2019年初中数学竞赛辅导——三角函数与解三角形

竞赛辅导——三角函数与解三角形

一、单选题

1．已知函数（）的图象经过点和.若函数

在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是（）

A．B．-C．D．-

【答案】D

【分析】利用题设条件，求出函数的解析式，结合函数的零点和三角函数的图象与性质，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，可得，解得，故，

因为，令，得，即，

又由，得，

因为，所以，所以，

又由，则，所以

令，则由题意得在上有唯一的解，

根据正弦函数图象可得或，

解得，故选D.

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及函数的零点问题的求解，其中解答中根据三角函数的性质，求得三角函数的取值，结合图象列出不等式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

2．已知函数（），若是函数的一条对称轴，且，则点满足的关系为（）

A． B．C． D．

【答案】B

【分析】由辅助角公式，对原式化简，再利用是函数的一条对称轴，且，求得a、b的关系可得答案.

【详解】因为，根据辅助角公式可得：

因为是函数的一条对称轴，即，即

因为 ，所以

即

故选B

【点睛】本题考查了三角函数的性质以及辅助角公式的运用，熟悉公式和性质是解题的关键，属于中档题. 3．在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知,, ,则的面积（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】本题利用余弦定理，倍角公式，内角和定理进行化简，可求得角A和C的值，再利用正弦定理和面积公式求得结果即可.

【详解】由题，，

所以

所以

又因为锐角三角形ABC，所以

由题 ，即

根据代入可得，，即

再根据正弦定理：

面积

故选D

【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形的综合，以及三角恒等变化公式的的运用，熟悉公式，灵活运用是解题的关键，属于中档偏上题.

4．已知函数（，）的部分图像如图所示，且在上

恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根据条件先求出的值，结合在上恰有一个最大值和一个最小值，求出满足条件的表达式进行求解即可．

【详解】由题意知，，

，

，，

，，

上上恰有一个最大值和一个最小值，

，

．

故选：B．

【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于难题.对于这类型问题，结合一个周期性函数最大值和最小值对应的范围是解决本题的关键，一定要注意区间端点的取值情况.

5．三角形的三边分别是，若，，且，则有如下四个结论：①

②的面积为

③的周长为

④外接圆半径

这四个结论中一定成立的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【分析】由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简或，即；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求值，从而可得结论．

【详解】，，可得，可得外接圆半径，④正确；

，即为，

即有，

则，即或，即；

若，，，可得，①可能成立；

由可得，，则三角形的周长为；面积为；

则②③成立；

若，由，

可得，，

则三角形的周长为；面积为；

则②③成立①不成立；

综上可得②③④一定成立,故选C．

【点睛】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.

二、填空题

6．已知函数，对任意，，将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于原点中心对称，则函数在上的值域为___．

【答案】

【分析】先由周期性求得，由平移求得，再求三角函数在区间上的值域.

【详解】由题意知函数的周期为，

∴，即.

将函数的图象向右平移个单位后得：，

由其图象关于原点中心对称，故.

∵ ，∴，故.

∵，∴.

∴，即函数在上的值域为.

【点睛】本题考查三角函数的性质，求出三角函数的解析式是解题关键.

7．已知函数若存在实数当时，满足

，则的取值范围是_________________.

【答案】.

【分析】画出分段函数的图象，作出直线，结合函数的图象可得实数的取值范围，再运用对数的运算性质和余弦函数的对称性，可得和，利用二次函数的性质，即可求解.

【详解】由题意，函数，

画出函数的图象，如图所示，

令，则，

由图象可知，设和函数的图象有四个交点，

可得

其中，则，解得，

且，则

所以

，其中，

设，则函数，函数单调递增，

则，

所以的取值范围是.

【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中正确作出函数的图象，结合图象，利用对数函数的运算性质以及余弦函数的对称性，再利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.

8．已知函数.给出下列结论：

①函数是偶函数；

②函数的最小正周期是;

③函数在区间上是减函数；

④函数的图象关于直线对称．

其中正确结论的序号是___________．（写出所有正确结论的序号）

【答案】①②④

【分析】利用三角函数的性质（奇偶性、周期性、单调性、对称性）分析每一个选项，易得出结果.

【详解】由题，，定义域为关于原点对称，

，所以为偶函数，①正确；

所以函数的最小正周期是，②正确；

，所以函数在区间上不是减函数，

③错误；

而

所以，即函数的图象关于直线对称，④正确

故答案为①②④

【点睛】本题考查了三角函数的性质，熟悉函数奇偶性、周期性、单调性、对称性是解题的关键，属于较难题. 9．在中，分别为角所对的边，若，的面积为，则的最小值为__________．

【答案】

【分析】直接利用正弦定理、余弦定理和三角形面积的应用和三角函数关系式的恒等变换和导数的应用求出结果．【详解】设，则：

由于，

所以：．

则：，

设，

所以：，

因为当时，，当时，，

所以当时，的最小值为，

故的最小值为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了三角函数关系式的恒等变换，导数的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，考查了函数的思想，以及转化得思想，属于难题．对于范围（最值）问题，常用的有三种方法：（1）构造函数法，通过构造与参数有关的函数，利用导数研究函数的值域与最值，即可得到参数范围；（2）基本不等式法，利用基本不等式确定参数的最值（范围）；（3）数形结合法：通过寻求参数满足的约束条件，建立与参数有关的目标函数，然后利用数形结合的方法求出范围（最值）.

三、解答题

10．函数的部分图象如图所示.

（1）求的解析式.

（2）若不等式，对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）f (x)＝2sin(2x－)．

（2）（－3，）．

【分析】

（1）利用，再用（），求出即可；

（2），得，转化成

，最后求出的取值范围.

【详解】

（1）因为，所以，

又因为（），且，所以，

故．

（2）由（1）知，当时，，

，即，

又对任意，恒成立，

＜＋

，即，

＞－

故的取值范围是．

【点睛】

本题属于三角函数的综合题，考查了三角函数的周期性和已知定义域，求三角函数的值域等问题，难点在于对绝对值要进行分段处理和化简.

11．已知函数.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若，对于任意的，都有，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）或

【分析】

（1）先用辅助角公式化简函数解析式，再将代入，得到，得到不等式 ，从而得到，化简求得，进而得到不等式的解集；（2）当时，求得函数，分情况讨论的范围，利用对应的条件，等价结果为两个函数的值域交集为空集，从而求得参数的范围.

【详解】

（1），

当时，，所以，即 .

所以，所以

故原不等式的解集为.

（2）当时，，

当时，则，所以 .

当时，，所以，所以；

当时，，所以，所以.

综上，或.

【点睛】

该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有利用辅助角公式化简函数解析式，求三角不等式的解集，利用两个函数值没有相等的，等价于两个函数的值域交集为空集，从而得到参数的范围，属于中档题目. 12．已知，.

（1）求当a=1时，f(x)的值域；

（2）若函数f(x)在内有且只有一个零点，求a的取值范围.

【答案】（1）的值域为；（2）或.

【分析】

（1）当时，，令，则，，再利用二次函数的图像和性质求以的值域为；

（2）令，，所以在内有且只有一个零点等价于

在内有且只有一个零点，无零点.再分类讨论求

a的取值范围.

【详解】

（1）当时，，令，则，，

所以，

当时，，

当时，，

所以的值域为.

（2），

令，则当时，，，

所以，

所以在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点，无零点.

因为，∴在内为增函数，

①若在内有且只有一个零点，无零点，故只需得

；

②若为的零点，内无零点，

则，得，

经检验，符合题意.

综上，或.

【点睛】

本题主要考查三角恒等变换，考查二次函数的图像和性质，考查零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.

13．已知非常数函数的定义域为，如果存在正数，使得，都有恒成立，则称函数具有性质T.

（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质T ？并说明理由;

①；②.

（Ⅱ）若函数具有性质T，求的最小值;

（Ⅲ）设函数具有性质T，且存在，使得，都有成立，求证：是周期函数.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.

【分析】

（Ⅰ）利用反证法和函数的周期性的定义，即可作出结论.

（Ⅱ）由函数具有性质T，转化为存在正数，使得，都有

恒成立.利用三角函数的图象与性质，即可求解.

（Ⅲ）由题意得出存在正数，使得，恒成立，即

，以此类推可得. 利用函数的性质，即可求解.

【详解】

（Ⅰ）函数不具有性质T，函数具有性质T.理由如下：

①假设函数具有性质T，即存在正数，使得恒成立.

则对恒成立.

所以此方程组无解，与存在正数矛盾.

所以函数不具有性质T.

②取，则，

即对恒成立.

所以函数具有性质T.

（Ⅱ）因为函数具有性质T，

所以存在正数，使得，都有恒成立.

令，则对恒成立.

若，取，则，矛盾；

若，取，则，即，矛盾；

所以.

则当且仅当时，对恒成立.

因为，所以.

所以当 时，函数具有性质T.

所以的最小值是.

（Ⅲ）因为函数具有性质T，

所以存在正数，使得，恒成立.

所以，以此类推可得. 用代替，可得.

因为不是常数函数，

所以存在，使得.

若，则.

所以.

因为存在，使得，都有成立，

取，则，矛盾.

若，则.

同上可知存在 ，使得，矛盾.

所以.

所以对，.

所以是周期为1的函数.

【点睛】本题主要考查了函数的周期性和函数基本性质的综合应用，其中解答中正确理解题意，合理利用函数的周期性的定义和函数的基本性质，灵活化简、运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题.

14．如图，在平面四边形中，，，．

（1）当四边形内接于圆时，求四边形的面积；

（2）当四边形的面积最大时，求对角线的长．

【答案】(1) (2)

【分析】（1）根据余弦定理列等量关系求C，A，再根据三角形面积公式求结果，（2）根据三角形面积公式以及余弦定理列方程组，化简得关于面积的函数关系式，根据余弦函数性质得最大值取法，再根据余弦定理求BD。【详解】

连接，由余弦定理得

即.

又四边形内接于圆，则又

所以化简得，又

所以，同时有

所以.

（2）

设四边形的面积为，则

即

平方相加得：

即

又

当 时，有最大值，即有最大值。

此时，，代入中得

又，可得

在中

所以

【点睛】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查综合分析求解能力，属较难题.

15．某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口沿，方向修建两条小路，休息亭与入口的距离为米（其中为正常数），过修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于、处，已知

，．

（1）设米，米，求关于的函数关系式及定义域；

（2）试确定，的位置，使三条路围成的三角形地皮购价最低．

【答案】(1) ，定义域为 (2)见解析

【分析】

（1）法一：由得，，进而得

，利用，得y关于x的函数关系即可；法

二：由得，，，设

，中，由正弦定理结合，

求得y关于x的函数关系即可；(2) 设三条路围成地皮购价为元，地皮购价为

元/平方米，则（为常数），利用换元法结合基本不等式求

=最小值即可

【详解】

（1）法一：由得，

且

由题可知

所以

得

即

所以由得定义域为

法二：由得，

设

中，由正弦定理

所以

同理可得

由

即

整理得，

由得定义域为

（2）设三条路围成地皮购价为元，地皮购价为元/平方米，则（为常数），

所以要使最小，只要使最小

由题可知

定义域为

令则

当且仅当即时取等号所以，当时，最小，所以最小，此时y=

答：当点距离点米,F距离点米远时，三条路围成地皮购价最低

【点睛】本题考查三角函数的实际应用，正余弦定理，面积公式，基本不等式求函数最值，考查计算能力，是中档题