2020-2021学年湖北省宜昌市七校联考高一下期末模拟考试数学试题含解析-精品试题
湖北省宜昌市最新下学期期末联考高一数学一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1. 已知且，下列不等式中成立的一个是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由不等式的性质结合题意：∵c<d，a>b>0，∴−c>−d，且a>b，相加可得a−c>b−d，故选：B2. 已知向量，向量，且，那么等于（）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】C【解析】由向量平行的充要条件有：，解得：.本题选择C选项.3. 在中，，则A为（）A. 或B.C. 或D.【答案】A【解析】由正弦定理：可得：，则A为或.本题选择A选项.点睛：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．4. 下列结论正确的是（）A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥；B. 一平面截一棱锥得到一个棱锥和一个棱台；C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线【答案】D...【解析】A、如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；B、一平行于底面的平面截一棱锥才能得到一个棱锥和一个棱台，因此B错误；C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；D、根据圆锥母线的定义知，D正确.本题选择D选项.5. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，该几何体是在棱长分别为的长方体中的三棱锥，且：，该四面体的体积为.本题选择A选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．6. 已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：据此有：.本题选择B选项.7. 设是公比为正数的等比数列，，则（）A. 2B. -2C. 8D. -8【答案】C【解析】由题意有：，即：，公比为负数，则.本题选择A选项.8. 的内角的对边分别为，已知，则（）A. B. C. 2 D. 3...【答案】D【解析】由余弦定理：，即：，整理可得：,三角形的边长为正数，则：.本题选择D选项.9. 不等式的解集为，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|−1<x<2}，∴−1,2是一元二次方程ax2+bx+2=0的两个实数根，且a<0，∴，解得a=−1，b=1.则不等式2x2+bx+a<0化为2x2+x−1<0，解得−1<x<.∴不等式2x2+bx+a<0的解集为.本题选择B选项.点睛：解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.10. 已知各项均为正数的等差数列的前20项和为100，那么的最大值是( )A. 50B. 25C. 100D. 2【答案】B结合题意和均值不等式的结论有：，当且仅当时等号成立.本题选择B选项.11. 对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当m=0时,mx2−mx−1=−1<0，不等式成立；设y=mx2−mx−1，当m≠0时函数y为二次函数，y要恒小于0，抛物线开口向下且与x轴没有交点，即要m<0且△<0得到：解得−4<m<0.综上得到−4<m⩽0.本题选择A选项....点睛：不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，12. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第项为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】观察梯形数的前几项，得5=2+3=a1，9=2+3+4=a2，14=2+3+4+5=a3，…，由此可得a2013=2+3+4+5+…+2011=×2014×2017，−5=×2014×2017−5=1007×2017−5=2019×1006，∴a2013本题选择D选项.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分，将答案填在答题纸上）13. 不等式的解集是____________________。
【答案】【解析】不等式即：，则：，转化为二次不等式：，据此可得不等式的解集为：.点睛：解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决．14. 已知函数在处取最小值，则________________。
【答案】3考点：均值不等式求最值15. 在等比数列中，已知，求=__________________。
【答案】或【解析】当时满足题意，否则：，解得：，综上可得：或....16. 已知，则__________________。
【答案】-13【解析】由题意可得：.三、解答题（本大题共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知平面向量的夹角为，且。
（Ⅰ）求（Ⅱ）求【答案】（1）12（2）【解析】试题分析：首先求得的值：(1) 利用平面向量数量积的运算法则可得：=；(2)首先求得的值，然后利用平面向量模的求解公式可得. 试题解析：解：（Ⅰ）=（2）18. 已知函数的最大值为2。
（1）求的值及的最小正周期；（Ⅱ）求的单调递增区间。
【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式，由函数的最大值可得，函数的最小正周期为；(2)结合(1)中的结论可得函数的单调增区间为试题解析：解：（Ⅰ）当=1时，的最小正周期为。
...（Ⅱ）由（1）得得的单调增区间为19. 在中，的对边分别是，且成等差数列。
的面积为。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值。
【答案】（1）2（2）或【解析】试题分析：（1）首先根据A、B、C成等差数列求出角B，再根据安三角形面积公式，求出ac；（2）根据余弦定理，求出，在根据（1）中的ac=2，即可求出a，c.试题解析：解：（1）．∵A、B、C成等差数列∴2B=A+C2分∵∴ac=2 4分（2）．，，6分即a=2或8分考点：1. 正弦定理在三角形面积中的应用；2.余弦定理.20. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，。
（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和。
【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件求得等比数列的首项和公比，从而得到的首项和公差，从而得到其通项公式；（Ⅱ）首先求得数列的通项公式，结合其特点采用分组求和法求解试题解析：（Ⅰ）等比数列的公比,所以，设等差数列的公差为，因为，,所以，即，因此...（II）由（I）知，，．因此．从而数列的前项和．考点：等差数列等比数列通项公式；数列分组求和21. 一个面积为的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需要维修),其它三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留下一个宽度为的出口,如图所示,已知旧墙的维修费为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为(单位:m),修此矩形场地围墙的总费用为(单位:元).(Ⅰ)将表示为的函数；(Ⅱ)试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。
【答案】（1）（2）当m时,总费用最小,最小总费用为10440元. 【解析】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+（2）．当且仅当225x=时，等号成立．即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．考点：函数模型的选择与应用22. 已知点是函数图像上一点，等比数列的前项和为。
数列的首项为2，前项和满足（）。
（Ⅰ)求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的前项和为，问使的最小正整数是多少？【答案】（1）（2）59【解析】试题分析：(1)利用题意求得数列的首项和公比均为，则数列的通项公式是；(2)裂项求得数列的前n项和为，求解关于n的不等式可得最小正整数为59试题解析：（Ⅰ）解：，，则等比数列的前项和为...，，由为等比数列，得公比，则，（Ⅱ）：由,得时，,则是首项为1，公差为1的等差数列。
，()则（）当时，满足上式，由，得，则最小正整数为59点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．。
2020年宜昌市高一数学下期末第一次模拟试卷及答案
2020年宜昌市高一数学下期末第一次模拟试卷及答案一、选择题1．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，前n 项和是n S ，若9810S S S <<，则（ ）A ．0d >，170S >B ．0d <，170S <C ．0d >，180S <D ．0d >，180S >2．已知向量a v ，b v 满足4a =v，b v 在a v 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -v v 的最小值为（ ） A ．43B ．10C ．10D ．83．如图，在ABC V 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．104．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U I A ．{1,1}- B ．{0,1} C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}5．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b r 满足2a AB =u u u r r ，C 2a b A =+u u u r r r ，则下列结论正确的是（ ）A ．1b =rB ．a b ⊥r rC ．1a b ⋅=r rD ．()4C a b +⊥B u u u r rr7．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）174176176176178儿子身高y （cm ）175175176177177则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1B ．y = x+1C ．y =88+12x D ．y = 1768．在ABC V 中，已知,2,60a x b B ===o，如果ABC V 有两组解，则x 的取值范围是( ) A ．4323⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，B ．4323⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．4323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，D ．432,3⎛⎤⎥ ⎝⎦9．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．1510．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A ．2π B ． C ． D ．3π 11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UB ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．7a =，3b =，30B =o B ．6b =，52c =，45B =o C ．10a =，15b =，120A =o D ．6b =，63c =60C =o二、填空题13．在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为________． 14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.15．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是___________16．已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．17．已知圆的方程为x 2+y 2﹣6x ﹣8y ＝0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为18．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高 为19．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足f（2|a-1|）＞f （2-），则a 的取值范围是______.20．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________．三、解答题21．已知关于x 的不等式2320,08kx kx k +-<≠ （1）若不等式的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求k 的值． （2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．22．已知函数31()log 1a m xf x x -=-（0a >，且1a ≠）的图象关于坐标原点对称．（1）求实数m 的值；（2）比较()2f 与()3f 的大小，并请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 点为圆心的圆22:1412600M x y x y +--+=及其上一点(4,2)A .（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心在直线6y =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点且BC OA =，求直线l 的方程. 24．已知圆O ：x 2+y 2=2，直线．l ：y=kx-2． （1）若直线l 与圆O 相切，求k 的值；（2）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB 为锐角时，求k 的取值范围；（3）若1k 2=，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点为C ，D ，探究：直线CD 是否过定点．25．已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()20a c cosB bcosC --=. (1)求角B 的大小；(2)若2b =，求a c +的取值范围.26．在ABC V 中，a ， b ，c 分别是角A ， B ，C 的对边，3cos 5B =，21AB BC ⋅=-u u u v u u u v.（1）求ABC V 的面积； （2）若7a = ，求角C .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列{}n a 的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论. 【详解】9810S S S <<Q ，90a ∴<，9100a a +>，100a ∴>，0d >. 179017S a =<∴，()1891090S a a =+>.故选：D.【点睛】本题考查利用等差数列的前n 项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.2．D解析：D 【解析】 【分析】b r 在a r上的投影（正射影的数量）为2-可知||cos ,2b a b <>=-r r r ，可求出||2b ≥r ，求22a b -r r 的最小值即可得出结果.【详解】因为b r 在a r上的投影（正射影的数量）为2-，所以||cos ,2b a b <>=-r r r， 即2||cos ,b a b =-<>r r r ，而1cos ,0a b -≤<><r r ， 所以||2b ≥r，因为2222222(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+r r r r r r r r r r r r r r22=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+r r所以22484464a b -≥+⨯=r r ，即28a b -≥r r ，故选D. 【点睛】本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.3．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】①PA ⊥Q 平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形；②90,BAC ABC ︒∠=∴Q V 是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆Q 是直角三角形；④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．4．C解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.5．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.6．D解析：D 【解析】试题分析：2,2AB a AC a b ==+u u u ru u ur rQ r r ,AC AB b ∴=+u u u r u u u r r ,b AC AB BC ∴=-=u u u r u u u r u u u rr ．由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭or r r r r ．()()2422a b BC AB BC BC AB BC BC∴+⋅=+⋅=⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r 212cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭o u u u r u u u r ．()4a b BC ∴+⊥u u u r r r ．故D 正确．考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+12x 成立，故选C 8．A解析：A 【解析】 【分析】已知,,a b B ，若ABC V 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得2x <<故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC V 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 9．C 解析：C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.10．A解析：A 【解析】 【分析】由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解． 【详解】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角， 在△A 2BM 中，22252()2a A B a BM a ==+=，，222313()2a A M a =+=，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．11．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得()f x 的图象，据此分析可得答案. 【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以它的图象关于原点对称，且()00f =， 已知当0x >时，()32f x x =-， 作出函数图象如图所示，从图象知：33022f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则不等式()0f x >的解集为33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想.12．D解析：D 【解析】 【分析】根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的ABC ∆解的个数，于此可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，17sin 722a B =⨯=，sin a B b ∴>，此时，ABC ∆无解； 对于B 选项，2sin 5252c B ==，sin c B b c ∴<<，此时，ABC ∆有两解； 对于C 选项，120A =o Q ，则A 为最大角，由于a b <，此时，ABC ∆无解； 对于D 选项，60C =o Q ，且c b >，此时，ABC ∆有且只有一解.故选D. 【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考查推理能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】概率为几何概型如图满足的概率为 解析：14【解析】概率为几何概型，如图，满足20x y -<的概率为2111122=14OABS S ∆⨯⨯=正方形14．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni解析：18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18．点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N．15．【解析】【分析】先还原几何体再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱如图底面为边长为的直角三角形高为的棱柱所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式考查基本分析求解能力属基础题解析：3 2【解析】【分析】先还原几何体，再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱，如图，底面为边长为1,3的直角三角形，高为3的棱柱，所以体积为13 13322⨯⨯⨯=【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题16．2【解析】抛物线的准线为与圆相切则解析：2【解析】 抛物线的准线为2p x =-，与圆相切，则342p +=，2p =． 17．20【解析】【分析】根据题意可知过（35）的最长弦为直径最短弦为过（35）且垂直于该直径的弦分别求出两个量然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可【详解】解：圆的标准方程为（x ﹣解析：206【解析】【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．【详解】解：圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝52，由题意得最长的弦|AC |＝2×5＝10，根据勾股定理得最短的弦|BD |＝22251-=46，且AC ⊥BD ，四边形ABCD 的面积S ＝|12AC |•|BD |12=⨯10×46=206． 故答案为206．【点评】考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半． 18．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设塔高为x 则可知a 表示的为塔与山之间的距离可以解得塔高为考点：解三角形的运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用属于中档题解析：【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意，设塔高为x ，则可知00tan 60=,t 2an 30=00200a ax -，a 表示的为塔与山之间的距离，可以解得塔高为． 考点：解三角形的运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用，属于中档题． 19．【解析】【分析】【详解】由题意在上单调递减又是偶函数则不等式可化为则解得 解析：13(,)22【解析】【分析】【详解】由题意()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(a f f ->可化为1(2)a f f ->，则12a -<112a -<，解得1322a <<． 20．x －y ＋2＝0【解析】【分析】设直线l 方程为y ＝kx+b 由题意可得圆心C1和C2关于直线l 对称利用得k 由C1和C2的中点在直线l 上可得b 从而得到直线方程【详解】由题意可得圆C1圆心为（00）圆C2的解析：x －y ＋2＝0【解析】【分析】设直线l 方程为y ＝kx +b ，由题意可得圆心C 1和C 2关于直线l 对称，利用121C C l k k ⨯=-得k,由C 1和C 2的中点在直线l 上可得b ，从而得到直线方程．【详解】由题意可得圆C 1圆心为（0，0），圆C 2的圆心为（﹣2，2），∵圆C 1：x 2+y 2＝4和圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y +4＝0关于直线l 对称，∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l 对称，设直线l 方程为y ＝kx +b ， ∴2020k ---n ＝﹣1且022+＝k •022-+b ， 解得k ＝1，b ＝2，故直线方程为x ﹣y ＝﹣2，故答案为：x －y ＋2＝0．【点睛】本题考查圆与圆关于直线的对称问题，可转为圆心与圆心关于直线对称，属基础题．三、解答题21．（1）18k =；（2）(3,0)- 【解析】【分析】（1）根据关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，得到32-和1是方程23208kx kx +-=的两个实数根，再利用韦达定理求解. （2）根据关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为R ．又因为0k ≠ ，利用判别式法求解.【详解】（1）因为关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以32-和1是方程23208kx kx +-=的两个实数根， 由韦达定理可得338122k--⨯=，得18k =． （2）因为关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为R ． 因为0k ≠所以220,30k k k <⎧⎨=+<⎩V ，解得30k -<<， 故k 的取值范围为(3,0)-．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集和恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．（1）1m =-；（2）当1a >时， ()()23f f >；当01a <<时， ()()23f f <，理由见解析【解析】【分析】（1）将图象关于坐标原点对称转化为函数为奇函数，从而有()()f x f x -=-在函数的定义域内恒成立，进而求得m 的值，再进行检验；（2）根所在（1）中求得的m 值，得到1()log 1a x f x x +=-，再求得()()2,3f f 的值，对 a 分两种情况讨论，从而得到()()2,3f f 的大小关系.【详解】解：（1）31()log 1a m x f x x -=-Q ，31()()log 1a m x f x x -⋅-∴-=--． 又Q 函数()f x 的图象关于坐标原点对称，()f x ∴为奇函数，()()f x f x ∴-=-在函数的定义域内恒成立，331()1log log 11a a m x m x x x -⋅--∴=----， 331()1111m x m x x x -⋅--∴⋅=---， ()6210m x ∴-=在函数的定义域内恒成立，1m ∴=-或1m =．当1m =时，函数的真数为1-，不成立，1m ∴=-．（2）据（1）求解知，1()log 1a x f x x +=-， (2)log 3a f ∴=，(3)log 2a f =．当1a >时，函数()log a g x x =在(0,)+∞上单调递增，23<Q ，log 2log 3(3)(2)a a f f ∴<⇒<；当01a <<时，函数()log a g x x =在(0,)+∞上单调递减，23<Q ，log 2log 3(3)(2)a a f f ∴>⇒>．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解析式中参数值、对数函数的单调性比较大小，考查数形结合思想、分类讨论思想的运用，在比较大小时，注意对a 分1a >和01a <<两种情况讨论.23．（1）22(1)(6)1x y -+-=（2）2150x y -+=或250x y --=.【解析】【分析】（1）根据由圆心在直线y =6上，可设()0,6N x ，再由圆N 与y 轴相切，与圆M 外切得到圆N 的半径为0x 和0075-=+x x 得解.（2）由直线l 平行于OA ，求得直线l 的斜率，设出直线l 的方程，求得圆心M 到直线l 的距离，再根据垂径定理确定等量关系，求直线方程.【详解】（1）圆M 的标准方程为22(7)(6)25-+-=x y ，所以圆心M （7，6），半径为5,.由圆N 圆心在直线y =6上，可设()0,6N x因为圆N 与y 轴相切，与圆M 外切所以007<<x ，圆N 的半径为0x从而0075-=+x x解得01x =.所以圆N 的标准方程为22(1)(6)1x y -+-=.（2）因为直线l 平行于OA ，所以直线l 的斜率为201402-=-.设直线l 的方程为12y x m =+，即220x y m -+= 则圆心M 到直线l 的距离==d因为===BC OA 而2222⎛⎫=+ ⎪⎝⎭BC MC d 所以2(25)2555-=+m 解得152m =或52m =-. 故直线l 的方程为2150x y -+=或250x y --=. 【点睛】本题主要考查了直线方程，圆的方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.24．（1）k=±1；（2）（1-）∪（13）直线CD 过定点（112-，）． 【解析】【分析】（1）由直线l 与圆O 相切，得圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径，由此能求出k ．（2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），将直线l ：y=kx-2代入x 2+y 2=2，得（1+k 2）x 2-4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k 的取值范围．（3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上，设P （t ，122t -），其方程为221202x tx y t y ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭，C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上，求出直线CD ：（x+y 2）t-2y-2=0，联立方程组能求出直线CD 过定点（1,12-）． 【详解】 解：（1）∵圆O ：x 2+y 2=2，直线l ：y=kx-2．直线l 与圆O 相切，∴圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径，即=，解得k=±1． （2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），将直线l ：y=kx-2代入x 2+y 2=2，整理，得（1+k 2）x 2-4kx+2=0， ∴1224k x x 1k +=+，1222x x 1k=+， △=（-4k ）2-8（1+k 2）＞0，即k 2＞1，当∠AOB 为锐角时， OA OB ⋅u u u r u u u r =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1-2）（kx 2-2）=()()212121k x x 2k x x 4+-++ =2262k 1k -+＞0， 解得k 2＜3，又k 2＞1，∴k 1-＜或1＜k．故k 的取值范围为（1-）∪（1（3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上，设P （t ，1t 22-），其方程为x （x-t ）+y （y 1t 22-+）=0， ∴221x tx y t 2y 02⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭， 又C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上，两圆作差得l CD ：tx+1t 2y 202⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即（x+y 2）t-2y-2=0， 由y 0{?2220x y +=+=，得1{?21x y ==-，∴直线CD 过定点（112-，）． 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．25．（1）3B π=；（2）(]2,4.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简()20a c cosB bcosC --=得：() 2sinA sinC cosB sinBcosC -=，再由正弦两角和差公式和化为：()2sinAcosB sinBcosC cosBsinC sin B C =+=+，再由()sin B C sinA +=得出cos B 的值即可；（2）由sin b B =得出a A =，c C =，得到a c A C +=+，进而得到sin 6a c A π+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据角的范围得到sin 6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭+的范围即可. 【详解】(1)Q 由()20a c cosB bcosC --=，可得：() 2sinA sinC cosB sinBcosC -=，2sinAcosB sinBcosC cosBsinC ∴=+，可得：()2sinAcosB sin B C sinA =+=，(0,)A π∈Q ，0sinA >，∴可得12cosB =， 又由(0,)B π∈得：3B π=，(2)sin b B =Q a A =，c C =， Q 23A C π+=，]sin sin()a c A C A A B ∴+==++1sin sin()sin sin 32A A A A A π⎤⎤=++=+⎥⎥⎣⎦⎣⎦14sin cos 4sin()226A A A π⎤=+=+⎢⎥⎣⎦， 203A π<<Q ，5666A πππ<+<， 可得：1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， ∴a c +的取值范围(]2,4.【点睛】本题主要考查解三角形，侧重考查正弦定理的应用，考查辅助角公式的运用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.26．(1)14;(2) 45C =︒.【解析】试题分析：（1）先求出ac 的值，再由同角三角函数基本关系式求出sinB ，从而求出三角形的面积即可；（2）根据余弦定理即正弦定理计算即可． 试题解析：（1）∵21AB BC u u u v u u u v ⋅=- ，21BA BC ⋅=u u u v u u u v ，cos arccos 21BA BC BA BC B B ⋅=⋅⋅==u u u v u u u v u u u v u u u v∴35ac = ，∵3cos 5B = ，∴4sin 5B = ，∴114sin 3514225ABC S ac B ==⨯⨯=V （2）35ac = ，7a = ，∴5c =由余弦定理得，2222cos 32b a c ac B =+-=∴b =，由正弦定理：sin sin c b C B = ，∴4sin sin 5c C B b === ∵c b < 且B 为锐角，∴C 一定是锐角，∴45C =︒。
2020-2021学年湖北省宜昌市七校联考高一下期末模拟考试数学试题含解析-精品试题
湖北省宜昌市最新下学期期末联考高一数学一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1. 已知且，下列不等式中成立的一个是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由不等式的性质结合题意：∵c<d，a>b>0，∴−c>−d，且a>b，相加可得a−c>b−d，故选：B2. 已知向量，向量，且，那么等于（）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】C【解析】由向量平行的充要条件有：，解得：.本题选择C选项.3. 在中，，则A为（）A. 或B.C. 或D.【答案】A【解析】由正弦定理：可得：，则A为或.本题选择A选项.点睛：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．4. 下列结论正确的是（）A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥；B. 一平面截一棱锥得到一个棱锥和一个棱台；C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线【答案】D...【解析】A、如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；B、一平行于底面的平面截一棱锥才能得到一个棱锥和一个棱台，因此B错误；C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；D、根据圆锥母线的定义知，D正确.本题选择D选项.5. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，该几何体是在棱长分别为的长方体中的三棱锥，且：，该四面体的体积为.本题选择A选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．6. 已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：据此有：.本题选择B选项.7. 设是公比为正数的等比数列，，则（）A. 2B. -2C. 8D. -8【答案】C【解析】由题意有：，即：，公比为负数，则.本题选择A选项.8. 的内角的对边分别为，已知，则（）A. B. C. 2 D. 3...【答案】D【解析】由余弦定理：，即：，整理可得：,三角形的边长为正数，则：.本题选择D选项.9. 不等式的解集为，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|−1<x<2}，∴−1,2是一元二次方程ax2+bx+2=0的两个实数根，且a<0，∴，解得a=−1，b=1.则不等式2x2+bx+a<0化为2x2+x−1<0，解得−1<x<.∴不等式2x2+bx+a<0的解集为.本题选择B选项.点睛：解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.10. 已知各项均为正数的等差数列的前20项和为100，那么的最大值是( )A. 50B. 25C. 100D. 2【答案】B结合题意和均值不等式的结论有：，当且仅当时等号成立.本题选择B选项.11. 对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当m=0时,mx2−mx−1=−1<0，不等式成立；设y=mx2−mx−1，当m≠0时函数y为二次函数，y要恒小于0，抛物线开口向下且与x轴没有交点，即要m<0且△<0得到：解得−4<m<0.综上得到−4<m⩽0.本题选择A选项....点睛：不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，12. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第项为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】观察梯形数的前几项，得5=2+3=a1，9=2+3+4=a2，14=2+3+4+5=a3，…，由此可得a2013=2+3+4+5+…+2011=×2014×2017，−5=×2014×2017−5=1007×2017−5=2019×1006，∴a2013本题选择D选项.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分，将答案填在答题纸上）13. 不等式的解集是____________________。
2020学年宜昌市名校新高考高一数学下学期期末联考试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”2．如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，AE PC ⊥垂足为E ，点F 是PB 上一点，则下列判断中不正确的是（ ）﹒A ．BC ⊥平面PACB ．AE EF ⊥C ．AC PB ⊥D ．平面AEF ⊥平面PBC3．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除：（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用…等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元. 新的个税政策的税率表部分内容如下： 级数一级二级三级… 每月应纳税所得额x 元（含税） 3000x ≤300012000x <≤1200025000x <≤… 税率（%）31020…现有李某月收入为19000元，膝下有一名子女，需赡养老人（除此之外无其它专项附加扣除），则他该月应交纳的个税金额为( ) A ．570B ．890C ．1100D ．19004．下列说法正确的是（）A ．锐角是第一象限的角，所以第一象限的角都是锐角;B ．如果向量a 0b ⋅=，则a b ⊥；C ．在ABC 中，记AB a =，AC b =，则向量a b +与a b -可以作为平面ABC 内的一组基底；D ．若a ，b 都是单位向量，则a b =.5．点(1,2)P -到直线kx y k 0--=（k ∈R ）的距离的最大值为 A ．22B 2C ．2D ．326．在平行四边形ABCD中， 24AB BC ==，BAD 3π∠=，E 是CD 的中点，则AC EB ⋅=（ ） A ．2B ．-3C ．4D ．67．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤-⎥⎝⎦D ．(][),22,-∞+∞8．在平面坐标系中，,AB ,CD ,EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若sin tan cos ααα<<，则P 所在的圆弧最有可能的是（ ）A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH9．若变量,x y 满足约束条件00340x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则32x y +的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．610．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ．cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+11．已知()2462n f n =++++，则(1)f n +比()f n 多了几项（ ）A ．1B ．nC ．1n +D ．12n -12．在锐角三角形ABC 中， a ， b ， c 分别为内角A ， B ， C 的对边，已知6a =()226tan 3b c A bc +-=， 22cos 2A B+ )21cosC =，则ABC ∆的面积为（ ） A 33- B ．3264C ．3264- D ．332+ 二、填空题：本题共4小题13．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()8,1=4,2n nn S n N n *=⎧∈⎨≥⎩，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________．14．已知0,0a b >>，若直线(21)210a x y -+-=与直线20x by +-=垂直，则11a b+的最小值为_____ 15．已知变量x ，y 线性相关，其一组数据如下表所示.若根据这组数据求得y 关于x 的线性回归方程为1.9y x a =+，则a =______.x 1 2 4 5 y5.49.610.614.416．设,,l m n 为三条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，给出下列四个判断: ①若,,l m l m αβ⊥⊥⊥则αβ⊥；②若,m β⊂n 是l 在β内的射影，n m ⊥，则m l ⊥；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ④若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的体积扩大为原来的32倍； 其中正确的为___________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【全国市级联考】湖北省宜昌市协作体2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题
【全国市级联考】湖北省宜昌市协作体2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若a ＞b ，则下列正确的是( ) A ．a 2＞ b 2 B ．ac 2＞ bc 2 C ．a 3＞b 3D ．ac ＞ bc2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪1(,)2-+∞，则a ＝( ) A ．2B ．－2C ．－D ．3．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5B ．7C ．9D ．115．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a bA B= ，则ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形6．等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝17．设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．21n n S a =-B ．32n n S a =-C ．43n n S a =-D ．32n n S a =-8．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α，则此球的体积为A πB ．C ．πD ．π9．一个棱长为1的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．13C ．23D ．5610．在正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心）P ABCD -中，，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°11．若两个正实数x ，y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围（ ） A ．(- 1,4) B ．(,1)(4,)-∞-+∞C ．(- 4,1)D ．(,0)(3,)-∞⋃+∞12．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，AC =P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12π B ．16πC ．20πD ．24π二、填空题13．数列{a n }中的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则通项公式a n ＝________．14．若不等式240x ax ++<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________． 15．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中错误的命题有________．(填写错误命题的编号)16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b ，B ＝3π,则2a+ c的最大值为____．三、解答题17．在ABC ∆222sin B B =． （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若4a =，b =c 的值.18．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且11=2a b =，3522a a +=，246b b b =. （1）数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =-，求数列{}n c 前n 项和.19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，,E F 分别是,PB PD 的中点，PA AD =.（1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）求证：平面AEF ⊥平面PCD20．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元)． （1）求楼房每平方米的平均综合费用f (x )的解析式.（2）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？（注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）21．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C . （1）求证：a ，b ，c 成等比数列； （2）若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．22．已知数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝1n n+a n ＋2n ＋2. （1）证明：数列{}na n是等差数列； （2）证明：121111na a a +++<.参考答案1．C 【解析】分析：用特殊值法排除错误选项，可得正确答案. 详解：对于A.，当1,2a b =-=时不成立； 对于B.，当0c 时不成立； 对于D ，当0c 时不成立；故选C.点睛：本题考查不等式的性质，注意特殊值法的应用. 2．B 【解析】分析：由题意，-1，12-是方程110ax x -+=（）（） 的两根，由此可求a 的值． 详解：由题意，-1，12-是方程110ax x -+=（）（） 的两根，1102a ∴--= ， 2.a ∴=-故选 B .点睛：本题考查不等式的解集与方程解之间的关系，确定-1，12-是方程110ax x -+=（）（）的两根是关键.3．B 【解析】分析：由三角形的三边判断出b 为最大边，根据大边对大角可得B 为最大角，利用余弦定理表示出cos B ，将已知的三边长代入求出cos B 的值，由cos B 的值小于0及B 为三角形的内角，可得B 为钝角，即三角形为钝角三角形． 详解：568AB c BC a AC b B ======∴，，，为最大角，∴由余弦定理得：2223625641026020a cb cosB ac +-+-===-＜，又B 为三角形的内角， ∴B 为钝角，则ABC 的形状是钝角三角形．点睛：本题考查三角形形状的判断，涉及的知识有：余弦定理，三角形的边角关系，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 4．A 【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 5．A 【详解】 因为cos cos a bA B =，所以sin sin cos cos A B A B=，所以sin cos cos sin 0A B A B -=， 所以()sin 0A B -=，所以0A B -=，即A B =，所以ABC 是等腰三角形．故选A ． 6．B 【解析】分析：由题意知25511T a q （）==，由此可知211a q =，所以一定有31a =． 详解2342551111111T a a q a q a q a q a q =⋅⋅⋅⋅==：（）， 211a q ∴= ，31a ∴= ．故选B ．点睛：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答． 7．D 【解析】S n ＝()111na q q--＝11n a q a q -⋅-＝21313na -＝3－2a n . 8．B 【解析】 球半径，所以球的体积为，选B.9． D分析：由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．详解：由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥，∵正方体的棱长是1，∴三棱锥的体积1111111326V =⨯⨯⨯⨯=， ∴剩余部分体积151116V V =⨯⨯-=，故选D.点睛：本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力． 10．C 【解析】分析：连接AC BD ，交于点O ，连接OE OP ，，先证明PAO ∠即为PA 与平面ABCD 所成的角，即可得出结论．详解：连接AC BD ，交于点O ，连接OE OP ，，因为E 为PC的中点，所以OE PA ，所以PAO ∠即为异面直线PA 与BE 所成的角． 因为四棱锥P ABCD -正四棱锥， 所以PO ⊥平面ABCD ，所以AO 为PA 在面ABCD 内的射影，所以PAO ∠即为PA 与平面ABCD 所成的角，即60PAO ∠=︒，211PA OA OB OE PBC =∴===，，．中，2224244PB PC BC BE BE ，（），===∴+=+∴= 222OE OB BE ，∴+= 所以在直角三角形EOB 中45OEB ∠=︒，即异面直线PA 与BE 所成的角为45︒． 故答案为为45︒．点睛：本题考查异面直线所成角，考查线面垂直，属基础题． 11．B 【分析】 不等式234yx m m +<-有解，即为23m m -大于4y x +的最小值，运用141x y +=和基本不等式相乘，计算得到所求最小值，解不等式可得m 的范围. 【详解】 正实数x ，y 满足141x y+=则144()()224444y y x y x x x y y x +=++=++≥+= 当且仅当48y x ==，4yx +取得最小值4 由234yx m m +<-有解，即234m m -> 解得m > 4或m < -1. 故选B 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，结合“1”的代换、基本不等式，将问题转化为含参代数式大于另一侧的最小值 12．C 【解析】由题意得PC 为球O 的直径,而PC ==即球O 的半径R =所以球O 的表面积24π20πS R ==. 本题选择C 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.13．23n - 【解析】分析：由给出的数列的前n 项和公式，分1n =和2n ≥分类求解，然后验证1n =时的通项公式是否满足n a 即可．详解：：∵数列{}n a 的前n 项和22n S n n -＝，1n ∴=时，111a S ==-．2n ≥时，2212[121]231n n n a S S n n n n n n -=-=-----=-=（）（）．时也成立． 23n a n ∴=-．故答案为23n -．点睛：本题考查了数列递推关系、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 【解析】分析：不等式240x ax ＜++的解集不是空集，只需相应方程有两个不同的根即可． 详解：∵240x ax ＜++的解集不是空集，240x ax ∴++= 有两个不同的实数根， 则需2160a =-＞，4a ∴-＜或4a ＞. 即答案为(4)(4)∞⋃∞－，－，＋.点睛：本题是考查二次函数，二次不等式，二次方程间的相互转化和相互应用，这是函数中综合性较强的问题，需熟练掌握 15．①【解析】分析：根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．详解：：①如果m n m n αβ⊥⊥，，，不能得出αβ⊥，故错误；②如果n α，则存在直线l α⊂，使n l ∥，由m α⊥，可得m l ⊥，那么m n ⊥．故正确； ③如果m ，αβα⊂，那么m 与β无公共点，则m β．故正确④如果m n ，αβ，那么m n ，与α 所成的角和m n ，与β所成的角均相等．故正确；所以错误的命题为：①，点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，属中档题． 16．【解析】分析：由正弦定理可得得22a sinA c sinC ==，，化为25a c sinA +=， 即可得出．详解：由 23a c sinA sinC sin ＝，π== 得22a sinA c sinC ==，，242421205a c sinA sinC sinA sin A sinA A （）（），ϕ∴+=+=+︒-=+=+其中ϕ= 2a c ∴+的最大值是故答案为点睛：本题考查了正弦定理、两角和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．（1）3π；（2）6． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据二倍角公式化简得tan B =，进而得3B π=；（Ⅱ）利用余弦定理可得(222424cos 3c c π=+-⋅⋅⋅，即可得c 的值. 试题解析：解：22sin B B =，所以2cos 2sin B B B =.因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以tan B =， 所以3B π=.（Ⅱ）由余弦定理可得(222424cos 3c c π=+-⋅⋅⋅，所以24120c c --=， 解得6c =或2c =-（舍）.解得6c =.18．（1）31,2,*nn n a n b n N =-=∈；（2）221133422,=2*22n n n n n n n N +++++-+-∈或，． 【解析】试题分析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．因为354222a a a +==，所以41123a d ==+．解得d =3．又因为241565b b b b b qb ===，所以12q b ==，即可以得出数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，31,2,*n n n a n b n N =-=∈．因此=312n n n n c a b n =---，由等差数列，等比数列的前n 项和即可得出数列{}n c 前n 项和.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．因为354222a a a +==，所以41123a d ==+．解得d =3．又因为241565b b b b b qb ===，所以12q b ==．所以31,2,*n n n a n b n N =-=∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，31,2,*n n n a n b n N =-=∈．因此=312n n n n c a b n =---数列{}n a 前n 项和为()2231322n n n n +-+=． 数列{}n b 的前n 项和为()12122212nn +-=--．所以，数列{}n c 前n 项和为21322,*2n n n n N ++-+∈． 19．（1）见解析；（2）见解析．【解析】分析：（1）连接BD ，因为,E F 分别是,PB PD 的中点，证明EF BD .即可证明EF 平面ABCD ；（2）设法证明AF ⊥平面PCD . 即可证明平面AEF ⊥平面PCD .详解：（1）证明：连接BD ，因为,E F 分别是,PB PD 的中点，所以EF BD .又因为EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以EF 平面ABCD .（2）证明：因为PA AD =，F 为PD 中点.所以AF PD ⊥.又因为ABCD 是矩形，所以CD AD ⊥.因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥.因为PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD .因为AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥.又因为PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD.又因为AF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PCD点睛：本题考查直线与平面平行的判定与证明，面面垂直的判断与证明.属中档题.. 20．（1）20000()503000(12,*)f x x x x N x=++≥∈；（2）该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．【解析】【试题分析】先建立楼房每平方米的平均综合费用()f x 的函数()()()8000100002000050300012,4000f x Q x x x x N x x⨯=+=++≥∈，再应基本不等式求其最小值及取得极小值时x 的值：解：设楼房每平方米的平均综合费用()f x ，()()()8000100002000050300012,300050004000f x Q x x x x N x x ⨯=+=++≥∈≥=，当且仅当20x =时，等号取到.所以，当20x =时，最小值为5000元.21．（1）见解析；（2【解析】分析：（1）根据正弦定理，结合等比数列的定义即可得到结论．（2）由2b =，可得24ac b ==，利用余弦定理求得cosB 的最小值，可得B 的最大值．由ABC 的面积122S ac sinB sinB =⋅=， 可得它的最大值．详解：（1）证明：在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )．由已知，得(1－sin 2B )－cos(A ＋C )＝1－cos A cos C ，∴－sin 2B －(cos A cos C －sin A sin C )＝－cos A cos C ，化简，得sin 2B ＝sin A sin C .由正弦定理，得b 2＝ac ，∴a ，b ，c 成等比数列．（2）由(1)及题设条件，得ac ＝4.则cos B ＝＝≥＝，当且仅当a ＝c 时，等号成立．∵0<B <π，∴sin B ＝≤＝.∴S △ABC ＝ac sin B ≤×4×＝. ∴△ABC 的面积的最大值为. 点睛：本题主要考查等比数列的判断以及正弦定理、余弦定理、基本不等式的应用，要求熟练掌握相应的公式，属于中档题．22．（1）见解析；（2）见解析．【解析】分析：（1）由a n ＋1＝a n ＋2n ＋2，得＝＋2，由此可证数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）由(1)知，＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1，∴a n ＝n (2n ＋1)，利用裂项相消法可证121111n a a a +++< 详解：（1）由a n ＋1＝a n ＋2n ＋2，得＝＋2， 即－＝2，∴数列是首项为3，公差为2的等差数列．（2）由(1)知，＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1，∴a n ＝n (2n ＋1)，∴＝<＝－， ∴＋＋＋…＋<＋＋＋…＋＝－<1， ∴＋＋＋…＋<1.点睛：本题考查都出现了的证明及利用裂项相消法证明不等式，属中档题.。
2020-2021学年湖北省高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年湖北省高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）=()1.3−6iiA. −6+3iB. −6−3iC. 6+3iD. 6−3i2.在由编号为00，01，02，…，39的40个个体组成的总体中，利用如下的随机数表从第1行第11列开始横向依次选取5个个体组成样本，则选取的第5个个体编号为()781665720802631407023204924349358200362329763413248142412424A. 14B. 02C. 32D. 043.已知向量a⃗=(1,m)，b⃗ =(2,4)，若a⃗//b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=()C. 3√5D. √5A. 3B. √8524.新产业工人是推进我国工业化、城镇化发展的主力军，为经济发展做出了重要贡献，近年来国家愈加重视新产业工人群体，出台了各种政策保障新产业工人的合法权益．如图是国家统计局发布的2016−2020年新产业工人规模及增速统计图，则下列说法错误的是()A. 2020年全国新产业工人总量28560万人，规模约为上年的98.2%B. 2017年全国新产业工人增速最大，为1.7%．C. 2016−2019年全国新产业工人总量逐年增加D. 2016−2020年全国新产业工人增速逐年增长5.设α，β为空间内两个不同的平面，l为空间内的一条直线，则下列命题为真命题的是()A. 若α//β，l ⊥β，则l//αB. 若l//α，α⊥β，则l ⊥βC. 若l ⊥β，α⊥β，则l//αD. 若l//α，l ⊥β，则α⊥β6. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C =π6，a =√3，c =√7，则△ABC 的面积为( )A. √3B. 2√3C. √34D. √327. 已知a ⃗ ，b ⃗ 是不共线的向量，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =7a ⃗ +b ⃗ ，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2λa ⃗ −2b ⃗ ，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，若M ，N ，Q 三点共线，则实数λ的值为( )A. −10B. 10C. −5D. 58. 某宝塔主体是由圆柱、棱柱、球等几何体构成，如图所示．为了测量宝塔的高度CD ，某数学兴趣小组在宝塔附近选择楼房AB 作为参照物，楼房高为10(√3−1)m ，在楼顶A 处测得地面点M 处的俯角为15°，宝塔顶端C 处的仰角为30°，在M 处测得宝塔顶端C 处的仰角为60°，其中B ，M ，D 在一条直线上，则该宝塔的高度CD =( )A. 40√3mB. 30√3mC. 20√3mD. 10√3m二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列叙述正确的是( )A. 抽样调查具有花费少、效率高的特点B. 数据2，3，9，5，3，9的中位数为7，众数为3和9C. 数据8，9，12，13，15，16，18，20的25%分位数为10.5D. 若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数x ，则平均数和方差都发生变化10. 下列命题是真命题的是( )A. 若复数z =m +ni(m,n ∈R)为纯虚数，则m ≠0，n ≠0B. 若复数z =m +ni(m,n ∈R)为虚数，则n ≠0C. 若复数z =−1−i ，则z 对应的平面向量为OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1)D. 若复数z 满足z 2∈R ，则z 的实部与虚部至少有一个为011. 已知平面四边形ABCD ，O 是ABCD 所在平面内任意一点，则下列命题正确的是( )A. 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则ABCD 是平行四边形B. 若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则ABCD 是矩形 C. 若|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则△ABC 为直角三角形D. 若动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +m(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sin∠ABC +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin∠ACB )(m >0)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心12. 如图1，正方形ABCD 的边长为2，点E 为CD 的中点，将△DAE 沿AE 所在直线进行翻折，得到四棱锥S −ABCE ，如图2，则在翻折的过程中，下列命题正确的是( )A. 点S 在某个圆上运动B. 存在某一翻折位置使得AE//平面SBCC. 存在某一翻折位置使得SA ⊥平面SBCD. 当二面角S −AE −B 的平面角为2π3时，四棱锥S −ABCE 的高为√155三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知某工厂生产Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三种型号的螺帽，且这三种型号螺帽的周产量之比为2：4：5，现在用分层抽样的方法从某周生产的螺帽中抽取若干个进行质量检查，若抽取Ⅲ型号螺帽25个，则这三种型号螺帽共抽取的个数为______．14. 利用斜二测画法得到△ABC 的直观图为△A′B′C′，若A′B′//y′轴，B′C′//x′轴，A′B′=B′C′=1，则△ABC 的面积为______．15. 已知圆柱的高为2，侧面积为4π，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为______．16. 已知点M 是边长为4的正方形ABCD 内部(包括边界)的一动点，点P 是边CD 的中点，则|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值是______；MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 质检员为了检测某批1000件产品的质量，随机抽取了100件，检测这些产品的质量指标值(单位：g)，依据检测结果将质量指标值按[75,85)，[85,95)，[95,105)，[105,115)，[115,125]分组，得到如下的频率分布直方图．(1)求这100件产品质量指标值的平均数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；(2)已知质量指标值在区间[85,115)内的为合格品，之外的为不合格品，一件合格品能获利50元，一件不合格品损失30元，试估计这批产品能获利多少元？18. 已知复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且z 2=8+6i ，z −是z 的共轭复数．(1)求复数z ； (2)若|m +−2+z−−2+z|<3，求实数m 的取值范围．19.如图所示，在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是矩形，BC=2，BE=CE=√2．(1)若平面CDE∩平面ABE=l，证明：AB//l；(2)若AC⊥BD，且四棱锥E−ABCD的体积为4，求四棱锥E−ABCD的侧面积．320.如图，在三棱台AEB−DFC中，上底面AEB为等腰直角三角形，AE⊥EB，AE⊥EF，EF⊥FC，M在EF=1．DF上，DM=MF=AE=12(1)证明：平面ABM⊥平面DFC；(2)求点D到平面BMC的距离．21. 如图，△ABC 中，AB =2，BC =3√2，∠ABC =π4，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，点D ，E 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈(0,1)，AD 与BE 交于点M ．(1)当λ=12时，请用a ⃗ ，b ⃗ 表示向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，并求AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (2)用a ⃗ ，b ⃗ 表示向量BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．22. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1tanB +1tanC =1tanA ．(1)求cos A 的最小值；(2)记△ABC 的面积为S ，点P 是△ABC 内一点，且∠PAB =∠PBC =∠PCA =θ，证明： ①tanA =4S b 2+c 2−a 2；②tanA =2tanθ．答案和解析1.【答案】B【解析】解：3−6ii =(3−6i)⋅(−i)−i2=−6−3i，故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】D【解析】解：依据选取规则可得选取的5个样本编号为：02，14，07，32，04，所以选取的第5个个体编号为04，故选：D．根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．本题考查了随机数表的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，向量a⃗=(1,m)，b⃗ =(2,4)，若a⃗//b⃗ ，则1×4−2m=0，解得m=2，故a⃗+b⃗ =(3,6)，所以|a+b|=√32+62=3√5，故选：C．根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得关于m的方程，解可得m的值，即可得a⃗的坐标，求出a⃗+b⃗ 的坐标，计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量平行的判断，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：对于选项A，由统计图，2020年全国新产业工人总量28560万人，约占2019年全国新产业工人总量的2856029007≈0.982，故A选项正确；对于选项B，由统计图，2017年全国新产业工人增速最大，为1.7%，故B选项正确；对于选项C，由统计图，2016−2019年全国新产业工人总量逐年增加，故C选项正确；对于选项D，由统计图，2016−2020年全国新产业工人增速有增有减，故D选项错误；故选：D．根据统计图依次判断选项是否正确即可．本题以2016−2020年新产业工人规模及增速统计图为背景，考查了学生读图、析图获取信息分析解决问题的能力．5.【答案】D【解析】解：直线l垂直于两平行平面α，β中的β，则l⊥α，故A不正确；l//α，α⊥β，则l，β的位置关系不能确定，可能l//β，故B不正确；l⊥β，α⊥β，则l，α的位置关系不确定，可能l⊂α，故C不正确；由l//α可知在平面α内可作l′使得l′//l，则l′⊥β，从而α⊥β，故D正确．故选：D．由直线与平面垂直的性质判断A；由直线与平面平行、平面与平面垂直分析直线与平面的关系判断B；由直线与平面垂直、平面与平面垂直分析直线与平面的关系判断C；由平面与平面垂直的判定判断D．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：因为C=π6，a=√3，c=√7，所以由余弦定理可得(√7)2=(√3)2+b2−2√3bcosπ6，解得b=4或b=−1(舍去)，所以△ABC的面积为12absinC=12×√3×4×sinπ6=√3．故选：A．由已知利用余弦定理可解得b的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2λa ⃗ −2b ⃗ ，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，可得QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2λa ⃗ −2b ⃗ −a ⃗ −b ⃗ =(2λ−1)a ⃗ −3b ⃗ ，因为M ，N ，Q 三点共线，所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以存在唯一的实数k ，使得MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即7a ⃗ +b ⃗ =k(2λ−1)a ⃗ −3k b ⃗ ，∴{7=k(2λ−1)1=−3k ， 解得k =−13，λ=−10． 故选：A ．把M ，N ，Q 三点共线，转化为MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用两向量共线的等价条件，列出方程组即可求解．本题考查了向量共线定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：因为sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°=√6−√24，且AB =10(√3−1)m ，所以AM =ABsin15∘=10(√3−1)√6−√2=20√2m ， 在△AMC 中，易知∠ACM =30°， 由正弦定理可得CM =AMsin45°sin30∘=20√2×√2212=40m ，故CD =CMsin60°=40×√32=20√3m ．故选：C ．由题意解三角形可求AM 的值，在△AMC 中，可求∠ACM =30°，由正弦定理可得CM 的值，进而可求CD =CMsin60°的值．本题考查三角形的实际应用，考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，由于抽样调查只抽取一部分个体进行调查，所以A 正确；对于B ，因为数据2，3，9，5，3，9的中位数为3+52=4，所以B 错误；对于C ，由于8×25%=2，所以该组数据的25%分位数是第2项与第3项数据的平均数，即为10.5，故C 正确；对于D ，若将一组数据中的每个数都加上相同的一个正数x ，则易知平均数增加x ，方差是不变化的，故D 错误． 故选：AC ．根据题意，依次分析选项，综合可得答案．本题考查数据的平均数、方差的计算和性质，涉及调查抽样方法，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：因为复数z =m +ni 为纯虚数， 所以m =0，n ≠0，所以A 是假命题；因为复数z =m +ni 为虚数，所以n ≠0，故B 为真命题； 由复数与平面向量一一对应可知命题C 为真命题； 设z =a +bi ，则由z 2=a 2−b 2+2abi ∈R ，可得ab =0， 所以z 的实部与虚部至少有一个为0，故D 为真命题 故选：BCD ．直接利用复数的运算，复数的定义，复数的几何意义的应用判断A 、B 、C 、D 的结论． 本题考查的知识要点：复数的运算，复数的定义，复数的几何意义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得四边形ABCD 有一组对边平行且相等，故ABCD 是平行四边形，所以A 正确；由|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，平方可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即AB ⊥AD ，但ABCD 不一定是矩形，所以B 错误；由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，即|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以△ABC 为直角三角形，所以C 正确；作AE ⊥BC 于E ，由于|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC =|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +m(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|sin∠ABC+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |sin∠ACB )=OA⃗⃗⃗⃗⃗ +m|AE⃗⃗⃗⃗⃗ |(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )， 即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m |AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，故P 的轨迹一定通过△ABC 的重心，所以D 正确． 故选：ACD ．直接利用向量的相等，向量的模，三角形形状的判定和重心定理的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的模，重心在三角形中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：如图所示：在平面SAE 中，取AE 的中点，连接SH ，在翻折过程中始终有SH =AH =HE ， 所以点S 在以H 为圆心，SH 为半径的圆上运动，故A 正确； 四边形ABCE 为梯形，所以AE 与BC 必然相交于一点， 即AE 与平面SBC 相交，故B 错误；设SA ⊥平面SBC ，SC ⊂平面SBC ，所以SA ⊥SC ，又SA ⊥SE ，SE ∩SC =S ， 所以SA ⊥平面SCE ，所以平面SCE//平面SBC ，这与平面SBC ∩平面SCE =SC 矛盾，故假设不成立，即C 错误； 由二面角的定义可知二面角S −AE −B 的平面角为∠SHN ，即∠SHN =2π3，所以其补角为π3，由正方形ABCD 的边长为2，易得DH =SH =√5， 所以S −ABCE 的高为SHsin π3=√5√32=√155． 故选：AD ．直接利用直角三角形的性质，线面平行和线面垂直的性质，二面角的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：直角三角形的性质，线面平行和线面垂直的性质，二面角的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．13.【答案】55【解析】解：由题意可得抽取Ⅰ，Ⅱ两种型号的螺帽个数分别为25×25=10，25×45=20，所以这三种型号螺帽共抽取的个数为10+20+25=55．故答案为：55．根据分层抽样的特点即可求解结论．本题的考点是分层抽样，即保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．14.【答案】1【解析】解：如图，由斜二测画法规则可知AB⊥BC，AB=2，BC=1，∴△ABC的面积为S=12×1×2=1．故答案为：1．由题意画出图形，可得△ABC为直角三角形，并得到两直角边长，代入三角形面积公式得答案．本题考查斜二测画法，熟记斜二测画法的步骤是关键，是基础题．15.【答案】8√2π3【解析】解：设圆柱的底面圆半径为r，球的半径为R，故圆柱侧面积2πr×2=4π，解得r=1，所以R =√12+12=√2， 故球的体积为43πR 3=8√2π3． 故答案为：8√2π3． 设圆柱的底面圆半径为r ，球的半径为R ，由圆柱的侧面积求得r ，再由勾股定理求解R ，然后代入球的体积公式得答案．本题考查圆柱侧面积及其外接球体积的求法，是基础题．16.【答案】2√5 −8【解析】解：|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5，当点M 与点B 重合时等号成立；如图所示，取AB 中点Q ，连接PQ ，取PQ 的中点为N ，连接MN ， 则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2．又因为点M 为正方形ABCD 内部(包括边界)一动点，所以MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2)=2(|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4)≥−8， 当点M 与点N 重合时，取得最小值−8． 故答案为2√5，−8．由|MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5，取AB 中点Q ，连接PQ ，取PQ 的中点为N ，连接MN ，根据MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2)=2(|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4)≥−8，即可得出所求的答案．本题考查平面向量的数量积的运算，考查学生的逻辑思维能力和计算能力，属中档题．17.【答案】解：(1)由频率分布直方图，估计这种产品质量指标值的平均数为：x −=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100．(2)由题意，得合格产品所占比例的估计值为0.26+0.38+0.22=0.86， 所以估计这批产品能获利1000×0.86×50−1000×0.14×30=43000−4200=38800(元)．【解析】(1)由频率分布直方图，能估计这种产品质量指标值的平均数． (2)由题意，求出合格产品所占比例的估计值，再估计这批产品能获利多少元． 本题考查平均数的求法，频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)由题意可设复数z =a +bi ，其中a >0，b >0，则z 2=a 2−b 2+2abi =8+6i ，所以{a 2−b 2=82ab =6，解得a =3，b =1或a =−3，b =−1(舍去)．所以z =3+i ．(2)由z =3+i 可得z −=3−i ， 所以−2+z−−2+z=−2+3−i −2+3+i =1−i 1+i =(1−i)i (1+i)i =1i =−i ，于是|m +−2+z−−2+z|<3可化为|m −i|<3，即√m 2+1<3，解得−2√2<m <2√2，即实数m 的取值范围是(−2√2,2√2)．【解析】(1)由已知先设出复数z =a +bi ，(a >0,b >0)，然后求出z 2，建立等式关系即可求解；(2)求出m +−2+z−−2+z的关系式，再求出对应的模，建立不等式关系，进而可以求解．本题考查了求解复数以及参数范围的问题，涉及到求解复数模以及共轭复数的问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．19.【答案】(1)证明：因为底面ABCD 是矩形，所以AB//DC ，又AB ⊄平面CDE ，且CD ⊂平面CDE ，所以AB//平面CDE ， 因为AB ⊂平面ABE ，且平面ABE ∩平面CDE =l ，所以AB//l ． (2)解：因为AC ⊥BD ，所以矩形ABCD 为正方形，因为BC =2，BE =CE =√2，所以△BCE 是等腰直角三角形， 设BC 边上的高为h ，则ℎ=1，设四棱锥E −ABCD 的高为ℎ′，因为四棱锥E −ABCD 的体积为43，所以13×2×2ℎ′=43，即ℎ′=1，故ℎ′=ℎ=1， 所以侧面BCE ⊥底面ABCD ，而AB ⊥BC ，所以AB ⊥BE ，所以AE =√AB 2+BE 2=√6， 同理DC ⊥CE ，DE =√6．△ADE 中，易得AD 边上的高为√5， 于是四棱锥E −ABCD 的侧面积为12×2×√2×2+12×√2×√2+12×2×√5=2√2+√5+1．【解析】(1)根据底面ABCD 是矩形得出AB//DC ，证明AB//平面CDE ，再根据线面平行的性质定理证明AB//l ．(2)根据题意利用四棱锥E −ABCD 的体积求出高，再计算四棱锥的侧面积．本题考查了四棱锥的体积与侧面积计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．20.【答案】(1)证明：由三棱台的性质知，AE//DF ，∵AE ⊥EF ，∴DF ⊥EF ，∵EF ⊥FC ，DF ∩FC =F ，DF 、FC ⊂平面DFC ， ∴EF ⊥平面DFC ，∵MF =AE ，AE//DF ，∴四边形AEFM 为平行四边形，∴AM//EF ， ∴AM ⊥平面DFC ，又AM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面DFC ．(2)解：∵四边形AEFM 为平行四边形，∴AM =EF =2， ∵三棱台AEB −DFC 中，AE ⊥EB ，∴DF ⊥FC ，∴AB =√AE 2+BE 2=√2，CM =√MF 2+FC 2=√12+22=√5． 由(1)知AM ⊥平面DFC ， ∵AM ⊥平面ABE ，∴AM ⊥AB ，在Rt △MAB 中，MB =√AB 2+AM 2=√(√2)2+22=√6． ∴BC =√EF 2+(12FC)2=√5=CM ，在等腰△CMB 中，边MB 上的高ℎ=√BC 2−(12BM)2=√(√5)2−(√62)2=√142，设点D 到平面BMC 的距离为d ，则V D−BMC =V B−CDM ，即13×12×√6×√142d =13×12×1×2×2，解得d =4√2121．【解析】(1)由DF ⊥EF ，EF ⊥FC ，推出EF ⊥平面DFC ，再证四边形AEFM 为平行四边形，知AM//EF ，得AM ⊥平面DFC ，再由面面垂直的判定定理，得证；(2)由勾股定理求出BC ，CM 和BM 的长，从而得△CMB 的面积，再由等体积法V D−BMC =V B−CDM ，得解．本题考查空间中线与面的垂直关系，点到平面距离的求法，熟练掌握线与面垂直的判定定理或性质定理，以及会用等体积法解决点到面的距离是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)当λ=12时，点D ，E 是BC ，AC 的中点，所以点M 是△ABC 的重心．易知AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +12b ⃗ ， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(−a ⃗ +12b ⃗ )=−23a ⃗ +13b ⃗ ． 又因为AB =2，BC =3√2，B =π4，所以a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos〈a ⃗ ,b ⃗ 〉=2×3√2×√22=6，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−23a ⃗ +13b ⃗ )⋅(−a ⃗ )=23a ⃗ 2−13a ⃗ ⋅b ⃗ =23×22−13×6=23． (2)因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λb ⃗ −a ⃗ ． 因为CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ，且CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ +λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ +λ(a ⃗ −b ⃗ )=λa ⃗ +(1−λ)b ⃗ ．设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x(λb ⃗ −a ⃗ )=xλb ⃗ −x a ⃗ ，B ⃗⃗ M ⃗⃗⃗ =y BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =y[λa ⃗ +(1−λ)b ⃗ ]=yλa ⃗ +y(1−λ)b ⃗ ，注意到BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +xλb ⃗ −x a ⃗ =(1−x)a ⃗ +xλb ⃗ ， 于是可得yλa ⃗ +y(1−λ)b ⃗ =(1−x)a ⃗ +xλb ⃗ ， 所以，解得x =1−λλ2−λ+1，y =λλ2−λ+1，所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =yλa ⃗ +y(1−λ)b ⃗ =λ2λ2−λ+1a ⃗ +λ−λ2λ2−λ+1b ⃗ ．【解析】(1)当λ=12时，点D ，E 是BC ，AC 的中点，所以点M 是△ABC 的重心，先用a⃗ ，b ⃗ 表示AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而可得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由数量积的公式可得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出答案． (2)从两个方向表示BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =yλa ⃗ +y(1−λ)b ⃗ ，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x)a ⃗ +xλb ⃗ ，再解方程组，即可．本题考查向量的数量积，平面向量基本定理，属于中档题．22.【答案】解：(1)因为1tanB +1tanC =1tanA ，所以cosB sinB +cosC sinC =cosAsinA ，所以cosA =sinAcosBsinC+sinBcosCsinBsinC =sin 2A sinBsinC，由正弦定理可得cosA =a 2bc ，而由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc=a 2bc ，所以3a 2=b 2+c 2． 因为cosA =b 2+c 2−b 2+c 232bc=b 2+c 23bc≥23，当且仅当b =c 时，等号成立，所以cos A 的最小值为23．证明：(2)设PA =x ，PB =y ，PC =z ，△PAB ，△PBC ，△PCA 的面积分别为S 1，S 2，S 3， ①因为cosA =b 2+c 2−a 22bc，所以2bccosA =b 2+c 2−a 2， 而S =12bcsinA ，所以tanA =sinA cosA =2bcsinA 2bccosA =4Sb 2+c 2−a 2． ②由(1)中可得3a 2=b 2+c 2， 所以tanA =4S b 2+c 2−a 2=2Sa 2，在△PAB ，△PBC ，△PCA 中，同理可得：tanθ=4S 1c 2+x 2−y 2=4S 2a 2+y 2−z 2=4S3b 2+z 2−x 2， 所以4S 1=(c 2+x 2−y 2)tanθ， 4S 2=(a 2+y 2−z 2)tanθ， 4S 3=(b 2+z 2−x 2)tanθ，所以4S =4(S 1+S 2+S 3)=(a 2+b 2+c 2)tanθ=4a 2tanθ，即tanθ=Sa 2， 所以tanA =2tanθ．【解析】(1)利用同角三角函数以及正余弦定理整理条件可得cosA =b 2+c 2−a 22bc=a 2bc ，即可得到3a 2=b 2+c 2，则cosA =b 2+c 2−b 2+c 232bc=b 2+c 23bc≥23即得到答案；(2)①由余弦定理得2bccosA =b 2+c 2−a 2，结合三角形面积公式S =12bcsinA ，得到tanA =sinAcosA =2bcsinA2bccosA =4Sb 2+c 2−a 2，得证；②结合(1)中所得3a 2=b 2+c 2，表示出tanA =4Sb 2+c 2−a 2=2Sa 2，设PA =x ，PB =y ，PC =z ，△PAB ，△PBC ，△PCA 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则有4S 1=(c 2+x 2−y 2)tanθ， 4S 2=(a 2+y 2−z 2)tanθ，4S 3=(b 2+z 2−x 2)tanθ，消去x ，y ，z 得到tanθ=Sa 2，即可得证．本题考查正弦定理的应用，主要涉及正余弦定理之间的转换，以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，逻辑推理能力，属于中档题．。
2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高一(下)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{x|x2﹣5x+6＞0}，B＝{x|log2（x﹣1）＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣2，1）C．（3，+∞）D．（2，3）2．z＝的共轭复数的虚部为（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．已知a＝20.5，b＝0.52，c＝log0.52，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a4．等边三角形ABC的边长为1，＝，＝，＝，那么•+•+•等于（）A．3B．﹣3C．D．5．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（）A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB．若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥αC．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥nD．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m6．已知函数f（x）＝sin（2x+）．给出下列结论：①f（x）的最小正周期为π；②f（）是f（x）的最大值；③把函数y＝sin2x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f（x）的图象．其中所有正确结论的序号是（）A．①B．①③C．②③D．①②③7．已知正数x，y满足：+＝1，则x+y的最小值为（）A．B．C．6D．8．在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠DAB＝60°，点E为边AB的中点，点F 为边BC上的动点，则•的取值范围是（）A．B．C．[，3]D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．已知，为非零向量，则“•＞0”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件B．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台C．若两个平面互相垂直，则过其中一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面D．在△ABC中，A＞B是sin A＞sin B的充要条件10．已知f（x）的定义域为R，其函数图象关于直线x＝﹣3对称且f（x+3）＝f（x﹣3），当x∈[0，3]时，f（x）＝2x+2x﹣11，则下列结论正确的是（）A．f（x）为偶函数B．f（x）在[﹣6，﹣3]上单调递减C．f（x）关于x＝3对称D．f（2021）＝﹣711．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（）A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4D．中位数为3，方差为2.812．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个命题正确的是（）A．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于B．点A1到面ABC1D1的距离为C．两条异面直线D1C和BC1所成的角为D．三棱柱AA1D1﹣BB1C1外接球表面积为3π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知||＝3，＝（1，2），且∥，则的坐标为．14．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的表面积为．15．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3，4），则tan（2α+）的值为．16．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程px2＝q中，p为“隅”，q为“实”．即若△ABC的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则S2＝[a2c2﹣（）2]．已知点D是△ABC边AB上一点，AC＝3，BC＝2，∠ACD＝45°，tan∠BCD＝，则△ABC的面积为．四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
湖北省宜昌市七校教学协作体高一下册第二学期期末考试数学试题-含答案【精编】.doc
宜昌市部分示范高中教学协作体春期末联考高一数学（全卷满分：150分 考试用时：120分钟）第I 卷（选择题）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1.已知0a b ＞＞且c d ＜，下列不等式中成立的一个是（ ）A. a c b d +>+B. a c b d ->-C. ad bc <D. a bc d>2. 已知向量(4,2)a =r ，向量(,3)b x =r，且//a b r r ，那么x 等于（ ）A.8B.7C.6D.53．在ABC ∆中，︒===452232B b a ，，，则A 为（ ）A. 060或0120B. 060C. 030或0150D.0304.下列结论正确的是（ ） A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥； B.一平面截一棱锥得到一个棱锥和一个棱台；C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线5.某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（ ） A.34 B.2 C .38 D. 4正视图俯视图侧视图第5题图6.已知31cos )3cos(=--απα，则)3cos(πα+的值为（ ）A.31B. 31- C . 32 D. 32-7.设}{n a 是公比为正数的等比数列，1322,4a a a =-=，则3a =（ ） A.2 B. -2 C.8 D.-8 8. ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知25,2,cos 3a c A ===，则=b （ ）A.2B.3C.2D.39.不等式220ax bx ++>的解集为{|12}x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为（ ） A.1{|1}2x x x <->或 B.1{|1}2x x -<< C. {|21}x x -<<D.{|21}x x x <->或10. 已知各项均为正数的等差数列}{n a 的前20项和为100，那么183a a ⋅的最大值是( ) A ．50 B ．25 C ．100 D ．22011. 对于任意实数x ，不等式210mx mx +-<恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.]0,4(- B. )0,4(- C.]4,(--∞ D. )4,(--∞12. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2013项为2013a ，则20135a -=（ ）A ．20132019⨯B ．20122019⨯C ．20131006⨯D ．10062019⨯第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分，将答案填在答题纸上） 13. 不等式112<+x 的解集是 。
2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设集合A ={x|x 2−5x +6>0}，B ={x|log 2(x −1)>0}，则A ∩B =( )A. (−∞,2)B. (−2,1)C. (3,+∞)D. (2,3)2. z =2−i1+2i 的共轭复数的虚部为( )A. 1B. −1C. iD. −i3. 已知a =20.5，b =0.52，c =log 0.52，则( )A. b <c <aB. b <a <cC. c <a <bD. c <b <a4. 等边三角形ABC 的边长为1，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ ⋅c ⃗ +c ⃗ ⋅a ⃗ =( )A. 3B. −3C. 32D. −325. 设α是空间中的一个平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则( )A. 若m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥αB. 若l//m ，m//n ，l ⊥α，则n ⊥αC. 若l//m ，m ⊥α，n ⊥α，则l ⊥nD. 若m ⊂α，n ⊥α，l ⊥n ，则l//m6. 已知函数f(x)=sin(2x +π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为π； ②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y =sin2x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是( )A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③7. 已知正数x ，y 满足：1x +3y+2=1，则x +y 的最小值为( )A. 2+√3B. 2+2√3C. 6D. 6+2√38. 在平行四边形ABCD 中，AB =2，BC =1，∠DAB =60°，点E 为边AB 的中点，点F 为边BC 上的动点，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A. [0,32]B. [1,32]C. [√3,3]D. [√32,√3]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列说法正确的是()A. 已知a⃗，b⃗ 为非零向量，则“a⃗⋅b⃗ >0”是“a⃗与b⃗ 的夹角为锐角”的必要不充分条件B. 用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台C. 若两个平面互相垂直，则过其中一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面D. 在△ABC中，A>B是sinA>sinB的充要条件10.已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x=−3对称且f(x+3)=f(x−3)，当x∈[0,3]时，f(x)=2x+2x−11，则下列结论正确的是()A. f(x)为偶函数B. f(x)在[−6,−3]上单调递减C. f(x)关于x=3对称D. f(2021)=−711.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是()A. 平均数为3，中位数为2B. 中位数为3，众数为2C. 平均数为2，方差为2.4D. 中位数为3，方差为2.812.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个命题正确的是()A. 直线BC与平面ABC1D1所成的角等于π3B. 点A1到面ABC1D1的距离为√2C. 两条异面直线D1C和BC1所成的角为π3D. 三棱柱AA1D1−BB1C1外接球表面积为3π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知|a⃗|=3，b⃗ =(1,2)，且a⃗//b⃗ ，则a⃗的坐标为______ ．14.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的表面积为______ ．15.已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(3,4)，则tan(2α+π4)的值为______ ．16.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”.他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程px2=q中，p为“隅”，q为“实”.即若△ABC的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则S2=14[a2c2−(a2+c2−b22)2].已知点D是△ABC边AB上一点，AC=3，BC=2，∠ACD=45°，tan∠BCD=8+√157，则△ABC的面积为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在复平面内，复数z=a2−a−2+(a2−3a−4)i(其中a∈R)．(1)若复数z为纯虚数，求a的值；(2)对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．18.已知向量|a⃗|=1，|b⃗ |=2.若a⃗与b⃗ 的夹角为120°．(1)求|2a⃗−b⃗ |；(2)向量k a⃗+b⃗ 与a⃗−k b⃗ 互相垂直，求实数k的值．19.已知a、b、c是△ABC中A，B，C的对边，a=4√3，b=6，cosA=−1．3(1)求c；(2)求cos4B的值．20.新冠肺炎疫情期间，某地为了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分(满分100分)，根据调查数据制成如表格和频率分布直方图已知评分在[80,100]的居民有900人．满意度评分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100)满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；(2)定义满意度指数η=(满意程度的平均分)/100，若η<0.8，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？21.已知函数f(x)=sin(x+π6)+sin(x−π6)+cosx+a的最大值为1．(1)求常数a的值；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)求使f(x)≥0成立的x的取值集合．22.如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D是AC的中点．(Ⅰ)求证：B1C//平面A1BD；(Ⅱ)求直线AB1与平面A1BD所成角的正弦值；(Ⅲ)求二面角A−BD−A1的大小．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A ={x|x <2或x >3}，B ={x|x −1>1}={x|x >2}， ∴A ∩B =(3,+∞)． 故选：C ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．考查一元二次不等式，对数不等式的解法，集合的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：z =2−i1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i 5=−i ，故z −=i ，所以虚部为1． 故选：A ．利用复数的除法运算求出z ，由共轭复数的定义以及虚部的定义求解即可．本题考查了复数的除法运算，共轭复数定义以及复数虚部的概念，考查了运算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵20.5>20=1，0<0.52<1，log 0.52<log 0.51=0， ∴c <b <a ． 故选：D ．根据指数函数和对数函数的单调性即可得出20.5>1，0<0.52<1，log 0.52<0，然后即可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由题意可得，<a⃗ ,b ⃗ >=<a ⃗ ,c ⃗ >=<b ⃗ ,c ⃗ >=2π3 ∴a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ ⋅c ⃗ +c ⃗ ⋅a ⃗ =1×1×(−12)×3=−32故选D先确定出各向量的夹角，然后根据向量的数量积的定义即可求解本题主要考查了向量的数量积的定义的简单应用，解题的关键是准确确定出向量的夹角5.【答案】B【解析】解：由α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，知：在A中，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l与α相交、平行或l⊂α，故A错误；在B中，若l//m，m//n，l⊥α，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故B正确；在C中，若l//m，m⊥α，n⊥α，则l//n，故C错误；在D中，若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：B．在A中，l与α相交、平行或l⊂α；在B中，由线面垂直的判定定理得n⊥α；在C中，l//n；在D中，l与m相交、平行或异面．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)=sin(2x+π3)的最小正周期为2π2=π，故A正确；∵f(π2)=sin(π+π3)=−sinπ3=−√32，不是f(x)的最大值，故B错误；把函数y=sin2x的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得y=sin(2x+2π3)的图象，故C错误，故选：A．由题意利用三角函数的周期性，最值，平移变换，得出结论．本题主要考查考查三角函数的周期性，最值，平移变换，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：因为1x +3y+2=1，所以x +y =x +y +2−2=(x +y +2)(1x +3y+2)−2=2+y+2x+3xy+2≥2+2√y+2x⋅3xy+2=2+2√3，当且仅当y+2x=3xy+2时取等号，此时取得最小值．故选：B ．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意如图：F 在AE 上的射影为P ，当F 在C 点时，射影为M ，F 在B 时，射影为N ， 显然F 在C 时DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的投影取得最小值，在B 时，投影取得最大值，|DM|=1，|DN|=|DB|cos30°=√3×√32=32，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是：[1,32]， 故选：B ．画出图形，判断向量DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影，然后求解数量积的范围． 考查平面向量基本定理，数量积运算，向量共线，是中档题．9.【答案】ACD【解析】解：对于A ：当a ⃗ ⋅b ⃗ >0时，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角，也可能为零角，故充分性不成立，当a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角时，a ⃗ ⋅b ⃗ >0一定成立，故必要性成立，故A 正确； 对于B ：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台， 不用平行于圆锥底面的平面截圆锥，则不可能得到一个圆锥和一个圆台，故B 不正确； 对于C ：由面面垂直的性质定理可得，C 正确； 对于D ：在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sinA >sinB ， 所以A >B 是sinA >sinB 的充要条件，故D 正确．故选：ACD．由数量积的知识，正弦定理，结合充要条件的定义，即可判断AD是否正确；用几何体的特征，即可判断BC是否正确．本题考查向量的数量积，面面垂直，正弦定理，基本概念，逻辑知识．10.【答案】ACD【解析】解：因为函数f(x)的定义域为R，且函数图象关于直线x=−3对称，则f(x−3)=f(−x−3)恒成立，又f(x+3)=f(x−3)，所以f(−x−3)=f(x+3)，故f[−(x−3)−3]=f[(x−3)+3]，即f(−x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，故选项A正确；因为f(x+3)=f(x−3)，所以f(x+6)=f(x+3−3)=f(x)，即f(x+6)=f(x)，故函数f(x)是周期为6的周期函数，当x∈[0,3]时，f(x)=2x+2x−11，则f(x)在[0,3]上单调递增，所以f(x)在[−6,−3]上单调递增，故选项B错误；因为f(x)为偶函数且f(x)图象关于x=−3对称，则有f(x−3)=f[−(x−3)]=f(3−x)，f(−x−3)=f[−(−x−3)]=f(x+3)，所以f(3−x)=f(3+x)，则f(x)的图象关于直线x=3对称，故选项C正确；因为函数f(x)是周期为6的偶函数，则f(2021)=f(336×6+5)=f(5)=f(−5)=f(−5+6)=f(1)=2+2−11=−7．故选项D正确．故选：ACD．利用函数图象的对称性以及f(x+3)=f(x−3)，可得f(−x)=f(x)，即可判断选项A，利用f(x+3)=f(x−3)，结合赋值法以及周期函数的定义，即可判断选项B，利用函数的周期性即可判断选项C，利用周期性将所求函数值转化为f(1)，即可得到答案．本题考查了函数性质的综合应用，主要考查了函数的奇偶性，周期性，对称性，单调性的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：对于A，例如2，2，2，3，6可满足条件且出现点数为6，∴选A；对于B，例如2，2，3，4，6可满足条件且出现点数为6，∴选B；对于D，例如2，2，3，4，6可满足条件且出现点数为6，∴选D；对于C，平均数为2，假设出现点数为6，则方差大于2.4，∴不选C．故选：ABD．对于ABD可举出满足条件且出现点数为6的例子；对于C，假设出现点数为6，结合平均数2，可计算方差进行判断．本题考查数据的众数、中位数、平均数、方差，考查数学运算能力及数据分析能力，属于基础题．12.【答案】BC【解析】解：对于A：连接B1C，交BC1于点O，由题意，四边形BCC1B1为正方形，CO⊥BC1，又因为AB⊥平面ABC1D1，CO⊂平面BCC1B1，所以AB⊥CO，所以CO⊥平面ABC1D1，所以∠CBO为直线BC与平面ABC1D1所成的角，又∠CBO=π，故A不正确；4对于B：因为CO⊥平面ABC1D1，所以CO为点C到平面ABC1D1的距离，又因为棱长为2，所以CO=√2，故B正确；对于C：连接D1C，A1B，A1C1，因为D1C//A1B，所以∠A1BC1为异面直线D1C和BC1所成的角，又因为BC1=A1B=A1C1=2√2，所以∠A 1BC 1=π3，故C 正确；对于D ：因为三棱柱AA 1D 1−BB 1C 1的外接球与正方体的外接球相同， 设外接球半径为R ，R =√22+22+222=√3，所以外接球表面积为S =4πR 2=12π，故D 不正确． 故选：BC ．对于A ：连接B 1C ，交BC 1于点O ，易证CO ⊥平面ABC 1D 1，从而可得∠CBO 为直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角，又∠CBO =π4，即可判断A 是否正确；对于B ：由于CO ⊥平面ABC 1D 1，则CO 为点C 到平面ABC 1D 1的距离，再计算CO =√2，即可判断B 是否正确；对于C ：连接D 1C ，A 1B ，A 1C 1，由于D 1C//A 1B ，得∠A 1BC 1为异面直线D 1C 和BC 1所成的角，计算得∠A 1BC 1=π3，即可判断C 是否正确；对于D ：根据三棱柱AA 1D 1−BB 1C 1与正方体的外接球相同，计算正方体的外接球的半径R ，再计算外接球表面积，即可判断D 是否正确．本题考查空间几何体相关知识，解题中需要理清思路，属于中档题．13.【答案】(3√55,6√55)或(−3√55,−6√55)【解析】解：设平面向量a⃗ =(x,y)， 因为|a⃗ |=3，所以√x 2+y 2=3，...① 又b ⃗ =(1,2)，且a ⃗ //b ⃗ ， 所以2x −y =0，...②由①②组成方程组，解得{x =3√55y =6√55，或{x =−3√55y =−6√55；所以a⃗ 的坐标为(3√55,6√55)或(−3√55,−6√55). 故答案为：(3√55,6√55)或(−3√55,−6√55). 设平面向量a⃗ =(x,y)，根据题意列方程组求解即可． 本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，也考查了解方程组的应用问题，是基础题．14.【答案】75π【解析】解：设圆锥的高为h ，底面圆的半径为r ，母线为l ， 因为圆锥的底面半径为6，其体积为30π， 则V =13⋅π⋅62⋅ℎ=30π， 解得ℎ=52，所以母线l =√ℎ2+r 2=√(52)2+62=132，则该圆锥的表面积为S =πrl +πr 2=π⋅6⋅132+π⋅62=75π．故答案为：75π．设圆锥的高为h ，底面圆的半径为r ，母线为l ，利用体积求出h ，再利用勾股定理求出母线l ，然后由表面积公式求解即可．本题考查了旋转体的理解与应用，圆锥的体积公式以及表面积公式的应用，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．15.【答案】−1731【解析】解：∵角的终边过点P(3,4)， ∴tanα=43，可得tan2α=2tanα1−tan 2α=−247， 则tan(2α+π4)=tan2α+11−tan2α=−1731． 故答案为：−1731．根据三角函数的定义先求出tanα的值，利用二倍角的正切公式，两角和差的正切公式进行求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的定义求出正切值以及利用两角和差的正切公式进行转化是解决本题的关键．难度不大．16.【答案】3√154【解析】解：因为tan∠ACB=tan(∠ACD+∠BCD)=1+8+√1571−8+√157=−√15，所以cos∠ACB=−14，由余弦定理可知AB2=AC2+BC2−2AC⋅BCcos∠ACB，=9+4−2×3×2×(−14)=16，即AB=4，根据“三斜求积术”可得S2=14[42×22−(42+22−322)2]=13516，所以S=3√154．故答案为：3√154由已知结合两角和的三角公式及同角平方关系可求cos∠ACB，然后结合余弦定理可求AB，代入已知公式即可求解．本题主要考查了两角和的正切公式及同角基本关系，余弦定理在求解三角形中的应用．17.【答案】解：(1)因为复数z为纯虚数，所以{a2−a−2=0a2−3a−4≠0，解得a=2；(2)因为z对应的点在第四象限，所以{a2−a−2>0a2−3a−4<0，解得：a∈(2,4)．即a的取值范围(2,4)．【解析】(1)由纯虚数的代数形式可解决此问题；(2)由复数对应点几何意义可解决此问题．本题考查复数的相关概念、复数与复平面内点的对应关系、一元二次不等式组的解法，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)|2a⃗−b⃗ |=√(2a⃗−b⃗ )2=√4|a⃗|2+|b⃗ |2−4|a⃗||b⃗ |cos120°=√4+4−8×(−12)=2√3；(2)因为向量k a⃗+b⃗ 与a⃗−k b⃗ 互相垂直，所以(k a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−k b⃗ )=0，整理可得k²−3k−1=0，解得k=3±√132．【解析】(1)根据向量模的定义代入计算即可；(2)由向量垂直可得(k a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−k b⃗ )=0，整理可得关于k的一元二次方程，解出即可．本题考查向量的模，向量垂直，数量积运算等知识点，属于基础题．19.【答案】解：(1)因为a=4√3，b=6，cosA=−13，所以在△ABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA，可得48=36+c2−2×6×c×(−13)，即c2+4c−12=0，所以c=2，或−6，负值舍去．所以c=2．(2)由已知，得cosB=a2+c2−b22ac =√33，所以cos2B=2cos2B−1=−13，所以cos4B=2cos22B−1=−79．【解析】(1)在△ABC中，由余弦定理可得c2+4c−12=0，解方程即可得解c的值．(2)由已知利用余弦定理可求cos B的值，进而根据二倍角的余弦公式即可求解．本题主要考查了余弦定理，二倍角的余弦公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和方程思想的应用，属于基础题．20.【答案】解：(1)由频率分布直方图知(0.002+0.004+0.014+0.02+0.035+a)×10=1，即10×(0.075+a)=1，解得a=0.025，设总共调查n人，则900n=(0.035+0.025)×10，解得n=1500．即调查的总人数为1500人．(2)由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02，0.04，0.14，0.20，0.35，0.25，∴η=45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25100=0.807>0.8，∴该区防疫工作不需要进行大调整．【解析】(1)根据直方图中各区间所对应的频率和为1，即可求解a，再结合[80,100]的居民有900人，[80,100]区间所对应的频率为0.06，即可求解．(2)根据已知条件，结合平均值公式，即可求解．本题考查频率分布直方图的应用，考查分析推理和运算求解能力，属于基础题．21.【答案】解：(1)由题意：函数f(x)=sin(x+π6)+sin(x−π6)+cosx+a，化简得：f(x)=sinxcosπ6+cosxsinπ6+sinxcosπ6−cosxsinπ6+cosx+a =√3sinx+cosx+a=2sin(x+π6)+a，∵sin(x+π6)的最大值为1，∴f(x)=2×1+a=1，解得：a=−1．(2)∵由(1)可知f(x)=2sin(x+π6)−1．根据三角函数的性质可得：x+π6∈[2kπ+π2,2kπ+3π2](k∈Z)．即2kπ+π2≤x+π6≤2kπ+3π2，(k∈Z)∴解得：2kπ+π3≤x≤2kπ+4π3，(k∈Z)，∴f(x)的单调递减区间为[2kπ+π3,2kπ+4π3](k∈Z)；(3)∵由题意：f(x)≥0，即2sin(x+π6)−1≥0，可得：sin(x+π6)≥12．∴2kπ+π6≤x+π6≤2kπ+5π6，(k∈Z)．解得：2kπ≤x≤2kπ+2π3．∴f(x)≥0成立的x的取值范围是{x|2kπ≤x≤2kπ+2π3}，(k∈Z)．【解析】(1)利用两角和与差的公式化简成为y=Asin(ωx+φ)的形式，根据三角函数的性质可得a的值．(2)将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；(3)根据三角函数的性质求解f(x)≥0成立的x的取值集合．本题考查了三角函数的化简和计算能力，三角函数的性质的运用．属于基础题．22.【答案】(Ⅰ)证明：设AB1∩A1B=M，连接DM，因为四边形AA1B1B为平行四边形，所以M为AB1中点，又因为D为AC中点，所以DM//B1C，因为DM⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C//平面A1BD；(Ⅱ)解：取A1B中点N，连接MN、AN，因为A1A⊥底面ABC，BD⊂平面ABC，所以A1A⊥BD，因为底面ABC是正三角形，D是AC的中点，所以BD⊥AC，又因为A1A∩AC=A，所以BD⊥平面A1AD，因为AN⊂平面A1AD，所以AN⊥BD，又因为A1A=AD=1，所以AN⊥A1D，所以AN⊥平面A1BD，于是MN为AB1在平面A1BD内投影，所以∠AMN为直线AB1与平面A1BD所成角，sin∠AMN=ANAM =A1A⋅sin45°12⋅AB1=1⋅√2212⋅√12+22=√2√5=√105，所以直线AB1与平面A1BD所成角的正弦值√105；(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知BD⊥平面A1AD，因为A1D⊂平面A1AD，所以BD⊥A1D，又因为BD⊥AC，所以∠A1DA为二面角A−BD−A1的平面角，因为∠A1AD=90°，A1A=AD，所以∠A1DA=45°，所以二面角A−BD−A1的大小为45°．【解析】(Ⅰ)只须证明B1C平行于平面A1BD内一条直线DM即可；(Ⅱ)寻找直线在平面内投影，解直角三角形求解；(Ⅲ)寻找二面角的平面角，解直角三角形求解．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，考查了二面角的计算问题，属于中档题．。
2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高一下学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数1z =（i 为虚数单位），设z 是z 的共轭复数，则z 的虚部是（ ）A B ．CD ．【答案】B【分析】先求出共轭复数，从而可求出其虚部【详解】由1z =，得1z =，所以z 的虚部是， 故选：B2．下列说法错误的是（ ）A ．调查一个班级学生每周的体育锻炼时间适合用全面调查B ．实现简单随机抽样的常用方法有抽签法和随机数法C ．简单随机抽样是等概率抽样D ．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽取的200名学生是样本量 【答案】D【分析】结合抽样方法的相关概念进行判断.【详解】对于选项A ，一个班级的学生相对较少，适合用全面调查，得出的结论较为准确；对于选项B ，抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样方法；对于选项C ，简单随机抽样中每个个体被抽到的可能性是相等的，是等概率抽样； 对于选项D ，被抽取的200名学生是样本，不是样本量. 故选：D3．已知向量(1,1)a =，()1,0b =，则下列结论正确的是（ ） A ．向量a 是单位向量 B ．a 与b 不能作为基底 C ．()b a a -⊥ D ．a 与b 的夹角为4π【答案】D【分析】根据向量的模定义去判断A 的正误；以基底的要求去判断B 的正误；以向量垂直的要求去判断C 的正误；根据向量的夹角定义去判断D 的正误.【详解】对于A: 由(1,1)a =得21a =+对于B: (1,1)a =与()1,0b =是不共线的非零向量，可以作为基底使用； 对于C: ()(0,1)(1,1)10b a a -⋅=-⋅=-≠，不垂直； 对于D: 11102cos ,221a b a b a b⋅⨯+⨯===⨯，又向量夹角范围为[]0,π ,故a 与b 的夹角为4π.正确. 故选：D4．为考察A B 、两名运动员的训练情况，下面是A B 、两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，给出下列四个结论，其中错误的结论是（ ）A ．第2天至第7天两名运动员的得分均逐日提高B ．第4天至第10天两名运动员综合得分均超过80分C ．第2天至第6天A 运动员的得分增量大于B 运动员的得分增量D ．A 运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分方差 【答案】D【分析】根据图象，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由图象可得，第2天至第7天两名运动员的得分逐日提高，故A 正确； 由图象可得，第4天至第10天两名运动员综合得分均超过80分，故B 正确； 第2天至第6天A 运动员的得分增量接近4，第2天至第6天B 运动员的得分增量大概3， 故C 正确；在1天至第3天的得分统计中，A 运动员最小得分78最高得分80，在第2天至第4天的得分统计中，A 运动员最小得分78最高得分高于80， 所以第2天至第4天的得分波动更大，所以第1天至第3天方差小于第2天至第4天的方差，故D 错误. 故选：D.5．对于平面α外一直线l，下列说法正确的是（）A．α内的所有直线都与l异面B．α内有无数条直线与l垂直C．α内没有直线与l相交D．α内有无数条直线与l平行【答案】B【分析】对于ACD，由直线l与平面α相交的性质进行判断，对于B，分直线l与平面α相交和平行两种情况分析判断即可【详解】对于A，当直线l与平面α相交时，在平面α内过交点的直线与直线l相交，所以A错误，对于B，当直线l与平面α相交时，则在平面α内与直线l的射影垂直的直线，与直线l 垂直，这样的直线有无数条，当直线l与平面α平行时，则在α内有无数条直线与l垂直，所以B正确，对于C，当直线l与平面α相交时，在平面α内过交点的直线与直线l相交，所以C错误，对于D，当直线l与平面α相交时，在平面α内没有直线与l平行，所以D错误，故选：B6．我国古代数学名若《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若千人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若千人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用样本量比例分配的分层随机抽样方法），则北面共有多少人（）A．8000 B．8100 C．8200 D．8300【答案】B【分析】设北面人数为x人，根据分层抽样抽样比相等列出方程，即可求解.【详解】设北面人数为x人，根据分层抽样抽样比相等可得31087488006912x x=++，解得：8100x=人.故选：B.7．如图，在下列四个正方体中，A B、为正方体的两个顶点，M N Q、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的有（）个①． ②．③． ④．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】利用线面平行的判定方法逐个分析判断即可【详解】对于①，如图取底面中心O ，连接OQ ，由于Q 为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得OQ ∥AB ，因为OQ 与平面MNQ 相交，所以AB 与平面MNQ 相交，对于②，如图连接11A B ，因为,M Q 分别为1111,AC B C 的中点，所以MQ ∥11A B ，因为AB ∥11A B ，所以MQ ∥AB ，因为AB ⊄平面MNQ ，MQ平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ，对于③，如图，连接11A B ，则AB ∥11A B ，因为,M Q 分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得MQ ∥11A B ，所以MQ ∥AB ，因为AB ⊄平面MNQ ，MQ 平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ，对于④，如图，连接11A B ，则AB ∥11A B ，因为,N Q 分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得NQ ∥11A B ，所以NQ ∥AB ，因为AB ⊄平面MNQ ，NQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ，所以直线AB 与平面MNQ 平行的有3个， 故选：C8．在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的下底面重合，圆锥的顶点是圆柱的上底面中心．这个几何体的表面积为（ ） A ．(55)π B ．(43)π+ C 5π D ．(65)π【答案】A【分析】先求得挖去的圆锥的母线长,从而求得圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，从而求得组合体的表面积.【详解】221+2=512552ππ⨯=，圆柱的侧面积为224=ππ⨯，圆柱的一个底面面积为21=ππ⨯， 54(55)++=ππππ. 故选：A二、多选题9．已知两个平面垂直，下列命题错误的有（ ）A ．一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B ．一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线C ．一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面D ．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 【答案】ACD【分析】利用平面和平面垂直的性质进行判断.【详解】一个平面内只有垂直交线的直线和另一平面垂直，才和另一个平面内的任意一条直线垂直，所以A, C 错误；过一个平面内任意一点作交线的垂线， 该垂线在平面内时，则此垂线必垂直于另一个平面，若点在交线上时，作交线的垂线，则垂线不一定在平面内，此垂线不一定垂直于另一个平面，所以D 错误；因为另一个平面内有无数条平行直线垂直于该平面，都与该直线垂直，所以B 正确. 故选：ACD10．有甲、乙两组数据，甲：1、2、a 、b 、10，乙：1、2、5、6、11，其中*, a b ∈N ，若甲组数据的平均数等于乙组数据的中位数，要使甲组数据的方差小于乙组数据的方差，则(,)a b 可以为（ ） A ．(5,6) B ．(7,5) C ．(6,6) D ．(8,4)【答案】BCD【分析】根据平均数与方差的定义，得到a ，b 满足的条件，求解即可． 【详解】解：由题意可得，()1121055a b ++++=， 所以12a b +=，平均数为5， 又乙组数据的平均数()112561155++++= 因为甲组数据的方差小于乙组数据的方差，所以2222222222(15)(25)(5)(5)(105)(15)(25)(55)(65)(115)a b -+-+-+-+-<-+-+-+-+-，即22(5)(5)12a b -+-<， 又*, a b ∈N ，所以(,)a b 可以为(4,8)，(6,6)，(5,7)，(7,5)，(8,4)． 故选：BCD ．11．对任意复数i z x y =+，(,)x R y R ∈∈，i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则下列结论正确的有（ ） A ．||2-=z z y B ．22||z z = C ．22=+z z x y D ．||||||≤+z x y【答案】CD【分析】利用复数的运算性质分析求解即可【详解】对于A ，由i z x y =+，得(i)(i)2i z z x y x y y -=+--=，所以||2z z y -=，所以A 错误，对于B ，因为222222(i)2i (i)()2i z x y x xy y x y xy =+=++=-+，222z x y =+，所以22z z ≠，所以B 错误，对于C ，因为i z x y =+，所以2222(i)(i)(i)zz x y x y x y x y =+⋅-=-=+，所以C 正确，对于D ，因为z x y ==+ ，所以D 正确， 故选：CD12．正方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，点P 在线段1BC 上运动，则下列说法中正确的有（ ） A ．11B D A P ⊥B ．点P 从B 向1C 运动过程中，三棱锥1AD PC -的体积先增大后减小 C ．当P 为1BC 中点时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为8π D ．若12=BP PC ，设AP 与底面ABCD 所成的角为α，二面角P AB C 的平面角为β，则αβ< 【答案】ACD【分析】A. 由正方体的特征，易证1B D ⊥平面11BA C 判断；B. 由正方体的特征知：易知11//AD C B 和1AD CS是定值判断；C.易知当P 为1BC 中点时，三棱锥P ABC -的外接球的球心为AC 的中点求解判断；D.分别找出AP 与底面ABCD 所成的角为PAO α，二面角PAB C 的平面角求解判断.【详解】如图所示：A. 由正方体的特征知：11111,B C C B A B C B ⊥⊥，又1111B C A B B =，所以 1C B ⊥平面11A B CD ，则 11C B B D ⊥，同理 111AC B D ⊥，又 1111C B AC C ⋂=，所以 1B D ⊥平面11BA C ，所以11B D A P ⊥，故正确；B. 由正方体的特征知：11//AD C B ，所以点P 从B 向1C 运动过程中，点P 到平面1AD C 的距离不变，又1AD CS是定值，所以三棱锥1A D PC -的体积不变，故错误；C. 当P 为1BC 中点时，三棱锥P ABC -的外接球的球心为AC 的中点，所以R =2，所以外接球的表面积为248S R ππ==，故正确；D.如图所示： ，过点P 作PO BC ⊥，连接AO ，则AP 与底面ABCD 所成的角PAO α，二面角P AB C 的平面角4PBOπβ，因为12=BP PC ，所以224213,33POBOAO AB BO ，则42133tan 1352PO PAOAO，又2130,,1213PAO π，所以 4παβ，故正确； 故选：ACD 三、填空题13．在长方体1111ABCD A B C D -的各条棱所在直线中，与直线AB 异面且垂直的直线有_____条． 【答案】4【分析】由异面直线的定义求解. 【详解】如图所示：与直线AB 异面且垂直的直线有111111,,,DD CC A D B C ，共4条， 故答案为：414．已知m R ∈，复平面内表示复数22i (56)()--++m m m m 的点在虚轴上，则m=_____________． 【答案】1-或6【分析】根据复数的几何意义得对应点的坐标在虚轴上，解方程求得结果. 【详解】复数对应点的坐标为2(56m m --，2)m m +， 若点在虚轴上，则2560m m --=，解得1m =-或6m =． 故答案为：1-或6.15．已知非零向量a ，b 满足2b a =，且()()32a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为______________． 【答案】34π135︒ 【分析】由垂直转化得数量积为0，再将数量积转化为模长公式，即可求解.【详解】由()()32a b a b -⊥+可得()()320a b a b -⋅+=，即22203a b a b --⋅=，因为2b a =，不妨令1a =，则2b =，2222032032cos ,a b a b a b a b a b --⋅=⇔--⋅⋅=，代值化简得2cos ,2a b =-，因为向量夹角范围为[]0,π，故a 与b 的夹角为34π. 故答案为：34π四、双空题16．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào ）.已知在鳖臑M ABC -中，面⊥MA ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的表面积为__________，它的内切球的半径为__________． 【答案】 442+424+21-12-+【分析】（1）先把四个面的底和高求出来，再求三棱锥得表面积； （2）以等体积法求三棱锥内切球半径.【详解】如图：鳖臑M ABC -中，面⊥MA ABC ，2MA AB BC ===，AB BC ⊥则该鳖臑中，MB BC ⊥，22MB AC ==（1）鳖臑的表面积为：111122222222224422222MAB MAC MBC ABC S S S S +++=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+△△△△（2）设鳖臑的内切球的半径为r ，球心为O ， 则有M ABC O ABC O ABM O ACM O BCM V V V V V -----=+++即111111111122222222222223232323232r r r r ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ 解之得21r =故答案为：（1）442+221 五、解答题17．已知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根，其中i 为虚数单位． (1)求,p q 的值；(2)记复数i z p q =+，求复数1iz+的模． 【答案】(1)2,5p q =-= 58【分析】（1）由题知()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=，再根据复数相等求解即可；（2）由（1）得25i z =-+，故37i1i 2z +=+，再求模即可. (1)解：知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根，所以()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=， 所以30420p q p +-=⎧⎨+=⎩，解得2,5p q =-=. 所以2,5p q =-=(2)解：由（1）得复数25i z =-+， 所以()()()()25i 1i 25i 37i 1i 1i 1i 1i 2z -+--++===+++- 所以复数1i z +的模为94958442+= 18．一艘海轮从A 出发，沿北偏东70︒的方向航行(31)n mile -后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东10︒的方向航行2n mile 到达海岛C ．(1)求AC 的长；(2)如果下次航行直接从A 出发到达C ，应沿什么方向航行？【答案】(1)6AC =(2)沿北偏东25︒的方向航方向航行.【分析】（1）根据示意图，确定好题目中给出的长度和角度；选用余弦定理求解AC 的长度，完成计算；（2）利用求出的AC 的长度以及相关条件，选用正弦定理完成CAB ∠的求解，进而得答案.(1)解：由题意知，在ABC 中，1807010120ABC ∠=︒-︒+︒=︒，31=AB ，2BC =，根据余弦定理，得()()22222cos 3142316AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠=-++-=， 所以6AC =n mile ．(2)解：根据正弦定理可得sin sin AC BC ABC CAB=∠∠， 即32322sin 26s 6in BC A B BC CA AC∠=⨯===∠， 又,(0,180)BC AC CAB <∈∠，所以45CAB ∠=︒．所以应沿北偏东25︒的方向航方向航行6 n mile 即可到达C 处.19．在如图所示的四棱锥F ABCD -中，四边形ABCD 是等腰梯形，//,60∠=︒AB CD ABC ，FC ⊥平面ABCD ，1CB CD CF ===．(1)求证：AC BF ⊥；(2)若E 为CF 的中点，问线段AB 上是否存在点G ，使得//EG 平面ADF ？若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析.(2)存在，12AG =，理由见解析. 【分析】（1）根据题意，结合几何关系证明AC BC ⊥，在根据线面垂直证明FC AC ⊥，进而证明AC ⊥平面FBC ，再根据线面垂直得结论；（2）取DF 中点H ，连接,HE HA ，在线段AB 上取点G ，使得14AG AB =，连接EG ，则证明四边形AGEH 为平行四边形，以证明//EG 平面ADF .(1)60,30ABC BAD ACD CAB DAC ∠=∠=∠=∠=∠=(2)解：线段AB 上存在点G ，使得//EG 平面ADF ，1142AG AB ==.下面证明结论：如图，取DF 中点H ，连接,HE HA ，在线段AB 上取点G ，使得14AG AB =，连接EG ， 由（1）知，在ABC 中，60,30,90ABC CAB ACB ∠=∠=∠=，22AB BC ==， 所以1142AG AB ==， 因为//AB CD ，222AB BC DC ===，所以11//,22AG DC AG DC ==， 因为H 为DF 中点，E 为CF 的中点，所以11//,22HE CD HE CD ==， 所以1//,2AG HE AG HE ==， 所以四边形AGEH 为平行四边形，所以//AH GE ，因为AH ⊂平面ADF ，GE ⊄平面ADF ，所以//EG 平面ADF .所以线段AB 上存在点G ，使得//EG 平面ADF ，1142AG AB ==.20．武汉市重点中学联合体高一年级举行了期中统一考试，随机抽取一部分学生的数学成绩分组统计如下表：分组频数 频率 [0，30)2 0.02 [30，60)5 0.05 [60，90) 35 0.35[90，120)m n [120，150]13 0.13 合计M N (1)求出表中m ，n ，M ，N 的值，并根据表中数据补全频率分布直方图；(2)请根据频率分布直方图估计这次数学成绩的样本数据的第35百分位数；(3)命题老师在考前期待这份试卷成绩的平均分在95到105之间，请你根据频率分布直方图估计最终成绩是否符合他的期待？【答案】(1)45,0.45,100,1m n M N ====，补全的频率分布直方图见解析；(2)84；(3)不符合命题老师的期待.【分析】（1）根据频率分布表可求总数，结合频率及频数可求其它量，补全频率分布直方图；（2）根据总人数为100，第35百分位数是频率分布直方图中频率0.35对应的分数； （3）利用区间中点代替区间平均数，求解分数的平均值，比较可得结论.(1)由频率分布表，得总数21000.02M ==，所以()10025351345m =-+++=，第四组的频率450.45100n ==；由频率之和为1可得1N =.补全的频率分布直方图如下：(2)由题意，总人数为100，前两组的频率为0.020.050.07+=，第三组的频率为0.35，所以第35百分位数一定在第三组内， 0.350.070.80.35-=，0.83024⨯=，所以第35百分位数为602484+=. (3)由频率分布直方图可得分数的平均值为0.02150.05450.35750.451050.1313593.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，93.695<，不符合命题老师的期待.21．如图1，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，45C ∠=︒，AE CD ⊥，BF CD ⊥．将ADE ∆与BCF ∆分别沿AE ，BF 折起，使得点D 、C 重合（记为点P ），形成图2，且PEF ∆是等腰直角三角形．(1)证明：平面PAE ⊥平面PBF ；(2)求二面角P AB F --的正弦值；(3)若2AB =P ABFE -的体积．【答案】(1)证明见解析；3(3)13【分析】(1)先证PF ⊥平面PAE ,即可证明面面垂直.(2)证明PCD ∠即为二面角P AB F --的平面角，解三角形即可求解.(3)由(2)得出底面积和高，即可求解.(1)解：由题意得：,AE PF ⊥又PE PF ⊥,AE PE E ⋂=,故PF ⊥平面PAE ； 又PF ⊂平面PBF ,故平面PAE ⊥平面PBF ；(2)如图，连接PC CD DP 、、,C D 、分别为AB EF 、的中点， 由（1）知PA PB =,故PC AB ⊥,又//,CD AE AE AB ⊥,所以CD AB ⊥， 故PCD ∠即为二面角P AB F --的平面角， 由(1)知, AE ⊥平面PEF ,又AE ⊂平面ABFE ,故平面ABFE ⊥平面PFE , 又平面ABFE 平面PFE EF =,PD EF ⊥,所以PD ⊥平面ABEF , 设2EF a =，则2PE EA a ==,222PA PE EA a =+=,223PC PA AC a =-=, PD ED a ==,故二面角P AB F --的正弦值为：3sin 3PD PCD PC ∠==.(3)由(2)得, PD ⊥平面ABEF ,又2AB 21,AE PD ==, 故四棱锥P ABFE -的体积为1211233⨯=.。
2021-2022学年湖北省宜昌市高一下期末考试数学模拟试卷及答案解析
2021-2022学年湖北省宜昌市高一下期末考试数学模拟试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．若向量a →=（4，2），b →=（6，k ），若a →∥b →，则k ＝（ ） A ．﹣12B ．12C ．﹣3D ．3解：根据题意，向量a →=（4，2），b →=（6，k ）， 若a →∥b →，则有4×k ＝2×6＝12， 解可得k ＝3； 故选：D ．2．下列说法正确的是（ ）A ．平行于同一平面的两条直线平行B ．垂直于同一直线的两条直线垂直C ．与某一平面所成角相等的两条直线平行D ．垂直于同一条直线的两个平面平行解：对于A ，平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故A 错误； 对于B ，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，故B 错误； 对于C ，与某一平面所成角相等的两条直线平行、相交或异面，故C 错误； 对于D ，由面面平行的判定定理得垂直于同一条直线的两个平面平行，故D 正确． 故选：D ． 3．已知复数z =103+i−2i （其中i 为虚数单位），则|z |＝（ ） A ．3√3 B ．3√2 C ．2√3 D ．2√2解：z =103+i −2i =10(3−i)(3+i)(3−i)−2i ＝3﹣i ﹣2i ＝3﹣3i ， 则|z |＝3√2， 故选：B ．4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（ ） A ．是对立事件B ．都是不可能事件C ．是互斥事件但不是对立事件D ．不是互斥事件解：事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生， 即两名学生正好一名男生，一名女生， 故两事件既不是对立事件也不是互斥事件， 故选：D ．5．如图所示，在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝2，点P 在平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且AD ＝1，PD ＝2，则三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为（ ）A ．9πB ．10πC ．12πD ．14π解：由题意可知，PD ⊥平面ABC ， 所以平面P AB ⊥平面ABC ， 又因为AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面P AB ，构造直三棱柱P AB ﹣MNC ，则直三棱柱P AB ﹣MNC 的外接球即为所求，球心O 为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，△P AB 中，由正弦定理可得，r =√52sin π4=√102，故R =1+(√102)2=√142， 故S ＝4π×144=14π 故选：D ．6．某实验单次成功的概率为0.8，记事件A 为“在实验条件相同的情况下，重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中至少成功2次”，现采用随机模拟的方法估计事件A 的概率：先由计算机给出0～9十个整数值的随机数，指定0，1表示单次实验失败，2，3，4，5，6，7，8，9表示单次实验成功，以3个随机数为组，代表3次实验的结果经随机模拟产生了20组随机数，如表：752 029 714 985 034 437 863 694 141 469 037 623 804 601 366 959742761428261根据以上方法及数据，估计事件A 的概率为（ ） A ．0.384B ．0.65C ．0.9D ．0.904解：由随机模拟实验可得：“在实验条件相同的情况下，重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中最多成功1次”共141，601两组随机数，则“在实验条件相同的情况下，重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中至少成功2次”共20﹣2＝18组随机数， 即事件A 的概率为1820=0.9，故选：C ．7．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，AB ＝2√2，BC ＝SC ＝SD ＝2，BC ⊥SD ，则四棱锥S ﹣ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．4π3B ．8√2π3C ．16√2π3D ．4√3π解：在四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为矩形， 则BC ⊥CD ， 由于BC ⊥SD ， 所以BC ⊥平面SCD ，由于AB ＝2√2，BC ＝SC ＝SD ＝2， 在等腰三角形SCD 中，由于CD 2＝SD 2+SC 2，所以△SCD 为等腰直角三角形．所以四棱锥S ﹣ABCD 的外接球的球心为：经过底面矩形ABCD 的对角线的交点且垂直于平面ABCD 及侧面等腰直角三角形SCD 经过斜边CD 的中点，且垂直于平面SCD 的直线，正好交点为底面矩形的对角线的交点． 设外接球的半径为R ，则R 2=12+(√2)2，解得R =√3， 所以V =43⋅π⋅(√3)3=4√3π． 故选：D ．8．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为（ ）A ．4B ．43C ．23D ．3解：由图可知该几何体为两个全等的正四棱锥构成， 四棱锥底面四边形面积为正方形面积一半为2，高为正方体棱长一半为1， 所以V =13×2×1×2=43． 故选：B ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．下列各式中结果为零向量的是（ ） A ．AB →+MB →+BO →+OM →B ．AB →+BC →+CA →C ．OA →+OC →+BO →+CO →D ．AB →−AC →+BD →−CD →解：由向量加法的法则得A ：AB →+MB →+BO →+OM →=AB →+MB →+BM →=AB →，故结果不为零向量，B ：AB →+BC →+CA →=AC →+CA →=0→，结果为零向量，C ：OA →+OC →+BO →+CO →=BO →+OA →=BA →，结果不为零向量，D ：AB →−AC →+BD →−CD →=AB →+BD →−（AC →+CD →）=AD →−AD →=0→，结果为零向量； 故选：BD ．10．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，公司质监部要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（ ） A ．应采用分层随机抽样抽取B ．应采用抽签法抽取C ．三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆D ．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的解：某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，公司质监部要抽取57辆进行检验，所以该检验采用分层抽样的方法，故选项A 正确，选项B 错误． 对于选项C ：1500+6000+2000＝9500，所以抽样为57×15009500=9，57×60009500=36，57×20009500=12，故选项C 正确．对于选项D ：对于分层抽样的每一辆轿车被抽到的可能性相等，故选项D 正确． 故选：ACD ．11．已知复数z ＝1+cos2θ+i sin2θ（−π2＜θ＜π2）（其中i 为虚数单位），则（ ） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．z 可能为实数C ．|z |＝2cos θD ．1z 的实部为−12解：z ＝1+cos2θ+i sin2θ＝2cos θ（cos θ+i sin θ），∵−π2＜θ＜π2，∴cos θ＞0，sin θ∈（﹣1，1），则复数z 在复平面上对应的点不可能落在第二象限，故A 错误；当sin2θ＝0，θ＝0∈（−π2，π2）时，复数z 是实数，故B 正确；|z |=√(1+cos2θ)2+(sin2θ)2=√2+2cos2θ=2cos θ，故C 正确；1z=11+cos2θ+isin2θ=1+cos2θ−isin2θ(1+cos2θ+isin2θ)(1+cos2θ−isin2θ)=1+cos2θ−isin2θ2+2cos2θ，则1z的实部是1+cos2θ2+2cos2θ=12，故D 错误；故选：BC ．12．雷达图是以从同一点开始的轴上表示的三个或更多个定量变量的二维图表的形式显示多变量数据的图形方法．为比较甲，乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（ ）A ．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值B ．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C ．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D ．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值解：依题意，乙的逻辑推理能力3分，而甲的逻辑推理能力4分，故A 正确； 甲的数学建模能力指标值为3分，乙的直观想象能力指标值为5分，故B 错误； 乙的六维能力指标值有4项优于甲的六维能力指标值，故C 正确；甲的数学运算能力指标值为4分，而甲的直观想象能力指标值为5分，故D 错误； 故选：AC ．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．若z ＝3﹣4i （i 为虚数单位），则z |z|=35+45i ．解：∵z ＝3﹣4i ，∴z =3+4i ，|z|=√32+(−4)2=5， ∴z |z|=35+45i ．故答案为：35+45i ．14．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：cm ）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x ，174，175．若样本数据的第90百分位数是173，则x 的值为 172 ． 解：百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，本题第90百分位数是173，即比173小的数据占90%， 故答案为：172．15．已知等边△ABC ，D 为BC 中点，若点M 是△ABC 所在平面上一点，且满足AM →=13AD →+12AC →，则AB →⋅CM →= 0 ． 解：由已知有|AB →|＝|AC →| 因为AB →⋅CM →=AB →•（AM →−AC →） =AB →•（13AD →+12AC →−AC →） =AB →•（16AB →+16AC →−12AC →）=AB →•（16AB →−13AC →）=16AB →2−13AB →⋅AC →=16(AB →2−AB →2) ＝0， 故答案为：0．16．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）．则该几何体共有 14 个面；如果被截正方体的棱长是50cm ，那么石凳的表面积是 7500+2500√3 cm 2．解：由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是50cm ，那么石凳的表面积是S 表面积＝8×12×25√2×25√2×sin60°+6×25√2×25√2=（7500+2500√3）（cm 2）． 故答案为：14，7500+2500√3．四．解答题（共6小题，第17小题10分，第18-22小题每题12分，共70分） 17．已知复数z 1＝（a +i ）2，z 2＝4﹣3i ，其中a 是实数．（1）若在复平面内表示复数z 1•z 2的点位于第二象限，求a 的取值范围； （2）若z 1z 2是纯虚数，a 是正实数，①求a ， ②求z 1z 2+(z 1z 2)2+(z 1z 2)3+⋯+(z 1z 2)2020．解：（1）由题可得：z 1=(a +i)2=a 2−1+2ai ， z 1⋅z 2=(4a 2+6a −4)+(3+8a −3a 2)i ， ∵在复平面内表示复数z 1•z 2的点位于第二象限， ∴{4a 2+6a −4＜03+8a −3a 2＞0，解得−13＜a ＜12；（2）①依题意得：z 1z 2=(a+i)24−3i=(a+i)2(4+3i)(4−3i)(4+3i)=(a 2+2ai+i 2)(4+3i)42−(3i)2=4a 2+8ai+4i 2+3a 2i+6ai 2+3i 316−(−9)=(4a 2−6a−4)+(3a 2+8a−3)i 25， ∵z 1z 2是纯虚数，则{4a 2−6a −4=03a 2+8a −3≠0，又a 是正实数，解得a ＝2． ②当a ＝2时，z 1z 2=4×22−6×2−4+(3×22+8×2−3)i25=i ，则z 1z 2+(z 1z 2)2+(z 1z 2)3+⋯+(z 1z 2)2020=i +(i)2+(i)3+⋯+(i)2019+i 2020=i(1−i 2020)1−i=0．18．甲，乙，丙三名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.90，乙射中的概率为0.95，丙射中的概率为0.95．求： （1）三人中恰有一人没有射中的概率；（2）三人中至少有两人没有射中的概率．（精确到0.001） 解：（1）甲，乙，丙三名射击运动员分别对一目标射击1次， 甲射中的概率为0.90，乙射中的概率为0.95，丙射中的概率为0.95． ∴三人中恰有一人没有射中的概率为：P ＝0.9×0.95×0.05+0.9×0.05×0.95+0.1×0.95×0.95＝0.17575≈0.176． （2）三人中至少有两人没有射中的概率为：P ＝0.9×0.05×0.05+0.1×0.95×0.05+0.1×0.05×0.95+0.1×0.05×0.05＝0.012． 19．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （﹣1，﹣2），B （2，3），C （﹣2，﹣1）． （1）以线段AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，求向量AD →的坐标和|AD →|； （2）设实数t 满足(AB −tOC)⋅OC =0，求t 的值． 解：（1）由题意知，AC →=（﹣1，1），AB →=（3，5）， ∴AD →=AC →+AB →=（2，6），即|AD →|=2√10．（2）由题意知，OC →=（﹣2，﹣1），AB →−tOC →=（3+2t ，5+t ）， ∵(AB −tOC)⋅OC =0，∴﹣2（3+2t ）﹣（5+t ）＝0，解得t =−115．20．4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作．某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每周课外阅读的时长．如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．（1）已知样本中每周课外阅读时长不足4小时的中学生有100人，求图中a，b的值；（2）试估计该市中学生阅读时长不小于10小时的概率；（3）为了更具体的了解全市中学生课外阅读情况，用比例分配的分层抽样的方法从[10，12）和[12，14]两组中共抽取了6名学生参加座谈会，现从上述6名学生中随机抽取2名在会上进行经验分享，求这2名学生来自不同组的概率．解：（1）∵从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每周课外阅读的时长，样本中每周课外阅读时长不足4小时的中学生有100人，∴a=1001000×2=0.05，∵（0.05+0.1+0.2+0.075+0.05+b）×2＝1，∴b＝0.025．（2）由频率分布直方图得该市中学生阅读时长不小于10小时的频率为：（0.05+0.025）×2＝0.15．∴估计该市中学生阅读时长不小于10小时的概率为0.15．（3）用比例分配的分层抽样的方法从[10，12）和[12，14]两组中共抽取了6名学生参加座谈会，从[10，12）中抽取：6×0.050.05+0.025=4人，从[12，14]中抽取：6×0.0250.05+0.025=2人，从这6名学生中随机抽取2名在会上进行经验分享，基本事件总数n=C62=15，这2名学生来自不同组包含的基本事件个数m=C41C21=8．∴这2名学生来自不同组的概率p=mn=815．21．如图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是⊙O所在平面外一点，D是PB的中点．（1）求证：OD∥平面P AC；（2）若△P AC是边长为6的正三角形，AB＝10，且BC⊥PC，求三棱锥B﹣P AC的体积．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴O是AB的中点，又D是PB的中点，∴OD∥P A，∵OD⊄平面P AC，P A⊂平面P AC，∴OD∥平面P AC；（2）解：由AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，得∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，∴BC⊥平面P AC．∵△P AC是边长为6的正三角形，∴S△PAC=12×62×sin60°=9√3．BC=√AB2−AC2=√102−62=8．∴V B−PAC=13×S△PAC×BC=13×9√3×8=24√3．22．某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产某款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为A等品，低于10分的为B等品．厂家将A等品售价定为2000元/件，B等品售价定为1200元/件．下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x =116∑ 16i=1x i ＝9.97，s 2=116∑ 16i=1（x i −x ）2=116∑ 16i=1xi2−x 2＝0.045，其中x i 为抽取的第i 件产品的评分，i ＝1，2， (16)该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费1500万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.05．已知该厂现有一笔1500万元的资金．（1）若厂家用这1500万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分， （i ）估计改进后该生产线生产的产品中A 等品所占的比例； （ii ）估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差．（2）某金融机构向该厂推销一款年收益率为8.2%的理财产品．请你利用所学知识分析，将这1500万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？（一年按365天计算） 解：（1）（i ）改进后，随机抽取的16件产品的评分依次变为： 10.00 10.17 10.01 10.01 10.06 9.97 10.03 10.09 10.31 9.96 10.18 10.07 9.27 10.09 10.10 10.00 其中，A 等品共有13个，∴估计改进后该生产线生产的新产品中A 等品所占的比例为1316．（ii ）设一条生产线改进前一天生产出的产品评分为y i （i ＝1，2，3，…，200）， 改进后该天生产出的产品评分设为z i （i ＝1，2，3，…，200），其中z i ＝y i +0.05， 由已知得用样本估计总体可知y =9.97，∴z =1200∑ 200i=1z i =1200∑ 200i=1(y i +0.05)=y +0.05＝10.02，∴估计改进一条生产线后该厂生产的所有产品评分的平均数为：9.97×200+10.02×200400=9.995．由已知得用样本估计总体可知s y 2=0.045，∴s t 2=1200∑ 200i=1(z i −z)2=1200∑ 200i=1[(y i +0.05)−(y +0.05)]2=s y 2=0.045．估计改进后该厂的所有产品评分的方差为：1 400[∑200i=1(y i−9.995)2+∑200i=1(z i−9.995)2]=1400{∑200i=1[（y i−y）+（y−9.995）]2+∑200i=1[（z i−z）+（z−9.995）]2}=1400{∑200i=1[（y i−y）2﹣2（y i−y）（y−9.995）+（z−9.995）]2+∑200i=1[（z i−z）2﹣2（z i−z）（z−9.995）+（z−9.995）2]}=1400{[∑400i=1（y i−y）2﹣2（y−9.995）∑200i=1（y i−y）+200（y−9.995）2]+[∑200i=1（z i−z）2﹣2（z−9.995）]∑200i=1（z i−z）+200（z−9.995）2]}=1400{[∑200i=1（y i−y）2+200（y−9.995）2]}+[∑200i=1(z i−z)2+200（z−9.995）]2}（*），∵s y2=1200∑200i=1（y i−y）2，∴∑200i=1(y i−y)2=200s y2，同理，∑200i=1(z i−z)2=200s z2，∴（*）式=1400{[200s y2+200（y−9.995）2]+[200s z2+200（z−9.995）2]}=200 400×[0.045+（9.97﹣9.995）2]+200400×[0.045+（10.02﹣9.995）2]＝0.045+0.0252＝0.045625．（2）将这1500万元用于改进一条生产线，一年后因产品评分提高而增加的收益为：（2000﹣1200）×516×200×365﹣1500×104＝325×104（元），将这1500万元购买该款理财产品，一年后的收益为：1500×104×（1+8.2%）﹣1500×104＝123×104（元），∵325×104＞123×104，∴将这1500万元用于改进一条生产线一年后收益更大．。