郑州市重点高中2020-2021学年高二年级12月阶段性调研考试(二)——数学(文)
郑州市2020年高中毕业年级第二次质量预测理科数学【试卷答案解析版】
−
α
⎞ ⎠⎟
⇒2
cos2 α
− sin2 α
=
2 2
cosα ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ sinα
∵α
∈⎛⎝⎜
π 2
,π
⎞ ⎠⎟
∴cosα ≠ sinα ,cosα − sinα ≠ 0
∴cosα + sinα = 2 4
( ) ∵ sinα + cosα 2 = 1+ sin 2α = 1 8 ∴sin 2α = − 7
B. (x + 4)2 + ( y − 6)2 = 4
C. (x − 4)2 + ( y − 6)2 = 4
D. (x + 6)2 + ( y + 4)2 = 4
【答案】C
解析：∵ (x + 2)2 + ( y − 12)2 = 4 的圆心为 (−2,12) ,半径为 2
设 (−2,12) 关于直线 x − y + 8 = 0 的对称点为 (x0, y0 )
A. 30 米
B. 20 米
C.15 2 米
【答案】A 解析：
6.若 α
∈⎛⎝⎜
π 2
,π
⎞ ⎠⎟
,2cos 2α
=
⎛ sin ⎝⎜
π 4
−
α
⎞ ⎠⎟
,则
sin
2α
的值为（
）
D. 15米
A.
−
7 8
7 B. 8
C.
−
1 8
1 D. 8
【答案】A 解析：
( ) ( ) 2cos2α
=
sin
⎛ ⎝⎜
π 4
范围是（ ）
河南省八市2020-2021学年高二下学期第二次质量检测数学(理)
因为“至少有n个”的否定为“至多有n-1个”.
“ 中至少有一个能被3整除”的否定是：“ 都不能被3整除”，
故应假设 都不能被3整除.
故本题答案为B.
【点睛】
反证法即首先假设命题反面成立，即否定结论，再从假设出发，经过推理得到矛盾，得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立.故用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立.反证法的适用范围是：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少.
6．一质点在直线上以速度 运动，从时刻 到 时质点运动的路程为（ ）
A． B． C． D．
7． 的展开式中， 的系数为
A．10B．20
C．30D．60
8．已知复数 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 的定义域为[-1，5]，部分对应值如表，
0
2
4
5
1
2
0
2
1
的导函数 的图象如图所示．当 时，函数 的零点的个数为（ ）
（1）求出 ；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 与 的关系式，并根据你得到的关系式求 的表达式；
（3）求 的值．
20．已知 ，（其中 ）．
（1）求 及 ；
（2）试比较 与 的大小，并用数学归纳法给出证明过程．
21．已知函数
（1）若函数 在 处有极值为10，求 的值；
（2）对任意 ， 在区间 单调增，求 的最小值；
考点：推理及类比推理的运用．
6．B
【解析】
郑州市重点高中2020-2021学年高二年级12月阶段性调研考试(二)英语试题
2020—2021学年高二年级阶段性测试（二）英语考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后,你将有2分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题;每小题1.5分，满分7. 5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A. £ 19. 15.B.£9. 18.C. £ 9.15.答案是C o1. What is the man speaker going to do on Sunday?A. Visit his mother.B. Do some gardening.C. Move into a new house.2. What does the man think the building might be?A. An apartment building.B. A hotel.C. A department store.3. Where does the conversation take place?A. In a store.B. In a bank.C. In a classroom.4. When will the next bus come?A. At 6： 35.B. At 6： 45.C. At 7： 00.5. When does the conversation probably take place?A. At4：30 p. m.B. At 5 ： 00 p. m.C. At 5 :30 p. m.第二节（共15小题;每小题1.5分，满分22. 5分）听下面5段对话或独白。
河南省郑州市实验高级中学2021年高二数学理月考试题含解析
河南省郑州市实验高级中学2020-2021学年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则三者的大小关系是( )A．B．C．D．参考答案：C略2. 圆与圆的位置关系是A．内切B．相交C．外切D．相离参考答案：B3. 如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形. 其中正确的说法是（）（1）动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上（2）恒有平面A′GF⊥平面BCED（3）三棱锥A′—FED的体积有最大值（4）异面直线A′E与BD不可能垂直A. (1)(2)(3)B. (1) (2)(4)C. (2)(3)(4)D. (1)(3)(4)参考答案：A4. 两条不平行的直线，它们的平行投影不可能是（）A．一点和一条直线B．两条平行直线C．两个点D．两条相交直线参考答案：C【考点】平行投影及平行投影作图法．【分析】两条不平行的直线，要做这两条直线的平行投影，投影可能是两条平行线，可能是一点和一条直线，可能是两条相交线，不能是两个点，若想出现两个点，这两条直线需要同时与投影面垂直，这样两条线就是平行关系．【解答】解：∵有两条不平行的直线，∴这两条直线是异面或相交，其平行投影不可能是两个点，若想出现两个点，这两条直线需要同时与投影面垂直，这样两条线就是平行关系．与已知矛盾．故选C．5. 函数的实数解落在的区间是（）参考答案：B略6. 设都为正数，那么用反证法证明“三个数至少有一个不小于2“时，正确的反设是这三个数( )A．都不大于2 B．都不小于2 C.至少有一个不大于2 D．都小于2参考答案：D7. 若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（）A． B． C．－45 D．45参考答案：D8. 若直线经过圆的圆心，则的最大值是（）A.1B.2C.4D.参考答案：A9. 在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，则=（）A．B．C．D．2参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】由条件求得c=4，再利用余弦定理求得a，利用正弦定理可得=2R=的值．【解答】解：△ABC中，∵A=60°，b=1，S△ABC==bc?sinA=?，∴c=4．再由余弦定理可得a2=c2+b2﹣2bc?cosA=13，∴a=．∴=2R===，R为△ABC外接圆的半径，故选：B．10. 如图所示是一个几何体的三视图，则其表面积为（）A. B.C. D. 参考答案：A【分析】根据三视图可得对应的三棱锥，逐个计算其侧面积和底面积可得其表面积.【详解】将三视图复原后得到的几何体即为如图所示的三棱锥，其中是棱长为4的正方体的顶点，为正方体的底面中心，注意到所以，，，因此该三棱锥的表面积等于.故选A.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知定圆M：，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③拋物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果的序号为___．参考答案：①②④⑥当点A在在圆M内，，，则点的轨迹是以为焦点的椭圆，当点在圆上时，由于，线段的中垂线交直线于，点的轨迹为一个点；点在圆外时，，，则点的轨迹是以为焦点的双曲线；当点与重合时，为半径的中点，点的轨迹是以M为圆心，2为半径的圆，其中正确的命题序号为①②④⑥.【点睛】求点的轨迹问题，主要方法有直接法、定义法、坐标相关法、参数法等，本题利用几何图象中的等量关系找出动点需要满足的条件，根据常见曲线的定义衡量其符合哪种曲线的定义，根据定义要求，写出曲线方程.本题由于点A为圆面上任意一点，所以需要讨论点A在圆心、圆内、圆上、圆外几种情况讨论研究，给出相应的轨迹方程.12. 已知等差数列{a n}的前三项依次为a﹣1，2a+1，a+4，则a= ．参考答案：【考点】等差数列的通项公式．【分析】a﹣1，2a+1，a+4是等差数列{a n}的前三项，直接利用等差中项的概念列式计算a的值．【解答】解：因为a﹣1，2a+1，a+4是等差数列{a n}的前三项，所以有2（2a+1）=（a﹣1）+（a﹣4），解得：a=．故答案为．13. 如图所示，正方形ABCD的边长为2，椭圆及双曲线均以正方形顶点B，D为焦点且经过线段AB的中点E，则椭圆与双曲线离心率之比为_______．参考答案：【分析】先由题意求出，，的长，结合椭圆与双曲线的定义，求出，即可求出离心率之比. 【详解】因为正方形的边长为，为中点，所以，，；由椭圆定义可得，根据双曲线定义可得；所以椭圆与双曲线离心率之比为.故答案为14. 已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，A为上顶点，连接AF1并延长交椭圆于点B，则BF1长为．参考答案：15. 求圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的方程。
郑州市2020_2021学年高二数学下学期期末考试试题文(含答案)
河南省郑州市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 文注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 参考公式和数据：1．对于一组具有线性相关关系的数据，(),i i x y ()1,2,3,,i n =⋅⋅⋅其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-； 2．()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()n a b c d =+++；3．参考数据：()2P K k >0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.0100.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在用反证法证明命题“已知0a >，0b >，且13a b +>．求证：31b a ++，2a b+中至少有一个小于4”时，假设正确的是（ ）A ．假设31b a ++，2a b +都不大于4 B ．假设31b a ++，2a b +都不小于4 C ．假设31b a ++，2a b +都小于4 D ．假设31b a ++，2a b+都大于42．如图，复平面内的点Z 对应的复数记为z ，则对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关某数学建模小组建立了茶水冷却时间x 和茶水温度y 的一组数据(),i i x y ．经过分析，提出了四种回归模型，①②③④四种模型的残差平方和()21ˆni i i y y=-∑的值分别是098．，080．，012.，1.36．则拟合效果最好的模型是（ ） A ．模型① B ．模型② C ．模型③ D ．模型④4．（选修4－4：坐标系与参数方程）将曲线2220x y x --=变换为曲线221640x y '''--=的一个伸缩变换为（ ）A ．212x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，B ．214x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，C ．1212x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，D ．14x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，（选修4－5：不等式选讲）若关于x 的不等式2123x x a a ++-≤+-()a ∈R 的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．32a -<<B ．11a -<<C ．01a <<D ．1a <-5．已知bg 糖水中含有ag 糖()0b a >>，若再添加mg 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定成立的是（ ）A ．a a mb b m+>+B ．22mma m ab m b ++<++ C ．()()()()22a m b m a m b m ++<++ D ．121313b a ->- 6．“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．下表记录了第x 年（2016年为第一年）捐赠现金y （万元）的数据情况．由表中数据得到了y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ295y bx =+．，预测2021年该商会捐赠现金______万元．A ．4.25B ．5.25C ．5.65D ．4.757．若输出的S 的值等于26，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（ ）A ．10i >B ．11i >C ．12i >D ．13i >8．已知正数a ，b 满足1256255a b ⨯=，则3a b +的最小值为（ ） A ．25 B ．24 C ．27 D ．59．任何一个复数z a bi =+都可以表示成()cos sin z r i θθ=+的形式，我们把()cos sin r i θθ+叫做复数的三角形式．已知cossin33z i ππ=+，则下列结论正确的是（ ）A ．2z 的实部为1B ．21z z =-C ．2z z = D ．22z =10．（选修4－4：坐标系与参数方程）已知曲线Γ的参数方程3sin ,2cos ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，且0θπ≤≤）．若以下曲线中有一个是Γ，则曲线Γ是（ ）A ．B ．C ．D ．（选修4－5：不等式选讲）已知a b c >>，若14ma b b c a c+≥---恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．3B ．4C ．8D ．911．胡夫金字塔的形状为正四棱锥．1859年，英国作家约翰·泰勒在其《大金字塔》一书中提出：埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金比例15 1.6182⎛⎫+≈ ⎪ ⎪⎝⎭，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方，如图，即2h as =．已知四棱锥底面是边长约为860英尺的正方形()2860a =，顶点P 的投影在底面中心O ，H 为BC 中点，根据以上条件，PH 的长度（单位：英尺）约为（ ）A ．3479．B ．512.4C ．6116．D ．695.712．已知0a b c d <<<<，若dcc d =，则ba 与ab 的大小关系为（ ） A ．baa b < B ．baa b = C ．baa b > D ．不确定第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若2i -为方程220x mx n ++=（m ，n ∈R ）的一个根，则n =______． 14．从某大学随机选择8名女大学生，其身高和体重数据如表所示： 身高x （cm ） 155 157 165 165 165 170 170 175体重y （kg ）43 50 48 5761 54 59 64根据表中的数据可得回归直线方程ˆ0.84985.712yx =-，20.64R ≈，这表明女大学生的体重差异有______是由身高引起的．15．在等差数列{}n a 中，若80a =，则121215n n a a a a a a -++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（15n <，*n ∈N ）.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若151b =，则存在的等式为______． 16．已知函数()()()333322f x x a x b x a x =++-+--有五个不同的零点，且所有零点之和为52，则实数b 的值为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．ABCD 为复平面内的平行四边形，向量OA 对应的复数为5，AB 对应的复数为23i --，BC 对应的复数为64i -+．（Ⅰ）求点D 对应的复数;（Ⅱ）判断A 、B 、C 、D 四点是否在同一个圆上？并证明你的结论．18．（选修4－4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立板坐标系，已知曲线E 的极坐标方程为2241sin ρθ=+；直线l 的倾斜角为34π，且l 经过曲线E 的左顶点．（Ⅰ）求曲线E 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）求曲线E 的内接矩形ABCD 的周长的最大值． （选修4－5：不等式选讲）已知函数()1112f x x x =--+． （Ⅰ）求()f x 的最大值，并在网格纸中作出函数()f x 的图象；（Ⅱ）求()6f x x ≤-的解集．19．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，随机调查了一段时间内该医院50名男宝宝和50名女宝宝的出生时间，通过分析数据得到下面等高条形图：（Ⅰ）根据所给等高条形图数据，完成下面的22⨯列联表，并通过图形和数据直观判断婴儿性别与出生时间是否有关？晚上 白天 合计 男婴 女婴 合计（Ⅱ）根据（Ⅰ）中列联表，能否在犯错误概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别与出生的时间有关？ 20．（选修4－4：坐标系与参数方程）平面直角坐标系xOy 中，射线l ：33y x =()0x ≥，曲线1C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）；以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=．（Ⅰ）写出射线l 的极坐标方程、曲线1C 的普通方程；（Ⅱ）已知射线l 与1C 交于点A ，与2C 交于点B （B 异于点O ），求AB 的值． （选修4－5：不等式选讲）已知函数()2f x x a =+． （Ⅰ）当1a =-时，求不等式()93f x x x -≥-+的解集；（Ⅱ）是否存在实数a 使得()34f x x x ++≤+的解集中包含[]01，．若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．21．红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y （个）和温度x （℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图现用两种模型①x y a b =⋅（0a >，0b >），②2y cx d =+分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值：xz t()821ii x x =-∑()821i i t t =-∑()()81iii z z x x =--∑()()81iii y y t t =--∑25 2.89 646 168 422688 48.48 70308表中ln i i z y =；8118i i z z ==∑；2i i t x =；8118i t t ==∑．（Ⅰ）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中所选择的模型，求出y 关于x 的回归方程（计算过程中四舍五入保留两位小数），并求温度为35℃时，产卵数y 的预报值． 参考数据： 5.61273e≈， 5.70299e ≈， 5.79327e ≈．22．开普勒说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，”波利亚也曾说过：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题．”在选修1—2第二章《推理与证明》的学习中，我们知道，平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体等．如图，如果四面体D EFP -中棱DE ，DF ，DP 两两垂直，那么称四面体D EFP -为直角四面体．请类比直角三角形ABC （h 表示斜边上的高）中的性质给出直角四面体D EFP -中的两个性质，并给出证明．直角三角形ABC直角四面体D EFP -条件 CA CB ⊥ DE DF ⊥，DE DP ⊥，DF DP ⊥结论1 222a b c +=结论2 222111h a b=+郑州市2020—2021下期高二文科数学考试评分参考一、选择题 题号 123456789101112答案B BC A BD A C B D D A二、填空题13．10； 14．64%； 15．121229n n bb b bb b -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅（15n <，*n ∈N ）备注:考生不写小括号内容不给分． 16．3225．（或者4129）． 三、解答题17．解：（1）由题意知，()5,0OA =，()2,3AB =--，()6,4BC =-， 所以()()()5,02,33,3OB OA AB =+=+--=-， 同理()()()3,36,43,1OC OB BC =+=-+-=-， 由AD BC =，得()1,4D -， 则点D 对应的复数14z i =-+．（2）由0AB BC ⋅=，得AB BC ⊥，即AB BC ⊥．∴四边形ABCD 为矩形 ∴A 、B 、C 、D 四点共圆．18．解：（1）因为曲线E 的极坐标方程为222sin4ρρθ=＋．将222x y ρ=＋，sin y ρθ=，代入上式，得2224x y =＋．所以曲线E 的直角坐标方程为22142x y +=； 又∵曲线E 为椭圆，其左顶点坐标为()2,0-，∴直线l的参数方程为：222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）．（2）设椭圆E的内接矩形在第一象限的顶点为()2cos θθ02πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭， ∴椭圆E 的内接矩形的周长y为：()8cos y θθθϕ=+=+（其中sin ϕ=，cos ϕ=）∴椭圆E 的内接矩形的周长的最大值为46．（选修4—5：不等式选讲）解：（1）依题意，()111=2f x x x =--+13,12231,112213,122x x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩所以，当1x =-时，()max 1f x =； 函数()f x 的图象如图所示：（2）由（1）可知，利用图象法，直线6y x =-只与()f x 的图像相交于A ，由613,22y x y x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩解得()3,3A -故当3x ≥时，直线6y x =-在()f x 图象的上方， 即()6f x x ≤-，故解集为[)3,+∞．19．解：（1）根据所给等高条形图数据，完成22⨯列联表如下：晚上白天合计男婴 10 40 50 女婴 20 30 50 合计3070100根据等高条形图，在男婴样本中白天出生的频率要高于女婴样本中白天出生的频率; 根据列联表，男婴样本中白天出生的频率为80%，女婴样本中白天出生的频率为60%． 因此可以直观得到结论:婴儿的性别和出生时间有关系（二者选其一即可给分）（2）根据（1）中列联表，计算()22100402030101004.762 2.7065050703021K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别和出生的时间有关． 20．（选修4－4：坐标系与参数方程） 解：（1）依题意，因为射线l：y x =()0x ≥，故射线l ：6πθ=()0ρ≥；因为1C 的参数方程为：1,1x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得曲线1C 的普通方程：224x y -=．（2）曲线1C 的方程为224x y -=，故曲线1C 的极坐标方程为42cos 2=θρ． 设点A 、B 对应的极坐标分别为()1,ρθ，()2,ρθ，联立l 与1C ，得2,6cos 24,πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 联立l 与2C ，得,68sin ,πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得4,6B π⎛⎫⎪⎝⎭故124AB ρρ=-=-（选修4—5：不等式选讲）解：（1）当1a =-时，原不等式可化为2139x x x -++≥+等价于31239x x x x ≤-⎧⎨---≥+⎩或1321239x x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++≥+⎩或1,22139,x x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≥+⎩即52x ≤-或72x ≥，所以不等式的解集是57,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）若存在这样的a ，使得()34f x x x ++≤+的解集中包含[]0,1． 即当[]0,1x ∈时，()34f x x x ++≤+恒成立．11 可得234x a x x +++≤+，得21x a +≤，得1122a a x ---≤≤． 所以11,210,2a a -⎧≥⎪⎪⎨--⎪≤⎪⎩解得1a =-所以存在这样的a ，满足1a =-使得()34f x x x ++≤+的解集中包含[]0,1．21．解：（1）应该选择模型①．理由为：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高．故选模型①比较合适．（2）由（1）知，选用模型①，xy a b =⋅，用两边取对数，得()ln ln ln y b x a =+， 令ln z y =，z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合，则()ln ln z b x a =+，()()()8182148.48ln 0.29168ii i i i x x z z b x x ==--==≈-∑∑， ln ln 2.890.2925 4.36a z x b =-=-⨯≈-，于是有ln 029436y x =-．．，所以产卵数y 关于温度x 的回归方程为0.29 4.36x y e-=． 当35x =时，0.2935 4.36 5.79327y e e ⨯-==≈（个）， 所以，在气温在35℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为327个．22．解：记DEF △、DEP △、DFP △、EFP △的面积依次为1S 、2S 、3S 、S ，记DE m =，DF n =，DP p =．结论1：2222123S S S S =++，证明：过D 作DH EF ⊥，垂足为H ，连接PH ， ()22222222222212311112224S S S mn mp np m n m p n p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12 在Rt DEF △中，DE DF DH EF ⋅== DH ＝，PH ==()2222222214S m n n p m p ==++， 2222123S S S S =++．结论2：22221111h m n p =++证明：过D 作DH EF ⊥，垂足为H ，连接PH ， 过D 作DG PH ⊥，垂足为G ，设DG h =，∵h = ∴22222222222221111m n m p n p h m n p m n p ++==++． ∴22221111d m n p =++．。
2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）及答案解析
2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）及答案解析河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．66．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．27．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．99．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm310．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．1211．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE 上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为______．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为______．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为______．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|=______．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.63519．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（2）若BD=，A1D=2，求二面角A1﹣BD﹣B1的大小．20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为椭圆C 上任意一点，且最小值为0．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若动直线l2，l2均与椭圆C相切，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，使得点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=e x+ln（x+1）﹣ax．（1）当a=2时，判断函数f（x）在定义域内的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1几何证明选讲]22．自圆O外一点P引圆O的两条割线PAB和PDC，如图所示，其中割线PDC过圆心O．AB= OA，PD=，∠P=15°，（1）求∠PCB的大小；（2）分别球线段BC和PA的长度．[选修4-4坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρsinθ+2ρcosθ=20，将曲线C1：（α为参数）经过伸缩变换后得到C2（1）求曲线C2的参数方程；（2）若点M在曲线C2上运动，试求出M到曲线C的距离d的取值范围．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x+a|（1）当a=3时，不等式f（x）≥k+2的解集不是R，求k的取值范围；（2）若不等式f（x）≤1的解集为{x|x≥}，求a的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}【考点】交集及其运算．【分析】分别求解一元二次不等式与指数不等式化简集合A，B，然后利用交集运算得答案．【解答】解：由x2+x≥0，得x≤﹣1或x≥0，∴A={x|x2+x≥0}={x|x≤﹣1或x≥0}，由5x≥5，得x≥1，∴B={x|5x≥5}={x|x≥1}，∴A∩B={x|x≤﹣1或x≥0}∩{x|x≥1}={x|x≥1}．故选：C．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1 另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：y=sinx是奇函数，但是，[﹣1，1]上单调增函数．y=﹣|x+1|不是奇函数，对于，因为f（﹣x）==﹣=﹣f（x），所以是奇函数，在[﹣1，1]上单调减函数，y=（2x+2﹣x）是偶函数，[﹣1，1]上单调递增．故选：C．4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好【考点】相关系数．【分析】A根据相关关系的定义，判断命题A正确；B线性回归分析的相关系数r的绝对值越接近1，线性相关性越强，判断命题B错误；C一组数据拟合程度的好坏，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，判断命题C正确；D用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，由此判断命题D正确．【解答】解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，∴命题A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴命题B错误；对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴命题C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确．故选：B．5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．6【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，∴顶层有3盏灯，故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．2【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，y=5，不满足输出条件，故x=5，再次执行循环体后，y=11，不满足输出条件，故x=11，再次执行循环体后，y=23，满足输出条件，故输出的y值为23，故选：A．7．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程=1（a＞0，b＞0）得y=，即M（c，）．在△MF1F2中tan45°==1即，解得e==+1．故选：C．8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．9【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域要使z=最大，则x最小，y最大即可，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x≥1，y≥1，要使z=的最大，则x最小，y最大即可，由图象知当z=经过点A时，z取得最大值，由，得x=1，y=3，即A（1，3），则z=的最大值是z==9，故选：D．9．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，直四棱锥底面是一个边长为1.5、4的矩形，高是3，由俯视图得三棱锥的底面是直角三角形，直角边为1、4，由正视图得高即四棱锥的侧棱为3，∴几何体的体积V=+1.5×4×3=20（cm3）故选：A．10．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．12【考点】轨迹方程．【分析】根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积．【解答】解：设=．∵=+（1﹣λ）=+（1﹣λ）．∴C，D，P三点共线．∴P点轨迹为直线CD．在△ABC中，sinA=．sinC=．由正弦定理得AB==．sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC==．∴S △ABC ==．∴S △ACD =S △ABC =．故选：B ．11．如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（）A ．B ．C ．D ．【考点】轨迹方程．【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【解答】解：由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E 与C 重合时，AK==，取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f′（x）=﹣x+b=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数f′（x）=﹣x+b，若函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，则f′（x）=﹣x+b=0有解，即﹣x2+bx+a=0有两个不等的正根，则，得b＞2，（a＜0），由f′（x）=0得x1=，x2=，分析易得f（x）的极小值点为x1，∵b＞2，（a＜0），∴x1==∈（0，），则f（x）极小值=f（x1）=alnx1﹣x12+bx1=alnx1﹣x12+x12﹣a=alnx1+x12﹣a，设g（x）=alnx+x2﹣a，x∈（0，），f（x）的极小值恒大于0等价为g（x）恒大于0，∵g′（x）=+x=＜0，∴g（x）在（0，）上单调递减，故g（x）＞g（）=aln﹣a≥0，得ln≤，即﹣a≤e3，则a≥﹣e3，故a的最小值为是﹣e3，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为﹣．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值为﹣，故答案为：﹣．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为84 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项式（x+）n的展开式的通项，可得y3（x+）n 的展开式的通项，再由x，y的指数为0求得n，r的值，则答案可求．【解答】解：二项式（x+）n的展开式的通项为，则要使y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，需，即n=9，r=3．∴常数项为：．故答案为：84．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为 4 ．【考点】等差数列的性质．【分析】由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d，代入等差数列的通项公式、前n项和公式求出a n、S n，代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：因为a1，a3，a13成等比数列，所以，又a1=1，所以（1+2d）2=1×（1+12d），解得d=2或d=0（舍去），所以a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，S n==n2，则====﹣2≥2﹣2=4，当且仅当时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案为：4．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|= 16 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设AB方程y=k（x﹣1），与抛物线方程y2=4x联立，利用tan∠AMB=，建立k的方程，求出k，即可得出结论．【解答】解：焦点F（1，0），M（﹣1，0），设AB方程y=k （x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）∵tan∠AMB=，∴=，整理可得2k（x1﹣x2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2…（*）y=k（x﹣1），与y2=4x联立可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0 可得x1x2=1，x1+x2=+2，y1y2=﹣4代入（*）可得2k（x1﹣x2）=?，∴x1﹣x2=，∴（+2）2﹣4=（）2，∴k=±，∴x1+x2=+2=14，∴|AB|==16．故答案为：16．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简可得tanA=tanB，于是C=π﹣2A，代入sin2A（2﹣cosC）=cos2B+化简可求得A；（2）利用正弦定理用B表示出b，c，得到面积S关于B的函数，求出B的范围，得出S的范围．【解答】解：（1）∵，，∴tanA=tanB，∴A=B．∴C=π﹣2A．∵sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，∴sin2A（2+cos2A）=cos2A+，即（1﹣cos2A）（2cos2A+1）=cos2A+，解得cos2A=，∵A+B+C=π，A=B，∴A，∴cosA=，∴A=，C=π﹣2A=．（2）由正弦定理得，∴b=2sinB，c=2sinC=2sin（）=2sinB+2cosB．∴S==2sin2B+2sinBcosB=sin2B﹣cos2B+1=sin（2B﹣）+1．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴．∴＜2B﹣＜，∴2＜sin（2B﹣）≤1+．∴△ABC面积的取值范围是（2，1+]．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较，可得结论；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，可得结论．（3）X的取值为1，2，3，再求出X取每一个值的概率，即可求得X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意，K2=≈0.65＜0.708，∴没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，所抽取的5人中“微信控”有3人，“非微信控”的人数有2人；（3）X=1，2，3，则P（X=1）==0.3，P（X=2）==0.6，P（X=3）==0.1．X的分布列为：X 1 2 3P 0.3 0.6 0.1X的数学期望为EX=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；。
河南省郑州市2020-2021学年下学期期中高二年级八校联考理科数学试题
【市级联考】河南省郑州市2020-2021学年下学期期中髙二年级八校联考理科数学试题学校: ____________ 姓名：_____________ 班级：______________ 考号： _____________一、单选题1.复数Z = X的虚部是()1+ /A. 1 E. 1 C. -i D. 一12.要证明√3 + √7 <2√5可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A.综合法B.分析法C.归纳法D.类比法3.设函数/(X)在x = l处存在导数为2,则Ilm Z(I+ ^υ~zω =( ).ΔΛT°3ΔΛ2A. — E. 634.若函数y = x3 + log2x + e^v,则y'=14 1 -VA. -X + ------ + e4Xlll2 C. 3√ + -—-严XIn211C. D.-3 2).B. 1 4 1—X + ----------B. —x + ------ e4 XIn2D. 3十+丄一 +厂XllI25.由曲线y = e∖ y = w"以及x = 1所围成的图形的面积等于A. 2 E・2e-2 C. 2-- )・D. e + --26.二维空间中圆的一维测度(周长)l = 2πr.二维测度(面枳)S = πr观察发现4 Sxr) = I:三维空间中球的二维测度(表面积)S = 4πr2,三维测度(体积)V = -πP ,3观察发现y∖r) = S .则由四维空间中“超球”的三维测度V = SπP，猜想其四维测度W=( )・, 8 . 1 5」A. 24兀厂B. -πrC. -πrD. 2πr43 47.已知函数/(Λ) = OX-Iiir,若/(x)>l在区间(1,+s)内恒成立，则实数d的取值范围是( ).A. (-c<>,l)B. (-∞,1]C. (1,+s)D. [l,+∞)3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个•若以上四位老师中只有一位 老师猜对，则猜对者是()・A.甲 E •乙C •丙D. 丁9.己知α-lnb = O, c-d = l,则(a-c)2 +(b-d)2 的最小值是().A. 1 E. C. 2 D. 2√210. 设/W 是定义在R 上的奇函数，KZ(I) = O t 当X>O 时，有f (X) > xf ∖x)恒成立，则不等式h(χ)>o 的解集为().A. Y,0)U(0,1)B. (F-I)U(OJ)C. (-l,0)u(L+oo)D. (-l,0)U(0,l)11・函数y = 4cosx-ew的图象可能是()12.己知函数f(x) = xe x -e ∖函数g(x) = tnx-m (加＞0),若对任意的x 1 ∈[-2,2],总存在x 2 ∈[-2,2]使得f(x l )≈g(x 2)9则实数加的取值范围是()二、填空题13. F 2 2sin 2 -dx= __________JO2A. [-3e-∖∣]E. [e 2, + ∞) D ∙ [=, + s)14.定义运算 4 aιW b2=cιi b2一a2b l则函数/(X)= 1X -X3的图象在点∖a )处的切线方程是______ .15.观察下列各式：90401 = 3604 3Q4O5=122060505 = 302580803 = 6424根据规律，计算(5O7O4)-(7O4O5) = __________________ .16.已知函数f (X) = e3v^1, g(x) = →lιιx,若/W) = g("),则〃一加的最小值为_ •三、解答題17.己知复数Z = ^bi(beR)f且(l+3i)∙z为纯虚数.(1)求复数Z :(2)若血=右，求复数血以及模I外18.已知函数f(x) = x5+bx2+cx + d的图象过点P(0,2),且在点M(-1J(-1))处的切线方程为6x-y+7 = 0.(I)求/(-1)和广(―1)的值.(II)求函数/V)的解析式.19.在数列匕｝中，a l = -t %+1 = ,求①、①、①的值，由此猜想数列匕｝2 Qn +的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.20.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距640米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为X米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 +JF)X万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建"个桥墩，记余下工程的费用为)'万元.(I)试写出y关于X的函数关系式：(注意：(" + l)x=640)(II)需新建多少个桥墩才能使y最小？21.己知/(x) = Iax-— -(2 + a)Iii X (CI ≥ 0)X(I)当0 = 0时，求/'(X)的极值；(II)当d> O时，讨论/(Q的单调性(I)求实数α的值；(II)若keZ,且Rc丄巴对任意x〉l恒成立，求R的最大值.x-1参考答案1.D【解析】分析：化简复数z,写出它的虚部即可.详解:∙∙∙z的虎部是-1.故选D.点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设% = a + bi, 0 = C+di(a,b,c,dR), 则砒2 = (a + 勿)(c + JZ) = ac-bd + ^ad+bc)i,Z l a + bi (d + bi)(c-di) (CIC+ bd)+(bc-ad)iZ2 c + di (c + di)(c - di) c2+d22.B【解析】【分析】由题意结合所给的不等式逐一考查所给的方法是否合适即可，需要注意综合法与分析法的区别.【详解】因为要证明√3 + √7 <2√5,题中并没有相应的证明方法进行类比，故D不合理.而所给条件只有一个不等式，所以无法应用归纳法，故C不合理.因为不等式左右两端均人于0,所以将不等式两端同时平方后不等式仍然成立，得10 + 2√2T<20≈>√2TV 厉成立，属于从结论出发证明结论成立，为分析法.利用综合法证明题中的不等式显然需要用到分析法的逆过程，直接用综合法不合理•故选B.【点睛】本题主要考查分析法与综合法的区别，属于基础题•3.A【分析】根据导数定义，化为导数表达式即可.反数,所以在用定积分求曲边形面枳时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.6.D【解析】因为IV = 2πr4 VV, = Sπr5 = V ,所以肘=2;FK，应选答案D・点睛：观察和类比题设中的函数关系，本题也可以这样解答：VV = ∫Sπr i dr = -×Sπr4= 2πr4 ,应选答案D.47.D【详解】V∕(x) = αx -hιv, /(Λ)> 1 在(L÷oo)内恒成立，/. a > 1 +111A在(1, +S)内恒成立，设g(χ) = ∏∑ , Λχ∈(l, + oo )时，^(X) =-⅛<0,即g(x)在(l, + ∞)上是单调递X .v减的，∙∙∙g(x) vg(l) = l, ∙∙∙αni,即d的取值范围是［1, + 8),故选D∙点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由/'(x)>0,得函数单调递增，f∖χ)Vo得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段.通过分离参数可转化为cι>h{x)或αv∕z(x)恒成立，即d>Λmax(X)或d<√7mm(x)即可，利用导数知识结合单调性求出∕g x(x)或∕7mm(x)即得解•8.C【解析】若甲猜对，则乙也猜对，故不满足题意；若乙猜对则丁也可能猜对，故不正确；若丁猜对, 则乙也猜对，故也不满足条件•而如果丙猜对，其他老师都不会对.故答案为C.9.C【分析】设点(b,α)是曲线Ciy = Inx上的点，点(d, C)是直线Γ.y = x+1上的点；(° —c)'+(b —d)'可看成曲线C上的点到直线/上的点的距离的平方.然后将问题转化为求曲线C上一点到直线1距离的最小值的平方，直接对函数y = inx求导，令导数为零，可求出曲线C上到直线/距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式町求出最小距离，从而得出答案・【详解】设(O G)是曲线C.y = hιx±的点，(乩C)是直线∕zy = x + l±的点；(f∕-c)2+ (Z?-^)2可看成曲线C上的点到直线/上的点的距离的平方・对函数y = InX求导得F =丄，令Xy = b得x = l,所以，曲线C上一点到直线/上距离最小的点为(LO),该点到直线/的距离为J；；；］ =Q 因此’(α-c)2+(^-J)2的最小值为(√2)2 =2 .故选C.【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题・10.D【分析】由已知当X>0时，有/(x)>V,(x)恒成立，可判断函数g(χ) = ∙∆W 为减函数，由/(X)是定义在R上的奇函数，可得g (x)为(-P 0) U (0, +∞)上的偶函数，根据函数g (x)在(0, +8)上的单调性和奇偶性，结合g (x)的图象，解不等式即可【详解】设g(x)=lSΔ则£(x)的导数为g.(x)=O⅛±L∑1 •・•当x>o 时总有£ (X) < X Jrf (χ∖f(X)成立，即当x>0时，g z(x) <0, Λ当x>0时，函数g(χ) = u丄为减函数，又—力=上U = (W = g3,・•・函数名(X)为定义域上的偶函数又•・•—Xg(l) =半=0•••函数g(X)的图彖如图：数形结合可得XΛx 2∙g (x) >0Λg (x) >0 .*.0<x< 1 或-l<x<O 故选 D.【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综 合题.11. A【分析】求导，判断导函数函数值的正负，从而判断函数的单调性，通过单调性判断选项. 【详解】解:当x>0时,y = 4cosx-e x,则 y =-4sinx-e x,Sin X >0,e x > 0 , y =-4SinX-e v <0 ,FI71兰3右XW y^+o° H -4<4smx≤4, £ >(2∙7)3>√I^>4,则 y = -4 SilI X - e x < 0 恒成立,即当x>0时，y=-^nx-e x < 0恒成立，则y = 4 cos X - e x 在(0,+a)上单调递减， 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数的图象，可以通过函数的性质进行排除，属于中档题・若屮号12.B【分析】由题意，可得门刃在［-2,2］的值域包含于函数g(x)的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.【详解】由题意，函数f(x) = e∖x-l)的导数为f∖x) = xe∖当x>0时，Γ(x)>O,则函数/(x)为单调递增；当XVo时，f(x)<O,则函数/(x)为单调递减，即当J V = O时，函数/(x)取得极小值，且为最小值—1，又由/(一2)= -3e~2J(2) = e2t可得函数/(x)在［—2,2］的值域［—10］,由函数g(x) = IIIX一m(ιn > 0)在［-2,2］递增，可得g (x)的值域［-3∕n, m］,由对于任意的x1∈ [-2,2],总存在x2∈ [-2,2],使得f (x i) = g(X2), “-3/77 ≤-l可得[-Le2]⊂[-3∕n√∕7],即为彳 ,,解得∕w≥e2,故选BUl ≥ L【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为/(x)在［-2,2］的值域包含于函数g(x)的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题・【分析】被积函数利用二倍角的余弦降幕，然后求出被积函数的原函数，代入区间端点值后即门J得到结论•【详解】Jr πIX ξ兰兀・π π I∫2siιf —dX=COSX)dx = (x-SinX) IJ =y-SIn y = y ^∙O 2 O故答案为:p.【点睛】本题考查了定积分，解答此题的关键是把被积函数降幕，此题为基础题.14.6x-3y-5 = 0【分析】由题意先写出函数/(χ)的解析式，然后对/(x)求导，求出切线的斜率，进而可求出切线方程.【详解】所以切线方程为y-∣ = 2(x-l),整理得6x-3y-5 = O,故答案为6x-3y-5 = O【点睛】本题主要考查求函数在某点的切线方程，只需熟记导数的几何意义，函数在某点处的导数即为该点的切线斜率，属于基础题型.15.708【分析】分析各式找到规律即可求解【详解】根据规律可得，50704的最前两位是5×7 = 35,紧接着的两位是7x4 = 2&则5O704=3528,同理得7Q4Q5=2820,故(50704)—(70405) = 708故答案为708【点睛】本题考查合情推理，找到规律是关键，是基础题2+ hι316. -----3【分析】设f = /(〃» = g(")(r > 0)得到加,n 的关系，利用消元法转化为关于t 的函数，构造函数, 求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论.【详解】设f = /(〃?) = g(")(r>0),则 m = 1 +^1IZ ,H = e ~3 .令∕?(f) = “一m = e 3 一 1 (f > 0),则 h ,(t) = e 3 »(1 \•••//(f)在(0,+S)上单调递增，且N - =0,∖ J・・・当0</<扌时，Λ,(r)<O,Λ(f)单调递减；当r>∣时，F(f)>0∕(/)单调递增.= h[~} =13丿故n-ιn 的最小值为土Q.3 口小…2 + ln3 故答杀为—^—.【点睛】 本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究 函数的极值和最值是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度・17.【分析】(1)将(l + 3z)∙z 表示为a + bi 的形式，结合纯虎数的定义即可求解；(2)将(1)的结果代入 Q =二一化简为cι + bi 的形式，结合复数的模长公式即可求解.2 + i【详解】⑴将Z = 3+bi 代入(l+3∕)∙z 得(1+引)∙z = (l + 3f ∙)(3 +仞)= 3-3b+(b+9)d,因为2 + lιι3 •••〃(/)(1 + 3Z)^为纯虚数,所以W 3_3b =0、 b + 解得b = l.所以复数2 = 3 + 1.7(1) z = 3 + ι; (2) ^3+ f _ (3 + Q(2-0 _7-z_ 7 /2 + l~ (2 + i)(2-i)~~Γ~5~5本题主要考查复数的四则运算及纯虚数的概念、复数的模长公式，属于基础题.18. (1) /(-1) = 1,/(-1) = 6; (2) f(x) = x 3-3x 2-3x+2【解析】分析：(1)利用切线方程得到斜率，求出点的坐标即可.(2)利用点的坐标切线的斜率，曲线经过的点列出方程组求法即可.详解：(1) Vf(X)在点M ( - 1, f (・1))处的切线方程为6χ-y+7二0.故点(・1, f ( - 1))在切线6χ-y+7二0上，且切线斜率为6.得 f ( - 1)二 1 且 f' ( - 1) =6.(2) Vf (x)过点 P (0, 2)・•・d=2Vf (X)=χ3+bx"+cx+d∙a . f , (x) =3x 2+2bx+c 由 f' ( - 1) =6 得 3 - 2b+c=6又由 f ( - 1)二1,得-l÷b - c+d=l4=2联立方程! 3-2b+c=6k l≡-l+b"c+d d≡2故 f (x) =x 3 - 3x - - 3x+2点睛：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的解析式的求法，考查计算能力・319・Cl n = ---- ,证明见解析•/7 + 5 Z⑵由⑴知z = 3+ι,所以^ =—=【点睛】【解析】3试题分析：利用递推式直接求。
河南省天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试二理科数学试题
∴ ，
∴ 与 所成角的余弦值为 .
故选：B
点睛：求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解.
对于D选项，特称命题的否定，需要该存在量词为全称量词，并否定结论，正确.
故选D
3．C
【解析】
若 ，由 可得 ,故A错误；
若 ， ，则 ，但 ，故B错误；
由 可得： ,若 则 ，所以D错误；
故选：C
4．A
【解析】
.
故选：A
5图），平移直线 ，易知直线经过可行域上的点 ， 取得最大值为1.
故选：B
点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
6．C
河南省天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试二理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．下列叙述正确的是（ ）
A．若 ，则
B．方程 表示的曲线是椭圆
8．B
【解析】
由 可得 ， .由 可得 ，整理可得 ，解得： 或 （舍去），