3-4大样本区间估计
区间估计
常见形式
间估计的区间上、下界通常形式为：“点估计±误差” “总体均值”的区间估计
总体均值：μ 总体方差：σ 样本均值：x =(1/n）×Σ（Xi) 样本方差：s =(1/(n-1））×Σ（Xi-x)^2 符号假设置信水平：1-α 显著水平：α
已知n个样本数据Xi (i=1,2,...,n），如何估计总体的均值? 首先，引入记号： 区间估计σ'=σ/sqrt(n) s'=s/sqrt(n) 然后，分情况讨论： 情况1 小样本（n<30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况2 小样本（n<30），σ未知，此时区间位于 x ± t（α/2）×s' 区间估计情况3 大样本（n≥30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况4 大样本（n≥30），σ未知，此时区间位于 x ± z（α/2）×s' 其中， z（α/2）表示：正态分布的水平α的分位数 t（α/2）表示：T分布的水平α的分位数
置信区间
区间估计有时，对所考虑的置信区间（或上、下限）加上某种一般性限制，在这个前提下寻找最优者。无偏 性是经常用的限制之一，如果一个置信区间（上、下限）包含真值θ的概率，总不小于包含任何假值θ┡的概率， 则称该置信区间（上、下限）是无偏的。同变性（见统计决策理论）也是一个常用的限制。
求置信区间的方法 最常用的求置信区间及置信上、下限的方法有以下几种。
即
费希尔把这个等式解释为：在抽样以前，对于θ落在区间内的可能性本来一无所知，通过抽样，获得了上述 数值，它表达了统计工作者对这个区间的"信任程度",若取b)=-α=uα/2，则得到区间，其信任程度为 1-α。即 当用上述区间作为θ的区间估计时，对于“它能包含被估计的θ”这一点可给予信任的程度为1-α。
《统计学》(第7版)教学大纲
统计学》课程教学大纲课程编号：×××××××× 课程类别：学科基础课授课对象：经济管理类各专业、社会学专业、档案学专业、新闻学专业等开课学期：第3、4、5、6 学期学分：3~4 学分主讲教师：⋯⋯等指定教材：贾俊平、何晓群、金勇进编著，《统计学》（第7 版），中国人民大学出版社，2018 年教学目的：《统计学》是为非统计专业本科生开设的一门基础必修课，总课时约54 学时。
设置本课程的目的在于培养学生有关统计知识方面的基本技能，培养学生应用统计方法分析和解决问题的实际能力。
教学应达到的总体目标是：使学生能系统地掌握各种统计方法，并理解各种统计方法中所包含的统计思想。
使学生掌握各种统计方法的不同特点、应用条件及适用场合。
使学生能使用SPSS或Excel 等软件分析数据。
培养学生运用统计方法分析和解决实际问题的能力。
第 1 章导论课时：1 周，共3 课时教学内容第一节统计及其应用领域一、什么是统计学统计学的概念。
描述统计。
推断统计。
二、统计的应用领域统计在公共管理中的应用。
统计在其他领域的应用。
第二节统计数据的类型一、分类数据、顺序数据、数值型数据。
分类数据。
顺序数据。
数值型数据。
二、观测数据和实验数据观测数据。
实验数据。
三、截面数据和时间序列数据截面数据。
时间序列数据。
第三节统计中的几个基本概念一、总体和样本总体。
有限总体和无限总体。
样本。
样本量。
二、参数和统计量参数。
统计量。
三、变量变量。
变量的类型。
第 2 章数据的收集课时：1 周，共3 课时教学内容第一节数据来源一、数据的间接来源二手数据。
二、数据的直接来源调查数据。
实验数据。
第二节调查方法一、概率抽样和非概率抽样概率抽样方法。
非概率抽样方法。
二、搜集数据的基本方法自填式。
面访式。
电话式。
数据搜集方法的选择。
第三节实验方法一、实验组和对照组二、实验中的若干问题三、实验中的统计第三节数据的误差一、抽样误差二、非抽样误差三、误差的控制第 3 章数据的图表展示课时：1 周，共3 课时教学内容第一节数据的预处理一、数据审核原始数据的审核。
中国科学院大学-2019年-硕士研究生入学考试大纲-803概率论与数理统计
中国科学院大学硕士研究生入学考试
《概率论与数理统计》考试大纲
本《概率论与数理统计》考试大纲适用于中国科学院大学非数学类的硕士研究生入学考试。
概率统计是现代数学的重要分支，在物理、化学、生物、计算机科学等学科有着广泛的应用。
考试的主要内容有以下几个部分：
概率统计中的基本概念
随机变量及其分布
随机变量的数学特征及特征函数
独立随机变量和的中心极限定理及大数定律
假设检验
点估计及区间估计
简单线性回归模型
要求考生对基本概念有深入的理解，能计算一些常见分布的期望、方差，了解假设检验、点估计及区间估计的统计意义，能解决一些经典模型的检验问题、区间估计及点估计。
最后，能理解大数定律及中心极限定理。
一、考试内容
（一）基本概念
1．样本、样本观测值
2．统计数据的直观描述方法：如干叶法、直方图
3．统计数据的数字描述：样本均值、样本方差、中位数事件的独立性、样本空间、事件
4．概率、条件概率、Bayes公式
5．古典概型
（二）离散随机变量
1．离散随机变量的定义
2．经典的离散随机变量的分布
a.二项分布
b.几何分布
c.泊松分布
d.超几何分布
3．离散随机变量的期望、公差
4．离散随机变量的特征函数
5．离散随机变量相互独立的概念
6．二维离散随机变量的联合分布、条件分布、边缘分布及二个离散随机变量的相关系数
（三）连续随机变量
1．连续随机变量的概念
2．密度函数
3．分布函数
4．常见的连续分布
a.正态分布。
区间估计公式
区间估计公式区间估计公式是指一种统计方法，用于估计未知参数的范围。
它是根据给定的数据集以及其参数的极限均值推断出的。
这样可以对参数的正确取值作出一个初步的估算。
一、经典区间估计公式1、样本均值估计法根据“大数定律”，当一个随机变量X的抽样样本个数n（→∞）时，X的样本均值的分布收敛到N（μ，σ2/n），可使用样本均值估计法来估计参数μ的值，即令μ = X的样本均数。
2、样本标准差估计法根据中心极限定理，当样本量趋于无穷的时候，样本标准差的分布符合t分布。
令特定的置信度α代替t值，可求得标准差的估计值，即σ^2 '= n·D / (tα/2)^2二、偏态分布估计量偏态分布估计量是一种分布估计法，它采用具备偏态分布特征的数值来估算参数μ和σ。
偏态分布是所有概率分布中最广泛应用的分布之一，它把参数μ和σ拆分成三部分：偏态参数γ，偏度参数ω和尾部形状参数λ。
从而可以从偏态分布中估计出μ、σ和γ、ω、λ的参数值。
三、无偏估计量无偏估计量是另一种用于估算量的分布。
它使用极值法，即按照某种规则，从一系列有限但不受限制的抽样样本中挑选某个值作为未知数的无偏估计值。
最常用的无偏估计量有方差法和方差除以样本数法。
方差估计量是一种比较简单的无偏估计量，它可用以下公式计算：σ^2 = 1 / n*Σ（xi - X）^2其中n是样本量，xi代表每个样本取值，X表示样本均值。
而另一种常用的无偏估计量就是方差除以样本数的方法，它的公式为：σ^2 = Σ（xi - X）^2 / n - 1四、交叉验证法交叉验证是一种分布估计法，它可以用来预测参数μ和σ，以便获得更准确的估算结果。
交叉验证首先将样本随机分为若干组，然后在每一组中利用其他组的信息来估计参数。
估计出的参数值在另外一组中进行验证，以期往复进行，直到每个组都意义数次验证。
然后再求出每次验证的参数的平均值以求得参数的最终估计值。
五、bootstrap法bootstrap是一种分布估计的方法，它可以用来估计三种不同的参数：均值、标准差和相关系数等。
统计学区间估计详细讲解
2
x求解。若 x已知，则
x
即：
n
20
2 的正态分布。
x ~ N (82,2 )
STAT 8.1.2抽样误差的概率表述
x ~ N (82,22 )由概率论可知，
Z x
有以下关系式成立：
一般称，
x
服从标准正态分布，即， Z ~ N (0,1)
P(
x
1 为置信度，可靠程度等，反映估计结果的可信程度。若
STAT 8.1.3计算区间估计：已知时的大样本情况 在CJW公司的例子中，样本均值产生的抽样误差是3.92或更小 的概率是0.95。因此，可以构建总体均值的区间为，
x , x 82 3.92,82 3.92
x x
78.08,85.92
由于，从一个总体中抽取到的样本具有随机性，在一次偶然的 抽样中，根据样本均值计算所的区间并不总是可以包含总体均 值，它是与一定的概率相联系的。如下图所示：
抽样误差
x= x
（实际未知）
STAT 要进行区间估计，关键是将抽样误差 区间可表示为：
x x 此时，可以利用样本均值的抽样分布对抽样误差的大小进行 描述。
上例中，已知，样本容量n=100,总体标准差 20 ，根据 中心极限定理可知，此时样本均值服从均值为 ，标准差为
x , x
本章难点
1、一般正态分布标准正态分布； 2、t分布； 3、区间估计的原理； 4、分层抽样、整群抽样中总方差的分解。
8.1总体均值的区间估计（大样本n>30）
点估计的缺点：不能反映估计的误差和精确程度
STAT
区间估计：利用样本统计量和抽样分布估计总体参数的可能区 间 【例1】CJW公司是一家专营体育设备和附件的公司，为了监控 公司的服务质量， CJW公司每月都要随即的抽取一个顾客样本 进行调查以了解顾客的满意分数。根据以往的调查，满意分数 的标准差稳定在20分左右。最近一次对100名顾客的抽样显示， 满意分数的样本均值为82分，试建立总体满意分数的区间。 8.1.1抽样误差 抽样误差：一个无偏估计与其对应的总体参数之差的绝对值。
总体参数的区间估计公式
总体参数的区间估计公式在进行区间估计时，我们首先需要收集到一个样本，并根据样本对总体参数进行估计。
然后根据样本的统计量，结合分布的性质和抽样方法，建立置信区间。
设总体参数为θ，我们希望得到它的置信水平为1-α的置信区间。
置信水平表示我们对总体参数的估计的可信程度，一般常用的置信水平有90%、95%和99%等。
参数估计的方法有很多，具体的方法选择取决于总体参数的性质、样本的大小以及其他假设条件。
常见的参数估计方法有：1.总体均值的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体均值的区间估计公式为：[样本均值-Z值（α/2）*总体标准差/√(n),样本均值+Z值（α/2）*总体标准差/√(n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。
2.总体比例的区间估计：假设总体为二项分布，样本大小为n，成功的次数为x，则总体比例的区间估计公式为：[样本比例-Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n),样本比例+Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。
3.总体方差的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体方差的区间估计公式为：[(n-1)*样本方差/卡方分布（α/2）,(n-1)*样本方差/卡方分布（1-α/2])]其中卡方分布是用于描述自由度为n-1的卡方随机变量的概率分布，可以从卡方分布表中查得。
以上是常见的总体参数区间估计公式，这些公式是根据统计学理论推导而来的，适用于不同情况下的参数估计。
在实际应用中，我们根据具体问题和假设条件选择适当的参数估计方法，计算置信水平的区间估计，从而对总体参数进行估计和推断。
总体方差的区间估计例题
总体方差的区间估计例题以下是5道关于总体方差区间估计的例题及其解析：例题1：从某总体中随机抽取一个容量为10的样本，得到样本方差为4。
要求以95%的置信水平估计总体方差的置信区间。
解析：根据卡方分布的性质，当样本容量足够大时，样本方差与总体方差之比服从卡方分布。
因此，我们可以使用卡方分布的分位数来计算置信区间。
对于95%的置信水平，卡方分布的分位数为0.025和0.975。
计算得到置信区间为[2.04, 7.96]。
例题2：从某总体中随机抽取一个容量为15的样本，得到样本方差为9。
要求以90%的置信水平估计总体方差的置信区间。
解析：同样使用卡方分布的性质，计算得到90%置信水平下的卡方分布分位数为0.05和0.95。
计算得到置信区间为[4.78, 18.46]。
例题3：从某总体中随机抽取一个容量为20的样本，得到样本方差为16。
要求以99%的置信水平估计总体方差的置信区间。
解析：对于99%的置信水平，卡方分布的分位数为0.005和0.995。
计算得到置信区间为[8.42, 31.84]。
例题4：从某总体中随机抽取一个容量为30的样本，得到样本方差为25。
要求以95%的置信水平估计总体方差的置信区间。
解析：对于95%的置信水平和样本容量为30的情况，卡方分布的分位数为0.025和0.975。
计算得到置信区间为[17.67, 36.76]。
例题5：从某总体中随机抽取一个容量为50的样本，得到样本方差为100。
要求以90%的置信水平估计总体方差的置信区间。
解析：对于90%的置信水平和样本容量为50的情况，卡方分布的分位数为0.05和0.95。
计算得到置信区间为[73.82, 131.72]。
区间估计的名词解释
区间估计的名词解释区间估计是统计学中一种常用的推断方法，用于根据样本数据对总体参数进行估计，给出一个包含真实参数值可能范围的区间。
区间估计的目的是在不完全了解总体参数的情况下，通过样本数据来推断总体参数的值范围。
在进行区间估计时，首先需要选择一个适当的置信水平（confidence level），通常选择的置信水平为95%或99%。
置信水平代表了对总体参数估计的可信程度，例如95%的置信水平意味着有95%的可能性真实参数位于构建的区间内。
区间估计的步骤如下：1. 收集样本数据。
从总体中随机抽取样本，获取样本数据。
2. 选择合适的估计方法。
根据问题的具体情况，选择适合的估计方法，如均值估计、比例估计、标准差估计等。
3. 计算样本统计量。
使用选择的估计方法，计算得到样本的统计量，如样本均值、样本比例、样本标准差等。
4. 确定置信水平。
选择适当的置信水平，通常选择95%或99%。
5. 确定临界值。
根据置信水平和样本量，查找临界值。
临界值以正态分布或t分布的分位数形式给出。
6. 计算估计区间。
使用样本统计量和临界值，计算得到估计区间。
估计区间的计算公式根据不同的估计方法而定。
7. 解释估计结果。
根据计算得到的估计区间，给出估计结果的解释。
例如，可以说在95%置信水平下，总体参数的真实值有95%的可能性位于估计区间内。
区间估计的优点是可以提供对总体参数的估计范围，以及估计结果的可信程度。
通过给出一个区间，可以更全面地理解总体参数的不确定性。
但区间估计也存在一定的局限性，例如需要大样本量才能得到较窄的估计区间，对总体分布的假设要求较高等。
因此，区间估计只能提供对总体参数的近似估计，而无法给出准确的参数值。
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由中心极限定理，若 X1, X2 ,L , Xn 独立同分布，则
n
Xk n
n
k 1
n
~
近似
N (0,1)
k 1
Xk
~
近似
N
n, n 2
1
n
n k 1
Xk
~
N (0,1)
/ n 近似
X
~
近似
N
,
2
n
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第三章 参数估计 3.2大样本估计（n>=50,对总体的分布无要求,用极
限分布进行参数的区间估计）
极限分布1(中心极限定理)
设X 1 , , X n , 独立同分布的随机变量序列，且
EX k ，DX k 2 0, (k 1,2, )
EX , DX 2 ,
n
X
X
~ N (0,1),
近似
S
~ N (0,1)
近似
n
n
第三章 参数估计 3.2大样本估计（n>=50,对总体的分布无要求,用极
第三章 参数估计
P w - Uα w 1 - w /n W w + Uα w 1 - w /n = 1 - α
Δ = Uα w 1 - w /n
Δ = Δ w
A = 1- Δ'
1-α
w - Δ w + Δ
为估计某针阔混交林中阔叶林所占的比例W,抽取200个观 测点作观测,结果有68个点为有阔叶林的林地. 试以95% 的可靠性给出W区间估计.
第三章 参数估计
区间估计: P 1(x1, x2,L , xn ) 2(x1, x2,L , xn) 1
大样本估计
小样本估计
极限分布
精确分布
n>=50
n无要求
任意总体
正态总体 N , 2
W
2
回顾：随机变量 X 具有数学期望 ，方差 2 0
则称 Y X 为X的标准化变量.
mp n
近似
~ N (0,1)
p(1 p)
n
n
令 pˆ m i1 Xi X , 有
pˆ p
近似
~ N (0,1)
nn
p(1 p)
或者令 X @w, p @W
n
有 w W
近似
~ N (0,1)
W (1 W )
n
第三章 参数估计
3.2.2 用极限分布2 对总体频率进行区间估计
w -W
W 1 -W
限分布进行参数的区间估计）
3.2.1 用极限分布1 对总体均值进行区间估计
设( x1, x2 ,L , xn )为抽自均值为 方差为 σ 2 的总体的简单
随机样本则有:
(x)
U
X
~ N (0,1)
近似
2
2
n
-U α
Uα
0< <1, U , P U U
或 PU U 1-
(x)
~ N (0,1)
n
X
s
近似
~ N (0,1)
n
x U / n x U / n x U s / n x U s / n
W
w W 近似 ~ N (0,1)
w(1 w)
w U
w(1 n
w)
w
U
w(1 w)
n
n
第三章 参数估计
作业：习题3：1，2，3，8, 11，13
/n
近似
~N
0,
1
(x)
P
w -W
W 1 -W /n
U
α
=
1
-
α
2
-U α
w= m n
代替 W ,
w W ~ N (0,1)
w(1 w) 近似
n
P | w - W | Uα w 1 - w /n = 1 - α
2
Uα
P w - Uα w 1 - w /n W w + Uα w 1 - w /n = 1 - α
n
m Xi ~ B(n, p) Em np Dm np(1 p) i 1
若n充分大，则由中心极限定理
n
近似
m Xi ~ B(n, p) ~ N (np, np(1 p))
i 1
n
近似
m Xi ~ B(n, p) ~ N (np, np(1 p))
i 1
所以
m np np(1 p)
第三章 参数估计 对未知参数 作区间估计就是确定两个统计量
1( x1 , x2 ,L , xn ) 2 ( x1 , x2 ,L , xn )
使得
P 1(x1, x2,L , xn ) 2( x1, x2,L , xn) 1
0 1 是预先给定的数. 称随机区间 1,2 为 的置信水平（可靠性）为 1 的置信区间。
1.645 0.10
P
U
1.960
0.05
2.576 0.01
2
-U α
2
Uα
PU U 1-
P
X
/ n
U 1-
P X - U / n 1-
P X U / n X U / n 1-
随机区间
[X -U
n , X U
] n
是 的置信度为 1 的置信区间 .
（2）在置信度固定的条件下，n 越大，置信区间越短，估 计精度越高.
（3）在样本量 n 固定时，置信度越大，置信区间越长， 估计精度越低.
（4）在固定置信度时，要提高估计精度，就要增大样本 量 n.
第三章 参数估计
极限分布2 (中心极限定理)
设X1, , Xn , , 独立同分布的随机变量序列， Xi ~ B(1, p),则中心极限定理：
A = 1- Δ' = 1- 0.1912 = 0.8098
W 的区间估计为
w - , w + = 0.34 - 0.065, 0.34 + 0.065 = 0.275, 0.405
第三章 参数估计
在上例中如要求估计精度提高为90%,可靠性仍为 95%,问至少还需再抽取多少个样本?
A 1- w 1-U
A
= 1-
Uα S xn
n
=
U (1 -
αS A)
x
2
=
1.96 2.524
1 - 0.98 22.145
2
= 124.76
需要再抽取125-60=65
第三章 参数估计
置信度、置信区间、精度、样本容量之间的关系？
1-α
Δ = Uα
σ n
Δ =
Δ =
U α
x nx
A = 1- Δ'
（1）置信区间不唯一，在置信度固定的条件下，置信 区间越短，估计精度越高.
第三章 参数估计
解：计算样本的频率并查表 w = 0.34 U0.05 = 1.96
W 的点估计为 w = 0.34
绝对误差限为 相对误差限为
Δ = U0.05
w(1 - w) = 1.96
n
0.34 0.66 = 0.065 200
Δ = Δ 0.065 = 0.1912 w 0.34
精度为
试以95%的可靠性对该林地上的全部林木的平均高
进行估计。
第三章 参数估计
解：计算样本的均值、均方差并查表
x = 22.145, S = 2.524 U0.05 = 1.96
的点估计为 x = 22.145
绝对误差限为
Δ = U0.05
S = 1.96 2.524 = 0.639
n
60
相对误差限为 Δ = Δ = 0.639 = 0.029
(1 - w)w 1 nw
2
2
n
U (1 - A)
1- w w
1.96
(1
-
0.9)
1 - 0.34 745.7 0.34
需要再抽取746-200=546
第三章 参数估计
区间估计: P 1(x1, x2,L , xn ) 2(x1, x2,L , xn) 1
大样本估计
X 近似
EX i p, DX i p(1 p) EX p, DX p(1 p) ,
n
X @w, p @W
Xp ~ N (0,1)
p(1 p) 近似
n
例如，调查电视收视率。共需调查n户家庭，其 中收看该电视节目的家庭数m是随机变量。设
X1, X2 ,L , Xn 表示每户人家是否收看该节目。
1, 收看 Xi 0, 未收看, i 1, 2,L , n
x 22.145
精度为 A = 1- Δ' = 1- 0.029 = 0.971
的区间估计为∶
x - Δ, x + Δ
= [22.145 - 0.639, 22.145 + 0.639] = [21.506, 22.784]
第三章 参数估计
例1续 欲使估计精度提高到98%，问应至少再抽多
少个样本单元?
第三章 参数估计 例3.1. 设采用重复抽样从某林地的全部林木组成的 总体抽取了 n 60株林木组成样本，样本的树高观测
数据如下(单位∶m)
22.3 21.2 19.2 16.6 23.1 23.9 24.8 26.4 26.6 24.8 23.9 23.2 23.8 21.4 19.8 18.3 20.0 21.5 18.7 22.4 26.6 23.9 24.8 18.8 27.1 20.6 25.0 22.5 23.5 23.9 25.3 23.5 22.6 21.5 20.6 25.8 24.0 23.5 22.6 21.8 20.8 19.5 20.9 22.1 22.7 23.6 24.5 23.6 21.0 21.3 22.4 18.7 21.3 15.4 22.9 17.8 21.7 19.1 20.3 19.8