高考数学百大经典例题 逻辑联结词
高考一轮复习 逻辑联结词 知识点+例题+练习
1．逻辑联结词命题中的或，且，非叫做逻辑联结词．“p 且q ”记作p ∧q ，“p 或q ”记作p ∨q ，“非p ”记作綈p .2．命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断p q p ∧q p ∨q 綈p真 真 真 真 假真 假 假 真 假假 真 假 真 真假 假 假 假 真3.全称量词与存在量词(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为∀x ∈M ，p (x )，它的否定∃x ∈M ，綈p (x )．(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题，可用符号简记为∃x ∈M ，p (x )，它的否定∀x ∈M ，綈p (x )．自我检测1.命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1<0”的否定是__________________2．若命题p ：x ∈A ∩B ，则綈p 是________________3．(2010·苏州调研)命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是________命题．(填“真”或 “假”)4．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________．5．(2009·辽宁改编)下列4个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x ； ②∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ； ③∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ； ④∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x . 其中的真命题是________(填序号)．学生姓名教师姓名 班主任 日期时间段 年级 课时 教学内容 逻辑联结词与量词教学目标 1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．重点 逻辑联结词、存在量词、全称量词难点同上探究点一 判断含有逻辑联结词的命题的真假例1 写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”形式的复合命题，并判断真假．(1)p ：1是素数；q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同；q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．变式迁移1 已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题，其中正确的是________(填序号)．探究点二 全称(存在性)命题及真假判断例2 判断下列命题的真假．(1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12. (2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β.(3)∀x ，y ∈N ，都有x －y ∈N .(4)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.变式迁移2 (2010·江苏苏州中学阶段性测试一)若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围为__________________．探究点三 全称命题与存在性命题的否定例3 写出下列命题的“否定”，并判断其真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；(4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.变式迁移3(2010·深圳一模)已知命题p：∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围为________．转化与化归思想例(14分)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．1．逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解．(1)“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语“或”带有“不可兼有”的意思，如工作或休息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如x<6或x>9.(2)命题“非p”就是对命题“p”的否定，即对命题结论的否定；否命题是四种命题中的一种，是对原命题条件和结论的同时否定．2．判断复合命题的真假，要首先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后根据真值表判断．3．全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定是一个存在性命题“∃x∈M，綈p(x)”，存在性命题“∃x∈M，p(x)”的否定是一个全称命题“∀x∈M，綈p(x)”.一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2011·常州月考)已知命题p：∃x∈R，x2－3x＋3≤0，则綈p为________．2．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0，如果命题綈p是真命题，那么实数a的取值范围是________．3．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．4．已知命题“∀a，b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．5．下列有关命题的说法中正确的有________(填序号)．①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；③命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．6．(2010·安徽)命题“对∀x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________．7．(2011·镇江模拟)已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R使4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m的取值范围为__________．8．(2010·安徽)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是______________________．二、解答题(共42分)9．(14分)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题的真假．(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；(2)p：1是奇数，q：1是质数；(3)p：0∈∅，q：{x|x2－3x－5<0}⊆R；(4)p：5≤5，q：27不是质数．10．(14分)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．11．(14分)已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．。
高考数学讲义常用逻辑用语.板块三.逻辑连接词与量词.教师版1
题型一：逻辑连接词 【例1】 写出下列命题的“p ⌝”命题：（1）正方形的四边相等；（2）平方和为0的两个实数都为0；（3）若ABC ∆是锐角三角形， 则ABC ∆的任何一个内角是锐角；（4）若0abc =，则,,a b c 中至少有一个为0；（5）若(1)(2)0x x --≠，则1x ≠且2x ≠.【考点】逻辑连接词 【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】 【答案】（1）存在一个正方形的四边不相等.（2）平方和为0的两个实数不都为0.（3）若ABC ∆是锐角三角形， 则ABC ∆的某个内角不是锐角.（4）若0abc =，则,,a b c 中都不为0.（5）若(1)(2)0x x --≠，则1x =或2x =.【例2】 若:{|1},:{0}p N x R x q ⊄∈>-=∅.写出由其构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的新命题，并指出其真假.【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ,p q 均为假命题.典例分析板块三.逻辑连接词与量词【答案】 “p 或q ”为：:{|1}p N x R x ⊄∈>-或:{0}q =∅,是假命题；“p 且q ”为：:{|1}p N x R x ⊄∈>-且:{0}q =∅,是假命题；“非p ”为：:{|1}p N x R x ⊆∈>-，是真命题.【例3】 用联结词“且”、“或”分别联结下面所给的命题p q ，构成一个新的复合命题，判断它们的真假．⑴p ：1是质数；q ：1是合数；⑵p ：菱形的对角线互相垂直；q ：菱形的对角线互相平分；【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 【答案】⑴p 是假命题，q 是假命题，故p q ∨，p q ∧都是假命题；⑵p 是真命题，q 是真命题，故p q ∨是真命题，p q ∧是真命题．【例4】 把下列各组命题，分别用逻辑联结词“且”“或”“非”联结成新命题，并判断其真假．⑴p ：梯形有一组对边平行；q ：梯形有一组对边相等．⑵p ：1是方程2430x x -+=的解；q ：3是方程2430x x -+=的解．⑶p ：不等式2210x x -+>解集为R ；q ：不等式2221x x -+≤解集为∅．⑷p ：{0}∅Ü；q ：0∈∅．【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴∵p 真，q 假，∴p q ∧为假，p q ∨为真，p ⌝为假，q ⌝为真． ⑵∵p 真，q 真，∴p q ∧为真，p q ∨为真，p ⌝为假，q ⌝为假．⑶∵p 假，q 假，∴p q ∧为假，p q ∨为假，p ⌝为真，q ⌝为真．⑷∵p 真，q 假，∴p q ∧为假，p q ∨为真，p ⌝为假，q ⌝为真．【答案】⑴p q ∧为假，p q ∨为真，p ⌝为假，q ⌝为真．⑵p q ∧为真，p q ∨为真，p ⌝为假，q ⌝为假．⑶p q ∧为假，p q ∨为假，p ⌝为真，q ⌝为真．⑷p q ∧为假，p q ∨为真，p ⌝为假，q ⌝为真．【例5】 判断下面对结论的否定是否正确，如果不正确，请写出正确的否定结论：⑴至少有一个S 是P ；否定：至少有两个或两个以上S 是P ；⑵最多有一个S 是P ．否定：最少有一个S 是P ；⑶全部S 都是P ．否定：全部的S 都不是P ．【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 “集合M 中至少有一个元素m 不具有性质a ”的否定是：集合M 中所有元素都具有性质a ．反之亦对．因为“集合M 中至少有一个元素不具有性质a ”，它包含了“M 中有一个元素不具有性质a 、两个元素不具有性质a ……所有元素都不具有性质a ”等各种情形．因此它的否定是“M 中所有元素都具有性质a ”．如“三角形中至少有一个内角大于或等于60︒”的否定是“三角形中所有内角都小于60︒”．注意“都不是”的否定不是“都是”，而是“不都是”，也即“至少有一个是”．如“a 、b 都不是零”的否定是“a ，b 中至少有一个是零”．【答案】⑴不正确，没有一个S 是P ．⑵不正确，至少有两个S 是P ．⑶不正确，存在一个S 不是P ．【例6】 “220a b +≠”的含义为__________；“0ab ≠”的含义为__________．A ．a b ，不全为0B ．a b ，全不为0C ．a b ，至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 220a b +≠的含义为a b ，不全为0，选A ； 0ab ≠的含义为,a b 全不为0，选B ．【答案】A,B【例7】 已知全集R U =，A U ⊆，B U ⊆，如果命题p A B U ，则命题“p ⌝”是（ ）A AB U B ðC A B ID ()()U U A B I 痧 【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 【答案】D ；【例8】 命题“关于x 的方程(0)ax b a =≠的解是唯一的”的结论的否定是（ ）A ．无解B ．两解C ．至少两解D ．无解或至少两解【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 【答案】D ；【例9】 若条件:P x A B ∈I ，则P ⌝是（ ）A ．x A ∈且xB ∉ B ．x A ∉或x B ∉C ．x A ∉且x B ∉D ．x A B ∈U【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 x 至少不属于A B ，中的一个． 【答案】B ；【例10】 命题：“若220()R a b a b +=∈，，则“0a b ==”的逆否命题是（ ） A ．若0()R a b a b ≠≠∈，，则220a b +≠B ．若0a ≠且0()R b a b ≠∈，，则220a b +≠C ．若0()R a b a b =≠∈，，则220a b +≠D ．若0a ≠或0()R b a b ≠∈，，则220a b +≠【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 0a b ==的否定为a b ，至少有一个不为0． 【答案】D ；【例11】 命题“2230ax ax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0a <或3a ≥B ．0a ≤或3a ≥C ．0a <或3a >D ．03a <<【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 0a <时，显然2230ax ax -+>不恒成立；0a =时，恒成立； 0a >时，只需240a ∆=-12a ≥即可，解得3a ≥．【答案】A ；【例12】 命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，则（ ）A ．命题p 和命题q 都是假命题B ．命题p 和命题q 都是真命题C ．命题p 和命题“非q ”的真值不同D ．命题p 和命题q 的真值不同【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 【答案】D ．【例13】 已知命题p ：若实数x y ，满足220x y +=，则x y ，全为0；命题q ：若a b >，则11a b<，给出下列四个复合命题：①p 且q ②p 或q ③p ⌝④q ⌝，其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 p 为真命题，q 为假命题，∴p ⌝为假命题，q ⌝为真命题，②④为真命题． 【答案】B ；【例14】 由下列各组命题构成“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“p ⌝”为真的是（ ）A ．p ：0=∅，q ：0∈∅B ．p ：等腰三角形一定是锐角三角形，q ：正三角形都相似C ．p ：{}{}a a b ，躿，q ：{}a a b ∈，D ．p ：53>，q ：12是质数【关键词】无【解析】 【答案】B ；【例15】 在下列结论中，正确的是（ ）①“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件②“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件③“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件④“p ⌝”为真是“p q ∧”为假的必要不充分条件A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 p q ∧为真,p q ⇒都为真p q ⇒∨为真，反之不成立，①正确； p q ∧为假，可能,p q 都为假，故推不出p q ∨为真，②错误；p ⌝为假，有p 为真，故p q ∨为真；而p q ∨为真，p 可能为假，从而p ⌝可能 为真，③正确；p ⌝为真，说明p 假，从而p q ∧为假，④错误；故选B ．【答案】B【例16】 设命题p ：2x >是24x >的充要条件，命题q ：若22a b c c >，则a b >．则( ) A ．“p 或q ”为真 B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假命题【考点】逻辑连接词 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2008年，北京东城，高考二模【解析】 p 假q 真．【答案】A ．【例17】 若命题“p 且q ”为假，且“p ⌝”为假，则 （）A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．p 假【关键词】无【解析】“p∧（且）为假，得q为假⌝”为假，则p为真，而p q【答案】B【例18】若条件:∈I,则PP x A B⌝是（）A.x A∉ D. x A B∉且x B∈⋃∈且x B∉ B. x A∉或x B∉ C. x A【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】P∉I，∴x至少不属于,A B中的一个.⌝：x A B【答案】B【例19】设集合{}{}=>=<,那么“x MM x x P x x|2,|3∈I”的∈”是“x M P∈,或x P（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】“x M∈I”，反之可以∈”不能推出“x M P∈,或x P【答案】A【例20】p或q”是假命题.其中正确的结论是（）A．①③B．②④C．②③D．①④【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】“非p或非q”是假命题⇒“非p”与“非q”均为假命题.【答案】C【例21】 已知命题p 且q 为假命题，则可以肯定 （ ）A.p 为真命题B.q 为假命题C.,p q 中至少有一个是假命题D.,p q 都是假命题【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 【答案】C【例22】 已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 :12p x ⌝+≤，31x -≤≤，2:56q x x ⌝-≤，2560x x -+≥，3x ≥或2x ≤ 【答案】A【例23】 下列判断正确的是 （ ）A.22x y x y ≠⇔≠或x y ≠-B.命题“a 、b 都是偶数，则a b +是偶数” 的逆否命题是“若a b +不是偶数，则a 、b 都不是偶数”C.若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是真命题D.已知,,a b c 是实数，关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集是空集，必有0a >且0∆≤【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】 A 不正确，因为“x y ≠或x y ≠-”只要求其中之一成立即行，而22x y ≠需二者都成立；B 不正确，“a 、b 都是偶数”的否定是“a 、b 不都是偶数”；D 不正确，不等式 20ax bx c ++≤的解集是空集还可能是0,0a b c ==> .【答案】C【例24】 在下边的横线上填上真命题或假命题．⑴若命题“p ⌝”与命题“p q ∨”都是真命题，那么p q ∧是______； p q ⌝∧是_____；⑵若命题“p ⌝或q ⌝”是假命题，那么p q ∧是______；p q ∨是_______； p ⌝是_______．【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】填空【关键词】无 【解析】 ⑴p ⌝真，说明p 为假命题；又p q ∨为真命题，故q 为真命题，从而p q ∧是假命题；p q ⌝∧是真命题；⑵根据“p ⌝或q ⌝”是假命题知，命题p ⌝、q ⌝都是假命题，从而p 、q 都是真命题，故p q ∧ 是真命题；p q ∨是真命题；p ⌝是假命题．【答案】⑴真命题，真命题，⑵真命题，真命题，假命题【例25】 ⑴p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的 条件；⑵p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的 条件．（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）．【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 ⑴p q ∨真⇒p 真或q 真；p q ∧真⇒p 真且q 真，故p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的必要不充分条件；⑵p ⌝假则p 真，从而p q ∨真，但p q ∨真时，p 可能假，故推不出p ⌝假，故p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件．【答案】⑴必要不充分，⑵充分不必要【例26】 如在下列说法中：①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件；③“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件；④“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件．其中正确的是__________．【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 【答案】①③．【例27】 如果命题“非p 或非q ”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且q ”是假命题；③命题“p 或q ”是真命题；④命题“用“充分、必要、充要”填空：①p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的________________条件；②p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的_____________________条件.【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 【答案】必要，必要【例28】 已知命题：:p “若1a >，则32a a >”；命题:q “若0a >，则1a a>”.则在“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”、“非q ”四个命题中，真命题是 .【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 p 真，q 假. 【答案】p 或q ,非q【例29】 命题:0p 不是自然数；命题q 是无理数，则在命题“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”、“非q ”中，真命题是 ；假命题是 .【考点】逻辑连接词 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 p 假，q 真. “p 或q ”为真，只要,p q 中有一个为真即可；“p 且q ”必须,p q中均为真.【答案】 “p 或q ”, “非p ”; “p 且q ”, “非q ”【例30】 命题“对一切非零实数x ，总有12x x+≥”的否定是 ，它是 命题.(填“真”或“假”)【考点】逻辑连接词 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 例如：2x =-，则1,0,2x R x x x∈≠+<. 【答案】1,0,2x R x x x∃∈≠+<，真命题【例31】 甲、乙两人参加一次竞赛，设命题p 是“甲获奖”，命题q 是“乙获奖”，试用p q，及逻辑联结词“且”、“或”、“非”表示：⑴两人都获奖； ⑵两人都未获奖； ⑶恰有一人获奖； ⑷至少有一人获奖．【考点】逻辑连接词 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑷也是对⑵中情况的否定，故也可表示为(()())p q ⌝⌝∧⌝，故容易知道(()())p q p q ∨=⌝⌝∧⌝，也即()()()p q p q ⌝∨=⌝∧⌝．【答案】⑴两人都获奖说明两个命题都成立，故为p q ∧；⑵都未获奖说明两个命题都不成立，故为()()p q ⌝∧⌝； ⑶恰有一人获奖说明一个命题成立，另一个命题不成立，故为()()p q p q ⌝∧∨∧⌝；⑷至少有一人获奖说明p 或q 成立，即p q ∨．【例32】 命题p ：若R a b ∈，，则1a b +>是1a b +>的充分条件，命题q ：函数y 的定义域是(1][3)-∞-+∞U ，，，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．p 且q 为真 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真【考点】逻辑连接词 【难度】3星 【题型】选择【关键词】无【解析】 令1,1a b ==-，知命题p 假；由1203x x --⇒≥≥或1x -≤，故命题q 真；【答案】D ；【例33】 已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④p s ⌝⌝是的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（ ）A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤【考点】逻辑连接词 【难度】3星 【题型】选择【关键词】2007年，湖北，高考【解析】 由右图易知；qsr p【答案】B ；【例34】 已知p ：方程220x mx ++=有两个不等的负根；q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根．若p q ∨为真，p q ∧为假，则实数m 的取值范围是_______．【考点】逻辑连接词 【难度】3星 【题型】填空【关键词】无【解析】 由题意知，命题p q ，一真一假；p 为真时有：280m m m -<⎧⇒>⎨∆=->⎩q 为真时有：216(2)16013m m ∆=--<⇒<<；p 真q 假时有3m ≥；p 假q 真时有1m <≤(1[3)m ∈+∞U ，； 【答案】(1[3)m ∈+∞U ，【例35】 已知命题p ：关于x 的不等式20062008x x a -+->恒成立；命题q ：关于x 的函数log (2)a y ax =-在[01]，上是减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是_______；【考点】逻辑连接词 【难度】3星 【题型】填空【关键词】无【解析】 由题意知，命题p q ，一真一假；20062008x x -+-的最小值为2，故此不等式恒成立，即p 为真时有2a <；q 为真时log (2)a y ax =-在[01]，上是减函数，∵0a >，故内层函数为减函数，从而外层对数函数为增函数，有1a >，又202a a ->⇒<，故12a <<；p 真q 假时1a ≤；p 假q 真时a 不存在，故(1]a ∈-∞，； 【答案】(1]-∞，；【例36】 已知命题p ：方程2220a x ax +-=在[11]-，上有解；命题q ：只有一个实数满足不等式2220x ax a ++≤．若p q ∨是假命题，求a 的取值范围．【考点】逻辑连接词 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 由2220a x ax +-=知0a ≠，解此方程得1212x x a a ==-，．∵方程2220a x ax +-=在[11]-，上有解，∴1||1a ≤或2||1a≤，∴||1a ≥．只有一个实数满足不等式2220x ax a ++≤，表明抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个公共点，∴2480a a ∆=-=， ∴0a =或2a =．∴命题p 为假，则11a -<<；命题q 为假，则0a ≠且2a ≠．∴若p q ∨是假命题，则p q ，都是假命题，a 的取值范围是(10)(01)-U ，，． 【答案】(10)(01)-U ，，【例37】 命题:p 方程210x mx ++=有两个不等的正实数根，命题:q 方程244(2)10x m x +++=无实数根.若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围.【考点】逻辑连接词 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 “p 或q ”为真命题，则p 为真命题，或q 为真命题，或q 和p 都是真命题当p 为真命题时，则2121240010m x x m x x ⎧∆=->⎪+=->⎨⎪=>⎩，得2m <-；当q 为真命题时，则216(2)160m ∆=+-<，得31m -<<- 当q 和p 都是真命题时，得32m -<<- ∴1m <-【答案】1m <-【例38】 已知函数2()(1)lg 2f x x a x a =++++(R a ∈，且2)a ≠-，⑴()f x 能表示成一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 的和，求()g x 和()h x 的解析式；⑵命题p ：函数()f x 在区间2[(1))a ++∞，上是增函数；命题q ：函数()g x 是减函数．如果命题p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围． ⑶在⑵的条件下，比较(2)f 与3lg2-的大小．【考点】逻辑连接词 【难度】4星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴∵()()()f x g x h x =+，()()()()()f x g x h x g x h x -=-+-=-+，∴[]1()()()(1)2g x f x f x a x =--=+，[]21()()()lg 22h x f x f x x a =+-=++； ⑵命题p 为真时有：21(1)2a a +-+≤1a ⇒≥-或32a -≤，命题q 为真时有：101a a +<⇒<-；命题p 且q 为假，p 或q 为真包括：p 真q 假与p 假q 真两种情况；故1a -≥或312a -<<-，即32a >-；⑶(2)42(1)lg 226lg 2f a a a a =++++=+++，(2)(3lg 2)23lg 2lg 2f a a --=++++，32x >-时，20x +>，函数()23lg 2lg 2x x x ϕ=++++在32⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增， 故3()02a ϕϕ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，即在⑵的条件下，(2)3lg2f >-．【答案】⑴()(1)g x a x =+，2()lg 2h x x a =++， ⑵32a >-，⑶(2)3lg2f >-题型二：全称量词与存在量词【例39】 判断下列命题是全称命题，还是存在性命题．⑴平面四边形都存在外接圆；⑵有些直线没有斜率； ⑶三角形的内角和等于π； ⑷有一些向量方向不定； ⑸所有的有理数都是整数； ⑹实数的平方是非负的．【考点】全称量词与存在量词 【难度】1星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ．【答案】⑴全称命题；⑵存在性命题；⑶全称命题，意思是所有的三角形都有内角和等于π；⑷存在性命题；⑸全称命题；⑹全称命题【例40】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题．⑴线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑵负数的平方是正数；⑶有些三角形不是等腰三角形； ⑷有些菱形是正方形．【考点】全称量词与存在量词 【难度】1星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】⑴全称命题；⑵全称命题；⑶存在性命题；⑷存在性命题．【例41】 设语句()p x ：cos()sin 2πx x +=-，写出“()R p θθ∀∈，”，并判断它是不是真命题．【考点】全称量词与存在量词 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 R θ∀∈，cos()sin 2πθθ+=-；由诱导公式知，是真命题．【答案】R θ∀∈，cos()sin 2πθθ+=-；真命题【例42】 用量词符号“∀∃，”表示下列命题，并判断下列命题的真假．⑴任意实数x 都有，2210x x ++>； ⑵存在实数x ，2210x x ++<；⑶存在一对实数a b ，，使20a b +<成立； ⑷有理数x 的平方仍为有理数；⑸实数的平方大于0．⑹有一个实数乘以任意一个实数都等于0．【考点】全称量词与存在量词 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴R x ∀∈，2210x x ++>；假命题，1x =-时，结论不成立；⑵R x ∃∈，2210x x ++<；假命题，R x ∈时，2221(1)0x x x ++=+≥； ⑶R a b ∃∈，，20a b +<；真命题，如12a b ==-，； ⑷Q x ∀∈，2Q x ∈；真命题； ⑸R x ∀∈，20x >；假命题，200=．⑹R a ∃∈，R x ∀∈，有0ax =；真命题，0a =即满足．【答案】⑴R x ∀∈，2210x x ++>；假命题⑵R x ∃∈，2210x x ++<；假命题 ⑶R a b ∃∈，，20a b +<；真命题 ⑷Q x ∀∈，2Q x ∈；真命题⑸R x ∀∈，20x >；假命题，200=． ⑹R a ∃∈，R x ∀∈，有0ax =；真命题【例43】判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．⑴所有的素数是奇数；⑵一切实数x，有2(1)0x->；⑶对于正实数x，12xx+≥；⑷1sin2sinRx xx∀∈+，≥；⑸一定有实数x满足2230x x--=；⑹至少有一个整数x能被2和3整除；⑺存在两个相交平面垂直于同一条直线；⑻{|x x x∃∈是无理数}，2x是无理数．【考点】全称量词与存在量词【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】⑴⑵⑶⑷是全称命题，⑸⑹⑺⑻是存在性命题，⑴⑵⑷⑺是假命题，⑶⑸⑹⑻是真命题．【例44】判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．⑴21x+是整数（Rx∈）；⑵对所有的实数x，3x>；⑶对任意一个整数x，221x+为奇数；⑷末位是0的整数，可以被2整除；⑸角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；⑹正四面体中两侧面的夹角相等；⑺有的实数是无限不循环小数；⑻有些三角形不是等腰三角形；⑼有的菱形是正方形．【考点】全称量词与存在量词【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】⑴~⑹是全称命题，⑺~⑼是存在性命题，⑶~⑼是真命题，⑴⑵是假命题．【答案】⑴~⑹是全称命题，⑺~⑼是存在性命题，⑶~⑼是真命题，⑴⑵是假命题【例45】 写出下列命题p 的否定形式，并判断p 与p ⌝的真假．⑴平行四边形的对边相等； ⑵不等式22210x x ++≤有实数解． ⑶R x ∀∈，210x x ++>； ⑷R x ∃∈，21x x +<； ⑸有些实数的绝对值是正数．⑹不是每个质数都是偶数．【考点】全称量词与存在量词 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴p ⌝：存在对边不相等的平行四边形；p 真，p ⌝假；⑵p ⌝：不等式22210x x ++≤无实数解；p 假，p ⌝真； ⑶p ⌝：R x ∃∈，210x x ++≤；p 真，p ⌝假； ⑷p ⌝：R x ∀∈，21x x +≥；p 假，p ⌝真；⑸p ⌝：任意实数的绝对值都不是正数（或：,0R x x ∀∈≤）；p 真，p ⌝假． ⑹p ⌝：每个质数都是偶数；p 真，p ⌝假．【答案】⑴p 真，p ⌝假；⑵p 假，p ⌝真；⑶p 真，p ⌝假；⑷p 假，p ⌝真；⑸p 真，p ⌝假；⑹p 真，p ⌝假．【例46】 判断下列命题的真假：(1)对任意的,x y 都有222x y xy +≥； (2)所有四边形的两条对角线都互相平分； (3)∃实数2a ≠且1b ≠-使22425a b a b +-+≤-；(4)存在实数x 使函数4()(0)f x x x x=+>取得最小值4.【考点】全称量词与存在量词 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)是真命题，因为对任意实数,x y ，都有2222()0x y xy x y +-=-≥，∴222x y xy +≥.(2)是假命题，只有平行四边形才满足两条对角线互相平分，如梯形就不满足这个条件.(3)是假命题，因为2222425(2)(1)0a b a b a b +-++=-++≥，当且仅当2,1a b ==-时等号成立， 所以不存在实数对,a b ，使22(2)(1)0a b -++<，不存在即实数2a ≠且1b ≠-使22425a b a b +-+≤-.(4)是真命题，因为存在实数20x =>，使函数4()(0)f x x x x=+>取得最小值4.【答案】(1)是真命题，(2)是假命题，(3)是假命题，(4)是真命题。
高中数学命题联结词 -回复
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一、逻辑推理类：因此、所以、由此可见、因而、可推知、推而广之、由此可得、归纳可知、总结起来、总结以上、根据、据此、凭借、根据推测、由此论证、可以推断、可以得出、得到的结论是、可以推论出、可以说明、表明、说明了、说明、证实、验证、证明了、可以推出。
二、条件关系类：如果、只有、必要条件是、充分条件是、除非、虽然、如果...那么、只要、必要或充分条件是、即使、只有当、可推导出、假设、假如、假定、相当于、反过来说、并且、当且仅当、至少、不仅...而且、前提是、得到的结论是、前提是、必然、那么就、当且仅当、无非是、是...的一个充要条件、是...的一个必要条件、是...的一个充分条件、是...的一个必需条件。
三、数量关系类：大于、小于、等于、至少、至多、恰好、有限个、无穷个、满足、其中之一、整数、实数、正数、负数、比例、比如、即为、如何使...成立、若是...则。
四、充分性和必要性类：充分条件、必要条件、要使...成立、成为...的充分条件、成为...的必要条件、当且仅当、满足了...就能、只有、只要、如果、除非。
五、并列关系类：并且、或者、是...还是、既...又、不仅...而且、同时、同样、又又、不但...而且、虽然...但是、但是、虽然...但是、然而、但、然后、而、却、哪怕、亦。
六、适度强化与缓和类：更甚、更进、更甚至、而且、同样、也、同样地、该、每、每个、每一、任一、有且仅有、最、至、犹、猛然、迅猛地、急剧、显著、会、可能、多、一直、均、均为、几乎、趋近、较、略、略为、极、极其、极为、非常、很、甚、相当、较大、较多、很大、很多、多数、较小、相对较小、很小、很少、少数、不多、胜过、远远。
以上仅为数学命题中常见的联结词汇，具体使用还需根据具体题目和句子结构进行判断。
逻辑联结词、量词 知识点+例题 分类全面
p或q联结起来，就得到一个新命题，记作=∈B x x{|(加以否定，得到一个新的命题，记作在全集U中的补集：答案 B解析 因为M N ，所以a ∈M ⇒a ∈N ，反之，则不成立，故“a ∈N ”是“a ∈M ”的必要而不充分条件．故选B.6．若命题p ：对于任意x ∈[－1,1]，有f (x )≥0，则对命题p 的否定是________．答案 存在x 0∈[－1,1]，使f (x 0)<07．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若“⌝q 且p ”为真，则x 的取值范围是____________________． 答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“綈q 且p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，得2<x <3，所以q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，解得x <－3或1<x ≤2或x ≥3， 所以x 的取值范围是x <－3或1<x ≤2或x ≥3.8．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧(⌝q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.9．已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．解 ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0<c <1.即p ：0<c <1，∵c >0且c ≠1，∴綈p ：c >1.又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12. 即q ：0<c ≤12，∵c >0且c ≠1，∴綈q ：c >12且c ≠1. 又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 真q 假或p 假q 真．①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∅. 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. 能力提升训练。
(全国通用)高考数学 考点一遍过 专题03 逻辑联结词、全称量词与存在量词(含解析)文-人教版高三全
考点03逻辑联结词、全称量词与存在量词1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. 2．理解全称量词和存在量词的意义. 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定.一、逻辑联结词1．常见的逻辑联结词：或、且、非一般地，用联结词“且”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧，读作“p 且q ”； 用联结词“或”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨，读作“p 或q ”； 对一个命题p 的结论进行否定，得到一个新命题，记作p ⌝，读作“非p ”． 2．复合命题的真假判断“p 且q ”“p 或q ”“非p ”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：pqp ⌝ q ⌝p q ∨p q ∧()p q ⌝∨()p q ⌝∧()()p q ⌝∨⌝()()p q ⌝∧⌝真 真 假 假 真 真 假 假 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 真 假 假 真 真 假 假假真真假假真真真真3．必记结论含有逻辑联结词的命题的真假判断： （1）p q ∧中一假则假，全真才真． （2）p q ∨中一真则真，全假才假． （3）p 与p ⌝真假性相反．注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆这两者的概念. 二、全称命题与特称命题 1．全称量词和存在量词 量词名称 常见量词符号表示全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等2．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择.全称命题“()x A p x ∀∈，” 特称命题“()00x A q x ∃∈，” 表述方法对所有的()x A p x ∈，成立 存在()00x A q x ∈，成立 对一切()x A p x ∈，成立至少有一个()00x A q x ∈，成立 对每一个()x A p x ∈，成立 对有些()00x A q x ∈，成立 任选一个()x A p x ∈，成立 对某个()00x A q x ∈，成立 凡x A ∈，都有()p x 成立有一个0x A ∈，使()0q x 成立3．含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：命题命题的否定,()x M p x ∀∈ 00,()x M p x ∃∈⌝00,()x M p x ∃∈,()x M p x ∀∈⌝考向一判断复合命题的真假1．判断“p q ∧”、“p q ∨”形式复合命题真假的步骤：第一步，确定复合命题的构成形式； 第二步，判断简单命题p 、q 的真假； 第三步，根据真值表作出判断．注意：一真“或”为真，一假“且”为假．2．不含逻辑联结词的复合命题，通过辨析命题中词语的含义和实际背景，弄清其构成形式． 3．当p q ∨为真，p 与q 一真一假；p q ∧为假时，p 与q 至少有一个为假.典例1已知命题p ：若函数2()||f x x x a =+-是偶函数，则0a =；命题q ：(0,)m ∀∈+∞，关于x 的方程2210mx x -+=有解．在①p q ∨；②p q ∧；③()p q ⌝∧；④()()p q ⌝∨⌝中，为真命题的是A ．②③B ．②④C ．③④D ．①④ 【答案】D【解题技巧】1．辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．2．准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是…也是…”，“兼”，“不但…而且…”，“既…又…”，“要么…，要么…”，“不仅…还…”等．3．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式．如：a ≥3是a >3或a ＝3；xy ＝0是x ＝0或y ＝0；x 2＋y 2＝0是x ＝0且y ＝0.1．已知命题021x p x ∀≥≥：，；命题q ：若x y >，则22x y >．则下列命题为真命题的是A ． p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨考向二判断全称命题与特称命题的真假要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.典例2 下列命题中是假命题的是A ．,,αβ∃∈R 使sin()sin sin αβαβ+=+B ．ϕ∀∈R ，函数()sin(2)f x x ϕ=+都不是偶函数C ．m ∃∈R,使243()(1)m m f x m x-+=-是幂函数，且在(0,)+∞上单调递减D ．0a ∀>，函数2()ln ln f x x x a =+-有零点 【答案】B对于选项C ，如当2m =时，11()=f x x x-=，()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以选项C 中的命题为真命题；对于选项D ，当()0f x =时，2ln ln 0x x a +-=，则22111ln ln (ln )244a x x x =+=+-≥-，所以0a ∀>，函数2()ln ln f x x x a =+-有零点，所以选项D 中的命题为真命题.【名师点睛】全称命题与特称命题的真假判断在高考中出现时，常与数学中的其他知识点相结合，题型以选择题为主，难度一般不大.2．已知集合{}|2A x x =>，集合{}|3B x x =>，则以下命题正确的个数是①00,x A x B ∃∈∉；②00,x B x A ∃∈∉；③x A x B ∀∈∈都有；④x B x A ∀∈∈都有． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1考向三含有一个量词的命题的否定一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论.典例3已知命题()31,,168p x x x ∀∈+∞+>：，则命题p 的否定为A ．()31,,168p x x x ⌝∀∈+∞+≤： B ．()31,,168p x x x ⌝∀∈+∞+<：C ．()30001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+≤： D ．()30001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+<：【答案】C【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为()30001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+≤：.故选C.3．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:p x A ∀∈，2x B ∈，则A ．:,2p x A xB ⌝∃∈∈B ．:,2p x A x B ⌝∃∉∈C ．:,2p x A x B ⌝∃∈∉D ．:,2p x A x B ⌝∀∉∉1．下列命题中既是p q ∧形式的命题，又是真命题的是A ．10或15是5的倍数B ．方程234=0x x --的两根是4-和1C ．方程21=0x +没有实数根D ．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形 2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是A ．0x x ∀∈>R ，B ．000x x ∃∈>R ，C ．0x x ∀∈≤R ，D ．000x x ∃∈≤R ，3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定X 围”，是“乙降落在指定X 围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定X 围”可表示为 A ．()()p q ⌝∨⌝ B ．()p q ∨⌝ C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨4．设a 、b 、c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是A ．p q ∨B ．p q ∧C ．p q ⌝∧⌝（）（）D ．p q ∨⌝（）5．若命题22:421p x ax x a x ∀∈++≥-+R ，是真命题，则实数a 的取值X 围是 A ．(]2-∞，B ．[2+)∞，C ．(2,)-+∞D ．(2,2)-6．已知命题2104p x x x <-∀∈+R ：，，命题000sin +c s o q x x x ∃∈R ：，，则,,p q p q p ∨∧⌝中，是真命题的有__________________．7．设函数(),0,0.xxxf x a b c c a c b =+->>>>其中（1）则(,,)a b c M ∈所对应的()f x 的零点的取值集合为__________________．（2）若,,a b c ABC 是△的三条边长，则下列结论正确的是__________________．（写出所有正确结论的序号）①()(),1,0;x f x ∀∈-∞>②,,,xxxx a b c ∃∈R 使不能构成一个三角形的三条边长； ③若()()1,2,0.ABC x f x ∃∈=△为钝角三角形，则使1．（2017某某文科）已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝2．（2015某某文科）命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-1．【答案】B【解析】显然命题021x p x ∀≥≥：，是真命题；命题q ：若x y >，则22x y >是假命题，所以q ⌝是真命题，故()p q ∧⌝为真命题. 2．【答案】C3．【答案】C【解析】注意到“任意”的否定是“存在”，“属于”的否定是“不属于”，将∀改为，将2x B ∈改为2x B ∉，于是有p ⌝：x A ∃∈，2x B ∉，故选C.变式拓展1．【答案】D【解析】A 中的命题是p q ∨型命题，B 中的命题是假命题，C 中的命题是p ⌝的形式，D 中的命题为p q ∧型，且为真命题． 2．【答案】C【解析】由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C. 3．【答案】A【解析】 “至少有一位学员没有降落在指定X 围”即：“甲或乙没有降落在指定X 围内”.故选A. 4．【答案】A【解析】取a ＝c ＝（1,0），b ＝（0,1）知，a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ≠0，∴命题p 为假命题； ∵a ∥b ，b ∥c ，∴存在λ，μ∈R ，使a ＝λb ，b ＝μc ， ∴a ＝λμc ，∴a ∥c ，∴命题q 是真命题．∴p ∨q 为真命题． 5．【答案】B【解析】22421ax x a x ++≥-+是真命题，即不等式22421ax x a x ++≥-+对x ∀∈R 恒成立，即2()(210)4a x x a +++-≥恒成立． 当a ＋2＝0时，不符合题意．故有200a ∆+>⎧⎨≤⎩，即220,164480a a a +>⎧⎨--+≤⎩解得2a ≥.故选B. 6．【答案】,p q p ∨⌝【解析】∵22(1)1=042x x x +-≥-，∴p 是假命题.∵存在0=4x π，使00sin c 2os =x x +，∴q 是真命题，因此p q ∨是真命题，¬p 是真命题．7．【答案】（1）{|01}x x <≤；（2）①②③考点冲关（2）由题设知,0,(,1),(),x a a a b c c x c c +>>∴∀∈-∞>(),()()1,x x x b b a bc c c c>∴+>即()0,f x >则①正确；令1x =-，2,4,5a b c ===，则111,,245x x x a b c ===，不能构成一个三角形的三条边长，则②正确；由ABC △为钝角三角形，知222,a b c +<∴(2)0.f <又a b c +>，∴1,a bc c+>∴(1)0,f >由零点存在性定理可知③正确.故填①②③.1．【答案】B【解析】由0x =时，210x x -+≥成立知p 是真命题；由221(2),12<->-可知q 是假命题,所以p q ∧⌝是真命题,故选B.【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理与证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假． 2．【答案】C【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故应选C.【名师点睛】本题考查特称命题和全称命题的否定形式，属识记基础题.。
数学逻辑连接词
数学逻辑连接词数学逻辑连接词: 因果关系、充分条件、必要条件、等价、充分充要、充分非必要、必要非充分、充分非必要非、充分充要非、等价非、充分非必要非充分、必要非充分、充分充要非必要、等价非充分、充分非必要非充分非、必要非充分非、充分充要非必要非、等价非充分非、充分非必要非充分非必要非、必要非充分非必要非、等价非充分非必要非充分非必要非因果关系是数学逻辑中常见的一种连接词。
它表示两个事件或者两个命题之间的因果关系。
例如，如果A发生，那么B也会发生。
在数学推理中，我们经常使用因果关系来推导结论。
充分条件是另一种常见的逻辑连接词。
它表示如果A成立，那么B 也一定成立。
充分条件是一个充分推理的条件，它能够帮助我们得出结论。
必要条件是与充分条件相对应的逻辑连接词。
它表示如果B成立，那么A一定成立。
必要条件是一个必要推理的条件，它能够帮助我们确定前提。
等价是逻辑中常见的一种关系。
它表示两个命题具有相同的真值。
如果两个命题互为真或者互为假，那么它们是等价的。
等价关系可以帮助我们简化复杂的逻辑推理。
充分充要是充分条件与必要条件的合并。
它表示如果A成立，那么B一定成立，并且如果B成立，那么A也一定成立。
充分充要是一个同时包含充分条件和必要条件的逻辑连接词。
充分非必要是充分条件的否定。
它表示如果A成立，那么B不一定成立。
充分非必要是一个只包含充分条件的逻辑连接词。
必要非充分是必要条件的否定。
它表示如果B成立，那么A不一定成立。
必要非充分是一个只包含必要条件的逻辑连接词。
充分非必要非是充分条件和必要条件的否定。
它表示如果A成立，那么B不一定成立，并且如果B成立，那么A也不一定成立。
充分非必要非是一个同时包含充分条件和必要条件的逻辑连接词。
充分充要非是充分条件、必要条件和否定的合并。
它表示如果A成立，那么B一定成立，并且如果B成立，那么A也一定成立。
充分充要非是一个同时包含充分条件、必要条件和否定的逻辑连接词。
等价非是等价关系的否定。
高中数学命题联结词
高中数学命题联结词在高中数学的学习过程中，我们经常遇到各种各样的题目，这些题目往往涉及到多个概念之间的联系与演绎。
为了将这些概念有机地结合起来，我们需要使用一些特定的联结词，以确保逻辑的连贯性和准确性。
本文将介绍一些常用的高中数学命题联结词，并通过例题来说明其使用方法。
1. 并且（且）"并且"是最常见的联结词之一，表示两个概念或条件同时存在。
在数学题目中，我们常用它来表达两个或多个条件的共同满足。
比如，在解方程题中，若题目给出多个条件，我们会使用“并且”来表示同时满足这些条件的解。
例题1：若 x > 0 并且 x + 5 = 8 ，求 x 的值。
解析：题目中使用了"并且"联结词，表示 x 大于 0 且满足 x + 5 = 8。
通过解方程可知 x = 3。
2. 或者（或）"或者"是另一个常见的联结词，表示两个概念或条件中的一个成立。
在数学题目中，使用"或者"联结词可以引出多种情况，需要根据具体情况进行判断和求解。
例题2：判断下列不等式 x > 2 或者 x < -1 中的解集。
解析：题目中使用了"或者"联结词，表示不等式 x > 2 或者 x < -1 中的一个条件成立即可。
根据不等式的性质可知，当 x > 2 时，不等式成立；当 x < -1 时，不等式同样成立。
因此，解集为 x ∈(-∞, -1) ∪ (2, +∞)。
3. 如果...那么"如果...那么"是用来表达条件与结论之间逻辑关系的常用联结词。
在数学证明过程中常用此联结词来阐述定理、推理步骤等。
例题3：如果 a + b = 0 ，那么 a 和 b 互为相反数。
解析：题目中使用了"如果...那么"联结词，表示当 a + b = 0 成立时，a 和 b 互为相反数。
高中数学 简单的逻辑联结词练习题
x x x 简单的逻辑联结词1．选择题(1)给出下列 3 个命题判断①“至多有两个”的否定是“至少有两个” ②若 a ＜b ，则关于 x 的不等式 x - a ≤ 0 解集为{x ｜a ≤x ≤b }是真命题 b - x③向量 a 、b ，若 a ≠0，a · b ＝0，则 b ＝0 是假命题其中真命题的序号是( )A ．①B ．③C ．①②D ．①③(2)命题“若函数 f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数，则 log a 2＜0”的逆否命题是()A ．若 log a 2≥0，则函数 f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内不是减函数B ．若 log a 2＜0，则函数 f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内不是减函数C ．若 log a 2≥0，则函数 f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数D ．若 log a 2＜0，则函数 f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数 (3)命题“对任意的 x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( )A ．不存在 x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0B ．存在 x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0C ．存在 x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0D ．对任意的 x ∈R ，x 3－x 2＋1＞02．填空题：(4)写出命题“若 a 、b 都是偶数，则 a ＋b 是偶数．”的逆否命题为________．(5)写出命题“若 x ＋y ＞0，xy ＞0，则 x ＞0，y ＞0”的否命题为________．(6)用反证法证明“a 、b 、c 中至少有一个大于 0”的假设内容应是________．3．解答题(7)已知命题 p ：所有有理数都是实数，命题 q ：正数的对数都是负数，试判断以下四个命题①( ⌝ p )∨q ②p ∧q ③( ⌝ p )∧( ⌝ q ) ④( ⌝ p )∨( ⌝ q )的真假．(8)命题 p ：方程 x 2＋mx ＋1＝0 有两个不等的正实数根，命题 q ：方程 4x 2＋4(m ＋2)x ＋1＝0 无实数根，若“p或 q ”为真命题，求 m 的取值范围．(9)已知下列三个关于 x 的方程： 2＋4ax －4a ＋3＝0， 2＋(a －1)x ＋a 2＝0， 2＋2ax －2a ＝0 至少有一个有实根，求实数 a 的取值范围．当 p 为真命题时，则 ⎨ x + x = -m > 0 ， ⎪ x x = 1 > 0 ⎧ 3 1 ⎪ 2 ⎪⎪ ⎪ 1 ⎨∆ 2 = (a - 1)2 - 4a 2 < 0 ，即 ⎨ a > , 或 a < -1，得 - 3 ⎩∆3 = (2a)2 - 4(-2a) < 0 ⎪- 2 < a < 0 答案：简单的逻辑联结词(1)B 解：①“至多有两个”的否定是“至少有三个” ②若 a ＜b ，则关于 x 的不等式 x - a ≤ 0 解集为{x|x ≥b 或 x ≤a } b - x③取向量 a 、b ，满足 a ≠0，b ≠0 且 a ⊥b ，则 a ·b ＝0．(2)A(3)C 解：对“任意的 x ∈R ”的否定是“存在 x ∈R ”；对于“x 3－x 2＋1≤0”的否定是“x 3－x 2＋1＞0”(4)“若 a ＋b 不是偶数，则 a 、b 不都是偶数．”(5)若 x ＋y ≤0，或 xy ≤0，则 x ≤0，y ≤0．(6)a ≤0 且 b ≤0 且 c ≤0；或写为“a 、b 、c 全都小于等于 0”(7)解：命题 p ：所有有理数都是实数是真命题，命题 q ：正数的对数都是负数是假命题．所以 ⌝ p 为假， ⌝ q 为真．①( ⌝ p )∨q 为假，②p ∧q 为假，③( ⌝ p )∧( ⌝ q )为假，④( ⌝ p )∨( ⌝ q )为真．(8)解：“p 或 q ”为真命题，则 p 为真命题，或 q 为真命题，或 q 和 p 都是真命题⎧∆ = m 2 - 4 > 0 ⎪ 1 2 ⎩ 1 2得 m ＜－2；当 q 为真命题时，则∆＝16(m ＋2)2－16＜0，得－3＜m ＜－1当 q 和 p 都是真命题时，得－3＜m ＜－2∴m ∈(－∞，－1)(9)解：设三个关于 x 的方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0……①，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0……②，x 2＋2ax －2a ＝0……③全 都没有实根，则- < a < ⎧∆ = (4a)2 - 4(-4a + 3) < 0 2 1 ⎪ ⎪ ⎪⎩ 3 2 < a < -1 3 ∴ a ≤ - ，或 a ≥ －1． 2所以三个关于 x 的方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0 至少有一个有实根，实数 a 的取值范围为3 (-∞,- ) Y (-1,+∞) ． 2P3。
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高考数学百大经典例题——逻辑联结词
例1 下列语句中不是命题的是
[ ] A．台湾是中国的
B．两军相遇勇者胜
C．上海是中国最大的城市
D．连接A、B两点
分析“D”是描述性语句．
答D．
例2 命题“方程x2－4＝0的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是
[ ] A．没有使用联结词
B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“且”
D．使用了逻辑联结词“非”
分析注意到x＝±2是x＝2或x＝－2．
答选B．
例3命题①梯形不是平行四边形；②等腰三角形的底角相等；③有两个内角互补的四边形是梯形或圆内接四边形或是平行四边形；④60是5或2的公倍数，其中复合命题有
[ ] A．①③④B．③④
C．③
D．①③
分析②是简单命题，其余的均为复合命题．
解选A．
5
4 3p p
例命题“的值不超过”看作非的形式，则为，看作是“p或q”形式，p为________，q为________．
分析“不超过”用“≤”表示，其否定是“＞”，“≤”可以看作为“＜”或“＝”的复合形式．
555
333
答依次为“＞”、“＜”、“＝”．
说明：对命题的否定要“全面”，比如“＞”的否定不是“＜”．
例5 分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：
(1)4既是8的约数，也是12的约数；
(2)张明是数学课代表或英语课代数；
(3)江苏省不是中国面积最大的省．
分析先寻找逻辑联结词，再确定被联结的简单命题．
解(1)p且q，p：4是8的约数，q：4是12的约数；
(2)p或q，p：张明是数学课代表，q：张明是英语课代表；
(3)非p、p：江苏省是中国面积最大的省．
例6以下判断正确的是
[ ]
A ．若p 是真命题，则“p 且q ”一定是真命题
B ．命题“p 且q ”是真命题，则命题p 一定是真命题
C ．命题“p 且q ”是假命题时，命题p 一定是假命题
D ．命题p 是假命题时，命题“p 且q ”不一定是假命题 解 根据真值表．选B ．
说明：在记忆真值表的时候，要体会它的合理性．
例7 如果命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，那么
[ ]
A ．命题p 不一定是假命题
B ．命题q 一定是真命题
C ．命题q 不一定是真命题
D ．命题p 与命题q 的真值相同 分析 p 为假，从而q 为真． 解 选B ．
例8 若p 、q 是两个简单命题，且“p 或q ”的否定是真命题，则必有
[ ]
A ．p 真q 真
B ．p 假q 假
C ．p 真q 假
D ．p 假q 真 分析 利用逆否命题与原命题的等价性，结合真值表确定结论． 解 ∵“p 或q ”的否定是“非p 且非q ”，这是一个真命题，所以由真值表．非p 、非q 都是真命题，那么p 假q 假．选B ．
点击思维
例9 有下列五个命题 (1)40能被3或5整除；
(2)不存在实数x ，使x 2＋x ＋1＜0； (3)对任意实数x ，均有x ＋1＞x ； (4)方程x 2－2x ＋3＝0有两个不等的实根；
(5)0不等式＜的解集为．x x x 21
1
-++∅||
其中假命题为________．(只填序号) 分析 使用不同的方法分别验证． 答 填写(4)．
例10 p ：菱形的对角线互相垂直．q ：菱形的对角线互相平分．求下列复合命题：
(1)p 或q (2)p 且q (3)非p
分析 一般的问题都是“拆”复合命题，这儿是“造”复合命题，关键在于“合”．
解 (1)菱形的对角线互相垂直或平分； (2)菱形的对角线互相垂直且平分； (3)菱形的对角线互相不垂直．
例11以1表示真，以0表示假，填写下面的真值表．
分析将q的可能取值与p对应，然后依真值表逐格填写．
解
说明：有时需要我们综合应用真值表．
例12 分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假．
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(1)p q
：是无理数．：是实数．
(2)p：4＞6．q：4＋6≠10．
分析利用真值表．
解(1)p或q：真；p且q：真；非p：假．
(2)p或q：假；p且q：假；非p：真．
说明：本题是要求先“造”命题，然后判定其真假．
例13 如果命题“p或q”是真命题，“非p”是假命题，那么
[ ] A．命题p一定是假命题
B．命题q一定是假命题
C．命题q一定是真命题
D．命题q是真命题或者假命题
分析利用真值表回推．
答选D．
说明：解题过程中注意发挥逆向思维的作用．
例14命题“非空集合A∩B中的元素既是A中的元素也是B中元素”是________形式．命题“非空集合A∪B中的元素是A的元素或是B的元素”是
________形式．
分析x∈A∩B则x∈A且x∈B，填p且q．
x∈A∪B则x∈A或x∈B．填p或q．
答填p且q；p或q．
说明：本题是集合问题与命题概念的结合．
例15分别指出下列各命题的形式及构
成它的简单命题，并指出复合命题的真假．
(1)8或6是30的约数；
(2)矩形的对角线垂直平分；
(3)方程x2－2x＋3＝0没有实数根．
分析分清形式结构，判断简单命题真假，利用真值表再判断原复合命题真假．
解(1)p或q，p：8是30的约数(假)，q：6是30的约数(真)．“q或q”为真．
(2)p且q，p：矩形的对角线互相垂直(假)，q：矩形的对角线互相平分(真)．“p 且q”为假．
(3)非p、p：x2－2x＋3＝0有实根(假)．非p为真．
说明：将简易逻辑知识负载在其他知识之上。