探究圆锥曲线切线的教学策略
圆锥曲线中切线问题的秒杀策略
圆锥曲线中切线问题的秒杀策略圆锥曲线中的切线问题是高考压轴题的一大类型，共分下面四种题型，在高考中主要以考查重要结论为主，且重要结论的证明步骤固定，所以要求考生熟记下面的步骤，在高考中直接套用即可。
『秒杀策略』：当抛物线开口向上或开口向下时（此时抛物线可看作函数），主要利用导数解决，当抛物线开口向左或开口向右时利用解决。
椭圆利用解决。
【题型一】：过曲线上一点作曲线的切线。
『秒杀策略』：秒杀公式：熟记：①过椭圆上一点作切线，则切线方程为：。
证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设过的切线方程为：，与椭圆方程联立，利用。
熟记：②过抛物线上一点作切线，则切线方程为：。
证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设过的切线方程为：，与抛物线方程联立，利用。
若为开口向上或开口向下的抛物线，求导，代点，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程 。
〖母题〗抛物线上到直线的距离最小的点的坐标是 ( )A. B. C. D.0=D 0=D 12222=+by a x ()00,y x P 12020=+byy a x x ()00,y x P ()00x x k y y -=-0=D px y 22=()00,y x P )(00x x p y y +=()00,y x P ()00x x k y y -=-0=D 2y x =24x y -=11,24æöç÷èø()1,139,24æöç÷èø()2,4【解析】：法一：设P ，则，当时最小，选B 。
法二：设切点为，则切线方程为：，，即切点为，由点到直线的距离可求得，选B 。
法三：设P ，过P 的切线与直线平行，切点为所求的点，，，选B 。
1.(高考题)抛物线上的点到直线距离的最小值是 ( ) A. B. C. D.3 【解析】:法一：设抛物线上的点，到直线的距离为，，当时，最小值为。
探究圆锥曲线切线的教学策略
探究圆锥曲线切线的教学策略引言：圆锥曲线是数学中一个重要且具有挑战性的课题，而切线则是圆锥曲线中的一个重要概念。
探究圆锥曲线切线的教学对学生来说可能是一项不小的挑战。
如何设计一种有效的教学策略，帮助学生全面理解圆锥曲线切线的性质和应用，是本文将要探讨的内容。
一、理论知识的构建在探究圆锥曲线切线的教学中，首先需要对圆锥曲线的基本理论进行引导和讲解，包括圆锥曲线的定义、性质和方程。
椭圆、抛物线和双曲线分别是什么样的曲线，它们的基本性质是什么，如何通过方程进行描述等等。
在学生建立了基本的理论知识后，可以引入圆锥曲线上的切线概念，包括切线的定义、切线方程的推导和性质等内容。
二、概念的引导和训练一般来说，学生对于切线这一概念的理解需要一个过程。
可以通过实例引导学生认识切线的概念和性质。
可以通过具体的点和曲线的图像，引导学生观察和发现切线和曲线的关系，进而形成对切线的初步认识。
接着，可以通过大量的练习来巩固和提升学生对切线的理解。
举个例子，通过给定曲线的方程和某个点的坐标，让学生求出这个曲线上的切线方程，这种练习将有助于加深对切线的理解。
还可以通过与实际问题结合，引导学生应用切线的概念解决实际问题，来提高学生对切线的应用能力。
三、案例分析的引入在探究圆锥曲线切线的教学中，案例分析是一个非常重要的教学策略。
可以选择一些优秀的案例，让学生通过分析实际问题来理解和应用切线的概念。
可以选择一些工程或生活中的问题，如桥梁的建设、水利工程中的水流控制等，引导学生通过切线的理论知识解决具体问题。
通过案例分析，可以让学生更好地理解切线的应用，并培养学生的分析和解决问题的能力。
四、探索性学习的引导在探究圆锥曲线切线的教学中，可以采用一些探索性学习的教学策略。
可以让学生发现椭圆、抛物线和双曲线的切线性质，通过观察和实验的方式，引导学生发现切线的规律和性质。
教师可以在学生自主探索的基础上，引导学生总结切线的一般性质和公式，进一步提高学生对切线的理解和应用能力。
圆锥曲线教学的几点策略
圆锥曲线教学的几点策略圆锥曲线是高中数学中的重要内容，是代数和几何的有机结合。
在教学圆锥曲线的过程中，教师需要采取一些策略来帮助学生更好地理解和掌握这一内容。
本文将从几个方面探讨圆锥曲线教学的策略，希望能对教师进行一定的启发和帮助。
一、激发学生的兴趣在进行圆锥曲线的教学之前，教师可以通过一些生动有趣的例子或现象引起学生的兴趣。
可以通过介绍流行的曲线艺术作品，如心形曲线、双曲线等，引发学生对于圆锥曲线的好奇和探索欲望。
在教学中可以引导学生思考圆锥曲线与现实生活中的相关应用，如悬链线、抛物线的运动学应用等，从而使学生对于圆锥曲线的研究产生浓厚的兴趣。
二、结合几何和代数的教学方法圆锥曲线既有几何的性质，又有代数的表达方式，因此在教学中要注重几何和代数的有机结合。
在教学椭圆、双曲线和抛物线的时候，可以从几何的角度出发，引导学生探究曲线的形状、焦点、直径等几何特性；同时也可以从代数的角度出发，介绍曲线的方程、参数方程、极坐标方程等代数表达方式。
通过这样的教学方法，可以帮助学生全面地理解圆锥曲线的性质和表达方式。
三、举一反三的问题设计在解题过程中，可以设计一些举一反三的问题，引导学生进行探究和思考。
在教学双曲线的渐近线时，可以设计这样一个问题：如果一根铁丝被拉直后的长度是无限长，那么这根铁丝在拉直之前的形状是怎样的？通过这样的问题设计，可以引导学生从不同的角度去思考和解决问题，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
四、利用多媒体手段辅助教学在教学圆锥曲线的过程中，可以利用多媒体手段辅助教学，如使用幻灯片、演示视频、几何绘图软件等。
通过多媒体的展示，可以将抽象的曲线形状变得直观可见，帮助学生更好地理解曲线的性质和变化规律。
多媒体手段还可以提供更丰富的例题和解题技巧，从而使学生在观察和实践中更好地掌握知识。
五、引导学生进行实际探究在教学中，教师可以引导学生进行一些实际探究活动，如通过软件模拟椭圆、双曲线和抛物线的变化规律，或者通过测量实验来验证曲线的性质。
圆锥曲线切线问题教案
圆锥曲线切线问题教案一、引言圆锥曲线是数学中的重要内容之一，对于理解和掌握圆锥曲线的性质和特点至关重要。
其中，切线问题是圆锥曲线的重要应用之一，能够帮助学生更好地理解和应用这一知识点。
本教案旨在教授学生圆锥曲线切线问题的相关知识和解题方法。
二、教学目标1. 了解圆锥曲线的定义和基本性质；2. 理解切线的概念及其与圆锥曲线的关系；3. 掌握圆锥曲线切线的求解方法；4. 能够应用所学知识解决实际问题。
三、教学内容1. 圆锥曲线的定义和基本性质：（这一部分可以根据具体的圆锥曲线进行展开，如椭圆、双曲线、抛物线等）2. 切线的概念及其与圆锥曲线的关系：（可以通过几何图形和数学定义相结合的方式进行讲解）3. 圆锥曲线切线的求解方法：（可以分别介绍不同类型的圆锥曲线切线的解法，并举例说明）四、教学步骤1. 引入圆锥曲线的定义和基本性质，引起学生的兴趣。
2. 通过几何图形的展示，引出切线的概念，并与圆锥曲线进行联系。
3. 分别介绍椭圆、双曲线、抛物线上的切线求解方法，通过数学推导和实例演示的方式，让学生理解和掌握。
4. 综合练习：给出一些综合性的切线问题，让学生应用所学知识解决。
5. 巩固与拓展：给学生一些较为复杂的切线问题，让他们进行独立思考和解决，培养他们的问题解决能力。
六、教学评价1. 通过学生的课堂表现和课后作业情况，检查学生对于圆锥曲线切线问题的理解和掌握程度。
2. 针对学生的错误和不足之处进行指导和纠正，帮助他们得到更好的提升。
3. 提供错题讲解和难点解析，激发学生对于圆锥曲线切线问题的兴趣，提高学习主动性。
七、教学反思圆锥曲线切线问题是高中数学中的重要知识点，对于学生的数学思维和问题解决能力有着积极的促进作用。
在教学过程中，我采用了多种教学方法，包括图形展示、数学推导和实例演示等，以帮助学生更加深入地理解和应用所学知识。
同时，通过综合练习和拓展问题的设置，激发学生的学习兴趣和思考能力。
通过评估和反思，我将不断改进教学策略，提高教学效果。
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究圆锥曲线作为高中数学的一个重要内容，对学生的数学素养和综合能力的培养意义深远。
在教学中，如何有效地引导学生掌握圆锥曲线的基本概念和性质，从而达到掌握基础知识、提高解题能力的目的，是每一位教师需要思考的重要问题。
本文将从教学方法和解题技巧两个方面探究圆锥曲线的教学。
一、教学方法1. 引导学生全面认识圆锥曲线的基本概念和性质在教学中，需要开展引导学生全面认识圆锥曲线的基本概念和性质的活动，这一过程可以从以下几个方面展开：（1）引导学生通过实际观察所得的经验，对圆锥曲线的基本概念和性质有感性的认识，例如通过展示不同切割方式的圆锥截面，让学生发现它们的变化规律以及与直角坐标系之间的关系等，从而促进学生对圆锥曲线的基本概念的形成。
（2）通过引入代数表达方式，让学生对圆锥曲线的性质进行逐渐深入的认识，例如教师可以利用投影几何、函数方程等数学知识，引导学生理性认识圆锥曲线方程的表示形式，以及它们与圆锥截面图形之间的联系。
（3）在教学活动中，需要引导学生探讨和发现圆锥曲线的一些重要特征和性质，如焦点、离心率、来回判定、正交性等，从而帮助他们深入理解圆锥曲线的本质和规律。
2. 培养学生掌握基本解题方法的能力圆锥曲线是一种复杂的数学对象，因此在教学中，需要通过强化学生解题能力的培养，理论知识与实际应用相结合，才能够培养出学生的综合能力。
可采用以下方法：（1）结合实际问题讲解，带领学生通过例题和习题加强对知识点的熟悉以及解题技巧；（2）引导学生在解题中注重细节问题，特别是变换方程等运算过程，把握运算步骤，减少错误发生的可能性；（3）加强作文表述训练，培养学生合理的表述能力。
二、解题技巧1. 强化对基本方程的理解基本方程对学生学习圆锥曲线的概念和性质，甚至在解题时极为重要。
学生应该清楚，基本方程是用来描述每一个圆锥曲线的特征的，比如椭圆的基本方程是(x/a)^2+(y/b)^2=1；而圆的基本方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
圆锥曲线与直线相切的条件教案
圆锥曲线与直线相切的条件教案教学目的(1)掌握圆锥曲线与直线相切的条件及圆锥曲线切线的定义；(2)使学生会用初等数学方法求圆锥曲线的切线；(3)应用相切的公式解题，从而培养学生综合应用能力．教学过程一、问题提出1．有心的二次曲线包括哪些？无心的二次曲线包括哪些？(答：有心的二次曲线是圆、椭圆及双曲线；无心的二次曲线是抛物线．)(由教师启发下，让学生共同讨论．)(1)当α＞0，β＞0且α＝β时，方程表示为圆；(2)当α＞0，β＞0且α≠β时，方程表示为椭圆；(3)当α、β为异号时，方程表示为双曲线．因此，这个方程可以统一表示有心的二次曲线．3．圆锥曲线与直线的相切的条件是什么？设直线l′与圆锥曲线相交于P、Q两点(图1)，将直线l′绕点P 旋转，使点Q逐渐靠近点P，当l′转到直线l的位置时，点Q与点P重合，这时，直线l叫做圆锥曲线在点P的切线．也就是圆锥曲线与直线l相切．根据这个定义，于是圆锥曲线方程f(x，y)＝0与直线方程y＝kx＋m组成的方程组应有两个相同的实数解．实系数一元二次方程有两个相同的实数解的充要条件是判别式Δ＝0，根据条件转化为求Δ＝0．(启发学生回答，由教师归纳，然后板书课题．)今天我们要研究“圆锥曲线与直线相切的条件”．二、讲述新课根据上面分析，得由②代入①，化简、整理得(αk2＋β)x2＋2αkmβ＋α(m2－β)＝0．③当αk2＋β≠0时(二次项系数)，Δ＝4α2k2m2－4α(αk2＋β)(m2－β)＝4α2k2m2－4α2k2m2＋4α2k2β－4αβm2＋4αβ2＝4αβ(αk2＋β－m2)．(启发学生讨论．)由于α、β均不为零，因此当Δ＝0时可知有心二次曲线与直线y＝kx＋m相切的充要条件为m2＝αk2＋β，(αk2＋β≠0) ④这里αk2＋β恰是方程③的二次项系数．(引导学生对结论④，在圆、椭圆、双曲线各种情况下变化规律进行讨论，教师边归纳，边板书．)(1)对于圆x2＋y2＝γ2，可写成即有α＝β＝γ2，于是相切条件为m2＝γ2(k2＋1)．(2)对于椭圆(焦点在x轴上)即有α＝a2，β＝b2，于是相切条件为m2＝a2k2＋b2．(3)对于椭圆(焦点在y轴上)即有α＝b2，β＝a2，于是相切条件为m2＝b2k2＋a2．(4)对于双曲线(焦点在x轴上)即有α＝a2，β＝－b2，于是相切条件为m2＝a2k2－b2．(5)对于双曲线(焦点在y轴上)即有α＝－b2，β＝a2，于是相切条件为m2＝a2－b2k2．[应用有心曲线统一公式，这样就不必从圆、椭圆、双曲线一个一个地去求，可避免一个一个冗长复杂的计算，使问题的解决变得简捷．]2．无心的二次曲线y2＝2px与直线y＝kx＋m相切的条件根据上面的分析，得由②代入①，化简整理，得(kx＋m)2＝2px，k2x2＋(2mk－2p)x＋m2＝0．当二次项系数k2≠0时，Δ＝(2mk－2p)2－4k2m2＝4p2－8mkp＝4p(p－2mk)＝0．无心的二次曲线x2＝2py与直线y＝kx＋m相切的条件，应为(让学生独立完成．)三、巩固新课(让学生直接对照上述结论，设所求公切线的斜率为k，截距为m，再根据椭解设所求的公切线斜率为k，截距为m，根据相切条件有由②代入①，化简整理，得81k4＋36k2－5＝0，(9k2－1)(9k2＋5)＝0，∵9k2＋5≠0，∴9k2－1＝0，代入②，得m＝±5．因此，所求的公切线方程为即x＋3y＋15=0或x－3y＋15=0．求双曲线的两条互相垂直的切线交点的轨迹方程．(帮助学生分析解题的几个要点，然后由学生上黑板解，教师巡视指点．)y=kx＋m，则由相切条件，可知m2=a2k2－b2．(2)设两切线交点为P(x0，y0)，则切线方程为y－y0=k(x－x0)，即y=kx＋(y0－kx0)．(3)y=kx＋m，y=kx＋(y0－kx0)表示同一直线，就有m=(y0－kx0)，∴(y0－kx0)2=a2k2－b2．整理得(4)k1k2=－1，用韦达定理从方程①求得k1k2，即因此，点P的轨迹方程为x2＋y2=a2－b2．这里a＞b，点P的轨迹是一个实圆；a=b，点P的轨迹是一个点圆；a＜b，点P无轨迹(虚圆)．解略．法，不难得出轨迹方程为圆方程x2＋y2=a2＋b2；这题若改为求抛物线y2=2px的两条互相垂直的切线的交点的轨迹方程，方法也类似，不难得出轨迹方程为即点P一定在准线上．[这样改变一下题目，可让学生开拓思路，举一反三．]四、练习1．已知l为椭圆x2＋4y2=4的切线并与坐标轴交于A、B两点，求|AB|的最小值及取得最小值时切线l的方程．解如图2，设切线方程为y=kx＋m，根据相切条件有m2=4k2＋1，即①|OA|2=4k2＋1．在y=kx＋m中，令y=0，得即于是得代入m2=4k2＋1，求得因此，所求的切线共有四条(图3)，它们的方程为求四边形ABCD的最大面积．则由相切条件，知m2=a2k2＋b2，故两切线方程为即两切线间的距离∴四边形ABCD的最大面积为五、补充作业百度文库-让每个人平等地提升自我11 轨迹方程．2．求出斜率为k的圆锥曲线的切线方程．教案说明这一节课的指导思想是：根据现代教育理论，强调在教学的过程中培养能力，特别是思维能力．数学思维结构与科学结构十分相似，学习数学的过程，就是从一种思维结构过渡到另一种思维结构的过程，数学知识只是进行思维结构训练的材料．二次曲线与直线相切的条件若从上述结构进行训练，就是使学生形成完整的思维结构，使对数学的认识有新的突破．这一点已成为我在课堂教学中进行探索和研讨的课题．这节课的整个教学过程中，着重于讲解——启导——探究，培养学生的分析能力．讲解时，突出重点：“相切条件”，并以此为中心，达到举一反三、触类旁通．其中也穿插了自学讨论，而不是教师满堂灌．在练习中，注意到了再现性练习、巩固性练习，同时也留有发现性练习，使学生以新带旧，巩固新知，发展智力，反过来从思维结构上形成完整体系，以认识数学本身．。
巧用“点差法”破解圆锥曲线中点弦和切线问题
巧用 点差法 破解圆锥曲线中点弦和切线问题唐金波(深圳科学高中ꎬ广东深圳５１８１２９)摘㊀要: 点差法 是圆锥曲线中一类非常重要的方法ꎬ代点作差ꎬ模式化强ꎬ计算量少ꎬ能很好地优化解题过程.高中阶段用 点差法 来解决有关圆锥曲线上一点的切线问题易于理解ꎬ且能更好地理解数学的本质ꎬ欣赏到数学之美.关键词:点差法ꎻ中点弦ꎻ切线中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－００６０－０３收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:唐金波ꎬ男ꎬ湖南省衡阳人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事数学教学研究.㊀㊀在处理直线与圆锥曲线相交所得弦的中点和切线的相关问题时ꎬ我们经常会用到 点差法 :设弦的两个端点坐标ｘ１ꎬｙ１()和ｘ２ꎬｙ２()ꎬ代入圆锥曲线的方程后ꎬ把所得的两个方程相减ꎬ得到弦的中点坐标与弦所在直线斜率的关系ꎬ使问题得到解决.此方法巧妙地将中点坐标公式和斜率公式 珠联璧合 ꎬ设而不求ꎬ代点作差ꎬ减少了计算量ꎬ模式化强ꎬ优化了解题过程ꎬ对解决此类问题有很好的效果[１].１ 点差法 的介绍１.１中点弦问题结论１㊀设ｌ为不过原点Ｏ的直线ꎬ与椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)相交于ＡꎬＢ两点ꎬＭ为线段ＡＢ的中点ꎬ则ｋＡＢ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１(其中ｅ为椭圆的离心率).分析㊀设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬＭｘ０ꎬｙ０()ꎬ则ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１ꎬｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１.ìîíïïïï两式相减ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－ｂ２ａ２ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２＝－ｂ２ａ２ ｘ０ｙ０.所以ｋＡＢ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１.说明㊀本篇后续例题等直接引用该表达式ꎬ没有给出推导ꎬ正式解题作答时需要给出推导过程.对于双曲线和抛物线可类似推导如下结论ꎬ有兴趣的读者可以自行推导.结论２㊀设ｌ为不过原点Ｏ的直线ꎬ与双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)相交于ＡꎬＢ两点ꎬＭ为线段ＡＢ的中点ꎬ则ｋＡＢ ｋＯＭ＝ｂ２ａ２＝ｅ２－１(其中ｅ为双曲线的离心率).结论３㊀设点Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()(ｘ１ʂｘ２)是抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)上两点ꎬ则直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝２ｐｙ１＋ｙ２.１.２切线问题结论４㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>０６ｂ>０)上一个定点ꎬ过点Ｐ的切线记为ｌꎬ则ｌ:ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１且ｋｌ ｋＯＰ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１.分析㊀设Ｑ(ｘ１ꎬｙ１)为椭圆上不同于点Ｐ的任意一点ꎬ则ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＝１ꎬｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１.ìîíïïïï两式相减ꎬ得ｋＰＱ＝ｙ１－ｙ０ｘ１－ｘ０＝－ｂ２ａ２ ｘ１＋ｘ０ｙ１＋ｙ０.过点Ｐ的切线ｌ可以看作割线ＰＱ当ＱңＰ时的极限位置.①若ｙ０ʂ０ꎬ当ｘ１ңｘ０ꎬｙ１ңｙ０时ꎬｋＰＱң－ｂ２ａ２ｘ０＋ｘ０ｙ０＋ｙ０＝－ｂ２ａ２ ｘ０ｙ０.此时切线ｌ的方程为ｙ－ｙ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０(ｘ－ｘ０).化简得ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１ꎬ并且ｋｌ ｋＯＰ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１.②若ｙ０＝０ꎬ容易验证切线ｌ的方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.综上①②ꎬ可知结论成立.通过利用极限的思想结合 点差法 推导椭圆的切线方程ꎬ有助于更好地理解点差法ꎬ挖掘其本质ꎬ进一步说明点差法为什么能解决与中点弦相关的问题ꎬ对提升数学思维和数学核心素养有很大的帮助.本结论也可以通过点差法推广到双曲线和抛物线ꎬ有兴趣的读者可以自行证明.结论５㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)上一个定点ꎬ过点Ｐ的切线记为ｌꎬ则ｌ:ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１且ｋｌ ｋＯＰ＝ｂ２ａ２＝ｅ２－１.结论６㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)上一个定点ꎬ过点Ｐ的切线记为ｌꎬ则ｙ０ｙ＝ｐ(ｘ０＋ｘ)且ｋｌ＝ｐｙ０.２ 点差法 的应用２.１应用 点差法 解中点弦问题例１㊀(２０２２年新高考Ⅱ卷 １６)如图１ꎬ已知椭圆ｘ２６＋ｙ２３＝１ꎬ直线ｌ与椭圆在第一象限交于ＡꎬＢ两点ꎬ与ｘ轴ꎬｙ轴分别交于ＭꎬＮ两点ꎬ且ＭＡ＝ＮＢꎬＭＮ＝２３ꎬ则直线ｌ的方程为.解析㊀设ＡＢ的中点为Ｅꎬ因为ＭＡ＝ＮＢꎬ所以ＭＥ＝ＮＥ.图１㊀２０２２年新高考Ⅱ卷１６题图由结论１ꎬ有ｋＯＥ ｋＡＢ＝－１２.设直线ＡＢ:ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬｋ<０ꎬｍ>０ꎬ令ｘ＝０得ｙ＝ｍꎬ令ｙ＝０得ｘ＝－ｍｋ.即Ｍ－ｍｋꎬ０æèçöø÷ꎬＮ０ꎬｍ().所以Ｅ－ｍ２ｋꎬｍ２æèçöø÷.即ｋˑｍ/２－ｍ/２ｋ＝－１２.解得ｋ＝－２２或ｋ＝２２(舍去).又ＭＮ＝２３ꎬ即ＭＮ＝ｍ２＋２ｍ()２＝２３ꎬ解得ｍ＝２或ｍ＝－２(舍去).所以直线ＡＢ:ｙ＝－２２ｘ＋２ꎬ即ｘ＋２ｙ－２２＝０.评注㊀由问题中的条件ＭＡ＝ＮＢꎬ借助几何图形的特点ꎬ可自然联想到取线段ＡＢ的中点Ｅꎬ从而利用椭圆中 点差法 的结论ꎬ得到直线斜率和截距的关系式ꎬ进而解决问题.２.２应用点差法 解切线问题例２㊀(２０２２年淮北中学第一次联考 ２１)已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的右焦点为Ｆ(１ꎬ１６０)ꎬ离心率为１２.(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)若过点Ｆ的直线ｌ交Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬ线段ＡＢ的中点为Ｍꎬ分别过ＡꎬＢ作Ｃ的切线ｌ１ꎬｌ２ꎬ且ｌ１与ｌ２交于点Ｐ.证明:ＯꎬＭꎬＰ三点共线.解析㊀(１)ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎻ(２)当直线ｌ的斜率不存在时ꎬＯꎬＭꎬＰ三点共线显然成立.当直线ｌ的斜率存在设为ｋ(易知ｋʂ０)ꎬ设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ由结论１知ꎬｋ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２＝－３４ꎬ即ｋＯＭ＝－３４ｋ.由结论２知ꎬｌ１:ｘ１ｘ４＋ｙ１ｙ３＝１ꎬ①ｌ２:ｘ２ｘ４＋ｙ２ｙ３＝１.②由①②ꎬ得ｘ(ｘ１－ｘ２)４＝－ｙ(ｙ１－ｙ２)３.即ｋｏｐ＝ｙｘ＝－３(ｘ１－ｘ２)４(ｙ１－ｙ２)＝－３４ｋ.于是ｋＯＭ＝ｋｏｐꎬ因此ＯꎬＭꎬＰ三点共线.评注㊀上述有关中点弦和曲线上一点的切线问题若借助 点差法 得到直线的斜率与中点到原点的斜率的关系式ꎬ能有效减少计算量.用点差法得到的切线方程也简单易懂ꎬ给我们推导圆锥曲线上一点的切线提供了更为初等的方法ꎬ充分说明了 点差法 的威力ꎬ更能让我们欣赏到数学之美.２.３对 点差法 深入理解例３㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２－ｙ２２＝１ꎬ是否存在过点Ｍ(１ꎬ１)的直线ｌꎬ使ｌ与双曲线交于ＡꎬＢ两点ꎬ且Ｍ是线段ＡＢ的中点?若存在求出ｌ的方程ꎻ若不存在ꎬ说明理由.解析㊀当直线ｌ的斜率不存在时ꎬ显然不合题意.当直线ｌ的斜率存在设为ｋꎬ设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ则由结论２ꎬ知ｋ ｋＯＭ＝２ꎬ即ｋ＝２.于是ꎬ直线ｌ的方程为ｙ＝２ｘ－１.但若将ｙ＝２ｘ－１代入双曲线ｘ２－ｙ２２＝１ꎬ消去ｙꎬ整理ꎬ得２ｘ２－４ｘ＋３＝０ꎬ此方程没有实数解.所以满足题意的直线ｌ不存在.评注㊀解答例３的问题时ꎬ在用点差法求出直线方程后ꎬ认为已经 大功告成 ꎬ这就反应出解题过程中理性思维的缺失.此例体现了 点差法 在应用中的特殊性和局限性ꎬ有助于我们对数学更深入地理解.事实上ꎬ(１)当曲线是椭圆或者抛物线时ꎬ若中点在其内部ꎬ则满足条件的直线存在ꎻ若中点在其外部ꎬ则满足条件的直线不存在.(２)当曲线是双曲线时ꎬ若中点在其内部ꎬ则所求的直线存在ꎻ若中点在其外部ꎬ则满足的条件可能存在ꎬ也可能不存在ꎬ此时需要验证判别式.３总结反思点差法 是一种非常典型且简单易学的方法ꎬ但它仍然不是圆锥曲线中的通解通法.从上述例题的解答过程可以看出ꎬ当遇到中点弦㊁切线等条件时ꎬ我们可以尝试该法.对于联立直线与圆锥曲线方程的通法ꎬ该法过程简洁㊁计算量小ꎬ能进一步提高解题效率.对于圆锥曲线上一点的切线问题也能很好地解决ꎬ是高中阶段非常好用㊁易用㊁实用的好方法.但是该法仍然具有其局限性ꎬ我们在平时的学习过程中ꎬ要结合自身掌握知识的程度和对知识本质理解的程度ꎬ选择最优的解题方法.要学会从不同的解法中汲取不同的数学思想ꎬ加深对数学本质的理解ꎬ从而提高自身的数学核心素养.参考文献:[１]苏立标.圆锥曲线的秘密[Ｍ].杭州:浙江大学出版社ꎬ２０２１.[责任编辑:李㊀璟]２６。
圆锥曲线的切线问题
圆锥曲线的切线问题圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路 1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数y =f (x) ，利用导数法求出函数y =f (x) 在点(x0 , y) 处的切线方程，特别是焦点在y 轴上常用此法求切线；思路 2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式∆= 0 ，即可解出切线方程，注意关于x （或y）的一元二次方程的二次项系数不为 0 这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.类型一导数法求抛物线切线例1 【2017 课表1，文 20】设A，B为曲线C：y=x4（1）求直线A B的斜率；上两点，A与B的横坐标之和为 4．（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线A B平行，且A M⊥B M，求直线A B的方程．类型二椭圆的切线问题25 + = > > 例 2（2014 广东 20）（14 分）已知椭圆C : x a 2 y 2+ = 1(a > b > 0) 的一个焦点为( 5, 0) ，b 2离心率为. 3（1） 求椭圆 C 的标准方程；（2） 若动点 P (x 0 , y 0 ) 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程.类型三 直线与椭圆的一个交点例 3.【2013 年高考安徽卷】已知椭圆 C : x a 2y 2b 2 1(a b 0) 的焦距为 4 ， 且过点（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设Q (x 0 , y 0 )(x 0 y 0 ≠ 0) 为椭圆C 上一点，过点Q 作 x 轴的垂线，垂足为 E .取点 A (0,2 2) ,连接 AE ，过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点G 是点 D 关于 y 轴的对称点， 作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 【解析】（1）因为椭圆过点 P ( 2，3)∴ 2 + 3 = 1 a 2 b 2且a 2 = b 2 + c 2P ( 2，3) . 2 20 0 0 0 又0 0 ，y ∴ a 2 = 2=2=x 2 + y 2 = 8 b 4（2）c4 椭圆 C 的方程是8 4由题意，各点的坐标如上图所示，则QG 的直线方程： y - 0 =x - 8x 00 x 0 - 0化简得 x y x - (x 2- 8) y - 8y = 0x 2 + 2 y 2= 8x 2 所以 x 0 x + 2 y 0 y - 8 = 0 带入 8求得最后∆ = 0+ y 2=4 所以直线QG 与椭圆只有一个公共点. 类型四 待定系数求抛物线的切线问题例 4 【2013 年高考广东卷】已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点 F (0, c )(c > 0) 到直线l : x - y - 2 = 0 的距离为．设 P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线2 PA , PB ，其中 A , B 为切点．(1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点 P (x 0 , y 0 ) 为直线l 上的定点时，求直线 AB 的方程； (3) 当点 P 在直线l 上移动时，求 AF ⋅ BF 的最小值．1 32 8 x 10 0 0 (（3）由抛物线的定义可知 AF= y 1+ 1, BF = y 2 + 1 ，所 以 AF ⋅ BF ⎧x 2 = 4 y= ( y 1 + 1)(y 2 + 1) = y 1 + y 2 + y 1 y 2 + 1 联立⎨ ⎩ x 0 x - 2 y - 2 y 0 ，消去 x 得 y 2 + 2 y = 0- x 2 ) y + y 2 = 0 ，∴ y + y = x 2 - 2y , y y = y 2121 2x 0 - y 0 - 2 = 0∴ AF ⋅ BF = y 2 - 2y + x 2 + 1=y 2- 2y + (y + 2 )2+ 1=2 y 2+ 2 y +5=2 ⎛y + 1 ⎫29 2 ⎪ + 2 ⎝ ⎭1 9∴当 y 0 = - 2 时， AF ⋅ BF 取得最小值为 20 0。
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探究圆锥曲线切线的教学策略
圆锥曲线是数学中重要的一个概念，理解和掌握圆锥曲线的切线性质对于学生学习数
学和物理等相关学科都至关重要。
下面我将探究一些教学策略，帮助学生更好地理解和掌
握圆锥曲线切线的相关知识。
一、引入阶段
在引入圆锥曲线切线的教学中，可以通过具体的实物或生活中的例子进行引入，增加
学生的兴趣和理解。
可以利用橡皮筋或绳子拉伸成不同形状的曲线，让学生观察和感受不
同位置的切线以及切点的变化。
通过这样的引入，可以让学生对圆锥曲线切线有初步的认
识和感性认知。
二、基础知识的巩固
在引入阶段后，进行相关的基础知识的巩固，包括圆锥曲线的定义和性质。
可以通过
讲解PPT、展示相关图形和公式等方式，对学生进行详细的讲解。
通过一些具体的例题，
带领学生进行讨论和思考，帮助他们巩固和理解相关概念和性质。
三、切线的定义和性质
在学生对圆锥曲线的基础知识有了一定了解后，可以引入切线的定义和性质。
可以通
过讲解和讨论，慢慢引导学生明白什么是切线，以及切线和曲线的关系。
可以通过绘制曲
线和切线的图形，帮助学生更直观地理解切线的定义和性质。
四、切线的求解
在学生理解了切线的定义和性质后，可以引入切线的求解问题。
可以通过具体的例题，引导学生步骤性地求解切线的问题。
可以通过绘制曲线和切线的示意图，让学生找出切线
与曲线的交点，进而求解切线的方程。
通过具体的例子，帮助学生掌握切线的求解方法和
技巧。
五、综合应用
在学生掌握了切线的求解方法后，可以引入一些综合应用的问题，帮助学生将所学知
识应用到实际问题中。
可以引导学生探究圆锥曲线在物理中的应用，如弧线的弹性势能和
牛顿第二定律等。
通过这样的应用，可以增加学生对圆锥曲线切线的深层次理解和应用能力。
六、拓展思考
在学习的最后阶段，可以进行一些拓展思考的活动，引导学生进行创新和思维的发散。
可以让学生思考圆锥曲线切线的其他应用，或是进行相关的实验和探究。
通过这样的拓展
活动，可以培养学生的创新精神和综合应用能力。