高中数学新学案同步 必修1 人教B版 全国通用版 第1章 集合 1.1.1
√
)
3．由形如 2k－1，其中 k∈Z 的数组成集合 A，则 4k－1∉A.(
×
)
类型一 例1
判断给定的对象能否构成集合
考察下列每组对象能否构成一个集合．
(1)解； (3)某班的所有高个子同学； (4) 3的近似值的全体． 解 (1)对任意一个实数都能判断出是不是“不超过 20 的非负数”，所以能构成集合；
§1.1
集合与集合的表示方法 1.1.1 集合的概念
学习目标
1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.
理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法．
知识点一
集合的概念
元素与集合的概念 (1)集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构 成的集合(或集)． 集合通常用英语大写字母 A，B，C，…来表示． (2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)． 元素通常用英语小写字母 a，b，c，…来表示． 知识点二 思考 答案 梳理 元素与集合的关系 1 1 是整数吗？ 是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？ 2 1 1 是整数； 不是整数．没有． 2 元素与集合的关系 关系 属于 不属于 语言描述 a 是集合 A 的元素 a 不是集合 A 的元素 记法 a∈A a ∉A 读法 a 属于集合 A a 不属于集合 A
明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的 一些点”不能构成集合；D 中，没有明确的标准，所以不能构成集合．
类型二
元素与集合的关系 判定元素与集合的关系
命题角度 1 例2
给出下列关系：
1 ① ∈R；② 2∉Q；③|－3|∉N； 2 ④|－ 3|∈Q；⑤0∉N，其中正确的个数为( A． 1 答案 解析 B． 2 B 1 是实数，①对； 2 C． 3 D．4 )
知识点三 思考
元素的三个特性
某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于 175 厘米的男生能否构成一个
集合？ 答案 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”无明确的标准．高于 175 厘米的男
生能构成一个集合，因为标准确定． 梳理 集合元素的三个特性 意义 元素与集合的关系是确定的，即给定元素 a 和集合 A，a∈A 与 a∉A 必居其一 集合中的元素互不相同，即 a∈A 且 b∈A 时，必有 a≠b 集合中的元素是没有顺序的
∴0≤x≤2 且 x∈N. 当 x＝0 时， 当 x＝1 时， 当 x＝2 时， 6 6 ＝ ＝2∈N； 3－x 3 6 6 ＝ ＝3∈N； 3－x 3－1 6 6 ＝ ＝6∈N. 3－x 3－2
∴A 中的元素有 0,1,2. 反思与感悟 (1)直接法 ①使用前提：集合中的元素是直接给出的． ②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现． (2)推理法 ①使用前提：对于某些不便直接表示的集合． ②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素 所具有的特征． 跟踪训练 3 A．a>－4 C．－4<a<－2 答案 解析 D ∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－2. 已知集合 A 中元素满足 2x＋a>0，a∈R，若 1∉A,2∈A，则( B．a≤－2 D．－4<a≤－2 ) 判断元素和集合关系的两种方法
于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素． 跟踪训练 1 下列各组对象可以组成集合的是( )
A．数学必修 1 课本中所有的难题 B．小于 8 的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 答案 解析 B A 中，“难题”的标准不确定，不能构成集合；B 能构成集合；C 中，“一些点”无
－ 2________R； －3________Q； －1________N； π________Z. 答案 ∈ ∈ ∉ ∉
命题角度 2 例3 答案 解析
根据已知的元素与集合的关系推理 6 ∈N，x∈N，则集合 A 中的元素为________． 3－ x
集合 A 中的元素 x 满足 0,1,2 6 ∵x∈N， ∈ N， 3－x
可知 a－3＝－3 或 2a－1＝－3， 当 a－3＝－3 时，a＝0；当 2a－1＝－3 时，a＝－1. 经检验，0 与－1 都符合要求． ∴a＝0 或－1. (2)当 x＝0,1，－1 时，都有 x2∈B， 但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故 x＝－1. (3)显然 a2＋1≠0.由集合元素的无序性， 只可能 a－3＝0 或 2a－1＝0. 若 a－3＝0，则 a＝3，A 包含的元素为 0,5,10，与集合 B 中元素不相同． 1 5 5 若 2a－1＝0，则 a＝ ，A 包含的元素为 0，－ ，，与集合 B 中元素不相同． 2 2 4 故不存在实数 a，x，使集合 A 与集合 B 中元素相同． 反思与感悟 元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任
元素 确定性 互异性 无序性
知识点四
集合的分类及常用数集
1．集合的分类 空集：不含任何元素，记作∅. 集合 非空集合 有限集：含有有限个元素； 无限集：含有无限个元素.
2．常用数集 名称 符号 自然数集 N 正整数集 N＋或 N* 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R
1．若 y＝x＋1 上的所有点构成集合 A，则点(1,2)∈A.( 2．0∈N 但 0∉N＋.( √ )
(2)能构成集合；
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个 集合； (4)“ 3的近似值”不明确精确到什么程度， 因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值， 所以不能构成集合． 反思与感悟 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对
又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4， ∴－4<a≤－2. 类型三 元素的三个特性的应用
例4
已知集合 A 有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合 B 也有三个元素：0,1，x.
(1)若－3∈A，求 a 的值； (2)若 x2∈B，求实数 x 的值； (3)是否存在实数 a，x，使集合 A 与集合 B 中元素相同？ 考点 题点 解 元素与集合的关系 由元素与集合的关系求参数的值 (1)由－3∈A 且 a2＋1≥1，
2不是有理数，②对； |－3|＝3 是自然数，③错； |－ 3|＝ 3为无理数，④错； 0 是自然数，⑤错． 故选 B. 反思与感悟 要判断元素与集合的关系， 首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集， 如 N，
R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件． 跟踪训练 2 用符号 “∈”或“∉”填空．
新人教B版必修一1.1.1《集合的概念》学案
1.1.1集合的概念课标要求：初步理解集合的含义，了解属于关系的意义，知道常用数集及其记法。
重点难点：集合的概念与集合中元素的性质知识要点1.集合：一般地，把一些能够对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的（或）。
构成集合的每个对象叫做这个集合的（或）。
2.集合中元素的性质：、、。
3.集合与元素的表示：集合通常用来表示，它们的元素通常用来表示。
4.元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说，记作，读作。
如果a不是集合A的元素，就说，记作，读作。
5.空集：，记作。
6.集合的分类：含有有限个元素的集合叫做，含有无限个元素的集合叫做。
7.常用的数集及其记号：（1）自然数集：，记作。
（2）正整数集：，记作。
（3）整数集：，记作。
（4）有理数集：，记作。
（5）实数集：，记作。
一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容二、新课教学（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4. 关于集合的元素的特征（1）确定性： （2）互异性： （3）集合相等：元素与集合的关系；（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作a ∈A（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作a ∉A （或a A ）（举例）5. 常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N *或N +；整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。
人教B版数学高一版必修1学案集合的概念
数学人教B必修1第一章1.1.1 集合的概念1．了解集合的含义，会使用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系．2．理解集合中元素的特性，重点理解其确定性与互异性．3．熟悉常用数集的符号，尤其要注意空集的含义及表示．1．集合的有关概念一般地，把一些能够____的____的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的____(或____)，常用英语大写字母A，B，C，…表示．构成集合的每个对象叫做这个集合的____(或____)，常用英语小写字母a，b，c，…表示．集合是现代数学中不加定义的基本概念，学习这个概念应注意以下两点：(1)集合是一个“整体”；(2)构成集合的对象必须是“确定”且“不同”的．【做一做1】下列各组对象不能构成集合的是()A．著名的中国数学家B．所有的负数C．清华大学招收的2011级新本科生D．2011年11月第十九届APEC(亚太经合组织)会议将在夏威夷檀香山举行，所有APEC 的成员国2．元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果____________，就说a属于A____a属于A不属于如果____________，就说a不属于A____a不属于A 元素与集合的联系与区别如下表：【做一做2】已知集合M只含有两个元素2 011a，2 013－a，且2 011∈M，求a的值．3．集合中元素的性质特征(1)______，(2)______，(3)______．在处理集合中有关元素的问题时，求得其中元素(或字母)的值以后，要充分考虑集合元素的互异性与分类讨论思想的应用，要进行代入检验，舍去不符合要求的值．【做一做3－1】若a，a，b，b，a2，b2构成集合M，则M中的元素最多有() A．6个B．5个C．4个D．3个【做一做3－2】方程x2－2x＋1＝0的解集中有__________个元素．4．集合的分类【做一做4】指出下列集合是有限集还是无限集．(1)满足2 011＜x＜2 013的整数构成的集合；(2)平面α内所有直线构成的集合．5．常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号________________ 【做一做5】下列关系表示正确的是()A．0∈N＋B．π∉R C．1∉Q D．0∈Z一、集合中元素的特性剖析：确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准．互异性：一个给定集合的元素中，任何两个元素都是不同的，因而在同一个集合中，不能重复出现同一个元素，这一点很容易被大家忽视，在解题中要切记这一性质．无序性：集合中的元素没有顺序，在表示集合时先写哪个元素都可以．二、特殊集合——空集剖析：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.空集是一个实实在在的集合，只不过此集合中无任何元素，故称之为空集．如“方程x2＋2＝0的实数根”组成的集合，因为没有适合该集合的元素，故它是空集．要谨防①0＝{0}，②{0}＝，③{}＝的错误，实际上，①0是集合{0}的一个元素，可记为0∈{0}；②表示空集，而{0}表示含一个元素0的集合；③{}表示含有一个元素的集合．三、教材中的“思考与讨论”1．你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成的集合？并说明理由．剖析：不能构成集合．原因是对高个子同学高的程度没有确定的标准，所以无法判定哪些同学符合要求，因此不能构成集合．2．你能否确定，你所在班级中，最高的3位同学构成的集合？剖析：能构成集合．因为班里最高的3位同学是确定的(只要按身高从高到低取前三名即可)，将他们作为元素放在一起即构成所要求的集合．题型一集合中元素的确定性【例1】下列各组对象能构成集合吗？(1)你所在班级的男生；(2)参加2010年广州亚运会的高大运动员；(3)关于x 的方程ax 2＋1＝0的实数解；(4)从1988年到2012年举办奥运会的城市；(5)所有小的正数；(6)到两定点距离的和等于两定点间的距离的点．分析：“高大”和“小”没有确定的标准，因此(2)(5)的对象不能构成集合，(3)中的方程可能有实数解，也可能没有实数解，当a 给定后，其方程解的情况就是确定的．反思：看一组对象能否构成一个集合，只要看这组对象是否是确定的，即任何一个对象，要么在这一组对象中，要么不在这组对象之中，而没有第三种情况出现．题型二 集合中元素的互异性【例2】由元素3，x ，x 2－2x 构成集合M ，则x 应满足的条件是__________．反思：互异性是集合中元素的重要性质，在解决集合中有关元素的问题时，一定要注意利用互异性进行验证．题型三 元素与集合的关系【例3】已知集合P 中有三个元素a －3,2a －1，a 2＋4，且－3∈P ，求实数a 的值． 分析：利用－3是集合P 中的元素，可列方程求a 的值，最后需验证集合中元素的互异性．反思：在根据元素与集合的关系解题时，一定要注意最后代入检验，看是否符合题意及元素的互异性等性质．1下列各组对象，能构成集合的是( )A ．平面直角坐标系内x 轴上方的y 轴附近的点B ．平面内两边之和小于第三边的三角形C ．新华书店中有意义的小说D ．π(π＝3.141…)的近似值的全体2由a 2,2－a ,4组成一个集合A ，且集合A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( )A ．1B ．－2C ．6D ．23集合A 是由点(2 011,2 012)和点(2 012,2 011)构成的，则A 中有__________个元素． 4设L (A ，B )表示直线AB 上所有点组成的集合，“P 是直线AB 上的一个点”这句话就可以简单地写成P __________L (A ，B )．5判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，12这些数组成的集合有5个元素； (2)方程(x －3)(x －2)2＝0的解组成的集合有3个元素．答案：基础知识·梳理1．确定 不同 集合 集 元素 成员【做一做1】A 因为选项B ，C ，D 中所给的对象都是确定的，从而可以构成集合；而选项A 中所给对象不确定，原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名，故不能构成集合．2．a 是集合A 的元素 a ∈A a 不是集合A 的元素 a ∉A【做一做2】解：∵2 011∈M ，∴2 011a ＝2 011或2 013－a ＝2 011.解得a ＝1或a ＝2.∴a 的值为1或2.3．(1)确定性 (2)互异性 (3)无序性【做一做3－1】C 由集合元素的互异性，知集合M 中的元素最多为a ，b ，a 2，b 2，且4个元素互不相等．【做一做3－2】14． 有限集 无限集【做一做4】解：(1)满足2 011＜x ＜2 013的整数仅有2 012一个，故此集合是有限集．(2)无限集．5．N N ＋或N * Z Q R【做一做5】D典型例题·领悟【例1】解：(1)(3)(4)(6)可以构成集合；(2)(5)不能构成集合．【例2】x ≠3且x ≠0且x ≠－1 由集合中元素的互异性可得出3，x ，x 2－2x 互不相等，由此可求出x 应满足的条件．即由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠3，x 2－2x ≠3，x 2－2x ≠x ，解得x ≠3且x ≠0且x ≠－1.【例3】解：∵－3∈P ，a 2＋4≥4，∴a －3＝－3或2a －1＝－3，解得a ＝0或a ＝－1.经检验a ＝0时，P 中三个元素为－3，－1,4，满足集合中元素的互异性；a ＝－1时，P 中三个元素为－4，－3,5，也满足集合中元素的互异性．综上，a 的值为0或－1.随堂练习·巩固1．B 选项A ，C ，D 中的对象不具有确定性，故不能构成集合；而选项B 为，故能构成集合．2．C 代入验证如下：当a ＝1时，a 2＝2－a ；当a ＝－2时，a 2＝2－a ＝4；当a ＝2时，a 2＝4，所以1，－2,2均不能满足集合A 中元素的互异性，而a ＝6时，a 2＝36,2－a ＝－4，故选C.3．2 因为点的坐标是有顺序性的，所以集合A 中有2个点，即A 中有2个元素．4．∈5．解：(1)不正确．对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，而32与64相同，⎪⎪⎪⎪－12与12相同，故此集合是由3个元素组成的集合． (2)不正确．方程(x －3)(x －2)2＝0的解是x 1＝3，x 2＝x 3＝2，因此此集合只有3和2两个元素．。
数学新同步课堂人教B全国通用版必修一学案：第1章 1.1 1.1.2 集合的表示方法 Word版含答案
1.1.2集合的表示方法学习目标：1.掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法．(重点)2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．列举法把集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示集合的方法.思考1：什么类型的集合适合用列举法表示？[提示]①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N 可以表示为{0,1,2,3，…}．2．集合的特征性质如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质．3．描述法思考2：用列举法能表示不等式x－7<3的解集吗？为什么？[提示]不能．由不等式x－7<3，得x<10，由于比10小的数有无数个，用列举法是列举不完的，所以不能用列举法．[基础自测]1．思考辨析(1)集合0∈{x |x >1}．( )(2)集合{x |x <5，x ∈N }中有5个元素．( )(3)集合{(1,2)}和{x |x 2－3x ＋2＝0}表示同一个集合．( )[解析] (1)×.{x |x >1}表示由大于1的实数组成的集合，而0<1，所以(1)错误．(2)√.集合{x |x <5，x ∈N }表示小于5的自然数，为0,1,2,3,4，共5个，所以(2)正确．(3)×.集合{(1,2)}中只有一个元素为(1,2)，而{x |x 2－3x ＋2＝0}中有两个元素1和2，所以(3)错误．[答案] (1)× (2)√ (3)×2．方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－3的解集是( ) A ．(－1,2)B ．(1，－2)C ．{(－1,2)}D ．{(1，－2)} C [由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝－3解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2，用列举法可表示为{(－1,2)}，故选C.] 3．不等式x －3<2且x ∈N ＋的解集用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [由x －3<2得x <5，又x ∈N ＋所以x ＝1,2,3,4.用列举法表示为{1,2,3,4}，故选B.]4．不等式4x －5<7的解集为________．{x |x <3} [由4x －5<7解得x <3，所以可表示为{x |x <3}．][合 作 探 究·攻 重 难](1)36与60的公约数组成的集合；(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根组成的集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象的交点组成的集合．[思路探究] (1)(2)可直接先求相应元素，然后用列举法表示． (3)联立⎩⎨⎧ y ＝x －1，y ＝－23x ＋43→求方程组的解→写出交点坐标→用集合表示.[解] (1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}．(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根是4或2，所求集合为{4,2}．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝1，2x ＋3y ＝4的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝75，y ＝25，所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫75，25. [规律方法] 使用列举法表示集合时，需要注意以下几点1．用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(3)是点集{(x ，y )}，而非数集{x ，y }．集合的所有元素用“{ }”括起来，元素间用分隔号“，”．2．元素不重复，元素无顺序，所以本题(2)中，{4,4,2}为错误表示．3．对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．4．适用条件：有限集或元素间存在明显规律的无限集．需要说明的是，对于有限集，由于元素的无序性，如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合，但对于具有一定规律的无限集{1,2,3,4，…}，就不能写成{2,1,4,3，…}．[跟踪训练]1．用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x 2＝2x 的所有实数解组成的集合；(3)直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合．[解] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}．(2)方程x 2＝2x 的解是x ＝0或x ＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．(3)将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}.(1)小于100的所有非负整数的集合．(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合．(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合(4)方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合． (5)被5除余3的所有整数组成的集合．(6)不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合．[思路探究] 先分析集合中元素的特征，再分析元素满足的条件，最后根据要求写出集合．[解] (1)小于100的所有非负整数的集合，用描述法表示为{x |0≤x <100，x ∈Z }．(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合，用描述法表示为{x ||x |>6}．(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合，用描述法表示为{(x ，y )|xy <0}．(4)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合，用描述法表示为 ⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝2或⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0.(5)被5除余3的所有整数组成的集合为{x |x ＝5k ＋3，k ∈Z }．(6)解不等式3x －6≤2x ＋7得x ≤13，所以不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合为{x |x ≤13}．[规律方法] 利用描述法表示集合应关注五点1．写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x ∈R |x <1}不能写成{x <1}．2．所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x ∈Z |x ＝2k }，k ∈Z ，这种表达方式就不符合要求，需将k ∈Z 也写进花括号内，即{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }．3．不能出现未被说明的字母．4．在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x 2－2x ＋1＝0的实数解集可表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}，也可写成{x |x 2－2x ＋1＝0}．5．在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等．[跟踪训练]2．已知A ＝{x |3－2x >0}，则有( )A ．3∈AB ．1∈AC ．32∈AD ．0∉AB [A ＝{x |3－2x >0}＝{x |x <32}，∴1∈A .]3．集合{2,4,6,8,10,12}用描述法表示为________．[答案] {x |x ＝2n ，n ∈N ＋，且n ≤6}[1．集合{x ||x |<2，x ∈Z }用列举法如何表示？提示：{－1,0,1}．2．集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}与集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素分别是什么？这两个集合有公共元素吗？如果有，用适当的方法表示它们的公共元素所组成的集合，如果没有，请说明理由．提示：集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}中的元素是直线y ＝x ＋1上所有的点；集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素是直线y ＝2x ＋1上所有的点，它们的公共元素是两直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y ＝2x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即它们的公共元素为(0,1)，用集合可表示为{(0,1)}．3．设集合A ＝{x |ax 2＋x ＋1＝0}，集合A 中的元素是什么？提示：集合A 中的元素是方程ax 2＋x ＋1＝0的解．集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．[思路探究] 明确集合A 的含义→对实数k 加以讨论→求出实数k 的值→用集合表示[解](1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．母题探究：(变条件)若将本例中的条件“只有一个元素”换成“至多有一个元素”，求相应问题．[解]集合A至多有一个元素，即方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根或无实数根．∴k＝0或Δ＝64－64k≤0，解得k＝0或k≥1.故所求k的值组成的集合是{k|k≥1或k＝0}．[规律方法]识别集合含义的两个步骤1．一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集．2．二看条件：既看代表元素满足什么条件(公共特性)．[跟踪训练]4．选择适当的方法表示下列集合．(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合．(2)大于1且小于7的有理数．(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．[解](1)方程x(x2－2x－3)＝0的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3)，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}．(2)由于大于1且小于7的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|1<x<7}．(3)用描述法表示该集合为M ＝{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．[当 堂 达 标·固 双 基]1．用列举法表示大于2且小于5的自然数组成的集合应为( )A ．{x |2<x <5，x ∈N }B ．A ＝{2,3,4,5}C ．{2<x <5}D ．{3,4}D [大于2且小于5的自然数为3和4，所以用列举法表示其组成的集合为{3,4}．]2．下列集合表示的内容中，不同于另外三个的是( )A ．{x |x ＝1}B ．{y |(y －1)2＝0}C ．{x |x －1＝0}D ．{x ＝1}D [选项A 、B 、C 都表示用描述法表示集合，集合中的元素是1，而选项D 中元素为等式x ＝1.]3．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示B ＝________. {4,9,16} [由题意知，A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，∴B ＝{4,9,16}．]4．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0}，若4∈A ，则集合A 用列举法表示为________．{－1,4} [∵4∈A ，∴16－12＋a ＝0，∴a ＝－4，∴A ＝{x |x 2－3x －4＝0}＝{－1,4}．]5．用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎨⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解集； (2)所有的正方形；(3)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合．[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故解集为{(4，－2)}．(2)集合用描述法表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}．(3)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．。
(新教材)2022年高中数学人教B版必修第一册学案：1.1.1.1 集合的概念 (含答案)
第一章集合与常用逻辑用语1．1 集合1．1.1 集合及其表示方法第1课时集合的概念1.元素与集合的概念(1)集合：定义把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集).表示方法通常用英文大写字母A，B，C，…表示．(2)元素：定义组成集合的每个对象都是这个集合的元素．表示方法通常用英文小写字母a，b，c，…表示．(3)集合的元素具有的三个特点：确定性集合的元素必须是确定的互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的无序性集合中的元素可以任意排列根据集合的元素的“确定性”判断，“很瘦的人”能构成集合吗？为什么？提示：“很瘦的人”不能构成集合．因为它没有确定的标准．如果给定一个集合A，一个研究对象a是不是这个集合中的元素就确定了．2．元素与集合的关系关系记法读法a是集合A的元素a∈A a属于集合Aa不是集合A的元素a∉A a不属于集合A元素与集合之间有哪些关系？提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种关系．3．空集定义不含任何元素的集合称为空集表示方法记作∅对于任意元素a ，a 与空集∅的关系是什么？ 提示：由空集的定义可知，a ∉∅. 4．两个集合相等 定义 给定两个集合A 和B ，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等 表示方法记作A ＝B(1)集合⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合(2)空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集． 6．常见的数集及表示符号数集 非负整数集 (自然数集)正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 NN *或N ＋ZQRN 与N ＋(或N *)有何区别？提示：N ＋是所有正整数组成的集合，而N 是由0和所有的正整数组成的集合，所以N 比N ＋(或N *)多一个元素0.1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素．( ) 提示：×．集合中的元素是互不相同的． (2)好听的歌能组成一个集合．( )提示：×．好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合．(3)高一(1)班所有姓氏能构成一个集合．()提示：√．高一(1)班的姓氏是确定的，所以能构成集合．(4)把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成集合有6个．()提示：×．因为集合中的元素满足无序性，故由1，2，3三个元素只能组成一个集合．2．已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC 一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【解析】选D.因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形．3．(教材练习改编)已知集合M中有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________．【解析】由题意可知a＋1＝4，即a＝3.答案：3类型一元素与集合的相关概念(数学抽象、逻辑推理)1．下列对象能构成集合的是()①全国所有的优秀医护人员；②所有的钝角三角形；③2020年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生．A ．①②④B ．②⑤C ．③④⑤D ．②③④【解析】选D.由集合中元素的确定性知，①中“优秀医护人员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．2．集合P 中含有两个元素分别为1和4，集合Q 中含有两个元素1和a 2，若P 与Q 相等，则a ＝________． 【解析】由题意，得a 2＝4，a ＝±2. 答案：±21．一组对象能构成集合的两个条件(1)能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．(2)任何两个对象都是不同的． 2．集合相等的注意点若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．【补偿训练】已知A 中含有3个元素1，x ，y ，集合B 中含有3个元素1，x 2，2y ，若A ＝B ，则x －y ＝( )A ．12B ．1C ．14D ．32 【解析】选C.根据集合元素互异性： 假设x ＝x 2，y ＝2y ，即x ＝0，y ＝0或x ＝1，y ＝0不满足条件； 假设x ＝2y ，y ＝x 2，即x ＝0，y ＝0不满足条件或者x ＝12 ，y ＝14 满足条件，所以x －y ＝12 －14 ＝14. 类型二 元素与集合的关系(数学运算、逻辑推理)【典例】1.由不超过5的实数组成集合A ，a ＝2 ＋3 ，则( ) A ．a ∈A B ．a 2∈A C ．1a ∉A D ．a ＋1∉A【思路导引】判断a ，a 2，1a ，a ＋1与5的大小关系． 【解析】选A.a ＝2 ＋3 <4 ＋4 ＝4<5，所以a ∈A .a ＋1<4 ＋4 ＋1＝5，所以a ＋1∈A ，a 2＝(2 )2＋22 ×3 ＋(3 )2＝5＋26 >5，所以a 2∉A ， 1a＝12＋3＝3－2（2＋3）（3－2）＝3 －2 <5，所以1a∈A .2．集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．【思路导引】先确定x的取值，再验证．【解析】由63－x ∈N，x∈N知x≥0，63－x>0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0，1，2.当x＝0时，63－0＝2∈N，当x＝1时，63－1＝3∈N，当x＝2时，63－2＝6∈N.故集合A中的元素为0，1，2.答案：0，1，2判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法．①使用前提：集合中的元素是直接给出的；②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法．①使用前提：对于某些不便直接表示的集合；②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．1．给出下列关系：①12 ∈R ；②2 ∉Q ；③|－3|∉N ； ④|－3 |∈Q ；⑤0∉N .其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】选B.12 是实数；2 是无理数；|－3|＝3是自然数；|－3 |＝3 是无理数；0是自然数．故①②正确，③④⑤不正确．2．设A 是由满足不等式x <6的自然数构成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值．【解析】因为a ∈A 且3a ∈A ，所以⎩⎨⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ，所以a ＝0或1. 【补偿训练】已知A 中元素x 满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( ) A ．－1∉A B ．－11∈A C ．3k 2－1∈A D ．－34∉A【解析】选C.k ＝0时，x ＝－1，所以－1∈A ，所以A 错误；令－11＝3k －1，k ＝－103∉Z ，所以－11∉A ，所以B 错误；令－34＝3k －1，k ＝－11，所以－34∈A ，所以D 错误．因为k ∈Z ，所以k 2∈Z ，则3k 2－1∈A ，所以C 正确．类型三 由集合中元素的特点求参数(数学运算、逻辑推理)【典例】已知集合A 含有两个元素1和a 2，若a ∈A ，求实数a 的值． 【思路导引】A 中含有元素：1和a 2 ――→a ∈A a ＝1或a 2＝a ――→求a 的值 检验集合中元素的互异性【解析】由题意可知，a ＝1或a 2＝a ，①若a ＝1，则a 2＝1，这与a 2≠1相矛盾，故a ≠1.②若a 2＝a ，则a ＝0或a ＝1(舍去)，又当a ＝0时，A 中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a 的值为0.根据集合中元素的特点求值的三个步骤1．(2021·西安高一检测)已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A ，2∈A ，则( ) A ．a >－4B ．a ≤－2C ．－4<a <－2D ．－4<a ≤－2【解析】选D.由题意可知⎩⎨⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0，解得－4<a ≤－2.2．设集合M 中含有三个元素3，x ，x 2－2x .(1)求实数x应满足的条件．(2)若－2∈M，求实数x的值．【解析】(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x ≠3.解得x≠－1，x≠0且x≠3.(2)因为－2∈M，所以x＝－2或x2－2x＝－2.若x2－2x＝－2，则x2－2x＋2＝0.因为Δ＝(－2)2－4×1×2＝－4<0.方程无解．所以x＝－2.【补偿训练】集合P由1，m，m2－3m－1三个元素组成，若3∈P且－1∉P，则实数m＝________．【解析】由题意，分两种情况：(1)若m＝3，则m2－3m－1＝－1，不满足题意．(2)若m2－3m－1＝3，则m＝4或m＝－1，m＝－1不满足题意，应舍去．故m＝4.答案： 4备选类型 元素与集合的关系的综合应用(数学运算、逻辑推理)【典例】已知集合A 满足条件：①1∉A ；②若a ∈A ，则11－a ∈A .(1)若a ∈A ，求证：1－1a ∈A ；(2)在集合A 中的元素能否只有一个实数？若有，求出此集合；否则，请说明理由；【解析】(1)由a ∈A 得：11－a ∈A ，则11－11－a∈A ，又11－11－a ＝1－a 1－a＝1－a－a ＝a －1a ＝1－1a ，所以1－1a ∈A .(2)假设集合A 中只有一个元素，因为a ∈A ，则11－a ∈A ，所以a ＝11－a ，方程无解，所以假设错误，即集合A 中的元素不能只有一个实数．设数集A 由实数构成，且满足：若x ∈A (x ≠1且x ≠0)，则11－x ∈A . (1)若2∈A ，试证明集合A 中有元素－1，12 .(2)判断集合A 中至少有几个元素，并说明理由．【解析】(1)由题意，由2∈A 可得11－2＝－1∈A . 因为－1∈A ，所以11－⎝⎛⎭⎫－1 ＝12 ∈A . 所以集合A 中有元素－1，12. (2)由题意，可知若x ∈A (x ≠1且x ≠0)， 则11－x ∈A ，x －1x ∈A ， 且x ≠11－x ，11－x ≠x －1x ，x ≠x －1x ， 故集合A 中至少有3个元素．1．(2021·枣庄高一检测)下列几组对象可以构成集合的是( )A ．充分接近π的实数的全体B ．善良的人C ．世界著名的科学家D ．某单位所有身高在1.7 m 以上的人【解析】选D.选项A ，B ，C 所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D 的标准唯一，故能构成集合．2．(教材练习改编)若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( )A ．3.14B ．－5C ．37D ．7【解析】选D.由题意知a 应为无理数，故a 可以为7 .3．设a ，b ∈R ，集合A 中含有3个元素1，a ＋b ，a ，集合B 中含有3个元素0，b a ，b ，若A ＝B ，则b －a ＝( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2【解析】选A.由已知，a ≠0，故a ＋b ＝0，则b a＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1.b －a ＝2.4．已知m ∈R ，由x ，－x ，|x |，x 2 ，－3x 3 所组成的集合最多含有元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】选A.因为x ，－x ，|x |，x 2 ＝||x ，－3x 3 ＝－x 中，至多有2个不同的实数， 所以组成的集合最多含有元素的个数是2.5．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号).【解析】因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④。
人教B版数学高一版必修1教案1.1.1集合的概念
教师锦囊教学建议1.关于集合的概念及空集集合是现代数学思想中的原始概念,是不定义概念,但可以描述.对于描述的集合初学者不易领会到位,可以分门别类地举一些实例说明.教材中对集合的描述是“所研究对象的全体”,它不但可以是数,也可以是方程、不等式,一定范围内的人或物也可作为元素.教材中对集合作了很粗略的分类:有限集与无限集.显然这是按集合内元素的个数分的类.用不同的标准显然有不同的分类.数学上常见的还有其他一些类别,如实数集R,自然数集N,不等式构成的集合,函数构成的集合,多边形(图形)构成的集合等等.其中空集是很重要的集合.在不同的集合中,空集就像自然数中的0,它既是有限集(无任何元素),又是任何集合的子集,要举例说明空集与一般集合的这种关系.2.关于集合中元素的特性集合中元素具有以下三个特性:确定性、互异性、无序性.其元素具备这样特征的一类对象的全体才叫集合.生活中模棱两可的表达不能作为集合的元素.如好人构成一个集合,难题构成一个集合,很大的数构成一个集合都是错误的,为此可结合例3及变式强调元素特征的应用. 相同元素在集合内只能出现一次(元素的互异性),但是算式作为元素的集合可以有{x+y,y+x},有序实数对(点)为元素的集合可以有{(1,2),(2,1)}等.因为这是不同的两个元素.备用习题1.下列所给对象不能构成集合的是( )A.平面内的所有点B.直角坐标系中Ⅰ、Ⅲ象限的角平分线上的所有点C.清华大学附中高一年级全体女生D.所有高大的树解析:由于选项D 中的对象含糊不清,所谓“高大”没有明确的客观标准,也就难以判断某些对象是否属于这个范畴,因而不符合集合的确定性.故选D.答案:D2.含有三个实数的集合可以表示为{a,ab ,1},也可以表示为{a 2,a+b,0},则a 2006+b 2006的值为( )A.0B.1C.-1D.±1解析:由已知a≠0,得ab =0. ∴b=0.由集合相等,可知a 2=1,即a=±1.又由集合中元素的互异性,得a≠1.∴a=-1.∴a 2006+b 2006=1.∴选B.答案:B3.集合P={1,a},a 2是集合P 中的元素,则a 可取的值有________个.解析:因为a 2是集合P 中的元素,所以a 2=1或a 2=a,解得a=1或-1或0.又由元素互异性,知a≠1,∴a=-1或0,即a 可取的值有2个.答案:24.求集合{a,12 a }中a 的取值范围.解析:由⎪⎩⎪⎨⎧-≠≠,12,1a a a 得a≠1且a≠-1且a≠2.。
人教b版高一数学必修一：1.1.1《集合的概念》学案(含答案)
第一章 集 合§1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念自主学习学习目标1．体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程，了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养自己的抽象、概括能力．2．掌握“属于”关系的意义，知道常用数集及其记法，初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性．自学导引1．元素与集合的概念(1)集合：一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的________构成的集合(或集)．通常用____________________表示．(2)元素：构成集合的______________叫做这个集合的元素(或成员)，通常用________________表示．2．集合中元素的特性：__________、__________.3．元素与集合的关系(1)如果a 是集合A 的元素，就说________________，记作________．(2)如果a 不是集合A 的元素，就说__________________，记作________．4．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母______、________、________、________、________或________来表示．5．集合的分类集合⎩⎨⎧ 空集：不含任何元素，记作 .非空集合： 按含有元素的个数分为⎩⎪⎨⎪⎧ ：含有有限个元素 ：含有无限个元素对点讲练知识点一 集合的概念例1 考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2010年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点； (6)3的近似值的全体．规律方法 判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式迁移1 下列给出的对象中，能构成集合的是( )A．高个子的人B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数知识点二集合中元素的特性例2 已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.规律方法对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考，特别关注元素在集合中的互异性．分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握．变式迁移2 已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．知识点三元素与集合的关系例3 若所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6－22是不是集合A中的元素．规律方法判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．变式迁移3 集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，判断12－3是不是集合A 中的元素．1．充分利用集合中元素的特性是解决集合问题的基础．2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视.课时作业一、选择题1．下列几组对象可以构成集合的是( )A ．充分接近π的实数的全体B ．善良的人C ．某校高一所有聪明的同学D ．某单位所有身高在1.7 m 以上的人2．下列四个说法中正确的个数是( )①集合N 中最小数为1；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．A ．0B ．1C ．2D ．33．由a 2,2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( )A ．1B ．－2C ．6D ．24．已知集合S 的三个元素a 、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形5．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M二、填空题6．用“∈”或“∉”填空(1)－3______N ； (2)3.14______Q ； (3)13______Z ； (4)－12______R ； (5)1______N *； (6)0________N . 7．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．8．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过π的正整数； ②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市； ④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．三、解答题9．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x.10．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，求P＋Q中元素的个数是多少？【探究驿站】11．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．第一章集合§1.1集合与集合的表示方法1．1.1集合的概念答案自学导引1．(1)确定的不同的全体英语大写字母(2)每个对象英语小写字母2．确定性互异性3．(1)a属于集合A a∈A(2)a不属于集合A a∉A4．R Q Z N N*N＋5．∅有限集无限集对点讲练例1 解(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合．变式迁移1 D例2 解∵－3∈A，则－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a ＝－1或a ＝－32. 则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32. 变式迁移2 解 ∵2∈A ，∴m ＝2或m 2－3m ＋2＝2.若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若m 2－3m ＋2＝2，求得m ＝0或3.m ＝0不合题意，舍去．经验证m ＝3符合题意，∴m 只能取3.例3 解 因为在3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )中，令a ＝2，b ＝－2，即可得到6－22，所以6－22是集合A 中的元素．变式迁移3 解 ∵12－3＝2＋3＝2＋3×1， 而2,1∈Z ，∴2＋3∈A ，即12－3∈A . 课时作业1．D 2.A3．C [验证，看每个选项是否符合元素的互异性．]4．D [由元素的互异性知a ，b ，c 均不相等．]5．D [分类讨论：x 、y 、z 中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0，0，－4，∴4∈M .]6．(1)∉ (2)∈ (3)∉ (4)∈ (5)∈ (6)∈7．1解析 当x ＝1时，x －1＝0∉A ，x ＋1＝2∈A ；当x ＝2时，x －1＝1∈A ，x ＋1＝3∈A ；当x ＝3时，x －1＝2∈A ，x ＋1＝4∉A ；当x ＝5时，x －1＝4∉A ，x ＋1＝6∉A ；综上可知，A 中只有一个孤立元素5.8．①④⑤9．解 若3x 2＋3x －4＝2时，即x 2＋x －2＝0，则x ＝－2或x ＝1.经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意．若x 2＋x －4＝2时，即x 2＋x －6＝0，则x ＝－3或2.经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意．∴x ＝－3或x ＝2.10．解 当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．11．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．。
2019-2020学年高中人教B版数学新教材必修第一册学案：第一章 1.1 1.1.1 集合及其表示方法 Word版含解析
1.1.1集合及其表示方法(教师独具内容)课程标准：1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.3.在具体情境中，了解空集的含义.4.能正确使用区间表示一些数集．教学重点：1.集合概念的正确理解.2.元素的三性(确定性、互异性、无序性).3.元素与集合关系的判定.4.集合常用的两种表示方法(列举法、描述法).5.区间的概念．教学难点：1.对元素的确定性的理解.2.描述法表示集合.【情境导学】(教师独具内容)一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是他请教一位数学家：“先生，您能告诉我，集合是什么吗？”由于集合是不定义的概念，数学家很难向那位渔民讲清楚．直到有一天，数学家来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，然后轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动．数学家非常激动，高兴地对渔民说：“这就是集合！”你能理解这位数学家的话吗？【知识导学】知识点一集合与元素的定义(1)集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)．(2)元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素．(3)表示：通常用英文大写字母A，B，C，…表示集合，用英文小写字母a，b，c，…表示集合中的元素．知识点二元素与集合的关系(1)“属于”：如果a是集合A的元素，就记作□01a∈A，读作“a属于A”．(2)“不属于”：如果a不是集合A的元素，就记作□02a∉A，读作“a不属于A”．知识点三空集一般地，我们把不含任何元素的集合称为□01空集(empty set)，记作□02∅.知识点四集合中元素的三个特性(1)确定性；(2)互异性；(3)无序性．知识点五集合的分类(1)有限集；(2)无限集．知识点六几个常用数集的固定字母表示知识点七集合的表示方法集合常见的表示方法有：□01自然语言、□02列举法、□03描述法、□04“区间”(以及后面将要学习的维恩图法和数轴表示法等直观表示方法)．(1)列举法：把集合中的元素□05一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．(2)描述法：如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个□06特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．知识点八区间实数集R□01(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为□02[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．可以看出，区间实质上是一类特殊数集(即由数轴某一段上所有点对应的实数组成的集合)的符号表示；例如，大于1且小于10的所有自然数组成的集合就不能用区间(1,10)表示.【新知拓展】1．元素和集合关系的判断(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．此时应先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件．2．集合的三个特性(1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明．(2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体．(3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素．3．使用列举法表示集合时需注意的几点(1)元素之间用“，”隔开；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某校高一年级16岁以下的学生能构成集合．()(2)已知A是一个确定的集合，a是任一元素，要么a∈A，要么a∉A，二者必居其一且只居其一．()(3)对于数集A＝{1,2，x2}，若x∈A，则x＝0.()(4)对于区间[2a，a＋1]，必有a<0.()(5)集合{y|y＝x2，x∈R}与{s|s＝t2，t∈R}的元素完全相同．()答案(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√2．做一做(1)下列所给的对象能组成集合的是()A．“金砖国家”成员国B．接近1的数C．著名的科学家D．漂亮的鲜花(2)用适当的符号(∈，∉)填空．0________∅，0________{0},0________N，－2________N*，13________Z，2________Q，π________R.(3)不等式2x－1≥3的解集可以用区间表示为________．答案(1)A(2)∉∈∈∉∉∉∈(3)[2，＋∞)题型一集合概念的理解例1下列所给的对象能构成集合的是________．①所有的正三角形；②高一数学必修第一册课本上的所有难题；③比较接近1的正数全体；④某校高一年级的全体女生；⑤平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点的集合；⑥参加2019年世乒赛的年轻运动员；⑦a，b，a，c.[解析]①能构成集合．其中的元素需满足三条边相等．②不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合．③不能构成集合．因“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合．④能构成集合．其中的元素是“高一年级的全体女生”．⑤能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”．⑥不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合．⑦不能构成集合．因为两个a是重复的，不符合集合元素的互异性．[答案]①④⑤金版点睛判断一组对象能否构成集合的方法(1)关键：看是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象能按此标准确定它是不是给定集合的元素．(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性．[跟踪训练1]判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)大于3的所有自然数组成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)出席2019年全国两会的所有参会代表组成一个集合．解(1)中的对象是确定的，互异的，所以可构成一个集合，故正确．(2)中的“高科技”标准是不确定的，所以不能构成集合，故错误．(3)中由于0.5＝12，不符合集合中元素的互异性，故错误．(4)中的对象是确定的，所以可以构成一个集合，故正确.题型二元素与集合关系的判断与应用例2(1)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1 B．2 C．3 D．4(2)集合A中的元素x满足66－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．[解析](1)∵π是实数，3是无理数，∴①②正确；∵N*表示正整数集，而0不是正整数，故③不正确；又|－4|＝4是正整数，故④不正确，∴正确的共有2个．(2)∵66－x∈N，x∈N，∴⎩⎪⎨⎪⎧66－x≥0，x≥0，即⎩⎨⎧6－x>0，x≥0，∴0≤x<6，∴x＝0,1,2,3,4,5.当x分别为0,3,4,5时，66－x相应的值分别为1,2,3,6，也是自然数，故填0,3,4,5. [答案](1)B(2)0,3,4,5金版点睛1.常用数集之间的关系2.确定集合中元素的三个注意点(1)判断集合中元素的个数时，注意集合中的元素必须满足互异性.(2)集合中的元素各不相同，也就是说集合中的元素一定要满足互异性.(3)若集合中的元素含有参数，要抓住集合中元素的互异性，采用分类讨论的方法进行研究.[跟踪训练2] (1)用符号“∈”或“∉”填空．①0________N *；②1________N ；③1.5________Z ；④22________Q ；⑤4＋5________R ；⑥若x 2＋1＝0，则x ________R .(2)设x ∈R ，集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x .①求实数x 应满足的条件；②若－2∈A ，求实数x 的值．答案 (1)①∉ ②∈ ③∉ ④∉ ⑤∈ ⑥∉ (2)见解析解析 (1)①∵0不是正整数，∴0∉N *.②∵1是自然数，∴1∈N .③∵1.5是小数，不是整数，∴1.5∉Z .④∵22是无理数，∴22∉Q .⑤∵4＋5是无理数，无理数是实数，∴4＋5∈R .⑥∵满足x 2＋1＝0的实数不存在，∴x 为非实数，∴x ∉R .(2)①根据集合元素的互异性，可知⎩⎨⎧ x ≠3，x ≠x 2－2x ，x 2－2x ≠3，即x ≠0，且x ≠3且x ≠－1. ②∵x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，且－2∈A ，∴x ＝－2.题型三 集合中元素的特性例3 已知集合A 有三个元素：a －3,2a －1，a 2＋1，集合B 也有三个元素：0,1，x .(1)若－3∈A ，求a 的值；(2)若x 2∈B ，求实数x 的值．[解] (1)由－3∈A 且a 2＋1≥1，可知a －3＝－3或2a －1＝－3，当a －3＝－3时，a ＝0；当2a －1＝－3时，a ＝－1.经检验，0与－1都符合要求．得a ＝0或－1.(2)当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈B ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故x ＝－1.金版点睛利用集合元素互异性求参数问题(1)根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．(也是本讲易错问题)(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．[跟踪训练3] 已知集合A 包含三个元素：a －2,2a 2＋5a,12，且－3∈A ，求a 的值．解 因为A 包含三个元素a －2,2a 2＋5a,12，且－3∈A ，所以a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3，解得a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，A 中三个元素为：－3，－3,12，不符合集合中元素的互异性，舍去．当a ＝－32时，A 中三个元素为：－72，－3,12，满足题意．故a ＝－32.题型四 集合的分类例4 下列各组对象能否构成集合？若能，请指出它们是有限集、无限集，还是空集．(1)非负奇数；(2)小于18的既是正奇数又是质数的数；(3)在平面直角坐标系中所有第三象限的点；(4)在实数范围内方程(x 2－1)(x 2＋2x ＋1)＝0的解集；(5)在实数范围内方程组⎩⎨⎧x 2－x ＋1＝0，x ＋y ＝1的解构成的集合． [解] (1)能构成集合，是无限集．(2)小于18的质数是2,3,5,7,11,13,17.只有2是偶数，其余的都是正奇数，所以能构成集合，是有限集．(3)第三象限的点的横坐标和纵坐标都小于0，能构成集合，是无限集．(4)能构成集合，注意集合中元素的互异性，集合中的元素是－1，1，是有限集．(5)由x 2－x ＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，方程无实根，由此可知方程组⎩⎨⎧x 2－x ＋1＝0，x ＋y ＝1无解，能构成集合，是空集． 金版点睛集合的分类方法判断集合是有限集，还是无限集，关键在于弄清集合中元素的构成，从而确定集合中元素的个数．[跟踪训练4] 指出下列各组对象是否能组成集合，若能组成集合，则指出集合是有限集、无限集，还是空集．(1)平方等于1的数；(2)所有的矩形；(3)平面直角坐标系中第二象限的点；(4)被3除余数是1的正数；(5)平方后等于－3的实数；(6)15的正约数．解 (1)中对象能组成集合，它是一个有限集；(2)中对象能组成集合，它是一个无限集；(3)中对象能组成集合，它是一个无限集；(4)中对象能组成集合，它是一个无限集；(5)中对象能组成集合，它是一个空集；(6)中对象能组成集合，它是一个有限集.题型五 用列举法表示集合例5 用列举法表示下列集合：(1)方程x 2－4x ＋2＝0的所有实数根组成的集合； (2)不大于10的质数集；(3)一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图像的交点组成的集合．[解] (1)方程x 2－4x ＋2＝0的实数根为2， 故其实数根组成的集合为{2}．(2)不大于10的质数有2,3,5,7，故不大于10的质数集为{2,3,5,7}．(3)由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝2x －1，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.故一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图像的交点组成的集合为{(1,1)}．金版点睛用列举法表示集合应注意的三点(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素． (2)集合中的元素一定要写全，但不能重复．(3)若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．[跟踪训练5] 用列举法表示下列集合：(1)不等式组⎩⎨⎧2x －6>0，1＋2x ≥3x －5的整数解组成的集合；(2)式子|a |a ＋|b |b (a ≠0，b ≠0)的所有值组成的集合． 解 (1)由⎩⎨⎧2x －6>0，1＋2x ≥3x －5得3<x ≤6，又x 为整数，故x 的取值为4,5,6，组成的集合为{4,5,6}． (2)∵a ≠0，b ≠0，∴a 与b 可能同号也可能异号，则： ①当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b ＝2； ②当a <0，b <0时，|a |a ＋|b |b ＝－2； ③当a >0，b <0或a <0，b >0时，|a |a ＋|b |b ＝0. 故所有值组成的集合为{－2,0,2}. 题型六 用描述法表示集合 例6 用描述法表示下列集合：(1)坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合； (2)所有被3除余1的整数的集合；(3)使y＝1x2＋x－6有意义的实数x的集合．[解](1)因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}．(2)因为被3除余1的整数可表示为3n＋1，n∈Z，所以所有被3除余1的整数的集合为{x|x＝3n＋1，n∈Z}．(3)要使y＝1x2＋x－6有意义，则x2＋x－6≠0.由x2＋x－6＝0，得x1＝2，x2＝－3.所以使y＝1x2＋x－6有意义的实数x的集合为{x|x≠2且x≠－3，x∈R}．金版点睛用描述法表示集合的注意点(1)用描述法表示集合，首先应弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．[跟踪训练6]试用描述法表示下列集合：(1)方程x2－x－2＝0的解集；(2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合．解(1)方程x2－x－2＝0的解可以用x表示，它满足的条件是x2－x－2＝0，因此，方程的解集用描述法表示为{x∈R|x2－x－2＝0}．(2)大于－1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x∈Z，且－1<x<7，因此，该集合用描述法表示为{x∈Z|－1<x<7}.题型七 列举法和描述法的综合运用例7 集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .[解] ①当k ＝0时，原方程为16－8x ＝0， ∴x ＝2，此时A ＝{2}，符合题意． ②当k ≠0时，由集合A 中只有一个元素， ∴方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根． 即Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1，从而x 1＝x 2＝4， ∴集合A ＝{4}．综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}； 当k ＝1时，A ＝{4}．[条件探究] 把本例条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k 取值范围的集合．解 由题意可知方程kx 2－8x ＋16＝0有两个不等的实根．∴⎩⎨⎧k ≠0，Δ＝64－64k ＞0，解得k ＜1且k ≠0. ∴k 的取值范围的集合为{k |k ＜1且k ≠0}．金版点睛分类讨论思想在集合中的应用(1)①本题在求解过程中，常因忽略讨论k 是否为0而漏解．②由kx 2－8x ＋16＝0是否为一元二次方程而分k ＝0和k ≠0两种情况，注意做到不重不漏．(2)解答与集合描述法有关的问题时，明确集合中的代表元素及其共同特征是解题的切入点．[跟踪训练7] (1)设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N . ①试判断元素1,2与集合B 的关系；②用列举法表示集合B .(2)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，若A ＝{2,3}，求a ，b 的值． 解 (1)①当x ＝1时，62＋1＝2∈N . 当x ＝2时，62＋2＝32∉N .所以1∈B,2∉B . ②∵62＋x∈N ，x ∈N ，∴2＋x 只能取2,3,6， ∴x 只能取0,1,4.∴B ＝{0,1,4}．(2)由A ＝{2,3}知，方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧2＋3＝a ，2×3＝b ，因此a ＝5，b ＝6. 题型八 集合中的新定义问题例8 已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．9[解析] 根据已知条件，列表如下：由上表可知，B 中的元素有9个，故选D. [答案] D 金版点睛本例借助表格语言，运用列举法求解.表格语言是常用的数学语言，表达问题清晰，明了；列举法是分析问题的重要的数学方法，通过“列举”直接解决问题或发现问题的规律，此方法通常配合图表(含树形图)使用.[跟踪训练8]定义A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B中的所有元素之和为()A．0 B．2C．3 D．6答案 D解析根据已知条件，列表如下：根据集合中元素的互异性，由上表可知A*B＝{0,2,4}，故集合A*B中所有元素之和为0＋2＋4＝6，故选D.1．下列所给的对象不能组成集合的是()A．我国古代的四大发明B．二元一次方程x＋y＝1的解C．我班年龄较小的同学D．平面内到定点距离等于定长的点答案 C解析C项中“年龄较小的同学”的标准不明确，不符合确定性．故选C.2．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a为() A．2 B．2或4C．4 D．0答案 B解析集合A中含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A.当a＝2∈A 时，6－a＝4∈A，∴a＝2符合题意；当a＝4∈A时，6－a＝2∈A，∴a＝4符合题意；当a＝6∈A时，6－a＝0∉A，综上所述，a＝2或4.故选B.3．由实数－a，a，|a|，a2所组成的集合最多含有的元素个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析对a进行分类讨论：①当a＝0时，四个数都为0，只含有一个元素；②当a≠0时，含有两个元素a，－a，所以集合中最多含有2个元素．故选B.4．用适当符号(∈，∉)填空．(1)(1,3)________{(x，y)|y＝2x＋1}；(2)2________{m|m＝2(n－1)，n∈Z}．答案(1)∈(2)∈解析(1)当x＝1时，y＝2×1＋1＝3，故(1,3)∈{(x，y)|y＝2x＋1}．(2)当n＝2∈Z时，m＝2×(2－1)＝2，故2∈{m|m＝2(n－1)，n∈Z}．5．设a∈R，关于x的方程(x－1)(x－a)＝0的解集为A，试分别用描述法和列举法表示集合A.解A＝{x|(x－1)(x－a)＝0}，当a＝1时，A＝{1}；当a≠1时，A＝{1，a}．。
人教B版高中数学必修一第一章1.1.1集合的概念之集合的含义及表示
课堂小结
1．集合的定义; 2．集合中元素的性质：确定性， 互异性，无序性； 3．数集及有关符号； 4. 集合的表示方法；
A．1 B．2 C．3 D．4
例4、已知集合 A={x ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R}
只有一个元素，求a的值和这个元 素．．
课堂练习
1.若M={1，3}，则下列表示方法
正确的是（C ）
A． 3M B．1 M
C． 1 M D． 1 M且 3 M
2．用符号表示下列集合，并写 出其元素：
(1) 12的质因数集合A；
1.1.1集合的含义与表示
视察下列对象:
（1） 2，4，6，8，10，12； （2）我校的篮球队员； （3）满足x－3＞2 的实数； （4）我国古代四大发明； （5）抛物线y=x2上的点．
1. 定 义： 2. 集合的表示法：
3．集合中元素的性质：
（1）确定性：集合中的元素必须 是确定的．
如果a是集合A的元素，就说a
（1）列举法：
－ 例1．写出集合的元素，并用符号 表示下列集合： ①方程x2 _ 9=0的解的集合； ②大于0且小于10的奇数的集合；
③不等式x－3＞2的解集； ④抛物线y=x2上的点集； ⑤方程x2+x +1=0的解集合. （2例3。若方程x2－5x+6=0和方程x2－ x－2=0的解为元素的集合为M,则M 中元素的个数为（ C ）
属于集合A，记作a ∈ A；
如果a不是集合A的元素，就 说a不属于集合A，记作a A．
(2)互异性：集合中的元素必须 是互不相同的．
(3)无序性：集合中的元素是无 先后顺序的． 集合中的任何两个 元素都可以交换位置．
人教版高中必修1(B版)1.1.1集合的概念教学设计
人教版高中必修1(B版)1.1.1集合的概念教学设计一、教学目标1.理解集合的概念、元素和符号表示方法。
2.能够根据集合的定义和运算规则解决简单的集合问题。
3.培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
二、教学重点和难点1.集合的概念、元素和符号表示方法。
2.集合的包含关系和运算规则。
三、教学内容1. 集合的引入教师用故事引入集合的概念，如小明家有3个苹果，4个橘子和2个葡萄，这些水果可以构成一个集合，集合的元素就是这些水果。
然后教师引领学生发现集合可以用花括号{}表示，如集合{苹果，橘子，葡萄}。
2. 集合的定义教师引导学生从实际中发现集合的概念，如一所学校所有学生构成一个集合，或者全国所有男生和女生分别构成两个集合。
然后教师引导学生发现集合的定义：将一些确定的对象组成的整体叫做集合，其中的每一个对象都叫做集合的元素。
例如，{1，2，3，4}是一个集合，1，2，3，4是集合的元素。
3. 集合的符号表示法教师在黑板上写出集合的符号表示法，如集合A={1，2，3}，集合B={x|x是小于5的偶数}。
然后教师引导学生理解符号表示法的意义和用途。
4. 集合的包含关系教师引导学生发现集合的包含关系，如一个集合A包含另一个集合B，当且仅当A中所有的元素都属于B。
例如，{1，2，3}包含{1，2}和{}，但不包含{1，2，3，4}。
然后教师引导学生理解子集和真子集的概念。
5. 集合的运算规则教师引导学生发现集合的运算规则，包括集合的并、交、差和补等。
然后教师提供简单的例题，让学生应用集合的定义和运算规则解决问题。
四、教学方法1.演示法：用故事、图示等形式演示集合的概念和运算规则。
2.体验法：让学生通过实际操作，感受集合的定义和运算规则。
3.对话法：通过对话，引导学生理解集合的概念和运算规则。
4.问题导向法：提出问题，让学生应用集合的知识解决问题。
五、教学评价1.在教学过程中，教师要注意观察学生的学习情况，及时调整教学策略。
人教B版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.1 第1课时 集合
过关自诊
1.集合{3,x,x2-2x}中实数x满足的条件是
.
答案 x≠0且x≠-1且x≠3
2 -2 ≠ 3,
解析 由集合中元素的互异性,可得 2 -2 ≠ ,解得 x≠0 且 x≠-1 且 x≠3.
≠ 3,
2.(1)我们班比较高的同学能否构成一个集合?我们班身高不低于180 cm的
或抽屉里的书是集合的元素.
知识点2 元素与集合的关系
知识点
元素与
关系
属于
集合的
关系
不属于
概
念
记法
读法
a∈A
a属于A
a∉A
a不属于A
如果a是集合A的元素,就说a属
于A
如果a不是集合A的元素,就说a
不属于A
名师点睛
概念
概念上的区别
符号上的区别
元素
研究对象
英文小写字母a,b,c,…
集合
一些对象组成的整体 英文大写字母A,B,C,…
集合中的元素,并且两者必居其一,因此它是判断一组对象能否构成集合的
一个标准.若这组对象是明确的、具体的,则它们可以构成一个集合;若是
模棱两可的,则不能构成一个集合.
变式训练1
下列各组对象能否构成集合:
(1)世界上最高的山峰;(2)中国国旗的颜色;(3)充分小的负数的全体;(4)立方
等于本身的实数.
组成集合.
(2)互异性是判断能否组成集合的另一标准,也是最容易被忽视的性质.例
如:组成集合{good中的字母}的元素是g,o,o,d,这句话是不对的,因为在这个
单词中,字母“o”虽然出现了两次,但如果归入集合中只能算作一个元素,根
据互异性,正确的说法应为集合{good中的字母}的元素有3个,分别为g,o,d.