群的七个等价定义及证明
群论群的等价表示(最全版)PTT文档
(x) R(x)(x)，标量场
3. 标量函数的变换算符PR
定义 P R， P R(x )(x )
PR是一个算符，把变换前的标量函数ψ变成新的标量函数ψ'
则 P R( x ) ( x ) ( x ) ( R 1 x )
（定义）（标量场）（x=R-1x'）
因为自变量要取遍定义域上所有的值，符号上用x'或x都一样
被用动标观 量点函：数注系ψ(统：x)和不ψ动特'(，x)描坐征写标变系标换转前动是后标类量场的的分函布 数，同类中的元素表示矩阵的特征标相 等，这样，只需从每类元素中选出一个元素，检验它们在两 等价表示无实质上的区别（只是表现形式不同）
若群G所有元素R在两个表示D(G)和D(G)中表示矩阵存在同一相似变换关系，即
正则表示空间：即是群代数
基：表示空间中基的选择不唯一
当一组基做线性组合时 X
PR的矩阵形式做相似变换
P R D ( R ) ， P R D (R )
X
P R D ， P R D ( R )
PR PR X
D X
PR D(R) XD (R)
X
3）ψ 与 PRψ=ψ' 是两种不同的函数形式 上式给出了这两个函数值上的联系
PR作用在ψ上变成新的函数ψ'
再做S变换时，PS作用在ψ'上，即
P S [ P R ( x ) P S ] ( x ) ( S 1 x ) P R ( S 1 x ) ( R 1 S 1 x )
而不是
据 P ( ： x ) ( R x ) ( x ) D ( R ) 如：在给定的不变函数空间中，线性变换群PG作用在ψμ(x)上，R 得到 一个线性表示 ，这个线性函数空间就是表 示空间
群小结
小结一、概念：半群、群、左(右)单位元、左(右)逆元、单位元、逆元、交换群、加群、变换群、置换群、循环群、群同态、群同构、子群、子群的陪集、不变子群、商群、群与元的阶、循环置换、指数。
二、性质定理：1、群的等价条件，设),( G 是半群，则下列命题等价：(1) 方程b ya b ax ==,有解；(2) 有单位元、逆元；(3) 有左单位元、左逆元；(4) 有右单位元、右逆元；(5) (有限)消去律成立。
2、群的单位元、逆元是唯一的。
3、G 是群，G 与G 1同态，则G 1也是群。
4、变换构成的群只含一一变换。
5、任一个群都与一个变换群同构。
6、对称群n S 的阶为n ！。
7、每个置换可表为不相连的循环置换的乘积。
8、所有的偶置换构成群。
9、循环置换),,(1r k k 的阶为r 。
10、循环置换),,(),,(111k k k k r r =-。
11、不相交的循环置换的乘积可交换。
12、每个有限群都与一个置换群同构。
13、每个循环群都与),(+n Z 或),(+Z 同构。
⇒：n G a G ==||),(，则r a 是G 的生成元n a r =⇔||；若n b =||，则d n b r /||=，其中),(r n d =。
14、m G =||，则G 是循环群的充要条件是G 有m 阶元。
15、子群的判别条件：16、子群的子群还是子群。
17、设G H ≤，则下列命题成立：10、Ha a ∈20、Hb Ha Hb a H ab Hb Ha Hb Ha ⊆⇔∈⇔∈⇔≠⇔=-1φ特别地，H He H a H Ha =∈⇔=;。
30、在Ha 与H 之间存在一个双射。
18、子群的左、右陪集的个数相等。
19、拉格朗日定理。
20、群中每个元的阶整除群的阶。
21、阶是素数的群一定是循环群。
22、设N 是G 的子群，则下列命题等价：10、),(G a Na aN G N ∈∀= ；20、N n G a N ana∈∈∀∈-,,1； 30、G a N aNa∈∀⊆-,1； 40、G a N aNa ∈∀=-,1；23、不变子群的所有陪集构成群。
群的七个等价定义及证明
群的七个等价定义及证明群是数学抽象概念的典型之一，在代数数论、几何学、拓扑学等领域有着广泛的应用。
把群的定义、相关的概念全面而深入地理解以及熟练掌握群的性质，对于理解和研究其他抽象数学概念和结构有着重要的作用。
定义一个群的时候，我们会规定它的元素、运算。
但给定一个群G，还可以用七种不同的定义来确定它是否是一个群，而这七种定义就是群的七等价定义，它们之间彼此等价，即只要一个非空集合满足其中的任何一种定义，就是一个群。
这七种定义包括：（1）结合律：对于任意的a、b、c∈G，有a（bc）＝（ab）c （2）可逆性：G中存在一个单位元e，它满足ae = ea = a，对于任意的a∈G，G中存在一个元素a^(-1)，使得aa^(-1) = a^(-1)a = e（3）封闭性：对于任意a、b∈G，有ab∈G（4）分配律：对于任意的a、b、c∈G，有（ab）c = a（bc）（5）单位元：G中存在一个单位元e，它满足ae = ea = a，其中a∈G（6）可消性：对于任意的a、b∈G，如果ab = e，则a = b = e （7）交换律：对于任意的a、b∈G，有ab = ba现在我们来证明这七等价定义。
首先，由定义（1）中的结合律可知有ab∈G，所以定义（3）封闭性得证。
其次，由定义（3）封闭性可知a、b∈G，有ab∈G。
由定义（2）可知存在a^(-1)∈G，使得aa^(-1) = a^(-1)a = e，从而aba^(-1) = ae = a，即b = aa^(-1) = a^(-1)，所以定义（2）可逆性得证。
同理，由定义（3）封闭性可知有ab、c∈G，由定义（4）可知（ab）c = a（bc），所以定义（4）分配律得证。
根据定义（1）、（2）、（3），群G中存在一个单位元e，它满足ae = ea = a，所以定义（5）单位元得证。
此外，由定义（5）单位元可知存在单位元e∈G，使得ae = ea = a，若ab = e，有a = ae = ab，所以a = b，即ab = e时，必有a = b = e，所以定义（6）可消性得证。
近世代数课件-2-2_群的定义
2020/4/27
五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G 构成有限群的条件 : (1)存在G上的一个代数运算•; (2)运算 • 适合结合律; (3)运算 • 适合消去律.
2020/4/27五. 来自限群的特殊性2020/4/27
六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
本节教学目的与要求： 记住群的定义，掌握群的基本性质和有限群的特殊性质，并
能熟练判定一个给定的代数系是否是群.
一. 群的定义及常见的群 二. 群的4个等价定义 三. 一些特殊群的例子 四. 群的消去率性质 五. 有限群的特殊性 六. 特殊的群—Klein（克莱因）四元群
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一. 群的定义及常见的群
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
群是具有一种代数运算的代数系，它是近世代数 中一个比较古老，而且内容丰富的重要分支，在数学、 物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有广泛 应用。
从本节开始，学习群的有关性质。
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2.2 群的定义
注：
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一.群的定义及常见的群
2020/4/27
一.群的定义及常见的群
注：
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二. 群的四个等价定义
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三. 几个特殊群的例子
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四. 群的消去率性质
注：
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五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G构成有限群的条件: 1存在G上的一个代数运算o;
2020/4/27
六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
群的几种等价定义
收 稿 日期 ：２０１０一Ｏ１—１８ 作 者 简介 ：贾 正 华 （１９６３一），男 ，安 徽 含 山县 人 。巢 湖 学 院 教 学 系 副教 授 ，研 究 方 向 ：代 数 学 。
代数学引论(聂灵沼_丁石孙版)第一章习题解答
第一章代数基本概念1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群.证明:对任意a,b∈G,由结合律我们可得到(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b再由已知条件以及消去律得到ba=ab,由此可见群G为交换群.2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群.证明: [方法1]对任意a,b∈G,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab因此G为交换群.[方法2]对任意a,b∈G,a2b2=e=(ab)2,由上一题的结论可知G为交换群.3.设G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件:(1)a(bc)=(ab)c;(2)由ab=ac推出a=c;(3)由ac=bc推出a=b;证明G在该乘法下成一群.证明:[方法1]设G={a1,a2,…,a n},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若i≠j(I,j=1,2,…,n),有a k a i≠a k a j------------<1>a i a k≠a j a k------------<2>再由乘法的封闭性可知G={a1,a2,…,a n}={a k a1, a k a2,…, a k a n}------------<3>G={a1,a2,…,a n}={a1a k, a2a k,…, a n a k}------------<4>由<1>和<3>知对任意a t∈G, 存在a m∈G,使得a k a m=a t.由<2>和<4>知对任意a t∈G, 存在a s∈G,使得a s a k=a t.由下一题的结论可知G在该乘法下成一群.下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。
[方法2]为了证明G在给定的乘法运算下成一群，只要证明G内存在幺元(单位元)，并且证明G内每一个元素都可逆即可.为了叙述方便可设G={a1,a2,…,a n}.(Ⅰ) 证明G内存在幺元.<1> 存在a t∈G，使得a1a t=a1.(这一点的证明并不难，这里不给证明);<2> 证明a1a t= a t a1;因为a1(a t a1)a t=(a1a t) (a1a t)=(a1)2a1(a1a t)a t=(a1a1)a t=a1(a1a t)= (a1)2,故此a1(a t a1)a t= a1(a1a t)a t.由条件(1),(2)可得到a1a t= a t a1.<3> 证明a t就是G的幺元;对任意a k∈G,a1(a t a k) =(a1a t)a k=a1a k由条件(2)可知a t a k=a k.类似可证a k a t=a k.因此a t就是G的幺元.(Ⅱ) 证明G内任意元素都可逆；上面我们已经证明G内存在幺元，可以记幺元为e，为了方便可用a,b,c,…等符号记G内元素.下面证明任意a∈G，存在b∈G，使得ab=ba=e.<1> 对任意a∈G，存在b∈G，使得ab=e;(这一点很容易证明这里略过.)<2> 证明ba=ab=e;因为a(ab)b=aeb=ab=ea(ba)b=(ab)(ab)=ee=e再由条件(2),(3)知ba=ab.因此G内任意元素都可逆.由(Ⅰ),(Ⅱ)及条件(1)可知G在该乘法下成一群.4.设G是非空集合并在G内定义一个乘法ab.证明:如果乘法满足结合律,并且对于任一对元素a,b∈G,下列方程ax=b和ya=b分别在G内恒有解，则G在该乘法下成一群.证明：取一元a∈G,因xa=a在G内有解, 记一个解为e a ,下面证明e a为G内的左幺元. 对任意b∈G, ax=b在G内有解, 记一个解为c,那么有ac=b ,所以e a b= e a(ac)= (e a a)c=ac=b,因此e a为G内的左幺元.再者对任意d∈G, xd=e a在G内有解,即G内任意元素对e a存在左逆元, 又因乘法满足结合律,故此G在该乘法下成一群.[总结]群有几种等价的定义:(1)幺半群的每一个元素都可逆，则称该半群为群.(2)设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且G内包含幺元, G内任意元素都有逆元,则称G为该运算下的群.(3)设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且G内包含左幺元, G内任意元素对左幺元都有左逆元,则称G为该运算下的群.(4)设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且对于任一对元素a,b∈G,下列方程ax=b和ya=b分别在G内恒有解，则称G为该运算下的群.值得注意的是如果一个有限半群满足左右消去律, 则该半群一定是群.5.在S3中找出两个元素x,y,适合(xy)2≠x2y2.[思路] 在一个群G中，x,y∈G, xy=yx ⇔(xy)2=x2y2(这一点很容易证明).因此只要找到S3中两个不可交换的元素即可. 我们应该在相交的轮换中间考虑找到这样的元素.解: 取x=(123213), y=(123132)那么(xy)2=(123312)≠(123123)= x2y2.[注意]我们可以通过mathematica软件编写S n的群表,输出程序如下:Pr[a_,b_,n_]:=(*两个置换的乘积*)(Table[a[[b[[i]]]],{I,1,n}]);Se[n_]:=(*{1,2,…,n}的所有可能的排列做成一个表格*)(Permutations[Table[i,{I,1,n}]]);Stable[n_]:=(*生成S n群表*)(a=Se[n];Table[pr[a[[i]],a[[j]],n],{I,1,n},{j,1,n}])当n=3时群表如下：[说明]：[132]表示置换(123132), 剩下的类似.为了让更清楚，我们分别用e,a,b,c,d,f表示[123], [132],[213], [231], [312], [321]那么群表如下:6.对于n>2,作一阶为2n的非交换群.7.设G是一群, a,b∈G,如果a-1ba=b r,其中r为一正整数,证明a-i ba i=b r i.证明：我们采用数学归纳法证明.当k=1时, a-1ba=b r=b r1, 结论成立；假设当k=n时结论成立, 即a-n ba n=b r n成立, 下面证明当k=n+1时结论也成立.我们注意到= b kr,a-1b k a=(a−1ba)(a−1ba)…(a−1ba)⏟k个因此a-(n+1)ba n+1= a-1 (a-n ba n)a=a-1b r n a=b r n r=b r n+1,可见k=n+1时结论也成立.由归纳原理可知结论得证.8.证明:群G为一交换群当且仅当映射x↦x−1是一同构映射.证明:(Ⅰ)首先证明当群G为一个交换群时映射x↦x−1是一同构映射.由逆元的唯一性及(x−1)−1=x可知映射x↦x−1为一一对应，又因为(xy)-1=y-1x-1,并且群G为一个交换群,可得y-1x-1=x−1y−1.因此有(x y)-1=x−1y−1.综上可知群G为一个交换群时映射x↦x−1是一同构映射.(Ⅱ)接着证明当映射x↦x−1是一同构映射,则群G为一个交换群.若映射x↦x−1是一同构映射,则对任意x,y∈G有(x y)-1=x−1y−1,另一方面，由逆元的性质可知(y x)-1=x−1y−1.因此对任意x,y∈G有xy=yx,即映射x↦x−1是一同构映射,则群G为一个交换群.9.设S为群G的一个非空子集合，在G中定义一个关系a～b当且仅当ab-1∈S.证明这是一个等价关系的充分必要条件为S是一个子群.证明:首先证明若～是等价关系，则S是G的一个子群.对任意a∈G,有a～a,故此aa-1=e∈S；对任意a,b∈S,由(ab)b-1=a∈S,可知ab～b，又be-1=b∈S,故b～e,由传递性可知ab～e，即(ab)e-1=ab∈S.再者因ae-1=a∈S, 故a～e,由对称性可知e～a，即ea-1=a-1∈S.可见S是G的一个子群.接着证明当S是G的一个子群,下面证明～是一个等价关系.对任意a∈G, 有aa-1=e∈S，故此a～a(自反性);若a～b，则ab-1∈S,因为S为G的子群，故(ab-1)-1=ba-1 ∈S,因此b～a(对称性);若a～b，b～c,那么ab-1∈S,bc-1∈S,故ab-1 bc-1=ac-1∈S，因此a～c(传递性).综上可知～是一个等价关系.10.设n为一个正整数, nZ为正整数加群Z的一个子群，证明nZ与Z同构.证明:我们容易证明x↦nx为Z到nZ的同构映射,故此nZ与Z同构.11.证明:在S4中，子集合B={e,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)}是子群，证明B与U4不同构.证明:可记a=(1 2)(3 4), b=(1 3)(2 4), c=(1 4)(2 3)，那么置换的乘积表格如下：B为S4的子群. 这个群(以及与其同构的群)称为Klein(C.L.Klein,1849-1925)四元群.假设B与U4同构,并设f为B到U4的同构映射, 则存在B中一元x使得f(x)=i(i为虚数单位),那么f(x2)= f2(x)=i2=-1另一方面, f(x2)=f(e)=1(注意x2=e),产生矛盾.所以假设不成立, 即B与U4不同构.[讨论] B与U4都是4元交换群，但是后者是循环群, 前者不是, 这是这两个群的本质区别.12.证明:如果在一阶为2n的群中有一n阶子群，它一定是正规子群.证明:[方法1]设H是2n阶群G的n阶子群, 那么对任意a∉H, 有H∩aH=∅,并且aH⊂G,H⊂G,又注意到aH和H中都有n个元素, 故此H∪aH=G.同理可证对任意a∉H, 有H∩Ha=∅, H∪Ha=G，因此对任意a∉H，有aH=Ha.对任意a∈H, 显然aH⊂H, Ha⊂H又因aH,Ha及H中都有n个元素，故aH=Ha=H.综上可知对任意a∈G,有aH=Ha，因此H是G的正规子群.[方法2]设H是2n阶群G的n阶子群,那么任取a∈H, h∈H, 显然有aha-1∈H.对给定的x∉H, 有H∩xH=∅, H∪xH=G.这是因为若假设y∈H∩xH, 则存在h∈H，使得y=xh,即x=yh-1∈H产生矛盾,因此H∩xH=∅;另一方面, xH⊂G,H⊂G, 又注意到xH和H中都有n个元素, 故此H∪xH=G.那么任取a∉H,由上面的分析可知a∈xH, 从而可令a=xh1这里h1∈H.假设存在h∈H, 使得aha-1∉H,则必有aha-1∈xH,从而可令aha-1=xh2这里h2∈H.那么xh1ha-1=xh2,即a= h2h1h∈H,产生矛盾.因此，任取a∉H, h∈H, 有aha-1∈H.综上可知对任取a∈G, h∈H, 有aha-1∈H,因此H为G的一个正规子群.13.设群G的阶为一偶数,证明G中必有一元素a≠e适合a2=e.证明:设b∈G，且阶数大于2，那么b≠b-1,而b-1的阶数与b的阶数相等.换句话说G中阶数大于2的元素成对出现，幺元e的阶数为1，注意到G的阶数为宜偶数，故此必存在一个2阶元，(切确的说阶数为2的元素有奇数个).[讨论][1] 设G是一2n阶交换群，n为奇数则G中只有一个2阶元.为什么？提示：采用反证法，并注意用Lagrange定理.[2] 群G中，任取a∈G，有a n=e，那么G一定是有限群吗？如果不是请举出反例，若是有限群，阶数和n有什么关系？14.令A=(0110), B=(e2πin00e−2πi n)证明:集合{B,B2,…,B n,AB,AB2,…,AB n}在矩阵的乘法下构成一群, 而这个群与群D n同构. 证明:下面证明G={B,B2,…,B n,AB,AB2,…,AB n}在矩阵的乘法下构成一群.(Ⅰ)首先证明对乘法运算封闭. 下面进行分类讨论：(1)B i∙B j=B i+j,注意到B n=(10)故此01B i∙B j=B r∈G这里i+j=kn+r,k∈Z,0<r≤n.(2) A B i∙B j=B r∈G这里i+j=kn+r,k∈Z,0<r≤n.(3)容易证明BAB=A=AB n,BA=B i AB(s+1)n=AB n-t∈G,这里i=sn+t,k∈Z,0<t≤n.那么B i∙(AB j)=( B i∙A)B j=(AB n-t) ∙B j∈G(4)(AB i)∙(AB j)=A(B i AB j)=A((AB n-t) ∙B j)=A2(B n-t ∙B j)= B n-t ∙B j) ∈G由(1),(2),(3),(4)知G对乘法运算封闭.(Ⅱ)因集合G对矩阵乘法封闭，再由矩阵乘法的性质可知，结合律肯定成立.(Ⅲ)显然B n=A2=E为幺元.(Ⅳ)对B i(i=1,2,…,n),有B i B n-i=E;对AB i(i=1,2,…,n),有(AB i)(B n-i A)=E,因此G内任何一元都可逆.由(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)，(Ⅳ)可知G在矩阵乘法下构成一群.最后证明G与D n同构.令f:G→D nf(B i)=T i, f(AB i)=ST i(i=1,2,…,n)，可以证明f就是G到D n的同构映射，这里不予证明了.15.设i是一个正整数, 群G中任意元素a,b都适合(ab)k=a k b k, k=I,i+1,i+2,证明G为交换群. 证明:对任意a,b∈Ga i+2b i+2=(ab)i+2=(ab) (ab)i+1=(ab) (a i+1b i+1)=a(ba i+1)b i+1,根据消去律可得a i+1b=ba i+1.----------------------(1)同时a i+1b i+1=(ab)i+1=(ab) (ab)i=(ab) (a i b i)=a(ba i)b i+1,根据消去律可得a i b=ba i.---------------------------(2)因此a i+1b=a(a i b)=a(ba i)=(ab)a i----(3)另外ba i+1=(ba)a i----------------------(4)结合(1),(3),(4)有(ab)a i=(ba)a i---------------------(5)由消去律可得到ab=ba.因此G为交换群.16.在群SL2(Q)中，证明元素a=(0−110)的阶为4，元素b=(01−1−1)的阶为3，而ab为无限阶元素.证明：可以直接验证a的阶为4，b的阶为3.因为ab=(1101)，对任何正整数n，(ab)n=(1n01)≠(1001)可见ab的阶为无限.[注意] 在一群中，有限阶元素的乘积并不一定也是有限阶的，但两个可交换的有限阶元素的乘积一定是有限阶元素.[问题] 若一群中所有元素的阶数都有限，那么这个群一定是有限群吗？17.如果G为一个交换群，证明G中全体有限阶元素组成一个子群.证明:交换群G中全体有限阶元素组成的集合记为S，任取a，b∈S，并设a的阶为m，b的阶为n，则(ab)mn=(a m)n(b n)m=e因此ab为有限阶元素，即ab∈S.a-1的阶数与a相同，故此a-1也是有限阶元素，即a-1∈S.综上可知S为G的一个子群.18.如果G只有有限多个子群，证明G为有限群.证明:采用反证法证明.假设G为无限群，则G中元素只可能有两种情况：(1)G中任意元素的阶数都有限、(2)G中存在一个无限阶元素.(1)首先看第一种情况：G中取a1≠e，并设其阶数为n1，则循环群G1={a1,a12,… ,a1n1}为G的一个子群；G中取a2∉G1，并设其阶数为n2，则循环群G2={a2,a22,… ,a2n2}为G的一个子群；G中取a3∉G1∪G2，并设其阶数为n3，则循环群G3={a3,a32,… ,a3n3}为G的一个子群；… … …我们一直这样做下去，可以得到G的互不相同的子群构成的序列G n(n=1,2,…)，所以G有无穷多个子群，产生矛盾；(2)再看第二种情况:设a∈G的阶数为无穷，那么序列G1=<a2>，G2=<a4>，…，G n=<a2n>，…是G的互不相同的子群，所以G有无穷多个子群，产生矛盾.综上就可知“G是无限群”这个假设不成立，因此G是有限群.19.写出D n的所有正规子群.20.设H，K为群G的子群，HK为G的一子群当且仅当HK=KH.证明：(Ⅰ)设HK=KH，下面证明HK为G的一子群.任取a,b∈HK,可令a=h1k1，b=h2k2这里h i∈H，k i∈K，i=1,2.那么ab=(h1k1)(h2k2)=h1(k1h2)k2 ---------------(1)因HK=KH，故此k1h2= h3k3 ----------------------(2)这里h3∈H，k3∈K.由(1),(2)知ab= h1(h3k3)k2=(h1h3)(k3k2)∈HK. ------------(3)另外，a-1= (h1k1)-1= k1−1h1−1∈KH=HK. ----------------- (4)由(3),(4)知HK是G的子群.(Ⅱ) HK为G的一子群,下面证明HK=KH.若a∈HK,易知a-1∈KH. HK是子群,任取a∈HK，有a-1∈HK,因此(a-1)-1=a∈KH，那么有HK ⊂KH.若a∈KH,易知a-1∈HK. HK是子群,任取a∈KH，有a-1∈HK,因此(a-1)-1=a∈HK，那么有KH ⊂HK.综上知，HK=KH.21.设H，K为有限群G的子群，证明|HK|=|H|∙|K| |H∩K|.证明：因H∩K为H的子群，那么可设H的左陪集分解式为H=h1(H∩K)∪h2(H∩K)∪…∪h r(H∩K)这里r为H∩K在H中的指数，h i∈H，当i≠j，h i-1h j∉H∩K(事实上等价于h i-1h j∉K),i, j=1,2,…,r.又(H∩K)K=K,所以HK=h1K∪h2K∪…∪h r K.------------(1)注意到h i-1h j∉K，所以当i≠j(i, j=1,2,…,r)时，h i K∩h j K=∅.----------------(2)由(1),(2)我们得到|HK|=r|K|=|H|∙|K| |H∩K|.[总结]左陪集的相关结论设H为G的一子群，那么(1)a∈aH;(2)a∈H⇔aH=H;(3)b∈aH⇔aH=bH;(4)aH=bH⇔a-1b∈H;(5)aH∩bH≠∅，有aH=bH.22.设M,N是群G的正规子群.证明：(i)MN=NM;(ii)MN是G的一个正规子群；(iii)如果M∩N={e}，那么MN/N与M同构.证明：(i)[方法1]任取a∈MN,可设a=mn(m∈M，n∈N).因为M为G的正规子群，故n-1mn∈M. 所以a=n(n-1mn) ∈NM，故此MN⊆NM.同样的方法可以证明NM⊆MN. 因此MN=NM.[方法2]任取a，b∈MN，可设a=m1n1(m1∈M，n1∈N)，b=m2n2(m2∈M，n2∈N).下面只要证明MN为G 的一个子群即可(由第20题可知)，也就是说只要证明ab-1∈MN即可.因为ab-1=m1n1n2-1m2-1= [m1(n1n2-1m2-1n2n1-1)](n1n2-1)，而M为G的正规子群，故n1n2-1m2-1n2n1-1∈M，所以ab-1∈MN.(ii) 由(i)可知MN为G的一个子群.任取a∈MN, 可设a=mn(m∈M，n∈N).因为M和N为G的正规子群，对任意g∈G，有g-1ag= g-1mng= (g-1mg)(g-1ng) ∈MN.所以MN为G的正规子群.(iii) 易知N为MN的正规子群，因此MN/N是一个群. 因为M∩N={e}，对任何m i≠m j∈M, 有m i N≠m j N[注].作一个MN/N到M的映射f[注]，f: MN/N→MmN↦m，那么该映射显然是一一对应，另外f(m i N⋅m j N)= f(m i m j N)= m i m j，因此f为MN/N到M的同构映射，即MN/N与M同构.[讨论]1. 只要M和N的一个是正规子群，那么MN就是子群，或者说成立MN=NM.这一点我们从(i)的证明方法2可知.2. M和N中有一个不是正规子群时MN一定不是正规子群.[注意]1．M∩N={e}，对任何m i≠m j∈M, 有m i N≠m j N.证明：若存在m i≠m j∈M, 有m i N=m j N，那么m i m j-1∈N，而m i m j-1∈M. 因此m i m j-1∈M∩N，产生矛盾.2. 设f: MN/N→MmN↦m，则由于对任何m i≠m j∈M, 有m i N≠m j N，故此f为MN/N到M的一个映射.23.设G是一个群，S是G的一非空子集合.令C(S)={x∈G|xa=ax,对一切a∈S}N(S)= {x∈G|x-1Sx=S}.证明：(i) C(S),N(S)都是G的子群;(ii) C(S)是N(S)的正规子群.证明：(i) 首先证明C(S)是G的子群.任取x，y∈C(S)，那么对任意a∈S有xa=ax，ya=ay. 那么一方面，(xy)a=x(ya)=x(ay)=(xa)y=(ax)y=a(xy)，所以xy∈C(S).另一方面，xa=ax⇒a=x-1ax⇒ax-1=x-1a所以x-1∈C(S).因此，C(S)是G的子群.接着证明N(S)都是G的子群.任取x，y∈N(S)，则x-1Sx=S，y-1Sy=S. 那么一方面，(xy)-1S(xy)=x-1(y-1Sy)x=x-1Sx=S所以xy∈N(S).另一方面，x-1Sx=S⇒S=xSx-1所以x-1∈N(S).因此，N(S)是G的子群.(ii) 任取x∈C(S)，a∈S，则xa=ax，即a=x-1ax，亦即S= x-1Sx. 因此x∈N(S)，即C(S)⊂N(S).任取x∈C(S)，y∈N(S)，a∈S，则存在a y∈S使得yay-1=a y，因此a=y-1a y y.那么(y-1xy)a(y-1xy)-1=y1[x(yay-1)x-1]y= y1(xa y x-1)y= y-1a y y=a，即(y-1xy)a=a(y-1xy).所以y-1xy∈C(S)，因此C(S)是N(S)的正规子群.24.证明任意2阶群都与乘法群{1，-1}同构.证明：略.25.试定出所有互不相同的4阶群.解：我们分类讨论:(1)存在四阶元；(2)不存在四阶元.(1)若存在一个四阶元，并设a为一个四阶元，那么该四阶群为<a>.(2)若不存在四阶元，那么除了单位元e的阶为1，其余元素的阶只能是2，即设四阶群G={e，a，b，c}，那么a2=b2=c2=e，ab=ba=c，ac=ca=b，bc=cb=a. 群表如下：综上可知，四阶群群在同构意义下只有两种或者是四阶循环群或者是Klein四阶群.26.设p为素数.证明任意两个p阶群必同构.证明：易知当p为素数时，p阶群必存在一个p阶元，即p阶群必是p阶循环群，故两个p阶群必同构.27.Z为整数环，在集合S=Z×Z上定义(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),(a,b)∙(c,d)=(ac+bd,ad+bc).证明S在这两个运算下成为幺环.提示：(1,0)为该环的单位元素.证明：略.28.在整数集上重新定义加法“⊕”与乘法“⊙”为a⊕b=ab, a⊙b=a+b试问Z在这两个运算下是否构成一环.答：不构成环.29.设L为交换幺环，在L中定义：a⊕b=a+b-1,a⊙b=a+b-ab.这里e为单位元素，证明在新定义的运算下，L仍称为交换幺环，并且与原来的环同构.证明：(i)证明L在运算⊕下构成交换群：由⊕的定义，得到(a⊕b)⊕c=(a+b-1) ⊕c=a+b-1+c-1=a+b+c-2a⊕(b⊕c)= a⊕(b+c-1)= a+b+c-1-1=a+b+c-2这里2=1+1，所以(a⊕b)⊕c= a⊕(b⊕c).----------------(1)同时由⊕的定义还可以得到a⊕1= 1⊕a=a，------------------------(2)a⊕(2-a)=(2-a) ⊕a=1，---------------(3)a⊕b=b⊕a，----------------------------(4)由(1),(2),(3)(4)可知L在运算⊕下构成交换群.(ii)证明L中运算⊙满足结合律和交换律：容易证明这里略过.(iii)证明乘法⊙对加法⊕满足分配律：因为a ⊙(b ⊕c)= a ⊙(b+c-1)=a+(b+c-1)-a(b+c-1)=2a+b+c-ab-ac-1，(a ⊙b)⊕(a ⊙c)=(a+b-1) ⊕(a+c-1)= (a+b-ab)+(a+c-ac)-1=2a+b+c-ab-ac-1，所以a ⊙(b ⊕c)= (a ⊙b)⊕(a ⊙c).由于⊕和⊙满足交换律，故此(b ⊕c) ⊙a= (b ⊙a)⊕(c ⊙a).因此新定义的乘法⊙对新定义的加法⊕满足分配律(iv) 设0为环(L ，+，∙)的零元，则0⊙a=a ⊙0=a由(i)，(ii)，(iii)，(iv)可得到(L ，⊕，⊙)为交换幺环.(v) 最后证明(L ，+，∙)与(L ，⊕，⊙)同构：设f: L→Lx ↦1-x ，容易证明f 为(L ，+，∙)到(L ，⊕，⊙)的同构映射.30. 给出环L 与它的一个子环的例子，它们具有下列性质:(i) L 具有单位元素，但S 无单位元素；(ii) L 没有单位元素，但S 有单位元素；(iii) L, S 都有单位元素，但互不相同；(iv) L 不交换，但S 交换.解：(i) L=Z ，S=2Z ；(ii) L={(a b 00)|a,b ∈R}，S={(a 000)|a ∈R}； (iii) L={(a00b )|a,b ∈R}，S={(a 000)|a ∈R}； (iv) L={(a 0b 0)|a,b ∈R}，S={(a 000)|a ∈R}； 31. 环L 中元素e L 称为一个左单位元，如果对所有的a ∈L ，e L a= a ；元素e R 称为右单位元，如果对所有的a ∈L ，ae R =a.证明：(i)如果L 既有左单位元又有右单位元，则L 具有单位元素； (ii)如果L 有左单位元，L 无零因子，则L 具有单位元素； (iii)如果L 有左单位元，但没有右单位元，则L 至少有两个左单位元素.证明：(i) 设e L 为一个左单位元，e R 为右单位元，则e L e R =e R =e L .记e=e R =e L ，则对所有的a ∈L ，ea=ae=a ， 因此e 为单位元素；(ii) 设e L 为一个左单位元，则对所有的a(≠0)∈L ，a(e L a)=a 2；另一方面，a(e L a)=(ae L )a.所以a 2=(ae L )a.因为L 无零因子，所以满足消去律[注]，故此a= ae L .另外，若a=0，则a= ae L =e L a. 因此左单位元e L 正好是单位元.(iii) 设e L 为一个左单位元，因为L 中无右单位元，故存在x ∈L ，使得xe L ≠x，即xe L -x≠0,则e L + xe L -x≠e L ，但是对所有的a ∈L ，(e L + xe L -x)a=a,因此e L + xe L -x 为另一个左单位元，所以L 至少有两个左单位元素.[注意] L 无零因子，则满足消去律(参考教材46页).32. 设F 为一域.证明F 无非平凡双边理想.证明：设I 为F 的任意一个理想，且I≠{0}，则对任意a(≠0)∈I ，则a -1∈F,于是a -1a=1∈I.从而F 中任意元素f ，有f ∙1=f ∈I ，故I=F ，即F 只有平凡双边理想.[讨论] 事实上，一个体(又称除环)无非平凡双边理想. 另一方面，若L 是阶数大于1的(交换)幺环，并且除了平凡理想，没有左或右理想，则L 是一体(域).33. 如果L 是交换环，a ∈L ，(i) 证明La={ra|r ∈L}是双边理想；(ii) 举例说明，如果L 非交换，则La 不一定是双边理想.证明：(i) 容易验证La 为L 的一个加法群. 任取ra ∈La ，l ∈L ，则l(ra)=(lr)a ∈La ，(ra)l=r(al)=r(la)=(rl)a ∈La故La 为L 的一个双边理想.(ii) 设L=M 2(R)，那么L 显然不是交换环，取h=(1010)，下面考察Lh 是否为L 的理想： 取k=(1200)，容易验证h ∈Lh ，hk ∉ Lh ，因此Lh 不是L 的一个理想.34. 设I 是交换环L 的一个理想，令rad I ={r ∈L|r n ∈I 对某一正整数n}，证明rad I 也是一个理想.radI 叫做理想I 的根.35. 设L 为交换幺环，并且阶数大于1，如果L 没有非平凡的理想，则L 是一个域.证明：只要证明非零元素均可逆即可.任取a ∈L ，那么La 和aL 是L 的理想，且La ≠{0}，aL ≠{0}，因L 无平凡的理想，故此La=aL=L ，因此ax=1和ya=1都有解，因而a 为可逆元.36. Q 是有理数域，M n (Q)为n 阶有理系数全体矩阵环.证明无非平凡的理想(这种环称为单环).证明：我们社K 为M n (Q)的非零理想，下面证明K=M n (Q).为了证明这一点，只要证明n 阶单位矩阵E ∈K.记E ij 为除了第i 行第j 列元素为1，其余元素全为0的矩阵.那么E ij E st ={E it ，j =s 0， j ≠s而E=E11+E22+…+E nn.我们只要证明E ii∈K(i=1,2,…,n)就有E∈K.设A∈K，且A≠0，又令A=(a ij)n×n,假设a kj≠0，则有E ik AE ji=a kj E ii(i=1,2,…,n).由于a kj≠0，故存在逆元a kj-1.设B= a kj-1E ii,则BE ik AE ji= a kj-1E ii E ik AE ji= a kj-1E ik AE ji=E ik E kj E ji=E ii.因为K为理想，A∈K，所以E ii=BE ik AE ji∈K，证毕.37.设L为一环，a为L中一非零元素.如果有一非零元素b使aba=0，证明a是一个左零因子或一右零因子.证明：若ab=0，则a为左零因子；若ab≠0，则aba=(ab)a=0，故ab为右零因子.38.环中元素x称为一幂零元素，如果有一正整数n使x n=0，设a为幺环中的一幂零元素，证明1-a可逆.证明：设a n=0，那么(1+a+a2+…+a n-1)(1-a)=(1-a) (1+a+a2+…+a n-1)=1-a n=1因此1-a可逆.39.证明：在交换环中，全体幂零元素的集合是一理想.40.设L为有限幺环.证明由xy=1可得yx=1.证明：当L只有一个元素，即L={0}，亦即0=1[注]，此时显然有xy=1=xy；当L有多于一个元素时(即0≠1时)，若xy=1，y不是左零元[注],因此yL=L.又因L为有限环，所以存在z∈L，使得yz=1.注意到(xy)z=z，x(yz)=x，所以x=z，即yx=1.[注意]1.幺环多于一个元素当且仅当0≠1.2．当L有多于一个元素时(即0≠1时)，若xy=1，y不是左零元.因为若存在z≠0使得yz=0，则z=(xy)z=x(yz)=0,产生矛盾.41.在幺环中，如果对元素a有b使ab=1但ba≠1，则有无穷多个元素x，适合ax=1. (Kaplansky定理)证明：首先，若ab=1但ba≠1，则a至少有两个右逆元[注].现在假设a只有n(>1)个右逆元，并设这些元素为x i(i=1,2,…,n).那么a(1-x i a+x1)=1(i=1,2,…,n),又当i≠j时，1-x i a+x1≠1-x j a+x1[注]，这里i，j=1,2,…,n.于是{x i|i=1,2,…,n}={1-x i a+x1| i=1,2,…,n }，故存在x k∈{x i|i=1,2,…,n}使得x1=1-x k a+x1,即x k a=1.因为n>1，我们取x t≠x k∈{x i|i=1,2,…,n}，那么(x k a)x t=x t，(x k a)x t =x k(ax t)=x k因此x t=x k，产生矛盾，所以假设不成立，即a有无穷多个右逆元.[注意]1. 若ab=1但ba≠1，则a至少有两个右逆元. 因为易验证1-ba+a就是另一个右逆元.2. 假设当i≠j时，1-x i a+x1=1-x j a+x1，则x i a=x j a，故x i ax1=x j ax1,因此x i=x j，产生矛盾.42.设L是一个至少有两个元素的环. 如果对于每个非零元素a∈L都有唯一的元素b使得aba=a.证明：(i) L无零因子；(ii) bab=b;(iii) L有单位元素；(iv) L是一个体.证明：(i) 先证明L无左零因子，假设a为L的一个左零因子，那么a≠0，且存在c≠0，使得ac=0，于是cac=0. 因a≠0，则存在唯一b使得aba=a.但a(b+c)a=a,b+c≠b产生矛盾，所以L无左零因子.类似可证L无右零因子.(ii) 因aba=a，所以abab=ab. 由(i)的结论知L无零因子，因此满足消去律，而a≠0，故bab=b. (iii) 我们任一选取a(≠0)∈L，再设aba=a(这里b是唯一的)，首先证明ab=ba.因为a(a2b-a+b)a=a，所以a2b-a+b=b，即a2b=a=aba，由消去律得到ab=ba.任取c∈L，则ac=abac，故此c=(ba)c=(ab)c；另一方面，ca=caba，故此c=c(ab).综上得到c=(ab)c=c(ab),所以ab就是单位元素，我们记ab=ba=1.(iv) 由(iii)可知任意a(≠0)∈L，ab=ba=1，即任意非零元素都可逆，因此L成为一个体.43.令C[0,1]为全体定义在闭区间[0,1]上的连续函数组成的环.证明：(i) 对于的任一非平凡的理想I，一定有个实数θ，0≤θ≤1，使得f(θ)=0对所有的f(x)∈I；(ii) 是一零因子当且仅当点集{x∈[0,1]|f(x)=0} 包含一个开区间.证明：(i) 证明思路：设I为非零的非平凡理想，假设对任意x∈[0,1]，存在f(x)∈I使得f(x)≠0，想法构造一个g ∈I可逆.(ii) 提示：用连续函数的局部保号性.44.令F=Z/pZ为p个元素的域.求(i) 环M n(F)的元素的个数；(ii) 群GL n(F)的元素的个数.45.设K是一体，a，b∈K，a，b不等于0，且ab≠1.证明华罗庚恒等式：a-(a-1+(b-1-a)-1)-1=aba.证明：因为a-(a-1+(b-1-a)-1)-1=aba⇔1-(a-1+(b-1-a)-1)-1a-1=ab⇔(aa-1+a(b-1-a)-1)-1=1-ab⇔(1+a(b-1-a)-1)-1=1-ab⇔(1+((ab)-1-1)-1)-1=1-ab，为了方便记x=ab，那么1-x，x，x-1-1都可逆，只要证明(1+(x-1-1)-1)-1=1-x即可，或者证明1+(x-1-1)-1=(1-x)-1即可.因为1+(x-1-1)-1=1+(x-1-x-1x)-1=1+(1-x)-1x=(1-x)-1(1-x) +(1-x)-1x=(1-x)-1,所以结论成立，即a-(a-1+(b-1-a)-1)-1=aba.。
群的七个等价定义及证明
使 aa −1 = e, a −1a ' = e
(a −1a)e = (a −1a )(a−1a' ) = a−1(aa −1)a' = a −1(ea' ) = a −1a ' = e = e ⋅ e 由定义 4 的 V 有 a−1a = e 所以 a−1 是 a 的左逆元
III ∀a ∈ G ae = a(a −1a) = (aa −1 )a = ea = a e 是 G 的右单位元
集宁师专学报 JOURNAL OF JINING TEACHERS COLLEGE 2004，26(4) 0次
参考文献(1条) 1.张禾瑞 近世代数基础 1978
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1.学位论文 梁常建 格值正则语言及其截集性质研究 2007
自动机性质的研究是自动机理论的中的一个重要课题。文献[6,7,8]在广泛的代数系统一格半群的意义下给出了一个新的自动机模型，即格值有限自动机 ，在格半群上研究了自动机及其接受的语言的性质，给出了格值自动机比模糊自动机和经典自动机具有更强的计算能力。因此，对格值自动机及其接受语言 的性质的研究就显得更为重要。
III ∀a ∈ G ae = a(a −1a) = (aa −1 )a = ea = a e 是 G 中单位元
定 义 7 ⇒ 定 义 1 显然成立
参考文献 [1] 张禾瑞 近世代数基础[M] 北京高等教育出版社 1978
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以上 s 从 2 取遍 l 即可得 第 2 个直至第 l 个 K m,n 的各项顶点标号可以验证 形 lK m,n 的 K 优美标号
定 义 5 群 G 是一个非空集合 具有一个叫乘法的代数运算 且满足 I II 同上 III 右
群的等价定义及其证明
群的等价定义及其证明1 引言群是具有一种代数运算的代数系，是代数结构中重要的一种．群的系统研究起源于19世纪初Galois 研究多项式方程根式解的问题．这是数学史中一块众所周知的里程碑．随后人们在理解了Galois 的思想之后，于19世纪中叶给出了抽象群的概念，开始以公理化的方式研究群．群论是近世代数的重要内容，近世代数又在近代物理、近代化学、计算机科学、数字通信、系统工程等许多领域都有重要应用，因而群论是现代科学技术的数学基础之一．时至今日，群论的发展已日趋完善，在各个学科领域得到广泛的应用．为了便于学习、掌握群的知识和全面、深刻理解群的概念，以下给出了群的近十种定义，并通过证明，阐明群的各个定义间的等价关系．2 预备知识代数系[]1(23)P - 设A 、B 是两个非空集合，映射σ:A B C ⨯→称为A B ⨯到C 的一个代数运算．称(),,A B C σ⨯是一个代数系，特别地，当B C =时，称σ是A 左乘B 的代数运算，当A C=时，称σ为B 右乘A 的代数运算，当A B C ==时，称σ为A 的一个二元运算，此时代数系统记作()σ,A 或简记作A ．半群[]1(5)P 设() ,A 是一个代数系统，定义A 的一个二元运算“ ”，我们称它为乘法运算，如果“ ”满足结合律，则称() ,A 是一个半群．幺半群[]1(7)P () ,A 是半群，如果有e G ∈，恒有a ae ea ==，则称e 是A 的单位元，又称幺元，() ,A 就称为幺半群．为简便其间，在以下群的定义当中所定义的二元运算，即乘法运算“ ”不再书写．3 群的定义定义 1[]1(24)P 若幺半群() ,G 中每个元都有逆元，则称() ,G 是一个群．定义 2 设G 是半群，G 中存在左幺元素e （即对a G ∈，均有ea a =），并且G 中每个元素a均有左逆元素1-a ( 即1a a e -=)， 则称G 是一个群．定义 3[]2(33)P 一个非空集合G ，对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的;Ⅱ．结合律成立: ()bc a =()c ab 对于的G 任意三个元a 、b 、c 都对;Ⅲ．G 里至少存在一个左单位元e ，能让ea a =，对于G 的任何元a 成立;Ⅳ．对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个左逆元a1-，能让1a a e -=． 定义 4[]3(21)P 设G 是半群，对于任意元素a 、b ∈G ，方程ax =b 和xa =b 在G 都可解，则称G 为群．定义 5[]2(31)P 一个不空集合G 对于一个叫乘法的代数运算作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的 ;Ⅱ．结合律: ()bc a =()c ab 对于G 的任意三个元素a 、b 、c 都对;Ⅲ．对于G 的任意两个元a 、b 来说ax =b 和ya =b 都在G 里有解．定义 6[]2(35)P G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算，称G 是一个群，假如满足:Ⅰ．封闭性: ∀a 、b ∈G ，∃c G ∈，使ab =c ;Ⅱ．结合律: ∀a 、b 、c G ∈， ()bc a =()c ab ;Ⅲ．右单位元: ∃e G ∈，∀a ∈G ，a ea =;Ⅳ．右逆元: ∀a ∈G ， ∃1-a ∈G ，e a a =-1．定义 7[]3(21)P 一个不空集合G 对于一个叫乘法的代数运算作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的;Ⅱ．结合律成立: ()bc a =()c ab 对于G 的任意三个元a 、b 、c 都对;Ⅲ．G 里至少存在一个单位元e ，使a ea ae ==，对于G 的任何元a 成立;Ⅳ．对于G 的每一个元a ， G 里至少存在一个逆元1-a ，使 a a 1-=a 1-a =e ．定义 8 设一个非空集合G ，对于一个叫做乘法的代数运算，称G 是一个群，假如满足:Ⅰ．封闭性: a ∀、b G ∈，ab ∈G ;Ⅱ．结合律: a ∀、b 、c G ∈，()bc a =()cab 成立; Ⅲ．存在右单位元，即对∀a ∈G ae =a ;Ⅳ．存在左逆元，即对a ∀∈G ∈∃-1a G 使得e a a =-1;Ⅴ．左商不变性: 对a ∀、b ∈G ， 都有11--=bb aa．4 群的等价证明(为了简便只对定义间的不同条件做等价证明)定义1⇒定义2 由定义1可知G 中有单位元e ，对∈∀a G 使得a ae ea ==，且每个元都有逆元．显然，G 中存在左幺元e 使a ae =．并且G 中每个元素均有左逆元1-a ，使得1a a e -=．定义2⇒定义3 显然成立．定义3⇒定义4 从定义3的条件可知G 中存在左单位元e ，并且对a ∀、b G ∈，G 中1a -∃、1b -使得1a a e -=，1b b e -=，ea a =，由封闭性1ba G -∈，显然1ba a b -=，即xa b =在G 中有解，再由ax b =，可得11a ax a b --=．显然易得1ex x a b -==，且有1a b G -∈，因而ax b =在G 中也有解．定义4⇒定义5 显然成立．定义5⇒定义6 由定义5可知，在G 里对a G ∀∈ ，ax a =有解，设x e G =∈即ae a =．对b G ∀∈， ya b =在G 里有解，则be yae ya b ===，所以e 为右单位元．且有ax e =在G 中有解，设1x a -= 即1aae -=．由a 的任意性可得，对于G 里的每个元a ，在G 里至少存在一个右逆元1a -，使1aa e -=．定义6⇒定义7 由定义6可知，G 里面存在右单位元e ，对于a G ∀∈，都有右逆元即1ae a aa e -==，．设元1a -的右逆元为11a -，即111a a e --=，又111111a ea a a e ----=，可得1111a aa a e ---=，得1a a e -=．显然1a -同为a 的左逆元，又由于1ae aa a ea a -===，e 同时为左单位元，所以G 里面至少存在一个单位元e ，能让ae ea a ==．同样G 里面至少存在一个逆元1a-能使11aa a a e --==，其中a G ∀∈．定义7⇒定义8 由定义7可知，在G 里存在右单位元e ，使得a G ∀∈，ae a = ，存在逆元，即对于a G ∀∈，1a G -∃∈使得11a a aa e --==．显然G 的每一个元a 存在左逆元1a G -∈，使得1a a e -=．且对a b G ∀∈，，即11a b G --∃∈，，使得11aa bb --=．定义8⇒定义1 设G 为一个非空集合，根据定义8可知，G 中存在右单位元e ，使得对a G ∀∈，都有ae a =．且每个元都有左逆元．则有1e G -∈，使得11e e e e --==．且可知1ee ee e -==．对1a G -∈使得1a a e -=，11aa ee e --==．由a 的任意性可知，G 里每个元素都有右逆元．又由1ae aa a a -==，可得ea a =，即e 同时为左单位元．显然(),G 为幺半群，且每个元都有逆元．5 有限群定义[]2(3840)P -设 G 是一个有限非空集合，对于一个叫做乘法的代数运算， 称G 是一个群，假如满足: Ⅰ．封闭性: a b G ∀∈、，bc G ∈;Ⅱ．结合律: a ∀、b 、c ∈ G ，()bc a =()c ab 成立;Ⅲ．左消去律: 对∀x 、y 、z ∈G ，若zy zx =，则y x =，右消去律: 对∀x 、y 、z ∈G ，若yz xz =，则y x =．证明 （此处用定义１的各个条件证明G 是一个群）集合G 是代数运算封闭且满足结合律．则首先是个半群．因G 为限集，不妨设G n =，对于a G ∀∈，设'121{,,,,}n n G a a a a+=⋅⋅⋅，显然'G 中元素的个数有1n +个．又有'G G ⊂，所以'G 中至少有两个元素相等．在此不妨,(11)i ja a j i n =≤≤≤+．再设G 存在元素1e ，使得1j j a e a =，那么i j a a =等价于1j i j j a a a e -=，由左消去律得1i j a e G -=∈，显然同样有1j i j j i j e a a a a a -===，有i j a a =得1i j i j j aa a aa ---=，由右消去律可得i j a a a -=，即1e a a =，易知1ae a =．对∀b G ∈，同理有2e G ∈，使得22e b be b ==．由等式1212ae be e ae b =，变形整理得12ae b ae b =，由消去律可得12e e =．不妨设12e e e ==，由,a b 的任意性，可知对c G ∀∈，有ec ce c ==，即G 存在单位元e ．由以上可知对于a G ∀∈，显然有m a e =，(m 为整数)．令11m aa --=，则11a a aa e --==，所以G 里每个元素都有逆元．6 群与对称性以及几种特殊群6.1 对称和群的关系这里所讲的对称概括的说是：若考虑的对象A 是一个带有若干关系的集合M （数学中的对象大致都具有这种形式）时，我们就把所有保持这些关系不变的，集合M 的一一变换的全体所购成的群看作是这个对A 的对称，即为集合M 的对称群[]4(11)P ． 在此补充以下几个定义．1) 置换：一个有限集合的一一变换叫作一个置换[]()250P ．2) 置换群：一个有限集合的若干个置换作成的群叫做一个置换群[]()250P ．3) n 次对称群:若一包含n 个元的集合的全体置换作成的群叫作n 次对称群，这个群通常用n S 来表示[]()250P ．下面通过一个例子阐述对称群的意义和实质．我们把以数域F 中的数作系数的n 元多项式的全体记作[]12,,,n F x x x ⋅⋅⋅(或简记作[]F x )，每一n 元多项式可以唯一地表示为不同类单项式的有限线性和:()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅1212nn a x x x ααααα=⋅⋅⋅∑．其中()12,,,n αααα=⋅⋅⋅，{}0i Z α+∈而a F α∈．令{}12,,n M x x x =⋅⋅⋅，则M 的n 次对称群n S 中的元素就是{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅的一个置换，略去字母x 的下标，这时一一变换可记作1212n n i i i σ⋅⋅⋅⎛⎫= ⎪⋅⋅⋅⎝⎭, 其中()12,,,n i i i ⋅⋅⋅是1,2,n ⋅⋅⋅的一个排列，而()j j i σ=．利用变换群n S 中的元素∑去定义集合[]F x 到[]F x 的一个映射． [][]:F x F x σφ→,()()1212,,,,,n n i i i f x x x f x x x ⋅⋅⋅→⋅⋅⋅,其中()12,,n i i i f x x x ⋅⋅⋅是在多项式()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅中将1x 换成1i x ，2x 换成2i x ，⋅⋅⋅后所得到的多项式，显然σφ是集合[]F x 的一个变换．令{}|n n T S σφσ=∈，n T 是[]F x 的一些(n !个)变换组成的集合．定义“ ”为变换之间的乘法运算．证明代数系(),n T 为[]F x 的置换群．证明 任取,n S σθ∈，令12121212,n n n n i i i i i i j j j σθ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭. 则有σθφφ：()()()121212,,,,,,,,n n n i i i j j j f x x x f x x x f x x x →→, σθφ： ()()1212,,,,,n n j j j f x x x f x x x →. 显然有θσθφσφφ=即运算满足封闭性．对,,n S σθϕ∀∈，则有对应的,,n T σθϕφφφ∈，可得等式：()σθϕσθϕσθϕφφφφφφ==，()σθϕσθϕσθϕφφφφφφ==， 所以()()σθϕσθϕφφφφφφ= 即运算满足结合律．对单位元n I S ∈，则有I n T φ∈ 显然有I Iσσφφωφφ== I I σσσφφφφ==． 令()11σσφφ--=，显然()n T ∈-1σφ， 可得:()()111I σσσσσσφφφφφφ---===． 显然由σφ的任意性可知n T 中每个元都有逆元．进而可知()n T 为[]F x 的置换群．令()12,,,n f x x x 是一个n 元多项式，令(){}|f n S T f f σσφφ=∈=，同理可证(),f S 满足群的各个条件，即f S 为群．则称()f S 为n 元多项式()12,,n f x x x 的对称群[]()289P -.6.2 几种特殊群 例1 设()n SL Q 是有理数域Q 上所有其行列式为1的n 阶矩阵的全体，()n SL Q 关于矩阵的乘法“”作成的代数系()(),n SL Q 为一个群，称之为特殊线性群[]()252P .证明 任取三个元(),,n A B C SL Q ∈，则考虑AB 其行列式的值:||||||1AB A B =⨯=，所以()n AB SL Q ∈，运算满足封闭．由矩阵的运算性质显然有:()()AB C A BC =既满足结合律．又有单位矩阵I ，||1I =即()n I SL Q ∈，显然I 为()n SL Q 里的单位元．再有()n SL Q 里每个矩阵的行列式的值为1，显然每个元都可逆，设1A -为A 的逆矩阵，则1AA I -=．由此可得11||||||1AA A A --=⨯=，易得1||1A -=，即()1n A SL Q -∈．由A 的任意性可知()n SL Q 中每个元都有逆元．所以()(),n SL Q 是一个群．例 2 设n Z 为对于模n 的剩余类，定义n Z 中的加法运算“⊕”．即对任n Z 中意元素[][](),01i j i j n ≤≤≤- [][][]i j i j ⊕=+．则()n Z ⊕构成群，称之为剩余类加群[]1(4951)P -．证明 由剩余类的性质，显然易知“⊕”满足封闭性，结合律．同样不难证明[]0为n Z 的单位元．对[]n i Z ∀∈，易得[]n i -为其逆元．很显然()n Z ⊕是一个群．例 3 假如A 是一个平面的所有的点作成的集合，那么平面绕一个定点的所有旋转组成的集合G ，用θτ表示旋转θ角的旋转．定义运算“”:1212θθθθτττ+=，则(),G 是一个群，也称为平面运动群[]2(48)P ．证明 1212G θθθθτττ+=∈封闭，结合律显然成立，单位元0e G τ=∈，再有对G θτ∈，其逆元，显1G θθττ--=∈然G 是一个群．例 4 若p 为素数，p N 表示关于模p 所有余数构成的集合，即小于p 的非负整数集合．定义pN中的运算“p ⋅”．对任意,p a b N ∈ 则 ()p b a b a p mod ⋅=⋅ 即代数系统{}p p N ⋅-,0是群，并称为模p 乘群，或模p 剩余乘群[]3(23)P .证明 任取{},,0P a b c N ∈-，(){}0mod -∈⋅=⋅p p N p b a b a 运算满足封闭性． 同样不难得知，运算满足结合律．很显然{}10p N ∈-，不难验证1为{}0p N -中的单位元．验证{}0p N -中元素有逆元，任取{}0p a N ∈-，则0a p <<，(),1a p =．因此有整数,c d 使得1c a d p ⋅+⋅=，从而得(),1c p =．当记mod p c c p =时，显然有1p c p ≤<，这表明{}0p p c N ∈-，进而可得等式：()()()1mod mod mod =⋅+⋅=⋅=⋅=⋅p p d a c p a c p a c a c p p p()()()1mod mod mod =⋅+⋅=⋅=⋅=⋅p p d a c p c a p c a c a p p p所以p c 是关于p ⋅的逆元．由a 的任意性可知{}0p N -中元素有逆元．所以说{}p p N ⋅-,0是群．参考文献：[1] 华中师范大学数学系《抽象代数》编写组.抽象代数[M].华中师范大学出版社.2000[2] 张禾瑞.近世代数基础[M].高等教育出版社.1978[3] 王兵山，李舟军.抽象代数[M].国防科技大学出版社.2001[4] 刘绍学.近世代数基础[M].高等教育出版社.1999[5] 吴品三.近世代数[M].北京：人民教育出版社.1979[6] 谢邦杰.抽象代数学[M].上海：上海科学技术出版社.1982[7] 姚慕生.抽象代数学[M].上海：复旦大学出版社.1998[8] N Jacobson.Basic Algebra [M]. W H Freeman and Company .1985。
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群的七个等价定义及证明
首先，让我们来回顾一下什么是群的定义。
群是一类数学中的抽象概念，是一组具有特定结构的元素。
群的基本元素必须满足特殊的性质，即群必须满足结合律、可逆性、存在单位元以及存在可逆元。
这里，我们将介绍群的七个等价定义及证明。
首先，群的第一个等价定义是正交定义。
正交定义的依据是，对于任意的元素a、b、c，如果a、b、c满足a*b=b*a，那么a*b*c=a*(b*c)。
可以这样证明：由于a*b=b*a，因此a*b*c=a*b*c=a*(b*c)=b*(a*c)，从而证明了正交定义。
其次，群的第二个等价定义是可逆性定义。
其中，满足以下关系的元素都被认为是可逆元：存在一个元素e，使得对于任意的元素a，有a*e=e*a。
可以这样证明：由于存在元素e，使得a*e=e*a，从而有a*(e*e)=(a*e)*e=e*(a*e)=e*(e*a)=(e*e)*a。
也就是说，e的正负号的存在是可逆性的必要条件。
第三个等价定义是存在单位元定义。
存在单位元的定义指的是，存在一个叫做单位元的元素，使得对于任意的元素a，有a*e=e*a=a。
可以这样证明：由于存在一个元素e，使得a*e=e*a=a，从而有
a*(e*e)=(a*e)*e=e*(a*e)=e*(e*a)=(e*e)*a=e=a。
也就是说，单位元的存在是存在单位元的必要条件。
第四个等价定义是结合律定义。
结合律定义的依据是，对于任意的元素a、b、c，如果a*(b*c)=(a*b)*c，那么就满足结合律。
可以这样证明：由于a*(b*c)=(a*b)*c，因此
a*((b*c)*c)=(a*(b*c))*c=(a*b)*(c*c)=(a*b)*c=a*(b*c)，从而证
明了结合律。
第五个等价定义是交换定义。
交换定义指，对于任意的元素a、b，如果满足a*b=b*a，那么就满足交换性质。
可以这样证明：由于
a*b=b*a，因此a*(b*b)=(a*b)*b=b*(a*b)=b*(b*a)=(b*b)*a=b*a=a*b，从而证明了交换定义。
第六个等价定义是幂定义。
幂定义指的是，对于任意的元素a，可以找到一个元素a^n，使得a^n=a*a*…*a，其中n为正整数。
可以这样证明：由于a^n=a*a*…*a，因此a^(n-1)*a=a*a*…*a*a=a^n，
从而证明了幂定义。
最后，群的第七个等价定义是可逆元定义。
可逆元定义要求，对于任意的元素a，存在一个元素a^-1，使得a*a^-1=a^-1*a=e，其中
e为单位元。
可以这样证明：由于a*a^-1=a^-1*a=e，因此
a*(a^-1*a)=(a*a^-1)*a=e*a=a，从而证明了可逆元定义。
总之，群的七个等价定义和证明包括正交定义、可逆性定义、存在单位元定义、结合律定义、交换定义、幂定义和可逆元定义。
每种定义都能够提供关于群的解释及证明，从而使我们更加清楚地认识群。