数独问题高效算法研究与实现

数独问题高效算法的研究与实现
摘要：数独益智游戏（sudoku）是近年来全球流行的一种智力游戏。

本文通过分析数据结构、“非循环判断”预处理算法和回溯算法，深入探讨了数独问题的解决方案，并给出了该方案的实现算法，实验证明该算法是正确高效的。

关键词：数独；非循环判断；算法；回溯法
中图分类号：tp302
“数独”益智游戏（sudoku）是瑞士数学家欧拉发明的，目前在国内外非常流行。

游戏在9*9的单元表格中进行，单元表格不仅被分为9行、9列，也被分为3*3个九宫格。

单元表格中已存在若干数字，其余为空格。

游戏规则要求玩家在每个空格中填入1～9之间的数字，使每个数字在每行、每列、每个九宫格仅出现一次。

国内许多论文对数独游戏的教学意义做了深入讨论，但研究其求解算法的论文不多[1]，用计算机进行快速求解的算法更少，参考文献[2]使用“有限递推”预处理提高了算法的执行速度，但其本身每次都要处理候选数字也耗时不少；参考文献[3]提出了效率较高的算法，但其冲突检测还可提高效率。

本文对“数独”游戏进行深入研究后用c语言设计出一种基于“非循环判断”预处理的回溯算法，然后用参考文献[2]中的三个实例及号称世界上迄今难度最大的数独游戏[4]（芬兰数学家因卡拉花费3个月时间设计的）进行测试，实践证明该算法正确且高效。

1 数据结构与回溯法简介
1.1 数据结构
精心设计的数据结构可让算法更加高效[5]。

主要的数据结构是5个整型数组，其中2个一维数组，3个二维数组：
（1）int aresult [81]，该数组的用途是接收题目（空白处则初始值为0）以及保存最终结果（所有的9*9个数字按序存储在该数组中）；
（2）int aempty [81]，该数组记载空白单元表格的序号和试填数字（前2位表示序号，第3位表示数字），这样既可减少搜索空间又方便下一次试填数字（原试填数字+1）；
（3）int arow [9][9]，该数组标识某行某个数字是否存在，减少判断时间；
（4）int acol[9][9]，该数组标识某列某个数字是否存在，减少判断时间；
（5）int anine [9][9]，该数组标识某九宫格某个数字是否存在，减少判断时间。

1.2 回溯法简介
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。

探索到某一步，发现原先选择并不优或达不到目标时，就退回一步重新选择[6]。

2 预处理算法
在读取数独问题时用特定数组记载空白单元表格的序号，过滤掉已填数字表格，减少搜索空间；判断某一空格能否填入某一数字时
本文采用“非循环判断”预处理算法（一般采用循环判断[2][3]），该算法思想是：按序扫描问题时，对原有数字进行预处理，即根据该格序号及数字对arow、acol和anine数组进行相应标记，如：第9格（下标从0开始）的数字为5，预处理时该格行号为1、列号为0、九宫格序号为0，结果为：arow[1][4]=1，acol [0][4]=1，anine [0][4]=1，则表明第1行、第0列和第0九宫格不能填数字5。

3 算法设计
（1）读入数独问题。

（2）给数组aempty、aresult、arow、acol 和anine赋初值。

（3）按序扫描问题，把未填数字的空格序号乘以10后存入aempty 数组，把已填数字或0按序号存入aresult数组，同时根据序号及已经填的数字给arow、acol和anine数组进行预处理。

（4）如果aempty数组中存在未填写数字的空格序号，则从aempty 数组中取出一个未填写数字的空格序号，否则执行（11）。

（5）把取出的空格序号进行行号、列号及九宫格序号分解。

（6）从数字1开始直到数字9尝试填写，并对其行、列及九宫格进行冲突判断，若尝试成功执行（7），否则执行（8）。

（7）执行相应标识处理后转到（4）。

（8）退回到上一个填数序号，若该填数序号存在则执行相应标识处理后执行（9），否则执行（12）。

（9）如果原来填写数字的下一个数字存在，对原来填写数字的
下一个数字尝试填写。

（10）下一个数字尝试填写成功执行（7），否则执行（8）。

（11）成功找到1个解，退出。

（12）无解，退出。

//关键源代码
void getanswer（int tx）
{
// tx表示未填空格数
while （no // bnum表示小格试填数字
for （num = bnum+1； num < 10； num++）
{
if （arow[row][num - 1] == 1） continue； //判断同行
if （acol[col][num - 1] == 1） continue； //判断同列
if （anine[jno][num - 1] == 1） continue； //判断九宫格aresult[tno] = num； //填数字
arow[row][num - 1] = 1； //标识行
acol[col][num - 1] = 1； //标识列
anine[jno][num - 1] = 1； //标识九宫格
aempty[no] = tno * 10 + num； //第no个为”序号*10+数字”no++；
rflag = 1；
break； //填好1个就跳出for循环
}
//没有填数
if （no==0）
{
printf（”no answer＼n”）；
break；
}
else if（rflag==0）
{
no--； //返回上一数重填
}
}
}
4 实例测试
前3个实例取自参考文献[2]，第4个实例出自芬兰数学家因卡拉[4]：
下面是对上述4题各计算5次的时间测试结果（在操作系统xp 和cpu为amd 4600+（2.4g）的环境下测试的）：从上面结果可知，一般的数独难题（包括号称世界上迄今难度最大的数独游戏）可在15ms内找出答案；由此可见，本算法是高效的；通过检验本算法所给答案也是正确的。

参考文献：
[1]王琼，邹晟.数独问题的求解、评价与生成算法的研究[j].南京师范大学学报（工程技术版），2010，10（1）：76-79.
[2]雷蕾，沈富可.关于数独问题的算法的设计与实现[j].电脑知识与技术，2007，2（2）：481-482.
[3]李盘荣.“数独”游戏的算法研究与实现[j].电脑知识与技术，2008，3（8）：1715-1717.
[4]http：
///news/sh/2013-05-26/144777326.html.
[5]严蔚敏，吴伟民.数据结构[m].北京：清华大学出版社.
[6]http：///view/45.htm.
作者简介：姜华林（1971-），男，土家族，贵州省遵义市人，讲师，硕士（西南大学），主要研究方向为：软件设计与开发，算法设计与分析。

作者单位：遵义职业技术学院，贵州遵义 563000。