007深圳一模）函数f （x ）是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f （x ）在［－1，0］上是减函数，那么f （x ）在［2，3］上是( )
A.增函数
B.减函数
C.先增后减的函数
D.先减后增的函数 ◇典型例题
例1. （安徽卷）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()
12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________
例2. 已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-
①证明：(1)(4)0f f +=；
②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式
◇能力提升
1．已知定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，对2)3()2()2( -=--=+∈f x f x f R x ，当有都时，)2007(f 的值为（）
A ．2
B ．4
C ．－2
D ．－4
2.（2007安徽）定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为( )
A.0
B.1
C.3
D.5 3 .(2008珠海质检理)定义在R 上的奇函数)(x f 满足：对于任意,(3)()x R f x f x ∈+=-有，若(1)2f =，(5)f =则 ____.
4．(2008中山一模)设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则)5.2004(-f =_______.
5.（2007广州二模）已知函数)x (f 满足1(x)(1)2,(x 1)1(x)
f f f f +=+=
-，则(3)f 的值为_________, (1)(2)(3)(2007)f f f f ⋅⋅⋅⋅的值为_____________. 6.（2007北京海淀）设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在1,12上单调递增，且满足()(1)f x f x ，给出下列结论：
①(1)0f ；
②函数()f x 的周期是2；
③函数()f x 在1,02
上单调递增； ④函数(1)f x 是奇函数.
其中正确的命题的序号是 .
第15课函数的周期性
◇知识梳理
1.T ．
2.① T ；②a 2；③a 2；④2a ；⑤2a ；⑥a 4；⑦a b -；⑧a 4；⑨2a ； ◇基础训练
1. C ，
2. D ，
3. B ,
4. A .
◇典型例题
例1．解：由()()12f x f x +=得()()
14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-=
=--+。

例2．解：∵()f x 是以5为周期的周期函数，
∴(4)(45)(1)f f f =-=-，
又∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(1)(1)(4)f f f =--=-，∴(1)(4)0f f +=。

②当[1,4]x ∈时，由题意可设2
()(2) 5 (0)f x a x a =-->，
由(1)(4)0f f +=得22(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =，
∴2()2(2)5(14)f x x x =--≤≤。

◇能力提升 1.C , 2.D , 3. -2 , 4.
12, 5. 21-
3 , 6. ①②④。