二面角的计算方法精讲

图1二面角的计算方法精讲二面角是高中数学的主要内容之一，是每年高考数学的一个必考内容，本文主要通过一些典型的例子说明二面角的三种基本计算方法，供同学们学习参考。

一 、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知识求解之。

通常作二面角的平面角的途径有：⑴定义法：在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发在二面角的两个面内分别作棱的垂线；⑵三垂线法：如图1，C 是二面角βα--AB 的面β内的一个点，CO ⊥平面α于O ，只需作OD ⊥AB 于D ，连接CD ，用三垂线定理可证明∠CDO 就是 所求二面角的平面角。

⑶垂面法：即在二面角的棱上取一点，过此点作平面γ，使γ垂直于二面角的棱，则γ 与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角。

例1 如图2，在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形, 平面V AD ⊥底面ABCD ． （1）证明AB ⊥平面V AD ；（2）求面V AD 与面VDB 所成的二面角的大小． 解：（1）证明：VAD ABCDAB AD AB VADAB ABCD AD VAD ABCD ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪=⎭平面平面平面平面平面平面 （2）解：取VD 的中点E ，连结AF ，BE ， ∵△V AD 是正三形，四边形ABCD 为正方形，∴由勾股定理可知， 2222BD AB AD AB VA VB,=+=+=∴AE ⊥VD ，BE ⊥VD ，∴∠AEB 就是所求二面角的平面角. 又在Rt △ABE 中，∠BAE=90°，AE=3AD=3AB ，因此，tan ∠AEB=.332=AE AB 即得所求二面角的大小为.332arctan例2 如图3，AB ⊥平面BCD ，DC ⊥CB ，AD 与平面BCD 成30°的角，且AB=BC.（1）求AD 与平面ABC 所成的角的大小； （2）求二面角C-AD-B 的大小；（3）若AB=2，求点B 到平面ACD 的距离。

解：(1) ∵AB ⊥平面BCD ，∴∠ADB 就是AD 与平面BCD 所成的角,即∠ADB=300,且CD ⊥AB ， 又∵DC ⊥BC ，ABBC B =,∴ CD ⊥平面ABC ，∴ AD 与平面ABC 所成的角为∠DAC ，设AB=BC=a,则AC=a 2， BD=acot300=a 3,AD=2a, a BC BD CD 222=-=, ∴ tan ∠DAC=122==a a CD AC , ∴ 045=∠DAC ,即，AD 与平面ABC 所成的角为450. (2)作CE ⊥BD 于E ，取AD 的中点F ，连CF ， ∵ AB ⊥面BCD ，ABD AB ⊂面， ∴ 面ABD ⊥面BCD ， 又∵ 面ABD面BCD=BD ，BCD CE ⊂面，CE ⊥BD ，∴ CE ⊥面ABD ，又∵AC=BC=a 2，AF=FD ，∴AD ⊥EF ，有三垂线定理的逆定理可知，∠CFE 就是所求二面角的平面角.计算可知, 6BC CD CE a BD ⋅==，222AD AC CD a,=+=12CF AD a ==，∴ 63CE sin CFE CF ∠==，∴∠CFE=arcsin 63. 故，所求的二面角为arcsin6例3如图4，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，1PA =，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O.（1）证明PA ⊥BF ；（2）求面APB 与面DPB 所成二面角的大小。

解：（1）在正六边形ABCDEF 中，ABF ∆为等腰三角形，∵ P 在平面ABC 内的射影为O ， ∴ PO ⊥平面A BF ，∴ AO 为PA 在平面ABF 内的射影； 又∵ O 为BF 中点，ABF ∆为等腰三角形， ∴ AO ⊥BF ，∴ 有三垂线定理可知,PA ⊥BF.（2）∵O 为BF 中点，ABCDEF 是正六边形 ，∴ A 、O 、D 共线，且直线AD ⊥BF ， ∵ PO ⊥平面A BF ，ABF BF ⊂面,∴ 由三垂线定理可知, AD ⊥PB,过O 在平面PBF 内作OH ⊥PB 于H ，连AH 、DH ， 则 PB ⊥平面A HD,所以AHD ∠为所求二面角平面角。

又∵正六边形ABCDEF 的边长为1，∴12AO =，32DO =，32BO =。

1212AHO tan ,21221AO OH AHO OH∆=∠===在中，，， 3212DHO tan 21DODHO OH ∆∠===在中，； 72116212221tan tan().72112221AHD AHO DHO +∠=∠+∠==--⨯从而，故,所求的二面角为1621-arctan9.π如图5，二面角l αβ--为锐二面角, △ABC 在半 平面α内, △ABC 在平面β内的射影为△A 1B 1C 1，那么二面角l αβ--的大小111 cos A B C ABCS S θθ∆∆=应满足.例4 如图6，矩形ABCD 中,AB=6,BC=32,沿对角线BD 将ABC ∆折起,使点A 移至点P,且P 在平面BCD 内的射影为O,且O 在DC 上. （1）求证:PD ⊥PC ；（2）求二面角P-DB-C 的平面角的余弦值；（3）求CD 与平面PBD 所成的角的正弦值.解: （1）证明: ∵ PC 在面BCD 内的射影为OC, 且OC ⊥BC ，∴由三垂线定理可知，BC ⊥PC ，又∵PB=6，BC=32， ∴PC=,62而PD=32，DC=6∴ =+22PC PD 36=DC 2，∴ PD ⊥PC.（2）PBD 1OBD S 623632PBD ∆∆∆=⨯⨯=在面BCD 内的射影为，且，OC 322136S S S BOC CBD OBD ⨯⨯-=-=∆∆∆. 设OC=x,则OD=6-x , ∵ 2222BD DO BC CO ,-=-∴ ()2261224x x --=- , ∴.4=x∴,323436=-=∆BOD S设二面角P-DB-C 的大小为θ，则.313632cos ==θ 1arccos .3故，所求二面角为I 、先用传统方法作出二面角的平面角，再利用向量的夹角公式进行计算。

例5 如图7，直二面角D-AB-E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE ＝EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求二面角B-AC-E 的大小； （3）求点D 到平面ACE 的距离。

解：（1）∵ 二面角D-AB-E 为直二面角，AB 为棱，CB ⊥AB ，∴ CB ⊥平面EAB ，进而可得，CB ⊥AE ， 又∵ BF ⊥平面ACE ，∴ AE ⊥BF ，而BC BCE, BF BCE, BC BF=F,⊂⊂平面平面且∴AE ⊥平面BCE.（2）连结BD 交AC 于点O ，连结OF ，由于ABCD 为正方形，所以OB ⊥AC ， 又因为BF ⊥平面ACE ，由三垂线定理的逆定理可知，OF ⊥AC ， ∴ ∠BOF 就是所求二面角的平面角.在平面ABE 内作Ax ⊥AB,以A 为原点，分别以Ax 、AB 、AD 为x 轴、y 轴、z 轴，建立 如图7的空间直角坐标系，易知△AEB 为等腰直角三角形，所以，A ( 0, 0, 0), O ( 0, 1 , 1), B(0, 2, 0), C(0 , 2, 2 ) , E( 1 ,1 ,0 ),设F （m, n, t ），∵ C 、E 、F 三点共线， ∴ ()()CF=CE, -2 t-2112m,n ,,,,λλ=--即∴ 2 t 22 2 22m ,n ,,λλλλλλ==-=---即点F 坐标为（，　，）， 又∵ BF ⊥AC ，∴()()λ -λ-λ0,2,2=0,⋅⋅ＢＦＡＣ＝０，即，，２２ ∴ 23,λ⎛⎫=⎪⎝⎭２４２故，点Ｆ的坐标为，，，３３３ ∴ ()211011333OF ,,,OB ,,.⎛⎫=-=-⎪⎝⎭∴ 3OF OB cos BOF .OF OB⋅∠==故，所求的二面角为arccos 3II 、直接求出平面αβ和的法向量12n n 、，利用向量的夹角公式求12n n 、的夹角，再根据法向量12n n 、分别相对于二面角l αβ--的方向确定出二面角l αβ--的大小。

一般地，当法向量12n n 、都是从二面角l αβ--的内部向外部（或外部向内部）穿行时，二面角l αβ--的大小就是12n n 、的夹角的补角；当法向量12n n 、一个从二面角l αβ--的内部向外部穿行，另一个从二面角l αβ--的外部向内部穿行时，二面角l αβ--的大小就是12n n 、的夹角。

例6 （2006年四川卷）如图8，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，,M N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a === （Ⅰ）求证：//MN 面11ADD A ； （Ⅱ）求二面角P AE D --的大小。

（Ⅲ）求三棱锥P DEN -的体积。

解：以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立直角坐标系，则()()()()()11,0,0,,2,0,0,2,0,,0,,0,0,A a B a a C a A a a D a ∵,,,E P M N 分别是111,,,BC A D AE CD 的中点∴3,2,0,,0,,,,0,0,,,2242a a a a E a P a M a N a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）3,0,42a MN a ⎛⎫=-⎪⎝⎭取()0,1,0n =，显然n ⊥面11ADD A又0MN n ⋅=，∴MN n ⊥而MN⊄面11ADD A ∴//MN 面11ADD A（2）显然，()10,0,1m =是平面ABCD 的一个法向量；设()2,,m x y z =是平面PAE的一个法向量，则2200.m AE m AP ⋅=⋅=且而,0,,,2,0.22a a AP a AE a ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴ 0,220.2ax az a x ay ⎧-⋅+=⎪⎪⎨⎪-⋅+=⎪⎩ ∴ 可取212,,1,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴121212cos ,,2121m m m m m m ⋅===又法向量()10,0,1m =是从二面角P AE D --的外部向内部穿行的，法向量212,,1,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭是从二面角P AE D --的内部向外部穿行的 .故，所求二面角为arccos21（3）设()1111,,n x y z =为平面DEN 的法向量，则11,n DE n DN ⊥⊥又,2,0,0,,,,0,222a a a DE a DN a DP a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴1111202202ax ay a y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 即 111142x y z y =-⎧⎨=-⎩ ∴可取()14,1,2n =-∴P 点到平面DEN 的距离为11216DP na d n ⋅==∵cos ,85DE DN DE DN DE DN ⋅==⋅21sin ,DE DN = ∴2121sin ,28DEN S DEDN DE DN a ∆=⋅⋅= ∴32113386P DEN DEN a V S d a -∆=⋅=⨯⨯=。