研究生应用数理统计参数估计
数理统计中的参数估计与置信区间估计
数理统计中的参数估计与置信区间估计数理统计是概率论、数学统计和实证研究的基础，它研究的是通过观测和实验来获取数据，从而对总体的特征进行推断和估计的方法和理论。
在数理统计中，参数估计和置信区间估计是两个重要的概念和方法，用于对总体参数进行推断和估计。
一、参数估计参数估计是指通过样本数据对总体参数进行估计的方法。
总体参数是指总体的某个特征或指标，如均值、方差等。
参数估计可以分为点估计和区间估计两种方法。
1. 点估计点估计是指使用样本数据来估计总体参数的一个具体值，这个估计值被称为点估计量。
常用的点估计量有样本均值、样本方差等。
点估计的目标是使得估计值尽量接近真实的总体参数，即具有无偏性和有效性。
无偏性是指估计值的期望等于真实参数，有效性是指估计值的方差最小。
无偏性是一个重要的性质，它保证了估计值在大样本下趋近于真实值。
有效性则是在无偏估计的前提下，使估计值的方差最小，从而提高估计的准确性。
2. 区间估计区间估计是指通过样本数据得到总体参数的一个范围，这个范围被称为置信区间。
置信区间表示了总体参数的估计精度和可信程度。
在构造置信区间时，需要指定置信水平，常用的置信水平有95%和99%等。
置信水平为95%表示在大量重复抽样中，有95%的置信区间会包含真实的总体参数。
构造置信区间的方法有很多，如正态分布的置信区间、t分布的置信区间等。
不同的方法适用于不同的总体分布和样本信息。
在实际应用中，要根据具体的问题和数据的特点选择合适的置信区间方法。
二、数理统计中的应用参数估计和置信区间估计在数理统计中有广泛的应用，可以用于推断和估计各种领域的问题。
1. 总体均值的估计当我们要估计总体的均值时，可以使用点估计和区间估计的方法。
点估计是通过样本均值来估计总体均值，区间估计则是给出总体均值的一个范围。
2. 总体比例的估计当我们要估计总体的比例时，例如某种特征在总体中出现的比例，也可以使用点估计和区间估计的方法。
点估计是通过样本比例来估计总体比例，区间估计则是给出总体比例的一个范围。
应用数理统计—参数估计
0
2
由矩法, 令
X 1 2
从中解得 ˆ 2X 1, 即为 的矩估计.
1 X
例2 设X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本，
求总体均值 与方差 2的矩估计
解： 令
X
2
1 n
n
(Xi
i 1
X )2
得 与方差 2的矩估计为
ˆ X
ˆ 2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
如果要估计的是标准差，则由
称其为基于样本(x1*,,xn*)的似然函数
这名称的意义，可根据上述分析得到理解：似
然函数对不同的(1,...,k)的取值，反映了在观察结 果(x1,...,xn)已知的条件下，(1,...,k)的各种值的“似
然程度”．
注意这里把：把观察值x1,...,xn看成结果而参数
值(1,...,k)看成是导致这结果的原因．现已有了结
固定样本观测值(x1,,xn)，将上式作为1 ,,k的函
数，得到似然函数
n
L(1, ,k ; x1, , xn ) f (xi;1, ,k ) i 1
(2) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化为求ln L( )的最大值点) ;
----- 的最大值点为 ln L( )的驻点, 不可导点, 边
数为P(X=x)=f(x; ) , x, { 可以是向量}，
则 X 的 m 阶原点矩为
m xm f (x; ) x
X的 m 阶中心矩为
vm (x 1)m f (x; ) x
总体矩的计算方法
设总体X为连续型随机变量，其概率密
度为f(x; ) { 可以是向量}，则X的m阶原点
矩为
m
xm f (x; )dx
研究生应用数理统计参数估计
为来自总体的样本，
n
试求：(1)的极大似然估计；
（2）P{X 2}的极大似然估计。
极大似然估计的优点： 利用了总体的分布函数所提供的信息； 不要求总体原点矩的存在（柯西分布） 极大似然估计的缺点： 求解似然方程困难
四、用顺序统计量估计参数
无论X服从何种分布，都可以样本中位数X作为总体均值 E(X)的估计量，以样本极差R作为总体标准差 DX的估计量。 这种估计比较粗超。
研究生应用数理统 计参数估计
一、参数估计的概念
定义：已知母体的分布，估计某个或几个未 知数字特征（参数）的问题，称为参数估 计。
二、参数估计的分类
分为点估计和区间估计；
点估计就是根据样本，估计参数为某个数 值；
区间估计就是根据样本，估计参数在一定 范围内，即一个区间；
总体分布类型已知的统计问题，称为参数 型统计问题；
定理 设X1, X 2, , X n是来自总体X ~ N (, 2 )的样本，X 是
样本中位数，则对任意x,有
lim
n
P
2n（2 X
）
x
1
2
x t2
e 2 dt
§2点估计的优良性
一、无偏性
定义1 设 ( X1, , X n )是参数的估计量。 若E ,则称是的无偏估计量；
若E ,则称(E )是估计量的偏差；
例2.1.1 设总体服从泊松分布P()，
试求的矩估计量.
解1 因为E(X)=,所以的矩估计量为X .
解2 因为D(X)=,所以的矩估计量也为
1 n
X
i
2
X .
例2.1.1 设总体服从泊松分布P()，
试求的矩估计量.
解1 因为E(X)=,所以的矩估计量为X .
应用数理统计——参数估计
这就是矩法估计的理论依据。
三、正态总体参数的区间估计 前面讨论了未知参数的点估计问题，它是用估计
量 θ 的值作为未知参数θ的估计。然而不管θ 是一 个怎样优良的估计量，它也只是一定程度的精确， 至于如何反映精确度，参数的点估计并没有回答。 由于θ 是一随机变量，需说明用θ 去估计θ的精度， 也就是要说明在一定概率意义下， 与θ的误差有 θ 多大。即确定具有特定概率意义的区间，使它以 相当大的概率包含未知参数的真值，以表明总体 参数真值所处的范围。
α
α
α
2
− uα
σ
n } = 1−α ) = 1−α
2
2
2
uα
2
σ
n
< µ < X + uα 2 < µ < x − uα 2
于是P{x − uα 2
σ
n
σ
n
例6：见教材82页例1。
(2)总体方差σ 2未知时，正态总体均值µ的区间估计
X −µ 因为若X服从N ( µ , σ )，则T = 服从t (n − 1) S n
2 2
小结：学习了
1、点估计法——矩法 2、评价估计量优劣的标准——无偏性、有效性 和一致性 3、正态总体的区间估计——均数和方差的区间估计 作业：教材98页第4题。 教材99页第10、13题。 教材100页第17、18题。
3、正态总体方差σ 的区间估计
2
因为若X服从N ( µ , σ 2 )，则χ 2 = 由附表4知P{χ12−α 2 < (n − 1) S 2
(n − 1) S 2
σ2
服从χ 2 (n − 1)
σ2
2 < χα 2 } = 1 − α
数理统计——参数估计
ˆ θ j = θ j (a1,⋯, ak ),
其中
1 n xj aj = ∑ i n i=1
j = 1,⋯, k ,
第2章 参数估计
第22页 22页
例2.1.5 设总体服从指数分布，由于EX=1/λ， 即λ =1/ EX，故λ 的矩法估计为 另外，由于Var(X)=1/λ ，其反函数为 λ = 1/ Var( X ) 因此，从替换原理来看，λ的矩法估计也可取为 s 为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的， 这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采 用低阶矩给出未知参数的估计。
第2章 参数估计
2
第10页 10页
将 lnL(µ,σ ) 分别关于两个分量求偏导并令 其为0, 即得到似然方程组
∂ ln L(µ,σ 2 ) 1 n = 2 ∑ ( xi − µ ) = 0 ∂µ σ i =1 ∂ln L(µ,σ 2 ) 1 n n 2 = 4 ∑(xi − µ) − 2 = 0 2 ∂σ 2σ i=1 2σ
第2章 参数估计
第1页
第2章 参数估计
2.1 2.2 2.3 2.4 参数估计的几种方法 估计的评价标准 最小方差无偏估计 区间估计
第2章 参数估计
第2页
• 一般常用θ 表示参数，参数θ 所有可能取值
组成的集合称为参数空间，常用Θ表示。参 数估计问题就是根据样本对上述各种未知参 数作出估计。
• 参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。
第2章 参数估计
第17页 17页
矩估计法
它是基于一种简单的“替换” 它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 是英国统计学家 皮尔逊最早提出的 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
考研数学(三)考试大纲解析(概率论与数理统计 第7章 参数估计)【圣才出品】
L(x1, x2,, xn; ) maxL(x1, x2,xn; )
这样得到的
与样本值
x1,
x2
,
,
xn
有关，常记为
( x1 ,
x2
,
,
xn
)
，称为参数
的最大似然
估计值，而相应的统计量 ( X1, X 2,, X n ) 称为参数 的最大似然估计量．
3．最大似然估计值的求法
（1）在很多情形下， p(x; ) 和
(
)
三、最大似然估计法
1．似然函数
（1）离散型
若总体 X 属离散型，其分布律 P{X x} p(x; ), 的形式为已知， 为待估参数， 是 可能取值的范围，设 X1, X2,, Xn 是来自 X 的样本，则 X1, X2,, Xn 的联合分布律为
n
p(xi; )
i 1
又设 x1, x2,, xn 是相应于样本 X1, X2,, Xn 的一个样本值，易知样本 X1, X2,, Xn 取到 观察值 x1, x2,, xn 的概率，亦即事件{X1 x1, X2 x2,, Xn xn} 发生的概率为
为
n
f (xi; )dxi
i 1
n
n
其值随 的取值而变化，取 的估计值 使概率
i 1
f (xi ; )dxi.
取到最大值，但因子
dxi
i 1
n
L( ) L(x1, x2,, xn; ) f (xi; )
不随 而变，故只需考虑函数
i1
的最大
值，这里 L( )称为样本的似然函数．若
L(x1, x2,, xn; ) maxL(x1, x2,, xn; )
xl
数理统计与参数估计的研究与应用
数理统计与参数估计的研究与应用数理统计是数学和统计学的交叉学科，通过收集、整理和分析数据，研究各种随机现象的规律性。
参数估计是数理统计中的一项重要内容，它用来估计总体参数的数值。
本文将探讨数理统计与参数估计的研究与应用。
一、数理统计的基本概念数理统计是对数据进行收集、整理、处理和分析，以便进行推断、预测和决策的学科。
它包括描述统计和推断统计两个方面。
描述统计是通过统计指标对数据进行概括和描述，如均值、方差、标准差等。
推断统计是通过从样本中推断总体的特征和规律。
二、参数估计的基本原理参数估计是研究总体参数的估计方法。
总体参数是描述总体特征的数值，如总体均值、总体标准差等。
由于总体参数通常无法直接观测，需要通过样本对其进行估计。
参数估计分为点估计和区间估计两种。
1. 点估计点估计是通过样本数据得到总体参数的估计值，常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是寻找最有可能产生观测到的样本数据的参数值，使其在给定总体分布下的出现概率最大。
矩估计是通过样本矩加权平均值等方法得到总体参数的估计值。
2. 区间估计区间估计是通过样本数据得到总体参数的估计区间，常用的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是指在给定置信水平下，总体参数落在一个区间内的概率较高。
预测区间是指给定一个新的观测值，在一定置信水平下，总体参数落在一个区间内的概率较高。
三、参数估计的应用领域参数估计广泛应用于各个领域，如自然科学、社会科学、工程技术等。
以下是一些常见应用领域：1. 医学研究在医学研究中，参数估计可以用于估计疾病的发病率、死亡率、治疗效果等。
通过对大量病例进行抽样和统计分析，可以得到对整个总体的参数估计结果，为医学决策提供依据。
2. 金融领域在金融领域，参数估计可以用于估计股票的收益率、波动率、相关性等。
通过对历史数据进行分析，可以对未来的金融市场进行预测和决策，帮助投资者做出合理的投资策略。
3. 生态学研究在生态学研究中，参数估计可以用于估计物种的多样性、种群的增长率、生态系统的稳定性等。
应用数理统计与随机过程 第3章 参数估计
ˆ1 X 3U2 ,ˆ2 X 3U2 .
3.1 参数的点估计 矩估计的优点
直接，简便。 对总体的方差和均值进行估计时，并不需要知道 总体的分布。 矩估计的缺点
（1）对原点矩不存在的总体不适用。 （2）未充分利用分布信息。
的最大似然估计值.
解 概率函数
p( x ; ) x e , x 0 ,1 , 2 , .
x!
构造似然函数为
n
L( )
n
xi
(
e )
i1 xi !
xi
i1
n
en .
( xi !)
i 1
3.1 参数的点估计
取对数，得
n
L( )
xi
e i1
n
n
( xi !).
i 1
n
n
ln L( ) ( xi )ln ln( xi !) n .
i 1
i 1
由极值条件
d ln L( ) 1 n
d i1 xi n 0 .
由此解得 的最大似然估计值为
ˆ
1 n
n i 1
xi
x.
3.1 参数的点估计
例3.4 设总体 X ~ N (, 2 ), , 2为未知参数 , x1 , x2 , , xn 是来自X 的一个样本值 , 求 和 2 的最
3.1 参数的点估计
(2) 总体 X属连续型
设概率密度为 f ( x; ), 为待估参数 , , 是 可能的取值范围 .
设 x1 , x2 , , xn 为相应于样本 X1 , X 2 , , X n 的一个样本值 .
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•3.有效估计
•注：有效估计一定是UMVUE,而UMVUE不一定是有
效估计
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§4 Bayes估计
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研究生应用数理统计参 数估计
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2020/11/30
研究生应用数理统计参数估计
一、参数估计的概念
定义：已知母体的分布，估计某个或几个未 知数字特征（参数）的问题，称为参数估 计。
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二、参数估计的分类
n 分为点估计和区间估计；
n 点估计就是根据样本，估计参数为某个数 值；
n 只利用总体信息和样本信息的统计学称为 经典统计学
n 除了利用总体信息和样本信息外，还利用 先验信息的统计学称为Bayes统计学
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一、先验分布与后验分布
n Bayes公式
•全概率公式
•Bayes公式
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红
黄
蓝
白
金盒
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三、极大似然法
•“概率最大事件，最可能出现” •参数的哪个值使观察结果出现的概率最大，就应取这个值 作为参数的估计值。
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X
0
1
2
3
P
2
2(1-) 2
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§2点估计的优良性
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一、无偏性
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二、有效性
•1.有效性
•注：方差越小越好。那么是否有下界？
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二、矩估计法
•
设 r.v.序列
•相
•互独立具有相同的分布，且
•则
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求估计量的步骤： 1.求出母体的前k阶矩
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1-2
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•四、用顺序统计量估计参数
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•2.一致最小方差无偏估计
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定理 2.2.1(Rao-Cramer不等式)
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二、 Bayes估计
1.最大后验估计----取使得后验密度函数达到最大值
的 值为待估参数的估计值，称为贝叶斯最大后验估计。
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2.期望型估计
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3.先验分布的选取
• 客观性 • 主观性 • 等同无知性原则 • 共轭先验分布
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3rew
演讲完毕，谢谢听讲!
再见，see you again
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n 区间估计就是根据样本，估计参数在一定 范围内，即一个区间；
n 总体分布类型已知的统计问题，称为参数 型统计问题；
n 总体分布类型未知的统计问题，称为非参 数型统计问题；
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§1点估计
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70
20
8
2
银盒
10
75
3
12
铜盒
5
12
80
3
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