不确定度计算.doc
不确定度计算实例
例1： 用螺旋测微器测一小球直径，得到5个值如下：1.039 1.038 1.030 1.011 1.033 （mm ） 设测量过程中的已定系统误差已知，即螺旋测微器测的零点值为0.002()mm d=-仪器的分度值是 0.01mm ，仪器的误差限 =0.004仪mm 。
测量误差服从均匀分布，分布因子解：首先计算测量值x，因为111(1.039 1.038 1.030+1.011+1.033=mm 5n i i X n X ===++∑）1.0302 （)测量值0 1.0302(0.002) 1.032()X mm d X=-=--=计算与读数分散对应的A 类不确定度分量0.011()Ax mm US ===计算与仪器不准对应的Ｂ类不确定度分量0.0040.0023mm)3B CU ===仪（用方和根求总不确定度0.011()U mm ===最后写出测量结果 0U=1.0320.011(mm)X X=±±例２：用流体静力称衡法测固体材料密度，首先测定材料在空气和水中的质量1m ，2m，然后由下式算出其密度： 1012p m p m m=-式中p是水的密度，可查表得出作为常数处理，现在的问题是，若已知112212,,m m m m U m m U =±=±如何获得密度ｐ的不确定度pU呢？因为测量式的函数形式是积商形式，所以应对测量式两边先取对数，然后再求全微分：112112011212ln ln ln()lnpp m m m ppm m m d d d dm m m m m=--+=-+--在上式中1md 的贡献来自两项，11m d m和112m d m m--应当先合并成111211m d m m m ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭，这在数学相当于同类项合并，在物理上则反映这两项不互相独立。
pp d＝()21212112m m d m d m mm m m +--- 然后用不确定度p U 替代pd ，用 2m U 替代1m d 和2md ，求方和根，即pPU=由于p 和ppU已算出，所以不确定度pU可由下式算得pU＝p ×ppU例３：已知金属环各部位测量结果21 2.8800.004, 3.6000.004D cm cm D =±=±±内径外径，高度 h=2.5750.004cm求环的体积Ｖ和不确定度vU。
不确定度的计算方法(可编辑修改word版)
(U u )2 + (U w )2 u w == = =测量结果的正确表达被测量 X 的测量结果应表达为： X = X ± U (仪仪)表 1 常用函数不确定度合成公式其中 X 是测量值的平均值，U 是不确定度。
例如：用最小刻度为 cm 的直尺测量一长度最终结果为：L =(0.750±0.005)cm ； 测量金属丝杨氏模量的最终结果为：E =(1.15±0.07)×1011Pa 。
1. 不确定度的计算方法 2N =X αY βZ γU N = N直接测量不确定度的计算方法U = 1. 在函数关系是乘除法时,先计算相对不确定度( U N )比较方便.例如表中第二行N的公式.2. 不确定度合成公式可以联合使用.其中： S =为标准差；sin θ u例如:若 τ ,令u sin θ ， w 3φ 则 τ .3φw∆仪 是仪器误差，一般按仪器最小分度的一半计算，但是游标卡尺和角游标按最小分度计算。
也可按仪器级别计算或查表。
间接测量不确定度的合成方法根据表中第二行公式,有:U τ= ;τ间接测量 N = f (x , y , z ,⋯⋯仪的平均值公式为： N =f (x , y, z ,⋯⋯仪 ；根据表中第一行公式,有: U w == 3U φ ;不确定度合成公式为：U N =根据表中第三行公式,有: 。
U u = cos θ ⋅U θ .也可根据表 1 中的公式计算间接测量的不确定度。
所以, U τ = τ ⋅= τ S 2 + ∆ 2仪∑ ( X - X )2in -1( ) ⋅U + ( ) ⋅U + ( ) ⋅U + ∂ N 2 2 ∂ N 2 2 ∂ N 2 2 ∂X X ∂Y Y ∂ZZ α 2 (U X ) 2 + β 2 (U Y ) 2 + γ 2 (U Z ) 2X Y Z 32U 2 φ。
不确定度计算
不确定度计算2、不确定度各分量的评定根据测量步骤可知，测量氨氮质量的不确定度来源有几个方面，一是由标准曲线配制所产生的不确定度，二是测试过程所产生的不确定度。
按《化学分析中不确定度的评估指南》，对于只涉及积或商的模型，例如：c N=m/v，合成标准不确定度为：式中，u(c)为质量m和体积v的合成标准测量不确定度，mg/L；u(m)为质量m的标准测量不确定度，ug；u(v)为体积v的标准测量不确定度，mL。
2.1 取样体积引入的相对不确定度u rel(v)所取水样用50mL单标线吸管移取。
查JJG 196－2006《常用玻璃量器检定规程》，A级50mL 单标线吸管的容量允差为0.05mL，根据JJF 1059-1999《测量不确定度评定与表示》的规定，标定体积为三角分布，则容量允差引入的不确定度为：u(△V)=0.050/√6 。
根据制造商提供的信息，吸量管校准温度为20℃，设实验室内温度控制在±5℃范围内波动，与校准时的温差为5℃，由膨胀系数(以水的膨胀系数计算)为2.1×10-4/℃得到50mL水样的标准不确定度为（假定为均匀分布）：2.2重复性测定引入的相对不确定度u rel(rep)采用A类方法评定，与重复性有关的合成标准不确定度均包含其中。
对某水样进行7次重复性测定，所得结果如下：1.33、1.35、1.34、1.34、1.35、1.38、1.35mg/L，平均值1.35 mg/L。
重复测量数据的标准不确定度为：2.3 铵（以氮计）的绝对量m引入的不确定度u rel(m)配制过程中引入的不确定度u rel(1)a.) 标准贮备液的不确定度u rel(1－1)：包括纯度、称量、体积及摩尔质量计算4个部分，其中，摩尔质量计算不确定度可省略不计（与其它因素相比，其对标准浓度计算相差1－2个数量级）。
纯度p：按供应商提供的参考数据，分析纯氯化铵[NH4Cl]纯度为≥99.5%，将该不确定度视为矩形分布，则标准不确定度为u(p) =0.5/√3＝28.9×10-4；称量m：经检定合格的天平最大允许误差±0.1mg，将该不确定度视为矩形分布，标准偏差为0.058mg，称量3.819g时的相对标准偏差为u(m) =0.152×10-4；体积v：影响体积的主要不确定度有校准及温度。
直接测量不确定度的计算
一、A类不确定度的计算
N的不确定度
–
SN
( N
i 1
n
i
N)
2
n( n 1 )
S n
二、B类不确定度的估计
估计方法
ui
连续可读仪器
非连续可读仪器
仪
3
最小分度/2
最小分度
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与理论值 的相对误 差
相对误差是 否在10%左 右
Thank you——Bye
S1 , S 2 , S i ,......S m
u1 , u2 , u j ,......un
S
i 1
m
2 i
u
j 1
n
2 j
用50分度游标卡尺测一圆环的宽度，其 数据如下： m=15.272;15.276;15.268;15.274;15.270;15.274;
15.268;15.274;15.272cm . 由于是多次测量，存在A类不确定度：
连续可读仪器
米尺：最小分度为1mm
仪 0.5mm
读数显微镜：最小分度为0.01mm
仪 0.005mm
非连续可读仪器
数字秒表:最小分度=0.01s
仪 0.01s
20分度游标卡尺：最小分度=0.05mm
仪 0.05mm
合成不确定度u(c)
A类不确定度分 量 B类不确定度分 量
解：
Hale Waihona Puke Sm ( mi m )
i 1
12
2
n( n 1 )
0.003( cm )
如何计算不确定度
任何测量中的不确定度一般类型
（四）
• 图4表示一组接近矩形分布的10个"随机"值。 图5所示为矩形分布的示意图。
任何测量中的不确定度一般类型（四）
• 5．2．3其他分布 分布还会有其他形状，但较少见，例如三角分布、M 形分布（双峰分布）、倾斜分布（不对称分布）等等。 5．3什么不是测量不确定度 操作人员失误就不是不确定度。这一类都不应计入对 不确定度的贡献。这些都应通过仔细工作并检查工作 来避免发生。 允差不是不确定度。允差是对工艺或产品所选定的允 许级限值。（参见下文第10节，关于对技术规范的符 合性）
关于数字集合的基本统计学 （二）
3．2基本统计计算： 从你的测量中，通过取多次读数 并进行某些基本统计计算，你就 能增加你所得到的信息量。有两 项最主要的统计计算，就是要求 的一组数值的平均值或算术平均 值，以及它们的标准偏差。
关于数字集合的基本统计学（二）
• 3．3获得最佳估计值--取多次读数的平均值 虽然重复测量给出不同结果，但你也许并没有 做错什么。这可能是由于进行的测量有自然变 化。（例如：若你在野外测量风速，常常不会 有稳定的值。）或者，也可能因为你的测量器 具没有工作在完全稳定状态。（例如：卷尺可 能因拉紧情况不同而给出不同结果。）如果在 重复读数时读数有变化，那么最好多次读数并 取平均值。
• 虽然这种"尺度"决非普遍适用，但应用广 泛。对标准偏差的"真"值只能从一组非常 大量（无穷多）的读数来求得。从适度 个数的量值能够求得的只是标准偏差的 估计值。3．6计算估计的标准偏差
• 例2表明如何计算标准偏差的估计值 例2计算一组数值的估计的标准偏差
关于数字集合的基本统计学（二）
• 单用笔和纸来算标准偏差是不方便的，但下例 可以手算。例如你有一组n次的读数（让我们 用于上例同样的10次一组） 先求平均值：该组读数如前例所述：16、19、 18、16、17、19、20、15、17、13，平均值为 17。 下一步求每个读数与平均值之差，即 -1、+2、 +1、-1、0、+2、+3、-2、0、-4。 对上面的数求平方值，即 1、2、1、1、0、4、 9、4、0、16
标准不确定度计算方法
一、由被检表读数引入的标准不确定度)(x R u1. 由被检表测量重复性引入的标准不确定度)(1x R u取最小分辨力，取半区间,按均匀分布考虑，k =3。
由此引入的不确定度为：)(2x R u =3最小分辨力一半2. 由被检表读数分辨力引入的标准不确定度)(2x R u一个检定点做10遍,算标准差s （：S=)1(/)(2--∑n X X i ） 所以 )(1x R u =n S /二、由标准器引入的标准不确定度)(n R u1. 标准器具一)(1n R u 如果只知道允许误差：)(1n R u =3最大允许误差。
按均匀分布考虑，k =32. 标准器具二)(2n R u 如果有校准证书：)2(n R u =2/包含因子扩装不确定度（K 一般为2;正态分布k=2,概率95。
45%)一个测量值需要用2个标准器具：两个标准器具共同引来的标准不确定度为:)(n R u =)2(2)1(2n R u n R u +三、最后合成标准不确定度：(灵敏系数)(x R c =x R f ∂∂=1 )(n R c =nR f ∂∂=—1) )()()()(2222n n x x c R u R c R u R c u +=四、扩展不确定度：U=c u * Krel U =实际值K* c u 注：一般标准装置的扩展不确定度应小于被校测量仪器的最大允许误差绝对值的1/3 正态分布：K=2～3 相应的置信概率P 为0.95～0。
99均匀分布:k =3三角分布:k=6相应置信概率P≈1反正弦分布：k=2其他因数带来的影响：●测量的方法●检定点的选择●环境的影响●人为读数的实效性●测量仪器的分辨力●标准不准●重复性。
不确定度的计算
不确定度的计算测量误差与不确定度评定测量误差1、测量误差和相对误差（1）、测量误差测量结果减去被测量的真值所得的差，称为测量误差，简称误差。
这个定义从20世纪70年代以来没有发生过变化，以公式可表示为：测量误差＝测量结果－真值。
测量结果是由测量所得到的赋予被测量的值，是客观存在的量的实验表现，仅是对测量所得被测量之值的近似或估计，显然它是人们认识的结果，不仅与量的本身有关，而且与测量程序、测量仪器、测量环境以及测量人员等有关。
真值是量的定义的完整体现，是与给定的特定量的定义完全一致的值，它是通过完善的或完美无缺的测量，才能获得的值。
所以，真值反映了人们力求接近的理想目标或客观真理，本质上是不能确定的，量子效应排除了唯一真值的存在，实际上用的是约定真值，须以测量不确定度来表征其所处的范围。
因而，作为测量结果与真值之差的测量误差，也是无法准确得到或确切获知的。
过去人们有时会误用误差一词，即通过误差分析给出的往往是被测量值不能确定的范围，而不是真正的误差值。
误差与测量结果有关，即不同的测量结果有不同的误差，合理赋予的被测量之值各有其误差并不存在一个共同的误差。
一个测量结果的误差，若不是正值（正误差）就是负值（负误差），它取决于这个结果是大于还是小于真值。
实际上，误差可表示为：误差＝测量结果－真值＝（测量结果－总体均值）＋（总体均值－真值）＝随机误差＋系统误差（2）、相对误差测量误差除以被测量的真值所得的商，称为相对误差。
2、随机误差和系统误差（1）、随机误差测量结果与重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差，称为随机误差。
随机误差＝测量结果－多次测量的算术平均值（总体均值）重复性条件是指在尽量相同的条件下，包括测量程序、人员、仪器、环境等，以及尽量短的时间间隔内完成重复测量任务。
此前，随机误差曾被定义为：在同一量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差的分量。
随机误差的统计规律性：○1对称性：绝对值相等而符号相反的误差，出现的次数大致相等，也即测得值是以它们的算术平均值为中心而对称分布的。
大物实验不确定度计算公式
大物实验不确定度计算公式
大物实验中，确定物理量的值时，需要考虑不确定度。
不确定度是指测量结果与真实值之间的差异，通常用标准偏差来表示。
计算不确定度的公式如下：
不确定度 = 仪器误差 + 随机误差
其中，仪器误差是由仪器自身的精度引起的误差，通常用仪器测量范围的一半来估算。
随机误差是由于实验过程中各种不可避免的因素引起的误差，通常用标准差来估算。
计算不确定度的具体步骤如下：
1. 确定所测量物理量的最小可分辨值和仪器误差。
2. 进行多次测量，根据实验数据计算出平均值和标准差。
3. 计算总不确定度，即仪器误差和随机误差之和。
4. 根据置信度确定扩展不确定度，通常取置信度为95%。
5. 最终确定物理量的值和不确定度。
通过以上公式和步骤，可以有效地计算出物理量的不确定度，提高实验的准确性和可靠性。
- 1 -。
不确定度的计算方法.
测量结果的正确表达
被测量X的测量结果应表达为：
其中是测量值的平均值，是不确定度。
例如：
用最小刻度为cm的直尺测量一长度最终结果为：L=(0.750±0.005cm；
测量金属丝杨氏模量的最终结果为：E=(1.15±0.07×1011Pa。
1. 不确定度的计算方法
直接测量不确定度的计算方法
其中：为标准差；
是仪器误差，一般按仪器最小分度的一半计算，但是游标卡尺和角游标按最小分度计算。
也可按仪器级别计算或查表。
间接测量不确定度的合成方法
间接测量的平均值公式为：；
不确定度合成公式为：。
也可根据表1中的公式计算间接测量的不确定度。
表1 常用函数不确定度合成公式
函数表达式合成公式
1
2
3
注:
1. 在函数关系是乘除法时,先计算相对不确定度(比较方便.例如表中第二行的公式.
2. 不确定度合成公式可以联合使用.
例如: 若,令，则.
根据表中第二行公式,有:;
根据表中第一行公式,有: ;
根据表中第三行公式,有: .
所以,。
不确定度的计算 (2)
不确定度的计算
不确定度的计算是通过估计和分析测量结果和测量过程中
的误差来进行的。
以下是一些常用的不确定度计算方法：
1. 精确度不确定度：也称为随机不确定度，是由于测量设
备的分辨率和测量过程中的随机误差导致的不确定度。
计
算方法包括标准差、方差等统计量的计算。
2. 系统不确定度：也称为偏差不确定度，是由于测量设备
或测量方法本身的固有偏差导致的误差。
可以通过校准、
比较测量等方法进行估计。
3. 组合不确定度：将多个不确定度来源按照一定规则进行
合成得到的不确定度。
常用的合成方法包括根据误差传递
法则进行计算，或者使用不确定度的加法法则或乘法法则。
4. 确定性不确定度：是一种在理论计算中估计结果的不确定度。
它取决于输入量的不确定度的准确度和测量结果的依赖程度。
以上是一些常用的不确定度计算方法，计算过程通常需要依赖统计和数学方法。
在实际应用中，根据具体情况，可能还会使用其他的不确定度计算方法。
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2、不确定度各分量的评定
根据测量步骤可知，测量氨氮质量的不确定度来源有几个方面，一是由标准曲线配制所产生的不确定度，二是测试过程所产生的不确定度。
按《化学分析中不确定度的评估指南》，对于
只涉及积或商的模型，例如：c N=m/v，合成标准不确定度为：
式中，u(c)为质量m和体积v的合成标准测量不确定度，mg/L；
u(m)为质量m的标准测量不确定度，ug；
u(v)为体积v的标准测量不确定度，mL。
2.1 取样体积引入的相对不确定度u rel(v)
所取水样用50mL单标线吸管移取。
查JJG 196－2006《常用玻璃量器检定规程》，A级
50mL单标线吸管的容量允差为0.05mL，根据JJF 1059-1999《测量不确定度评定与表示》的规定，标定体积为三角分布，则容量允差引入的不确定度为：u(△V)=0.050/√6 。
根据制造商提供的信息，吸量管校准温度为20℃，设实验室内温度控制在±5℃范围内波动，与校准时的温差为5℃，由膨胀系数(以水的膨胀系数计算)为2.1×10-4/℃得到50mL水样的
标准不确定度为（假定为均匀分布）：
2.2重复性测定引入的相对不确定度u rel(rep)
采用A类方法评定，与重复性有关的合成标准不确定度均包含其中。
对某水样进行7次重复性测定，所得结果如下：1.33、1.35、1.34、1.34、1.35、1.38、1.35mg/L，平均值1.35
mg/L。
重复测量数据的标准不确定度为：
2.3 铵（以氮计）的绝对量m引入的不确定度u rel(m)
2.3.1 配制过程中引入的不确定度u rel(1)
a.) 标准贮备液的不确定度u rel(1－1)：包括纯度、称量、体积及摩尔质量计算4个部分，其中，摩
尔质量计算不确定度可省略不计（与其它因素相比，其对标准浓度计算相差1－2个数量级）。
纯度p：按供应商提供的参考数据，分析纯氯化铵[NH4Cl]纯度为≥99.5%，将该不确定度视为矩形分布，则标准不确定度为u(p) =0.5/√3＝28.9×10-4；
称量m：经检定合格的天平最大允许误差±0.1mg，将该不确定度视为矩形分布，标准偏差为
0.058mg，称量3.819g时的相对标准偏差为u(m) =0.152×10-4；
体积v：影响体积的主要不确定度有校准及温度。
其一“校准影响”，根据JJG 196－2006《常用玻璃量器检定规程》，校准温度20℃时A级1000mL容量瓶的容量允差为0.4mL，根据《测量不确定度评定与表示》的规定，标定体积为三角分布，则容量允差引入的不确定度为，其相对标准不
确定度为0.164/1000=1.64×10-4。
其二“温度影响”，根据制造商提供的信息，容量瓶校准温度
为20℃，设实验室内温度控制在±5℃范围内波动，则引起的体积变化为1000×5×2.1×10-
4=1.05mL，假定为均匀分布，k= ，则温度引起的容量瓶体积标准不确定度为，其相对标准不确定
度为6.06×10-4。
所以综合这两个影响因素，u rel(v)= 6.28×10-4
综上所述，校准贮备液不确定度为：
b.) 5mL移液管移取标准贮备液引入的不确定度u rel(1－2)：按检定证书，5mL 单标线吸管（A级）最大允差为0.025mL，假定为三角分布，则校准体积的相对标准不确定度为0.00204（计算过程略）；在±5℃引起的体积变化为0.00525mL，按均匀分布，则温度引起的体积标准不确定度为
0.00303mL，其相对标准不确定度为 6.06×10-4，所以，5mL单标线吸管相对合成标准不确定度为：
u rel(1－2)＝2.13×10-3
c.) 500mL移液管移取标准贮备液引入的不确定度u rel(1－3)：按检定证书，500mL 单标线吸管（A级）最大允差为0.25mL，假定为三角分布，则校准体积的相对标准不确定度为2.04×10-4（计算过程
略）；在±5℃引起的体积变化为0.525mL，按均匀分布，则温度引起的体积标准不确定度为
0.303mL，其相对标准不确定度为 6.06×10-4，所以，500mL单标线吸管相对合成标准不确定度为：
u rel(1－3)＝6.39×10-4
综合上述多种不确定因素，铵标准使用液配制过程中引入的不确定度为：
3.2 工作曲线引入的不确定度u rel(2)
a.) 标准曲线引入的不确定度u rel(2-1)：根据HJ 535-2009《水质氨氮的测定纳氏试剂分光光度法》配制成一系列
标准溶液，显色后测定其吸光度（见表1）。
表1：氨氮标准曲线
设y(吸光度)对x(含量)的回归直线方程为y=a+bx，其中，a为标准曲线的截距，b为标准曲线的斜率。
采用Excel自动拟合得到拟合函数：y=0.005772x，即：a=0，b=5.772×10-3，相关系数r=0.9999。
按《分光光度法测量不确定度评定规范》（CSM01010102－2006），由标准溶液的质量－吸光度拟合的线性函数求得m时所产生的测量不确定度（即线性最小二乘法校准的不确定度），u(2-1)：
表2：标准曲线中间数据计算过程
标准曲线不确定度为：
b.) 10mL刻度移液管引入的不确定度u rel(2-2)：标准曲线的绘制使用10mL刻度移液管（A级），最大允差为±
0.05mL，评价方法参考2.3.1中相应内容，得到10mL刻度移液管的相对合成标准不确定度为：
u rel(2-2)=2.13×10-3
则，绘制标准曲线的相对合成标准不确定度为：。