高中数学线性回归方程
2025高考数学一轮复习-9.1.2-线性回归方程【课件】
(3)该企业采取订单生产模式(根据订单数量进行生产，即产品全部售出). 根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概 率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千 件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料 成本为10元，根据(2)的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选 择100元还是90元，请说明理由.
因为 y ＝3860＝45，
8
uiyi－8 u y
i＝1
所以b^ ＝
8
u2i －8 u 2
i＝1
＝1831..45－ 3－8×8×0.03.411×545＝06.611＝100，
则a^ ＝ y －b^ u ＝45－100×0.34＝11， 所以y^ ＝11＋100u， 所以 y 关于 x 的回归方程为y^＝11＋10x0.
三、非线性回归问题
知识梳理
解非线性回归分析问题的一般步骤 有些非线性回归分析问题并不给出函数，这时我们可以根据已知数据 画出散点图，与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)的图 象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，用适当的变量 进行变换，把问题转化为线性回归分析问题，使之得到解决.
n
v2i －n
v
2
i＝1
i＝1
解 ①当产品单价为100元，设订单数为m千件，因为签订9千件订单的 概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2， 所以E(m)＝9×0.8＋10×0.2＝9.2， 所以企业利润为 100×9.2－9.2×190.20＋21＝626.8(千元). ②当产品单价为90元，设订单数为n千件， 因为签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7， 所以E(n)＝10×0.3＋11×0.7＝10.7，
高中数学 2.4 线性回归方程课件 苏教版必修3
的特征． 解析： 由图可知①是一次函数关系，不是相关关系；
②中的所有点在一条直线附近波动，是线性相关的； 栏
目
③中的点杂乱无章，没有什么关系，是不相关的；④
链 接
中的所有点在某条曲线附近波动，是非线性相关的，
即两个变量(biànliàng)具有相关关系的是②④.
答案： ②④
第二十页，共39页。
典例 剖析
规律总结： 散点图直观地描述了两个变量之间有没
有相关关系，由散点图判断相关关系有两种情况，若
栏
所有的点看上去都在一条直线附近波动，则两个变量
目 链
是线性相关的；若所有的点看上去都在某条曲线 接
(qūxiàn)附近波动，则两个变量是非线性相关的，这
两种情况都说明两个变量间具有相关关系．
第二十一页，共39页。
栏 目 链 接
xiǎo)，这种关系称为________． 负相关
3．线性回归方程是________________，其中b＝
_n____________，a＝_______y_^．＝bx＋a
iΣ＝1xiyi－nx y
y－bx
iΣ＝n1xi2－nx2
第六页，共39页。
自主 学习
4．线性回归方程 (jiāodiǎn)________．,
第三十一页，共39页。
典例
剖 析 题型四 用回归直线估计总体
例3高二(2)班学生(xué sheng)每周用于数学学习的
时间x(单位：h)与数学成绩y(单位：分)之间有如下数据：
栏
目
x
2 4
1 5
2 3
1 9
1 6
1 1
2 0
1 6
1 7
1 3
高中数学人教A版必修3课件：2-3-2《线性回归方程》
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
2.3 变量间的相关关系
2.3.2 线性回归方程
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
本课主要学习变量间的相关关系的相关内容，具体 包括线性回归方程的求解。 本课开始回顾了上节课所学变量间的相关关系与散 点图的相关内容，紧接着引入回归直线的定义及特征， 回归直线方程的定义及求法（最小二乘法），并且通过 例题和习题进行讲解。最后通过习题进行加深巩固。
y
500 450 400 350
水稻产量
300 10
(施化肥量)
20
30
40
50
x
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
3、最小二乘法 假设我们已经得到两个具有线性相关的变量的一组数 据（x1，y1），（x2,y2），…（xn,yn）.
n n ( xi x)( yi y ) xi yi nxy i 1 i 1 b n n 2 2 2 ( xi x) xi nx i 1 i 1 a y bx
注意：求回归直线方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整 体上看各点与此直线的距离最小”，即最贴近已知的数据点，最 能代表变量x与y之间的关系.
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产 量影响的试验，得到如下表所示的一组数据（单位：kg）：
施化肥量x 水稻产量y 15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455
第四步：写出直线方程.
二倍角的正弦、余弦、 正切公式 解：1、列表
3.1.3
2、代入公式计算
高一数学必修三课件第章线性回归方程
01
02
03
变量
在某一过程中可以取不同 数值的量。
自变量
能够影响其它变量，而又 不受其它变量影响的变量 。
因变量
依赖于其它变量，而又不 能影响其它变量的变量。
散点图及其特点
散点图
用点的密度和变化趋势表示两指 标之间的直线和曲线关系的图。
特点
能直观表现出影响因素和预测对 象之间的总体关系趋势。
线性回归方程定义
通过绘制自变量和因变量的散点图，观察数据点 分布形态，若呈现非线性形态，则可能存在非线 性关系。
曲线拟合
根据散点图形态，选择合适的曲线类型进行拟合 ，如二次曲线、指数曲线、对数曲线等。
3
变换自变量或因变量
通过对自变量或因变量进行变换，如取对数、平 方、开方等，将非线性关系转化为线性关系。
可化为线性关系非线性模型
一致性
随着样本量的增加，线性回归方程 的系数估计值会逐渐接近真实值。
预测值与置信区间估计
预测值
根据回归方程和给定的自 变量值，可以计算出因变 量的预测值。
置信区间
通过构造置信区间，可以 对预测值进行区间估计， 表示预测值的可靠程度。
置信水平
置信水平表示了置信区间 包含真实值的概率，常用 的置信水平有95%和99% 。
在数据采集过程中，可能存在某些自变量 被重复测量或高度相关的情况。
变量设计问题
样本量问题
在变量设计时，可能存在某些自变量之间 存在固有的高度相关性。
当样本量较小而自变量较多时，也容易出 现多重共线性问题。
识别和处理多重共线性方法
观察自变量间的相关系数
如果两个自变量间的相关系数很高，则可能存在多重共线性 。
案例二
高三线性回归方程知识点
高三线性回归方程知识点线性回归是数学中的一种方法，用于建立一个自变量与因变量之间的关系。
在高三数学中，线性回归方程是一个重要的知识点。
本文将介绍高三线性回归方程的基本概念、推导过程以及应用范围。
一、基本概念1. 线性回归方程线性回归方程，也叫作线性回归模型，表示自变量x和因变量y之间的关系。
它可以用如下的一般形式表示：y = β0 + β1x + ε其中，y表示因变量，x表示自变量，β0和β1表示模型中的参数，ε表示误差项。
2. 参数估计线性回归方程中的参数β0和β1需要通过观测数据进行估计。
常用的方法是最小二乘法，即通过最小化实际观测值和预测值之间的差异，来得到最优的参数估计值。
二、推导过程1. 求解参数通过最小二乘法，可以得到线性回归方程中的参数估计值。
具体推导过程包括以下几个步骤：（1）确定目标函数：将观测值和预测值之间的差异平方和作为目标函数。
（2）对目标函数求偏导：对目标函数分别对β0和β1求偏导，并令偏导数为0。
（3）计算参数估计值：根据求得的偏导数为0的方程组，解出β0和β1的值。
2. 模型拟合度评估在得到参数估计值之后，需要评估线性回归模型的拟合度。
常用的指标包括相关系数R和残差平方和SSE等。
相关系数R可以表示自变量和因变量之间的线性相关程度，取值范围在-1到1之间，越接近1表示拟合度越好。
三、应用范围线性回归方程在实际问题中有广泛的应用，例如经济学、统计学、社会科学等领域。
它可以用来分析自变量和因变量之间的关系，并预测未来的结果。
1. 经济学应用在线性回归模型中，可以将自变量设置为经济指标，例如GDP、通货膨胀率等，将因变量设置为某一经济现象的数值。
通过构建线性回归方程，可以分析不同经济指标对经济现象的影响，为经济决策提供参考依据。
2. 统计学应用线性回归方程是统计学中的一项重要工具。
通过对观测数据的拟合，可以得到参数估计值，并进一步分析自变量和因变量之间的关系。
统计学家可以利用线性回归分析建立统计模型，为实验数据的解释提供更为准确的结论。
高中数学：2.4《线性回归方程》素材(苏教版必修3)
线性回归方程导学一、学法指导利用样本数据的情况估计总体数据的情况，这是统计的基本思想．线性回归方程是从样本中各个数据之间的相关关系入手，来分析验证样本中各个数据的特点规律，进而对总体数据的相关关系作出估计．因此学好线性回归方程，要在进一步体会统计的基本思想和方法的基础上，还要回忆我们已学过的两个变量之间存在的函数关系（即确定性关系）．学习本节时，首先要知道变量相互关系有两种：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的．例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；其次是如何判断和分析具有相关关系的两个或多个变量，也就是如何寻找具有相关关系的两个变量中非确定性关系的某种确定性．本节的难点问题是建立回归直线方程的思想方法，其关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与直线的距离最小”，即最贴近已知的数据点，最能代表变量x 与y 之间的关系，这就是“最小二乘法”的思想．另外还要注意，进行回归分析，通常先进行相关性检验，若能确定两个变量具有线性相关性，再去求其线性回归方程，否则所求方程毫无意义． 二、知识点概要 1．相关关系所谓相关关系是自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性． 对相关关系的理解应注意以下几点：（1）相关关系与函数关系不同．因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系．因此，不能把相关关系等同于函数关系．（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，它也可能是伴随关系． （3）在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用．变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断． 2．回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析．通俗地讲，回归分析就是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性． 3．散点图我们把一组具有相关关系的两个变量的数据()(123)i i x y i n ，，，，，对应的点（即样本点）画在坐标系内，得到的图形叫做散点图． 利用散点图可以判断变量之间有无相关关系，所以判断两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手．画出散点图，可以作出如下判断：（1）如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即说明变量之间具有函数关系；（2）如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，则说明变量之间具有相关关系； （3）如果所有的样本点都落在某一直线附近，则变量之间具有线性相关关系． 4．正相关、负相关线性相关关系又分为正相关和负相关． 正相关是指两个变量具有相同的变化趋势，即从整体上来看一个变量会随另一个变量变大而变大．从散点图可以看出因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域．负相关是指两个变量具有相反的变化趋势，即从整体上来看一个变量会随另一个变量变大而变小．负相关的散点图中的点分布在左上角到右下角的区域． 由此，我们得出判断两个变量之间到底是不是具有线性相关关系，可以用“数据”说话，画出散点图更具有说服力．5．回归直线和回归直线方程如果散点图中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两变量之间具有线性相关关系．这条直线叫做这两个变量的回归直线，回归直线的方程叫做回归方程． 这里注意，只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围的时候，才可以说两个变量之间具有线性相关关系，才有两个变量的正线性相关和负线性相关的概念，才可以用回归直线来描述这两个变量之间的关系．（1）求回归直线方程的思想方法 观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近．类似图中的直线可画出不止一条，比如可以连接最左侧点和最右侧点得到一条直线，也可以让画出的直线上方的点和下方的点数目相等，……，但这些能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗？它们虽然都有一定的道理，却总让人感到可靠性不强．那么，其中的哪一条直线最能代表变量x 与y 之间的关系呢？实际上求回归直线方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离最小”，即最贴近已知的数据点，最能代表变量x 与y 之间的关系．最能代表变量x 与y 之间关系的直线的特征是直线与这n 个点的离差的平方和最小． （2）回归直线方程的求法根据最小二乘法的思想和公式，利用计算器或计算机，可以方便地求出回归方程． 利用计算机求回归方程（Excel 软件）：在Excel 的工作表中添加“图表”得到散点图后，用鼠标选中散点，单击鼠标右键，单击“添加趋势线”，在出现的对话框中单击类型标签，选择“线性”，单击“选项”标签，选中“显示公式”单选框，最后点击“确定”即可． 利用科学计算器求回归方程：大多科学计算器都有回归计算（REG 模式），但不同的计算器参数可能不同，这里不作详细介绍．一般在输入数据后按相应按键可直接得到a 和b ，这样就可以写出回归方程y bx a =+，非常简便，同学们在使用前一定要看懂计算器的使用说明书．回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用．应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并且可根据情况进行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应能积极应用回归直线方程解决一些相关的实际问题，并进一步体会回归直线的应用价值．（3）相关系数与相关性检验给定()(123)i i x y i n =，，，，，，只要123n x x x x ，，，，不全相等，就能求出一条回归直线，但它有无意义可是一个大问题．由于根据散点图看数据点是否大致在一直线附近主观性太强，为此可以利用样本相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱． 样本相关系数：()()nii xx y y r --=∑叫做变量y 与x 之间的样本相关系数，简称相关系数，用它来衡量它们之间的线性相关程度．1r ≤，且|r|越接近于1，相关程度越高；r越接近于0，相关程度越低．统计学认为，相关变量的相关系数： [10.75]r ∈--，时，两变量负相关很强； [0.751]r ∈，时，两变量正相关很强；(]0.750.3r ∈--，或[)0.30.75，时，两变量相关性一般；[0.250.25]r ∈-，时，两变量相关程度很弱．三、特别提示1．相关关系的理解．借助实例（如数学成绩与物理成绩之间的关系，粮食产量与施肥量之间的关系，吸烟与健康之间的关系，父母身高与子女身高之间的关系等）明确相关关系与函数关系不同，它是一种非确定性的关系，即一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性．相关关系包括正相关和负相关．2．相关关系的研究方法：散点图法和写出回归直线方程y bx a =+，其中11112222111nn n ni i i i i ii i i i nn nii i i i i n x y x y x ynx yb xnxn x x a y bx =======⎧⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪==⎪⎛⎫⎨-- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-⎩∑∑∑∑∑∑∑，．3．线性回归思想：把相关关系（不确定性关系）转化为函数关系（确定性关系）．当两个具有相关关系的变量近似满足一次函数关系时，所进行的回归分析又叫线性回归分析，所求的函数关系y bx a =+就是线性回归方程．4．求线性回归直线方程前应对数据进行线性相关分析，其关键是求a b ，，由于计算量大，因此计算过程要注意分层次、按步骤进行．线性回归中的相关系数线性回归问题在生活中应用广泛，求解回归直线方程时，应该先判断两个变量是否是线性相关，若相关再求其直线方程，判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法是绘制散点图；另外一种方法是量化的检验法，即相关系数法．下面为同学们介绍相关系数法． 一、关于相关系数法统计中常用相关系数r 来衡量两个变量之间的线性相关的强弱，当i x 不全为零，yi 也不全为零时，则两个变量的相关系数的计算公式是：()()nnii i ixx y y x ynx yr ---==∑∑r 就叫做变量y 与x 的相关系数（简称相关系数）．说明：（1）对于相关系数r ，首先值得注意的是它的符号，当r 为正数时，表示变量x ，y 正相关；当r 为负数时，表示两个变量x ，y 负相关； （2）另外注意r 的大小，如果[]0.751r ∈，，那么正相关很强；如果[]10.75r ∈--，，那么负相关很强；如果(]0.750.30r ∈--，或[)0.300.75r ∈，，那么相关性一般；如果[]0.250.25r ∈-，，那么相关性较弱．下面我们就用相关系数法来分析身边的问题，确定两个变量是否相关，并且求出两个变量间的回归直线． 二、典型例题剖析例1 测得某国10对父子身高（单位：英寸）如下：（1）对变量y 与x 进行相关性检验；（2）如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程； （3）如果父亲的身高为73英寸，估计儿子身高． 解：（1）66.8x =，67y =，102144794ii x==∑，102144929.22ii y==∑，4475.6xy =，24462.24x =，24489y =，10144836.4i ii x y==∑，所以10i ix ynx yr -=∑44836.4104475.6(4479444622.4)(44929.2244890)-⨯=--80.40.9882.04=≈≈，所以y 与x 之间具有线性相关关系．（2）设回归直线方程为y a bx =+，则101102211010i ii i i x yx yb x x==-=-∑∑44836.4447560.46854479444622.4-=≈-，670.468566.835.7042a y bx =-=-⨯=．故所求的回归直线方程为0.468535.7042y x =+．（3）当73x =英寸时，0.46857335.704269.9047y =⨯+=，所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸．点评：回归直线是对两个变量线性相关关系的定量描述，利用回归直线，可以对一些实际问题进行分析、预测，由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化．这是此类问题常见题型．例2 10其中x 为高一数学成绩，y 为高二数学成绩． （1）y 与x 是否具有相关关系；（2）如果y 与x 是相关关系，求回归直线方程．解：（1）由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得101710ii x==∑，101723ii y==∑，71x =，72.3y =，10151467i ii x y==∑．102150520i i x ==∑，102152541ii y==∑．1010i ix yx yr -=∑0.78≈．由于0.78r ≈，由0.780.75>知，有很大的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系． （2）y 与x 具有线性相关关系，设回归直线方程为y a bx =+，则1011022211051467107172.31.2250520107110i ii i i x yx yb x x==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑，72.3 1.227114.32a y bx =-=-⨯=-．所以y 关于x 的回归直线方程为 1.2214.32y x =-．点评：通过以上两例可以看出，回归方程在生活中应用广泛，要明确这类问题的计算公式、解题步骤，并会通过计算确定两个变量是否具有相关关系．方方面面评说回归直线方程一、回归分析对于线性回归分析，我们要注意以下几个方面：（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．（2）对于关系不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行回归分析．（3）通过散点图的观察，一般地，若图中数据大致分布在一条直线附近，那么这两个变量近似成线性相关关系．（4）求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大至呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义． 二、回归直线方程一般地，设x 与y 是具有相关关系的两个变量，且对应于n 组观测值的n 个点(()12)i i x y i n =，，，，，大致分布在一条直线的附近，求在整体上与这n 个点最接近的一条直线，记此直线方程为y a bx =+ （1）这里在y 的上方加记号“＾”，是为了区分Y 的实际值y ，表示当x 取值(12)i x i n =，，，时，Y 相应的观察值为i y ，而直线上对应于i x 的纵坐标是i y a bx =+．（1）式叫做Y 对x 的回归直线方程，a ，b 叫做回归系数． 三、求回归直线方程的思想方法 在观察散点图特征时，我们会发现有时各点大致分布在一条直线的附近，且画出不止一条类似的直线，而最能代表变量x 与y 之间关系的直线的特征，即为n 个离差的平方和最小．设所求直线方程为y a bx =+，其中a ，b 是待定系数，则(12)i i y a bx i n =+=，，，． 于是得到各个离差()(12)i i i i y y y bx a i n -=-+=，，，． 显然，离差i i y y -的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，故采用n 个离差的平方和21()ni iiQ y bx a==--∑，采用最小二乘法可求出使Q为最小值时的a和b．1122211()()()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ybx x x nx====---==--∑∑∑∑，a y bx=-，其中11niix xn==∑，11niiy yn==∑．四、求回归直线方程的一般步骤（1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；（2）如果散点在一条直线附近，用公式求出a，b，并写出回归直线方程．注：计算a，b时由于计算量较大,所以在计算时应借助技术手段（如计算器或计算机），认真细致，谨防计算中产生错误．例在10第几年城市居民收入x（亿元）某商品销售额y（万元）1 32.2 25.02 31.1 30.03 32.9 34.04 35.8 37.05 37.1 39.06 38.0 41.07 39.0 42.08 43.0 44.09 44.6 48.010 46.0 51.0（1）画出散点图；（2）如果散点图中各点大致分布在一条直线的附近，求x与y之间的回归直线方程；（3）试预测居民年收入50亿元时这种商品的销售额．解题指导：只有散点图大致表现为线性时，求回归直线方程才有实际意义．解：（1）散点图如图所示：（2）通过观察散点图可知各点大致分布在一条直线的附近．列出下表，利用计算器进行计算．1011022211015202.9379.739.1 1.447379.71014663.671010i ii ii x yx y b xx==--⨯==≈⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭∑∑。
高中数学：2.4《线性回归方程课件》课件(苏教版必修三)
Part
02
线性回归方程的建立与求解
线性回归方程的建立方法
STEP 01
散点图观察
STEP 02
确定回归系数
通过绘制散点图，观察自 变量与因变量之间的关系 ，初步判断是否具有线性 关系。
STEP 03
检验残差
通过观察残差图或计算残 差平方和，检验模型的拟 合效果，判断是否需要进 一步调整模型。
根据最小二乘法原理，通 过计算得到回归系数，从 而确定线性回归方程的斜 率和截距。
以是( )
习题
A. ŷ = 1.23x + 4 B. ŷ = 1.23x + 5
C. ŷ = 1.23x + 4.5 D. ŷ = 1.23x + 3
3、题目：已知回归直线的斜率的估计值是1.23，且样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方 程可以是( )
习题
01
A. ŷ = 1.23x + 4 B. ŷ = 1.23x +5
预测性
利用线性回归方程可以对 未知数据进行预测。
线性回归方程的应用场景
经济预测
科学实验
通过对历史数据的分析，利用线性回 归方程预测未来经济指标的变化趋势 。
在科学实验中，通过控制变量法来研 究自变量和因变量之间的线性关系， 并利用线性回归方程进行数据分析。
销售预测
根据历史销售数据和市场调查，利用 线性回归方程预测未来产品的销售情 况。
增加自变量
增加自变量可以更好地解释因变 量的变化，从而优化线性回归方 程。
调整模型形式
根据实际情况调整模型形式，可 以更好地拟合数据，从而优化线 性回归方程。
Part
04
线性回归方程的实例分析
高中数学 2.4 线性回归方程学案 苏教版必修3
2.4 线性回归方程1．变量间的两种关系在实际问题中，变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．预习交流1相关关系与函数关系有何区别与联系？提示：相同点：两者均是指两个变量的关系；不同点：①函数关系是一种确定的关系；相关关系是一种非确定的关系；②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系．2．散点图为了刻画两个变量之间的相关关系，常用横坐标x 表示一个变量，纵坐标y 表示另一个变量，建立平面直角坐标系，将两个变量所表示的点在坐标系内标出，这样的图称为散点图．预习交流2散点图有什么作用？提示：可以用来判断两个变量是否相关． 3．线性回归方程(1)最小平方法：离差的平方和Q (a ，b )是直线y ^＝bx ＋a 与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和，可以用来衡量直线y ^＝bx ＋a 与图中各个点的接近程度．所以，设法取a ，b 的值，使Q (a ，b )达到最小值．这种方法叫做最小平方法，又称“最小二乘法”．其中y ^读作“y 估计”．(2)线性相关关系的概念：能用直线方程y ^＝bx ＋a 近似表示的相关关系叫做线性相关关系．(3)当a ，b 使Q ＝(y 1－bx 122n n a )2取得最小值时，就称方程y ^＝bx ＋a 为拟合这n 对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线．(4)线性回归系数公式：线性回归方程y ^＝bx ＋a 中的系数a ，b 可用下面的公式计算．⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i －n x 2＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2，a ＝y －b x .预习交流3线性回归方程y ^＝bx ＋a 是否一定经过一个定点？提示：由a ＝y －b x 代入线性回归方程，得y ^＝bx ＋y －b x ，整理得(y ^－y )＝b (x －x )．因此，线性回归方程一定经过定点(x ，y )．预习交流4(1)以下两变量之间具有相关关系的是__________． ①正方形的面积与边长 ②人的身高与年龄③匀速行驶车辆的行驶路程与时间 ④人的身高与视力(2)散点图的作用是__________． ①查找个体个数②比较个体数据大小关系 ③探究个体分类④粗略判断变量是否具有相关关系(3)若施化肥量x (千克/亩)与水稻产量y (千克/亩)的回归方程为y ^＝5x ＋250，当施化肥量为80千克/亩时，预计水稻产量为__________．提示：(1)② (2)④ (3)650千克/亩一、线性相关关系的判断某公司利润(1)(2)判断y 与x 是否具有线性相关关系．思路分析：本题中涉及两个变量：利润与销售总额，以销售总额为自变量，考察利润的变化趋势，从而作出判断．解：(1)散点图如下，(2)由图知，所有数据点接近直线排列，因此，认为y 与x 有线性相关关系．1．在下列各变量之间的关系中：①凸n 边形(n ≥3)的边数与内角度数之和；②烧香拜佛的次数与考试成绩；③某校高一学生的身高与体重；④一块农田的玉米产量与施肥量．其中具有相关关系的是__________． 答案：③④解析：①是函数关系，②没有相关关系，③④均具有相关关系，故填③④. 2．下列各图中所示两个变量之间具有线性相关关系的是__________．答案：②解析：由散点图易知②中变量具有线性相关关系．解：(1)画出散点图如图．(2)由图知，两变量间存在相关关系．(1)两个变量x 和y 相关关系的确定方法：①散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断； ②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断； ③经验法：借助积累的经验进行分析判断．(2)判断两个变量x 和y 之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．二、求线性回归方程求出y 关于x 的回归方程．思路分析：先画出散点图，判断它们是否具有相关关系，再根据题目中提供的数据先计算出x ，y ，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx i y i ，代入公式求a ，b 的值即可．解：散点图如图所示．设所求回归方程为：y ＝bx ＋a ，则由上表可得b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝112.3－5×4×590－5×42＝12.310＝1.23， a ＝y －b x ＝5－1.23×4＝0.08.∴回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08.1答案：y ^＝0.56x ＋997.4解析：利用公式b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝0.56，a ＝y －b x ＝997.4，故回归直线的方程为y ^＝0.56x ＋997.4.2解：x ＝706＝353，y ＝2306＝1153， x 21＋x 22＋…＋x 26＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1 286，x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x 6y 6＝－20＋96＋340＋13×38＋18×50＋26×64＝3 474.b ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x 6y 6－6x y x 21＋x 22＋…＋x 26－6x2＝3 474－6×353×11531 286－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫3532≈1.68，a ＝y －b x ≈18.73.即所求得的线性回归方程为y ^＝1.68x ＋18.73. (1)用公式求回归方程的一般步骤是：①列表x i ，y i ，x i y i ；②计算x ，y ，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx i y i ；③代入公式计算b ，a 的值； ④写出回归方程．(2)求回归方程时应注意的问题： ①知道x 与y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验；否则，应首先进行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的；②用公式计算a ，b 的值时，要先算出b ，然后才能算出a ；③使用计算器能大大简化手工的计算，迅速得出正确的结果，但输入数据时要细心，不能出任何差错；不同计算器的按键方式可能不同，可参考计算器的使用说明书进行相关计算．三、线性回归方程的应用(1)(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？解：(1)散点图如下：(2)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大．图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长．1．经调查知，某品牌汽车的销售量y (辆)与广告费用x (万元)之间的线性回归方程为y ^＝250＋4x .当广告费用为30万元时，预测汽车销售量为__________辆．答案：370解析：当x ＝30时，y ^＝250＋4×30＝370.2根据上表可得回归方程y ＝bx ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为__________．答案：65.5万元解析：∵a ＝y －b x ＝49＋26＋39＋544－9.4×4＋2＋3＋54＝9.1，∴回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.令x ＝6，得y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．3．(2012福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(Ⅰ)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80，所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25，当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．(1)回归分析是数理统计中最常见的统计方法之一，它研究的是一个变量与另一个变量的相关关系．应用线性回归方程解实际问题时，一般是先借助于散点图，直观地看出两个变量之间是否具有相关关系，再利用最小平方法思想建立线性回归方程，从而定量地描述两个变量的关系．回归系数a ，b 刻画了两个变量之间的变化趋势．利用回归直线方程，可以对实际问题进行预测．由一个变量的变化推测另一个变量的变化，从而为决策者提供依据．(2)关于回归分析的几个问题：①回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性； ②对于相关关系细节的分析，我们可以通过作统计图表来使我们对两个变量之间的关系有一个直观的印象和判断.当然还可以通过另一种图——散点图来分析两个变量间的关系.1．给出x ，y则根据数据可以判断x 和有关系”)答案：确定关系解析：由表中数据可以得到x ，y 之间是一种函数关系：y ＝2x ＋1.所以x 和y 是一种确定的关系，也即函数关系．2．下列关系中是相关关系的是__________． ①学生的学习态度和学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系． 答案：①②解析：根据相关性的定义可知①②为相关关系，③④不具有相关关系． 3．下列分别是3对变量的散点图，则具有相关关系的是__________．答案：①③解析：由散点图知①③中的点大致分布在一条直线附近．4．(2012湖南高考改编)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的个数是__________．①y 与x 具有正的线性相关关系；②回归直线过样本点的中心(x ，y )；③若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ； ④若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg. 答案：①解析：④中，若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重约为：0.85×170－85.71＝58.79 kg.故④不正确．5．以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格y (单位：万元)和房屋面积x (单位：m 2)(1)(2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系．如果有相关关系，是正相关还是负相关？解：(1)数据对应的散点图如图所示．(2)通过以上数据对应的散点图可以判断，新房屋的销售价格和房屋的面积之间具有线性相关关系，且是正相关．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学线性回归方程
线性回归方程的分析方法
分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个
因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为
一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
线性回归方程的例题求解
用最小二乘法估计参数b,设服从正态分布,分别求对a、b的偏
导数并令它们等于零，得方程组解得。
其中，且为观测值的样本方差.线性方程称为关于的线性回归方程,称为回归系数,对应的直线称为回归直线.顺便指出,将来还需用到,其中为观测值的样本方差。
先求x,y的平均值。
利用公式求解：b=把x,y的平均数带入a=y-bx。
求出a=是总的公式y=bx+a线性回归方程y=bx+a过定点。
(x为xi的平均数，y为yi的平均数)
线性回归方程两个重要公式。